Single Slit Diffraction of Light Questions in Gujarati

(N/A) $1$. રેઝર બ્લેડનો પ્રયોગ: બે રેઝર બ્લેડને એવી રીતે ગોઠવો કે તેમની ધાર એકબીજાને સમાંતર અને ખૂબ નજીક હોય,જેથી એક સાંકડી સ્લિટ બને. જ્યારે તમે આ સાંકડી સ્લિટમાંથી દૂર રહેલા બલ્બના ફિલામેન્ટને જુઓ છો,ત્યારે પ્રકાશના વિવર્તનને કારણે ફિલામેન્ટની આસપાસ પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત (તેજસ્વી અને અંધારી) પટ્ટીઓ જોવા મળે છે.
$2$. આંગળીઓનો પ્રયોગ: તમારી આંગળીઓને એકબીજાની ખૂબ નજીક લાવો અને તેમની વચ્ચેની સાંકડી જગ્યામાંથી દૂરના પ્રકાશના સ્ત્રોતને જુઓ. તમને વિવર્તનની ભાત જોવા મળશે.
$3$. ખાદીના કપડાનો પ્રયોગ: ખાદીના ઝીણા વણાટવાળા કપડાના ટુકડામાંથી દૂરના બલ્બને જુઓ. કપડાના રેસા વિવર્તન ગ્રેટીંગ તરીકે કામ કરે છે,અને તમને પ્રકાશના સ્ત્રોતની આસપાસ તેજસ્વી અને અંધારી પટ્ટીઓ જોવા મળશે.
$4$. પિનહોલનો પ્રયોગ: સોડિયમ લેમ્પ જેવા એકવર્ણી પ્રકાશના સ્ત્રોતની સામે એક નાનકડું છિદ્ર (પિનહોલ) ધરાવતો અપારદર્શક પડદો મૂકો. જ્યારે પ્રકાશ આ પિનહોલમાંથી પસાર થઈને દૂરના પડદા પર પડે છે,ત્યારે તમને તેજસ્વી અને અંધારી પટ્ટીઓ ધરાવતી વિવર્તનની ભાત જોવા મળે છે.

(C) અપારદર્શક પદાર્થોના પડછાયા ઝાંખા દેખાવા માટે જવાબદાર ઘટના વિવર્તન (Diffraction) છે.
વિવર્તન એટલે પ્રકાશના તરંગોનું કોઈ અવરોધની ધાર પાસેથી અથવા છિદ્રમાંથી વળી જવું.
જ્યારે પ્રકાશ કોઈ અપારદર્શક પદાર્થ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની તરંગ પ્રકૃતિને કારણે તે સંપૂર્ણપણે સીધી રેખામાં ગતિ કરતું નથી.
તેના બદલે,પ્રકાશના તરંગો પદાર્થની કિનારીઓ પાસેથી વળી જાય છે,જેના કારણે પડછાયો તીક્ષ્ણ અને સ્પષ્ટ સીમા ધરાવવાને બદલે કિનારીઓ પર ઝાંખો અથવા અસ્પષ્ટ બની જાય છે.

(N/A) વિવર્તન એ પ્રકાશના તરંગલંબાઈ જેટલા માપના અવરોધ અથવા છિદ્રની ધાર પાસેથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે.
જ્યારે પ્રકાશના તરંગો કોઈ અવરોધ અથવા છિદ્ર સાથે અથડાય છે, ત્યારે તેઓ સંપૂર્ણપણે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાને બદલે ભૌમિતિક છાયાના વિસ્તારમાં ફેલાઈ જાય છે।
આ વાંકા વળવાની અસર ત્યારે વધુ સ્પષ્ટ થાય છે જ્યારે અવરોધ કે છિદ્રનું કદ નાનું હોય, ખાસ કરીને જ્યારે તે આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના ક્રમનું હોય.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં,$n^{th}$ ક્રમના ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$
જ્યાં:
$a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,
$\theta$ એ વિવર્તનનો ખૂણો છે,
$\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,
$n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે $(n = 1, 2, 3, ...)$.

(A) પ્રકાશના વિવર્તનની ઘટના સૌપ્રથમ $17$ મી સદીમાં ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક $Francesco \text{ } Maria \text{ } Grimaldi$ દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવી હતી અને તેનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું. તેમણે લેટિન શબ્દ 'diffringere' પરથી 'diffraction' (વિવર્તન) શબ્દ આપ્યો, જેનો અર્થ થાય છે 'ટુકડાઓમાં તોડવું', જે દર્શાવે છે કે પ્રકાશ અવરોધોની આસપાસ કેવી રીતે વળે છે.

(B) દ્વિ-સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણ ભાત વિવર્તન ભાત દ્વારા મોડ્યુલેટ થાય છે. મધ્યસ્થ વિવર્તન મહત્તમમાં રહેલી વ્યતિકરણ શલાકાઓની સંખ્યા $n$ એ મધ્યસ્થ વિવર્તન મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ અને વ્યતિકરણ શલાકાની કોણીય પહોળાઈના ગુણોત્તર જેટલી હોય છે.
મધ્યસ્થ વિવર્તન મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\Delta \theta_{diff} = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
વ્યતિકરણ ભાતની કોણીય શલાકા પહોળાઈ $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ બે સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે.
વ્યતિકરણ શલાકાઓની સંખ્યા $n$ એ આ બે પહોળાઈઓનો ગુણોત્તર છે:
$n = \frac{2\lambda / a}{\lambda / d} = \frac{2d}{a}$.
આમ,વ્યતિકરણ શલાકાઓની સંખ્યા એ સ્લિટો વચ્ચેના અંતર $d$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે.

(A) વિવર્તન માટેની મુખ્ય શરત એ છે કે અવરોધ અથવા છિદ્રનું પરિમાણ $(d)$ એ તરંગની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના ક્રમનું હોવું જોઈએ, એટલે કે $\frac{\lambda}{d} \approx 1$.
દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે, તરંગલંબાઈ $\lambda$ આશરે $6 \times 10^{-7} \,m$ હોય છે. આપણા દૈનિક જીવનમાં મોટાભાગના અવરોધો આના કરતા ઘણા મોટા હોય છે (દા.ત., $d \approx 10^{-1} \,m$ થી $1 \,m$), તેથી ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{d}$ અત્યંત નાનો હોવાથી વિવર્તન નહિવત જણાય છે.
ધ્વનિ તરંગો માટે, શ્રાવ્ય આવૃત્તિનો વિસ્તાર $20 \,Hz$ થી $20,000 \,Hz$ છે. જો આપણે $332 \,Hz$ ની આવૃત્તિ અને ધ્વનિની ઝડપ $v = 332 \,m/s$ લઈએ, તો તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{332}{332} = 1 \,m$ મળે છે.
ધ્વનિની તરંગલંબાઈ $(1 \,m)$ એ દરવાજા કે બારી જેવા સામાન્ય અવરોધોના પરિમાણ સાથે સરખાવી શકાય તેવી હોવાથી, ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{d}$ નોંધપાત્ર બને છે, જેના પરિણામે સ્પષ્ટ વિવર્તન જોવા મળે છે.
આથી જ, આપણે ખૂણાની પાછળથી આવતો અવાજ સાંભળી શકીએ છીએ, પરંતુ પ્રકાશ જોઈ શકતા નથી.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તનના પ્રયોગમાં ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$
$|\sin \theta| < 1$ હોવાથી,$n < \frac{d}{\lambda}$ મળે.
અહીં $d = 0.6 \times 10^{-4} \ m = 6 \times 10^{-5} \ m$ અને $\lambda = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$ આપેલ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{d}{\lambda} = \frac{6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-7}} = 100$.
આમ,$n < 100$. એક બાજુ માટે $n$ ના શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $1, 2, \dots, 99$ છે.
તેથી,એક બાજુ પર મળતા ન્યૂનતમની સંખ્યા $99$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ મળતા કુલ ન્યૂનતમની સંખ્યા $99 + 99 = 198$ થાય.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $(\lambda) = 5400 \ \mathring{A} = 5.4 \times 10^{-7} \ m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $(a) = 0.80 \ mm = 8 \times 10^{-4} \ m$.
પડદાનું અંતર $(D) = 1.4 \ m$.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત પટ્ટાની બંને બાજુએ પ્રથમ બે અંધારી પટ્ટીઓ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ જેટલું હોય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $w = \frac{2 \times 5.4 \times 10^{-7} \times 1.4}{8 \times 10^{-4}}$.
$w = \frac{15.12 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-4}} = 1.89 \times 10^{-3} \ m$.
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા,આપણને $w = 1.89 \ mm$ મળે છે.

(D) વર્તુળાકાર છિદ્ર માટે મધ્યસ્થ વિવર્તન મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta \approx \frac{1.22 \lambda}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પિનહોલનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
જેમ પિનહોલનો વ્યાસ $D$ વધે છે,તેમ કોણીય પહોળાઈ $\theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે વિવર્તન ભાતનું કદ ઘટે છે.
જેમ પિનહોલનું ક્ષેત્રફળ વધે છે (ક્ષેત્રફળ $\propto D^2$),તેમ પિનહોલમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો કુલ જથ્થો વધે છે,અને આ પ્રકાશ હવે નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત થતો હોવાથી,વિવર્તન ભાતની તીવ્રતા વધે છે.
તેથી,કદ ઘટે છે અને તીવ્રતા વધે છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે,$n$-માં અધિક્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે.
પ્રથમ અધિક્તમ માટે,$n = 1$,તેથી $a \sin \theta = \frac{3 \lambda}{2}$.
જ્યારે $\theta$ ખૂબ નાનો હોય,ત્યારે $\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{L}$,જ્યાં $y$ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમથી અંતર છે અને $L$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે.
આમ,$y = \frac{3 \lambda L}{2 a}$.
બે તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 650\, nm$ અને $\lambda_2 = 655\, nm$ માટે પ્રથમ અધિક્તમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_2 - y_1 = \frac{3 L}{2 a} (\lambda_2 - \lambda_1)$ છે.
આપેલ છે કે $L = 2.0\, m$,$a = 0.5\, mm = 0.5 \times 10^{-3}\, m$,$\lambda_1 = 650 \times 10^{-9}\, m$,અને $\lambda_2 = 655 \times 10^{-9\, m}$.
$\Delta y = \frac{3 \times 2.0}{2 \times 0.5 \times 10^{-3}} \times (655 - 650) \times 10^{-9}$.
$\Delta y = \frac{6}{10^{-3}} \times 5 \times 10^{-9} = 6 \times 5 \times 10^{-6} = 30 \times 10^{-6} = 3 \times 10^{-5}\, m$.
$x \times 10^{-5}\, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C)
આપેલ ભાતોમાં,કોમ્પેક્ટ ડિસ્ક પર જોવા મળતા રંગો પ્રકાશના વિવર્તનને કારણે હોય છે.
બાકીની ભાતોના કારણો નીચે મુજબ છે:
$(a)$ મેઘધનુષ પ્રકાશના વક્રીભવન,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અને વિભાજનને કારણે રચાય છે.
$(b)$ જ્યારે સફેદ પ્રકાશ પ્રિઝમમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બનતી રંગીન ભાત પ્રકાશના વિભાજનને કારણે હોય છે.
$(d)$ આકાશનો વાદળી રંગ પ્રકાશના પ્રકીર્ણનને કારણે હોય છે.

(A) પહોળાઈની સ્લિટ માટે કેન્દ્રીય વિવર્તન મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સ્લિટ લંબચોરસ છે જેની પહોળાઈ $w$ અને ઊંચાઈ $h$ છે,જ્યાં $w = 2h$ છે.
વિવર્તન ભાત એ આડી અને ઊભી દિશામાં વિવર્તન અસરોનું સુપરપોઝિશન છે.
આડી દિશામાં કોણીય પહોળાઈ $\theta_w = \frac{2\lambda}{w}$ છે અને ઊભી દિશામાં $\theta_h = \frac{2\lambda}{h}$ છે.
$w = 2h$ હોવાથી,આપણને $\theta_w = \frac{2\lambda}{2h} = \frac{\lambda}{h}$ મળે છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\theta_h = \frac{2\lambda}{h}$ અને $\theta_w = \frac{\lambda}{h}$,તે સ્પષ્ટ છે કે $\theta_h > \theta_w$ છે.
તેથી,કેન્દ્રીય વિવર્તન મહત્તમ આડી દિશા કરતા ઊભી દિશામાં વધુ પહોળું છે.

(D) વિવર્તનની ઘટના એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો સહિત તમામ તરંગોની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે.
વિવર્તન જોવા મળે તે માટે,છિદ્ર અથવા અવરોધનું કદ આપાત તરંગની તરંગલંબાઇ સાથે સરખાવી શકાય તેવું હોવું જોઈએ.
ઇન્ફ્રારેડ તરંગો,માઇક્રોવેવ્સ અને $X$-કિરણો એ તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રકારો હોવાથી,જ્યારે તેઓ યોગ્ય અવરોધો અથવા છિદ્રો સાથે સંપર્કમાં આવે છે ત્યારે તે બધા વિવર્તન દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) .
વ્યતિકરણ એ બે અલગ,સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતોમાંથી ઉદ્ભવતા તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે ઉદ્ભવતી ઘટના છે.
વિવર્તન એ એક જ તરંગાગ્રહના વિવિધ ભાગોમાંથી ઉદ્ભવતા ગૌણ તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે ઉદ્ભવતી ઘટના છે,જ્યારે તે કોઈ છિદ્રમાંથી પસાર થાય છે અથવા અવરોધની આસપાસ વળે છે.

(D) એક-સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર: $W = \frac{2D\lambda}{a}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$D = 2 \,m$
$\lambda = 580 \,nm = 580 \times 10^{-9} \,m$
$a = 0.30 \,mm = 0.30 \times 10^{-3} \,m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{2 \times 2 \times 580 \times 10^{-9}}{0.30 \times 10^{-3}}$
$W = \frac{2320 \times 10^{-9}}{0.30 \times 10^{-3}}$
$W = \frac{2320}{0.30} \times 10^{-6} \,m$
$W \approx 7733.33 \times 10^{-6} \,m = 7.73 \times 10^{-3} \,m$.
આમ,મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $7.73 \times 10^{-3} \,m$ છે.

(A) ઓપ્ટિકલ ડિસ્કની સંગ્રહ ક્ષમતા પિટ્સ અને લેન્ડ્સના કદ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે ડેટા વાંચવા/લખવા માટે વપરાતા લેસર બીમની વિવર્તન મર્યાદા દ્વારા મર્યાદિત હોય છે.
વિવર્તન મર્યાદા મુજબ,લઘુત્તમ સ્પોટ સાઈઝ $d$ એ લેસરની તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના પ્રમાણમાં હોય છે $(d \propto \lambda)$.
$DVD$ એ આશરે $6350 \,\mathring{A}$ ની તરંગલંબાઇ ધરાવતા લાલ લેસરનો ઉપયોગ કરે છે,જ્યારે $CD$ એ $7800 \,\mathring{A}$ ની તરંગલંબાઇ ધરાવતા ઇન્ફ્રારેડ લેસરનો ઉપયોગ કરે છે.
$DVD$ લેસરની તરંગલંબાઇ ટૂંકી હોવાથી,તે નાના સ્પોટ સાઈઝ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરી શકે છે,જે ડિસ્કની સપાટી પર પિટ્સ અને લેન્ડ્સની ઘણી વધારે ઘનતાને મંજૂરી આપે છે.
પરિણામે,$DVD$ સમાન ભૌતિક કદની $CD$ કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધુ માહિતી (લગભગ $30$ ગણી) સંગ્રહિત કરી શકે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચી સમજૂતી છે.

(A) વિવર્તન એ અવરોધ અથવા છિદ્રના ખૂણાઓ પર તરંગોના વળવાની ઘટના છે। નોંધપાત્ર વિવર્તન માટેની શરત એ છે કે તરંગની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ અવરોધ અથવા છિદ્રના કદ $(a)$ ની સરખામણીમાં હોવી જોઈએ।
ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઇ $0.1 \, m$ થી $10 \, m$ ની રેન્જમાં હોય છે, જે દરવાજાના છિદ્રના કદ સાથે તુલનાત્મક છે। તેથી, ધ્વનિ તરંગો દરવાજાની કિનારીઓ પર સરળતાથી વિવર્તન પામે છે।
પ્રકાશ તરંગોની તરંગલંબાઇ ખૂબ જ નાની ($400 \, nm$ થી $700 \, nm$ ની રેન્જમાં) હોય છે। દરવાજાનું છિદ્ર પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણું મોટું હોવાથી, પ્રકાશ નોંધપાત્ર વિવર્તન અનુભવતો નથી અને સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે, જેના કારણે આપણે ખૂણાની આસપાસ જોઈ શકતા નથી।

(B) "ફ્લોટર્સ" ની ઘટના આંખના કાચવત દ્રવ્ય (vitreous humor) માં તરતા કચરા (જેમ કે કોલેજન તંતુઓ અથવા કોષો) દ્વારા રેટિના પર પડતા નાના પડછાયાઓને કારણે થાય છે. જ્યારે પ્રકાશ આ નાના કણોની આસપાસથી પસાર થાય છે, ત્યારે તેનું વિવર્તન થાય છે. આ રચનાઓ દ્વારા બનતી વિવર્તનની ભાતને મગજ તરતા ટપકાં અથવા વાળ જેવા આકારો તરીકે અનુભવે છે. તેથી, આ એક વિવર્તન ભાત છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
વિવર્તન એ અવરોધ અથવા છિદ્રના ખૂણાઓ પરથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે.
નોંધપાત્ર વિવર્તન થવા માટે,અવરોધનું કદ અથવા છિદ્રની પહોળાઈ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ની સરખામણીમાં હોવી જોઈએ.
જો અવરોધ તરંગલંબાઈ કરતા ઘણો મોટો હોય,તો પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે અને વિવર્તન નહિવત હોય છે.
તેથી,અવરોધનું કદ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈના ક્રમનું હોવું જોઈએ.

(C) વિવર્તનની ઘટના નોંધપાત્ર રીતે જોવા મળે તે માટે અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ તરંગની તરંગલંબાઈ જેટલું હોવું જરૂરી છે.
ધ્વનિના તરંગોની તરંગલંબાઈ $meters$ થી $centimeters$ ના ક્રમની હોય છે,જે આપણી આસપાસની સામાન્ય વસ્તુઓના કદ સાથે સરખાવી શકાય તેવી છે.
પ્રકાશના તરંગોની તરંગલંબાઈ ખૂબ જ નાની ($10^{-7} \ m$ ના ક્રમની) હોય છે,જે સામાન્ય વસ્તુઓ કરતા ઘણી નાની છે.
તેથી,ધ્વનિના તરંગો પ્રકાશના તરંગો કરતા અવરોધોની આસપાસ વધુ સરળતાથી વળી શકે છે,જેના કારણે ધ્વનિ માટે વિવર્તન વધુ સ્પષ્ટ રીતે જોવા મળે છે.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $w = \frac{2D\lambda}{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદાનું અંતર છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $b$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
દ્વિ-સ્લિટ વ્યતિકરણ ભાતમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે વ્યતિકરણ ભાતના $20$ અધિક્તમ એ વિવર્તન ભાતના મધ્યસ્થ અધિક્તમમાં સમાયેલા છે. $20$ વ્યતિકરણ શલાકાઓ દ્વારા રોકાયેલી કુલ પહોળાઈ $20 \times \beta = 20 \frac{D\lambda}{d}$ છે.
બંને પહોળાઈને સરખાવતા: $20 \frac{D\lambda}{d} = \frac{2D\lambda}{b}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{20}{d} = \frac{2}{b}$.
$b$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $b = \frac{2d}{20} = \frac{d}{10}$.
$d = 2 \, mm$ આપેલ હોવાથી,$b = \frac{2 \, mm}{10} = 0.2 \, mm$ મળે છે.

$(A)$ એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મુખ્ય અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2\lambda D}{a}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે, $D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે।
આપેલ છે: $w = 2.5 \times 10^{-3}\,m$, $D = 2\,m$, અને $a = 1 \times 10^{-3}\,m$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $2.5 \times 10^{-3} = \frac{2 \times \lambda \times 2}{1 \times 10^{-3}}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{2.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3}}{4} = 0.625 \times 10^{-6}\,m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 6.25 \times 10^{-7}\,m = 6250 \times 10^{-10}\,m = 6250\,\mathring{A}$.

(C) સ્ફટિક દ્વારા વિવર્તન માટે બ્રેગનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$n\lambda = 2d \sin\theta$
જ્યાં $n$ એ વિવર્તનનો ક્રમ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$d$ એ આંતર-પરમાણ્વીય અંતર છે અને $\theta$ એ ગ્લેન્સિંગ એંગલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,તેથી સમીકરણ $n\lambda \leq 2d$ બને છે.
પ્રથમ ક્રમના વિવર્તન $(n=1)$ માટે,શરત $\lambda \leq 2d$ થાય છે.
તેથી,વિવર્તન થવા માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $2d$ કરતા નાની અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.

(B) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$a \sin \theta = n \lambda$
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે, $n = 1$, તેથી સમીકરણ આ મુજબ થશે:
$a \sin \theta = \lambda$
આપેલ છે:
$\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$
$\theta = 30^{\circ}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$a \sin 30^{\circ} = 600 \times 10^{-9} \, m$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$a \times 0.5 = 600 \times 10^{-9} \, m$
$a = 1200 \times 10^{-9} \, m$
$a = 1.2 \times 10^{-6} \, m$
$a = 1.2 \, \mu m$

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે પ્રથમ ન્યૂનતમની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$,તેથી $a \sin \theta = \lambda$.
આપેલ છે:
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.001 \text{ mm} = 1 \times 10^{-6} \text{ m}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000 \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-6}} = 0.5$.
$\sin \theta = 0.5$ હોવાથી,વિવર્તન કોણ $\theta = 30^{\circ}$ થશે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n^{\text{મા}}$ ન્યૂનતમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$b \sin \theta = n \lambda$
અહીં $\lambda$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$ લઈ શકાય.
તેથી,$n^{\text{મા}}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{b}$ થાય.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ નું સ્થાન $y_1 = \frac{\lambda D}{b}$ છે.
ત્રીજા ન્યૂનતમ $(n=3)$ નું સ્થાન $y_3 = \frac{3 \lambda D}{b}$ છે.
પ્રથમ અને ત્રીજા ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_3 - y_1 = \frac{2 \lambda D}{b}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta y = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$,$\lambda = 6000 \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$,અને $D = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$3 \times 10^{-3} = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10} \times 0.5}{b}$
$b = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10} \times 0.5}{3 \times 10^{-3}}$
$b = \frac{6000 \times 10^{-10}}{3 \times 10^{-3}} = 2000 \times 10^{-7} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
આમ,સ્લિટની પહોળાઈ $2 \times 10^{-4} \text{ m}$ છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-માં ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર (લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ) છે,અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 400 \ nm = 400 \times 10^{-9} \ m$
$a = 0.2 \ mm = 0.2 \times 10^{-3} \ m$
$D = 100 \ cm = 1 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{પહોળાઈ} = \frac{400 \times 10^{-9} \ m \times 1 \ m}{0.2 \times 10^{-3} \ m}$
$= \frac{400}{0.2} \times 10^{-6} \ m$
$= 2000 \times 10^{-6} \ m$
$= 2 \times 10^{-3} \ m = 2 \ mm$.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{2 \lambda f}{a}$
જ્યાં:
$\lambda = 6000 \text{ Å} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$a = 0.01 \text{ mm} = 1 \times 10^{-5} \text{ m}$
$f = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7} \text{ m}) \times (0.2 \text{ m})}{1 \times 10^{-5} \text{ m}}$
$W = \frac{2.4 \times 10^{-7}}{10^{-5}} \text{ m}$
$W = 2.4 \times 10^{-2} \text{ m} = 24 \text{ mm}$

(C) પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$ લેતા.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 2.0 \ cm$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $a = 4.0 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{2.0}{4.0} = 0.5$.
આથી,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ આવેલા પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનો ખૂણો છે,જે $2\theta$ થાય છે.
તેથી,કોણીય પહોળાઈ $= 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન પ્રયોગ માટે, $n$ માં ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$.
તેથી, મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n$ માં ન્યૂનતમનું અંતર $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ થાય.
આપેલ છે: $\lambda = 550 \,nm = 550 \times 10^{-9} \,m$, $a = 0.20 \,mm = 0.20 \times 10^{-3} \,m$, $D = 100 \,cm = 1.0 \,m$, અને $n = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$y_1 = \frac{1 \times 550 \times 10^{-9} \times 1.0}{0.20 \times 10^{-3}} \,m$
$y_1 = \frac{550}{0.20} \times 10^{-6} \,m$
$y_1 = 2750 \times 10^{-6} \,m = 275 \times 10^{-5} \,m$.
આને $x \times 10^{-5} \,m$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 275$ મળે છે।

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n$ માં ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત $b \sin \theta = n \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \theta$, તેથી $\theta = \frac{n \lambda}{b}$.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$, સ્લિટની પહોળાઈ $b = 0.4 \,mm = 4 \times 10^{-4} \,m$, અને ક્રમ $n = 2$.
દ્વિતીય ક્રમના ન્યૂનતમનું કોણીય સ્થાન $\theta = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9}}{4 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{-3} \,rad$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ દ્વિતીય ક્રમના ન્યૂનતમ વચ્ચેનું કુલ કોણીય વિચલન $2\theta$ છે.
કુલ વિચલન $= 2 \times (3 \times 10^{-3} \,rad) = 6 \times 10^{-3} \,rad$.

(B) આપેલ છે: સ્લિટનું અંતર $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, પડદાનું અંતર $D = 1 \,m$, તરંગલંબાઇ $\lambda = 500 \,nm = 5 \times 10^{-7} \,m$.
સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન પેટર્નના મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ દરેક સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ડબલ સ્લિટ વ્યતિકરણ પેટર્નની ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ડબલ સ્લિટ પેટર્નના $10$ અધિક્તમ એ સિંગલ સ્લિટ પેટર્નના મધ્યસ્થ અધિક્તમની અંદર સમાય છે. તેથી, $10 \times \beta = \frac{2 \lambda D}{a}$.
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ મૂકતા:
$10 \times \frac{\lambda D}{d} = \frac{2 \lambda D}{a}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{10}{d} = \frac{2}{a}$
$a = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$
$d = 1 \,mm = 10 \times 10^{-4} \,m$ હોવાથી:
$a = \frac{10 \times 10^{-4} \,m}{5} = 2 \times 10^{-4} \,m$.
આમ, જવાબ $2$ છે.

(C) સિંગલ સ્લિટ ડિફ્રેક્શન પેટર્ન માટે,$n$-માં મિનિમમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે.
બીજા મિનિમમ $(n=2)$ માટે,$\sin \theta_1 = \frac{2 \lambda}{a}$.
ત્રીજા મિનિમમ $(n=3)$ માટે,$\sin \theta_2 = \frac{3 \lambda}{a}$.
કુલ કોણીય અંતર $\theta_1 + \theta_2 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$ છે.
નાના ખૂણાના અંદાજનો ઉપયોગ કરીને,$\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં),આપણી પાસે છે:
$\theta_1 \approx \frac{2 \lambda}{a}$ અને $\theta_2 \approx \frac{3 \lambda}{a}$.
આનો સરવાળો કરતા,આપણને $\theta_1 + \theta_2 \approx \frac{2 \lambda}{a} + \frac{3 \lambda}{a} = \frac{5 \lambda}{a}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\theta_1 + \theta_2 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$,તેથી $\frac{5 \lambda}{a} = \frac{\pi}{6}$.
$\lambda = 628 \ nm = 0.628 \ \mu m$ મૂકતા:
$a = \frac{5 \times 0.628 \times 6}{\pi} \approx \frac{18.84}{3.14} \approx 6 \ \mu m$.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગ માટે, $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda_1$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે。
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે, સ્થાન $a \sin \theta = 1 \times \lambda_1 = 660 \ nm$ છે。
$m$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (2m + 1) \frac{\lambda_2}{2}$ છે, જ્યાં $m = 1, 2, 3, ...$ છે。
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(m=1)$ માટે, સ્થાન $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda_2}{2} = \frac{3}{2} \lambda_2$ છે。
સ્થાન સંપાત થતા હોવાથી, આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$660 \ nm = \frac{3}{2} \lambda_2$.
$\lambda_2$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda_2 = 660 \times \frac{2}{3} = 440 \ nm$.
એંગસ્ટ્રોમ $(\mathring{A})$ માં રૂપાંતર કરતા:
$440 \ nm = 440 \times 10 \mathring{A} = 4400 \mathring{A}$.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$,તેથી શરત $d \sin \theta = \lambda$ બને છે.
આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 600 \ \mu m = 600 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-4} \ m$.
આપેલ સ્લિટની પહોળાઈ $d = 1.2 \ mm = 1.2 \times 10^{-3} \ m = 12 \times 10^{-4} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{6 \times 10^{-4}}{12 \times 10^{-4}} = \frac{1}{2}$.
$\sin \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$ થાય.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર: $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.15 \ cm = 1.5 \times 10^{-3} \ m$.
પડદાથી અંતર $D = 2.1 \ m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 5 \times 10^{-5} \ cm = 5 \times 10^{-7} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \ m) \times (2.1 \ m)}{1.5 \times 10^{-3} \ m}$.
$W = \frac{21 \times 10^{-7}}{1.5 \times 10^{-3}} \ m$.
$W = 14 \times 10^{-4} \ m = 1.4 \times 10^{-3} \ m = 1.4 \ mm$.

(D) સ્લિટની પહોળાઈ $b = \frac{m \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m = 3$,$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-6} \ mm$,$D = 1 \ m = 1000 \ mm$,$d = 5 \ mm$.
લઘુત્તમ માપન: $\Delta D = 1 \ cm = 10 \ mm$,$\Delta d = 1 \ mm$.
$b$ ની ગણતરી: $b = \frac{3 \times 600 \times 10^{-6} \times 1000}{5} = 0.36 \ mm = 360 \ \mu m$.
મહત્તમ ત્રુટિની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા: $b_{max} = \frac{m \lambda (D + \Delta D)}{(d - \Delta d)} = \frac{3 \times 600 \times 10^{-6} \times 1010}{4} = 0.4545 \ mm = 454.5 \ \mu m$.
$b_{min} = \frac{m \lambda (D - \Delta D)}{(d + \Delta d)} = \frac{3 \times 600 \times 10^{-6} \times 990}{6} = 0.297 \ mm = 297 \ \mu m$.
ત્રુટિઓ: $\Delta b_1 = |454.5 - 360| = 94.5 \ \mu m$ અને $\Delta b_2 = |297 - 360| = 63 \ \mu m$.
વિકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta b}{b} = \frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta d}{d} = \frac{10}{1000} + \frac{1}{5} = 0.01 + 0.2 = 0.21$.
$\Delta b = 0.21 \times 360 = 75.6 \ \mu m$.
આમ,શક્ય ત્રુટિઓ $75.6 \ \mu m$ અથવા $94.5 \ \mu m$ છે.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ સૌથી વધુ તેજસ્વી અને પહોળું હોય છે. જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ ગૌણ અધિકતમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે. મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $2\lambda D/a$ છે,જ્યારે ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\lambda D/a$ છે. તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ અને તીવ્રતા અસમાન હોય છે. વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ અને તીવ્રતા સમાન હોય છે,જે ખોટું છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે,$n$-માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત છે: $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\theta$ એ વિવર્તન કોણ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
જ્યારે $\theta$ ખૂબ નાનો હોય,ત્યારે $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,જ્યાં $y$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે અને $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે.
બીજા મહત્તમ માટે,$n = 2$. તેથી,$a \frac{y}{D} = (2 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{5}{2} \lambda$.
આપેલ છે: $a = 0.65 \ mm = 0.65 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1.3 \ m$,અને $y = 2.6 \ mm = 2.6 \times 10^{-3} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.65 \times 10^{-3}) \times \frac{2.6 \times 10^{-3}}{1.3} = \frac{5}{2} \lambda$.
$(0.65 \times 10^{-3}) \times (2 \times 10^{-3}) = 2.5 \lambda$.
$1.3 \times 10^{-6} = 2.5 \lambda$.
$\lambda = \frac{1.3 \times 10^{-6}}{2.5} = 0.52 \times 10^{-6} \ m = 5200 \ \times 10^{-10} \ m = 5200 \ Å$.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે,ગૌણ મહત્તમની શરત $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ગૌણ મહત્તમનો ક્રમ છે.
$\lambda_1 = 6384 Å$ તરંગલંબાઈ માટે બીજા ગૌણ મહત્તમ $(n = 2)$ ની શરત $a \sin \theta = (2 + \frac{1}{2}) \lambda_1 = \frac{5}{2} \lambda_1$ છે.
$\lambda_0$ તરંગલંબાઈ માટે ત્રીજા ગૌણ મહત્તમ $(n = 3)$ ની શરત $a \sin \theta = (3 + \frac{1}{2}) \lambda_0 = \frac{7}{2} \lambda_0$ છે.
જ્યારે સ્થાનો સંપાત થાય છે,ત્યારે આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ છીએ: $\frac{5}{2} \lambda_1 = \frac{7}{2} \lambda_0$.
આનું સાદું રૂપ $5 \lambda_1 = 7 \lambda_0$ થાય છે.
$\lambda_1 = 6384 Å$ મૂકતા,આપણને $\lambda_0 = \frac{5 \times 6384}{7} = \frac{31920}{7} = 4560 Å$ મળે છે.

(C) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈનું સૂત્ર: $y = \frac{2D\lambda}{a}$ છે,જ્યાં '$D$' એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે,'$\lambda$' એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને '$a$' એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$y = \frac{2D\lambda}{a}$.
બીજા કિસ્સામાં,સ્લિટની પહોળાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી નવી પહોળાઈ $a' = \frac{a}{2}$ થાય.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = 1.5\lambda = \frac{3}{2}\lambda$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની નવી પહોળાઈ '$y'$' માટેનું સૂત્ર: $y' = \frac{2D\lambda'}{a'} = \frac{2D(1.5\lambda)}{a/2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $y' = \frac{2D(3/2\lambda)}{a/2} = \frac{3D\lambda}{a/2} = \frac{6D\lambda}{a}$.
કારણ કે $y = \frac{2D\lambda}{a}$,તેથી આપણે $y'$ ના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકી શકીએ:
$y' = 3 \times (\frac{2D\lambda}{a}) = 3y$.
તેથી,મધ્યસ્થ અધિક્તમની નવી પહોળાઈ $3y$ થશે.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં $n^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત છે: $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda'$,જ્યાં $n$ એ ગૌણ મહત્તમનો ક્રમ છે.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈના $4^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટે: $a \sin \theta_1 = (4 + \frac{1}{2}) \lambda_1 = \frac{9}{2} \lambda_1$.
$\lambda$ તરંગલંબાઈના $3^{\text{rd}}$ ગૌણ મહત્તમ માટે: $a \sin \theta_2 = (3 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{7}{2} \lambda$.
જ્યારે મહત્તમ સંપાત થાય,ત્યારે $\theta_1 = \theta_2$,તેથી $a \sin \theta_1 = a \sin \theta_2$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{9}{2} \lambda_1 = \frac{7}{2} \lambda$.
$\lambda_1$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_1 = \frac{7}{9} \lambda$.

(B) વિવર્તન પટ્ટાની પહોળાઈ (અથવા ક્રમિક ન્યૂનતમ/મહત્તમ વચ્ચેનું અંતર) સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે પટ્ટાની પહોળાઈ $\beta$ એ વપરાયેલા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોય છે,એટલે કે $\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{red}}$.
જેમ $\lambda$ ઘટે છે,તેમ પટ્ટાની પહોળાઈ $\beta$ પણ ઘટે છે.
તેથી,વિવર્તન પટ્ટાઓ સાંકડા અને એકબીજાની નજીક આવે છે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટેનું સ્થાન $x_n = \frac{(2n+1) \lambda D}{2a}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 6195 Å$ તરંગલંબાઈ માટે બીજા ગૌણ મહત્તમ $(n=2)$ નું સ્થાન $x_2 = \frac{(2 \times 2 + 1) \lambda D}{2a} = \frac{5 \lambda D}{2a}$ થશે.
$\lambda_0$ તરંગલંબાઈ માટે ત્રીજા ગૌણ મહત્તમ $(n=3)$ નું સ્થાન $x_3 = \frac{(2 \times 3 + 1) \lambda_0 D}{2a} = \frac{7 \lambda_0 D}{2a}$ થશે.
અહીં બંને સ્થાનો સંપાત થાય છે,તેથી $x_2 = x_3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{5 \lambda D}{2a} = \frac{7 \lambda_0 D}{2a}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $5 \lambda = 7 \lambda_0$ મળે છે.
તેથી,$\lambda_0 = \frac{5 \lambda}{7} = \frac{5 \times 6195 Å}{7} = 5 \times 885 Å = 4425 Å$.

(A) સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $x_n = \frac{n D \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદાનું અંતર છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે:
$D = 50 \ cm = 0.5 \ m$
$\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$
$1^{st}$ અને $3^{rd}$ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર: $\Delta x = x_3 - x_1 = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x_3 - x_1 = (3 - 1) \frac{D \lambda}{d} = \frac{2 D \lambda}{d}$
$d$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા:
$d = \frac{2 D \lambda}{\Delta x}$
$d = \frac{2 \times 0.5 \times 600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}}$
$d = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} = 200 \times 10^{-6} \ m = 0.2 \ mm$.

(C) વિવર્તન ભાતની કેન્દ્રીય મહત્તમની પહોળાઈ $W = \frac{2 \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$W = Y = \frac{2 \times 400 \times D}{d}$.
જ્યારે સ્લિટનો અડધો ભાગ ઢાંકી દેવામાં આવે,ત્યારે નવી સ્લિટની પહોળાઈ $d' = \frac{d}{2}$ થાય છે.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = 600 \ nm$ છે.
નવી પહોળાઈ $W'$ આ મુજબ મળે: $W' = \frac{2 \lambda' D}{d'} = \frac{2 \times 600 \times D}{d/2} = \frac{4 \times 600 \times D}{d}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{W'}{Y} = \frac{4 \times 600 \times D / d}{2 \times 400 \times D / d} = \frac{2400}{800} = 3$.
તેથી,$W' = 3 Y$.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $\sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2a}$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n = 1)$ માટે,$\sin \theta = \frac{3\lambda}{2a}$ થાય.
ખૂણો $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$,જ્યાં $x$ એ મધ્યસ્થ મહત્તમથી અંતર છે અને $D$ એ પડદાનું અંતર છે.
તેથી,$x = \frac{3\lambda D}{2a}$.
બે તરંગલંબાઈઓ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = \frac{3D}{2a} (\lambda_2 - \lambda_1)$ છે.
આપેલ છે: $\lambda_1 = 590 \times 10^{-9} \ m$,$\lambda_2 = 596 \times 10^{-9} \ m$,$D = 2 \ m$,$a = 2.4 \times 10^{-3} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{3 \times 2 \times (596 - 590) \times 10^{-9}}{2 \times 2.4 \times 10^{-3}}$
$\Delta x = \frac{6 \times 6 \times 10^{-9}}{4.8 \times 10^{-3}} = \frac{36 \times 10^{-9}}{4.8 \times 10^{-3}} = 7.5 \times 10^{-6} \ m$.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta_n = n \lambda$ છે.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta_n = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે આપેલ છે: $a \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \lambda \Rightarrow a \cdot \frac{1}{2} = \lambda \Rightarrow a = 2\lambda$.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n=1)$ માટે: $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
સમીકરણમાં $a = 2\lambda$ મૂકતા: $(2\lambda) \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
$\sin \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) એક સ્લિટની પહોળાઈ $d$ માટે મુખ્ય મહત્તમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\theta = \frac{\lambda}{d} \implies d = \frac{\lambda}{\theta}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $q\theta = \frac{p\lambda}{d'} \implies d' = \frac{p\lambda}{q\theta}$.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta_n = \frac{(2n+1)\lambda}{2d}$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n=1)$ માટે,$\theta_{s1} = \frac{3\lambda}{2d}$ અને $\theta_{s2} = \frac{3(p\lambda)}{2d'}$.
ગુણોત્તર $\frac{\theta_{s1}}{\theta_{s2}} = \frac{3\lambda / 2d}{3p\lambda / 2d'} = \frac{d'}{pd}$ થશે.
$d'$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા,$\frac{\theta_{s1}}{\theta_{s2}} = \frac{p\lambda / q\theta}{p(\lambda / \theta)} = \frac{1}{q}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:q$ છે.