Huygens’ Principle and Wave-fronts Questions in Gujarati

(B) વક્રીભવનના કિસ્સામાં, જો $CD$ એ વક્રીભૂત તરંગ અગ્ર હોય અને $v_a$ તથા $v_g$ એ અનુક્રમે હવા અને કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ હોય, તો $B$ માંથી નીકળતું તરંગ અગ્ર $C$ સુધી પહોંચે તેટલા સમયમાં, $A$ માંથી નીકળતું તરંગ અગ્ર $D$ સુધી પહોંચે છે.
આમ, લાગતો સમય $t = \frac{BC}{v_a} = \frac{AD}{v_g}$, જે સૂચવે છે કે $\frac{BC}{AD} = \frac{v_a}{v_g}$. .....$(i)$
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી, $\Delta ACB$ માં, $BC = AC \sin \theta$. .....$(ii)$
$\Delta ACD$ માં, $AD = AC \sin \phi '$. .....$(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા, આપણને $\frac{v_a}{v_g} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi '}$ મળે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{v_a}{v_g}$ હોવાથી, $\mu_g = \frac{\sin \theta}{\sin \phi '}$ થાય.

(B) હ્યુજન્સનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે પ્રાથમિક તરંગાગ્ર પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ ગોળાકાર તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપે બધી દિશાઓમાં ફેલાય છે. પછીના સમયે નવું તરંગાગ્ર એ આ ગૌણ તરંગોનું આગળનું આવરણ (envelope) છે. તેથી,તે કોઈપણ પછીના સમયે તરંગાગ્રનો આકાર અને સ્થાન શોધવા માટેની એક ભૌમિતિક પદ્ધતિ છે. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) હાઈગન્સનો તરંગવાદ પ્રકાશને માધ્યમમાં પ્રસરતા તરંગ તરીકે ગણે છે.
તે વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી તરંગ ઘટનાઓને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
જો કે,તે પ્રકાશની કણ પ્રકૃતિ,જેમ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર,સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે,જેના માટે પ્રકાશના ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત (ફોટોન) ની જરૂર પડે છે.

(B) તરંગના પ્રસરણ માટે ગૌણ તરંગિકાઓનો ખ્યાલ ક્રિસ્ટિયન હાઈગેન્સે તેમના પ્રકાશના તરંગવાદમાં આપ્યો હતો. હાઈગેન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રાથમિક તરંગ અગ્ર પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ ગોળાકાર તરંગિકાઓના ઉદ્ગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપે બધી દિશાઓમાં ફેલાય છે. પછીના સમયે નવું તરંગ અગ્ર એ આ ગૌણ તરંગિકાઓનું આગળનું આવરણ (envelope) છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વેવફ્રન્ટ (તરંગાગ્ર) એ માધ્યમના એવા તમામ બિંદુઓ (કણો) નો બિંદુપથ છે જે આપેલ સમયે સમાન કળામાં કંપન કરે છે. તેથી,વેવફ્રન્ટ પરના તમામ કણો સમાન કળામાં હોય છે. આથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,તરંગાગ્ર એ સમાન કળા ધરાવતા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ છે.
કોઈપણ તરંગના પ્રસરણમાં,તરંગની ગતિની દિશા (કિરણની દિશા) દરેક બિંદુએ તરંગાગ્રને હંમેશા લંબ હોય છે.
તેથી,સાચો સંબંધ એ છે કે તરંગાગ્ર એ તરંગની ગતિની દિશાને લંબ હોય છે.

(D) હ્યુગેન્સનો સિદ્ધાંત એ એક ભૌમિતિક પદ્ધતિ છે જેનો ઉપયોગ કોઈપણ સમયે $t'$ પર તરંગાગ્રહનો આકાર નક્કી કરવા માટે થાય છે જો સમય $t$ પર તેનો આકાર જાણીતો હોય.
આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,પરાવર્તન,વક્રીભવન અને વિવર્તનની ઘટનાના નિયમોને સફળતાપૂર્વક સમજાવી શકાય છે.
જોકે,હ્યુગેન્સનો તરંગવાદ વર્ણપટ (spectra) ના ઉદ્ગમ માટે કોઈ સમજૂતી આપતો નથી,જે પ્રકાશની ક્વોન્ટમ પ્રકૃતિ અને પરમાણુ ઉર્જા સ્તરો સાથે સંબંધિત છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) તરંગ અગ્ર એટલે સમાન કળામાં દોલન કરતા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ. પ્રકાશના બિંદુવત ઉદગમ માટે,પ્રકાશના તરંગો સમાંગ માધ્યમમાં સમાન ઝડપે તમામ દિશાઓમાં ગતિ કરે છે. તેથી,ઉદગમથી સમાન કળામાં રહેલા તમામ બિંદુઓનું અંતર સમાન હોય છે,જે એક ગોળો બનાવે છે. આમ,બિંદુવત ઉદગમમાંથી ઉદ્ભવતું તરંગ અગ્ર ગોલીય હોય છે.

(C) ન્યૂટનનો પ્રકાશનો કણવાદ મુખ્યત્વે એ અવલોકન પર આધારિત હતો કે પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે,જેને પ્રકાશનું સુરેખ પ્રસરણ કહેવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના મતે,પ્રકાશ એ 'કોર્પસલ્સ' (corpuscles) નામના અત્યંત સૂક્ષ્મ અને દળરહિત કણોનો બનેલો છે જે ખૂબ જ ઊંચી ઝડપે ગતિ કરે છે.
આ કણો શૂન્યાવકાશ અથવા સમાન માધ્યમમાં સીધી રેખામાં ગતિ કરતા હોવાથી,આ સિદ્ધાંત પ્રકાશના સુરેખ પ્રસરણને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) હ્યુજન્સનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે તરંગાગ્રહ પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ ગોળાકાર તરંગોના ઉદ્ગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે પ્રકાશની ઝડપે આગળની દિશામાં ફેલાય છે.
સમય $t$ પછી આ તમામ ગૌણ તરંગોને સ્પર્શતી સપાટી દોરીને,આપણે તરંગાગ્રહનું નવું સ્થાન નક્કી કરી શકીએ છીએ.
તેથી,આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે તરંગાગ્રહનું નવું સ્થાન શોધવા માટે થાય છે.

(D) હ્યુગેન્સનો સિદ્ધાંત એક ભૌમિતિક રચના છે જે આપણને કોઈપણ પછીના સમયે તરંગ અગ્રનું સ્થાન નક્કી કરવા દે છે. આ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રાથમિક તરંગ અગ્ર પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,અને નવું તરંગ અગ્ર એ આ ગૌણ તરંગોનું આગળનું આવરણ (envelope) છે. તેથી,તે મુખ્યત્વે તરંગ અગ્રના પ્રસરણને સમજાવે છે.

(C) પ્રકાશનો તરંગવાદ $1678$ માં ક્રિસ્ટિયન હાઈગેન્સ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો.
આ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશ તરંગોના સ્વરૂપમાં ગતિ કરે છે અને તરંગ અગ્ર (wavefront) પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(B) હ્યુજેન્સના સિદ્ધાંતમાં, તરંગવાદ એ ધારણા પર સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો કે પ્રકાશના તરંગો લંબગત નહીં પણ સંગત (longitudinal) હતા. તેથી, વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે.
મેક્સવેલના પ્રકાશના વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંતે સૈદ્ધાંતિક પુરાવા આપ્યા કે પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે, જે સ્વભાવે લંબગત છે. તેથી, વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
થોમસ યંગે પ્રકાશના વ્યતિકરણ (interference) ને દર્શાવવા માટે ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગ કર્યો, જેણે પ્રકાશના તરંગ સ્વભાવની પુષ્ટિ કરી. જોકે, તેમણે હ્યુજેન્સની તરંગના પ્રકાર (સંગત કે લંબગત) અંગેની ધારણાને ખાસ સાબિત કરી ન હતી. તેથી, વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે.
આ વિધાનો પ્રકાશના તરંગ સ્વભાવના ચોક્કસ પાસાઓને પ્રકાશિત કરે છે પરંતુ પ્રકાશની સંપૂર્ણ વ્યાખ્યા આપતા નથી, જેમ કે તેની દ્વૈત પ્રકૃતિ (કણ-તરંગ દ્વૈતતા). તેથી, તેઓ સામૂહિક રીતે "પ્રકાશ શું છે" તે પ્રશ્નનો સંપૂર્ણ જવાબ આપતા નથી. તેથી, વિકલ્પ $(D)$ પણ ખોટો છે.

(A) પ્રકાશનું સમાંતર નળાકારીય કિરણ પુંજ એવા કિરણો ધરાવે છે જે એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,તરંગ અગ્ર એ સમાન કળા ધરાવતા બિંદુઓનો પથ છે.
સમાંતર કિરણ પુંજ માટે,તરંગ અગ્ર એ પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલ હોય છે.
તેથી,તરંગ અગ્રનો પ્રારંભિક આકાર સમતલ છે.

(D) હાઈગેન્સનો તરંગવાદ તરંગ અગ્રના પ્રસરણને ધ્યાનમાં લઈને પરાવર્તન,વક્રીભવન અને વિવર્તનના નિયમોને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
જોકે,હાઈગેન્સનો મૂળ તરંગવાદ વર્ણપટના ઉદ્ભવ અથવા વર્ણપટના ઉત્સર્જનને સમજાવી શકતો ન હતો,કારણ કે તે પ્રકાશની ક્વોન્ટમ પ્રકૃતિ અથવા પરમાણુ ઉર્જા સ્તરો સાથે પ્રકાશની આંતરક્રિયાને ધ્યાનમાં લેતો ન હતો.

(B) હ્યુજન્સના તરંગવાદે 'ઈથર' નામના કાલ્પનિક માધ્યમનું અસ્તિત્વ ધારીને પ્રકાશનું પરાવર્તન,વક્રીભવન અને સુરેખ પ્રસરણ સફળતાપૂર્વક સમજાવ્યું હતું.
જોકે,આ સિદ્ધાંતને નોંધપાત્ર ટીકાનો સામનો કરવો પડ્યો કારણ કે 'ઈથર' માધ્યમનું અસ્તિત્વ પ્રાયોગિક રીતે સાબિત કરી શકાયું ન હતું (ખાસ કરીને માઈકલસન-મોર્લેના પ્રયોગ દ્વારા).
ભલે હ્યુજન્સનો સિદ્ધાંત ઘણી ઘટનાઓ સમજાવી શકતો હતો,પરંતુ તેના સિદ્ધાંતના પાયાના પરિસર અંગે પાઠ્યપુસ્તકોમાં દર્શાવેલ મુખ્ય ઐતિહાસિક ખામી 'ઈથર' માધ્યમની આવશ્યકતા હતી,જે પાછળથી અસ્તિત્વમાં ન હોવાનું સાબિત થયું હતું.
તેથી,ઈથર માધ્યમની પ્રાયોગિક ચકાસણીમાં નિષ્ફળતા એ એક મુખ્ય ખામી ગણાય છે.

(D) હ્યુગેન્સનો સિદ્ધાંત એ એક ભૌમિતિક પદ્ધતિ છે જેનો ઉપયોગ અગાઉના તરંગાગ્રહના જ્ઞાનના આધારે પછીના સમયે નવા તરંગાગ્રહનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે થાય છે.
તે આ ખ્યાલ પર આધારિત છે કે તરંગાગ્રહ પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ સિદ્ધાંત એક સામાન્ય તરંગ સિદ્ધાંત છે અને તે તમામ પ્રકારના તરંગોને લાગુ પડે છે,જેમાં પ્રકાશના તરંગો (વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો),ધ્વનિના તરંગો (યાંત્રિક તરંગો) અને પાણીના તરંગોનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,તે ઉપર જણાવેલ તમામ તરંગોને લાગુ પડે છે.

(D) હાઈગેનનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે તરંગાગ્રહ પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,અને નવું તરંગાગ્રહ એ પછીના સમયે આ ગૌણ તરંગોનું આવરણ (envelope) છે.
આ સિદ્ધાંત તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્રનું એક પાયાનું સાધન છે જે પ્રકાશના પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમોને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
વધુમાં,તે વિવર્તનની ઘટનાને સમજવા માટે સૈદ્ધાંતિક આધાર પૂરો પાડે છે,જેમાં પ્રકાશ ખૂણાઓ અથવા અવરોધોની આસપાસ વળે છે.
તે પ્રસરણ,પરાવર્તન અને વિવર્તન ત્રણેયને સમજાવતું હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) હ્યુજન્સનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે તરંગ અગ્ર પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ગૌણ તરંગો માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ સાથે તમામ દિશાઓમાં ફેલાય છે.
કોઈપણ પછીના સમયે નવું તરંગ અગ્ર એ આ ગૌણ તરંગોનું આગળનું આવરણ (envelope) છે.
તેથી,હ્યુજન્સના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે પછીના સમયે તરંગ અગ્રનું ભૌમિતિક પ્રસરણ અને સ્થાન નક્કી કરવા માટે થાય છે.

(C) વક્રીભવનાંક $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2 I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અક્ષ પર તીવ્રતા $I$ મહત્તમ હોવાથી અને અક્ષથી દૂર જતાં તે ઘટે છે (જેમ આકૃતિમાં $x$ દ્વારા દર્શાવેલ છે),તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ પણ અક્ષ પર મહત્તમ હોય છે અને અક્ષથી દૂર જતાં ઘટે છે.
પ્રકાશની ઝડપ $v = c/\mu$ હોવાથી,અક્ષ પર ઝડપ ન્યૂનતમ હોય છે અને અક્ષથી દૂર જતાં વધે છે.
પરિણામે,તરંગનો અક્ષની નજીકનો ભાગ અક્ષથી દૂરના ભાગો કરતા ધીમી ગતિ કરે છે.
આના કારણે તરંગ વળે છે અને અક્ષ તરફ કેન્દ્રિત થાય છે,જેના પરિણામે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બહિર્ગોળ આકાર મળે છે.

(D) હાઈગેનનો સિદ્ધાંત એ ભૌમિતિક રચના છે જેનો ઉપયોગ વર્તમાન તરંગાગ્રહના આધારે પછીના સમયે નવા તરંગાગ્રહનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે થાય છે.
તે પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમોને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
તે તરંગાગ્રહ પરના દરેક બિંદુને ગૌણ તરંગોના સ્ત્રોત તરીકે ગણીને વિવર્તનની ઘટનાને પણ સમજાવે છે.
જોકે,હાઈગેનનો સિદ્ધાંત (તેના મૂળ સ્વરૂપમાં) વર્ણપટની ભાત (જેમ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર અથવા પરમાણુ વર્ણપટની અસતત પ્રકૃતિ) ના મૂળને સમજાવતો નથી,કારણ કે આ ક્વોન્ટમ યાંત્રિક ઘટનાઓ છે જેને ફોટોન અને ઉર્જા ક્વોન્ટાઈઝેશનના ખ્યાલની જરૂર હોય છે,જે શાસ્ત્રીય તરંગ સિદ્ધાંતની મર્યાદાની બહાર છે.

(C) હ્યુજન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગ અગ્રને હવામાં $b$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય એ પાણીમાં $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતા સમય જેટલો હોય છે.
ધારો કે હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $v_a$ છે અને પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ $v_w$ છે.
તેથી,સમય $t = \frac{b}{v_a} = \frac{d}{v_w}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{v_a}{v_w} = \frac{b}{d}$ મળે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,હવાની સાપેક્ષે પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{v_a}{v_w}$ છે.
તેથી,$\mu = \frac{b}{d}$.

(A) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ જેમ ત્રિજ્યા વધે છે તેમ કિરણપુંજની તીવ્રતા $I$ ઘટે છે,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ પણ અક્ષથી પરિઘ તરફ જતાં ઘટે છે.
કિરણપુંજ શરૂઆતમાં સમાંતર અને નળાકાર હોવાથી,પ્રકાશના કિરણો એકબીજાને સમાંતર હોય છે. વ્યાખ્યા મુજબ,સમાંતર પ્રકાશના કિરણપુંજનું તરંગાગ્ર એ પ્રસરણની દિશાને લંબ સમતલ હોય છે.
તેથી,તરંગાગ્રનો પ્રારંભિક આકાર સમતલ છે.

(C) પ્રશ્ન મુજબ,હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu$ જમીનથી ઊંચાઈ સાથે વધે છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/\mu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે,તેથી જેમ જમીનથી ઊંચાઈ વધે છે તેમ પ્રકાશની ઝડપ $v$ ઘટે છે.
સમક્ષિતિજ રીતે ગતિ કરતા સમતલ તરંગ અગ્ર (wavefront) નો વિચાર કરો. તરંગ અગ્રનો જે ભાગ વધુ ઊંચાઈ પર છે તે જમીનની નજીકના ભાગ કરતા ધીમો ગતિ કરે છે.
હ્યુજન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગ અગ્ર પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કારણ કે તરંગ અગ્રનો નીચેનો ભાગ ઝડપથી ગતિ કરે છે,તેથી તરંગ અગ્ર નમે છે,જેના કારણે પ્રસરણની દિશા (જે તરંગ અગ્રને લંબ હોય છે) ઉપરની તરફ વળે છે.
તેથી,પ્રકાશનું કિરણ ઉપરની તરફ વળે છે.

(C) જ્યારે સમતલ તરંગ અગ્ર પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે લેન્સ પ્રકાશના કિરણોને કેન્દ્ર તરફ અભિસરિત (converge) કરે છે.
આકૃતિ $(i)$ માં,લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી તરંગ અગ્ર ગોળાકાર બને છે અને કેન્દ્ર તરફ અભિસરિત થાય છે,જે બહિર્ગોળ લેન્સ માટે સાચી વર્તણૂક છે.
આકૃતિ $(iv)$ માં,લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી તરંગ અગ્ર પણ ગોળાકાર બને છે અને કેન્દ્ર તરફ અભિસરિત થાય છે,જે સમાન સાચી ભૌતિક ઘટના દર્શાવે છે.
આકૃતિઓ $(ii)$ અને $(iii)$ વક્રીભવન પછી ખોટી તરંગ અગ્રની વક્રતા દર્શાવે છે.
તેથી,$(i)$ અને $(iv)$ સાચી રજૂઆતો છે.

(A) જ્યારે ગોલીય તરંગ અગ્ર સમતલ અરીસા પર આપાત થાય છે,ત્યારે હ્યુગેન્સના સિદ્ધાંત મુજબ તરંગ અગ્ર પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે વર્તે છે.
પરાવર્તિત તરંગ અગ્ર અરીસાની પાછળ આવેલા આભાસી ઉદગમમાંથી ઉદ્ભવતા હોય તેવું દેખાશે,જે મૂળ બિંદુવત ઉદગમનું અરીસામાં મળતું પ્રતિબિંબ છે.
આપાત તરંગ અગ્ર ગોલીય છે અને અરીસા તરફ કેન્દ્રિત થાય છે,તેથી પરાવર્તિત તરંગ અગ્ર પણ ગોલીય હશે,જે ઉદગમના આભાસી પ્રતિબિંબમાંથી અપસારી (diverge) થતા હોય તેવું લાગશે.
પરાવર્તનના ભૂમિતિના આધારે,પરાવર્તિત તરંગ અગ્ર તેમનો ગોલીય આકાર અને વક્રતા જાળવી રાખશે,જે અરીસા દ્વારા રચાતા આભાસી પ્રતિબિંબ સાથે સુસંગત છે. આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આકૃતિ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) જ્યારે સમતલ તરંગ અગ્ર $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે પ્રકાશની ઝડપ $c$ થી ઘટીને $\frac{c}{\mu}$ થાય છે.
માધ્યમમાં ઝડપ ઓછી હોવાથી,માધ્યમમાંથી પસાર થતો તરંગ અગ્રનો ભાગ શૂન્યાવકાશમાં ગતિ કરતા ભાગની તુલનામાં સમાન સમયગાળામાં ઓછું અંતર કાપે છે.
આના કારણે તરંગ અગ્ર જે વિસ્તારમાં માધ્યમ હાજર છે ત્યાં પાછળ રહી જાય છે.
પરિણામે,તરંગ અગ્ર અસતત બને છે,જેમાં માધ્યમની અંદરનો ભાગ શૂન્યાવકાશમાં રહેલા ભાગ કરતા પાછળ રહી જાય છે,જે વિકલ્પ $(B)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુ $P$ આગળ તૂટક રેખાનો આકાર બનાવે છે.

(C) તરંગાગ્ર એ સમાન કળા ધરાવતા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ છે.
કારણ કે $cd$ એ માધ્યમ-$1$ માં એક તરંગાગ્ર છે,તેથી રેખા $cd$ પરના તમામ બિંદુઓ સમાન કળા ધરાવે છે. તેથી,$\phi_c = \phi_d$.
તે જ રીતે,$ef$ એ માધ્યમ-$2$ માં એક તરંગાગ્ર છે,તેથી રેખા $ef$ પરના તમામ બિંદુઓ સમાન કળા ધરાવે છે. તેથી,$\phi_e = \phi_f$.
હવે,પદ $(\phi_d - \phi_f) = (\phi_c - \phi_e)$ ને ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\phi_c = \phi_d$ અને $\phi_e = \phi_f$ છે,આપણે આ કિંમતો પદમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$(\phi_d - \phi_f) = (\phi_c - \phi_e)$
$\phi_d - \phi_f = \phi_c - \phi_e$
આ તરંગાગ્રના ગુણધર્મો પર આધારિત એક સુસંગત ઓળખ છે.

(B) તરંગાગ્ર એટલે સમાન કળામાં દોલન કરતા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
પ્રકાશના કિરણો એ તરંગાગ્રને લંબ રેખાઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે તરંગના પ્રસરણની દિશા દર્શાવે છે. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.
હાઈગેન્સે પ્રકાશના તરંગોના પ્રસરણને સમજાવવા માટે 'ઈથર' માધ્યમનું અસ્તિત્વ સૂચવ્યું હતું,પરંતુ માઈકલસન-મોર્લેના પ્રયોગે સાબિત કર્યું કે આવું કોઈ માધ્યમ અસ્તિત્વમાં નથી. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
તરંગાગ્ર ઉદગમ અને માધ્યમના આધારે નળાકાર,ગોલીય અથવા સમતલ જેવા વિવિધ આકારો લઈ શકે છે. તરંગાગ્ર માત્ર ગોલીય કે સમતલ આકાર પૂરતા મર્યાદિત નથી (દા.ત.,રેખીય ઉદગમ નળાકાર તરંગાગ્ર ઉત્પન્ન કરે છે),તેથી વિધાન $B$ ખોટું છે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અવલોકનકારથી ખૂબ જ દૂર હોય,ત્યારે તરંગઅગ્રની વક્રતા ત્રિજ્યા અત્યંત મોટી થઈ જાય છે.
જેમ અંતર $r \to \infty$ થાય,તેમ વક્રતા $1/r \to 0$ થાય છે.
પરિણામે,ગોલીય અથવા નળાકાર તરંગઅગ્રનો એક નાનો ભાગ સપાટ અથવા સમતલ દેખાય છે.
તેથી,દૂરના સ્ત્રોતની તરંગઅગ્ર આશરે સમતલ તરંગઅગ્ર હોય છે.

(A) તરંગ અગ્ર એ માધ્યમના એવા તમામ બિંદુઓનો પથ છે જે કંપનની સમાન કળામાં હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ આપેલ ક્ષણે,તરંગ અગ્ર પરના તમામ બિંદુઓ તેમના દોલન ચક્રના સમાન તબક્કે પહોંચ્યા હોય છે.

(D) બિંદુવત પ્રકાશના ઉદગમ માટે, પ્રકાશના તરંગો બધી દિશાઓમાં ફેલાય છે, જે ગોળાકાર તરંગ અગ્ર બનાવે છે.
જેમ ઉદગમથી અંતર $r$ વધે છે, તેમ ગોળાકાર તરંગ અગ્રનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2$ મુજબ વધે છે.
ઉદગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P$ અચળ હોવાથી, તીવ્રતા $I$ એ $I = P / A = P / (4\pi r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, તીવ્રતા $I$ એ અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $I \propto 1/r^2$.
આનો અર્થ એ છે કે ઉદગમથી અંતર વધતા તીવ્રતા ઘટે છે.

(A) પ્રકાશ તેની તરંગ પ્રકૃતિને કારણે સીધી રેખામાં પ્રસરણ પામે છે. હ્યુજન્સ-ફ્રેનલના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગાગ્રહ પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. સમાંગ માધ્યમમાં,આ તરંગો પ્રસરણની દિશામાં રચનાત્મક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે પ્રકાશનું સુરેખ પ્રસરણ થાય છે.

(N/A) બિંદુવત ઉદગમમાંથી અપસરણ પામતા પ્રકાશ માટે તરંગ અગ્રનો આકાર ગોળાકાર હોય છે.
$(b)$ જ્યારે બિંદુવત ઉદગમને બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે ત્યારે તેમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશ માટે તરંગ અગ્રનો આકાર સમતલ હોય છે.
$(c)$ પૃથ્વી દ્વારા આંતરવામાં આવતા દૂરના તારાના પ્રકાશના તરંગ અગ્રનો ભાગ સમતલ હોય છે,કારણ કે ઉદગમ અનંત અંતરે હોવાથી તરંગ અગ્ર સમતલ બને છે.

(N/A) ના,આ અનુમાનની પુષ્ટિ થતી નથી. ન્યૂટનના કોર્પસ્ક્યુલર સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે પ્રકાશના કણો પાતળા માધ્યમ (હવા) માંથી ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તેઓ સપાટીને લંબ આકર્ષણ બળ અનુભવે છે. આ બળ વેગના લંબ ઘટકને વધારે છે,જ્યારે સપાટીને સમાંતર ઘટક અચળ રહે છે. આનાથી $v = \mu c$ સંબંધ મળે છે,જ્યાં $v$ એ માધ્યમમાં ઝડપ છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં ઝડપ છે. વક્રીભવનાંક $\mu > 1$ હોવાથી,સિદ્ધાંત $v > c$ હોવાનું અનુમાન કરે છે.
આ અનુમાન પ્રાયોગિક પરિણામોથી વિપરીત છે,જે દર્શાવે છે કે ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ શૂન્યાવકાશ કરતા ઓછી હોય છે $(v < c)$. હ્યુજેન્સ દ્વારા પ્રસ્તાવિત પ્રકાશનો તરંગ સિદ્ધાંત સાચી રીતે અનુમાન કરે છે કે $v = c / \mu$,જે પ્રાયોગિક અવલોકનો સાથે સુસંગત છે.

(N/A) ધારો કે $O$ પર એક પદાર્થ સમતલ અરીસાની સામે $r$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
બિંદુવત પદાર્થ $O$ માંથી ગોળીય તરંગાગ્રહ ઉત્સર્જિત થાય છે. તરંગાગ્રહ $XY$ નો ભાગ સમતલ અરીસા પર બિંદુ $O'$ પાસે પહોંચે છે.
હ્યુગેન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગાગ્રહ પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે તરંગાગ્રહ $XY$ અરીસા સાથે અથડાય છે,ત્યારે અરીસો આ તરંગોનું પરાવર્તન કરે છે.
જો અરીસો ગેરહાજર હોત,તો તરંગાગ્રહ આગળ વધવાનું ચાલુ રાખત અને અરીસાની પાછળ $r$ અંતરે સમાન તરંગાગ્રહ $X'Y'$ બનાવત.
અરીસો પ્રકાશનું પરાવર્તન કરતું હોવાથી,ગૌણ તરંગો અરીસાની પાછળના બિંદુ $I$ માંથી ઉદ્ભવતા હોય તેમ લાગે છે,જે $O$ નું આભાસી પ્રતિબિંબ છે. સંમિતિ દ્વારા,આ આભાસી પ્રતિબિંબ $I$ નું અરીસાથી અંતર એ પદાર્થ $O$ ના અરીસાથી અંતર $r$ જેટલું જ હોય છે.

(N/A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટમાં $4000 \ \mathring{A}$ થી $8000 \ \mathring{A}$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા ભાગને દ્રશ્ય પ્રકાશ કહેવામાં આવે છે. પ્રકાશ પોતે અદ્રશ્ય છે,પરંતુ તેની મદદથી વસ્તુઓ જોઈ શકાય છે.
પ્રકાશ વિશેના વિવિધ મંતવ્યો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ પ્રકાશનો કણવાદ (ન્યૂટનનો પ્રકાશનો કણવાદ):
- પ્રકાશનો કણવાદ $1637$ માં ડેકાર્ટ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. તેણે સ્નેલનો નિયમ તારવ્યો અને બે માધ્યમોને અલગ કરતી સપાટી પર પ્રકાશના પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમો સમજાવ્યા.
- આ મોડેલ મુજબ,જો પ્રકાશનું કિરણ વક્રીભવન દરમિયાન લંબ તરફ વળે,તો બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ વધારે હોવી જોઈએ. આ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશની ઝડપ પાતળા માધ્યમમાં ઓછી અને ઘટ્ટ માધ્યમમાં વધારે હોય છે.
- આ સિદ્ધાંત ન્યૂટનના કણવાદ તરીકે ઓળખાય છે,જેમાં પ્રકાશને નાના કણો (કોર્પસકલ્સ) નો બનેલો માનવામાં આવે છે.
$(2)$ હાઈગેન્સનો તરંગવાદ:
- $1678$ માં ક્રિશ્ચિયન હાઈગેન્સે પ્રકાશનો તરંગવાદ રજૂ કર્યો.
- આ સિદ્ધાંત પરાવર્તન અને વક્રીભવનની ઘટનાઓને સમજાવે છે. તેણે આગાહી કરી હતી કે જો વક્રીભવન દરમિયાન તરંગ લંબ તરફ વળે,તો બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ ઓછી હશે. આ આગાહી પ્રકાશના કણવાદની આગાહીથી વિરુદ્ધ હતી.
- $1850$ માં,ફોકોલ્ટે પ્રયોગ દ્વારા સાબિત કર્યું કે પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ હવા કરતા ઓછી હોય છે,જેણે તરંગવાદને સમર્થન આપ્યું.

(N/A) ન્યૂટનના પ્રભાવને કારણે અને એવી માન્યતાને લીધે કે પ્રકાશ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકે છે,જ્યારે તરંગોને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે,તેથી શરૂઆતમાં તરંગવાદ સ્વીકારવામાં આવ્યો ન હતો.
$1801$ માં,થોમસ યંગે વ્યતિકરણનો પ્રયોગ કર્યો,જેણે મજબૂતીથી સ્થાપિત કર્યું કે પ્રકાશ એક તરંગ ઘટના છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સામાન્ય અરીસાઓ અને લેન્સના પરિમાણો કરતા ઘણી નાની હોવાથી,એવું માની શકાય છે કે પ્રકાશ આશરે સીધી રેખાઓમાં મુસાફરી કરે છે.
ઓપ્ટિક્સની જે શાખામાં તરંગલંબાઇની મર્યાદિતતાને સંપૂર્ણપણે અવગણવામાં આવે છે તેને ભૌમિતિક ઓપ્ટિક્સ કહેવામાં આવે છે.
કિરણને એવી મર્યાદામાં ઉર્જા પ્રસરણના માર્ગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં તરંગલંબાઇ શૂન્ય તરફ જાય છે.
પ્રકાશના તરંગોના વ્યતિકરણ અને વિવર્તનને લગતા ઘણા પ્રયોગો કરવામાં આવ્યા હતા અને સંતોષકારક રીતે સમજાવવામાં આવ્યા હતા. આમ,$19$ મી સદીના મધ્ય સુધીમાં,પ્રકાશનો તરંગવાદ સારી રીતે સ્થાપિત થઈ ગયો હતો.

(N/A) પ્રકાશના પ્રસરણને સમજાવતા મુખ્ય સિદ્ધાંતો નીચે મુજબ છે:
$1$. $Corpuscular$ $Theory$ (કણવાદ): $Isaac$ $Newton$ દ્વારા પ્રસ્તાવિત,તે સૂચવે છે કે પ્રકાશ $corpuscles$ નામના નાના કણોનો બનેલો છે.
$2$. $Wave$ $Theory$ (તરંગવાદ): $Christiaan$ $Huygens$ દ્વારા પ્રસ્તાવિત,તે સૂચવે છે કે પ્રકાશ $luminiferous$ $ether$ નામના કાલ્પનિક માધ્યમમાં તરંગોના સ્વરૂપમાં ગતિ કરે છે.
$3$. $Electromagnetic$ $Wave$ $Theory$ (વિદ્યુતચુંબકીય તરંગવાદ): $James$ $Clerk$ $Maxwell$ દ્વારા પ્રસ્તાવિત,તે જણાવે છે કે પ્રકાશ અવકાશમાં ગતિ કરતા દોલિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો બનેલો છે.
$4$. $Quantum$ $Theory$ ($Photon$ $Theory$) (ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત): $Max$ $Planck$ અને $Albert$ $Einstein$ દ્વારા પ્રસ્તાવિત,તે સમજાવે છે કે પ્રકાશ $photons$ નામના ઉર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો છે.

(B) ન્યૂટનના કણવાદ (Corpuscular theory) મુજબ,પ્રકાશ હવા જેવા પાતળા માધ્યમ કરતા પાણી જેવા ઘટ્ટ માધ્યમમાં વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
જોકે,ફુકો અને ફિઝો દ્વારા કરવામાં આવેલા પ્રાયોગિક માપન દર્શાવે છે કે પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ હવા કરતા ઓછી હોય છે.
આ પ્રાયોગિક પરિણામ કણવાદનો વિરોધાભાસ કરે છે અને પ્રકાશના તરંગવાદ (Wave theory) ની તરફેણમાં મજબૂત પુરાવા પૂરા પાડે છે,જે સાચી રીતે આગાહી કરે છે કે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રવેશે છે ત્યારે તેની ઝડપ ઘટે છે.

(N/A) પ્રકાશના તરંગવાદને સ્થાપિત કરવામાં મુખ્ય મુશ્કેલી એ હતી કે પ્રકાશના તરંગો યાંત્રિક સ્વરૂપના છે તેવી ધારણા કરવામાં આવી હતી.
તે સમયના શાસ્ત્રીય ભૌતિકવિજ્ઞાન મુજબ,યાંત્રિક તરંગોને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોય છે.
પ્રકાશ અવકાશના શૂન્યાવકાશમાંથી પસાર થાય છે (દા.ત.,સૂર્યથી પૃથ્વી સુધી),તેથી માધ્યમ વગર પ્રકાશ કેવી રીતે પ્રસરણ કરી શકે તે સમજાવવું મુશ્કેલ હતું.
આના કારણે 'લ્યુમિનીફેરસ ઈથર' (luminiferous ether) નામના કાલ્પનિક માધ્યમની ધારણા કરવામાં આવી હતી,જે એક સર્વવ્યાપી,દળરહિત અને પારદર્શક માધ્યમ માનવામાં આવતું હતું,જે પાછળથી માઈકલસન-મોર્લીના પ્રયોગ દ્વારા ખોટું સાબિત થયું હતું.

(N/A) જ્યારે આપણે શાંત પાણીના તળાવમાં નાનો પથ્થર ફેંકીએ છીએ,ત્યારે આઘાતના બિંદુથી તરંગો બહાર ફેલાય છે. સપાટી પરનું દરેક બિંદુ સમય સાથે દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે; તેથી,કોઈપણ ક્ષણે,સપાટી પર વર્તુળાકાર વલયો દેખાય છે જ્યાં વિક્ષેપ મહત્તમ હોય છે.
આવા વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ સમાન કળામાં (in phase) દોલન કરે છે કારણ કે તેઓ ઉદગમથી સમાન અંતરે હોય છે. બિંદુઓનો આવો પથ,જે સમાન કળામાં દોલન કરે છે,તેને તરંગાગ્ર કહેવામાં આવે છે. આમ,તરંગાગ્રને અચળ કળા ધરાવતી સપાટી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જે ઝડપે તરંગાગ્ર ઉદગમથી બહારની તરફ ગતિ કરે છે તેને તરંગની ઝડપ કહેવામાં આવે છે.
તરંગની ઉર્જા તરંગાગ્રને લંબ દિશામાં મુસાફરી કરે છે.
તરંગાગ્રને લંબ રેખા,જે તરંગના પ્રસરણની દિશા સૂચવે છે,તેને કિરણ (ray) કહેવામાં આવે છે. તેથી,તરંગાગ્ર અને કિરણ પરસ્પર લંબ હોય છે.
તરંગાગ્રના પ્રકારો:
$1$. ગોલીય તરંગાગ્ર (Spherical Wavefront): જો બિંદુવત ઉદગમ બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે તરંગોનું ઉત્સર્જન કરે,તો સમાન કંપવિસ્તાર ધરાવતા અને સમાન કળામાં દોલન કરતા બિંદુઓનો પથ ગોળાકાર (ત્રિ-પરિમાણમાં) હોય છે. આને ગોલીય તરંગાગ્ર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે. આવા તરંગો અપસારી (diverging) હોય છે.
$2$. સમતલ તરંગાગ્ર (Plane Wavefront): ઉદગમથી ઘણા મોટા અંતરે,ગોળાનો એક નાનો ભાગ સમતલ તરીકે ગણી શકાય છે. તેને સમતલ તરંગાગ્ર કહેવામાં આવે છે,જે આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
$3$. નળાકાર તરંગાગ્ર (Cylindrical Wavefront): રેખીય ઉદગમમાંથી ઉદ્ભવતા અને ત્રિ-પરિમાણીય સમાંગ અને સમદિગ્ધર્મી માધ્યમમાં પ્રસરતા તરંગાગ્ર નળાકાર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે: ટ્યુબલાઈટમાંથી નીકળતા તરંગો,જે આકૃતિ $(c)$ માં દર્શાવેલ છે.

સિદ્ધાંત: તરંગ અગ્રનો દરેક બિંદુ અથવા કણ સ્વતંત્ર ગૌણ ઉદગમ તરીકે વર્તે છે અને તેમાંથી ગૌણ ગોલીય તરંગો ઉત્સર્જિત થાય છે. ખૂબ જ નાના સમયના અંતરાલ પછી,આ તમામ ગૌણ ગોલીય તરંગોને સ્પર્શતી સપાટી નવા તરંગ અગ્રનું સ્થાન અને આકાર આપે છે.
મૂળભૂત રીતે,હાઈગેન્સનો સિદ્ધાંત એક ભૌમિતિક રચના છે.
ધારો કે $F_{1} F_{2}$ એ $t=0$ સમયે ગોલીય તરંગ અગ્રનો એક ભાગ દર્શાવે છે,જે બહારની તરફ પ્રસરતું તરંગ છે.
હાઈગેન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,આ તરંગ અગ્રના તમામ બિંદુઓ $(F_{1} F_{2})$ (જેમ કે $A, B, C, \ldots$) ગૌણ ઉદગમો તરીકે વર્તે છે. જો તરંગનો વેગ $v$ હોય,તો $\tau$ સમયમાં કપાયેલું અંતર $v \tau$ થાય.
$t=\tau$ સમયે તરંગ અગ્રનો આકાર નક્કી કરવા માટે,ગોલીય તરંગ અગ્ર પરના દરેક બિંદુથી $v \tau$ ત્રિજ્યાના ગોળાઓ દોરો અને આ તમામ ગોળાઓને સામાન્ય સ્પર્શક દોરો. $\tau$ સમય પછી આ ગોળાઓને સ્પર્શતી સપાટી નવા તરંગ અગ્રનું સ્થાન અને આકાર આપે છે,જે આગળની દિશામાં $G_{1} G_{2}$ છે. આ $O$ કેન્દ્ર ધરાવતું ગોલીય તરંગ અગ્ર છે. પાછળની તરફ $D_{1} D_{2}$ ગોલીય તરંગ અગ્ર મળે છે. $G_{1} G_{2}$ પરના બિંદુઓ $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ નવા ગૌણ ઉદગમ તરીકે વર્તે છે.

(N/A) સિદ્ધાંત: તરંગાગ્ર પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ ગોળાકાર તરંગોના સ્વતંત્ર ઉદગમ તરીકે વર્તે છે,જે તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપે બધી દિશાઓમાં ફેલાય છે. કોઈપણ પછીના સમયે નવું તરંગાગ્ર એ આ ગૌણ તરંગોનું આગળનું આવરણ (સ્પર્શક સપાટી) છે.
સમજૂતી:
$1$. હાઈગન્સનો સિદ્ધાંત એ તરંગાગ્રનો આકાર જાણવા માટેની એક ભૌમિતિક પદ્ધતિ છે.
$2$. ધારો કે $t=0$ સમયે બિંદુ ઉદગમ $O$ માંથી ઉદ્ભવતું ગોળાકાર તરંગાગ્ર $F_1 F_2$ છે.
$3$. સિદ્ધાંત મુજબ,$F_1 F_2$ પરના દરેક બિંદુઓ $(A, B, C, \dots)$ ગૌણ ઉદગમ તરીકે વર્તે છે. જો તરંગની ઝડપ $v$ હોય,તો $\tau$ સમયના અંતરાલમાં,દરેક ગૌણ તરંગ $v\tau$ જેટલું અંતર કાપે છે.
$4$. $t = \tau$ સમયે નવું તરંગાગ્ર શોધવા માટે,મૂળ તરંગાગ્ર પરના દરેક બિંદુને કેન્દ્ર ગણી $v\tau$ ત્રિજ્યાના ગોળાઓ દોરો. આ ગોળાઓને સ્પર્શતી આગળની સામાન્ય સપાટી $G_1 G_2$ એ નવું તરંગાગ્ર દર્શાવે છે.
$5$. પાછળની તરફની સ્પર્શક સપાટી $D_1 D_2$ પણ બને છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે તેને અવગણવામાં આવે છે કારણ કે તરંગ આગળની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. $G_1 G_2$ પરના બિંદુઓ $A', B', C'$ ત્યારબાદ આગળના પ્રસરણ માટે નવા ગૌણ ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(N/A) સમય $t=0$ પર જમણી તરફ ગતિ કરતા સમતલ તરંગ અગ્રની ભૌમિતિક આકૃતિ દર્શાવેલ છે અને $t=\tau$ સમય પછી નવું તરંગ અગ્ર $G_{1} G_{2}$ આગળની દિશામાં દર્શાવેલ છે.
અહીં જો તરંગનો વેગ $v$ હોય,તો $\tau$ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપેલું અંતર $v \tau$ થાય છે.
હ્યુગેન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગ અગ્ર $F_{1} F_{2}$ પરના $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, \ldots$ જેવા તમામ કણો સ્વતંત્ર ગૌણ ઉદ્ગમ તરીકે વર્તે છે અને $v \tau$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગૌણ ગોળાકાર તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે.
$\tau$ સમયના અંતરાલ પછી,આવા તમામ ગૌણ તરંગોને સ્પર્શતી સપાટી નવા તરંગ અગ્રનું સ્થાન અને આકાર આપે છે,જે $G_{1} G_{2}$ તરીકે દર્શાવેલ છે.
આમ,$\tau$ સમયે નવું તરંગ અગ્ર રચાય છે અને તરંગ માધ્યમમાં આગળ વધે છે.
રેખાઓ $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}, D_{1} D_{2}, \ldots$ એ બંને તરંગ અગ્ર $F_{1} F_{2}$ અને $G_{1} G_{2}$ ને લંબ છે,જેને પ્રકાશનું કિરણ કહેવામાં આવે છે.
તરંગ અગ્રને લંબ અને તરંગના પ્રસરણની દિશા દર્શાવતી રેખાને કિરણ કહેવામાં આવે છે.
હ્યુગેન્સના તરંગવાદનો સૌથી મહત્વનો મુદ્દો એ છે કે તે તમામ પ્રકારના ગોળાકાર અથવા સમતલ તરંગોને લાગુ પાડી શકાય છે.

(B) હ્યુગેન્સનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે પ્રાથમિક તરંગ અગ્ર (wavefront) પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગિકાઓ (secondary wavelets) ના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપે તમામ દિશાઓમાં ફેલાય છે. કોઈપણ પછીના સમયે નવું તરંગ અગ્ર એ આ ગૌણ તરંગિકાઓનું આગળનું આવરણ (forward envelope) છે.
હ્યુગેન્સનો સિદ્ધાંત જે મૂળભૂત સિદ્ધાંત પર આધારિત છે તે તરંગોના સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત (principle of superposition) છે. આ સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે બે કે તેથી વધુ તરંગો અવકાશમાં એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી સ્થાનાંતર એ વ્યક્તિગત તરંગોના સ્થાનાંતરના બેઝગણિત સરવાળા જેટલું હોય છે.

(N/A) હ્યુગેન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગાગ્રહનો દરેક બિંદુ સ્વતંત્ર ગૌણ ઉદગમ તરીકે વર્તે છે અને નાના ગૌણ તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે.
હ્યુગેન્સના સિદ્ધાંતમાં એવી ધારણા કરવામાં આવી હતી કે આ ગૌણ તરંગોનો કંપવિસ્તાર આગળની દિશામાં મહત્તમ અને પાછળની દિશામાં શૂન્ય હોય છે.
જોકે,હ્યુગેન્સ એ સમજાવી શક્યા ન હતા કે તરંગ પાછળની દિશામાં કેમ પ્રસરતું નથી; આ એક કામચલાઉ (ad-hoc) ધારણા હતી.
પાછળથી,વોઈગ્ટ અને કિર્ચોફ જેવા વૈજ્ઞાનિકોએ ગાણિતિક સમજૂતી આપી કે ગૌણ તરંગની તીવ્રતા $(1 + \cos \theta)^2$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $\theta$ એ તરંગાગ્રહ અને પ્રસરણની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આગળની દિશામાં,$\theta = 0^{\circ}$ હોવાથી,તીવ્રતાનો અવયવ $(1 + \cos 0^{\circ})^2 = (1 + 1)^2 = 4$ (મહત્તમ) થાય છે.
પાછળની દિશામાં,$\theta = 180^{\circ}$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) હોવાથી,તીવ્રતાનો અવયવ $(1 + \cos 180^{\circ})^2 = (1 - 1)^2 = 0$ થાય છે. આમ,પાછળની દિશામાં તરંગનું પ્રસરણ થતું નથી.

(A) હ્યુજન્સના તરંગવાદનો સૌથી પાયાનો અને મહત્વનો મુદ્દો ગૌણ તરંગોનો સિદ્ધાંત છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ,આપેલા તરંગાગ્ર પરનો દરેક બિંદુ નવા વિક્ષેપના તાજા ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે તમામ દિશાઓમાં ગૌણ તરંગો ફેલાવે છે.
કોઈપણ પછીના સમયે નવું તરંગાગ્ર એ આ ગૌણ તરંગોનું આગળનું આવરણ (envelope) છે.

(N/A) ધારો કે $PP'$ એ માધ્યમ-$1$ અને માધ્યમ-$2$ ને અલગ કરતી સપાટી છે. ધારો કે $v_1$ અને $v_2$ એ અનુક્રમે માધ્યમ-$1$ અને માધ્યમ-$2$ માં પ્રકાશની ઝડપ છે.
$AA'$ દિશામાં ગતિ કરતું એક સમતલ તરંગઅગ્ર $AB$ આંતરપૃષ્ઠ પર $i$ ખૂણે આપાત થાય છે. ધારો કે તરંગઅગ્રને $BC$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\tau$ છે. તેથી,$BC = v_1 \tau$.
વક્રીભૂત તરંગઅગ્રનો આકાર નક્કી કરવા માટે,બીજા માધ્યમમાં બિંદુ $A$ થી $v_2 \tau$ ત્રિજ્યાનો એક ગોળો દોરો. ધારો કે $CE$ એ બિંદુ $C$ થી આ ગોળા પર દોરેલો સ્પર્શક સમતલ છે. તો $AE = v_2 \tau$,અને $CE$ એ વક્રીભૂત તરંગઅગ્ર દર્શાવે છે.
$\triangle ABC$ માં,$\sin i = \frac{BC}{AC} = \frac{v_1 \tau}{AC}$.
$\triangle AEC$ માં,$\sin r = \frac{AE}{AC} = \frac{v_2 \tau}{AC}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1 \tau / AC}{v_2 \tau / AC} = \frac{v_1}{v_2} = n_{21}$.
આ સ્નેલનો વક્રીભવનનો નિયમ છે. આપાત કિરણ,વક્રીભૂત કિરણ અને લંબ ત્રણેય એક જ સમતલમાં હોવાથી,વક્રીભવનના નિયમો સાબિત થાય છે.