Fresnel distance, Diffraction through circular slit, concept of Airy Disc, Rayleigh Criterion of Resolution , Fraunhofer diffraction Questions in Gujarati

(B) ફ્રોનહોફર રેખાઓ એ સૌર વર્ણપટમાં જોવા મળતી ઘેરી શોષણ રેખાઓ છે.
જ્યારે સૂર્યના ફોટોસ્ફિયરમાંથી ઉત્સર્જિત સતત પ્રકાશ ક્રોમોસ્ફિયર તરીકે ઓળખાતા ઠંડા બાહ્ય સ્તરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇઓ ક્રોમોસ્ફિયરમાં હાજર પરમાણુઓ દ્વારા શોષાય છે.
પ્રકાશના આ પસંદગીયુક્ત શોષણને કારણે સૂર્યના સતત વર્ણપટમાં ઘેરી રેખાઓ દેખાય છે,જેને ફ્રોનહોફર રેખાઓ કહેવામાં આવે છે.

(C) ફ્રોનહોફર રેખાઓ એ સૌર વર્ણપટમાં જોવા મળતી ઘેરી શોષણ રેખાઓ છે.
જ્યારે સૂર્યના ગરમ પ્રકાશમંડળ દ્વારા ઉત્સર્જિત સતત વર્ણપટ સૂર્યના વર્ણમંડળમાં હાજર તત્વોની ઠંડી વાયુઓ અને બાષ્પમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે આ રેખાઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
જેમ પ્રકાશ આ ઠંડી બાષ્પમાંથી પસાર થાય છે,તેમ આ તત્વોના લાક્ષણિક શોષણ વર્ણપટને અનુરૂપ ચોક્કસ તરંગલંબાઇઓનું શોષણ થાય છે,જેના પરિણામે ઘેરી રેખાઓ રચાય છે જેને ફ્રોનહોફર રેખાઓ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ફ્રોનહોફર રેખાઓ સૌર વર્ણપટમાં જોવા મળે છે.
આ રેખાઓ ત્યારે રચાય છે જ્યારે સૂર્યના ઠંડા બાહ્ય સ્તરો (વર્ણમંડળ) માં રહેલા પરમાણુઓ ગરમ આંતરિક સ્તરો (પ્રકાશમંડળ) દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇનું શોષણ કરે છે.
આ પરમાણુઓ ચોક્કસ તરંગલંબાઇનું શોષણ કરતા હોવાથી,તેઓ સૂર્યના સતત વર્ણપટમાં ઘેરી રેખાઓ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,ફ્રોનહોફર સ્પેક્ટ્રમ એ રેખીય શોષણ વર્ણપટ છે.

(A) એક સ્લિટ વડે થતા ફ્રોનહોફર વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
અહીં,$d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $\theta$ એ વિવર્તન કોણ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ.
આપેલ કિંમતો $\lambda = 550 \,nm = 550 \times 10^{-9} \,m$ અને $d = 0.55 \,mm = 0.55 \times 10^{-3} \,m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\sin \theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{1 \times 550 \times 10^{-9}}{0.55 \times 10^{-3}}$.
$\sin \theta = \frac{550 \times 10^{-9}}{550 \times 10^{-6}} = 10^{-3}$.
કારણ કે $\theta$ ખૂબ નાનો છે,તેથી $\sin \theta \approx \theta$.
તેથી,$\theta = 0.001 \,rad$.

(B) વર્તુળાકાર ડિસ્ક દ્વારા થતા વિવર્તનના કિસ્સામાં (પોઈસનનું ટપકું),કેન્દ્ર પરની તીવ્રતા ડિસ્ક દ્વારા અવરોધાયેલા હાફ-પિરિયડ ઝોન $(HPZ)$ ની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.
અવરોધાયેલા $HPZ$ ની સંખ્યા $n = \frac{A}{\pi \lambda d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ ડિસ્ક અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે.
જેમ કે $A, \pi,$ અને $\lambda$ અચળ છે,તેથી $n \propto \frac{1}{d}$ થાય.
જ્યારે અંતર $d$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે અવરોધાયેલા $HPZ$ $(n)$ ની સંખ્યા વધે છે.
જેમ વધુ $HPZ$ અવરોધાય છે,તેમ કેન્દ્ર પર વિનાશક વ્યતિકરણ વધે છે,જેના પરિણામે કેન્દ્રિય તેજસ્વી ટપકાની તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે.

(D) પહોળાઈની એક સ્લિટ માટે,ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં $n^{th}$ ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત પથ તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે,આપણે $n = 1$ મૂકીએ છીએ:
$a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ફ્રોનહોફર રેખાઓ એ સોલર સ્પેક્ટ્રમમાં જોવા મળતી ઘેરી શોષણ રેખાઓ છે.
આ રેખાઓ ત્યારે રચાય છે જ્યારે સૂર્યના ક્રોમોસ્ફિયરમાં રહેલા ઠંડા વાયુઓ,તેની નીચે રહેલા ગરમ ફોટોસ્ફિયર દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઈનું શોષણ કરે છે.
તેથી,તે સૂર્યના ક્રોમોસ્ફિયરમાં હાજર તત્વો દ્વારા અમુક તરંગલંબાઈના શોષણને દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \, m$.
સ્લીટની પહોળાઈ $a = 0.2 \, mm = 0.2 \times 10^{-3} \, m$.
પડદાનું અંતર $D = 2 \, m$.
કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $2\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રીય મહત્તમની રેખીય પહોળાઈ $W = D \times (2\theta) = \frac{2\lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10} \times 2}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$W = \frac{24000 \times 10^{-10}}{0.2 \times 10^{-3}} = \frac{2.4 \times 10^{-6}}{0.2 \times 10^{-3}} = 12 \times 10^{-3} \, m = 12 \, mm$.

(B) એક સ્લિટ વડે થતા ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$ લેતા,$\sin \theta = \frac{\lambda}{a}$ મળે.
અહીં,સ્લિટની પહોળાઈ $a = 12 \times 10^{-5} \text{ cm} = 12 \times 10^{-7} \text{ m}$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{12 \times 10^{-7}} = \frac{6}{12} = 0.5$.
$\sin \theta = 0.5$ હોવાથી,અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$ થાય.

(C) $n^{th}$ ફ્રેનલ ઝોનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = \sqrt{n b \lambda}$ છે,જ્યાં $b$ એ છિદ્રથી પડદા સુધીનું અંતર છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઇ ${\lambda _1}$ માટે $4^{th}$ ઝોનની ત્રિજ્યા એ તરંગલંબાઇ ${\lambda _2}$ માટે $5^{th}$ ઝોનની ત્રિજ્યા સમાન છે,તેથી:
$r_4 = \sqrt{4 b \lambda_1}$
$r_5 = \sqrt{5 b \lambda_2}$
$r_4 = r_5$ હોવાથી,આપણે પદોને સરખાવીએ:
$\sqrt{4 b \lambda_1} = \sqrt{5 b \lambda_2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$4 b \lambda_1 = 5 b \lambda_2$
બંને બાજુ $b$ વડે ભાગતા (જ્યાં $b \neq 0$):
$4 \lambda_1 = 5 \lambda_2$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{5}{4}$

(B) રેલેના માપદંડ (Rayleigh criterion) મુજબ,જ્યારે એક સ્ત્રોતની વિવર્તન ભાતની મધ્યસ્થ અધિકતમ (central maximum),બીજા સ્ત્રોતની વિવર્તન ભાતની પ્રથમ ન્યૂનતમ (first minimum) પર પડે,ત્યારે તે સ્ત્રોતો 'માત્ર અલગ' (just resolved) થયેલા કહેવાય છે.
આ સ્થિતિમાં,પરિણામી તીવ્રતાનો આલેખ બે મધ્યસ્થ અધિકતમોની વચ્ચે એક સ્પષ્ટ ખાડો દર્શાવે છે,જે મહત્તમ તીવ્રતાના આશરે $80\%$ જેટલો હોય છે.
આપેલ આકૃતિઓ જોતા:
- આકૃતિ $A$ માં બે સ્ત્રોતો સ્પષ્ટ રીતે અલગ (resolved) દેખાય છે.
- આકૃતિ $B$ માં એવી સ્થિતિ દર્શાવવામાં આવી છે જ્યાં એકનું મધ્યસ્થ અધિકતમ બીજાના પ્રથમ ન્યૂનતમ પર સંપાત થાય છે,જે 'માત્ર અલગ' (just resolved) ની વ્યાખ્યા છે.
- આકૃતિ $C$ માં સ્ત્રોતો રેલે મર્યાદા કરતા નજીક છે (અસ્પષ્ટ).
- આકૃતિ $D$ માં સ્ત્રોતો ખૂબ નજીક છે,જે એક જ સ્ત્રોત તરીકે દેખાય છે (અસ્પષ્ટ).
તેથી,સાચી આકૃતિ $B$ છે.

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર: $\omega_{\theta} = \frac{2\lambda}{a}$ છે.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, \text{m} = 6 \times 10^{-7} \, \text{m}$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 12 \times 10^{-5} \, \text{cm} = 12 \times 10^{-7} \, \text{m}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega_{\theta} = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \, \text{m}}{12 \times 10^{-7} \, \text{m}}$.
$\omega_{\theta} = \frac{12 \times 10^{-7}}{12 \times 10^{-7}} = 1 \, \text{rad}$.
આમ,કોણીય પહોળાઈ $1 \, \text{rad}$ થશે.

(B) ફ્રેનલ અંતર $(z_F)$ એ અંતર છે જેના માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે. તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $z_F = \frac{a^2}{\lambda}$.
આપેલ છે:
એપર્ચરની પહોળાઈ $(a)$ = $4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$.
તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ = $500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$z_F = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{500 \times 10^{-9}}$
$z_F = \frac{16 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}}$
$z_F = \frac{16}{5} \times 10^1 = 3.2 \times 10 = 32 \, m$.

(B) Fraunhofer વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
કારણ કે $\theta \propto \lambda$,તેથી આપણી પાસે ગુણોત્તર $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ છે.
આપેલ છે કે કોણીય પહોળાઈમાં $30 \% $ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta_2 = \theta_0 - 0.30\theta_0 = 0.70\theta_0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.70\theta_0}{\theta_0} = \frac{\lambda_2}{6000 \; \mathring{A}}$.
$0.70 = \frac{\lambda_2}{6000 \; \mathring{A}}$.
$\lambda_2 = 0.70 \times 6000 \; \mathring{A} = 4200 \; \mathring{A}$.

(18 M) ફ્રેનલ અંતર $(z_{F})$ એ અંતર છે જેના માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે. તે $z_{F} = \frac{a^{2}}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ એપર્ચરની પહોળાઈ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $a = 3\; mm = 3 \times 10^{-3}\; m$ અને $\lambda = 500\; nm = 5 \times 10^{-7}\; m$.
કિંમતો મૂકતા:
$z_{F} = \frac{(3 \times 10^{-3})^{2}}{5 \times 10^{-7}}$
$z_{F} = \frac{9 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}}$
$z_{F} = 1.8 \times 10^{1} = 18\; m$.
આમ,$18\; m$ સુધીના અંતર માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે.

(40 M) ફ્રેનલ અંતર $(Z_{F})$ એ અંતર છે જેના માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે.
તે નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z_{F} = \frac{a^{2}}{\lambda}$
જ્યાં:
એપર્ચરની પહોળાઈ,$a = 4 \; mm = 4 \times 10^{-3} \; m$
પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 400 \; nm = 400 \times 10^{-9} \; m$
કિંમતો મૂકતા:
$Z_{F} = \frac{(4 \times 10^{-3})^{2}}{400 \times 10^{-9}}$
$Z_{F} = \frac{16 \times 10^{-6}}{400 \times 10^{-9}}$
$Z_{F} = \frac{16}{400} \times 10^{3} = 0.04 \times 1000 = 40 \; m$
તેથી,જે અંતર માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે તે $40 \; m$ છે.

(C) બે ટાવર વચ્ચેનું અંતર $D = 40 \, km = 40,000 \, m$ છે. ટેકરી મધ્યબિંદુ પર આવેલી છે,તેથી કોઈપણ ટાવરથી ટેકરીનું અંતર $Z_F = D/2 = 20,000 \, m$ છે.
રેડિયો તરંગો નોંધપાત્ર વિવર્તન વિના ટાવરો વચ્ચે મુસાફરી કરી શકે તે માટે,ફ્રેનલ અંતર $Z_F$ એ અવરોધ સુધીના અંતર જેટલું હોવું જોઈએ. ફ્રેનલ અંતર માટેની શરત $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ એપર્ચરનું કદ (અથવા ક્લિયરન્સ ઊંચાઈ) છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
અહીં,ક્લિયરન્સ ઊંચાઈ $a = 50 \, m$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{a^2}{Z_F}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(50 \, m)^2}{20,000 \, m} = \frac{2500}{20,000} \, m = 0.125 \, m$.
તરંગલંબાઇને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$\lambda = 0.125 \, m \times 100 \, cm/m = 12.5 \, cm$.
આમ,સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $12.5 \, cm$ છે.

(N/A) ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,પડદા પર પ્રકાશની તીવ્રતા વિરુદ્ધ વિવર્તન કોણ $\theta$ નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આલેખ પરથી કહી શકાય કે મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા સૌથી વધુ હોય છે.
$(i)$ તમામ ન્યૂનતમ (minima) પાસે પ્રકાશની તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે.
$(ii)$ વિવર્તન કોણ વધવાની સાથે ગૌણ અધિકતમની તીવ્રતા ઘટે છે. આમ,ક્રમ વધવાની સાથે તીવ્રતા ઘટે છે અને અધિકતમની પહોળાઈ પણ ઘટે છે.
$(iii)$ જેમ ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{a}$ નાનો હોય,તેમ વિવર્તન ઓછું જોવા મળે છે અને જો તે મોટો હોય,તો વિવર્તન વધુ જોવા મળે છે.

(N/A) માપના છિદ્ર (aperture) પર સમાંતર કિરણો આપાત કરતા,વિવર્તિત પ્રકાશ $\theta$ ખૂણે ફેલાય છે,જ્યાં કોણીય પહોળાઈ $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ છે.
$z$ જેટલું અંતર કાપ્યા પછી,વિવર્તનને કારણે બીમની પહોળાઈ $w = z \theta = \frac{z \lambda}{a}$ થાય છે.
ફ્રેનલ અંતર $z_F$ એ એવું અંતર છે જ્યાં વિવર્તનને કારણે થતો ફેલાવો એ છિદ્રના માપ $a$ જેટલો થાય છે.
$a = \frac{z_F \lambda}{a}$ લેતા,આપણને $z_F = \frac{a^2}{\lambda}$ મળે છે.
જ્યારે અંતર $z \ll z_F$ હોય,ત્યારે વિવર્તનને કારણે થતો ફેલાવો છિદ્રના માપની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય છે અને પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે,જે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રને અનુરૂપ છે.
જ્યારે અંતર $z > z_F$ હોય,ત્યારે વિવર્તનને કારણે થતો ફેલાવો એ કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રના ફેલાવા કરતા વધી જાય છે. આમ,કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એ માત્ર ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda \to 0$ હોય અથવા અંતર $z \ll z_F$ હોય.

(A) ટેલિસ્કોપ અને માઇક્રોસ્કોપ જેવા ઓપ્ટિકલ સાધનોની રિઝોલ્યુશનની મર્યાદા મૂળભૂત રીતે $Diffraction$ (વિવર્તન) ની ઘટનાને કારણે હોય છે.
જ્યારે પ્રકાશ એક ગોળાકાર છિદ્ર (જેમ કે ટેલિસ્કોપ અથવા માઇક્રોસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રકાશના તરંગ સ્વભાવને કારણે તે સંપૂર્ણ બિંદુ જેવી છબી બનાવતું નથી.
તેના બદલે,તે એક વિવર્તન ભાત બનાવે છે જેમાં કેન્દ્રમાં એક તેજસ્વી ટપકું (એરી ડિસ્ક) હોય છે જેની આસપાસ એકકેન્દ્રીય અંધારા અને તેજસ્વી વલયો હોય છે.
રેલેના માપદંડ મુજબ,બે બિંદુવત પદાર્થો ત્યારે જ અલગ દેખાય છે જ્યારે એકના વિવર્તન ભાતનું કેન્દ્રીય મહત્તમ બીજાના વિવર્તન ભાતના પ્રથમ ન્યૂનતમ સાથે સુસંગત હોય.
તેથી,વિવર્તન આ સાધનોની રિઝોલ્યુશન શક્તિ પર અંતિમ મર્યાદા નક્કી કરે છે.

(N/A) ફ્રેનલ અંતર એ સ્લિટ અથવા છિદ્રથી તે અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં વિવર્તનને કારણે પ્રકાશનું ફેલાવું એ છિદ્રના કદ જેટલું જ થઈ જાય છે.
આ અંતર પછી,કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રનું આસન્નમાન (પ્રકાશનું સુરેખ પ્રસરણ) માન્ય રહેતું નથી અને વિવર્તનની અસરો નોંધપાત્ર બને છે.
તે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રની માન્યતા માટેની મર્યાદા તરીકે કાર્ય કરે છે.
ફ્રેનલ અંતર $(z_F)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$z_F = \frac{a^2}{\lambda}$
જ્યાં:
$a$ = છિદ્રનું કદ અથવા સ્લિટની પહોળાઈ
$\lambda$ = વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ

(A) આપેલ છે: વિદ્યાર્થીની ઝડપ $v = 5.4 \,km/h = 5.4 \times \frac{5}{18} \,m/s = 1.5 \,m/s$.
રસ્તાથી પાઇપના મુખનું અંતર $D = 8 \,m$.
પાઇપનો વ્યાસ $d = 0.45 \,m$.
ધ્વનિની આવૃત્તિ $f = 1280 \,Hz$.
ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 320 \,m/s$.
પ્રથમ,ધ્વનિની તરંગલંબાઇ શોધો: $\lambda = \frac{v_s}{f} = \frac{320}{1280} = 0.25 \,m$.
પાઇપના વર્તુળાકાર મુખ પર ધ્વનિ તરંગોનું વિવર્તન પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત અનુસરે છે: $\sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,જ્યાં $y$ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમથી પ્રથમ ન્યૂનતમ સુધીનું અંતર છે.
$y = 1.22 \frac{\lambda}{d} D = 1.22 \times \frac{0.25}{0.45} \times 8 = 1.22 \times \frac{1}{1.8} \times 8 \approx 5.42 \,m$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $2y = 2 \times 5.42 = 10.84 \,m$ છે.
જે સમય $T$ માટે અવાજ સંભળાય છે તે આ પહોળાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય છે: $T = \frac{2y}{v} = \frac{10.84}{1.5} \approx 7.23 \,s$.
આ કિંમત $6-12$ સેકન્ડની રેન્જમાં આવે છે.

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો સ્લિટથી અનંત અંતરે હોય છે.
સ્ત્રોત અનંત અંતરે હોવાથી,સ્લિટ પર આપાત થતું તરંગ અગ્ર સમતલ તરંગ અગ્ર હોય છે.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે આપાત તરંગ અગ્ર સમતલ હોવું જોઈએ.

(B) પહોળાઈની એક સ્લિટને કારણે ફ્રૉનહોફર વિવર્તનમાં,$n$-માં ન્યૂનતમનું કોણીય સ્થાન $\sin \theta = \frac{n \lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\theta \approx \frac{n \lambda}{a}$.
ગૌણ મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમની કોણીય પહોળાઈ $\Delta \theta = \frac{\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda = 6328 \times 10^{-10} \ m$ અને $a = 0.2 \times 10^{-3} \ m$.
$\Delta \theta = \frac{6328 \times 10^{-10}}{0.2 \times 10^{-3}} \ rad = 3.164 \times 10^{-3} \ rad$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180^{\circ}}{\pi}$ વડે ગુણો:
$\Delta \theta = 3.164 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.18^{\circ}$.

(A) ફ્રૉનહોફર વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ કરતાં બમણી છે,તેથી $w = 2d$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2 \lambda D}{d} = 2d$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\lambda D}{d} = d$ મળે છે.
$D$ માટે ઉકેલતા,આપણને $D = \frac{d^2}{\lambda}$ મળે છે.

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $a \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y_n}{D}$,જ્યાં $y_n$ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમથી અંતર છે.
તેથી,$y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ છે: $a = 0.2 \ mm = 2 \times 10^{-4} \ m$,$D = 2 \ m$,અને $2y_1 = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-2} = \frac{2 \times \lambda \times 2}{2 \times 10^{-4}}$.
$10^{-2} = \frac{4 \lambda}{2 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^4 \lambda$.
$\lambda = \frac{10^{-2}}{2 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-6} \ m = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5000 \ Å$.

(D) આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.3 \ mm = 0.3 \times 10^{-3} \ m$,પડદાનું અંતર $D = 1.5 \ m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 4500 \ Å = 4500 \times 10^{-10} \ m$.
ફ્રોનહોફર વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $a \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
તેથી,$a \left( \frac{y}{D} \right) = n \lambda \implies y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમથી પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ નું અંતર $y_1 = \frac{\lambda D}{a}$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2y_1 = \frac{2 \times 4500 \times 10^{-10} \times 1.5}{0.3 \times 10^{-3}}$.
$2y_1 = \frac{13500 \times 10^{-10}}{0.3 \times 10^{-3}} = 45000 \times 10^{-7} \ m = 4.5 \times 10^{-3} \ m = 4.5 \ mm$.

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર: $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\theta \propto \lambda$.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = 6000 Å$ છે અને પ્રારંભિક કોણીય પહોળાઈ $\theta_1$ છે.
જ્યારે તરંગલંબાઈ બદલીને $\lambda_2$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોણીય પહોળાઈ $\theta_2 = \theta_1 - 0.20 \theta_1 = 0.80 \theta_1$ થાય છે.
પ્રમાણસરતા $\frac{\theta_2}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{0.80 \theta_1}{\theta_1} = \frac{\lambda_2}{6000 Å}$
$0.80 = \frac{\lambda_2}{6000 Å}$
$\lambda_2 = 0.80 \times 6000 Å = 4800 Å$.

(C) આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.2 \, mm = 0.2 \times 10^{-3} \, m$.
પડદાનું અંતર $D = 2 \, m$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $a \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના $\theta$ માટે, $\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
તેથી, $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ છે, જે $w = y_1 - (-y_1) = 2 y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $w = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \, m) \times (2 \, m)}{0.2 \times 10^{-3} \, m} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0.2 \times 10^{-3}} = 100 \times 10^{-4} \, m = 10^{-2} \, m$.

(C) મધ્યસ્થ અધિક્તમથી પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર $y_{1d} = \frac{\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\lambda = 5500 \ Å = 5500 \times 10^{-10} \ m$,$D = 2 \ m$,અને $a = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ આવેલા બે ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2 y_{1d} = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 y_{1d} = \frac{2 \times 5500 \times 10^{-10} \times 2}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{22000 \times 10^{-10}}{0.5 \times 10^{-3}} = 44000 \times 10^{-7} \ m = 4.4 \times 10^{-3} \ m = 4.4 \ mm$.

(B) ફ્રેનલ અંતર $(Z_F)$ એ અંતર છે જેના માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે। તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$.
આપેલ છે:
એપર્ચર,$a = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$.
તરંગલંબાઇ,$\lambda = 400 \,nm = 400 \times 10^{-9} \,m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Z_F = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{400 \times 10^{-9}}$
$Z_F = \frac{16 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = 4 \times 10^1 = 40 \,m$.
આમ,$40 \,m$ ના અંતર માટે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે।

(B) પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ માટે,શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે. $n=1$ માટે,$a \sin \theta = \lambda$ થાય.
આપેલ છે કે $\theta = 30^{\circ}$,તેથી $a = \frac{\lambda}{\sin 30^{\circ}} = 2\lambda$ મળે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે,શરત $a \sin \theta' = \frac{3\lambda}{2}$ છે.
સમીકરણમાં $a = 2\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$2\lambda \sin \theta' = \frac{3\lambda}{2}$
$\sin \theta' = \frac{3\lambda}{2 \times 2\lambda} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta' = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ મળે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-માં ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $x_n = \frac{(2n+1) \lambda D}{2a}$ છે,જ્યાં $n$ એ ગૌણ અધિકતમનો ક્રમ છે.
લાલ પ્રકાશ $(\lambda_1 = 6500 Å)$ ના બીજા ગૌણ અધિકતમ $(n=2)$ માટે: $x_2 = \frac{(2(2)+1) \lambda_1 D}{2a} = \frac{5 \lambda_1 D}{2a}$.
અજ્ઞાત તરંગલંબાઈ $(\lambda_2)$ ના ત્રીજા ગૌણ અધિકતમ $(n=3)$ માટે: $x_3 = \frac{(2(3)+1) \lambda_2 D}{2a} = \frac{7 \lambda_2 D}{2a}$.
જ્યારે અધિકતમ સંપાત થાય છે,ત્યારે $x_2 = x_3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{5 \lambda_1 D}{2a} = \frac{7 \lambda_2 D}{2a}$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $5 \lambda_1 = 7 \lambda_2$ મળે છે.
$\lambda_1 = 6500 Å$ મૂકતા,$5 \times 6500 = 7 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{32500}{7} Å \approx 4642.8 Å$.

(B) ફ્રોનહોફર વિવર્તન ભાતમાં,ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2a}$
પ્રથમ ગૌણ અધિકતમ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$\theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2a} = \frac{3 \lambda}{2a}$
$D$ અંતરે રહેલા પડદા પર મધ્યસ્થ અધિકતમથી ગૌણ અધિકતમનું અંતર $x = D \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\tan \theta \approx \theta$ લેતા:
$x = D \theta = D \left( \frac{3 \lambda}{2a} \right) = \frac{3 D \lambda}{2a}$

(A) ફ્રેનલ અંતર $(z_F)$ એ અંતર છે જ્યાં સુધી કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એક સારું અંદાજ છે. તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$z_F = \frac{a^2}{\lambda}$
જ્યાં $a$ એ એપર્ચરનું કદ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે।
આપેલ છે:
એપર્ચર $a = 5 \times 10^{-3} \ m$
ફ્રેનલ અંતર $z_F = 50 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$50 = \frac{(5 \times 10^{-3})^2}{\lambda}$
$50 = \frac{25 \times 10^{-6}}{\lambda}$
$\lambda = \frac{25 \times 10^{-6}}{50}$
$\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \ m$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$
એંગસ્ટ્રોમ $(\text{Å})$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$1 \ \text{Å} = 10^{-10} \ m$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \text{Å} = 5000 \ \text{Å}$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ફ્રેનલ અંતર $(z_F)$ એ અંતર છે જ્યાં કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એ $a$ માપના એપર્ચર અને $\lambda$ તરંગલંબાઇ માટે સારું અંદાજ છે. તેનું સૂત્ર છે: $z_F = \frac{a^2}{\lambda}$.
આપેલ છે:
એપર્ચર $a = 0.3 \ cm = 0.3 \times 10^{-2} \ m = 3 \times 10^{-3} \ m$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \ Å = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$z_F = \frac{(3 \times 10^{-3})^2}{6 \times 10^{-7}}$
$z_F = \frac{9 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}}$
$z_F = 1.5 \times 10^1 = 15 \ m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ફ્રેનલ અંતર $(Z_F)$ નું સૂત્ર $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$ છે, જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે。
આપેલ છે:
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 4000 \, Å = 4 \times 10^{-7} \, m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z_F = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = 10 \, m$
તેથી, ફ્રેનલ અંતર $10 \, m$ છે。

(B) ફ્રેનલ વિવર્તનમાં,પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો અવરોધ અથવા છિદ્રથી મર્યાદિત અંતરે હોય છે. કિરણોને સમાંતર બનાવવા માટે કોઈ લેન્સની જરૂર હોતી નથી. પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ મળતી વિવર્તન ભાત એ તરંગ અગ્રના વિવિધ હાફ-પિરિયડ ઝોનમાંથી ઉદ્ભવતા તરંગોના સંપાતીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છે. કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ તીવ્રતા તે બિંદુ પર સંપાત થતા હાફ-પિરિયડ ઝોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,કારણ કે આ ઝોન સહાયક અથવા વિનાશક વ્યતિકરણ કરી શકે છે.

(C) ફ્રૉનહોફર વિવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો અવરોધ અથવા છિદ્રથી અનંત અંતરે હોય.
વ્યવહારિક રીતે,આ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે ફ્રેનલ અંતર $z_F = \frac{b^2}{\lambda}$ એ અવરોધ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $L$ કરતા ઘણું નાનું હોય.
તેથી,શરત $L \gg \frac{b^2}{\lambda}$ છે,જેને $\frac{b^2}{L \lambda} \ll 1$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: ફ્રેનલ વિવર્તનમાં,પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો વિવર્તન કરતા છિદ્ર અથવા અવરોધથી મર્યાદિત અંતરે હોય છે. આ ફ્રોનહોફર વિવર્તનથી વિપરીત છે,જ્યાં બંને અનંત અંતરે હોય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: એક્સ-રે વિવર્તન (વિવર્તનનું એક સ્વરૂપ) એ $DNA$ જેવા ન્યુક્લીક એસિડના હેલિકલ બંધારણ સહિત જટિલ જૈવિક અણુઓના આણ્વિક બંધારણને નક્કી કરવા માટે વપરાતી પ્રમાણભૂત તકનીક છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(B) રે ઓપ્ટિક્સ સન્નિક્ટતા ફ્રેનલ અંતર $(z_f)$ સુધી માન્ય ગણાય છે, જે તે અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યાં વિવર્તનને કારણે કિરણપુંજનું ફેલાવું એ છિદ્રના કદ જેટલું થાય છે。
તેનું સૂત્ર: $z_f = \frac{a^2}{\lambda}$ છે。
આપેલ કિંમતો: ફ્રેનલ અંતર $z_f = 5 \,m$, તરંગલંબાઈ $\lambda = 800 \,nm = 800 \times 10^{-9} \,m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $a = \sqrt{z_f \cdot \lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \sqrt{5 \times 800 \times 10^{-9} \,m^2}$.
$a = \sqrt{4000 \times 10^{-9} \,m^2} = \sqrt{4 \times 10^{-6} \,m^2}$.
$a = 2 \times 10^{-3} \,m = 2 \,mm$.

(B) Fraunhofer વિવર્તનમાં,પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો વિવર્તનકારક છિદ્ર અથવા અવરોધથી અનંત અંતરે હોય છે.
આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે છિદ્ર પર આપાત થતા તરંગો સમતલ તરંગો હોય છે,અને પડદા પર પહોંચતા વિવર્તિત કિરણો એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
તેથી,વિવર્તનકારક ઘટકની સાપેક્ષમાં સ્ત્રોત અને પડદો બંને અનંત અંતરે હોવા આવશ્યક છે.

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો અસરકારક રીતે છિદ્ર (સ્લિટ) થી અનંત અંતરે હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સ્લિટ પર આપાત થતા તરંગ અગ્રો સમતલ તરંગ અગ્રો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આપાત કિરણપુંજ સમાંતર હોવું જોઈએ.
આ શરત વ્યવહારિક રીતે પ્રકાશના સ્ત્રોતને અભિસારી લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકીને અથવા સ્ત્રોતને સ્લિટથી અનંત અંતરે મૂકીને પ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચી શરત એ છે કે સ્ત્રોત અનંત અંતરે છે અને આપાત કિરણપુંજ સમાંતર છે.