Thin film Interference, fresnel biprism, lloyd's mirror Questions in Gujarati

(B) જ્યારે પ્રકાશ પાણી પર રહેલા તેલના પાતળા પડ પર પડે છે,ત્યારે તે તેલના પડની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તન અને વક્રીભવન પામે છે.
પાતળા પડની ઉપરની અને નીચેની સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગો એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ પામે છે.
પડની જાડાઈ અને આપાતકોણના આધારે,પ્રકાશની કેટલીક તરંગલંબાઈઓ સહાયક વ્યતિકરણ (તેજસ્વી દેખાય છે) અનુભવે છે,જ્યારે અન્ય વિનાશક વ્યતિકરણ (અંધારું દેખાય છે) અનુભવે છે.
પાતળા પડની બે સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગોના સંપાતપણાની આ ઘટનાને પ્રકાશનું વ્યતિકરણ કહેવામાં આવે છે,જેના પરિણામે તેજસ્વી રંગો જોવા મળે છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશ પાતળા સાબુના પરપોટા પર પડે છે,ત્યારે તે સાબુના પડની બહારની અને અંદરની બંને સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થાય છે.
આ પરાવર્તિત પ્રકાશના તરંગો વ્યતિકરણની ઘટના અનુભવે છે.
પડની જાડાઈ અને આપાતકોણના આધારે,પ્રકાશની અમુક તરંગલંબાઈઓ સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે જ્યારે અન્ય વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
જુદા જુદા રંગોના આ પસંદગીયુક્ત પ્રબલન અને નાબૂદીને કારણે સાબુના પરપોટા પર આકર્ષક રંગો જોવા મળે છે.

(C) પાતળા સ્તરોમાં રંગોની ઘટના એ સ્તરની ઉપરની અને નીચેની સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગોના વ્યતિકરણને કારણે જોવા મળે છે.
પ્રકાશના આપેલ કિરણપુંજ માટે, પરાવર્તિત તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ સ્તરની જાડાઈ $(t)$, સ્તરનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ અને વક્રીભવન કોણ $(r)$ પર આધાર રાખે છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત $2\mu t \cos(r) = (n + 1/2)\lambda$ છે.
સાબુ કે તેલના સ્તરની જાડાઈ $(t)$ સામાન્ય રીતે અસમાન હોવાથી, સ્તરના વિવિધ ભાગો પ્રકાશની અલગ-અલગ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ માટે આ શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી, સ્તરની જાડાઈમાં ફેરફારને કારણે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર અલગ-અલગ રંગો જોવા મળે છે.

(B) પાતળા પડમાં વ્યતિકરણની ઘટના ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે પડની જાડાઈ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઈની સરખામણીમાં હોય.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઈ આશરે $4000 \ \mathring{A}$ થી $7000 \ \mathring{A}$ ની વચ્ચે હોય છે.
જો પડ ખૂબ જ પાતળું હોય (દા.ત.,$100 \ \mathring{A}$),તો તે વિનાશક વ્યતિકરણને કારણે કાળું દેખાય છે.
જો પડ ખૂબ જ જાડું હોય (દા.ત.,$1 \ \text{mm}$ અથવા $1 \ \text{cm}$),તો પથ તફાવત ખૂબ મોટો થઈ જાય છે,જેના કારણે પ્રકાશના તરંગો સુસંબદ્ધ રહેતા નથી અને વ્યતિકરણની ભાત જોઈ શકાતી નથી.
તેથી,$10000 \ \mathring{A}$ (જે $1 \ \mu\text{m}$ છે) ના ક્રમની જાડાઈ વ્યતિકરણના રંગો જોવા માટે યોગ્ય છે.

(B) બાયપ્રિઝમના પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઉદગમોથી પડદા સુધીનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \,m = 5 \times 10^{-7} \,m$
$\beta = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$
$D = 1.0 \,m$
$d$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$d = \frac{D\lambda}{\beta}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{1.0 \times 5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}} = 10^{-4} \,m$
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$d = 10^{-4} \times 10^3 \,mm = 0.1 \,mm$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પાતળા પડ માટે,પરાવર્તિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ (અંધારી શલાકા) માટેની શરત $2 \mu t \cos r = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
લંબ આપાતકોણ માટે,વક્રીભવન કોણ $r = 0^\circ$,તેથી $\cos r = 1$.
હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1$ છે.
આથી શરત $2 \mu t = n \lambda$ બને છે.
ન્યૂનતમ જાડાઈ શોધવા માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ.
$t_{\min} = \frac{\lambda}{2 \mu} = \frac{5890 \times 10^{-10} \; m}{2 \times 1} = 2945 \times 10^{-10} \; m = 2.945 \times 10^{-7} \; m$.

(B) ફ્રેનલના બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{(a + b)\lambda}{2a(\mu - 1)\alpha}$ છે,જ્યાં $\alpha$ રેડિયનમાં છે.
આપેલ છે:
$a = 0.3\, m$
$b = 0.7\, m$
$\mu = 1.5$
$\lambda = 6000\ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7}\, m$
$\alpha = 1^\circ = \frac{\pi}{180}\, \text{રેડિયન}$
કિંમતો મૂકતા:
$\beta = \frac{(0.3 + 0.7) \times 6 \times 10^{-7}}{2 \times 0.3 \times (1.5 - 1) \times (\frac{\pi}{180})}$
$\beta = \frac{1.0 \times 6 \times 10^{-7}}{0.6 \times 0.5 \times 0.01745}$
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.3 \times 0.01745} \approx 1.146 \times 10^{-4}\, m$
$\beta \approx 0.0114\, cm$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ફ્રેનલના બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ ઉદગમ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
બાયપ્રિઝમમાં,બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ બાયપ્રિઝમથી ઉદગમનું અંતર છે,$\mu$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે,અને $\alpha$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનકારક ખૂણો છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈના સૂત્રમાં $d$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\beta = \frac{\lambda D}{2a(\mu - 1)\alpha}$ મળે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\beta \propto \frac{1}{\alpha}$.
તેથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $\alpha$ વધારતા,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ ઘટશે.

(A) ફ્રેનલ બાયપ્રિઝમમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ માટેનું સૂત્ર $\beta = \frac{(a + b)\lambda}{2a(\mu - 1)\alpha}$ છે,જ્યાં $\alpha$ રેડિયનમાં છે.
પ્રથમ,પ્રિઝમનો ખૂણો $\alpha$ ને ડિગ્રીમાંથી રેડિયનમાં ફેરવો: $\alpha = 1^\circ = \frac{\pi}{180}\,rad$.
આપેલ કિંમતો: $a = 0.3\,m$,$b = 0.7\,m$,$\lambda = 180\pi \times 10^{-9}\,m$,$\mu = 1.54$,અને $\alpha = \frac{\pi}{180}\,rad$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{(0.3 + 0.7) \times (180\pi \times 10^{-9})}{2 \times 0.3 \times (1.54 - 1) \times (\frac{\pi}{180})}$
$\beta = \frac{1.0 \times 180\pi \times 10^{-9}}{0.6 \times 0.54 \times \frac{\pi}{180}}$
$\beta = \frac{180\pi \times 10^{-9}}{0.324 \times \frac{\pi}{180}} = \frac{180 \times 180 \times 10^{-9}}{0.324} = \frac{32400 \times 10^{-9}}{0.324} = 100000 \times 10^{-9} = 10^{-4}\,m$.

(A) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ ઉદગમ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્રયોગ પાણીમાં કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ બદલાઈને $\lambda_w = \frac{\lambda_a}{\mu}$ થાય છે,જ્યાં $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે $(\mu > 1)$ અને $\lambda_a$ એ હવામાં તરંગલંબાઈ છે.
કારણ કે $\beta \propto \lambda$ છે,અને પાણીમાં તરંગલંબાઈ ઘટે છે $(\lambda_w < \lambda_a)$,તેથી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ પણ ઘટશે.

(C) ફ્રેનલના બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં,સફેદ પ્રકાશમાં રહેલી તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે મધ્યસ્થ બિંદુ પર પથ તફાવત શૂન્ય હોય છે.
તેથી,તમામ તરંગલંબાઇઓ કેન્દ્ર પર સહાયક વ્યતિકરણ રચે છે,જેના પરિણામે મધ્યસ્થ શલાકા સફેદ મળે છે.
જેમ જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ પથ તફાવત વધે છે,અને વિવિધ તરંગલંબાઇઓ અલગ-અલગ સ્થાનો પર સહાયક વ્યતિકરણની શરત સંતોષે છે,જેના પરિણામે મધ્યસ્થ શલાકાની નજીક રંગીન શલાકાઓ જોવા મળે છે.

(A) નળાકાર સપાટી કાચની પ્લેટને નળાકારની અક્ષને સમાંતર એક રેખા પર સ્પર્શે છે.
નળાકાર સપાટી અને સપાટ કાચની પ્લેટ વચ્ચે બનતી હવાના ફાચર (wedge) ની જાડાઈ આ સંપર્ક રેખાની બંને બાજુએ સમાન રીતે વધે છે.
સમાન પથ તફાવત ધરાવતા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ નળાકારની અક્ષને સમાંતર રેખાઓ છે.
આ રેખાઓ પર પથ તફાવત અચળ હોવાથી,અવલોકિત વ્યતિકરણ શલાકાઓ સીધી અને નળાકારની અક્ષને સમાંતર હશે.

(A) $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી ફિલ્મ માટે,પરાવર્તિત પ્રકાશમાં સહાયક વ્યતિકરણ (તેજસ્વી દેખાવ) માટેની શરત $2\mu t \cos r = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ અને $r$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
પ્રકાશનું નિરીક્ષણ સામાન્ય રીતે કરવામાં આવતું હોવાથી,$r = 0$,તેથી $\cos r = 1$.
સૂત્ર $2\mu t = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $\lambda = \frac{4\mu t}{2n - 1}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.4$ અને $t = 10,000\ \mathring A$,તેથી $\lambda = \frac{4 \times 1.4 \times 10,000}{2n - 1} = \frac{56,000}{2n - 1}\ \mathring A$.
$n = 5$ માટે,$\lambda = \frac{56,000}{9} \approx 6,222\ \mathring A$.
$n = 6$ માટે,$\lambda = \frac{56,000}{11} \approx 5,091\ \mathring A$.
$n = 7$ માટે,$\lambda = \frac{56,000}{13} \approx 4,308\ \mathring A$.
આમ,તેજસ્વી દેખાતી તરંગલંબાઈઓ $4308\ \mathring A, 5091\ \mathring A, 6222\ \mathring A$ છે.

(A) આપેલ છે: અંતર $D = 120 \, cm = 1.2 \, m$.
બે આભાસી સ્ત્રોતો વચ્ચેનું અંતર $d = 0.075 \, cm = 7.5 \times 10^{-4} \, m$.
શલાકાઓની સંખ્યા $n = 20$.
આઈપીસમાં સ્થાનાંતર $\Delta x = 1.92 \, cm = 1.92 \times 10^{-2} \, m$.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\Delta x}{n} = \frac{1.92 \times 10^{-2}}{20} = 0.096 \times 10^{-2} \, m = 9.6 \times 10^{-4} \, m$.
સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{\beta d}{D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{(9.6 \times 10^{-4}) \times (7.5 \times 10^{-4})}{1.2} = 8 \times 7.5 \times 10^{-7} \, m = 60 \times 10^{-8} \, m = 6000 \times 10^{-10} \, m$.
તેથી,$\lambda = 6000 \, \mathop A\limits^o$.

(A) આપેલ છે: $\mu = 1.5$,$r = 60^\circ$,$\lambda = 6000 \, \mathring A = 6 \times 10^{-7} \, m$,$t = 1.2 \times 10^{-3} \, mm = 1.2 \times 10^{-6} \, m$.
પરાવર્તિત પ્રકાશમાં કાળા પટ્ટા માટેની શરત $2 \mu t \cos r = n \lambda$ છે.
$n$ માટે સૂત્ર: $n = \frac{2 \mu t \cos r}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{2 \times 1.5 \times 1.2 \times 10^{-6} \times \cos 60^\circ}{6 \times 10^{-7}}$.
કારણ કે $\cos 60^\circ = 0.5$: $n = \frac{2 \times 1.5 \times 1.2 \times 10^{-6} \times 0.5}{6 \times 10^{-7}} = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = 3$.
આમ,કાળા પટ્ટાનો ક્રમ $3$ છે.

(C) જ્યારે તેલ અથવા પેટ્રોલનું પાતળું પડ પાણીની સપાટી પર ફેલાય છે,ત્યારે પાતળા પડની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગોનું સંપાતીકરણ થાય છે. આ પરાવર્તિત તરંગો વચ્ચેના પથ તફાવતને કારણે,તેઓ કેટલીક તરંગલંબાઇ માટે સહાયક વ્યતિકરણ અને અન્ય માટે વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે. આ ઘટનાને પાતળા પડનું વ્યતિકરણ (thin-film interference) કહેવામાં આવે છે,જેના પરિણામે રંગો જોવા મળે છે.

(C) ફ્રેનલ બાયપ્રિઝમના પ્રયોગમાં,એકરંગી ઉદ્દગમ સમાન રંગની શલાકાઓ ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે કેન્દ્રીય શલાકાને અન્ય શલાકાઓથી અલગ પાડવી મુશ્કેલ બને છે.
જ્યારે શ્વેત પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રીય શલાકા સફેદ રંગની બને છે કારણ કે કેન્દ્ર પર તમામ તરંગલંબાઇઓ એકબીજા પર સંપાત થાય છે (પથ તફાવત શૂન્ય હોય છે).
ત્યારબાદની શલાકાઓ વિવિધ તરંગલંબાઇઓના વિભાજનને કારણે રંગીન દેખાય છે,જે કેન્દ્રીય સફેદ શલાકાને ઓળખવામાં મદદ કરે છે.

(B) જ્યારે ફિલ્મ ખૂબ જ પાતળી હોય,એટલે કે તેની જાડાઈ $t$ એ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા ઘણી ઓછી હોય $(t \ll \lambda)$,ત્યારે ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશ વચ્ચેનો પથ તફાવત લગભગ શૂન્ય હોય છે.
ઉપરની સપાટી (ઘટ્ટ માધ્યમ) પરથી પરાવર્તન દરમિયાન $\pi$ જેટલો કળા તફાવત (અથવા $\lambda/2$ જેટલો પથ તફાવત) ઉદ્ભવતો હોવાથી,બંને પરાવર્તિત તરંગો વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
આ વિનાશક વ્યતિકરણ દ્રશ્ય વર્ણપટની તમામ તરંગલંબાઈઓ માટે થતું હોવાથી,ફિલ્મ કાળી દેખાય છે.

(B) સુસમ્બદ્ધ ઉદગમો એવા ઉદગમો છે જે સમાન આવૃત્તિના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
ફ્રેનલનું બાયપ્રિઝમ એ એક એવું સાધન છે જે વક્રીભવનની ઘટના દ્વારા એક જ એકવર્ણી પ્રકાશના ઉદગમમાંથી બે આભાસી સુસમ્બદ્ધ ઉદગમો ઉત્પન્ન કરવા માટે વપરાય છે.
સામાન્ય પ્રિઝમ,નિકોલ પ્રિઝમ અને આલ્કોમેટ્રીક પ્રિઝમ વ્યતિકરણના પ્રયોગો માટે જરૂરી રીતે એક જ ઉદગમમાંથી સુસમ્બદ્ધ ઉદગમો ઉત્પન્ન કરતા નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ફ્રેનલ બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં,બે વર્ચ્યુઅલ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું વાસ્તવિક અંતર $d$ એ સ્થાનાંતરની રીત દ્વારા મેળવેલા બે અંતરો $d_1$ અને $d_2$ ના ભૌમિતિક મધ્યક જેટલું હોય છે.
સૂત્ર $d = \sqrt{d_1 d_2}$ છે.
અહીં,$d_1 = 16 \; cm$ અને $d_2 = 9 \; cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12 \; cm$ મળે છે.
તેથી,સ્લિટ્સ વચ્ચેનું વાસ્તવિક અંતર $12 \; cm$ છે.

(D) ન્યૂટનના રીંગના પ્રયોગમાં,નીચેની કાચની પ્લેટ (ઘટ્ટ માધ્યમ) પરથી પરાવર્તિત થતો પ્રકાશ $\pi$ જેટલો કળા તફાવત (અથવા $\lambda/2$ જેટલો પથ તફાવત) અનુભવે છે,કારણ કે તે વધુ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમ પરથી પરાવર્તિત થાય છે. ઉપરની બહિર્ગોળ સપાટી (હવા-કાચની સપાટી) પરથી પરાવર્તિત થતો પ્રકાશ આવો કળા તફાવત અનુભવતો નથી.
સંપર્ક બિંદુ પર,હવાની ફિલ્મની જાડાઈ શૂન્ય છે. નીચેની સપાટી પર થતા કળા તફાવતને કારણે બે પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચેનો અસરકારક પથ તફાવત $\lambda/2$ થાય છે.
પથ તફાવત $\lambda/2$ હોવાથી,કેન્દ્ર પર વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે,જેના કારણે તે અપ્રકાશિત (ડાર્ક) દેખાય છે. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે,વિધાન-$2$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે: ઉદગમ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = 1 \, m = 100 \, cm$. ઉદગમ અને બાયપ્રિઝમ વચ્ચેનું અંતર $a = 10 \, cm$. બાયપ્રિઝમ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $b = D - a = 90 \, cm$. શલાકાની પહોળાઈ $\beta = 0.03 \, cm$. તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6 \times 10^{-5} \, cm$. વક્રીભવન કોણ $\alpha = 1^\circ = \frac{\pi}{180} \, \text{રેડિયન}$.
શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{2d}$ છે,જ્યાં $2d$ એ બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
$2d = \frac{\lambda D}{\beta} = \frac{6 \times 10^{-5} \times 100}{0.03} = 0.2 \, cm$.
આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $2d = 2a(\mu - 1)\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.2 = 2 \times 10 \times (\mu - 1) \times \frac{\pi}{180}$.
$0.2 = 20 \times (\mu - 1) \times 0.01745$.
$0.2 = 0.349 \times (\mu - 1)$.
$\mu - 1 = \frac{0.2}{0.349} \approx 0.573$.
$\mu = 1.573$.

(A) સાબુનો પરપોટો પ્રકાશના તરંગોના વ્યતિકરણની ઘટનાને કારણે રંગીન દેખાય છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશ સાબુના પરપોટાની પાતળી ફિલ્મ પર પડે છે,ત્યારે તે તેની બહારની અને અંદરની સપાટી પર પરાવર્તન અને વક્રીભવન અનુભવે છે.
પાતળી ફિલ્મની બહારની અને અંદરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગો એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ પામે છે.
ફિલ્મની જાડાઈ અને આપાતકોણના આધારે,કેટલીક તરંગલંબાઈઓ સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે જ્યારે અન્ય વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે આપણને રંગો જોવા મળે છે.

(B) પાતળા સ્તરોમાં રંગોની ઘટના પ્રકાશના તરંગોના વ્યતિકરણને કારણે થાય છે, જે સ્તરની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે。
દ્રશ્યમાન વ્યતિકરણ ભાત જોવા માટે, પરાવર્તિત તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત દ્રશ્યમાન પ્રકાશની તરંગલંબાઈ ($\lambda \approx 4000 \,\mathring{A}$ થી $7000 \,\mathring{A}$) ની સરખામણીમાં હોવો જોઈએ。
જો સ્તર ખૂબ જાડું હોય (જેમ કે $1 \, mm$ અથવા $1 \, cm$), તો પથ તફાવત ખૂબ મોટો થઈ જાય છે અને વ્યતિકરણની શલાકાઓ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે, જેના પરિણામે સફેદ પ્રકાશ દેખાય છે અથવા કોઈ રંગીન ભાત દેખાતી નથી。
તેથી, સ્તરની જાડાઈ દ્રશ્યમાન પ્રકાશની તરંગલંબાઈના ક્રમની હોવી જોઈએ, જે આશરે $10000 \,\mathring{A}$ (અથવા $1 \, \mu m$) છે.

(A) ફ્રેનલના બાયપ્રિઝમમાં,બાયપ્રિઝમના બે ભાગો દ્વારા પ્રકાશના વક્રીભવનને કારણે બે આભાસી સુસંબદ્ધ ઉદગમો ઉત્પન્ન થાય છે.
આ પ્રક્રિયામાં આપાત તરંગ અગ્રનું બે ભાગમાં વિભાજન થાય છે,જે પછી બે અલગ-અલગ આભાસી ઉદગમો,$S_1$ અને $S_2$ માંથી ઉદ્ભવતા હોય તેમ લાગે છે.
તેથી,ફ્રેનલ બાયપ્રિઝમમાં સુસંબદ્ધ ઉદગમો તરંગ અગ્રના વિભાજન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.

(D) ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ અને નવું અંતર $D' = 2D$ છે.
તેથી,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(d/2)} = 4 \times \frac{\lambda D}{d} = 4\beta$ થશે.
આમ,ફ્રિન્જની પહોળાઈ ચાર ગણી થઈ જાય છે.

(C) પરાવર્તિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ (destructive interference) માટેની શરત $2 \mu t \cos r = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
ન્યૂનતમ જાડાઈ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ.
અહીં,ન્યૂનતમ જાડાઈ $t = \frac{\lambda}{2 \mu \cos r}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$t = \frac{5500}{2 \times (4/3) \times \cos 60^\circ}$
$t = \frac{5500}{2 \times (4/3) \times (1/2)}$
$t = \frac{5500}{4/3} = \frac{16500}{4} = 4125 \, \mathring{A}$.

(D) પાતળી શીટ મૂકવાથી મધ્યસ્થ શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
અહીં મધ્યસ્થ શલાકા $n$ મી પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાને ખસે છે,તેથી સ્થાનાંતર $n \beta$ જેટલું થાય,જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{(\mu - 1) t D}{d} = n \frac{\lambda D}{d}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\lambda = \frac{(\mu - 1) t}{n}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\mu = 1.6$,$t = 7 \times 10^{-6} \ m$,અને $n = 7$.
$\lambda = \frac{(1.6 - 1) \times 7 \times 10^{-6}}{7} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.

(B) પાતળા ફિલ્મમાં વ્યતિકરણ માટે પથ તફાવત $\Delta x = 2\mu t \cos r = n\lambda$ (અપ્રકાશિત પટ્ટી માટે) છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ વક્રીભવન કોણ $r$ શોધો: $\sin i = \mu \sin r$.
અહીં $i = 60^o$ અને $\mu = 1.5$ છે, તેથી $\sin 60^o = 1.5 \sin r \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5 \sin r \Rightarrow \sin r = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી, $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{2/3}$.
પથ તફાવત $\Delta x = 2 \times 1.5 \times (1.2 \times 10^{-6} \, m) \times \sqrt{2/3} = n \times (6000 \times 10^{-10} \, m)$.
ગણતરી કરતા, $n$ ની કિંમત આશરે $3$ મળે છે.

(B) ફ્રેનલના બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $x_n = n\beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $x'_n = (n - \frac{1}{2})\beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી નજીકની અપ્રકાશિત શલાકા માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ.
તેથી,$x'_1 = (1 - \frac{1}{2})\beta = \frac{1}{2}\beta$.
અહીં $\beta = 1 \,mm$ આપેલ છે,તેથી $x'_1 = \frac{1}{2} \times 1 \,mm = 0.5 \,mm$ થાય.

(B) પાતળી શીટ દાખલ કરવાને કારણે મધ્યસ્થ શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{D}{d} t(\mu - 1)$.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $5$ શલાકાની પહોળાઈ જેટલું છે,તેથી $\Delta x = 5\beta$,જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{D}{d} t(\mu - 1) = 5 \left( \frac{\lambda D}{d} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $t(\mu - 1) = 5\lambda$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $6 \times 10^{-6} \times (1.5 - 1) = 5\lambda$.
$6 \times 10^{-6} \times 0.5 = 5\lambda$.
$3 \times 10^{-6} = 5\lambda$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{5} = 0.6 \times 10^{-6} \ m$.
$\mathring{A}$ માં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6000 \ \mathring{A}$.

(B) પાતળી શીટ દાખલ કરવાને કારણે મધ્યસ્થ શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,તેથી $\frac{D}{d} = \frac{\beta}{\lambda}$.
આ કિંમત મૂકતા,સ્થાનાંતર $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t \beta}{\lambda}$ થાય છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $\Delta x = 5 \beta$,તેથી: $5 \beta = \frac{(\mu - 1) t \beta}{\lambda}$.
બંને બાજુથી $\beta$ ને દૂર કરતા: $5 = \frac{(\mu - 1) t}{\lambda}$.
આપેલ કિંમતો $\mu = 1.5$ અને $t = 6 \times 10^{-6} \ m$ મૂકતા:
$5 = \frac{(1.5 - 1) \times 6 \times 10^{-6}}{\lambda}$.
$5 = \frac{0.5 \times 6 \times 10^{-6}}{\lambda}$.
$5 = \frac{3 \times 10^{-6}}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-6}}{5} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
$\mathring{A}$ માં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 6000 \ \mathring{A}$.

(D) પારગમિત પ્રકાશ માટે,સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) ની શરત $2 \mu t \cos r = n \lambda$ છે.
અહીં,આપાતકોણ $i = 30^\circ$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\sin i = \mu \sin r$,તેથી $\sin 30^\circ = (4/3) \sin r$,જે આપે છે $\sin r = 3/8$.
ત્યારબાદ,$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - (9/64)} = \frac{\sqrt{55}}{8} \approx 0.927$.
ન્યૂનતમ જાડાઈ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ.
સામાન્ય પાઠ્યપુસ્તકની પદ્ધતિ મુજબ જ્યાં $\cos r \approx \cos 30^\circ$ લેવામાં આવે છે:
$t = \frac{\lambda}{2 \mu \cos 30^\circ} = \frac{6 \times 10^{-5}}{2 \times (4/3) \times (\sqrt{3}/2)} = \frac{6 \times 10^{-5}}{(4\sqrt{3}/3)} = \frac{18 \times 10^{-5}}{6.928} \approx 2.59 \times 10^{-5} \, cm$.

(D) હવામાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta_a = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ છે.
જ્યારે તેને $\mu_m$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે તરંગલંબાઇ $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu_m}$ થાય છે અને પ્રિઝમનો સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $\mu' = \frac{\mu_g}{\mu_m}$ થાય છે.
નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta_w = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{\lambda D / \mu_m}{2a(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1)\alpha} = \frac{\lambda D}{2a(\mu_g - \mu_m)\alpha}$ મળે છે.
આને $\beta_a = \frac{\lambda D}{2a(\mu_g - 1)\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta_w = \beta_a \times \frac{\mu_g - 1}{\mu_g - \mu_m}$ મળે છે.
અહીં $\mu_g = 1.5 = 3/2$ અને $\mu_w = 1.33 \approx 4/3$ આપેલ છે.
તેથી,$\beta_w = \beta_a \times \frac{1.5 - 1}{1.5 - 1.333} = \beta_a \times \frac{0.5}{0.166} \approx 3 \beta_a$.

(D) ફ્રેનલના બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમ (પાણી) માં,તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{\mu_w}$ થાય છે,જ્યાં $\mu_w$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
સ્ત્રોત અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ બદલાતું નથી.
બે આભાસી સ્ત્રોતો વચ્ચેનું અંતર $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટથી બાયપ્રિઝમનું અંતર છે,$\mu$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $\alpha$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
જ્યારે સમગ્ર સેટઅપ પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સાપેક્ષે પ્રિઝમનો અસરકારક વક્રીભવનાંક $\mu' = \frac{\mu_g}{\mu_w}$ થાય છે.
તેથી,આભાસી સ્ત્રોતો વચ્ચેનું નવું અંતર $d' = 2a(\mu' - 1)\alpha = 2a\left(\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1\right)\alpha = 2a\left(\frac{\mu_g - \mu_w}{\mu_w}\right)\alpha$ થાય.
નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta_w = \frac{\lambda_m D}{d'} = \frac{(\lambda_a / \mu_w) D}{2a(\frac{\mu_g - \mu_w}{\mu_w})\alpha} = \frac{\lambda_a D}{2a(\mu_g - \mu_w)\alpha}$ છે.
આપેલ છે કે $\beta_a = \frac{\lambda_a D}{2a(\mu_g - 1)\alpha}$,તેથી $\beta_w = \beta_a \frac{(\mu_g - 1)}{(\mu_g - \mu_w)}$.
$\mu_g = 1.5$ અને $\mu_w = 1.33$ મૂકતા,$\beta_w = \beta_a \frac{1.5 - 1}{1.5 - 1.33} = \beta_a \frac{0.5}{0.17} \approx 2.94 \beta_a \approx 3\beta_a$ મળે છે.

(A) બહિર્ગોળ લેન્સ માટેની સ્થાનાંતરની રીત મુજબ,વસ્તુ (સ્લિટ) વચ્ચેનું અંતર $d$ એ લેન્સના બે અલગ-અલગ સ્થાનો પર રચાતા બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેના અંતર $d_1$ અને $d_2$ ના ગુણોત્તર મધ્યક જેટલું હોય છે.
$d = \sqrt{d_1 d_2}$
આપેલ છે:
$d_1 = 4.05 \times 10^{-3} \ m$
$d_2 = 2.9 \times 10^{-3} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(4.05 \times 10^{-3}) \times (2.9 \times 10^{-3})}$
$d = \sqrt{11.745 \times 10^{-6}}$
$d = 3.427 \times 10^{-3} \ m \approx 3.43 \times 10^{-3} \ m$.

(C) પાતળી ફિલ્મ પરાવર્તનથી અપ્રકાશિત દેખાય તે માટે વિનાશક વ્યતિકરણની શરત $2 \mu t \cos r = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
લઘુત્તમ જાડાઈ માટે $(n = 1)$ લેતા,સૂત્ર $t = \frac{n \lambda}{2 \mu \cos r}$ બને છે.
આપેલ છે: $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \, m$,$\mu = 1.5$ અને $r = 60^\circ$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{1 \times 6 \times 10^{-7}}{2 \times 1.5 \times \cos 60^\circ}$.
$\cos 60^\circ = 0.5$ હોવાથી,$t = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 0.5} = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.5} = 4 \times 10^{-7} \, m$.

(A) ફ્રેનલના બાયપ્રિઝમના પ્રયોગમાં,બાયપ્રિઝમના બે ભાગોમાંથી પ્રકાશના વક્રીભવનને કારણે સુસંબદ્ધ ઉદગમો મેળવવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં તરંગ અગ્રનું વિભાજન થાય છે. બે આભાસી ઉદગમો $S_1$ અને $S_2$ રચાય છે,જે વ્યતિકરણ ભાત માટે સુસંબદ્ધ ઉદગમો તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) જ્યારે નળાકાર સ્લાઈસને સપાટ કાચની પ્લેટ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેની હવાની જગ્યા એક ફાચર આકારની ફિલ્મ બનાવે છે જેની જાડાઈ નળાકારની અક્ષને સમાંતર રેખાઓ પર અચળ રહે છે.
$1$. આ ભાત નળાકાર સ્લાઈસની નીચેની સપાટી અને સપાટ કાચની પ્લેટની ઉપરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત પ્રકાશના વ્યતિકરણને કારણે રચાય છે.
$2$. અક્ષને સમાંતર દિશામાં હવાની ફિલ્મની જાડાઈ અચળ હોવાથી,ભાત સીધી અને નળાકારની અક્ષને સમાંતર હોય છે.
$3$. સંપર્ક રેખા પર,હવાની ફિલ્મની જાડાઈ $0$ હોય છે. કાચની સપાટી પરથી પરાવર્તન વખતે $\pi$ જેટલો કળા તફાવત ઉદ્ભવતો હોવાથી,પથ તફાવત $\lambda/2$ થાય છે,જેના પરિણામે ઘેરી ભાત (વિનાશક વ્યતિકરણ) રચાય છે.
$4$. સંપર્ક રેખાથી $x$ અંતરે હવાની ફિલ્મની જાડાઈ $t \approx x^2 / (2R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ નળાકારની ત્રિજ્યા છે. પ્રકાશિત ભાત માટેની શરત $2\mu t = (n + 1/2)\lambda$ છે. જેમ $x$ વધે છે,તેમ $t$ વધે છે,અને ભાતનું અંતર $\Delta x$ વાસ્તવમાં ઘટે છે,વધતું નથી. તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.

(C) જ્યારે સાબુની ફિલ્મને ઊભી રાખવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ફિલ્મની જાડાઈ ઉપરથી નીચે તરફ વધે છે. એકદમ ઉપરના ભાગે,જાડાઈ $t$ એ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(t \ll \lambda)$ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે. પાતળી ફિલ્મમાંથી પરાવર્તિત પ્રકાશ માટે,વિનાશક વ્યતિકરણની શરત $2\mu t = n\lambda$ $(n = 0, 1, 2, ...)$ છે. ઉપરના ભાગે,જ્યાં $t \approx 0$ છે,ત્યાં ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પરાવર્તનને કારણે $\pi$ જેટલો કળા તફાવત ઉદ્ભવે છે,જે અસરકારક રીતે $\lambda/2$ જેટલો પથ તફાવત આપે છે. આના પરિણામે તમામ દ્રશ્ય તરંગલંબાઇઓ માટે વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે,જેના કારણે ઉપરનો ભાગ કાળો દેખાય છે. જેમ આપણે નીચે જઈએ છીએ,તેમ જાડાઈ $t$ વધે છે. સૌથી પહેલા દેખાતો રંગ તે છે જે રચનાત્મક વ્યતિકરણની શરત $2\mu t = (n + 1/2)\lambda$ ને સૌથી નાના $n$ માટે સંતોષે છે. જાંબલી રંગની તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછી હોવાથી,તે લાલ રંગ કરતા ઓછી જાડાઈએ રચનાત્મક વ્યતિકરણની શરત સંતોષે છે. તેથી,નીચે તરફ જતાં જોવા મળતો પ્રથમ રંગ જાંબલી છે.

(A) $1.33$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પાતળા પડ માટે જે $1.50$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચ પર છે $(\mu_f < \mu_s)$,ઉપરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત પ્રકાશમાં $\pi$ નો કળા તફાવત (પથ તફાવત $\lambda/2$) ઉદભવે છે,જ્યારે નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત પ્રકાશમાં કોઈ કળા તફાવત ઉદભવતો નથી.
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રબળ પરાવર્તન) માટેની શરત $2\mu_f t = (n + 1/2)\lambda$ છે.
લઘુત્તમ જાડાઈ $t$ માટે,$n = 0$ લેતા,$2\mu_f t = \lambda/2$ અથવા $t = \lambda / (4\mu_f)$ મળે.
જોકે,ઘણા પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના દાખલાઓમાં,પાતળા પડમાં સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2\mu_f t = n\lambda$ તરીકે લેવામાં આવે છે.
પ્રથમ ક્રમ $(n=1)$ માટે $2\mu_f t = \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \lambda / (2\mu_f) = 600 / (2 \times 1.33) = 600 / 2.66 \approx 225.56 \, nm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $225 \, nm$ મળે છે.

(A) નોન-રિફ્લેક્ટિંગ કોટિંગ માટે,કોટિંગની ઉપરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતો પ્રકાશ અને કોટિંગની નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતો પ્રકાશ વિનાશક વ્યતિકરણ (destructive interference) અનુભવવો જોઈએ.
ધારો કે $n_c$ એ કોટિંગનો વક્રીભવનાંક છે,$n_a$ એ હવાનો વક્રીભવનાંક છે,અને $n_g$ એ કાચનો વક્રીભવનાંક છે,જ્યાં $n_a < n_c < n_g$ છે.
જ્યારે પ્રકાશ ઉપરની સપાટી (હવાથી કોટિંગ) પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ જેટલો કળા તફાવત આવે છે કારણ કે $n_c > n_a$ છે.
જ્યારે પ્રકાશ નીચેની સપાટી (કોટિંગથી કાચ) પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે પણ તેમાં $\pi$ જેટલો કળા તફાવત આવે છે કારણ કે $n_g > n_c$ છે.
બંને પરાવર્તનમાં $\pi$ જેટલો કળા તફાવત હોવાથી,વિનાશક વ્યતિકરણ માટે પથ તફાવત અડધી તરંગલંબાઇના એકી ગુણાંકમાં હોવો જોઈએ.
$t$ જાડાઈના કોટિંગમાંથી પ્રકાશના આવવા-જવાના પથનો તફાવત $2t$ છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે: $2t = (m + \frac{1}{2}) \lambda$,જ્યાં $m = 0, 1, 2, ...$.
સૌથી પાતળા પડ માટે,આપણે $m = 0$ લઈએ છીએ,જે $2t = \frac{\lambda}{2}$ આપે છે.
તેથી,$t = \frac{\lambda}{4}$.

(D) $1$. બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a = 1 \, m$ એ ઉદગમથી બાયપ્રિઝમનું અંતર છે, $\mu = 1.5$, અને $\alpha = 2 \times 10^{-3} \, \text{rad}$ છે.
$2$. કિંમતો મૂકતા: $d = 2 \times 1 \times (1.5 - 1) \times 2 \times 10^{-3} = 2 \times 0.5 \times 2 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-3} \, m$.
$3$. શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $D$ એ ઉદગમથી પડદા સુધીનું કુલ અંતર છે, $D = 1 + 4 = 5 \, m$, અને $\lambda = 6000 \times 10^{-10} \, m$.
$4$. $\beta = \frac{5 \times 6000 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-3}} = 1.5 \times 10^{-3} \, m = 1.5 \, mm$.
$5$. પડદા પર વ્યતિકરણ ભાતની પહોળાઈ બાયપ્રિઝમની ભૂમિતિ દ્વારા મર્યાદિત છે. પડદા પર ઓવરલેપિંગ વિસ્તારની પહોળાઈ $W = 2(\mu - 1)\alpha(a+b) = 2(0.5)(2 \times 10^{-3})(5) = 10 \times 10^{-3} \, m = 10 \, mm$ છે.
$6$. શલાકાઓની સંખ્યા $N = \frac{W}{\beta} = \frac{10 \, mm}{1.5 \, mm} \approx 6.66$. તેથી, જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $6$ છે.

(B) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્ત્રોત અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે આભાસી સ્ત્રોતો વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $20\beta_1 = 2\, cm$,તેથી $\beta_1 = \frac{2}{20} = 0.1\, cm = 1\, mm$.
આમ,$\beta_1 = \frac{\lambda_1 D}{d} = 1\, mm$.
બીજા કિસ્સા માટે: $30\beta_2 = 2.7\, cm$,તેથી $\beta_2 = \frac{2.7}{30} = 0.09\, cm = 0.9\, mm$.
આમ,$\beta_2 = \frac{\lambda_2 D}{d} = 0.9\, mm$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.9}{1} = 0.9$.
તેથી,$\lambda_2 = 0.9 \times \lambda_1 = 0.9 \times 6000\, \mathring{A} = 5400\, \mathring{A}$.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ બે આભાસી સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
ફ્રેનલ બાયપ્રિઝમ માટે,બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d = 2a(\mu - 1)\alpha$ છે,જ્યાં $a$ એ બાયપ્રિઝમથી ઉદગમનું અંતર છે.
આપાત કિરણપુંજ સમાંતર હોવાથી,ઉદગમ અનંત અંતરે છે.
બાયપ્રિઝમ પર આપાત થતા સમાંતર કિરણપુંજના સંદર્ભમાં,ફ્રિન્જની પહોળાઈનું પ્રમાણિત સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{2(\mu - 1)\alpha}$ થાય છે.

(C) $1$. વિધાન $- 1$ ખોટું છે. જ્યારે પ્રકાશ હવા (પાતળું માધ્યમ) માંથી કાચ (ઘટ્ટ માધ્યમ) ની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે $\pi$ જેટલો કળા તફાવત ઉદભવે છે. પરંતુ વિધાન $- 1$ માં દર્શાવેલ આંતર સપાટી સંદર્ભમાં ભૂલ છે. કાચની પ્લેટની સપાટી પર પરાવર્તન થતી વખતે $\pi$ નો કળા તફાવત આવે છે.
$2$. વિધાન $- 2$ સાચું છે. લેન્સ અને કાચની પ્લેટના સંપર્ક બિંદુએ હવાનું પડ શૂન્ય જાડાઈનું હોય છે. નીચેની સપાટી (કાચની પ્લેટ) પરથી પરાવર્તિત પ્રકાશમાં $\pi$ નો કળા તફાવત આવે છે,જ્યારે ઉપરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત પ્રકાશમાં આવું થતું નથી. આથી,વિનાશક વ્યતિકરણ રચાય છે અને કેન્દ્ર અંધારું (dark) મળે છે.

(A) પ્રવાહીની ફાચર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વ્યતિકરણ ભાત માટે શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda}{2\mu\theta}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$\mu$ એ પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક છે અને $\theta$ એ ફાચરનો ખૂણો છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $\beta$ એ ફાચરના ખૂણા $\theta$ અને પ્રવાહીના વક્રીભવનાંક $\mu$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટાડવા માટે,આપણે સમીકરણના છેદમાં રહેલી કિંમત વધારવી જોઈએ.
તેથી,પ્રવાહીની ફાચરનો ખૂણો $\theta$ વધારવાથી શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટશે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) લંબ આપાત માટે,ઉપરની સપાટી અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = 2 \mu_1 t$ છે.
તેલનો વક્રીભવનાંક $(\mu_1 = 1.2)$ પાણીના વક્રીભવનાંક $(\mu_2 = 1.33)$ કરતા ઓછો હોવાથી,નીચેની સપાટી પર કોઈ કળા તફાવત આવતો નથી,પરંતુ ઉપરની સપાટી પર (ઘટ્ટ માધ્યમથી પરાવર્તન) $\pi$ જેટલો કળા તફાવત આવે છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ (અંધારું દેખાવ) માટેની શરત $2 \mu_1 t = n \lambda$ છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (તેજસ્વી દેખાવ) માટેની શરત $2 \mu_1 t = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે.
અંધારામાંથી તેજસ્વી દેખાવમાં બદલાવા માટે,પથ તફાવતમાં ફેરફાર $\Delta(2 \mu_1 t) = 2 \mu_1 \Delta t = \frac{\lambda}{2}$ હોવો જોઈએ.
$\Delta t = \frac{\lambda}{4 \mu_1} = \frac{9.6 \times 10^{-7}}{4 \times 1.2} = \frac{9.6 \times 10^{-7}}{4.8} = 2 \times 10^{-7} \ m$.

(D) ફ્રેનલ બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણ એ બાયપ્રિઝમના બે ભાગો દ્વારા રચાયેલા બે આભાસી સુસંબદ્ધ ઉદગમોમાંથી આવતા પ્રકાશના તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે થાય છે.
જો બાયપ્રિઝમનો ઉપરનો અડધો ભાગ ઢાંકી દેવામાં આવે,તો બે આભાસી ઉદગમોમાંથી એક ઉદગમ બંધ થઈ જાય છે.
વ્યતિકરણ માટે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોનું હોવું જરૂરી છે,તેથી એક ઉદગમની ગેરહાજરીમાં સ્ક્રીન પર કોઈ વ્યતિકરણ ભાત રચાતી નથી.
તેથી,કોઈ વ્યતિકરણ ભાત જોવા મળતી નથી.

(B) $n_s > n_f > n_{air}$ હોય ત્યારે,પાતળા પડ માટે રચનાત્મક વ્યતિકરણ (પરાવર્તન મહત્તમ) ની શરત $2 n_f t = m \lambda$ છે.
અહીં,$m \lambda_1 = (m-1) \lambda_2$ લેતા,
$m \times 420 = (m-1) \times 630$
$2m = 3m - 3 \implies m = 3$.
$2 n_f t = 3 \times 420 = 1260 \ nm$.
$2 \times 1.4 \times t = 1260 \ nm$.
$t = 1260 / 2.8 = 450 \ nm$.