Single Slit Diffraction of Light Questions in Gujarati

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ $\theta$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\theta \propto \frac{1}{a}$.
તેથી,જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ વધે છે,તેમ મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ ઘટે છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ એ સ્લિટની પહોળાઈ $(a)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ વધે છે.

(C) સિંગલ-સ્લિટ ડિફ્રેક્શન પેટર્નમાં,મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા સ્લિટની પહોળાઈના વર્ગ $(a^2)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ને બમણી કરીને $2a$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગોનો કંપવિસ્તાર $2$ ના ગુણાંકમાં વધે છે. તીવ્રતા એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,નવી તીવ્રતા $I \propto (2a)^2 = 4I_0$ થશે. આમ,મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા $4$ ગણી વધશે.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં કેન્દ્રીય અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{blue})$ કરતા વધારે હોવાથી,વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ $\beta$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે વાદળી પ્રકાશને લાલ પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે વિવર્તન પટ્ટાઓ પહોળા બને છે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે, $n$ માં ક્રમના મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (n + 1/2) \lambda$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = x/D$, જ્યાં $x$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે અને $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે।
તેથી, $a(x/D) = (n + 1/2) \lambda$.
દ્વિતીય ક્રમના મહત્તમ માટે, $n = 2$, તેથી $a = \frac{(2 + 1/2) \lambda D}{x} = \frac{2.5 \lambda D}{x}$.
આપેલ છે: $\lambda = 580 \times 10^{-9} \,m$, $D = 2.5 \,m$, $x = 14.5 \times 10^{-3} \,m$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{2.5 \times 580 \times 10^{-9} \times 2.5}{14.5 \times 10^{-3}} \,m$.
$a = \frac{3625 \times 10^{-9}}{14.5 \times 10^{-3}} \,m = 250 \times 10^{-6} \,m = 0.25 \times 10^{-3} \,m \approx 0.26 \times 10^{-3} \,m$.

(B) $n$-માં વિવર્તન ન્યૂનતમ માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ન્યૂનતમનો ક્રમ છે.
બીજા ન્યૂનતમ માટે,આપણે $n = 2$ લઈએ છીએ,જે પથ તફાવત $\Delta x = 2\lambda$ આપે છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
બીજા ન્યૂનતમ માટે $\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (2\lambda) = 4\pi$.
તેથી,બીજા ન્યૂનતમ પર સ્લિટની બે ધારમાંથી આવતા કિરણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $4\pi$ છે.

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ $\theta$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\theta \propto \frac{1}{d}$).
તેથી,જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $d$ વધે છે,તેમ મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ ઘટે છે.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે,ન્યૂનતમની શરત $d \sin \theta = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે,$d \sin 30^{\circ} = \lambda$.
$\sin 30^{\circ} = 0.5$ હોવાથી,$d(0.5) = \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $d = 2\lambda$.
ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2})\lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પ્રથમ ગૌણ અધિકતમ $(n=1)$ માટે,$d \sin \theta = (1 + \frac{1}{2})\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
સમીકરણમાં $d = 2\lambda$ મૂકતા:
$2\lambda \sin \theta = \frac{3}{2}\lambda$
$\sin \theta = \frac{3}{4}$
$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta y = \frac{2 \lambda D}{a}$
આપેલ છે:
પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$
પડદાનું અંતર $D = 80 \,cm = 0.8 \,m$
તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \,m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-3} = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.8}{a}$
સ્લિટની પહોળાઈ $a$ માટે ગણતરી કરતા:
$a = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \times 0.8}{5 \times 10^{-3}}$
$a = \frac{9.6 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}}$
$a = 1.92 \times 10^{-4} \,m = 0.192 \,mm$

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્લિટની પહોળાઈ $a$ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $w$ જેટલી છે.
તેથી,આપણે $a = \frac{2 \lambda D}{a}$ લખી શકીએ.
$D$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા,આપણને મળે: $a^2 = 2 \lambda D$.
આમ,$D = \frac{a^2}{2 \lambda}$.

(B) એક સ્લિટ વડે થતા વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $a$ પર આધાર રાખે છે.
તે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $D$ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $(W)$ નું સૂત્ર $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $W$ એ $\lambda$,$D$ અને $a$ પર આધાર રાખે છે.
કારણ કે $\lambda = \frac{c}{f}$ (જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે),તેથી પહોળાઈ પ્રકાશની આવૃત્તિ પર પણ આધાર રાખે છે.
આમ,મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ વિકલ્પ $A$,$B$ અને $C$ માં દર્શાવેલ તમામ પરિબળો પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ પણ નહીં' છે (એટલે કે તે આપેલ તમામ પર આધાર રાખે છે).

(A) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં $n^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $y_n = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda D}{a}$ છે.
લાલ પ્રકાશ $(\lambda_1 = 6000 \text{ Å})$ ના $2^{\text{nd}}$ ગૌણ મહત્તમ માટે, સ્થાન $y_2 = (2 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda_1 D}{a} = 2.5 \frac{\lambda_1 D}{a}$ છે.
અજ્ઞાત તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ ના $3^{\text{rd}}$ ગૌણ મહત્તમ માટે, સ્થાન $y_3 = (3 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda_2 D}{a} = 3.5 \frac{\lambda_2 D}{a}$ છે.
જ્યારે મહત્તમ સંપાત થાય છે, ત્યારે $y_2 = y_3$, જેનો અર્થ છે કે $2.5 \lambda_1 = 3.5 \lambda_2$.
કિંમતો મૂકતા: $2.5 \times 6000 = 3.5 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{2.5 \times 6000}{3.5} = \frac{15000}{3.5} \approx 4285.7 \text{ Å} \approx 4300 \text{ Å}$.

(C) આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 5400 \text{ Å} = 5.4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.96 \text{ mm} = 0.96 \times 10^{-3} \text{ m}$.
પડદાનું અંતર $D = 2 \text{ m}$.
$n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા $(n = 1)$ માટે, કેન્દ્રથી અંતર $y_1 = \frac{\lambda D}{a}$ છે।
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની બંને બાજુએ પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $2y_1 = \frac{2 \times 5.4 \times 10^{-7} \times 2}{0.96 \times 10^{-3}} = 2.25 \text{ mm}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ, $2.4 \text{ mm}$ એ સૌથી નજીકનો જવાબ છે।

(B) આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.3 \text{ mm} = 0.3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
પડદાનું અંતર $D = 3 \text{ m}$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર $x = 5.5 \text{ mm} = 5.5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, પ્રથમ ન્યૂનતમની શરત $a \sin \theta = \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$.
તેથી, $a \left( \frac{x}{D} \right) = \lambda$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{ax}{D} = \frac{(0.3 \times 10^{-3} \text{ m}) \times (5.5 \times 10^{-3} \text{ m})}{3 \text{ m}}$.
$\lambda = 0.1 \times 10^{-3} \times 5.5 \times 10^{-3} \text{ m} = 0.55 \times 10^{-6} \text{ m} = 5.5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 5500 \times 10^{-10} \text{ m} = 5500 \text{ Å}$.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
અહીં,$a = 10^{-3} \ mm = 10^{-6} \ m$,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$,અને પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\sin \theta = \frac{n \lambda}{a} = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7} \ m}{10^{-6} \ m}$
$\sin \theta = \frac{5 \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-7}} = 0.5 = \frac{1}{2}$
તેથી,વિવર્તનનો ખૂણો $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2 \lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ જેટલી છે,તેથી $\beta = d$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $d = \frac{2 \lambda D}{d}$ મળે છે.
$D$ ને કર્તા બનાવતા,$D = \frac{d^{2}}{2 \lambda}$ મળે છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2 \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
કોણીય પહોળાઈ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $d$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $D$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જ્યારે અંતર $D$ બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્રિન્જ વચ્ચેનું કોણીય અંતર સમાન રહે છે.

(D) સૂર્યોદય થાય તે પહેલાં પર્વતની કિનારી પર દેખાતી પ્રકાશિત સીમા એ પ્રકાશના વિવર્તનને કારણે હોય છે. વિવર્તન એ અવરોધ અથવા છિદ્રની કિનારીઓ પરથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે. જ્યારે સૂર્ય ક્ષિતિજની થોડો નીચે હોય છે,ત્યારે પ્રકાશના કિરણો પર્વતની કિનારીઓ પાસેથી પસાર થાય છે. આ કિરણો વિવર્તનને કારણે કિનારીઓ પર વાંકા વળે છે,જેનાથી પર્વતની કિનારી પ્રકાશિત દેખાય છે.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તનમાં,ન્યૂનતમ માટેની શરત $b \sin \theta = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = \pm 1, \pm 2, \dots$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\theta = \frac{n\lambda}{b}$.
મધ્યસ્થ મહત્તમ એ પ્રથમ ન્યૂનતમ $\theta = -\frac{\lambda}{b}$ અને $\theta = \frac{\lambda}{b}$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
ગૌણ મહત્તમ એ ન્યૂનતમની વચ્ચે આશરે $\theta = \pm \frac{3\lambda}{2b}, \pm \frac{5\lambda}{2b}, \dots$ પર સ્થિત હોય છે.
કોઈપણ ગૌણ મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ એ તેની આસપાસના બે ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર છે.
કોણીય પહોળાઈ $= \theta_{n+1} - \theta_{n-1} = \frac{(n+1)\lambda}{b} - \frac{(n-1)\lambda}{b} = \frac{2\lambda}{b}$.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ સૌથી વધુ તેજસ્વી અને પહોળું હોય છે. જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ ગૌણ અધિકતમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે અને ફ્રિન્જની પહોળાઈ મધ્યસ્થ અધિકતમની તુલનામાં અસમાન રહે છે. તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ અને તીવ્રતા બંને અસમાન હોય છે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ સૌથી વધુ તીવ્ર અને પહોળું હોય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $\beta_0 = \frac{2\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મધ્યસ્થ શલાકાની પહોળાઈ અન્ય શલાકાઓ કરતા બમણી હોય છે.
આથી,વિકલ્પ $A$,$B$ કે $C$ માંથી કોઈ પણ આ ગુણધર્મનું સાચું વર્ણન કરતા નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે. જો સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ને બમણી $(a' = 2a)$ કરવામાં આવે,તો નવી કોણીય પહોળાઈ $\theta' = \frac{2\lambda}{2a} = \frac{\theta}{2}$ થાય છે. આમ,કોણીય પહોળાઈ અડધી થઈ જાય છે.
તીવ્રતાના સંદર્ભમાં,મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતા સ્લિટની પહોળાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto a^2)$. જો સ્લિટની પહોળાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' \propto (2a)^2 = 4a^2 = 4I$ થાય છે. તેથી,તીવ્રતા $4$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.

(A) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે આપેલ છે: $a \sin 30^{\circ} = \lambda \Rightarrow a(1/2) = \lambda \Rightarrow a = 2\lambda$.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n=1)$ માટે: $a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$.
સમીકરણમાં $a = 2\lambda$ મૂકતા: $(2\lambda) \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
$\sin \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) એક સ્લિટ વડે થતા પ્રકાશના વિવર્તનમાં,મધ્યસ્થ (મુખ્ય) અધિકતમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W_{c} = \frac{2 \lambda D}{d}$
પ્રશ્ન મુજબ,મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ જેટલી છે,તેથી $W_{c} = d$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{2 \lambda D}{d}$
$D$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$D = \frac{d^2}{2 \lambda}$

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે। નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$ થાય.
આમ, $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$, $D = 2 \,m$, $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n=1)$:
$y_1 = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9} \times 2}{10^{-3}} = 1200 \times 10^{-6} \,m = 1.2 \times 10^{-3} \,m = 1.2 \,mm$.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની બંને બાજુએ આવેલી પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $2 y_1 = 2 \times 1.2 \,mm = 2.4 \,mm$ થાય.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે, $n = 1$, તેથી $d \frac{y}{D} = \lambda$.
સ્લિટની પહોળાઈ $d$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $d = \frac{\lambda D}{y}$.
આપેલ છે: $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$, $D = 2 \text{ m}$, અને $y = 5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{(5 \times 10^{-7} \text{ m}) \times (2 \text{ m})}{5 \times 10^{-3} \text{ m}} = 2 \times 10^{-4} \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $d = 2 \times 10^{-4} \times 10^2 \text{ cm} = 0.02 \text{ cm}$.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તનની ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ સૌથી વધુ તેજસ્વી અને પહોળું હોય છે. મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $2\lambda D/a$ છે,જ્યારે ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\lambda D/a$ છે. જેમ જેમ શલાકાઓનો ક્રમ વધે છે,તેમ તીવ્રતામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે. તેથી,એક સ્લિટ દ્વારા મેળવવામાં આવતી વિવર્તન શલાકાઓ અસમાન પહોળાઈ અને અસમાન તીવ્રતા ધરાવે છે.

(D) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-માં મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે।
પ્રથમ મહત્તમ $(n=1)$ માટે,સ્ક્રીન પરનું સ્થાન $x = \frac{3 \lambda D}{2 d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $\lambda_1 = 590 \,nm$,$\lambda_2 = 596 \,nm$,$D = 1.5 \,m$,$d = 2 \times 10^{-6} \,m$.
પ્રથમ મહત્તમની સ્થિતિઓ વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = x_2 - x_1 = \frac{3 D}{2 d} (\lambda_2 - \lambda_1)$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{3 \times 1.5}{2 \times 2 \times 10^{-6}} \times (596 - 590) \times 10^{-9} \,m$.
$\Delta x = \frac{4.5}{4 \times 10^{-6}} \times 6 \times 10^{-9} \,m$.
$\Delta x = 1.125 \times 10^6 \times 6 \times 10^{-9} \,m = 6.75 \times 10^{-3} \,m = 6.75 \,mm$.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં $n$-માં ગૌણ મહત્તમ માટે,સ્લિટની ધાર પરથી આવતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ગૌણ મહત્તમનો ક્રમ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n = 1)$ માટે,પથ તફાવત $x_1 = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$ થાય.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$ છે.
$x_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{3\lambda}{2} \right) = 3\pi$ મળે છે.

(B) ફ્રિન્જ વચ્ચેનું કોણીય અંતર $\theta$ એ સૂત્ર $\theta = \frac{\beta}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ ફ્રિન્જની પહોળાઈ છે અને $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ હોવાથી,તેને $\theta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા $\theta = \frac{(\frac{D \lambda}{d})}{D} = \frac{\lambda}{d}$ મળે છે.
અહીં,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જેમ કે $\theta$ ના સમીકરણમાં $D$ પદનો સમાવેશ થતો નથી,તેથી કોણીય અંતર એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતરથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોણીય અંતર સમાન રહે છે.

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ તરંગલંબાઈ સાથે $\lambda = \frac{c}{f}$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,કોણીય પહોળાઈ આવૃત્તિ પર પણ આધાર રાખે છે.
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે કોણીય ફેલાવો એ તરંગલંબાઈ (અને તેથી આવૃત્તિ) અને સ્લિટની પહોળાઈ પર આધાર રાખે છે.
તે સ્લિટ અને ઉદગમ વચ્ચેના અંતર અથવા સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) એક-સ્લિટ વિવર્તનમાં $n$-મા ક્રમના ગૌણ અધિક્તમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$
આપેલ છે:
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.01 \ cm = 10^{-4} \ m$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ m$
અધિક્તમનો ક્રમ $n = 2$
કિંમતો મૂકતા:
$\sin \theta = (2 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda}{a}$
$\sin \theta = \frac{2.5 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-4}}$
$\sin \theta = 12.5 \times 10^{-3} = 0.0125$
અહીં $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta$ લેતા.
તેથી,$\theta = 0.0125 \ \text{rad}$.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે।
એક સ્લિટની વિવર્તન ભાતમાં, મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે।
આ દર્શાવે છે કે વિવર્તનની અસર તરંગલંબાઇના સીધા પ્રમાણમાં છે $(\text{diffraction} \propto \lambda)$.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{Y})$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{B})$ કરતા વધારે હોવાથી, એટલે કે $\lambda_{Y} > \lambda_{B}$, પીળા પ્રકાશ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વિવર્તન ભાત વધુ વિસ્તૃત થશે।
તેથી, મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પહોળા થાય છે અને એકબીજાથી વધુ દૂર જાય છે।

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ $\beta = \frac{2 \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ જેટલી છે,તેથી $\beta = a$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$a = \frac{2 \lambda D}{a}$
$D$ માટે ઉકેલતા:
$D = \frac{a^{2}}{2 \lambda}$

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તનમાં,પ્રથમ ન્યૂનતમ (જ્યાં પ્રકાશનું વિવર્તન થાય છે) માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ,તેથી $a \sin \theta = \lambda$.
ખૂણો $\theta$ ખૂબ જ નાનો હોવાથી,આપણે $\sin \theta \approx \theta$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$a \theta \approx \lambda$,જે આપણને $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ આપે છે.
આમ,વિવર્તનનો ખૂણો આશરે $\frac{\lambda}{a}$ છે.

(D) વિવર્તન એ અવરોધની કિનારીઓ પરથી અથવા છિદ્રમાંથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની કે ફેલાવાની ઘટના છે.
નોંધપાત્ર વિવર્તન જોવા મળે તે માટે,અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $( \lambda )$ ની સરખામણીમાં હોવું જોઈએ.
જો અવરોધનું કદ તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું મોટું હોય,તો પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે (સુરેખ પ્રસરણ),અને વિવર્તન નહિવત હોય છે.
તેથી,વિવર્તન જોવા માટેની શરત એ છે કે અવરોધનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈના ક્રમનું હોવું જોઈએ.

(A) એક સ્લિટ પર ફ્રોનહોફર વિવર્તનના કિસ્સામાં,તરંગ અગ્રના વિવિધ ભાગોમાંથી આવતા પ્રકાશના તરંગો વ્યતિકરણ પામીને સ્ક્રીન પર વિવર્તન ભાત રચે છે.
આ ભાતમાં સ્ક્રીનના કેન્દ્રમાં એક મુખ્ય પ્રકાશિત મહત્તમ (કેન્દ્રીય પ્રકાશિત પટ્ટો) હોય છે.
આ કેન્દ્રીય મહત્તમની બંને બાજુએ ગૌણ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ હોય છે,જે એકાંતરે પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત પટ્ટાઓ તરીકે દેખાય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રીય મહત્તમથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ આ ગૌણ મહત્તમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટતી જાય છે.

(A) કોમ્પેક્ટ ડિસ્ક $(CD)$ ની સપાટી પર નજીક-નજીક ગોઠવાયેલી ઘણી બધી ખાંચાઓ હોય છે જે વિવર્તન ગ્રેટિંગ (diffraction grating) તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશ આ ખાંચાઓ પર પડે છે,ત્યારે પ્રકાશનું વિવર્તન થાય છે.
વિવર્તન કોણ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ પર આધારિત હોવાથી,સફેદ પ્રકાશમાં રહેલા વિવિધ રંગો અલગ-અલગ ખૂણે વિવર્તિત થાય છે.
આના પરિણામે સફેદ પ્રકાશ તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે,જેનાથી રંગીન પટ્ટાઓ જોવા મળે છે.

(B) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 6500 Å = 6500 \times 10^{-10} \text{ m}$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
એક સ્લિટના વિવર્તન ભાત માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $a \sin 30^{\circ} = 1 \times (6500 \times 10^{-10} \text{ m})$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $a \times 0.5 = 6500 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$a = 2 \times 6500 \times 10^{-10} \text{ m} = 13000 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$a = 1.3 \times 10^{-6} \text{ m} = 1.3 \text{ micron}$.

(D) એકલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $w = 2\lambda D/a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યારે ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\lambda D/a$ હોય છે.
આમ,મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ ગૌણ અધિકતમ કરતા બમણી હોય છે (વિધાન $I$ સાચું છે).
જેમ આપણે મધ્યસ્થ અધિકતમથી દૂર જઈએ છીએ તેમ ગૌણ અધિકતમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે (વિધાન $II$ સાચું છે).
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (વિધાન $III$ ખોટું છે).
મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા ગૌણ અધિકતમ કરતા ઘણી વધારે હોય છે (વિધાન $IV$ ખોટું છે).
તેથી,વિધાનો $I$ અને $II$ સાચા છે.

(B) $a$ પહોળાઈની એકલ સ્લિટને કારણે થતા ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં, મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = \pm \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \theta$, તેથી $\theta = \pm \frac{\lambda}{a}$ મળે.
મધ્યસ્થ (મુખ્ય) અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ એ બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું કોણીય અંતર છે.
તેથી, કોણીય પહોળાઈ $= \theta - (-\theta) = 2\theta = \frac{2\lambda}{a}$ થાય.

(D) એક સ્લિટના ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ (અથવા મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ) સૂત્ર $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ વપરાયેલા પ્રકાશની તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા વધારે હોવાથી $(\lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{blue}})$,પીળા પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવાથી તરંગલંબાઇમાં ઘટાડો થાય છે.
પરિણામે,વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ ઘટશે,એટલે કે પટ્ટાઓ વધુ સાંકડા બનશે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.2 \,mm = 0.2 \times 10^{-3} \,m$.
એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9} \,m}{0.2 \times 10^{-3} \,m}$.
$\theta = \frac{1200 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 6000 \times 10^{-6} \,rad = 6 \times 10^{-3} \,rad$.
આમ, મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $6 \times 10^{-3} \,rad$ છે।

(B) એક સ્લિટના વિવર્તનના પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $\beta$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\beta \propto 1/a)$.
તેથી,જો સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ઘટાડવામાં આવે,તો મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ $\beta$ વધશે.
વધુમાં,જેમ સ્લિટની પહોળાઈ ઘટે છે,તેમ સ્લિટમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો જથ્થો ઘટે છે,જેના પરિણામે મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે અને તે ઓછી પ્રકાશિત બને છે.