Single Slit Diffraction of Light Questions in Gujarati

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\theta \propto \lambda$.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{B})$ એ પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{y})$ કરતા ઓછી હોવાથી,એટલે કે $\lambda_{B} < \lambda_{y}$.
તેથી,વાદળી પ્રકાશ માટે વિવર્તન ભાતની કોણીય પહોળાઈ પીળા પ્રકાશ કરતા ઓછી હશે,જેનો અર્થ છે કે શલાકાઓ વધુ સાંકડી બનશે.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે પ્રથમ ન્યૂનતમની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1$ છે.
આપેલ છે: $\theta = 30^o$,$\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a \sin(30^o) = 1 \times (5 \times 10^{-7} \, m)$
$a \times (0.5) = 5 \times 10^{-7} \, m$
$a = 10 \times 10^{-7} \, m = 10^{-6} \, m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$a = 10^{-6} \, m = 10^{-6} \times 10^2 \, cm = 10^{-4} \, cm$.
આમ,સ્લિટની પહોળાઈ $1.0 \times 10^{-4} \, cm$ છે.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 6500 \, \mathring{A} = 6500 \times 10^{-10} \, \text{m}$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,અને પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a \sin 30^{\circ} = 1 \times 6500 \, \mathring{A}$
$a \times 0.5 = 6500 \, \mathring{A}$
$a = 13000 \, \mathring{A}$
માઈક્રોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$a = 13000 \times 10^{-10} \, \text{m} = 1.3 \times 10^{-6} \, \text{m} = 1.3 \, \mu\text{m}$.

(C) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર: $w = \frac{2 D \lambda}{a}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
સ્લિટની પહોળાઈ $(a)$ $= 0.20 \, mm = 0.20 \times 10^{-3} \, m$.
તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ $= 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$.
પડદાનું અંતર $(D)$ $= 80 \, cm = 0.8 \, m$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$w = \frac{2 \times 0.8 \times 500 \times 10^{-9}}{0.20 \times 10^{-3}}$
$w = \frac{1.6 \times 500 \times 10^{-9}}{0.20 \times 10^{-3}}$
$w = 8 \times 500 \times 10^{-6} \, m$
$w = 4000 \times 10^{-6} \, m = 4 \times 10^{-3} \, m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$w = 4 \, mm$.

(A) વિવર્તન માટેની શરત એ છે કે છિદ્ર (aperture) અથવા અવરોધનું પરિમાણ $(a)$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના ક્રમનું હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને $a \approx \lambda$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{a}{\lambda} \approx 1$ થાય છે.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ (મુખ્ય) અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\beta = \frac{2\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે.
જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $d$ ઘટાડવામાં આવે છે, તેમ મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ વધે છે કારણ કે પહોળાઈ એ $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\beta \propto \frac{1}{d})$.
જો કે, જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $d$ ઘટે છે, તેમ સ્લિટમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનું પ્રમાણ ઘટે છે, જેના પરિણામે વિવર્તન ભાતની તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે. તેથી, મુખ્ય અધિકતમ ઓછું તેજસ્વી બને છે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં $n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$ થાય.
આમ,$n$-માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $x = \frac{n \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.30 \, mm = 0.30 \times 10^{-3} \, m = 3 \times 10^{-4} \, m$.
અંતર $D = 2 \, m$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{1 \times 6 \times 10^{-7} \times 2}{3 \times 10^{-4}}$
$x = \frac{12 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}}$
$x = 4 \times 10^{-3} \, m$.

(A) આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $a = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$.
પડદાનું અંતર $D = 1 \, m$.
એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ છે,જે $x = 2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2 \times (500 \times 10^{-9} \, m) \times (1 \, m)}{2 \times 10^{-3} \, m}$.
$x = 500 \times 10^{-6} \, m = 0.5 \times 10^{-3} \, m = 0.5 \, mm$.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.3 \, mm = 0.3 \times 10^{-3} \, m = 3 \times 10^{-4} \, m$.
એક સ્લિટના વિવર્તનમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$.
તેથી,$a \sin \theta = \lambda$.
અહીં $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta$ લઈ શકાય.
તેથી,$\theta = \frac{\lambda}{a}$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \, rad$.

(D) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં,ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે,આપણે સમીકરણમાં $n = 1$ મૂકીએ છીએ:
$a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2}$
$a \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$.
આપેલ છે: $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$ અને $\theta = 30^\circ$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $a \sin 30^\circ = 1 \times (5 \times 10^{-7} \, m)$.
કારણ કે $\sin 30^\circ = 0.5$,તેથી $a \times 0.5 = 5 \times 10^{-7} \, m$.
$a = \frac{5 \times 10^{-7}}{0.5} = 10 \times 10^{-7} \, m = 10^{-6} \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $10^{-6} \, m = 10^{-6} \times 10^2 \, cm = 10^{-4} \, cm$.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$.
આમ,$n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $x = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \, m$,$x = 5 \, mm = 5 \times 10^{-3} \, m$,$D = 2 \, m$,અને પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $d = \frac{n \lambda D}{x} = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7} \times 2}{5 \times 10^{-3}}$.
$d = \frac{10 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{-4} \, m$.
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા: $d = 2 \times 10^{-4} \times 10^3 \, mm = 0.2 \, mm$.

(C) જ્યારે એક સાંકડી સ્લિટને એકરંગી પ્રકાશના સમાંતર કિરણપુંજ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશનું વિવર્તન થાય છે.
એક-સ્લિટ વિવર્તનના સિદ્ધાંત મુજબ,પડદા પરની તીવ્રતાનું વિતરણ એક મધ્યસ્થ અધિકતમ (તેજસ્વી શલાકા) ધરાવે છે જે સૌથી વધુ તેજસ્વી હોય છે.
આ મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ ગૌણ અધિકતમ અને ન્યૂનતમ હોય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ તેમ આ ગૌણ અધિકતમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે.
તેથી,એક તેજસ્વી મધ્યસ્થ શલાકા જેની બંને બાજુએ ઝડપથી ઘટતી તીવ્રતાવાળી શલાકાઓ જોવા મળે છે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે.
આપેલ છે: $\lambda = 550\, nm = 550 \times 10^{-9}\, m$,$a = 22.0 \times 10^{-5}\, cm = 22.0 \times 10^{-7}\, m$,અને બીજા ન્યૂનતમ માટે $n = 2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a \sin \theta = 2\lambda$
$\sin \theta = \frac{2\lambda}{a} = \frac{2 \times 550 \times 10^{-9}}{22.0 \times 10^{-7}}$
$\sin \theta = \frac{1100 \times 10^{-9}}{22.0 \times 10^{-7}} = \frac{1100}{2200} = 0.5$
કારણ કે $\sin \theta = 0.5$,તેથી $\theta = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}\, rad$.

(B) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $b \sin \theta = n \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$,જ્યાં $x$ એ મધ્યસ્થ અધિકતમથી અંતર છે અને $D$ એ પડદાનું અંતર છે.
તેથી,$x_n = \frac{n \lambda D}{b}$.
આપેલ છે કે $n=2$ માટે,$x_2 = 3\,cm$ અને $n=4$ માટે,$x_4 = 6\,cm$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x_n = n \left( \frac{\lambda D}{b} \right)$.
$n=2$ માટે: $3 = 2 \left( \frac{\lambda D}{b} \right) \Rightarrow \frac{\lambda D}{b} = 1.5\,cm$.
$n=4$ માટે: $6 = 4 \left( \frac{\lambda D}{b} \right) \Rightarrow \frac{\lambda D}{b} = 1.5\,cm$.
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ એ બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $w = 2x_1$ છે.
કારણ કે $x_1 = 1 \left( \frac{\lambda D}{b} \right) = 1.5\,cm$,તેથી મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $w = 2 \times 1.5 = 3\,cm$ થાય.

(B) આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.1\, mm = 10^{-4}\, m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000\, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10}\, m = 6 \times 10^{-7}\, m$.
પડદાનું અંતર $D = 0.5\, m$.
સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનમાં $n^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$, જ્યાં $x$ એ મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી અંતર છે।
તેથી, $a \left( \frac{x}{D} \right) = n \lambda \implies x = \frac{n \lambda D}{a}$.
ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા $(n = 3)$ માટે:
$x = \frac{3 \times (6 \times 10^{-7}\, m) \times 0.5\, m}{10^{-4}\, m}$.
$x = \frac{9 \times 10^{-7}}{10^{-4}}\, m = 9 \times 10^{-3}\, m = 9\, mm$.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda_1$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે અને $\lambda_1$ એ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે,$a \sin \theta = \lambda_R = 6600\,\mathring{A}$.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda_2}{2}$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n=1)$ માટે,$a \sin \theta = (2(1) + 1) \frac{\lambda_2}{2} = \frac{3}{2} \lambda_2$.
પ્રશ્ન મુજબ,લાલ પ્રકાશનું પ્રથમ ન્યૂનતમ અને અન્ય તરંગલંબાઈનું પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ સંપાત થાય છે,તેથી:
$6600 = \frac{3}{2} \lambda_2$.
$\lambda_2$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_2 = \frac{6600 \times 2}{3} = 2200 \times 2 = 4400\,\mathring{A}$.

(C) સિંગલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n\lambda$ છે, જ્યાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$ લેવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 5000 \,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-8} \,\text{cm} = 5 \times 10^{-5} \,\text{cm}$
$\theta = 30^o$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d \sin 30^o = 5000 \times 10^{-8} \,\text{cm}$
$d \times (1/2) = 5000 \times 10^{-8} \,\text{cm}$
$d = 2 \times 5000 \times 10^{-8} \,\text{cm}$
$d = 10000 \times 10^{-8} \,\text{cm} = 10 \times 10^{-5} \,\text{cm}$

(B) આપેલ છે: પડદાનું અંતર $D = 50 \, cm = 0.5 \, m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 600 \times 10^{-9} \, m$,અને પ્રથમ તથા ત્રીજા ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$.
સિંગલ સ્લિટ વિવર્તનમાં $n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n D \lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
પ્રથમ $(n=1)$ અને ત્રીજા $(n=3)$ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર:
$\Delta y = y_3 - y_1 = \frac{3 D \lambda}{a} - \frac{1 D \lambda}{a} = \frac{2 D \lambda}{a}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3 \times 10^{-3} = \frac{2 \times 0.5 \times 600 \times 10^{-9}}{a}$.
$a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{2 \times 0.5 \times 600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} = 200 \times 10^{-6} \, m = 0.2 \times 10^{-3} \, m = 0.2 \, mm$.

(B) વિવર્તન નોંધપાત્ર અને અવલોકનક્ષમ બને તે માટે,સ્લિટ અથવા અવરોધનું કદ આપાત પ્રકાશ તરંગની તરંગલંબાઈ જેટલું (comparable) હોવું જોઈએ. જો કદ તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું મોટું હોય,તો પ્રકાશ કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર (ray optics) મુજબ વર્તે છે અને વિવર્તનની અસરો નહિવત થઈ જાય છે.

(B) સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $x_n = \frac{n D \lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે: $D = 50\,cm = 0.5\,m$,$\lambda = 690\,nm = 690 \times 10^{-9}\,m$,અને પ્રથમ $(n=1)$ અને ત્રીજા $(n=3)$ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = x_3 - x_1 = 3.00\,mm = 3 \times 10^{-3}\,m$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta x = (3 - 1) \frac{D \lambda}{a} = \frac{2 D \lambda}{a}$.
$a$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $a = \frac{2 D \lambda}{\Delta x}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{2 \times 0.5 \times 690 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} = \frac{690 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} = 230 \times 10^{-6}\,m = 0.230\,mm$.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
આમ,પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ નું સ્થાન $y = \frac{\lambda D}{a}$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2y = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ છે: $a = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$,$\lambda = 500 \, nm = 5 \times 10^{-7} \, m$,અને $D = 1 \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$2y = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \, m) \times (1 \, m)}{2 \times 10^{-3} \, m} = 5 \times 10^{-4} \, m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $5 \times 10^{-4} \, m = 0.5 \, mm$.

(C) સ્લિટની પહોળાઈ $a = 10^4 \ \mathring{A} = 1000 \ nm$ છે. દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ આશરે $400 \ nm$ થી $700 \ nm$ ની વચ્ચે હોય છે. સ્લિટની પહોળાઈ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સાથે સરખાવી શકાય તેવી હોવાથી, વિવર્તન (diffraction) થાય છે.
એક-સ્લિટ વિવર્તનમાં, તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે કેન્દ્રમાં મધ્યસ્થ અધિકતમ (central maximum) રચાય છે. સૂર્યપ્રકાશમાં તમામ રંગો (શ્વેત પ્રકાશ) હોવાથી, મધ્યસ્થ અધિકતમ પર બધા રંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે, જેના કારણે કેન્દ્ર સફેદ દેખાય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ, તેમ ન્યૂનતમ અને ગૌણ અધિકતમનું સ્થાન તરંગલંબાઇ પર આધાર રાખે છે $(\sin \theta = n\lambda / a)$. જુદા જુદા રંગોની તરંગલંબાઇ અલગ-અલગ હોવાથી, તેઓ અલગ-અલગ ખૂણે વિવર્તિત થશે, જેના પરિણામે કેન્દ્રના તેજસ્વી ભાગની કિનારીઓ પર રંગોનું વિભાજન જોવા મળશે.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$ લેતા.
આપેલ છે: $\lambda = 6500\,\mathring{A} = 6500 \times 10^{-10}\, \text{m} = 6.5 \times 10^{-7}\, \text{m}$ અને $\theta = 30^\circ$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d \sin 30^\circ = 1 \times (6.5 \times 10^{-7}\, \text{m})$
$d \times 0.5 = 6.5 \times 10^{-7}\, \text{m}$
$d = \frac{6.5 \times 10^{-7}}{0.5}\, \text{m} = 13 \times 10^{-7}\, \text{m} = 1.3 \times 10^{-6}\, \text{m}$.
કારણ કે $1\, \mu\text{m} = 10^{-6}\, \text{m}$,તેથી $d = 1.3\, \mu\text{m}$ મળે છે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$,તેથી સમીકરણ $d \sin \theta = \lambda$ બને છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5000 \,\mathring{A} = 5000 \times 10^{-8} \, \text{cm} = 5 \times 10^{-5} \, \text{cm}$ અને $\theta = 30^o$.
કિંમતો મૂકતા: $d \sin 30^o = 5 \times 10^{-5} \, \text{cm}$.
કેમ કે $\sin 30^o = 0.5$,તેથી $d \times 0.5 = 5 \times 10^{-5} \, \text{cm}$.
તેથી,$d = \frac{5 \times 10^{-5}}{0.5} = 10 \times 10^{-5} \, \text{cm} = 1.0 \times 10^{-4} \, \text{cm}$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $'d'$ પહોળાઈની સાંકડી સ્લિટમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેમની તરંગ પ્રકૃતિને કારણે તેઓ વિવર્તન (diffraction) અનુભવે છે. પડદા પર વિવર્તન ભાતની તીવ્રતાનું વિતરણ સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં તીવ્રતા $I$ એ $N$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. કેન્દ્રીય મહત્તમ $y = 0$ પર જોવા મળે છે. પ્રથમ ન્યૂનતમ $y = \pm \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવેલી સ્થિતિ પર જોવા મળે છે. સ્લિટની પહોળાઈ $'d'$ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ સાથે તુલનાત્મક હોવાથી,વિવર્તન ભાત ફેલાયેલી હોય છે. આ તીવ્રતા વિતરણને દર્શાવતો આલેખ $y = 0$ પર કેન્દ્રીય શિખર અને બંને બાજુએ ગૌણ મહત્તમ દર્શાવે છે,જે આલેખ $A$ માં દર્શાવેલ ભાતને અનુરૂપ છે.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાત માટે,$n$-માં ક્રમના ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ ક્રમના ગૌણ અધિકતમ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ.
તેથી,$a \sin \theta = (1 + \frac{1}{2}) \lambda = \frac{3}{2} \lambda$.
જ્યારે $\theta$ ખૂબ નાનો હોય,ત્યારે $\sin \theta \approx \theta$ થાય.
તેથી,$\theta = \frac{3 \lambda}{2 a}$.
આપેલ છે: $\lambda = 5890 \times 10^{-10}\, m$ અને $a = 0.25 \times 10^{-3}\, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{3 \times 5890 \times 10^{-10}}{2 \times 0.25 \times 10^{-3}}$.
$\theta = \frac{17670 \times 10^{-10}}{0.5 \times 10^{-3}} = 35340 \times 10^{-7} = 3.534 \times 10^{-3}\, rad$.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાત માટે,$n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ન્યૂનતમનો ક્રમ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
પ્રથમ અને છઠ્ઠા ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_6 - y_1 = \frac{6 \lambda D}{a} - \frac{1 \lambda D}{a} = \frac{5 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ છે: $\Delta y = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$,$D = 0.5 \, m$,અને $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.5 \times 10^{-3} = \frac{5 \times (5 \times 10^{-7}) \times 0.5}{a}$
$a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{5 \times 5 \times 10^{-7} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}}$
$a = 25 \times 10^{-4} \, m = 2.5 \times 10^{-3} \, m = 2.5 \, mm$.

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $w = \frac{2D \lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{blue})$ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ કરતા ઓછી હોવાથી,પટ્ટાની પહોળાઈ $w$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે લાલ પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે તરંગલંબાઇ ઘટે છે,જેના કારણે વિવર્તન પટ્ટાઓ સાંકડા બને છે અને એકબીજાની નજીક આવે છે.

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\theta \propto \lambda$.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_B)$ એ પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_Y)$ કરતા ઓછી હોવાથી,એટલે કે $\lambda_B < \lambda_Y$,વિવર્તન ભાતની કોણીય પહોળાઈ ઘટશે.
તેથી,શલાકાઓ વધુ સાંકડી બનશે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
અહીં $\theta \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી,જો સ્લિટની પહોળાઈ $d$ બમણી કરવામાં આવે,તો કોણીય પહોળાઈ $\theta$ અડધી થઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે મધ્યસ્થ અધિકતમ વધુ સાંકડું બને છે.
જેમ મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ ઘટે છે,તેમ ઉર્જા નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત થાય છે,જેનાથી મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા વધે છે અને તે વધુ તેજસ્વી બને છે.

(B) પહોળાઈની એક સ્લિટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિવર્તન ભાતમાં,ન્યૂનતમ (minima) માટેની શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે (જ્યાં $n = \pm 1, \pm 2, \dots$).
ગૌણ અધિકતમ (secondary maxima) ન્યૂનતમની વચ્ચેના ભાગમાં જોવા મળે છે.
ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $a \sin \theta = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ગૌણ અધિકતમનો ક્રમ દર્શાવે છે.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે。
આપેલ છે કે ખૂણો $\theta$ ખૂબ જ નાનો છે, તેથી આપણે $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{f}$ લઈ શકીએ, જ્યાં $x$ એ મધ્યસ્થ અધિકતમથી અંતર છે અને $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે。
આ કિંમતને $n$ માં ન્યૂનતમની શરતમાં મૂકતા: $a \left( \frac{x}{f} \right) = n \lambda$.
ત્રીજા ન્યૂનતમ માટે, $n = 3$. આપેલ છે કે $a = 0.3 \times 10^{-3} \, m$, $x = 5 \times 10^{-3} \, m$, અને $f = 1 \, m$.
$\lambda$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\lambda = \frac{a x}{3 f}$.
$\lambda = \frac{0.3 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-3}}{3 \times 1} = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{3} = 0.5 \times 10^{-6} \, m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \times 10^{10} \, \mathring{A} = 5000 \, \mathring{A}$.

(D) એક સ્લિટની વિવર્તન ભાતમાં વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{blue})$ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ કરતા ઓછી હોવાથી,વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ $\beta$ ઘટશે.
તેથી,જ્યારે લાલ પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે વિવર્તન પટ્ટાઓ સાંકડા અને એકબીજાની નજીક આવે છે.

(A) મલમલનું કપડું એ તાંતણાઓની બનેલી એક ઝીણી જાળી છે,જે મોટી સંખ્યામાં નાની અને નજીક ગોઠવાયેલી તિરાડો (slits) બનાવે છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશ આ ઝીણી તિરાડોમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનું વિવર્તન (diffraction) થાય છે.
વિવર્તન ભાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધારિત હોવાથી,વિવિધ રંગો અલગ-અલગ ખૂણે વિવર્તિત થાય છે.
સફેદ પ્રકાશનું તેના ઘટક રંગોમાં આ રીતે થતું વિભાજન રંગીન વર્ણપટના અવલોકનમાં પરિણમે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) જ્યારે દૂરના સ્ત્રોતમાંથી આવતો પ્રકાશ એક નાના ગોળાકાર અવરોધ સાથે અથડાય છે,ત્યારે પ્રકાશના તરંગો અવરોધની કિનારીઓ પરથી વિવર્તન પામે છે.
હ્યુજન્સ-ફ્રેનલના સિદ્ધાંત મુજબ,અવરોધની કિનારી પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગોના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ગૌણ તરંગો ભૌમિતિક પડછાયાના કેન્દ્ર સુધી પહોંચે છે અને એકબીજા સાથે સમાન કળામાં હોય છે.
તેઓ સમાન કળામાં હોવાથી,તેઓ સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે પડછાયાના કેન્દ્રમાં એક તેજસ્વી ટપકું રચાય છે,જેને પોઈસન સ્પોટ અથવા અરાગો સ્પોટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે કારણ કે કેન્દ્રમાં સહાયક વ્યતિકરણ થાય છે,વિનાશક વ્યતિકરણ નહીં.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે પાણીના ટીપાં દ્વારા પ્રકાશના પ્રકીર્ણનને કારણે વાદળો સફેદ દેખાય છે.
વાદળોમાં પાણીના ટીપાંનું કદ દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણું મોટું હોય છે.
પ્રકીર્ણનના સિદ્ધાંત મુજબ, જ્યારે પ્રકીર્ણન કરતા કણનું કદ $(a)$ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ કરતા ઘણું મોટું હોય, એટલે કે $a \gg \lambda$, ત્યારે પ્રકીર્ણન તરંગલંબાઇથી સ્વતંત્ર હોય છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તમામ તરંગલંબાઇઓ સમાન રીતે પ્રકીર્ણન પામે છે, તેથી સંયુક્ત અસર સફેદ પ્રકાશ તરીકે અનુભવાય છે.
વિવર્તન એ એક એવી ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ તેની તરંગલંબાઇની સરખામણીમાં અવરોધ અથવા છિદ્રનો સામનો કરે છે. વાદળના કણો પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણા મોટા હોવાથી, તેઓ દ્રશ્ય પ્રકાશનું નોંધપાત્ર વિવર્તન કરતા નથી.
તેથી, કારણ ખોટું છે.

(A) વિવર્તન (diffraction) થવા માટે,અવરોધનું કદ અથવા ડિફ્રેક્શન ગ્રેટિંગમાં સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર એ આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઇના ક્રમનું હોવું જોઈએ.
$X-$ કિરણોની તરંગલંબાઇ સામાન્ય રીતે $0.01 \ nm$ થી $10 \ nm$ ની રેન્જમાં હોય છે.
પ્રમાણભૂત ઓપ્ટિકલ ડિફ્રેક્શન ગ્રેટિંગ્સમાં ગ્રેટિંગ સ્પેસિંગ (પાસેની રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર) $10^3 \ nm$ થી $10^4 \ nm$ ના ક્રમનું હોય છે.
કારણ કે ગ્રેટિંગ સ્પેસિંગ એ $X-$ કિરણોની તરંગલંબાઇ કરતા ઘણું મોટું છે,તેથી વિવર્તનની અસર નહિવત હોય છે,અને આ ગ્રેટિંગ્સનો ઉપયોગ $X-$ કિરણોની તરંગલંબાઇ વચ્ચે ભેદ પાડવા માટે કરી શકાતો નથી.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) વિવર્તન એ તમામ પ્રકારના તરંગોની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે,જેમાં યાંત્રિક (જેમ કે ધ્વનિ) અને બિન-યાંત્રિક (જેમ કે પ્રકાશ),તેમજ લંબગત અને સંગત તરંગોનો સમાવેશ થાય છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
વિવર્તન નોંધપાત્ર અથવા દ્રશ્યમાન બને તે માટે,અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ તરંગની તરંગલંબાઇના ક્રમનું હોવું જોઈએ. જો તરંગલંબાઇ અવરોધ કરતા ઘણી નાની હોય,તો તરંગ કિરણ જેવું વર્તે છે અને વિવર્તન નહિવત હોય છે. તેથી,કારણ પણ સાચું છે અને તે સમજાવે છે કે વિવર્તન ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં શા માટે જોવા મળે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,અને $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
બીજા ન્યૂનતમ $(n = 2)$ માટે,ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
તેથી,$a \sin 60^{\circ} = 2 \lambda$.
$a \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \lambda \implies \frac{\lambda}{a} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n = 1)$ માટે,શરત $a \sin \theta_1 = 1 \lambda$ છે.
$\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{a} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$\sin \theta_1 \approx \frac{1.732}{4} = 0.433$.
$\theta_1 = \arcsin(0.433) \approx 25.6^{\circ}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$\theta_1 \approx 25^{\circ}$.

(B) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન પેટર્નના મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $2\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ડબલ-સ્લિટ વ્યતિકરણ પેટર્નમાં ક્રમિક અધિકતમ વચ્ચેનું કોણીય અંતર $\Delta\theta = \frac{\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપણને આપવામાં આવ્યું છે કે ડબલ-સ્લિટ પેટર્નના $10$ અધિકતમ એ સિંગલ સ્લિટ પેટર્નના મધ્યસ્થ અધિકતમની અંદર છે. આનો અર્થ એ છે કે મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $(2\lambda/a)$ માં $10$ વ્યતિકરણ શલાકાઓ સમાયેલી છે. તેથી,$10 \times (\frac{\lambda}{d}) = \frac{2\lambda}{a}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{10}{d} = \frac{2}{a}$.
$d = 1 \; mm = 10^{-3} \; m$ આપેલ હોવાથી,$a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5} = \frac{1 \; mm}{5} = 0.2 \; mm$.

(N/A) એક સ્લિટના વિવર્તનના પ્રયોગમાં, જો સ્લિટની પહોળાઈ $(a)$ બમણી કરવામાં આવે, તો મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $(2\lambda/a)$ અડધી થઈ જાય છે. મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા સ્લિટની પહોળાઈના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto a^2)$, તેથી તે $4$ ગણી વધે છે.
$(b)$ દ્વિ-સ્લિટ પ્રયોગમાં વ્યતિકરણ ભાત એ બે તરંગોના સંપાતપણાનું પરિણામ છે, પરંતુ તે દરેક વ્યક્તિગત સ્લિટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વિવર્તન ભાત દ્વારા મોડ્યુલેટ થાય છે. તીવ્રતાનું વિતરણ એ વ્યતિકરણ ભાત અને વિવર્તન એન્વલપનો ગુણાકાર છે.
$(c)$ આ ઘટનાને પોઈસનનું ટપકું (Poisson's spot) કહેવામાં આવે છે. પ્રકાશના તરંગો ગોળાકાર અવરોધની કિનારીઓ પરથી વિવર્તિત થાય છે અને પડછાયાના કેન્દ્રમાં સમાન કળામાં પહોંચે છે, જેના પરિણામે રચનાત્મક વ્યતિકરણ થાય છે અને તેજસ્વી ટપકું રચાય છે.
$(d)$ વિવર્તન ત્યારે જ નોંધપાત્ર હોય છે જ્યારે તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અવરોધના કદ $(d)$ ની તુલનાત્મક હોય. પ્રકાશ માટે, $\lambda$ ખૂબ નાની $(\sim 500 \; nm)$ છે, તેથી તે દીવાલની આસપાસ નોંધપાત્ર રીતે વિવર્તિત થતો નથી. ધ્વનિ માટે, $\lambda$ એ $0.1 \; m$ થી $1 \; m$ ની રેન્જમાં છે, જે દીવાલના કદની તુલનાત્મક છે, તેથી તે અવરોધની આસપાસ વળી શકે છે.
$(e)$ કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રનું નિકટન ત્યારે માન્ય છે જ્યારે છિદ્રો અથવા અવરોધોનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું મોટું હોય. મોટાભાગના ઓપ્ટિકલ સાધનોમાં, છિદ્રો એટલા મોટા હોય છે કે વિવર્તનની અસરો નગણ્ય હોય છે, જેનાથી સીધી રેખામાં પ્રસરણની ધારણા માન્ય રહે છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રકાશના કિરણપુંજની તરંગલંબાઈ,$\lambda = 500\; nm = 500 \times 10^{-9}\; m$
સ્લિટથી પડદાનું અંતર,$D = 1\; m$
પડદાના કેન્દ્રથી પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર,$x = 2.5\; mm = 2.5 \times 10^{-3}\; m$
એક સ્લિટના વિવર્તન માટે પ્રથમ ન્યૂનતમની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે અને $n = 1$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$.
તેથી,$a \left( \frac{x}{D} \right) = n \lambda$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a$ માટે સૂત્ર:
$a = \frac{n \lambda D}{x} = \frac{1 \times 500 \times 10^{-9} \times 1}{2.5 \times 10^{-3}}$
$a = \frac{500 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-3}} = 200 \times 10^{-6}\; m = 0.2 \times 10^{-3}\; m = 0.2\; mm$.
આમ,સ્લિટની પહોળાઈ $0.2\; mm$ છે.

(N/A) પહોળાઈની એક સ્લિટ ધ્યાનમાં લો. ન્યૂનતમ (minima) માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે સ્લિટને $2n$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
સ્લિટના ઉપરના અને નીચેના અડધા ભાગના અનુરૂપ બિંદુઓમાંથી આવતા ગૌણ તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = (a/2) \sin \theta$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,આપણે સ્લિટની ઉપરની ધાર અને કેન્દ્ર વચ્ચેનો પથ તફાવત $\lambda / 2$ લઈએ છીએ. તેથી,$(a/2) \sin \theta = \lambda / 2$,જે $a \sin \theta = \lambda$ આપે છે.
સામાન્ય રીતે,$n^{th}$ ન્યૂનતમ માટે,આપણે સ્લિટને $2n$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ. બે નજીકના ભાગોના અનુરૂપ બિંદુઓમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\lambda / 2$ હોય છે.
સ્લિટના ઉપરના અડધા ભાગના દરેક બિંદુ માટે નીચેના અડધા ભાગમાં એક અનુરૂપ બિંદુ હોય છે જેથી તેમનો પથ તફાવત $\lambda / 2$ થાય,તેથી આ જોડીઓમાંથી આવતા તરંગો વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
પરિણામે,$\theta = n\lambda / a$ ખૂણાઓ પર પરિણામી તીવ્રતા શૂન્ય થાય છે.

(N/A) કોઈ અવરોધની ધાર પાસેથી કે છિદ્રમાંથી તરંગોનું વાંકું વળવાની ઘટનાને વિવર્તન કહે છે.
ચોક્કસ વ્યાખ્યા: તરંગ અગ્રના મર્યાદિત ભાગ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ભૌતિક અસરને વિવર્તન કહે છે.
વિવર્તનની શોધ સૌપ્રથમ ફ્રાન્સેસ્કો મારિયા ગ્રિમાલ્ડી નામના વૈજ્ઞાનિકે કરી હતી.
વિવર્તનની ઘટના ધ્વનિ તરંગો,પ્રકાશના તરંગો,પાણીના તરંગો અને દ્રવ્ય તરંગો એમ તમામ પ્રકારના તરંગોમાં જોવા મળે છે.
વિવર્તન એ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $d$ ના ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{d}$ પર આધાર રાખે છે.
વિવર્તનને કારણે અપારદર્શક પદાર્થના ભૌમિતિક પડછાયાની નજીકના વિસ્તારમાં પ્રકાશ ફેલાય છે,જેનાથી અંધારા અને પ્રકાશિત પટ્ટાઓ રચાય છે.
ટેલિસ્કોપ અને માઇક્રોસ્કોપ જેવા ઓપ્ટિકલ સાધનોની વિભેદન શક્તિ (resolving power) વિવર્તનને કારણે મર્યાદિત હોય છે.
$CD$ પર દેખાતા રંગો વાસ્તવમાં વિવર્તનની અસરને કારણે હોય છે.
વિવર્તનને તરંગવાદ દ્વારા સમજાવી શકાય છે અને સ્લિટ પર આપાત થતા તરંગ અગ્રના આધારે તેના બે પ્રકાર છે:
$(i)$ જો સ્લિટ પર ગોલીય તરંગ અગ્ર આપાત થાય,તો તેને ફ્રેનલ (Fresnel) વિવર્તન કહે છે.
$(ii)$ જો સ્લિટ પર સમતલ તરંગ અગ્ર આપાત થાય,તો તેને ફ્રોનહોફર (Fraunhofer) વિવર્તન કહે છે.

(N/A) મહત્વપૂર્ણ વિવર્તન માટેની શરત એ છે કે તરંગની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ અવરોધ અથવા છિદ્રના કદ $(d)$ ની તુલનાત્મક હોવી જોઈએ.
પ્રકાશ માટે, સરેરાશ તરંગલંબાઇ $\lambda \approx 6 \times 10^{-7} \, m$ છે. દરવાજાની પહોળાઈ $d \approx 1 \, m$ છે. ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{d} \approx 6 \times 10^{-7}$ છે, જે ખૂબ જ નાનો છે. તેથી, પ્રકાશના તરંગો દરવાજાના ખૂણાઓ પર નોંધપાત્ર રીતે વળતા નથી, જેના કારણે પ્રકાશનું વિવર્તન નહિવત છે અને લોકો એકબીજાને જોઈ શકતા નથી.
અવાજ માટે, માનવ વાણીની આવૃત્તિ સામાન્ય રીતે $100 \, Hz$ અને $400 \, Hz$ ની વચ્ચે હોય છે. $330 \, Hz$ ની આવૃત્તિ અને હવામાં અવાજની ઝડપ $v = 330 \, m/s$ લેતા, તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{330} = 1 \, m$ મળે છે. અહીં તરંગલંબાઇ $\lambda = 1 \, m$ એ દરવાજાની પહોળાઈ $d = 1 \, m$ ની તુલનાત્મક હોવાથી, ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{d} = 1$ થાય છે. આનાથી અવાજના તરંગોનું નોંધપાત્ર વિવર્તન થાય છે, જેના કારણે અવાજ દરવાજાના ખૂણાઓ પર વળીને અંદરની વ્યક્તિ સુધી પહોંચી શકે છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એકવર્ણી પ્રકાશના ઉદગમને બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રાખવાથી,તેમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશના કિરણો સમાંતર બને છે અને સમતલ તરંગ અગ્ર $LN$ સ્લિટ પર આપાત થાય છે.
હાઈગેન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્લિટ પરના સમતલ તરંગ અગ્રનો દરેક બિંદુ સ્વતંત્ર ગૌણ ઉદગમ તરીકે વર્તે છે અને તેમાંથી ગૌણ ગોલીય તરંગો ઉત્સર્જિત થાય છે. જ્યારે આ તરંગો સ્લિટમાંથી બહાર આવે છે,ત્યારે તેઓ એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ અનુભવે છે. આના પરિણામે સહાયક અને વિનાશક વ્યતિકરણ રચાય છે.
પરિણામે,બીજા બહિર્ગોળ લેન્સના કેન્દ્ર પર મૂકેલા પડદા પર પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત બિંદુઓ (શલાકાઓ) મળે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) રિચાર્ડ ફેનમેને નોંધ્યું હતું કે લગભગ કોઈ પણ વ્યક્તિ વ્યતિકરણ અને વિવર્તન વચ્ચેનો તફાવત સંપૂર્ણ સંતોષકારક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શક્યું નથી.
તેમણે સૂચવ્યું કે આ મુખ્યત્વે ઉપયોગ અને પરિભાષાનો વિષય છે,કોઈ મૂળભૂત ભૌતિક તફાવત નથી.
તેમના દ્રષ્ટિકોણ મુજબ,જ્યારે આપણે સ્ત્રોતોની ઓછી સંખ્યા સાથે કામ કરીએ છીએ (દા.ત.,બે વ્યતિકરણ કરતા સ્ત્રોતો),ત્યારે પરિણામી ઘટનાને સામાન્ય રીતે વ્યતિકરણ કહેવામાં આવે છે. તેનાથી વિપરીત,જ્યારે આપણે મોટી સંખ્યામાં સ્ત્રોતો સાથે કામ કરીએ છીએ (જેમ કે સ્લિટ પર તરંગોનું સતત વિતરણ),ત્યારે વિવર્તન શબ્દનો વધુ ઉપયોગ થાય છે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં,જો બે સ્લિટમાંથી એક સ્લિટ બંધ કરવામાં આવે,તો પ્રાયોગિક ગોઠવણી અસરકારક રીતે સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તન પ્રયોગ બની જાય છે.
વ્યતિકરણ માટે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની જરૂર હોવાથી,વ્યતિકરણ ભાત અદ્રશ્ય થઈ જશે.
તેના બદલે,બાકી રહેલી એક સ્લિટમાંથી પસાર થતો પ્રકાશ વિવર્તન અનુભવશે,જેના પરિણામે સ્ક્રીન પર વિવર્તન ભાત રચાશે.
આ વિવર્તન ભાતની મધ્યસ્થ અધિકતમ (central maximum) સ્ક્રીન પર ખુલ્લી સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુ પર સ્થિત હશે.

(N/A) મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ એટલે મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ આવેલા પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર.
ધારો કે સ્લિટની પહોળાઈ $a$ છે અને સ્લિટ તથા પડદા વચ્ચેનું અંતર $D$ છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની એક બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,વિવર્તનની શરત $a \sin \theta = \lambda$ છે. જો $\theta$ ખૂબ નાનો હોય,તો $\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\theta = \frac{\lambda}{a}$.
અહીં,$\theta$ એ મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનો અડધો ભાગ દર્શાવે છે.
તેથી,મધ્યસ્થ અધિકતમની કુલ કોણીય પહોળાઈ $2\theta = \frac{2\lambda}{a}$ થાય.
હવે,રેખીય પહોળાઈ $\beta_0$ માટે,આપણે ચાપ,ત્રિજ્યા અને ખૂણા વચ્ચેનો સંબંધ વાપરીએ છીએ: $\text{ચાપ} = \text{ત્રિજ્યા} \times \text{ખૂણો}$.
અહીં,ચાપની લંબાઈ $\beta_0$ છે,ત્રિજ્યા $D$ છે અને ખૂણો $2\theta$ છે.
આમ,$\beta_0 = D \times (2\theta) = D \times \frac{2\lambda}{a}$.
તેથી,મધ્યસ્થ અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ $\beta_0 = \frac{2D\lambda}{a}$ મળે છે.