Single Slit Diffraction of Light Questions in Gujarati

(C) કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર એ ધારણા પર આધારિત છે કે પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે। આ અંદાજ ત્યારે જ સાચો ઠરે છે જ્યારે અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ કરતા ઘણું મોટું હોય。
જ્યારે અવરોધનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ જેટલું અથવા તેનાથી નાનું થઈ જાય છે, ત્યારે વિવર્તનની અસરો નોંધપાત્ર બને છે અને કિરણનો અંદાજ માન્ય રહેતો નથી。
તેથી, જ્યારે અવરોધનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા ઓછું હોય ત્યારે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર નિષ્ફળ જાય છે।

(C) પ્રકાશનું અવરોધોની આસપાસ વળવાની ઘટનાને વિવર્તન (diffraction) કહેવામાં આવે છે। વિવર્તન ત્યારે જ નોંધપાત્ર બને છે જ્યારે અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સાથે તુલનાત્મક હોય। દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અત્યંત નાની ($400 \, nm$ થી $700 \, nm$) હોવાથી, તે આપણા રોજિંદા જીવનમાં સામાન્ય વસ્તુઓની આસપાસ નોંધપાત્ર વિવર્તન દર્શાવતું નથી। પરિણામે, પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોય તેવું લાગે છે, જેને પ્રકાશનું સુરેખ પ્રસરણ કહેવાય છે। તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે।

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન (diffraction) માટે પ્રથમ ન્યૂનતમની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$,તેથી $a \sin \theta = \lambda$.
આપેલ છે કે $\lambda = 6500 \; \mathring{A} = 6500 \times 10^{-10} \; m$ અને $\theta = 30^\circ$.
કિંમતો મૂકતા: $a \sin(30^\circ) = 6500 \times 10^{-10} \; m$.
કારણ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$,તેથી $a(0.5) = 6500 \times 10^{-10} \; m$.
$a = 2 \times 6500 \times 10^{-10} \; m = 13000 \times 10^{-10} \; m = 1.3 \times 10^{-6} \; m$.
$1 \; \mu m = 10^{-6} \; m$ હોવાથી,$a = 1.3 \; \mu m$ મળે છે.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય અર્ધ-પહોળાઈ $\sin \theta = \frac{\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$ લઈ શકાય.
આપેલ છે કે $\lambda = 6328 \times 10^{-10} \ m$ અને $a = 0.2 \times 10^{-3} \ m$.
$\theta = \frac{6328 \times 10^{-10}}{0.2 \times 10^{-3}} = 3.164 \times 10^{-3} \ \text{રેડિયન}$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણતા:
$\theta = 3.164 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.18^o$.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની કુલ કોણીય પહોળાઈ $2\theta = 2 \times 0.18^o = 0.36^o$ થાય.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
વિવર્તન એટલે પ્રકાશના કિરણનું કોઈ અવરોધ કે છિદ્રની ધાર પાસેથી વળીને તેના ભૌમિતિક પડછાયાના વિસ્તારમાં પ્રવેશવાની ઘટના.
આ ઘટના ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે અવરોધ કે છિદ્રનું કદ પ્રકાશના તરંગલંબાઈ જેટલું જ હોય.

(C) કોઈ અવરોધ અથવા છિદ્રના ખૂણાઓ પાસેથી પ્રકાશના વાંકા વળીને ભૌમિતિક છાયાના પ્રદેશમાં પ્રવેશવાની ઘટનાને $Diffraction$ (વિવર્તન) કહેવામાં આવે છે.
આ ઘટના ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે અવરોધ કે છિદ્રનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ જેટલું જ હોય.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈનું સૂત્ર: $w = \frac{2 \lambda D}{d}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
સ્લિટની પહોળાઈ $d = 0.15 \,cm = 0.15 \times 10^{-2} \,m = 1.5 \times 10^{-3} \,m$.
પડદાથી અંતર $D = 2.1 \,m$.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 5 \times 10^{-5} \,cm = 5 \times 10^{-7} \,m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$w = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \,m) \times (2.1 \,m)}{1.5 \times 10^{-3} \,m}$.
$w = \frac{21 \times 10^{-7}}{1.5 \times 10^{-3}} \,m$.
$w = 14 \times 10^{-4} \,m = 1.4 \times 10^{-3} \,m$.
કારણ કે $10^{-3} \,m = 1 \,mm$,તેથી પહોળાઈ $1.4 \,mm$ થશે.

(A) વિવર્તન પટ્ટાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પટ્ટાની પહોળાઈ તરંગલંબાઈના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\text{blue}})$ એ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{\text{red}})$ કરતા ઓછી હોવાથી,વાદળી પ્રકાશ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિવર્તનના પટ્ટાઓ લાલ પ્રકાશની સરખામણીમાં વધુ સાંકડા અને એકબીજાની નજીક હશે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાત માટે, પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = \lambda$ છે, જ્યાં $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે。
$\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી, $\sin \theta \approx \theta$, તેથી $\theta = \frac{\lambda}{d}$ મળે。
મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $2\theta = \frac{2\lambda}{d}$ થાય છે。
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે કોણીય પહોળાઈ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $(d)$ પર આધાર રાખે છે。
આવૃત્તિ $(f)$ એ તરંગલંબાઈ સાથે $\lambda = \frac{c}{f}$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી, કોણીય પહોળાઈ આવૃત્તિ પર પણ આધાર રાખે છે。
જોકે, તે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $(D)$ પર આધાર રાખતી નથી。

(B) વિવર્તન ત્યારે જ જોવા મળે છે જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ આપાત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની તરંગલંબાઈના ક્રમની હોય.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ આશરે $589 \, nm$ $(5.89 \times 10^{-7} \, m)$ છે,જે સ્લિટની પહોળાઈ $(0.6 \, mm = 6 \times 10^{-4} \, m)$ ના ક્રમની છે.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ સામાન્ય રીતે $0.01 \, nm$ થી $10 \, nm$ ($10^{-11} \, m$ થી $10^{-8} \, m$) ની વચ્ચે હોય છે.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈ સ્લિટની પહોળાઈ $(0.6 \, mm)$ ની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાની હોવાથી,વિવર્તનની શરત સંતોષાતી નથી.
તેથી,કોઈ વિવર્તન ભાત જોવા મળશે નહીં.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે ગૌણ મહત્તમની શરત $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે.
બીજા મહત્તમ માટે,$n = 2$,તેથી $d \sin \theta = \frac{5\lambda}{2}$.
જ્યારે $\theta$ ખૂબ નાનો હોય,ત્યારે $\sin \theta \approx \theta = \frac{x}{f}$,જ્યાં $x$ એ મધ્ય અક્ષથી અંતર છે અને $f$ એ કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આમ,$d \cdot \frac{x}{f} = \frac{5\lambda}{2} \implies x = \frac{5\lambda f}{2d}$.
બીજા મહત્તમનો રેખીય વ્યાસ એ મધ્ય અક્ષની બંને બાજુએ આવેલા બીજા મહત્તમ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $2x$ છે.
$2x = \frac{5\lambda f}{d} = \frac{5 \times (6 \times 10^{-7} \, m) \times 0.8 \, m}{0.4 \times 10^{-3} \, m}$.
$2x = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.4 \times 10^{-3}} = 60 \times 10^{-4} \, m = 6 \times 10^{-3} \, m = 6 \, mm$.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $\beta = \frac{2D\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતા ઓછી હોવાથી,એટલે કે $\lambda_{\text{Blue}} < \lambda_{\text{Red}}$,અને ફ્રિન્જની પહોળાઈ તરંગલંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(\beta \propto \lambda)$,તેથી જ્યારે વાદળી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિવર્તનની ભાત સંકોચાઈ જશે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે,અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $w$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(w \propto \frac{1}{a})$.
તેથી,જો સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ઘટાડવામાં આવે,તો મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $w$ વધે છે.
આ સંબંધ ફ્રેનલ અને ફ્રોનહોફર બંને પ્રકારના વિવર્તન માટે સાચો છે કારણ કે છિદ્રના કદ પર આધારિત ભૌમિતિક સંબંધ સમાન રહે છે.

(A) એક સ્લિટ માટે મધ્યસ્થ વિવર્તન અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર: $\beta = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 589.3 \, nm = 589.3 \times 10^{-9} \, m$ અને $a = 0.1 \, mm = 0.1 \times 10^{-3} \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\beta = \frac{2 \times 589.3 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} \, rad$.
$\beta = 2 \times 589.3 \times 10^{-5} \, rad = 1178.6 \times 10^{-5} \, rad = 0.011786 \, rad$.
રેડિયનને ડિગ્રીમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણો:
$\beta_{deg} = 0.011786 \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.675^\circ \approx 0.68^\circ$.

(D) પ્રકાશના વિવર્તનની ઘટના સૌપ્રથમ $17$ મી સદીમાં ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક ફ્રાન્સેસ્કો મારિયા ગ્રિમાલ્ડી દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવી હતી અને તેનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું હતું. તેમણે લેટિન શબ્દ 'diffringere' પરથી 'diffraction' (વિવર્તન) શબ્દ આપ્યો,જેનો અર્થ થાય છે ટુકડાઓમાં તોડવું. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $n^{th}$ હાફ-પિરિયડ ઝોનની ત્રિજ્યા $r_n$ નું સૂત્ર $r_n = \sqrt{n b \lambda}$ છે,જ્યાં $b$ એ તરંગાગ્રહથી અવલોકન બિંદુનું અંતર છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ સેટઅપ માટે $b$ અને $\lambda$ અચળ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r_n$ એ ઝોન નંબર $n$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$r_n \propto \sqrt{n}$.

(A) તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વિવર્તન ભાતમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ (જે $d$ પહોળાઈની એક સ્લિટ તરીકે વર્તે છે) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું તારથી અંતર છે અને $d$ એ તારનો વ્યાસ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ તારના વ્યાસ $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\beta \propto \frac{1}{d}$).
તેથી,જ્યારે તારનો વ્યાસ $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટે છે.

(B) જ્યારે કોમ્પેક્ટ ડિસ્ક $(CD)$ પર સફેદ પ્રકાશ પાડવામાં આવે છે ત્યારે જોવા મળતા રંગીન 'પટ્ટાઓ' મુખ્યત્વે વિવર્તનની ઘટનાને કારણે હોય છે.
$CD$ ની સપાટી પર ખૂબ જ નજીક ગોઠવાયેલી સૂક્ષ્મ ખાંચાઓ (tracks) હોય છે,જે પરાવર્તિત વિવર્તન ગ્રેટીંગ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશ આ ખાંચાઓ પર પડે છે,ત્યારે પ્રકાશના તરંગો તેમની તરંગલંબાઇ (રંગ) મુજબ અલગ-અલગ ખૂણે વિવર્તિત થાય છે.
આના કારણે સફેદ પ્રકાશ તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજિત થાય છે,જેનાથી ડિસ્કની સપાટી પર મેઘધનુષ જેવો દેખાવ જોવા મળે છે.

(D) વિવર્તન એ યાંત્રિક તરંગો (જેમ કે ધ્વનિ) અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (જેમ કે પ્રકાશ) સહિત તમામ પ્રકારના તરંગોની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે।
વિવર્તન નોંધપાત્ર બનવા માટે, અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ તરંગની તરંગલંબાઇ સાથે તુલનાત્મક હોવું જોઈએ।
ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઇ સેન્ટિમીટરથી મીટરના ક્રમની હોવાથી, તે સામાન્ય અવરોધોની આસપાસ સરળતાથી વિવર્તન પામે છે।
પ્રકાશના તરંગોની તરંગલંબાઇ ખૂબ જ નાની ($400 \, nm$ થી $700 \, nm$ ની વચ્ચે) હોય છે, તેથી દૃશ્યમાન વિવર્તન જોવા માટે ખૂબ જ નાના છિદ્રો અથવા અવરોધોની જરૂર પડે છે।
તેથી, વિવર્તનની અસર ધ્વનિ અને પ્રકાશ બંને તરંગોમાં જોઈ શકાય છે।

(A) સિંગલ સ્લિટ ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $2\theta = \frac{2\lambda}{e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કોણીય અડધી પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{e}$ છે.
જેহেতু $\theta$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $e$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે $\theta \propto \frac{1}{e}$),તેથી સ્લિટની પહોળાઈ $e$ ઘટાડવાથી $\theta$ નું મૂલ્ય વધશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિવર્તન ગ્રેટીંગમાં મુખ્ય મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $d$ એ ગ્રેટીંગ તત્વ છે,$\theta$ એ વિવર્તન કોણ છે,$n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
શૂન્ય ક્રમના મુખ્ય મહત્તમ માટે,આપણે $n = 0$ લઈએ છીએ.
આનાથી $d \sin \theta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે $\sin \theta = 0$ અથવા $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
કારણ કે તમામ તરંગલંબાઇઓ સમાન ખૂણે $\theta = 0^\circ$ પર વિવર્તિત થાય છે,તેથી તેઓ કેન્દ્રિય સ્થાન પર એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
તેથી,શૂન્ય ક્રમનું મહત્તમ મૂળ સફેદ પ્રકાશ ધરાવે છે.

(B) પ્રકાશનું વિવર્તન ત્યારે જ જોવા મળે છે જ્યારે અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ (આ કિસ્સામાં ફિલ્મની જાડાઈ) આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇના ક્રમનું હોય.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ આશરે $4,000 \; \mathring{A}$ થી $7,500 \; \mathring{A}$ ની વચ્ચે હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$10,000 \; \mathring{A}$ એ એકમાત્ર એવી કિંમત છે જે દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇના ક્રમની છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(D) વિવર્તન એટલે અવરોધના ખૂણાઓ પરથી અથવા છિદ્રમાંથી તરંગોનું વળવું. નોંધપાત્ર વિવર્તન માટેની શરત એ છે કે અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ તરંગની તરંગલંબાઈ સાથે તુલનાત્મક હોવું જોઈએ. ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ $10^{-2} \ m$ થી $10^1 \ m$ ની રેન્જમાં હોય છે,જે રોજિંદા વસ્તુઓના કદ સાથે તુલનાત્મક છે. તેનાથી વિપરીત,પ્રકાશના તરંગોની તરંગલંબાઈ ખૂબ જ નાની (આશરે $400 \ nm$ થી $700 \ nm$) હોય છે,જેના કારણે પ્રકાશ માટે વિવર્તનની અસરો ખાસ સાધનો વગર જોવી મુશ્કેલ છે.

(D) પહોળાઈની સ્લિટની ધાર પરથી આવતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\theta$ ખૂણે $\Delta x = d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$-માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે,$n = 1$ લેતા,$d \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$ મળે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે પથ તફાવતની કિંમત મૂકતા: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{2} = 3\pi$.
આમ,કળા તફાવત $3\pi$ છે.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$ લેતા.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000 \; \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \; m = 5 \times 10^{-7} \; m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $d = 0.001 \; mm = 10^{-3} \; mm = 10^{-6} \; m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{5 \times 10^{-7}}{10^{-6}} = 0.5$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.

(C) ફ્રોનહોફર વિવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો બંને છિદ્ર અથવા સ્લિટથી અનંત અંતરે હોય.
આ ગોઠવણીમાં,સ્લિટ સુધી પહોંચતા પ્રકાશના કિરણો એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
સમાંતર કિરણો સમતલ તરંગ અગ્ર દર્શાવે છે,તેથી આપાત તરંગ અગ્ર સમતલ હોવું જોઈએ.

(A) વિવર્તન એ અવરોધ અથવા છિદ્રના ખૂણાઓ પર પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે.
નોંધપાત્ર વિવર્તન જોવા મળે તે માટે,અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ $(d)$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ની સરખામણીમાં હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આ શરત $d \approx \lambda$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,એટલે કે $d$ એ $\lambda$ ના ક્રમનું હોવું જોઈએ.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાત માટે,$n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n{\lambda}D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈ ${\lambda _1}$ માટે પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ નું સ્થાન $y_1 = \frac{1 \cdot {\lambda _1}D}{d} = \frac{{\lambda _1}D}{d}$ છે.
$m$ માં ગૌણ મહત્તમનું સ્થાન $y'_m = \frac{(2m+1){\lambda}D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈ ${\lambda _2}$ માટે ત્રીજા મહત્તમ $(m=3)$ નું સ્થાન $y'_3 = \frac{(2 \times 3 + 1){\lambda _2}D}{2d} = \frac{7{\lambda _2}D}{2d} = 3.5\frac{{\lambda _2}D}{d}$ છે.
કારણ કે પ્રથમ ન્યૂનતમ અને ત્રીજું મહત્તમ સંપાત થાય છે,તેથી આપણે તેમના સ્થાનોને સરખાવીએ:
$\frac{{\lambda _1}D}{d} = 3.5\frac{{\lambda _2}D}{d}$.
તેથી,${\lambda _1} = 3.5{\lambda _2}$.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાત માટે,$n^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
અહીં,પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$ છે.
આપેલ મૂલ્યો છે: $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$,$D = 1 \ m$,અને $x_1 = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-3} = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7} \times 1}{d}$
$d = \frac{5 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}} \ m$
$d = 10^{-4} \ m = 0.1 \ mm$.
તેથી,સ્લિટની પહોળાઈ $0.1 \ mm$ છે.

(B) $nth$ $HPZ$ ની ત્રિજ્યા $r_n = \sqrt{nb\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ તરંગાગ્રથી અવલોકન બિંદુનું અંતર છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
$nth$ $HPZ$ ની પહોળાઈ એ $nth$ ઝોન અને $(n-1)th$ ઝોનની ત્રિજ્યા વચ્ચેનો તફાવત છે.
$B_n = r_n - r_{n-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$B_n = \sqrt{nb\lambda} - \sqrt{(n-1)b\lambda}$
$\sqrt{b\lambda}$ સામાન્ય કાઢતા:
$B_n = \sqrt{b\lambda} [\sqrt{n} - \sqrt{n-1}]$

(C) એક સ્લિટના વિવર્તનના પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $y = \frac{2 \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
શરૂઆતમાં,$y = \frac{2 \lambda_1 D}{a_1}$,જ્યાં $\lambda_1 = 400 \ nm$ અને $a_1 = a$.
બીજા કિસ્સામાં,નવી સ્લિટની પહોળાઈ $a_2 = a/2$ છે અને નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = 600 \ nm$ છે.
નવી પહોળાઈ $y'$ એ $y' = \frac{2 \lambda_2 D}{a_2} = \frac{2 \times 600 \times D}{a/2} = \frac{4 \times 600 \times D}{a} = \frac{2400 D}{a}$ દ્વારા મળે છે.
આને શરૂઆતની પહોળાઈ $y = \frac{800 D}{a}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{y'}{y} = \frac{2400}{800} = 3$ મળે છે.
તેથી,$y' = 3y$.

(B) સાચો જવાબ $(b)$ છે. રેડિયો તરંગો અને પ્રકાશના તરંગો બંને વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગો છે,જે ફક્ત તેમની આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઇના ગાળામાં અલગ પડે છે.
વિવર્તનની ઘટના નોંધપાત્ર રીતે જોવા મળે તે માટે,અવરોધનું કદ તરંગની તરંગલંબાઇ જેટલું હોવું જરૂરી છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ ખૂબ જ ટૂંકી (સામાન્ય રીતે $400$ nm થી $700$ nm ની આસપાસ) હોય છે,જે ઇમારતોના કદ કરતા ઘણી નાની હોવાથી તે તેમની આસપાસ વિવર્તન પામતા નથી.
રેડિયો તરંગો ઘણી લાંબી તરંગલંબાઇ (મીટરથી કિલોમીટર સુધી) ધરાવે છે,જે ઇમારતોના કદ સાથે સરખાવી શકાય તેવી હોય છે,જેના કારણે તેઓ આ અવરોધોની આસપાસ વળી શકે છે અથવા વિવર્તન પામી શકે છે.

(A) અવલોકન બિંદુથી $b$ અંતરે $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર ડિસ્ક દ્વારા આવરી લેવામાં આવતા હાફ પિરિયડ ઝોન $(n)$ ની સંખ્યા $n = \frac{a^2}{\lambda b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ત્રોત અને ડિસ્ક નિશ્ચિત હોવાથી,$n \cdot b = \text{અચળ}$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$n_1 = 1$ અને $b_1 = 1 \, m$.
બીજા કિસ્સા માટે,$b_2 = 25 \, cm = 0.25 \, m$.
તેથી,$n_2 = \frac{n_1 b_1}{b_2} = \frac{1 \times 1}{0.25} = 4$.
જ્યારે ડિસ્ક $n$ ઝોનને આવરી લે છે,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = R_1 - R_2 + R_3 - R_4 + R_5 - \dots \pm R_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=1$ માટે,$R = R_1$,તેથી $I_0 = R_1^2$.
$n=4$ માટે,$R' = R_1 - R_2 + R_3 - R_4$. કારણ કે $R_n \approx \frac{R_{n-1} + R_{n+1}}{2}$,તેથી $R' \approx \frac{R_1}{2} - \frac{R_5}{2} \approx \frac{R_1}{2}$.
વધુ સચોટ રીતે,તીવ્રતા માટે ફ્રેનલ વિવર્તન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_0 (0.531)$.
તેથી,$I_1 = 0.531 I_0$.

(B) ધારો કે પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય $HPZ$ ના કંપવિસ્તાર અનુક્રમે $R_1, R_2, R_3$ છે. આપેલ છે કે ક્રમિક કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $R_2/R_1 = R_3/R_2 = 3/4$ છે.
બિંદુ $A$ પર (એક $HPZ$): $I_A = R_1^2$.
બિંદુ $B$ પર (બે $HPZ$): $I_B = (R_1 - R_2)^2 = R_1^2(1 - R_2/R_1)^2 = R_1^2(1 - 3/4)^2 = R_1^2(1/4)^2 = R_1^2/16$.
બિંદુ $C$ પર (ત્રણ $HPZ$): $I_C = (R_1 - R_2 + R_3)^2 = R_1^2(1 - R_2/R_1 + R_3/R_1)^2 = R_1^2(1 - 3/4 + (3/4)^2)^2 = R_1^2(1 - 3/4 + 9/16)^2 = R_1^2((16 - 12 + 9)/16)^2 = R_1^2(13/16)^2 = (169/256)R_1^2$.
આમ,$I_A : I_B : I_C = R_1^2 : (R_1^2/16) : (169/256)R_1^2 = 256 : 16 : 169$.

(D) વર્તુળાકાર અવરોધ દ્વારા આવરી લેવામાં આવતા હાફ પિરિયડ ઝોન $(HPZ)$ ની સંખ્યા $n_1 b_1 = n_2 b_2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ $HPZ$ ની સંખ્યા છે અને $b$ એ ડિસ્કથી અંતર છે.
આપેલ છે કે $n_1 = 1$ અને $b_1 = 2 \, m = 200 \, cm$.
બીજા કિસ્સા માટે,$b_2 = 25 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $1 \times 200 = n_2 \times 25 \implies n_2 = 8$.
જ્યારે $n$ ઝોન આવરી લેવામાં આવે છે,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + ... \pm A_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેકી સંખ્યાના ઝોન $n$ માટે,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \frac{A_n}{2}$ છે.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,$n=8$ માટે તીવ્રતા $I_2 = (A_8/2)^2$ થશે.
પ્રથમ કિસ્સા સાથે સરખામણી કરતા જ્યાં $n=1$,$I_1 = A_1^2 = I$.
$HPZ$ કંપવિસ્તારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$A_n \approx A_{n+1}$,$n=8$ પરની તીવ્રતા એ $9$ મા ઝોનના કંપવિસ્તારના ફાળાને $2$ વડે ભાગવા જેટલી છે,એટલે કે $I_2 = (R_9/2)^2$.
આમ,$I_2 = (R_9/R_2)^2 I$.

(C) $e$ પહોળાઈની એક સ્લિટ માટે,પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $e \sin \theta = \lambda$ છે.
જ્યારે $\theta$ ખૂબ નાનો હોય,ત્યારે આપણે $\sin \theta \approx \theta$ લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$\theta = \frac{\lambda}{e}$.
કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $2\theta = \frac{2\lambda}{e}$ છે.
$b$ અંતરે રહેલા પડદા પર કેન્દ્રીય મહત્તમની રેખીય પહોળાઈ એ કેન્દ્રીય બિંદુની બંને બાજુએ આવેલા પ્રથમ ક્રમના ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર છે.
આથી,$w = 2b\theta + e = 2b \left( \frac{\lambda}{e} \right) + e = \frac{2b\lambda}{e} + e$.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં કેન્દ્રીય અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\beta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
અહીં $\beta \propto \lambda$ હોવાથી,$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 6000 \ \mathring A$ અને કોણીય પહોળાઈમાં $30\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવી કોણીય પહોળાઈ $\beta_2 = \beta_1 - 0.30\beta_1 = 0.70\beta_1$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\beta_1}{0.70\beta_1} = \frac{6000}{\lambda_2}$.
$\frac{1}{0.70} = \frac{6000}{\lambda_2} \Rightarrow \lambda_2 = 6000 \times 0.70 = 4200 \ \mathring A$.

(C) વિવર્તન ભાતની તીવ્રતા $I = I_0 \left[ \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha = \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}$ છે.
મધ્યસ્થ મહત્તમ માટે,$n=0$,$\alpha = 0$,અને $I = I_0$ મળે છે.
ગૌણ મહત્તમ માટે,શરત $\alpha = \left( n + \frac{1}{2} \right) \pi$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
આ કિંમત તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_n = I_0 \left[ \frac{\sin((n + 1/2)\pi)}{(n + 1/2)\pi} \right]^2 = I_0 \left[ \frac{\pm 1}{(n + 1/2)\pi} \right]^2 = \frac{I_0}{(n + 1/2)^2 \pi^2} = \frac{4 I_0}{(2n + 1)^2 \pi^2}$.
$n=0$ (મધ્યસ્થ) માટે,$I_0 = I_0$.
$n=1$ (પ્રથમ ગૌણ) માટે,$I_1 = \frac{4 I_0}{9 \pi^2}$.
$n=2$ (દ્વિતીય ગૌણ) માટે,$I_2 = \frac{4 I_0}{25 \pi^2}$.
આમ,ગુણોત્તર $I_0 : I_1 : I_2 = 1 : \frac{4}{9 \pi^2} : \frac{4}{25 \pi^2}$ થાય છે.

(D) વિવર્તન ગ્રેટિંગનું સમીકરણ $(e + d) \sin \theta_n = n\lambda$ છે,જ્યાં $(e + d)$ એ ગ્રેટિંગ તત્વ છે,$\theta_n$ એ વિવર્તનનો ખૂણો છે અને $n$ એ વિવર્તનનો ક્રમ છે.
પ્રથમ ક્રમ $(n = 1)$ માટે,આપણી પાસે $\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{e + d} = \sin 32^\circ$ છે.
કારણ કે $\sin 32^\circ \approx 0.5299$,તેથી $\frac{\lambda}{e + d} \approx 0.5299$ થાય.
દ્વિતીય ક્રમ $(n = 2)$ માટે,સમીકરણ $\sin \theta_2 = \frac{2\lambda}{e + d} = 2 \times \sin 32^\circ$ બને છે.
આની ગણતરી કરતા,$\sin \theta_2 = 2 \times 0.5299 = 1.0598$ મળે છે.
વિવર્તનના નિયમ મુજબ $\sin \theta_2$ નું મૂલ્ય $1$ થી વધી શકતું નથી,તેથી દ્વિતીય ક્રમનું વિવર્તન શક્ય નથી.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં,કેન્દ્રિય અધિકતમની પહોળાઈ $2\lambda D/a$ હોય છે,જ્યારે ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\lambda D/a$ હોય છે. કેન્દ્રિય અધિકતમની પહોળાઈ ગૌણ અધિકતમ કરતા બમણી હોવાથી,બધી જ શલાકાઓની પહોળાઈ સમાન હોતી નથી.

(D) પહોળાઈ ધરાવતી સ્લિટની ઉપરની ધાર અને નીચેની ધારમાંથી નીકળતાં તરંગો વચ્ચેનો કળા-તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (d \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકલ સ્લિટ વિવર્તનમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = \lambda$ છે.
આ શરતને કળા-તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (\lambda) = 2\pi \, rad$.
આમ,પ્રથમ ન્યૂનતમ આગળ સ્લિટની ઉપરની અને નીચેની ધારમાંથી નીકળતા તરંગો વચ્ચેનો કળા-તફાવત $2\pi \, rad$ છે.

(A) પહોળાઈ ધરાવતી એક સ્લીટ માટે,કેન્દ્રીય અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\Delta \theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૌણ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\Delta \theta' = \frac{\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ એ કેન્દ્રીય અધિકતમની પહોળાઈ કરતા અડધી હોય છે.

(B) એક સ્લીટના વિવર્તનમાં,કેન્દ્રીય મહત્તમ પડદાના કેન્દ્ર પર રચાય છે જ્યાં તમામ ગૌણ તરંગો સમાન કળામાં પહોંચે છે.
તેથી,કેન્દ્રીય શલાકાની તીવ્રતા મહત્તમ હોય છે.
જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે.

(D) એક સ્લીટના વિવર્તન ભાતમાં,કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\beta_0 = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લીટની પહોળાઈ છે.
ગૌણ મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $\beta = \frac{1}{2} \beta_0$.
તેથી,ગૌણ મહત્તમની પહોળાઈ એ કેન્દ્રીય મહત્તમની પહોળાઈ કરતા અડધી હોય છે.

(C) એક સ્લિટ દ્વારા થતા ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\Delta \theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ હોય,તો પડદા પર કેન્દ્રીય મહત્તમની રેખીય પહોળાઈ $w$ શોધવા માટે આપણે $w = f \times \Delta \theta$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\Delta \theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $w = f \times \left( \frac{2\lambda}{a} \right) = \frac{2f\lambda}{a}$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્રીય મહત્તમની રેખીય પહોળાઈ $\frac{2f\lambda}{a}$ છે.

(D) પહોળાઈની એક સ્લિટ વડે થતા ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા $I_0 \propto a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી પહોળાઈ $a' = 2a$ થાય છે.
નવી તીવ્રતા $I'$ એ નવી પહોળાઈના વર્ગના પ્રમાણમાં હશે: $I' \propto (a')^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
આમ,$I_0 \propto a^2$ હોવાથી,આપણને $I' = 4I_0$ મળે છે.
તેથી,મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા $4I_0$ થશે.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
લીલા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{green})$ એ રાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_{red})$ કરતા ઓછી હોવાથી,વિવર્તન ભાતની પહોળાઈ $\beta$ એ તરંગલંબાઈના સમપ્રમાણમાં છે $(\beta \propto \lambda)$.
તેથી,જ્યારે લીલા પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિવર્તન ભાત સંકોચાશે અથવા નજીક આવશે.

(B) એક સ્લિટ વડે થતા વિવર્તનમાં,$n$ માં ન્યૂનત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, \mathring A = 6 \times 10^{-7} \, m$,સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.30 \, mm = 3 \times 10^{-4} \, m$,અંતર $D = 2 \, m$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$.
આ કિંમત શરતમાં મૂકતા: $a \left( \frac{x}{D} \right) = n \lambda$.
પ્રથમ ન્યૂનત્તમ માટે,$n = 1$. તેથી,$x = \frac{n \lambda D}{a}$.
$x = \frac{1 \times (6 \times 10^{-7} \, m) \times (2 \, m)}{3 \times 10^{-4} \, m}$.
$x = \frac{12 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} \, m = 4 \times 10^{-3} \, m$.

(D) એક સ્લીટ માટે ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,$n^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટે પથ તફાવતની શરત:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે $(n=1)$: $a \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $a \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$ છે.