Single Slit Diffraction of Light Questions in Gujarati

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે, જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે।
આપેલ છે: $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ અને $a = 0.3 \text{ mm} = 0.3 \times 10^{-3} \text{ m} = 3 \times 10^{-4} \text{ m}$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે, $n = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-4} \sin \theta = 1 \times 6 \times 10^{-7}$.
$\sin \theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3}$.
કારણ કે $\theta$ ખૂબ નાનું છે, $\sin \theta \approx \theta$.
તેથી, $\theta = 2 \times 10^{-3} \text{ rad}$.

(B) ડિફ્રેક્શન ગ્રેટીંગમાં મુખ્ય અધિકતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે, જ્યાં $d = \frac{1}{N}$ એ ગ્રેટીંગ ઘટક છે અને $N$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ રેખાઓની સંખ્યા છે.
આમ, $\frac{\sin \theta}{N} = n \lambda$, જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{\sin \theta}{N \lambda}$.
અહીં $\lambda = 625 \, nm = 6.25 \times 10^{-7} \, m$ અને $N = 2 \times 10^{5} \, \text{lines}/m$ આપેલ છે.
મહત્તમ શક્ય ક્રમ $n$ એ $\sin \theta \leq 1$ ની શરત દ્વારા નક્કી થાય છે, તેથી $n < \frac{1}{N \lambda}$.
$n < \frac{1}{(2 \times 10^{5}) \times (6.25 \times 10^{-7})} = \frac{1}{0.125} = 8$.
કારણ કે $n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, તેથી મહત્તમ ક્રમ $n = 8$ છે.
કુલ અવલોકિત અધિકતમની સંખ્યા $2n + 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જેમાં $n=0$ પરનું મધ્યસ્થ અધિકતમ અને બંને બાજુના $n$ ક્રમનો સમાવેશ થાય છે).
કુલ અધિકતમ $= 2(8) + 1 = 17$.

(D) વિવર્તનની માત્રા એ આપાત તરંગની તરંગલંબાઈના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે અવરોધ અથવા છિદ્રનું કદ તરંગની તરંગલંબાઈ જેટલું હોય ત્યારે વિવર્તન જોવા મળે છે,તેથી લાંબી તરંગલંબાઈ ધરાવતા તરંગો વધુ સ્પષ્ટ વિવર્તન દર્શાવે છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,રેડિયો તરંગોની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ છે.
તેથી,રેડિયો તરંગો મહત્તમ વિવર્તન અનુભવે છે.

(B) સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તનમાં $n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $n$ એ ન્યૂનતમનો ક્રમ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$,તેથી $a \sin \theta = \lambda$.
ખૂણો $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,જ્યાં $y$ એ મધ્યસ્થ અધિકતમથી અંતર છે અને $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે.
આમ,$y = \frac{n \lambda D}{a}$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n = 1)$ માટે,$y_1 = \frac{\lambda D}{a}$.
મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ છે: $a = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,$D = 1 \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $2y_1 = \frac{2 \times 500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \times 10^{-6} \ m = 0.5 \times 10^{-3} \ m = 0.5 \ mm$.

(B) વિવર્તન એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સાથે સરખાવી શકાય તેવા કદના અવરોધ અથવા છિદ્રની કિનારીઓ પર પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે.
નોંધપાત્ર વિવર્તન થવા માટે,છિદ્ર અથવા સ્લિટની પહોળાઈ '$a$' એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ '$\lambda$' જેટલી અથવા તેનાથી નાની હોવી જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આ શરત $a \leq \lambda$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને બાજુ '$\lambda$' વડે ભાગતા,આપણને $\frac{a}{\lambda} \leq 1$ મળે છે.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તન (diffraction) માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $x \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$ લેતા.
આપેલ છે: $\lambda = 6500 \text{ Å} = 6500 \times 10^{-10} \text{ m} = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$ અને $\theta = 30^{\circ}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x \sin 30^{\circ} = 1 \times 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી:
$x \times 0.5 = 6.5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$x = \frac{6.5 \times 10^{-7}}{0.5} \text{ m} = 13 \times 10^{-7} \text{ m} = 1.3 \times 10^{-6} \text{ m}$.
તેથી,$x = 1.3 \mu \text{m}$ થાય.

(A) વિવર્તનમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
તે જ રીતે,મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ $\beta = \frac{2D\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધો પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\beta \propto \lambda$.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી હોવાથી $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{red}})$,લાલ પ્રકાશને વાદળી પ્રકાશ વડે બદલવાથી વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈમાં ઘટાડો થશે.
તેથી,પટ્ટાઓ સાંકડા થશે.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે.
અહીં,$\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ દર્શાવે છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ દર્શાવે છે.
આવૃત્તિ $f$ એ તરંગલંબાઈ સાથે $\lambda = \frac{c}{f}$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી કોણીય પહોળાઈ પ્રકાશની આવૃત્તિ પર પણ આધાર રાખે છે.
જોકે,સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ એ સ્લિટ અને ઉદગમ (અથવા પડદા) વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખતી નથી.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n^{\text{th}}$ ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$a \sin \theta = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$
અહીં, $a = 0.014 \ mm = 0.014 \times 10^{-3} \ m$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\theta = 2.81^{\circ}$ એ કોણીય સ્થાન છે, અને બીજી પ્રકાશિત રેખા માટે $n = 2$ છે।
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{2a \sin \theta}{2n + 1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{2 \times 0.014 \times 10^{-3} \times \sin(2.81^{\circ})}{2(2) + 1}$
$\lambda = \frac{2 \times 0.014 \times 10^{-3} \times 0.049072}{5}$
$\lambda = 2.748 \times 10^{-7} \ m$
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા $(1 \ Å = 10^{-10} \ m)$:
$\lambda = 2748 \ Å$

(B) પહોળાઈની સિંગલ સ્લિટ માટે,$n$ માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$a \sin 30^{\circ} = 1 \cdot \lambda \Rightarrow a(0.5) = \lambda \Rightarrow a = 2 \lambda$.
$n$ માં ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta' = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટે,આપણે $n=1$ લઈએ છીએ.
સમીકરણમાં $a = 2 \lambda$ અને $n=1$ મૂકતા:
$(2 \lambda) \sin \theta' = (1 + \frac{1}{2}) \lambda$
$2 \sin \theta' = \frac{3}{2}$
$\sin \theta' = \frac{3}{4}$
$\theta' = \sin^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$.

(C) સમતલ ટ્રાન્સમિશન ગ્રેટિંગ માટે,$n$ માં ક્રમના વિવર્તન મહત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $d$ એ ગ્રેટિંગ અચળાંક છે,$\theta$ એ વિવર્તન કોણ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
સંબંધ $\sin \theta = \frac{n \lambda}{d}$ પરથી,તે સ્પષ્ટ છે કે નિશ્ચિત ક્રમ $n$ અને ગ્રેટિંગ અચળાંક $d$ માટે,વિવર્તન કોણ $\theta$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,નાના ખૂણાઓ માટે $\theta \propto \lambda$).
જ્યારે ઉદગમને ટૂંકી તરંગલંબાઇ ધરાવતા બીજા ઉદગમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે $\lambda$ નું મૂલ્ય ઘટે છે. પરિણામે,$\sin \theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ ક્રમો $(n=1, 2, 3)$ માટે વિવર્તન કોણ $\theta$ ઘટે છે.
$O$ પરનું સીધું પ્રતિબિંબ ($0$ મો ક્રમ) સ્થિર રહે છે કારણ કે $n=0$ માટે $\sin \theta = 0$ થાય છે,તરંગલંબાઇ ગમે તે હોય. જો કે,વિવર્તિત પ્રતિબિંબો $A, B$ અને $C$ તેમના વિવર્તન કોણ ઘટવાને કારણે મધ્યસ્થ મહત્તમ $O$ ની નજીક આવશે.
તેથી,પ્રતિબિંબો $C, B$ અને $A$ એ $O$ તરફ ખસશે.

(D) વિવર્તન એ પ્રકાશના તરંગલંબાઈ જેટલા માપના અવરોધ અથવા છિદ્રની ધાર પાસેથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે.
નોંધપાત્ર વિવર્તન થવા માટે,છિદ્ર અથવા અવરોધનું કદ $a$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું અથવા તેનાથી નાનું હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આ શરત $\frac{a}{\lambda} \leq 1$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે, $n$ મા ક્રમના અંધારા ફ્રિન્જ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
આપેલ છે: $n = 5$, $\theta = 12^{\circ}$, $d = 9 \mu m = 9 \times 10^{-6} \text{ m}$.
નાના ખૂણાના અંદાજ $\sin \theta \approx \theta$ (રેડિયનમાં) નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = 12^{\circ} = 12 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{\pi}{15} \text{ rad}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d \theta = n \lambda$
$(9 \times 10^{-6}) \times (\frac{\pi}{15}) = 5 \times \lambda$
$\lambda = \frac{9 \times 10^{-6} \times \pi}{15 \times 5} = \frac{9 \times 3.14159 \times 10^{-6}}{75} \approx 3.77 \times 10^{-7} \text{ m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda \approx 3770 Å$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સૌથી નજીકની કિંમત $3768 Å$ છે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય પહોળાઈ $\theta_1 = \frac{2\lambda}{a}$ છે અને અંતિમ કોણીય પહોળાઈ $\theta_2 = \frac{2(7000 Å)}{a}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કોણીય પહોળાઈ અડધી થાય છે,તેથી $\theta_2 = \frac{1}{2} \theta_1$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2(7000 Å)}{a} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\lambda}{a} \right)$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$7000 Å = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = 2 \times 7000 Å = 14000 Å$.
જો પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ,તો સાચો જવાબ $3500 Å$ ત્યારે જ શક્ય છે જો તરંગલંબાઈ $7000 Å$ થી $3500 Å$ કરવામાં આવે.

(D) સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે, જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, અને $n = 1, 2, 3, ...$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y_n}{D}$, જ્યાં $y_n$ એ $n^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન છે અને $D$ એ પડદાનું અંતર છે।
તેથી, $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
પ્રથમ $(n=1)$ અને ત્રીજા $(n=3)$ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_3 - y_1 = \frac{3 \lambda D}{a} - \frac{1 \lambda D}{a} = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે।
આપેલ છે: $\Delta y = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.5 \,m$, અને $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-3} = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.5}{a}$.
$a = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \times 0.5}{3 \times 10^{-3}} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{-4} \,m$.
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા: $a = 0.2 \,mm$.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આમ,$\theta \propto \lambda$.
ધારો કે પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 6000 \text{ Å}$ છે અને પ્રારંભિક કોણીય પહોળાઈ $\theta_1 = \theta$ છે.
તેથી $\theta_1 = k \lambda_1$ $(i)$
જ્યારે તરંગલંબાઇ બદલીને $\lambda_2 = \lambda$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોણીય પહોળાઈ $30 \%$\ ઘટે છે.
તેથી,$\theta_2 = \theta_1 - 0.30 \theta_1 = 0.70 \theta_1$.
કારણ કે $\theta_2 = k \lambda_2$,તેથી $0.70 \theta_1 = k \lambda_2$ (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{k \lambda_2}{k \lambda_1} = \frac{0.70 \theta_1}{\theta_1}$
$\frac{\lambda_2}{6000 \text{ Å}} = 0.70$
$\lambda_2 = 0.70 \times 6000 \text{ Å} = 4200 \text{ Å}$.

(B) મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ આવેલા પ્રથમ ક્રમના બે ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ જેટલું હોય છે.
એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
પડદાનું અંતર $D = 2 \,m$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 6330 \mathring{A} = 6330 \times 10^{-10} \,m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$w = \frac{2 \times 6330 \times 10^{-10} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$
$w = 2 \times 6330 \times 10^{-7} \,m$
$w = 12660 \times 10^{-7} \,m = 1.266 \times 10^{-3} \,m$
$w \approx 1.27 \,mm$.

(C) ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્ર (રે ઓપ્ટિક્સ) ત્યારે માન્ય છે જ્યારે વિવર્તનની અસરો અવગણ્ય હોય.
જ્યારે છિદ્રનું કદ $D$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની સરખામણીમાં હોય ત્યારે વિવર્તન નોંધપાત્ર બને છે.
ફ્રેનલ અંતર $z_F$ ને $z_F = \frac{D^2}{\lambda}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્ર લાગુ કરવા માટે,છિદ્રથી પડદા સુધીનું અંતર $L$ એ ફ્રેનલ અંતર કરતા ઘણું ઓછું હોવું જોઈએ,એટલે કે $L \ll z_F$.
$z_F$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $L \ll \frac{D^2}{\lambda}$ મળે છે,જેને $\frac{L \lambda}{D^2} \ll 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{blue})$ એ લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ કરતા ઓછી હોવાથી,વિવર્તન શલાકાઓની કોણીય પહોળાઈ ઘટે છે.
તેથી,શલાકાઓ સાંકડી અને એકબીજાની નજીક આવશે.

(C) એક સ્લિટના પ્રયોગમાં $n^{th}$ ક્રમના વિવર્તન ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે અને $\theta$ એ વિવર્તનનો ખૂણો છે.
$\lambda_1$ ના $2^{nd}$ ક્રમના ન્યૂનતમ માટે,આપણી પાસે $a \sin \theta_1 = 2 \lambda_1$ છે.
$\lambda_2$ ના $3^{rd}$ ક્રમના ન્યૂનતમ માટે,આપણી પાસે $a \sin \theta_2 = 3 \lambda_2$ છે.
જ્યારે ન્યૂનતમ સંપાત થાય છે,ત્યારે વિવર્તનના ખૂણા સમાન હોય છે,એટલે કે $\theta_1 = \theta_2 = \theta$.
તેથી,$2 \lambda_1 = 3 \lambda_2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{3}{2}$ મળે છે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં $n$ માં ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
આમ,$n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ છે.
મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ક્રમના ન્યૂનતમ વચ્ચેનું રેખીય અંતર એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ છે,જે $w = y_1 - (-y_1) = 2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $a = 0.5 ~mm = 0.5 \times 10^{-3} ~m$,$\lambda = 600 ~nm = 600 \times 10^{-9} ~m$,અને $D = 50 ~cm = 0.5 ~m$.
કિંમતો મૂકતા: $w = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}} = 1200 \times 10^{-6} ~m = 1.2 ~mm$.

(C) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
કોણીય પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta\theta = \frac{2\Delta\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\Delta\lambda = |\lambda_1 - \lambda_2|$.
આપેલ આવૃત્તિઓ $f_1 = 4 \times 10^{14} \ s^{-1}$ અને $f_2 = 5 \times 10^{14} \ s^{-1}$ છે.
$\lambda = \frac{c}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે:
$\lambda_1 = \frac{3 \times 10^8}{4 \times 10^{14}} = 7.5 \times 10^{-7} \ m$.
$\lambda_2 = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 6.0 \times 10^{-7} \ m$.
$\Delta\lambda = |7.5 \times 10^{-7} - 6.0 \times 10^{-7}| = 1.5 \times 10^{-7} \ m$.
આપેલ છે કે $\Delta\theta = 0.6 \ \text{radian}$.
$d = \frac{2\Delta\lambda}{\Delta\theta}$ પરથી:
$d = \frac{2 \times 1.5 \times 10^{-7}}{0.6} = \frac{3.0 \times 10^{-7}}{0.6} = 5 \times 10^{-7} \ m$.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને રેખીય પહોળાઈ $\beta_{cm} = \frac{2\lambda D}{a}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે, $D$ એ પડદાનું અંતર છે, અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે。
$(A)$ $\beta_{cm} \propto \lambda$ હોવાથી, તરંગલંબાઈ વધતા મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ વધે છે. તેથી, $(A)$ સાચું છે。
$(B)$ $\beta_{cm} \propto \lambda$ હોવાથી, તરંગલંબાઈ ઘટતા પહોળાઈ ઘટે છે. તેથી, $(B)$ ખોટું છે。
$(C)$ $\beta_{cm} \propto \frac{1}{a}$ હોવાથી, સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ઘટતા મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ વધે છે. તેથી, $(C)$ સાચું છે。
$(D)$ $\beta_{cm} \propto \frac{1}{a}$ હોવાથી, સ્લિટની પહોળાઈ $a$ વધતા પહોળાઈ ઘટે છે. તેથી, $(D)$ ખોટું છે。
$(E)$ મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતા સ્લિટની પહોળાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં અને તરંગલંબાઈના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\text{Intensity} \propto \frac{a^2}{\lambda^2})$. તેથી, જેમ $\lambda$ ઘટે છે, તેમ મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતા (તેજસ્વિતા) વધે છે. તેથી, $(E)$ સાચું છે。
નિષ્કર્ષ: વિધાનો $(A)$, $(C)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = y_n/D$,તેથી $n^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = nD\lambda/a$ થાય છે.
$1^{st}$ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે,સ્થાન $y_1 = D\lambda/a$ છે.
$3^{rd}$ ન્યૂનતમ $(n=3)$ માટે,સ્થાન $y_3 = 3D\lambda/a$ છે.
$1^{st}$ અને $3^{rd}$ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું રેખીય અંતર $|y_3 - y_1| = 3D\lambda/a - D\lambda/a = 2D\lambda/a$ થાય છે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 628 \text{ nm} = 628 \times 10^{-9} \text{ m}$,$a = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{2 \times 628 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = \frac{1256 \times 10^{-9}}{0.2 \times 10^{-3}} = 6280 \times 10^{-6} = 6.28 \times 10^{-3} \text{ રેડિયન}$.
રેડિયનને ડિગ્રીમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\theta^{\circ} = 6.28 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14}$.
કારણ કે $\frac{6.28}{3.14} = 2$,તેથી $\theta^{\circ} = 2 \times 10^{-3} \times 180 = 360 \times 10^{-3} = 0.36^{\circ}$.
આને $\alpha \times 10^{-2}$ તરીકે દર્શાવતા,આપણને $0.36 = 36 \times 10^{-2}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha$ નું મૂલ્ય $36$ છે.