Intensity in Young's Double Slit Experiment Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બે તરંગોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1 : I_2 = 9 : 1$ છે. ધારો કે $I_1 = 9x$ અને $I_2 = x$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના ગુણોત્તરનું સૂત્ર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{9x} + \sqrt{x}}{\sqrt{9x} - \sqrt{x}} \right)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3\sqrt{x} + \sqrt{x}}{3\sqrt{x} - \sqrt{x}} \right)^2 = \left( \frac{4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \right)^2$.
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = (2)^2 = 4$.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(C) આપેલ છે કે બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ છે.
ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ થશે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3 + 1}{3 - 1} \right)^2 = \left( \frac{4}{2} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) આપેલ છે કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{100}{1}$ છે.
ધારો કે કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે,જેથી $\frac{I_1}{I_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = 100$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\frac{A_1}{A_2} = 10$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$.
$\frac{A_1}{A_2} = 10$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \left( \frac{10 + 1}{10 - 1} \right)^2 = \left( \frac{11}{9} \right)^2 = \frac{121}{81}$.

(B) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_A = \frac{\pi}{2}$ છે.
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 5I + 0 = 5I$.
બિંદુ $B$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_B = \pi$ છે.
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 2(2I)(-1) = 5I - 4I = I$.
તેથી $A$ અને $B$ આગળ પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત $|I_A - I_B| = |5I - I| = 4I$ થાય.

(A) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપનવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
આપેલ કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{9}$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{a_1}{a_2} + 1}{\frac{a_1}{a_2} - 1} \right)^2$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{9}$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{1}{9} + 1}{\frac{1}{9} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{10}{9}}{-\frac{8}{9}} \right)^2 = \left( -\frac{10}{8} \right)^2 = \left( -\frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}$.

(A) આપેલ છે કે પ્રથમ સ્લિટની તીવ્રતા $I_1 = 2I_2$,જ્યાં $I_2$ એ બીજી સ્લિટની તીવ્રતા છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$
સૂત્રમાં $I_1 = 2I_2$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{2I_2} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{2I_2} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \right)^2$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \right)^2 = (\sqrt{2} + 1)^4 = (2 + 1 + 2\sqrt{2})^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2$
કિંમત ગણતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 9 + 8 + 12\sqrt{2} = 17 + 12(1.414) \approx 17 + 16.968 \approx 33.968 \approx 34$.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં શલાકાઓની દ્રશ્યતા $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ છે.
બે સુસંબદ્ધ ઉદ્દગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ હોય,તો $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ થાય.
આ કિંમતો $V$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
અંશ અને છેદને $I_2$ વડે ભાગતા:
$V = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1}$.
અહીં ગુણોત્તર $p = I_1/I_2$ આપેલ છે,તેથી:
$V = \frac{2\sqrt{p}}{1 + p}$.

(A) આપેલ તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ થાય.
ધારો કે $A_1 = 3x$ અને $A_2 = x$.
મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{max} = A_1 + A_2 = 3x + x = 4x$ થાય.
ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર $A_{min} = |A_1 - A_2| = |3x - x| = 2x$ થાય.
તેથી,મહત્તમ કંપવિસ્તાર અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{max}}{A_{min}} = \frac{4x}{2x} = \frac{2}{1}$ મળે.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં,તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટે,$\cos \phi$ અનુક્રમે $1$ અને $-1$ છે.
$I_{\text{max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
આપેલ છે કે $\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \frac{9}{1}$,તેથી $\frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = 3$.
યોગ અને વિયોગની રીત વાપરતા: $\frac{\sqrt{I_1}}{\sqrt{I_2}} = \frac{3+1}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$.
તેથી,સ્ત્રોતોની તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = (2)^2 = 4$ છે.

(C) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લીટની પહોળાઈ $W$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $\frac{I_1}{I_2} = \frac{W_1}{W_2} = \frac{4}{9}$.
ધારો કે $I_1 = 4k$ અને $I_2 = 9k$. કંપવિસ્તાર એ તીવ્રતાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $A_1 = \sqrt{4k} = 2\sqrt{k}$ અને $A_2 = \sqrt{9k} = 3\sqrt{k}$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(2\sqrt{k} + 3\sqrt{k})^2}{(2\sqrt{k} - 3\sqrt{k})^2} = \frac{(5\sqrt{k})^2}{(-\sqrt{k})^2} = \frac{25k}{k} = \frac{25}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $25:1$ થશે.

(D) ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ છે.
કિસ્સો $1$: પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$. તેથી $\phi = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$.
તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(2\pi/2) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0 = K$.
કિસ્સો $2$: પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/4$. તેથી $\phi = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/4) = \pi/2$.
તીવ્રતા $I' = 4I_0 \cos^2((\pi/2)/2) = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0(1/2) = 2I_0$.
કારણ કે $K = 4I_0$,તેથી $2I_0 = K/2$.
આમ,તે બિંદુએ તીવ્રતા $K/2$ છે.

(A) કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
પ્રથમ બિંદુ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_1 = \lambda$ છે. તેથી,કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે. સ્ત્રોતો સમાન હોવાથી,$I_1 = I_2 = I_0$,તેથી $I = 2I_0 + 2I_0 \cos \phi = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ થાય.
પ્રથમ બિંદુ માટે: $K = 4I_0 \cos^2(2\pi/2) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$. તેથી,$I_0 = K/4$ મળે.
બીજા બિંદુ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_2 = \lambda/4$ છે. કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I' = 4I_0 \cos^2(\phi_2/2) = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0 (1/2) = 2I_0$ મળે.
$I_0 = K/4$ મૂકતા,$I' = 2(K/4) = K/2$ એકમ મળે.

(B) કળા તફાવત $\phi$ અને પથતફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
જ્યારે પથતફાવત $\Delta x_1 = \lambda$ હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ છે.
$\phi_1 = 2\pi$ માટે,$I_1 = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} = k$ મળે.
જ્યારે પથતફાવત $\Delta x_2 = \lambda/4$ હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\phi_2/2) = k \cos^2(\pi/4)$ થશે.
કારણ કે $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$,તેથી $I_2 = k \times (1/\sqrt{2})^2 = k/2$ મળે.

(B) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક તરંગની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi / \lambda) \times \Delta x$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi = (2\pi / \lambda) \times \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતાના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $I = 4I_0 \cos^2(2\pi / 2) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$. આપેલ છે કે આ તીવ્રતા $K$ છે,તેથી $K = 4I_0$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે પથ તફાવત $\Delta x = \lambda / 4$ હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 4) = \pi / 2$ થાય.
તીવ્રતાના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $I' = 4I_0 \cos^2((\pi / 2) / 2) = 4I_0 \cos^2(\pi / 4) = 4I_0 (1 / \sqrt{2})^2 = 4I_0 (1 / 2) = 2I_0$.
કારણ કે $K = 4I_0$,તેથી $2I_0 = K / 2$. આમ,તીવ્રતા $K / 2$ થશે.

(B) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $W$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,અને તરંગના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના પણ સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\therefore \frac{I_1}{I_2} = \frac{W_1}{W_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2}$
આપેલ પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{1}{25}$ હોવાથી:
$\frac{A_1^2}{A_2^2} = \frac{1}{25} \implies \frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{5}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\frac{1}{5} + 1}{\frac{1}{5} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{6}{5}}{-\frac{4}{5}} \right)^2 = \left( -\frac{6}{4} \right)^2 = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$

(A) ધારો કે બે ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે,જેથી $\frac{I_1}{I_2} = \alpha$. $I \propto A^2$ હોવાથી,આપણને $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ મળે છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{max} = (A_1 + A_2)^2$ અને $I_{min} = (A_1 - A_2)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$I_{max}$ અને $I_{min}$ ના પદો મૂકતા:
$\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2 - (A_1 - A_2)^2}{(A_1 + A_2)^2 + (A_1 - A_2)^2}$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) - (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) + (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}$
$= \frac{4A_1A_2}{2(A_1^2 + A_2^2)} = \frac{2A_1A_2}{A_1^2 + A_2^2}$
અંશ અને છેદને $A_2^2$ વડે ભાગતા:
$= \frac{2(A_1/A_2)}{(A_1/A_2)^2 + 1}$
$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$= \frac{2\sqrt{\alpha}}{(\sqrt{\alpha})^2 + 1} = \frac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha + 1}$.

(B) ફ્રિન્જ વિઝિબિલિટી $V$ ને $V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બે ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે,જેથી $\frac{I_1}{I_2} = p$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ છે.
આ કિંમતોને વિઝિબિલિટીના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
અંશ અને છેદને $I_2$ વડે ભાગતા:
$V = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1} = \frac{2\sqrt{p}}{p + 1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{\lambda}{4} \right) = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = I_{max} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{I_{max}}{2}$ મળે.
મધ્યસ્થ શલાકા પર પથ તફાવત $0$ હોય છે,તેથી ત્યાં તીવ્રતા $I_{max}$ હોય છે.
આમ,આ બિંદુએ તીવ્રતા અને મધ્યસ્થ શલાકા પરની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}/2}{I_{max}} = \frac{1}{2}$ એટલે કે $1:2$ થાય.

(A) મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{49}{9}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a+b}{a-b} = \frac{7}{3}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3(a+b) = 7(a-b)$,જેનું સાદું રૂપ $3a + 3b = 7a - 7b$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$4a = 10b$,તેથી કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a}{b} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ મળે છે.
તીવ્રતા $I \propto a^2$ હોવાથી,ઘટક તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6.25$ થાય છે.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
મધ્યસ્થ તેજસ્વી શલાકા પર,કળા તફાવત $\phi = 0$ છે,તેથી $I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
કેન્દ્રથી $x = \frac{\beta}{4}$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\beta} \cdot x$ દ્વારા મળે છે.
$x = \frac{\beta}{4}$ મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{2\pi}{\beta} \cdot \frac{\beta}{4} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I_2 = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$ થાય.
તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = 2$ છે.

(C) પથ તફાવત $\Delta p = \frac{xd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $x = 4 \times 10^{-5} \, m$,$d = 0.25 \, cm = 2.5 \times 10^{-3} \, m$,અને $D = 100 \, cm = 1 \, m$ છે.
$\Delta p = \frac{(4 \times 10^{-5} \, m) \times (2.5 \times 10^{-3} \, m)}{1 \, m} = 10^{-7} \, m$.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda = 6000 \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \, m$ છે.
$\phi = \frac{2\pi}{6 \times 10^{-7}} \times 10^{-7} = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
પરિણામી તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\phi / 2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = I_0 \cos^2(60^{\circ} / 2) = I_0 \cos^2(30^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $I = I_0 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = I_0 \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{4}$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પડદા પરના કોઈ બિંદુએ તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,આપણે કળા તફાવત શોધીએ:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$.
હવે,આ $\phi$ ની કિંમત તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{I}{I_0} = \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\frac{I}{I_0} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}$.

(A) ધારો કે કંપવિસ્તાર $a_1 = a$ અને $a_2 = 2a$ છે. તીવ્રતાઓ $I_1 = a^2$ અને $I_2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4I_1$ છે.
પરિણામી તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = I_1 + 4I_1 + 2\sqrt{I_1(4I_1)} \cos \phi = 5I_1 + 4I_1 \cos \phi$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_m$ ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \phi = 1$,તેથી $I_m = (a_1 + a_2)^2 = (a + 2a)^2 = 9a^2 = 9I_1$.
આમ,$I_1 = \frac{I_m}{9}$.
$I_1$ ની કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{5I_m}{9} + \frac{4I_m}{9} \cos \phi = \frac{I_m}{9}(5 + 4 \cos \phi)$.
નિત્યસમ $\cos \phi = 2\cos^2 \frac{\phi}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{I_m}{9}(5 + 4(2\cos^2 \frac{\phi}{2} - 1)) = \frac{I_m}{9}(5 + 8\cos^2 \frac{\phi}{2} - 4) = \frac{I_m}{9}(1 + 8\cos^2 \frac{\phi}{2})$.

(B) ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. આપેલ ગુણોત્તર $\beta = \frac{I_1}{I_2}$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
આપણે $X = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પદોને મૂકતા:
$I_{\max} - I_{\min} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 4\sqrt{I_1 I_2}$.
$I_{\max} + I_{\min} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 2(I_1 + I_2)$.
તેથી,$X = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
અંશ અને છેદને $I_2$ વડે ભાગતા:
$X = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1} = \frac{2\sqrt{\beta}}{\beta + 1}$.

(D) ધારો કે બે કિરણોની તીવ્રતા $I_1 = I$ અને $I_2 = I + \Delta I$ છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતામાં તફાવત $1\%$ છે,તેથી $\frac{\Delta I}{I} = 1\% = 10^{-2}$.
$YDSE$ માં ન્યૂનતમ તીવ્રતાનું સૂત્ર $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\text{min}} = (\sqrt{I + \Delta I} - \sqrt{I})^2 = I \left( \sqrt{1 + \frac{\Delta I}{I}} - 1 \right)^2$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_{\text{min}} \approx I \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{\Delta I}{I} - 1 \right)^2 = I \left( \frac{1}{2} \frac{\Delta I}{I} \right)^2$.
$I_{\text{min}} = \frac{I}{4} \left( \frac{\Delta I}{I} \right)^2 = \frac{I}{4} (10^{-2})^2 = \frac{I}{4} (10^{-4})$.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$I = I_0 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I_0 \times \frac{3}{4}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_0}{I} = \frac{4}{3}$ થાય.

(C) તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto A^2)$.
આપેલ કંપવિસ્તાર $A$ અને $2A$ હોવાથી,તીવ્રતા $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ થશે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_0 = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$I = \frac{I_0}{9}$.
કળા તફાવત $\phi$ વાળા બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I' = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I' = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos \phi = 5I + 4I \cos \phi$.
$I = \frac{I_0}{9}$ મૂકતા,આપણને $I' = \frac{I_0}{9} (5 + 4 \cos \phi)$ મળે છે.

(D) ધારો કે બે સુસંબદ્ધ કિરણોની તીવ્રતા $I_1 = I$ અને $I_2 = I + \Delta I$ છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતામાં તફાવત $1\%$ છે,તેથી $\frac{\Delta I}{I} = 1\% = 10^{-2}$.
$YDSE$ સેટઅપમાં ન્યૂનતમ તીવ્રતાનું સૂત્ર $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$I_{\text{min}} = (\sqrt{I + \Delta I} - \sqrt{I})^2 = I \left( \sqrt{1 + \frac{\Delta I}{I}} - 1 \right)^2$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = \frac{\Delta I}{I} = 10^{-2}$:
$I_{\text{min}} \approx I \left( (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta I}{I}) - 1 \right)^2 = I \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta I}{I} \right)^2$.
$I_{\text{min}} = I \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\Delta I}{I} \right)^2 = \frac{I}{4} (10^{-2})^2 = \frac{I}{4} (10^{-4})$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પરિણામી તીવ્રતાનું સૂત્ર $I_R = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ છે,જ્યાં $I = 4I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે.
આપેલ છે કે કોઈ બિંદુએ તીવ્રતા $I' = \frac{I}{4} = \frac{4I_0}{4} = I_0$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $I_0 = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$.
$\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4} \implies \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{3} \implies \phi = \frac{2\pi}{3}$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta x = d \sin \theta$ હોવાથી,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta$ થાય.
$\phi$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta = \frac{2\pi}{3}$.
$\sin \theta$ માટે ઉકેલતા: $\sin \theta = \frac{\lambda}{3d}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\lambda}{3d}\right)$.

(C) આપેલ કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 2 : 3$ છે.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ થાય.
ધારો કે $I_1 = 4k$ અને $I_2 = 9k$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{4k} - \sqrt{9k})^2 = (2\sqrt{k} - 3\sqrt{k})^2 = (-\sqrt{k})^2 = k$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{4k} + \sqrt{9k})^2 = (2\sqrt{k} + 3\sqrt{k})^2 = (5\sqrt{k})^2 = 25k$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \frac{k}{25k} = \frac{1}{25}$ થાય.

(B) $YDSE$ માં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{max}$ એ મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા છે.
આપેલ છે કે $I_{max} = 8 \, mW/m^2$ અને પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$.
કળા તફાવત $\phi$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$.
તીવ્રતાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = 8 \cos^2(\frac{\pi/3}{2}) = 8 \cos^2(\frac{\pi}{6})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\cos^2(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$.
આમ,$I = 8 \times \frac{3}{4} = 6 \, mW/m^2$.

(A) ધારો કે બે ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ છે.
સરેરાશ તીવ્રતા $I_{avg} = I_1 + I_2$ છે.
તીવ્રતામાં ફેરફાર સરેરાશ તીવ્રતાના $5\%$ આપેલ છે,તેથી $I_{max} - I_{min} = 0.05 I_{avg}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_{max} - I_{min} = 4\sqrt{I_1 I_2}$ અને $I_{avg} = I_1 + I_2$.
તેથી,$4\sqrt{I_1 I_2} = 0.05(I_1 + I_2)$.
ધારો કે $x = I_1/I_2$. તો $4\sqrt{x} = 0.05(x + 1)$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{1681}{1}$ મળે છે.

(A) પ્રકાશિત શલાકાના કેન્દ્ર $(P_1)$ પર,તીવ્રતા મહત્તમ હોય છે,$I_1 = I_{max} = 4I_0$,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે.
કેન્દ્રથી $y$ અંતરે પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $y = \frac{\beta}{4}$,જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
તેથી,$\Delta x = \frac{(\lambda D / 4d) \cdot d}{D} = \frac{\lambda}{4}$.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P_2$ માટે,$I_2 = I_1 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_1 \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
આમ,$I_2 = I_1 \cdot \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = 2$.

(B) ધારો કે દરેક સ્લિટની તીવ્રતા $I_0$ છે. પરિણામી તીવ્રતા $I_R = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ થાય.
$\Delta x = \lambda$ પર $I_R = M$ આપેલ છે,તેથી $M = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$. આમ,$I_0 = \frac{M}{4}$.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
પરિણામી તીવ્રતા $I_R' = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$ છે.
$I_0 = \frac{M}{4}$ અને $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $I_R' = 4(\frac{M}{4}) \cdot (\frac{1}{2})^2 = M \cdot \frac{1}{4} = \frac{M}{4}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. આપેલ ગુણોત્તર $I_1/I_2 = \beta/1$ હોવાથી,$I_1 = \beta I$ અને $I_2 = I$ મળે.
ફ્રિન્જ વિઝિબિલિટી (અથવા કોન્ટ્રાસ્ટ) $V$ એ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના તફાવત અને તેમના સરવાળાનો ગુણોત્તર છે:
$V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$
હવે $I_1 = \beta I$ અને $I_2 = I$ મૂકતા:
$V = \frac{2\sqrt{(\beta I)(I)}}{\beta I + I} = \frac{2\sqrt{\beta} I}{I(\beta + 1)} = \frac{2\sqrt{\beta}}{1 + \beta}$

(A) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta x = \frac{\lambda}{8}$ આપેલ છે,તેથી $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$ થાય.
કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. જો $I_1 = I_2 = I_0$ લઈએ,તો $I = 2I_0 + 2I_0 \cos(\frac{\pi}{4}) = 2I_0(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$ થાય.
મધ્યસ્થ શલાકા પર તીવ્રતા (જ્યાં $\Delta x = 0$) $I_{max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0})^2 = 4I_0$ થાય.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I}{I_{max}} = \frac{2I_0(1 + 0.707)}{4I_0} = \frac{1.707}{2} = 0.8535 \approx 0.853$ મળે.

(D) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_A = \frac{\pi}{2}$ છે.
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$.
બિંદુ $B$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_B = 2\pi$ છે.
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(2\pi) = 5I + 2(2I)(1) = 5I + 4I = 9I$.
પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત $I_B - I_A = 9I - 5I = 4I$ થાય.

(D) બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગો જેની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે અને કળા તફાવત $\phi$ છે,તેમની પરિણામી તીવ્રતા $I$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
અહીં આપેલ છે કે દરેક તરંગની તીવ્રતા $I_0$ છે,તેથી $I_1 = I_0$ અને $I_2 = I_0$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = I_0 + I_0 + 2 \sqrt{I_0 \cdot I_0} \cos \phi$
$I = 2I_0 + 2I_0 \cos \phi$
$I = 2I_0 (1 + \cos \phi)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે બે તરંગોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે.
આપેલ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{16}{1}$.
વ્યતિકરણમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{I_2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} + 1}{\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} - 1} \right)^2$.
આપેલ કિંમત $\frac{I_1}{I_2} = 16$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{16} + 1}{\sqrt{16} - 1} \right)^2 = \left( \frac{4 + 1}{4 - 1} \right)^2 = \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{25}{9}$.

(B) ધારો કે બે કિરણોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \beta$ આપેલ છે.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\beta}$ મળે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\max} = (A_1 + A_2)^2$ અને $I_{\min} = (A_1 - A_2)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $X = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$I_{\max}$ અને $I_{\min}$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$X = \frac{(A_1 + A_2)^2 - (A_1 - A_2)^2}{(A_1 + A_2)^2 + (A_1 - A_2)^2} = \frac{4A_1 A_2}{2(A_1^2 + A_2^2)} = \frac{2A_1 A_2}{A_1^2 + A_2^2}$.
અંશ અને છેદને $A_2^2$ વડે ભાગતા:
$X = \frac{2(A_1/A_2)}{(A_1/A_2)^2 + 1} = \frac{2\sqrt{\beta}}{\beta + 1}$.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I' = I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi / \lambda) \times \Delta x$ છે.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = \lambda / 6$ આપેલ છે,તેથી કળા તફાવત:
$\phi = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 6) = \pi / 3$.
હવે,આ કિંમત તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I' = I_0 \cos^2(\pi / 6)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi / 6) = \sqrt{3} / 2$,તેથી:
$I' = I_0 (\sqrt{3} / 2)^2 = I_0 (3 / 4)$.
આમ,ગુણોત્તર $I'/I_0 = 3/4$ થાય છે.

(A) ધારો કે દરેક સ્લિટની તીવ્રતા $I_{0}$ છે. કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I = 4I_{0} \cos^{2}(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (\text{પથ તફાવત})$.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
તીવ્રતા $I = 4I_{0} \cos^{2}(2\pi/2) = 4I_{0} \cos^{2}(\pi) = 4I_{0}(1)^{2} = 4I_{0}$.
આપેલ છે કે આ તીવ્રતા $K$ છે,તેથી $4I_{0} = K$,એટલે કે $I_{0} = K/4$.
હવે,પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/3$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
નવી તીવ્રતા $I' = 4I_{0} \cos^{2}(\phi/2) = 4I_{0} \cos^{2}(\frac{2\pi/3}{2}) = 4I_{0} \cos^{2}(\pi/3)$.
કારણ કે $\cos(\pi/3) = 1/2$,તેથી $I' = 4I_{0} \times (1/2)^{2} = 4I_{0} \times (1/4) = I_{0}$.
$I_{0} = K/4$ મૂકતા,આપણને $I' = K/4$ એકમ મળે છે.

(N/A) સંબંધિત વ્યતિકરણ:
જ્યારે બે તરંગો એક બિંદુ પર સંપાત થાય છે,ત્યારે જો તેઓ સમાન કળામાં હોય તો સંબંધિત વ્યતિકરણ રચાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણક હોય.
પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
કારણ કે $\lambda$ જેટલો પથ તફાવત $2\pi$ જેટલા કળા તફાવતને અનુરૂપ છે,તેથી કળા તફાવત $\phi$ ના સંદર્ભમાં સંબંધિત વ્યતિકરણની શરત છે:
$\phi = 2n\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
આ બિંદુઓ પર,પરિણામી કંપવિસ્તાર મહત્તમ $(2a)$ હોય છે અને તીવ્રતા $I_{max} = (a + a)^2 = 4I_0$ હોય છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ:
વિનાશક વ્યતિકરણ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે તરંગો $\pi$ (અથવા $\pi$ ના એકી ગુણક) જેટલા કળા તફાવતથી વિરુદ્ધ કળામાં હોય. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ $(\lambda/2)$ નો એકી ગુણક હોય.
પથ તફાવત $\Delta x = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
કળા તફાવત $\phi$ ના સંદર્ભમાં વિનાશક વ્યતિકરણની શરત છે:
$\phi = (2n + 1)\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
આ બિંદુઓ પર,પરિણામી કંપવિસ્તાર ન્યૂનતમ $(a - a = 0)$ હોય છે અને તીવ્રતા $I_{min} = 0$ હોય છે.

(N/A) ધારો કે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુ $G$ છે અને તે બિંદુએ બે સ્થાનાંતરો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ છે.
જો $S_{1}$ દ્વારા $G$ પર ઉત્પન્ન થતું સ્થાનાંતર $y_{1} = a \cos \omega t$ હોય,તો $S_{2}$ દ્વારા $G$ પર ઉત્પન્ન થતું સ્થાનાંતર $y_{2} = a \cos (\omega t + \phi)$ થશે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ પરિણામી સ્થાનાંતર:
$y = y_{1} + y_{2} = a \cos \omega t + a \cos (\omega t + \phi)$
$y = a [\cos \omega t + \cos (\omega t + \phi)]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2a \cos \left(\frac{\phi}{2}\right) \cos \left(\omega t + \frac{\phi}{2}\right)$
પરિણામી સ્થાનાંતરનો કંપવિસ્તાર $A_{res} = 2a \cos \left(\frac{\phi}{2}\right)$ છે.
તીવ્રતા $I \propto A_{res}^2$ હોવાથી:
$I \propto 4a^2 \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$
$I = 4I_{0} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$,જ્યાં $I_{0} \propto a^2$ એ દરેક સ્વતંત્ર ઉદગમની તીવ્રતા છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ તીવ્રતા) માટે,કળા તફાવત $\phi = 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots$ (એટલે કે $\phi = 2n\pi$,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે) હોવો જોઈએ.
વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ તીવ્રતા) માટે,કળા તફાવત $\phi = \pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ (એટલે કે $\phi = (2n+1)\pi$,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે) હોવો જોઈએ.

(A) પ્રકાશ તરંગની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર તીવ્રતાનું સમય-સરેરાશ મૂલ્ય $\langle I \rangle = \frac{1}{2} I_{max}$ છે.
આપણે તે કળા તફાવત $\phi$ શોધવાનો છે જ્યારે તીવ્રતા $I = \frac{1}{2} I_{max}$ હોય.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} I_{max} = I_{max} \cos^2(\phi/2)$
$\frac{1}{2} = \cos^2(\phi/2)$
$\cos(\phi/2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\phi/2 = \pi/4$
$\phi = \pi/2$.

(N/A) આકૃતિ બે-સ્લિટ પ્રયોગ માટે તીવ્રતાનું વિતરણ દર્શાવે છે. એકંદર એન્વલપ (envelope) એક-સ્લિટ વિવર્તનની ભાત દર્શાવે છે,જ્યારે આ એન્વલપની અંદરની ઝીણી શલાકાઓ બે-સ્લિટ વ્યતિકરણની ભાત દર્શાવે છે.
બે-સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પર મળતી પરિણામી તીવ્રતાની ભાત એ દરેક સ્લિટમાંથી મળતા એક-સ્લિટ વિવર્તન અને બે-સ્લિટ વ્યતિકરણની ભાતનું સંપાતીકરણ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,વિવર્તનની પહોળી મહત્તમ તીવ્રતામાં ઘણી નાની વ્યતિકરણ શલાકાઓ જોવા મળે છે.
કેન્દ્રીય વિવર્તન મહત્તમમાં દેખાતી વ્યતિકરણ શલાકાઓની સંખ્યા ગુણોત્તર $\frac{d}{a}$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $a$ એ દરેક સ્લિટની પહોળાઈ છે.
જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ખૂબ નાની થતી જાય છે,તેમ વિવર્તનનું એન્વલપ ખૂબ જ પહોળું અને સપાટ બનતું જાય છે.
નોંધવું મહત્વપૂર્ણ છે કે વિવર્તનની ભાત જોવા માટે વ્યતિકરણની ઘટના જરૂરી છે,પરંતુ સામાન્ય વ્યતિકરણની ભાત જોવા માટે વિવર્તનની ઘટના જરૂરી નથી.

(D) અહીં,રકમમાં આપેલી પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. રકમ મુજબ,પડદાનું સ્લિટથી અંતર $D$ છે અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. આપણને આપેલ છે કે $D = d/2$,જેનો અર્થ છે કે $d = 2D$.
બિંદુ $P$ પર સંપાત થતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = r_2 - r_1 = S_2P - S_1P$ છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી:
$S_2P = \sqrt{D^2 + (d/2 + D)^2} = \sqrt{D^2 + (D + D)^2} = \sqrt{D^2 + 4D^2} = \sqrt{5}D$.
$S_1P = \sqrt{D^2 + (d/2 - D)^2} = \sqrt{D^2 + (D - D)^2} = D$.
તેથી,પથ તફાવત $\Delta x = \sqrt{5}D - D = D(\sqrt{5} - 1)$ મળે.
પ્રથમ ક્રમના ન્યૂનતમ (વિનાશક વ્યતિકરણ) માટે,શરત $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ છે.
બંને પદોને સરખાવતા:
$D(\sqrt{5} - 1) = \frac{\lambda}{2}$.
$D = \frac{\lambda}{2(\sqrt{5} - 1)}$.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ લેતા:
$D = \frac{\lambda}{2(2.236 - 1)} = \frac{\lambda}{2(1.236)} = \frac{\lambda}{2.472} \approx 0.404\lambda$.