Single Slit Diffraction of Light Questions in Gujarati

(A) પહોળાઈની એક સ્લિટ દ્વારા થતા ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,$n$ માં ક્રમના ન્યૂનત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
અહીં,$a \sin \theta$ એ સ્લિટની ઉપરની અને નીચેની ધારમાંથી ઉદ્ભવતા ગૌણ તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત દર્શાવે છે.
તેથી,$n$ માં ક્રમના ન્યૂનત્તમ માટે પથ તફાવત $n\lambda$ છે.

(B) એક સ્લીટ વિવર્તનમાં,મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા સ્લીટની પહોળાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto b^2)$.
જ્યારે સ્લીટની પહોળાઈ $b$ ને બમણી કરીને $2b$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કંપવિસ્તાર $A$ બમણો થાય છે.
તેથી,નવી તીવ્રતા $I' = (2A)^2 = 4A^2 = 4I_0$ થશે.
આમ,મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા $4I_0$ થશે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં,ન્યૂનત્તમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનત્તમ $(n=1)$ માટે,આપણી પાસે $d \sin \theta_1 = \lambda_1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta_1 = \frac{\lambda_1}{d}$.
પ્રથમ ગૌણ અધિકતમ માટે,શરત $d \sin \theta_2 = (n + \frac{1}{2}) \lambda_2$ છે. પ્રથમ ગૌણ અધિકતમ માટે $n=1$ લેતા,$d \sin \theta_2 = \frac{3}{2} \lambda_2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta_2 = \frac{3 \lambda_2}{2d}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\lambda_1$ નું પ્રથમ ન્યૂનત્તમ એ $\lambda_2$ ના પ્રથમ અધિકતમ પર સંપાત થાય છે,તેથી $\theta_1 = \theta_2$ અને $\sin \theta_1 = \sin \theta_2$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\lambda_1}{d} = \frac{3 \lambda_2}{2d}$.
$\lambda_2$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_2 = \frac{2}{3} \lambda_1$.
$\lambda_1 = 660 \ nm$ મૂકતા: $\lambda_2 = \frac{2}{3} \times 660 \ nm = 440 \ nm$.

(B) વિવર્તન એ તમામ પ્રકારના તરંગોની સામાન્ય લાક્ષણિકતા છે,જેમાં યાંત્રિક તરંગો (જેમ કે ધ્વનિ અને પાણીના તરંગો) અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (જેમ કે પ્રકાશ,રેડિયો તરંગો અને $X$-કિરણો) નો સમાવેશ થાય છે.
જ્યારે તરંગો કોઈ અવરોધ અથવા છિદ્રનો સામનો કરે છે જેનું કદ તરંગની તરંગલંબાઇની સરખામણીમાં હોય ત્યારે આ ઘટના જોવા મળે છે.
તેથી,વિવર્તન માત્ર પ્રકાશ અથવા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પૂરતું મર્યાદિત નથી.

(D) પ્રકાશના વિવર્તનની ઘટના સૌપ્રથમ $17^{\text{મી}}$ સદીમાં ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક ફ્રાન્સેસ્કો મારિયા ગ્રીમાલ્ડી દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવી હતી અને વર્ણવવામાં આવી હતી. તેમણે લેટિન શબ્દ 'diffringere' પરથી 'diffraction' (વિવર્તન) શબ્દ આપ્યો હતો, જેનો અર્થ થાય છે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થવું.

(C) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 6500 \, \mathring{A} = 6500 \times 10^{-10} \, \text{m} = 6.5 \times 10^{-7} \, \text{m}$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.50 \, \text{mm} = 0.50 \times 10^{-3} \, \text{m}$.
સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = 1.8 \, \text{m}$.
મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને તરફ આવેલા બે પ્રથમ ન્યૂનત્તમ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ જેટલું હોય છે,જેનું સૂત્ર $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{2 \times (6.5 \times 10^{-7} \, \text{m}) \times (1.8 \, \text{m})}{0.50 \times 10^{-3} \, \text{m}}$
$W = \frac{23.4 \times 10^{-7}}{0.50 \times 10^{-3}} \, \text{m}$
$W = 46.8 \times 10^{-4} \, \text{m} = 4.68 \times 10^{-3} \, \text{m} = 4.68 \, \text{mm}$.

(D) જ્યારે તરંગની તરંગલંબાઈ અવરોધ અથવા છિદ્રના પરિમાણ જેટલી હોય ત્યારે વિવર્તન નોંધપાત્ર હોય છે.
ક્ષ-કિરણો,$\gamma$-કિરણો અને દ્રશ્ય પ્રકાશની સરખામણીમાં રેડિયો તરંગોની તરંગલંબાઈ ઘણી વધારે હોય છે.
તેમની તરંગલંબાઈ મોટી હોવાને કારણે,તેઓ સામાન્ય કદના અવરોધોની આસપાસ સરળતાથી વળી શકે છે,જેના પરિણામે સ્પષ્ટ અને અવલોકનક્ષમ વિવર્તન જોવા મળે છે.

(C) વિવર્તન એ અડચણ અથવા છિદ્રની કિનારીઓ પરથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે.
નોંધપાત્ર વિવર્તન થવા માટે,અડચણનું કદ અથવા છિદ્રની પહોળાઈ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સાથે સરખાવી શકાય તેવી હોવી જોઈએ.
જો અડચણ તરંગલંબાઈની સરખામણીમાં ખૂબ મોટી હોય,તો પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોય તેમ લાગે છે (સુરેખ પ્રસરણ).
તેથી,સાચી શરત એ છે કે અડચણનું પરિમાણ પ્રકાશની તરંગલંબાઈના ક્રમનું હોવું જોઈએ.

(A) એક સ્લિટ પર ફ્રોનહોફર વિવર્તન માટે,$n^{th}$ ન્યૂનતમનું સ્થાન આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x_n = \frac{n f \lambda}{a}$.
આપેલ છે: $n = 3$,$f = 1 \ m$,$a = 0.3 \ mm = 3 \times 10^{-4} \ m$,અને $x_n = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\lambda = \frac{a x_n}{n f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{(3 \times 10^{-4} \ m) \times (5 \times 10^{-3} \ m)}{3 \times 1 \ m}$.
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$.
$\mathring{A}$ માં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 5000 \ \mathring{A}$.

(A) એક સ્લીટ વિવર્તન ભાતમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લીટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લીટની પહોળાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેન્દ્રીય મહત્તમની પહોળાઈ $w$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(w \propto \lambda)$.
તેથી,જો તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટાડવામાં આવે,તો કેન્દ્રીય મહત્તમની પહોળાઈ $w$ પણ ઘટશે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે પ્રથમ ન્યૂનતમની શરત નીચે મુજબ છે:
$a \sin \theta = n \lambda$
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$ લેતા.
તેથી,$a \sin \theta = \lambda$
$a = \frac{\lambda}{\sin \theta}$
આપેલ છે: $\lambda = 650 \ nm = 650 \times 10^{-9} \ m$ અને $\theta = 30^\circ$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{650 \times 10^{-9}}{\sin 30^\circ}$
$a = \frac{650 \times 10^{-9}}{0.5}$
$a = 1300 \times 10^{-9} \ m$
$a = 1.3 \times 10^{-6} \ m$

(C) એક સ્લીટના વિવર્તનના પ્રયોગમાં,મુખ્ય મહત્તમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = \pm n\lambda$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n = 1)$ માટે,આપણને $d \sin \theta = \lambda$ મળે છે.
અહીં $\theta$ ખૂબ જ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta$ લઈ શકાય.
તેથી,$\theta = \frac{\lambda}{d}$.
મુખ્ય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ એ બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $2\theta$ જેટલું થાય.
આમ,કોણીય પહોળાઈ $= 2 \times \frac{\lambda}{d} = \frac{2\lambda}{d}$.

(A) એક સ્લીટના વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = 2\lambda / a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લીટની પહોળાઈ છે.
કોણીય પહોળાઈ $\theta$ એ સ્લીટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(\theta \propto 1/a)$,સ્લીટની પહોળાઈ $a$ ઘટાડવાથી કોણીય પહોળાઈ $\theta$ માં વધારો થશે.
તેથી,વિવર્તન ભાત પહેલા કરતા વધારે પહોળી બનશે.

(A) એક સ્લિટ વડે થતા વિવર્તન માટે,$n$ મી અપ્રકાશિત શલાકાની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
અહીં,સ્લિટની પહોળાઈ $d = 24 \times 10^{-5} \, cm = 24 \times 10^{-7} \, m = 24000 \times 10^{-10} \, m = 24000 \, \mathring{A}$ છે.
$n = 2$ મી અપ્રકાશિત શલાકા માટે કોણીય સ્થિતિ $\theta = 30^\circ$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $24000 \times \sin(30^\circ) = 2 \times \lambda$.
$24000 \times 0.5 = 2 \lambda$.
$12000 = 2 \lambda$.
$\lambda = 6000 \, \mathring{A}$.

(B) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 6328 \, \mathring{A} = 6.328 \times 10^{-7} \, m$,સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.2 \, mm = 2 \times 10^{-4} \, m$.
એક-સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \frac{2 \times 6.328 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}} = 6.328 \times 10^{-3} \, \text{રેડિયન}$.
રેડિયનને ડિગ્રીમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણો:
$\theta^{\circ} = 6.328 \times 10^{-3} \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.36^{\circ}$.

(A) એક સ્લીટના વિવર્તન ભાતમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર: $\beta = \frac{2\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $d$ એ સ્લીટની પહોળાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ એ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને સ્લીટની પહોળાઈ $(d)$ પર આધાર રાખે છે.
તે સ્લીટ અને ઉદ્દગમ વચ્ચેના અંતર $(D)$ અથવા સ્લીટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખતી નથી.

(B) ઇલેક્ટ્રોન્સની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન્સની ઝડપ $v$ વધે છે,તેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ઘટે છે.
એક સ્લિટના વિવર્તનભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
જેમ $v$ વધે છે તેમ $\lambda$ ઘટે છે,તેથી મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta$ પણ ઘટશે.

(B) એક સ્લિટ વિવર્તનમાં કેન્દ્રીય મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\beta_{\theta} = \frac{2\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, \text{m}$ અને $a = 18 \times 10^{-5} \, \text{cm} = 18 \times 10^{-7} \, \text{m}$.
કિંમતો મૂકતા: $\beta_{\theta} = \frac{2 \times 6000 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-7}} = \frac{12000 \times 10^{-10}}{18 \times 10^{-7}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \, \text{રેડિયન}$.
રેડિયનને ડિગ્રીમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણો.
$\beta_{\theta} = \frac{2}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{120}{\pi} \approx 38.2^\circ$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $40^\circ$ છે.

(A) બીજા ગૌણ અધિકતમ માટે,વિવર્તનની શરત $d \sin \theta = \frac{5\lambda}{2}$ છે.
અહીં $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \theta = \frac{x}{f}$ લેતા.
રેખીય પહોળાઈ માટેનું સૂત્ર $2x = \frac{5\lambda f}{d}$ મુજબ ગણતરી કરતા:
$2x = \frac{5 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.8}{0.4 \times 10^{-3}}$
$2x = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.4 \times 10^{-3}} = 6 \times 10^{-3} \,m = 6 \,mm$.

(C) એક-સ્લિટ ફ્રોનહોફર વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ પ્રકાશિત અધિકતમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{\lambda}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 6000 \ \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 12 \times 10^{-5} \ cm = 12 \times 10^{-7} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{6 \times 10^{-7}}{12 \times 10^{-7}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.
આમ,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત અધિકતમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $30^o$ છે.

(A) વિવર્તન એટલે પ્રકાશનું કોઈ અવરોધ કે છિદ્રની ધાર પાસેથી વળવું. નોંધપાત્ર વિવર્તન જોવા માટે,છિદ્રનું પરિમાણ $(a)$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના ક્રમનું હોવું જોઈએ. ગાણિતિક રીતે,આ શરત $\frac{a}{\lambda} \approx 1$ અથવા $a \approx \lambda$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) વિવર્તન એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સાથે સરખાવી શકાય તેવી અડચણ અથવા છિદ્રના ખૂણાઓ પરથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટના છે。
વિવર્તન નોંધપાત્ર બને તે માટે, અડચણ અથવા છિદ્રનું કદ $(a)$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ સાથે સરખાવી શકાય તેવું હોવું જોઈએ。
જો અડચણનું કદ તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું મોટું હોય, તો પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોય તેમ લાગે છે (પ્રકાશનું સુરેખ પ્રસરણ)。
તેથી, વિવર્તનની અસર અડચણનું કદ $(a)$ અને વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે。

(D) $m$-માં ક્રમના વિવર્તન ન્યૂનતમ મેળવવાની શરત $a \sin \theta = m \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ,$\theta$ એ વિવર્તન કોણ અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ વિવર્તન ન્યૂનતમ માટે,$m = 1$ લેતા.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, \text{m} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$ અને $\theta = 30^\circ$.
$a \sin(30^\circ) = 1 \times (5 \times 10^{-7} \, \text{m})$
$a \times (1/2) = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$
$a = 10 \times 10^{-7} \, \text{m} = 10 \times 10^{-5} \, \text{cm}$.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તનની ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \ m$
$D = 2 \ m$
$a = 0.30 \ mm = 3 \times 10^{-4} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7} \ m) \times (2 \ m)}{3 \times 10^{-4} \ m}$
$W = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} \ m$
$W = 8 \times 10^{-3} \ m$
$W = 8 \ mm$.
આમ, મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $8 \ mm$ છે.

(A) કોઈ અવરોધ કે છિદ્રની ધાર પાસેથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટનાને વિવર્તન કહે છે. આ વાંકા વળવાને કારણે પ્રકાશ તેના સીધી રેખાના પથથી વિચલિત થાય છે,તેથી જ જ્યારે પ્રકાશ નાના અવરોધોને મળે છે ત્યારે તે સંપૂર્ણપણે સુરેખ માર્ગનું પાલન કરતું નથી.

(D) એક સ્લીટના વિવર્તનમાં મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર: $w = \frac{2D\lambda}{a}$ છે.
અહીં, તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000 \, \text{Å} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$ છે.
સ્લીટની પહોળાઈ $a = 0.1 \, \text{mm} = 10^{-4} \, \text{m}$ છે.
પડદાનું અંતર $D = 2 \, \text{m}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$w = \frac{2 \times 2 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-4}} \, \text{m}$.
$w = 20 \times 10^{-3} \, \text{m}$.
$w = 20 \, \text{mm}$.

(D) એક સ્લીટ વડે મળતા વિવર્તનમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ સૌથી વધુ તેજસ્વી અને પહોળું હોય છે. જેમ આપણે કેન્દ્રથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ ગૌણ અધિકતમની તીવ્રતા ઝડપથી ઘટે છે,અને ગૌણ અધિકતમ માટે શલાકાઓની પહોળાઈ અચળ રહે છે પરંતુ તે મધ્યસ્થ અધિકતમ કરતા અલગ હોય છે. તેથી,શલાકાઓ સમાન તીવ્રતા કે સમાન પહોળાઈ ધરાવતી નથી.

(C) એક સ્લીટ વિવર્તન ભાત માટે,$n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x_n = \frac{n \lambda D}{a}$,જ્યાં $a$ એ સ્લીટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000 \, \mathring A = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર $x_1 = 5 \, mm = 5 \times 10^{-3} \, m$.
સ્લીટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર $D = 2 \, m$.
ક્રમ $n = 1$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-3} = \frac{1 \times (5 \times 10^{-7}) \times 2}{a}$
$a = \frac{10 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}}$
$a = 2 \times 10^{-4} \, m = 0.2 \times 10^{-3} \, m = 0.2 \, mm$.
તેથી,સ્લીટની પહોળાઈ $0.2 \, mm$ છે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$ માં ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ અધિકતમ માટે,$n = 1$ લેતા,શરત $a \sin \theta = \frac{3\lambda}{2}$ બને છે.
આપેલ છે: $\lambda = 650 \ nm = 650 \times 10^{-9} \ m$ અને $\theta = 30^\circ$.
કિંમતો મૂકતા: $a \sin(30^\circ) = \frac{3 \times 650 \times 10^{-9}}{2}$.
$\sin(30^\circ) = 0.5$ હોવાથી,$a(0.5) = \frac{1950 \times 10^{-9}}{2}$.
$a = \frac{1950 \times 10^{-9}}{1} = 1.95 \times 10^{-6} \ m$.

(A) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન $d$ પહોળાઈની સાંકડી સ્લીટમાંથી પસાર થાય છે,જે તેમની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલી હોય છે $(d = \lambda)$,ત્યારે તેઓ વિવર્તન અનુભવે છે.
એક-સ્લીટ વિવર્તનના સૂત્ર મુજબ,પડદા પરની તીવ્રતા $I$ એ $I = I_0 \left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta = \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}$ છે.
અહીં $d = \lambda$ હોવાથી,પ્રથમ ન્યૂનતમ $\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = 1$ પર મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^\circ$.
આના પરિણામે એક ખૂબ જ પહોળું મધ્યસ્થ અધિકતમ મળે છે જે સમગ્ર પડદા પર ફેલાયેલું હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે ગ્રાફ સિંગલ સ્લીટની વિવર્તન ભાત દર્શાવે છે તે મધ્યસ્થ અધિકતમ અને ગૌણ અધિકતમ ધરાવે છે. વિકલ્પ $A$ અને $D$ સમાન છે,જે પ્રમાણભૂત વિવર્તન ભાત દર્શાવે છે.

(B) દ બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,$v$ વેગથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
એક સ્લિટની વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\omega = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
$\lambda$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\omega = \frac{2h}{mdv}$ મળે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\omega \propto \frac{1}{v}$.
તેથી,જો ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ વધારવામાં આવે,તો મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\omega$ ઘટશે.

(D) આપેલ છે: $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,સ્લિટની પહોળાઈ $a = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,અને અંતર $D = 2 \, m$.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની બંને બાજુએ આવેલી પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ જેટલું હોય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$w = \frac{2 \times (600 \times 10^{-9} \, m) \times 2 \, m}{10^{-3} \, m}$
$w = \frac{2400 \times 10^{-9}}{10^{-3}} \, m$
$w = 2400 \times 10^{-6} \, m = 2.4 \times 10^{-3} \, m = 2.4 \, mm$.

(A) આપેલ છે:
સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર $d = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
પડદાનું અંતર $D = 1\, m$
તરંગલંબાઇ $\lambda = 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$
સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $w = \frac{2\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
દ્વિ-સ્લિટ વ્યતિકરણ ભાતમાં એક શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સિંગલ સ્લિટ ભાતના મધ્યસ્થ અધિકતમમાં દ્વિ-સ્લિટ ભાતના $10$ અધિકતમ સમાયેલા છે.
તેથી,$\frac{2\lambda D}{a} = 10 \times \frac{\lambda D}{d}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{a} = \frac{10}{d}$.
$a = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$.
$d = 1\, mm$ મૂકતા:
$a = \frac{1\, mm}{5} = 0.2\, mm$.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = \pm \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$ થાય.
પડદાના કેન્દ્રથી પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર $y = D \tan \theta \approx D \theta = \frac{D \lambda}{a}$ છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમની વચ્ચે આવેલું હોય છે,તેથી તેની કુલ પહોળાઈ $2y = \frac{2D \lambda}{a}$ થાય.

(D) આ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આકૃતિમાં,$A$ અને $B$ એ $a$ પહોળાઈ ધરાવતી સ્લિટ $AB$ ની ધાર દર્શાવે છે અને $C$ એ સ્લિટનું મધ્યબિંદુ દર્શાવે છે. $P$ આગળ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,શરત નીચે મુજબ છે:
$a \sin \theta = \lambda$ ...... $(i)$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
ધાર $A$ અને મધ્યબિંદુ $C$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = \frac{a}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}(a \sin \theta) = \frac{\lambda}{2}$ (સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા).
તેને અનુરૂપ કળા તફાવત $\Delta \phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi \text{ rad}$.

(B) આપેલ છે:
છિદ્રની પહોળાઈ $a = 0.02\, cm = 2 \times 10^{-4}\, m$
તરંગલંબાઈ $\lambda = 5 \times 10^{-5}\, cm = 5 \times 10^{-7}\, m$
લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 60\, cm = 0.6\, m$. પડદો કેન્દ્રલંબાઈ પર હોવાથી,અંતર $D = f = 0.6\, m$.
એક સ્લિટ વડે થતા ફ્રોનહોફર વિવર્તન માટે,$n$ મી અપ્રકાશિત પટ્ટી (ન્યૂનતમ) ની શરત $a \sin \theta = n\lambda$ છે.
પ્રથમ અપ્રકાશિત પટ્ટી માટે,$n = 1$,તેથી $\sin \theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$.
પડદાના કેન્દ્રથી અંતર $y_1 = D \theta = \frac{D\lambda}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y_1 = \frac{0.6 \times 5 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}} = \frac{3 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10^{-3}\, m = 0.15\, cm$.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે. પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$ લેતા,$a \sin \theta = \lambda$ મળે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,$a (\frac{1}{2}) = \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2 \lambda$ ..... $(i)$.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta' = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1$ લેતા $a \sin \theta' = \frac{3}{2} \lambda$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a = 2 \lambda$ ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 \lambda) \sin \theta' = \frac{3}{2} \lambda$.
બંને બાજુ $2 \lambda$ વડે ભાગતા,$\sin \theta' = \frac{3}{4}$ મળે.
તેથી,$\theta' = \sin^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં,$n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,જ્યાં $y$ એ મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી અંતર છે.
આ કિંમત શરતમાં મૂકતા,આપણને $d \left( \frac{y}{D} \right) = n \lambda$ મળે છે.
આમ,મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાથી $n^{th}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
બીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,આપણે $n = 2$ લઈએ છીએ.
તેથી,$y_2 = \frac{2 \lambda D}{d}$.

(A) $n$-મા અર્ધ-આવર્ત વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ $A_n = \pi b \lambda$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ તરંગ અગ્રથી અવલોકન બિંદુનું અંતર છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_n$ એ વિસ્તારના ક્રમ $n$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $A_n \propto n^0$.
આપેલ પદ $n^m$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $m = 0$.

(A) ટપકાનો ભૌમિતિક ફેલાવો છિદ્રની ત્રિજ્યા $a$ જેટલો છે.
વિવર્તનને કારણે થતો ફેલાવો એ કોણીય ફેલાવો $\theta \approx \frac{\lambda}{a}$ અને લંબાઈ $L$ નો ગુણાકાર છે,એટલે કે $\frac{\lambda L}{a}$.
કુલ ફેલાવો $b$ એ આ બંનેનો સરવાળો છે: $b = a + \frac{\lambda L}{a}$.
ન્યૂનતમ કદ $b_{min}$ શોધવા માટે,આપણે $b$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{db}{da} = 1 - \frac{\lambda L}{a^2} = 0$.
$a$ માટે ઉકેલતા,આપણને $a^2 = \lambda L$ અથવા $a = \sqrt{\lambda L}$ મળે છે.
$a$ ની આ કિંમતને $b$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$b_{min} = \sqrt{\lambda L} + \frac{\lambda L}{\sqrt{\lambda L}} = \sqrt{\lambda L} + \sqrt{\lambda L} = 2\sqrt{\lambda L} = \sqrt{4\lambda L}$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન તેમની ડી બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ સાથે તુલનાત્મક એવી '$d$' પહોળાઈની સાંકડી સ્લિટમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તેઓ તરંગ જેવું વર્તન દર્શાવે છે અને વિવર્તન અનુભવે છે।
એકલ-સ્લિટ વિવર્તન પેટર્ન મુજબ, તીવ્રતા (અથવા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા '$N$') કેન્દ્ર $(y = 0)$ પર મહત્તમ હોય છે।
પ્રથમ ન્યૂનતમ $d \sin \theta = \lambda$ શરત દ્વારા આપવામાં આવેલી સ્થિતિ પર થાય છે, જ્યાં $\theta \approx y/D$।
આમ, $y = \pm \lambda D / d$।
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ '$d$' સાથે તુલનાત્મક હોવાથી, કેન્દ્રીય મહત્તમની પહોળાઈ નોંધપાત્ર હોય છે, અને વિવર્તન પેટર્ન ફેલાય છે।
આલેખ $A$ એ એકલ-સ્લિટ વિવર્તન માટે પ્રમાણભૂત તીવ્રતા વિતરણ રજૂ કરે છે, જ્યાં કેન્દ્રીય મહત્તમ $y = 0$ પર છે અને તીવ્રતા $y = \pm \lambda D / d$ પર શૂન્ય થઈ જાય છે।

(A) એક સ્લિટ ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,$n^{th}$ ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત સમીકરણ $a \sin \theta = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\theta$ એ વિવર્તનનો ખૂણો છે,અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
અહીં,$a \sin \theta$ એ સ્લિટની કિનારીઓમાંથી ઉદ્ભવતા ગૌણ તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત દર્શાવે છે.
તેથી,$n^{th}$ ક્રમના ન્યૂનતમ માટે,પથ તફાવત $n\lambda$ જેટલો હોય છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$.

(B) સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$ માં ન્યૂનતમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે: $D = 50\,cm = 0.5\,m$,$\lambda = 6000\,\mathring{A} = 6 \times 10^{-7}\,m$,અને પ્રથમ અને ત્રીજા ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = 3\,mm = 3 \times 10^{-3}\,m$.
$n_1$ માં અને $n_2$ માં ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = \frac{(n_2 - n_1) \lambda D}{d}$ છે.
$n_2 = 3$ અને $n_1 = 1$ મૂકતા,આપણને $\Delta y = \frac{2 \lambda D}{d}$ મળે છે.
$d$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $d = \frac{2 \lambda D}{\Delta y}$.
$d = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}\,m) \times (0.5\,m)}{3 \times 10^{-3}\,m}$.
$d = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{-4}\,m = 0.2\,mm$.

$(A)$ એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n$ મી અપ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે, જ્યાં $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે અને $n$ એ શલાકાનો ક્રમ છે।
આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $d = 24 \times 10^{-5} \, cm$, ખૂણો $\theta = 30^\circ$, અને ક્રમ $n = 2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $24 \times 10^{-5} \times \sin(30^\circ) = 2 \times \lambda$.
કારણ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$, તેથી $24 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2 \lambda$.
$12 \times 10^{-5} = 2 \lambda$.
$\lambda = 6 \times 10^{-5} \, cm$.
એંગસ્ટ્રોમમાં રૂપાંતર કરતા: $1 \, cm = 10^8 \, \mathring{A}$.
$\lambda = 6 \times 10^{-5} \times 10^8 \, \mathring{A} = 6000 \, \mathring{A}$.

(A) ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં,પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત (જે મધ્યસ્થ અધિક્તમની અડધી કોણીય પહોળાઈ દર્શાવે છે) $d \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$,તેથી $d \sin \theta = \lambda$.
અહીં સ્લિટની પહોળાઈ $d = \frac{1200}{\sqrt{2}} \ \mu m$ અને અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta = 45^o$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \left( \frac{1200}{\sqrt{2}} \right) \sin(45^o)$
કારણ કે $\sin(45^o) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\lambda = \left( \frac{1200}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$\lambda = \frac{1200}{2} = 600 \ \mu m$.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\theta = \frac{2\lambda}{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ છે અને $b$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ડી-બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $v$ એ તેની ઝડપ છે.
$\lambda$ ની કિંમત કોણીય પહોળાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\theta = \frac{2h}{mbv}$ મળે છે.
જેમ કે કોણીય પહોળાઈ $\theta$ એ ઝડપ $v$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\theta \propto \frac{1}{v})$,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ વધારવાથી કોણીય પહોળાઈ $\theta$ ઘટશે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે વિવર્તન ભાતના મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ ઘટશે.

(B) સ્લિટ પહોળાઈ ધરાવતા એક સ્લિટના વિવર્તન ભાત માટે,ન્યૂનતમની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n = 1)$ માટે,$\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{a}$ થાય.
મહત્તમની શરત $a \sin \theta = (n + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n = 1)$ માટે,$\sin \theta_m = \frac{3 \lambda}{2a}$ થાય.
આપેલ છે કે $\lambda$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશનું પ્રથમ મહત્તમ,$\lambda_0 = 540 \ nm$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશના પ્રથમ ન્યૂનતમ સાથે સંપાત થાય છે:
$\frac{3 \lambda}{2a} = \frac{\lambda_0}{a}$.
બંને બાજુથી $a$ દૂર કરતા,આપણને $\frac{3 \lambda}{2} = \lambda_0$ મળે છે.
$\lambda = \frac{2}{3} \lambda_0 = \frac{2}{3} \times 540 \ nm = 360 \ nm$.