Refraction Through Prism Questions in Hindi

(N/A) मान लीजिए एक प्रिज्म $ABC$ है जिसका प्रिज्म कोण $A$ है। एक एकवर्णी प्रकाश किरण $PQ$ प्रिज्म की सतह $AB$ पर $i$ आपतन कोण पर आपतित होती है। यह $r_1$ अपवर्तन कोण के साथ $QR$ पथ पर अपवर्तित होती है। सतह $AC$ पर,यह $r_2$ कोण पर आपतित होती है और $e$ निर्गत कोण के साथ $RS$ के रूप में बाहर निकलती है।
$1$. चतुर्भुज $AQNR$ में (जहाँ $N$,$Q$ और $R$ पर अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है),सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$\angle A + \angle QNR = 180^{\circ}$ --- $(1)$
$2$. $\triangle QNR$ में,त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है:
$r_1 + r_2 + \angle QNR = 180^{\circ}$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$A = r_1 + r_2$ --- $(3)$
$3$. कुल विचलन $\delta$,आपतित किरण $PQ$ को आगे बढ़ाने और निर्गत किरण $RS$ को पीछे बढ़ाने पर बनने वाला कोण है। $\triangle DQR$ में (जहाँ $D$ विस्तारित किरणों का प्रतिच्छेदन बिंदु है):
$\delta = (i - r_1) + (e - r_2)$
$\delta = (i + e) - (r_1 + r_2)$
इस समीकरण में $(3)$ का मान रखने पर:
$\delta = i + e - A$
अतः,अंतिम संबंध है:
$i + e = A + \delta$

(N/A) मान लीजिए $A$ कोण वाला एक प्रिज्म $ABC$ है। एक एकवर्णी प्रकाश किरण $PQ$, प्रिज्म की सतह $AB$ पर $i$ आपतन कोण पर आपतित होती है।
बिंदु $Q$ पर, किरण अपवर्तित होती है और प्रिज्म के अंदर $QR$ पथ पर चलती है, जो सतह $AB$ और $AC$ पर क्रमशः $r_1$ और $r_2$ अपवर्तन कोण बनाती है।
यह किरण सतह $AC$ पर बिंदु $R$ से $e$ निर्गत कोण पर बाहर निकलती है।
मान लीजिए आपतित किरण $PQ$ को आगे की ओर और निर्गत किरण $RS$ को पीछे की ओर बढ़ाने पर वे बिंदु $M$ पर मिलती हैं। इन दो किरणों के बीच के कोण को विचलन कोण $\delta$ कहते हैं।
$\triangle MQR$ में, बहिष्कोण $\delta = \angle MQR + \angle MRQ$ है।
चूंकि $\angle MQR = i - r_1$ और $\angle MRQ = e - r_2$, इसलिए $\delta = (i - r_1) + (e - r_2) = (i + e) - (r_1 + r_2)$ प्राप्त होता है।
चतुर्भुज $AQNR$ में ($N$, $Q$ और $R$ पर अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है), $\angle A + \angle QNR = 180^{\circ}$ है। साथ ही, $\triangle QNR$ में, $r_1 + r_2 + \angle QNR = 180^{\circ}$ है।
इनकी तुलना करने पर, हमें $A = r_1 + r_2$ प्राप्त होता है।
इस मान को विचलन कोण के समीकरण में रखने पर, $\delta = i + e - A$ सिद्ध होता है।

(N/A) विचलन कोण $\delta$ के प्रयोगात्मक रूप से मापे गए मानों का आपतन कोण $i$ के मानों के विरुद्ध ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि विचलन कोण का मान आपतन कोण $i$ के केवल एक विशेष मान के लिए न्यूनतम हो जाता है।
हम यह भी देख सकते हैं कि आपतन कोण के दो मानों के लिए विचलन कोण समान होता है।
प्रयोगात्मक रूप से यह स्थापित किया गया है कि किसी भी दिए गए प्रिज्म के लिए,जिस किरण के लिए आपतन कोण $i$ और निर्गत कोण $e$ बराबर होते हैं,उस किरण के लिए विचलन कोण न्यूनतम होता है।
इस कोण को आपतित एकवर्णी प्रकाश के लिए दिए गए प्रिज्म का न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m}$ कहा जाता है।
ध्यान दें कि,
जब $i=e \Rightarrow \delta=\delta_{m}$
प्रिज्म के लिए,
$i+e=A+\delta$
जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है।
न्यूनतम विचलन कोण के लिए शर्त लागू करने पर,
$i=e$ तब $\delta=\delta_{m}$
$\therefore i+i=A+\delta_{m}$
$\therefore 2i=A+\delta_{m}$
$\therefore i=\frac{A+\delta_{m}}{2}$

(N/A) पतला प्रिज्म वह प्रिज्म है जिसका प्रिज्म कोण $A$ बहुत छोटा होता है।
प्रिज्म के लिए अपवर्तनांक $n$ का सूत्र है:
$n = \frac{\sin((A + D_m)/2)}{\sin(A/2)}$ ... $(1)$
चूंकि प्रिज्म पतला है,$A$ छोटा है,और परिणामस्वरूप न्यूनतम विचलन कोण $D_m$ भी छोटा है।
छोटे कोणों के लिए,हम $\sin(\theta) \approx \theta$ (रेडियन में) का उपयोग कर सकते हैं।
समीकरण $(1)$ में इसे लागू करने पर:
$n \approx \frac{(A + D_m)/2}{A/2}$
$n = \frac{A + D_m}{A}$
दोनों पक्षों को $A$ से गुणा करने पर:
$nA = A + D_m$
$D_m = nA - A$
$D_m = A(n - 1)$
यदि प्रिज्म $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में है और प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $n_2$ है,तो $n = n_2/n_1 = n_{21}$ होगा।
अतः,$D_m = A(n_{21} - 1)$।

(N/A) $1$. आपतन कोण $(i)$: प्रिज्म की पहली सतह पर आपतित किरण और आपतन बिंदु पर खींचे गए अभिलंब के बीच के कोण को आपतन कोण कहते हैं।
$2$. निर्गत कोण $(e)$: प्रिज्म की दूसरी सतह से बाहर निकलने वाली किरण (निर्गत किरण) और उस बिंदु पर खींचे गए अभिलंब के बीच के कोण को निर्गत कोण कहते हैं।
$3$. विचलन कोण $(\delta)$: आपतित किरण की दिशा और निर्गत किरण की दिशा के बीच के कोण को विचलन कोण कहते हैं। यह प्रिज्म के कारण प्रकाश किरण के पथ में हुए कुल परिवर्तन को दर्शाता है।

(D) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन कोण $\delta$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: छोटे कोणों के लिए $\delta = (\mu - 1)A$,या सामान्य रूप से,$\delta = i + e - A$।
$1$. यह आपतन कोण $(i)$ पर निर्भर करता है।
$2$. यह प्रिज्म के पदार्थ के अपवर्तनांक $(\mu)$ पर निर्भर करता है,जो प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता है।
$3$. यह प्रिज्म के कोण $(A)$ पर निर्भर करता है।
अतः,विचलन कोण इन सभी कारकों पर निर्भर करता है।

(N/A) एक प्रिज्म जिसका अपवर्तनांक $n$, प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ है, उसके लिए संबंध स्नेल के नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में, आपतन कोण $i$, निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है, और अपवर्तन कोण $r_1 = r_2 = r = A/2$ होता है।
आपतन कोण का सूत्र $i = (A + \delta_m) / 2$ है।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए, $n = \frac{\sin(i)}{\sin(r)}$.
मान रखने पर, हमें अपवर्तनांक का समीकरण प्राप्त होता है: $n = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$.

(N/A) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $D$ का सूत्र $D = i + e - A$ है,जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है,$i$ आपतन कोण है और $e$ निर्गत कोण है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,$i = e$ और $r_1 = r_2 = r = A/2$ होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर,$n_1 \sin i = n_2 \sin r_1$ प्राप्त होता है।
छोटे प्रिज्म कोण के लिए,$i$ और $r_1$ बहुत छोटे होते हैं,इसलिए $\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$ लिया जा सकता है।
अतः,$n_1 i = n_2 r_1$,जिसका अर्थ है $i = (n_2/n_1) r_1 = n_{21} (A/2)$।
विचलन के सूत्र में $i = e$ रखने पर: $D_m = i + i - A = 2i - A$।
अब $i = n_{21} (A/2)$ को समीकरण में रखने पर: $D_m = 2(n_{21} \cdot A/2) - A$।
सरल करने पर,हमें $D_m = n_{21} A - A = A(n_{21} - 1)$ प्राप्त होता है।

(N/A) न्यूनतम विचलन कोण को उस न्यूनतम विचलन कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी प्रिज्म द्वारा उत्पन्न होता है जब प्रकाश की किरण उससे होकर गुजरती है।
यह तब होता है जब आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है $(i = e)$,जिसका अर्थ है कि प्रिज्म के अंदर प्रकाश की किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर चलती है।
इस स्थिति में,दोनों फलकों पर अपवर्तन कोण समान होते हैं $(r_1 = r_2 = r = A/2)$,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है।

(B) माध्यम में प्रकाश की गति $v = c/n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
कॉची के विक्षेपण सूत्र के अनुसार,पदार्थ का अपवर्तनांक $n$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,जो $n \approx A + B/\lambda^2$ है।
चूंकि पीले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $(\lambda_y)$ नीले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $(\lambda_b)$ से अधिक होती है,इसलिए पीले प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(n_y)$ नीले प्रकाश के अपवर्तनांक $(n_b)$ से कम होता है।
चूंकि $v = c/n$ है,इसलिए कम अपवर्तनांक का अर्थ है अधिक गति।
अतः,कांच के प्रिज्म में पीला प्रकाश नीले प्रकाश की तुलना में अधिक तेजी से चलता है।

(C) प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+D_{m}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $D_{m}$ प्रिज्म के कोण $A$ के बराबर है,अर्थात $D_{m} = A$।
इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 2 \cos \frac{A}{2}$
दिया गया है $\mu = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\frac{A}{2} = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{\min}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\delta_{\min} = (\mu - 1)A$
दिया गया है:
प्रिज्म कोण $A = 1^{\circ}$
अपवर्तनांक $\mu = 1.5$
मान रखने पर:
$\delta_{\min} = (1.5 - 1) \times 1^{\circ}$
$\delta_{\min} = 0.5^{\circ}$
हमें दिया गया है कि $\delta_{\min} = N/10$ है।
अतः,$0.5 = N/10$
$N = 0.5 \times 10 = 5$
इस प्रकार,$N$ का मान $5$ है।

(D) प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = r_1 + r_2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि किरण विपरीत सतह से लंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 0$ है,जिसका अर्थ है कि दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0$ है।
प्रिज्म समीकरण में $r_2 = 0$ रखने पर,हमें $r_1 = A$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\sin i = \mu \sin r_1$।
छोटे कोणों के लिए,$\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$ होता है।
इसलिए,$i = \mu r_1$।
$r_1 = A$ रखने पर,हमें $i = \mu A$ प्राप्त होता है।

$(A)$ प्रिज्म के लिए, विचलन कोण $\delta$ को $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $i$ आपतन कोण है, $e$ निर्गत कोण है, और $A$ प्रिज्म कोण है।
न्यूनतम विचलन कोण पर:
$1$. आपतन कोण, निर्गत कोण के बराबर होता है, अर्थात $i = e$। इसका अर्थ है कि आपतित किरण और निर्गत किरण प्रिज्म के सापेक्ष सममित हैं, जो कथन $(A)$ और $(C)$ को सही बनाता है।
$2$. प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण उसके आधार के समानांतर हो जाती है, जिसका अर्थ है $r_1 = r_2$। यह कथन $(B)$ को सही बनाता है।
चूँकि कथन $(A)$, $(B)$ और $(C)$ तीनों न्यूनतम विचलन के लिए सही शर्तें हैं, इसलिए सही विकल्प $(A)$ है।

(D) दिया गया है: $\omega_{1} = 0.02, \mu_{1} = 1.5$ (क्राउन ग्लास) और $\omega_{2} = 0.03, \mu_{2} = 1.6$ (फ्लिंट ग्लास)।
एक्रोमैटिक संयोजन के लिए,शुद्ध विक्षेपण शून्य होता है,इसलिए $\theta_{1} = \theta_{2}$।
इसका अर्थ है $\omega_{1} \delta_{1} = \omega_{2} \delta_{2}$,जहाँ $\delta$ विचलन है।
शुद्ध विचलन $\delta_{\text{net}} = \delta_{1} - \delta_{2} = 2^{\circ}$ दिया गया है।
विक्षेपण समीकरण से,$\delta_{2} = \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \delta_{1} = \frac{0.02}{0.03} \delta_{1} = \frac{2}{3} \delta_{1}$।
इसे शुद्ध विचलन समीकरण में रखने पर: $\delta_{1} - \frac{2}{3} \delta_{1} = 2^{\circ}$।
$\frac{1}{3} \delta_{1} = 2^{\circ} \implies \delta_{1} = 6^{\circ}$।
प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
क्राउन ग्लास प्रिज्म के लिए: $6^{\circ} = (1.5 - 1) A_{1}$।
$6^{\circ} = 0.5 A_{1} \implies A_{1} = 12^{\circ}$।

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन तब होता है जब आपतन कोण $i = A = 60^{\circ}$ होता है।
प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin(\frac{\delta_{min} + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूनतम विचलन पर,$i = e = 60^{\circ}$,इसलिए $\delta_{min} = 2i - A = 2(60^{\circ}) - 60^{\circ} = 60^{\circ}$।
अतः,$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।
प्रिज्म में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3}} \, m/s$ है।
दूरी $AP$ भुजा $a = 10 \, cm = 0.1 \, m$ वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
$AP = a \sin 60^{\circ} = 0.1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.05\sqrt{3} \, m$।
लगा समय $t = \frac{AP}{v} = \frac{0.05\sqrt{3}}{3 \times 10^8 / \sqrt{3}} = \frac{0.05 \times 3}{3 \times 10^8} = 0.05 \times 10^{-8} = 5 \times 10^{-10} \, s$।
अतः,उत्तर $5$ है।

(A) प्रिज्म की ज्यामिति से,प्रकाश किरण प्रिज्म की कर्ण सतह पर लंबवत आपतित होती है। अतः,पहली सतह पर आपतन कोण $i_1 = 0^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $r_1 = 0^{\circ}$ है।
प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$ दिया गया है,हम संबंध $r_1 + r_2 = A$ का उपयोग करते हैं। $r_1 = 0^{\circ}$ रखने पर,हमें $r_2 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दूसरी सतह (ऊर्ध्वाधर सतह) पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin r_2 = 1 \times \sin e$,जहाँ $\mu = \sqrt{3}$ और $e$ निर्गत कोण है।
$\sqrt{3} \sin 30^{\circ} = \sin e$
$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin e$
$\sin e = \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,$e = 60^{\circ}$.

(D) न्यूनतम विचलन की स्थिति में,अपवर्तन कोण $r_1 = r_2 = r = \frac{A}{2}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,अपवर्तन कोण $r$ का दोगुना है,इसलिए $i = 2r = A$ है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$ होता है।
मान रखने पर,$\sin A = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर,$2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2}$ मिलता है।
चूंकि $\sin \frac{A}{2} \neq 0$,इसलिए $\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,अतः $A = 60^{\circ}$ है।

(B) प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A+D)/2)}{\sin(A/2)}$ है, जहाँ $D$ न्यूनतम विचलन कोण है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
दी गई शर्त के अनुसार न्यूनतम विचलन कोण $D = A$ है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin((A+A)/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu = 2 \cos(A/2)$
$A$ के लिए हल करने पर:
$\cos(A/2) = \frac{\mu}{2}$
$A/2 = \cos^{-1}(\mu/2)$
$A = 2 \cos^{-1}(\mu/2)$

(B) प्रकाश किरणों के $BC$ इंटरफ़ेस से बिना मुड़े (अर्थात बिना अपवर्तन के) गुजरने के लिए, उस विशिष्ट तरंगदैर्घ्य पर दोनों प्रिज्मों के अपवर्तनांक समान होने चाहिए।
इसलिए, हम $n_{1} = n_{2}$ रखते हैं:
$1.2 + \frac{10.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}} = 1.45 + \frac{1.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}}$
$\lambda$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{10.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}} - \frac{1.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}} = 1.45 - 1.2$
$\frac{9 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}} = 0.25$
$\lambda^{2} = \frac{9 \times 10^{-14}}{0.25}$
$\lambda^{2} = 36 \times 10^{-14}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
मीटर को नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \text{ m} = 10^{9} \text{ nm})$:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^{9} \text{ nm} = 600 \text{ nm}$

(B) प्रिज्म में,विचलन कोण $\delta$ और आपतन कोण $i$ के बीच का संबंध सूत्र $\delta = (i + e) - A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $e$ निर्गत कोण है और $A$ प्रिज्म कोण है।
जैसे-जैसे आपतन कोण $i$ बढ़ता है,विचलन कोण $\delta$ पहले घटता है,न्यूनतम विचलन कोण $(\delta_m)$ नामक न्यूनतम मान तक पहुँचता है और फिर बढ़ता है।
इस संबंध को ऊपर की ओर अवतल (concave upwards) परवलयिक वक्र द्वारा दर्शाया जाता है,जो विकल्प $B$ में दिखाया गया है।

(A) सतह $AC$ पर कांच के प्रिज्म और द्रव के इंटरफ़ेस के लिए स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$\mu_{glass} \sin(i) = n \sin(r)$
यहाँ आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है और अपवर्तित किरण सतह $AC$ के अनुदिश स्पर्श करती है,इसलिए अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ}$ होगा।
मान रखने पर:
$1.5 \times \sin(60^{\circ}) = n \times \sin(90^{\circ})$
$1.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = n \times 1$
$n = \frac{1.5 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
हमें $n = \frac{\sqrt{x}}{4}$ दिया गया है।
$n$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{x}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\sqrt{x} = 3 \sqrt{3} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{27}$
अतः,$x = 27$.

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,औसत विचलन $\delta = A(n_{Y} - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों प्रिज्मों को इस प्रकार जोड़ा गया है कि कोई विक्षेपण न हो,इसलिए उन्हें एक-दूसरे के विपरीत रखा गया है।
संयोजन द्वारा उत्पन्न शुद्ध औसत विचलन $\delta$ दोनों प्रिज्मों द्वारा उत्पन्न विचलनों के अंतर के बराबर होता है:
$\delta = A_{1}(n_{Y1} - 1) - A_{2}(n_{Y2} - 1)$
यहाँ $A_{1} = 6^{\circ}$,$n_{Y1} = 1.5$ और $A_{2} = 5^{\circ}$,$n_{Y2} = 1.55$ दिया गया है।
$\delta = 6(1.5 - 1) - 5(1.55 - 1)$
$\delta = 6(0.5) - 5(0.55)$
$\delta = 3.0 - 2.75 = 0.25^{\circ}$
हमें $\delta = (\frac{1}{x})^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{x} = 0.25 = \frac{1}{4}$।
अतः,$x = 4$।

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m}$ का सूत्र $\delta_{m} = (\mu - 1)A$ है,जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है।
दिया गया है $\mu = 1.5 + \frac{0.004}{\lambda^{2}}$,इसे सूत्र में रखने पर:
$\delta_{m} = \left(1.5 + \frac{0.004}{\lambda^{2}} - 1\right)A = \left(0.5 + \frac{0.004}{\lambda^{2}}\right)A$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $\delta_{m}$ तरंगदैर्ध्य $\lambda^{2}$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
इसलिए,जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,अपवर्तनांक $\mu$ घटता है,जिसके परिणामस्वरूप न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m}$ भी घट जाता है।
यदि $\lambda_{1} < \lambda_{2}$ है,तो $\mu(\lambda_{1}) > \mu(\lambda_{2})$ होगा।
अतः,$\delta_{m}(\lambda_{1}) > \delta_{m}(\lambda_{2})$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रिज्म के कोण $\angle B = \alpha$ और $\angle C = 90^{\circ} - \alpha$ हैं।
$AB$ पर $BC$ के समानांतर आपतित पहली किरण के लिए,आपतन कोण $i = \alpha$ है। किरण $AC$ को स्पर्श करते हुए बाहर निकलती है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है। पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\sin \alpha = \mu \sin(90^{\circ} - \alpha) = \mu \cos \alpha$। इस प्रकार,$\tan \alpha = \mu$।
चूंकि किरण $AC$ सतह को स्पर्श करती है,इसलिए $AC$ पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $\theta_c$ है। इस प्रकार,$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$।
ज्यामिति से,$r_1 = 90^{\circ} - \theta_c$। चूंकि $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ है,इसलिए $\alpha = \theta_c$ प्राप्त होता है। अतः,$\tan \alpha = \mu \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$।
चूंकि $\sin \alpha = \sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ है,इसलिए $\frac{1}{\mu} = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}} \Rightarrow 1+\mu^2 = \mu^4 \Rightarrow \mu^4 - \mu^2 - 1 = 0$। $\mu^2$ के लिए हल करने पर,$\mu^2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ प्राप्त होता है।
$AC$ पर $BC$ के समानांतर आपतित दूसरी किरण के लिए,आपतन कोण $i' = 90^{\circ} - \alpha$ है। $AB$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$i' > \theta_c \Rightarrow 90^{\circ} - \alpha > \theta_c \Rightarrow \cos \alpha > \sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$।
चूंकि $\tan \alpha = \mu$ है,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$। इस प्रकार,$\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} > \frac{1}{\mu}$ प्राप्त होता है।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $\sqrt{2} < \mu < \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है, तो उसकी आवृत्ति $(f)$ स्थिर रहती है क्योंकि यह प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है।
माध्यम में प्रकाश की चाल $(v)$ $v = c/n$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की चाल है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है। चूंकि प्रिज्म का अपवर्तनांक हवा से अधिक होता है $(n > 1)$, इसलिए प्रिज्म के अंदर प्रकाश की चाल कम हो जाती है।
चाल, आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध $v = f \lambda$ है। चूंकि $v$ घटता है और $f$ स्थिर रहता है, इसलिए प्रिज्म के अंदर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को भी कम होना चाहिए।
अतः, चाल और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं, जबकि आवृत्ति समान रहती है।

(D) प्रिज्म $B$,प्रिज्म $A$ के सापेक्ष उल्टा है। इसलिए,प्रिज्म $A$ और $B$ द्वारा प्रकाश का विक्षेपण विपरीत दिशाओं में होता है।
निर्गत किरण के सफेद होने के लिए,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन और कुल विक्षेपण शून्य होना चाहिए। इसके लिए दोनों प्रिज्मों में मौजूद तरल पदार्थों के अपवर्तनांक समान होने चाहिए,जो तभी संभव है जब दोनों प्रिज्म एक ही तापमान पर हों।
यदि प्रिज्म अलग-अलग तापमान पर हैं,तो उनके अपवर्तनांक भिन्न होंगे क्योंकि पानी का अपवर्तनांक तापमान पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप,प्रिज्म $A$ द्वारा उत्पन्न विक्षेपण,प्रिज्म $B$ द्वारा पूरी तरह से समाप्त नहीं होगा।
विकल्प $(d)$ में,प्रिज्म $A$ $70^{\circ} C$ पर है और प्रिज्म $B$ $7^{\circ} C$ पर है। चूंकि उनके अपवर्तनांक अलग-अलग हैं,इसलिए $A$ और $B$ द्वारा उत्पन्न विक्षेपण समान और विपरीत नहीं हैं। अतः,प्रिज्म $B$ के दाईं ओर की किरण विक्षेपित रहेगी और रंगीन दिखाई देगी।

(B) समद्विबाहु प्रिज्म के आधार कोण $40^{\circ}$ हैं। आधार पर आपतन कोण प्रिज्म की ज्यामिति द्वारा निर्धारित होता है। चूंकि प्रकाश झुकी हुई सतह पर लंबवत आपतित होता है,इसलिए यह बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करता है और अभिलंब के साथ $40^{\circ}$ के कोण पर आधार से टकराता है।
आधार पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण $i$ को कांच और पानी के बीच के क्रांतिक कोण $\theta_c$ से अधिक होना चाहिए।
यहाँ $i = 40^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $TIR$ के लिए शर्त $i > \theta_c$ है,जिसका अर्थ है $\sin i > \sin \theta_c$।
हम जानते हैं कि $\sin \theta_c = \frac{\mu_w}{\mu_g}$,जहाँ $\mu_w = 1.33$ पानी का अपवर्तनांक है और $\mu_g = \mu$ कांच का अपवर्तनांक है।
इसलिए,$\sin 40^{\circ} > \frac{1.33}{\mu}$।
$\mu$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\mu > \frac{1.33}{\sin 40^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
$\sin 40^{\circ} \approx 0.6428$ का उपयोग करते हुए,हम गणना करते हैं कि $\mu > \frac{1.33}{0.6428} \approx 2.069$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,शर्त $\mu > 2.07$ है।

(B) प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta$ को $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ आपतन कोण है,$e$ निर्गत कोण है,और $A$ प्रिज्म कोण है।
दिया गया है $A = 60^{\circ}$,$i = 60^{\circ}$,और $e = 40^{\circ}$।
अतः,विचलन $\delta = 60^{\circ} + 40^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$।
प्रकाश की उत्क्रमणीयता के सिद्धांत के अनुसार,यदि $i = 60^{\circ}$ पर $e = 40^{\circ}$ मिलता है,तो $i = 40^{\circ}$ पर $e = 60^{\circ}$ मिलेगा,जिसके परिणामस्वरूप समान विचलन $\delta = 40^{\circ}$ होगा।
विचलन $\delta$ बनाम आपतन कोण $i$ का ग्राफ एक $U$-आकार का वक्र है जहाँ न्यूनतम विचलन $\delta_m$ आपतन कोण $i = i_m$ पर होता है।
चूँकि $i = 40^{\circ}$ और $i = 60^{\circ}$ दोनों पर विचलन समान $(40^{\circ})$ है,इसलिए न्यूनतम विचलन इन दो मानों के बीच के आपतन कोण पर होना चाहिए।
अतः,न्यूनतम विचलन के लिए आपतन कोण $40^{\circ} < i < 60^{\circ}$ की सीमा में है। दिए गए ग्राफ को देखने पर,न्यूनतम विचलन $i \approx 48^{\circ}$ पर होता है,जो $40^{\circ} < i < 50^{\circ}$ की सीमा में आता है।

(B) कॉशी के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,किसी पदार्थ का अपवर्तनांक प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है,$\mu \propto \frac{1}{\lambda}$.
दिए गए रंगों की तरंगदैर्ध्य का क्रम इस प्रकार है: $\lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{green}} > \lambda_{\text{blue}}$.
चूंकि $\mu$,$\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए अपवर्तनांक का क्रम होगा: $\mu_{\text{yellow}} < \mu_{\text{green}} < \mu_{\text{blue}}$.
चूंकि $\mu_1$ हरे के लिए,$\mu_2$ नीले के लिए और $\mu_3$ पीले के लिए है,इसलिए हमें $\mu_3 < \mu_1 < \mu_2$ प्राप्त होता है,जिसे $\mu_2 > \mu_1 > \mu_3$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) सही उत्तर $C$ है।
जब श्वेत प्रकाश की एक किरण पहले प्रिज्म से गुजरती है,तो यह विक्षेपण (dispersion) से गुजरती है और अपने घटक रंगों (स्पेक्ट्रम) में विभाजित हो जाती है।
जब एक दूसरा समान प्रिज्म पहले प्रिज्म के संपर्क में उल्टी स्थिति में रखा जाता है,तो यह पुनर्संयोजन प्रिज्म के रूप में कार्य करता है। पहले प्रिज्म के कारण होने वाला विक्षेपण दूसरे प्रिज्म द्वारा पूरी तरह से रद्द कर दिया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप रंग वापस श्वेत प्रकाश की एक किरण में पुनर्संयोजित हो जाते हैं।
चूंकि दोनों प्रिज्म मिलकर समानांतर चेहरों वाले कांच के स्लैब के बराबर एक संरचना बनाते हैं,इसलिए बाहर निकलने वाली श्वेत प्रकाश की किरण आपतित किरण के समानांतर होती है,जिसका अर्थ है कि इसमें कोई कोणीय विचलन नहीं होता है। इसलिए,पर्दे पर कोई स्पेक्ट्रम नहीं देखा जाता है,केवल मूल श्वेत प्रकाश ही दिखाई देता है।

(A) प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta$ को $\delta = (i_1 + i_2) - A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है।
यह समरूपता दर्शाती है कि आपतन कोण $i_1$,निर्गत कोण $i_2$ के बराबर होता है,अर्थात $i_1 = i_2$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
जब निर्गत किरण दूसरी सतह को स्पर्श करते हुए निकलती है,तो निर्गत कोण $i_e = 90^{\circ}$ होता है।
दूसरी सतह पर,अपवर्तन कोण क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होता है। अतः,$r_2 = C$।
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin i_e$।
यहाँ $\mu = 2$ और $i_e = 90^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $2 \sin C = \sin 90^{\circ} = 1$,जिससे $\sin C = 0.5$ प्राप्त होता है,अर्थात $C = 30^{\circ}$।
इसलिए,$r_2 = 30^{\circ}$।
प्रिज्म की ज्यामिति से,$A = r_1 + r_2$। मान रखने पर,$60^{\circ} = r_1 + 30^{\circ}$,जिससे $r_1 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\sin i = \mu \sin r_1$।
$\sin i = 2 \cdot \sin 30^{\circ} = 2 \cdot 0.5 = 1$।
अतः,$i = 90^{\circ}$।

(C) चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद प्रकाश किरण के अपने पथ को पुनः प्राप्त करने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत ($0^{\circ}$ के आपतन कोण पर) टकराना चाहिए।
मान लीजिए कि पहली सतह पर आपतन कोण $i$ है और अपवर्तन कोण $r$ है।
दिया गया है,$i = 60^{\circ}$ और प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$ है।
प्रिज्म की ज्यामिति से,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ और दूसरी सतह पर आपतन कोण $r'$ के बीच संबंध $A = r + r'$ होता है।
चूंकि किरण दूसरी सतह पर लंबवत टकराती है,इसलिए $r' = 0^{\circ}$ है।
अतः,$r = A = 30^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \approx 1.732$.
इस प्रकार,प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $1.732$ है।

(B) प्रिज्म के लिए,आपतन कोण $(i)$,निर्गत कोण $(e)$,प्रिज्म कोण $(A)$ और विचलन कोण $(\delta)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$i + e = A + \delta$
दिए गए ग्राफ से,एक विशिष्ट विचलन कोण $\delta = 50^{\circ}$ के लिए,दो संबंधित आपतन कोण $i_1 = 38^{\circ}$ और $i_2 = 58^{\circ}$ हैं।
प्रिज्म के मामले में,दिए गए विचलन कोण के लिए (न्यूनतम विचलन को छोड़कर),आपतन कोण के दो मान क्रमशः $i$ और $e$ के रूप में लिए जाते हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$38^{\circ} + 58^{\circ} = A + 50^{\circ}$
$96^{\circ} = A + 50^{\circ}$
$A = 96^{\circ} - 50^{\circ}$
$A = 46^{\circ}$
अतः,प्रिज्म कोण $46^{\circ}$ है।

(D) प्रिज्म $60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ के आधार कोणों वाला एक त्रिभुज है।
प्रिज्म का तीसरा कोण $A$ इस प्रकार है:
$A = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
प्रिज्म के लिए,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$,प्रिज्म कोण $A$ और विचलन कोण $\delta$ के बीच संबंध है:
$i + e = A + \delta$.
आरेख से,आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ और निर्गत कोण $e = 60^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$45^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} + \delta$
$105^{\circ} = 90^{\circ} + \delta$
$\delta = 105^{\circ} - 90^{\circ} = 15^{\circ}$.
अतः,कोणीय विचलन $15^{\circ}$ है।

(D) यह दिया गया है कि प्रिज्म के अंदर की किरण आधार के समानांतर है,इसलिए पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ प्रिज्म के आधार कोण के बराबर होना चाहिए।
त्रिभुज की ज्यामिति से,आधार कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $r = 45^{\circ}$।
आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ दिया गया है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$।
मान रखने पर,$\mu = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$।
अतः,अपवर्तनांक $\sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(B) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
बिना विचलन के विक्षेपण की शर्त इस प्रकार है:
$\delta_1 + \delta_2 = 0$
चूंकि प्रिज्मों को बिना विचलन के विक्षेपण उत्पन्न करने के लिए जोड़ा जाता है,इसलिए कुल विचलन है:
$A_1(\mu_1 - 1) + A_2(\mu_2 - 1) = 0$
दिया गया है:
$A_1 = 6^{\circ}$,$\mu_1 = 1.5$,$\mu_2 = 1.75$
मान रखने पर:
$6(1.5 - 1) + A_2(1.75 - 1) = 0$
$6(0.5) + A_2(0.75) = 0$
$3 + 0.75 A_2 = 0$
विचलन को रद्द करने के लिए प्रिज्मों को विपरीत दिशाओं में रखा जाना चाहिए,इसलिए सूत्र $A_1(\mu_1 - 1) - A_2(\mu_2 - 1) = 0$ है।
$3 - 0.75 A_2 = 0$
$0.75 A_2 = 3$
$A_2 = \frac{3}{0.75} = 4^{\circ}$

(D) औसत विचलन के बिना विक्षेपण के लिए,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
औसत विचलन न होने की शर्त $\delta_1 + \delta_2 = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $|\delta_1| = |\delta_2|$।
एक पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = A(\mu - 1)$ होता है।
प्रिज्म $P_1$ के लिए: $A_1 = 6^{\circ}$,$\mu_1 = 1.54$।
प्रिज्म $P_2$ के लिए: $A_2 = A$,$\mu_2 = 1.72$।
विचलन को बराबर करने पर: $A_1(\mu_1 - 1) = A_2(\mu_2 - 1)$।
$6^{\circ}(1.54 - 1) = A(1.72 - 1)$।
$6^{\circ}(0.54) = A(0.72)$।
$A = \frac{6^{\circ} \times 0.54}{0.72} = \frac{6 \times 54}{72} = \frac{324}{72} = 4.5^{\circ}$।

(A) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((D_{\min} + A)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
दिया गया है कि प्रिज्म समबाहु है,इसलिए प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{\sin(30^{\circ})}$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 1/2$,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{1/2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)$
चूंकि $\sin(45^{\circ}) = 1/\sqrt{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$(D_{\min} + 60^{\circ})/2 = 45^{\circ}$
$D_{\min} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$
$D_{\min} = 30^{\circ}$.

(A) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$ होता है।
दिया गया है कि $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$.
यह सरल होकर $\cos(A/2) = \sin((A + \delta_{\min})/2)$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,$\sin(\frac{\pi}{2} - A/2) = \sin((A + \delta_{\min})/2)$.
कोणों की तुलना करने पर: $\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} = \frac{A + \delta_{\min}}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर: $\pi - A = A + \delta_{\min}$.
अतः,$\delta_{\min} = \pi - 2A$.

(D) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का शीर्ष कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में सूत्र इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
दिया गया है कि $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$,अतः दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
दोनों पक्षों से $\sin(A/2)$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos(A/2) = \sin((A + \delta_m)/2)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(90^{\circ} - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(90^{\circ} - A/2) = \sin((A + \delta_m)/2)$
कोणों की तुलना करने पर:
$90^{\circ} - A/2 = (A + \delta_m)/2$
$180^{\circ} - A = A + \delta_m$
$\delta_m = 180^{\circ} - 2A$

(A) कॉशी के समीकरण के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर इस प्रकार निर्भर करता है: $\mu(\lambda) = A + B/\lambda^2 + ...$
चूंकि $\lambda_{\text{red}} > \lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{violet}}$,लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक सबसे कम और बैंगनी प्रकाश के लिए सबसे अधिक होता है।
पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
चूंकि $\mu_{\text{red}} < \mu_{\text{yellow}} < \mu_{\text{violet}}$,लाल प्रकाश के लिए विचलन सबसे कम और बैंगनी प्रकाश के लिए सबसे अधिक होता है।
अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ भी सत्य है क्योंकि एक विक्षेपी माध्यम का अपवर्तनांक तरंगदैर्ध्य के साथ बदलता है,जो विक्षेपण का मूल कारण है।

(A) न्यूनतम विचलन $\delta_{\min}$ के लिए,हमारे पास $i = e$ और $r_1 = r_2 = \frac{A}{2}$ है।
यह दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{\min}$ और प्रिज्म कोण $A$ का अनुपात $1$ है,इसलिए $\frac{\delta_{\min}}{A} = 1$,जिसका अर्थ है $\delta_{\min} = A$।
हम जानते हैं कि $\delta_{\min} = 2i - A$। $\delta_{\min} = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = 2i - A$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2A = 2i$ या $i = A$ हो जाता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \times \sin i = \mu \sin r_1$।
$i = A$ और $r_1 = \frac{A}{2}$ रखने पर,हमें $\sin A = \mu \sin \left(\frac{A}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{A}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\sin \left(\frac{A}{2}\right)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $A \neq 0$),हमें $2 \cos \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{3}$ या $\cos \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,इसलिए $A = 60^{\circ}$।

(A) मान लीजिए प्रिज्म का शीर्ष कोण $A = 90^{\circ}$ है।
प्रिज्म में,दो फलकों पर अपवर्तन कोणों का योग प्रिज्म कोण के बराबर होता है,इसलिए $r_1 + r_2 = A = 90^{\circ}$।
चूंकि किरण आधार $BC$ के समानांतर यात्रा करती है,इसलिए दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण क्रांतिक कोण $c$ है,इसलिए $r_2 = c$।
अतः,$r_1 = 90^{\circ} - c$।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1 \cdot \sin 30^{\circ} = \mu \cdot \sin r_1$
$1 \cdot \frac{1}{2} = \mu \cdot \sin(90^{\circ} - c)$
$\frac{1}{2} = \mu \cdot \cos c$।
हम जानते हैं कि $\sin c = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\cos c = \sqrt{1 - \sin^2 c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\mu^2}} = \frac{\sqrt{\mu^2 - 1}}{\mu}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2} = \mu \cdot \frac{\sqrt{\mu^2 - 1}}{\mu}$
$\frac{1}{2} = \sqrt{\mu^2 - 1}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4} = \mu^2 - 1$
$\mu^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$\mu = \frac{\sqrt{5}}{2}$।

(A) एक प्रिज्म में,प्रिज्म का कोण $A$ दोनों सतहों पर अपवर्तन कोणों के योग के बराबर होता है: $A = r_1 + r_2$.
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है $(i = e)$।
परिणामस्वरूप,दोनों सतहों पर अपवर्तन कोण समान होते हैं: $r_1 = r_2 = r$.
इसे प्रिज्म के सूत्र में रखने पर: $A = r + r = 2r$.
इसलिए,$r = A / 2$.
चूंकि प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए दोनों रंगों के लिए अपवर्तन कोण $r = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$ होगा।
अतः,लाल और बैंगनी दोनों रंगों के लिए अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ है।

(A) $PQ$ सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1 \times \sin \alpha = n \times \sin \beta$
दिया गया है $\alpha = 45^{\circ}$ और $n = \sqrt{2}$,इसलिए:
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin \beta$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin \beta \implies \sin \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 30^{\circ}$.
प्रकाश पथ द्वारा निर्मित त्रिभुज में,$PR$ सतह पर आपतन कोण $\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ है।
$PR$ सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $\gamma$ को न्यूनतम $\alpha$ के लिए क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होना चाहिए।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए $\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $C = 45^{\circ}$।
अतः,$\gamma = 45^{\circ}$।
$\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ में मान रखने पर:
$45^{\circ} = 90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ})$
$45^{\circ} = 60^{\circ} - \theta$
$\theta = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) $1$. चूंकि कोई परावर्तन नहीं होता है,इसलिए प्रकाश को ब्रूस्टर कोण $\theta_B$ पर आपतित होना चाहिए। अतः,$i = \theta_B$,जहाँ $\tan \theta_B = \mu_B = \sqrt{3}$। इससे $i = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$2$. ब्रूस्टर कोण की स्थिति को संतुष्ट करने के लिए प्रकाश को आपतन के तल में ध्रुवीकृत होना चाहिए। अतः,कथन $(A)$ सही है।
$3$. पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin r_1 \implies \sin r_1 = 1/2 \implies r_1 = 30^{\circ}$।
$4$. दिया है $\delta = 60^{\circ}$ और $\delta = i + e - A$,तो $60^{\circ} = 60^{\circ} + e - A \implies e = A$।
$5$. दूसरी सतह पर,$\sqrt{3} \sin r_2 = 1 \sin e = \sin A$। चूंकि $r_1 + r_2 = A$,इसलिए $r_2 = A - 30^{\circ}$।
$6$. मान रखने पर: $\sqrt{3} \sin(A - 30^{\circ}) = \sin A$। विस्तार करने पर: $\sqrt{3}(\sin A \cos 30^{\circ} - \cos A \sin 30^{\circ}) = \sin A \implies \sqrt{3}(\sin A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos A \cdot \frac{1}{2}) = \sin A \implies \frac{3}{2} \sin A - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A = \sin A \implies \frac{1}{2} \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A \implies \tan A = \sqrt{3} \implies A = 60^{\circ}$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
$7$. चूंकि $e = A = 60^{\circ}$,इसलिए कथन $(D)$ सही है।
$8$. लाल प्रकाश के लिए,$\mu_R = \frac{\sin((A + \delta_{\text{min}})/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$। अतः,कथन $(C)$ सही है।