Refraction Through Prism Questions in Hindi

(C) एक त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $(\delta)$ और आपतन कोण $(i)$ के बीच का संबंध अरेखीय होता है।
जैसे-जैसे आपतन कोण $(i)$ एक छोटे मान से बढ़ता है,विचलन कोण $(\delta)$ शुरू में घटता है।
यह एक विशिष्ट आपतन कोण पर न्यूनतम मान तक पहुँचता है,जिसे न्यूनतम विचलन कोण $(\delta_{m})$ कहा जाता है।
जैसे-जैसे आपतन कोण $(i)$ इस बिंदु से आगे बढ़ता है,विचलन कोण $(\delta)$ फिर से बढ़ना शुरू हो जाता है।
यह विशिष्ट $U$-आकार का वक्र ग्राफ $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) मान लीजिए सतह $AB$ पर आपतन कोण $\theta$ है और अपवर्तन कोण $r_1$ है। सतह $AC$ पर,आपतन कोण $r_2$ और निर्गत कोण $e$ है।
किरण के सतह $AC$ से बाहर निकलने के लिए,आपतन कोण $r_2$ क्रांतिक कोण $C$ से कम होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है।
अतः,$r_2 < C$,जिसका अर्थ है $r_2 < \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right)$।
प्रिज्म की ज्यामिति से,$r_1 + r_2 = A$,इसलिए $r_1 = A - r_2$।
चूंकि $r_2 < C$,हमें $r_1 > A - C$ प्राप्त होता है,या $r_1 > A - \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right)$।
सतह $AB$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\sin \theta = \mu \sin r_1$।
चूंकि साइन फलन $[0, \pi/2]$ अंतराल में वर्धमान है,$r_1 > A - C$ का अर्थ है $\sin r_1 > \sin(A - C)$।
इसलिए,$\sin \theta = \mu \sin r_1 > \mu \sin(A - C)$।
$C = \sin^{-1}(1/\mu)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin \theta > \mu \sin(A - \sin^{-1}(1/\mu))$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta > \sin^{-1}\left[ \mu \sin\left( A - \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right) \right) \right]$।

(C) हम प्रिज्म के लिए संबंध जानते हैं: $i + e - A = \delta$.
यहाँ $i = 35^o$,$e = 79^o$,और $\delta = 40^o$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $35^o + 79^o - A = 40^o$.
$114^o - A = 40^o \implies A = 74^o$.
अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
चूंकि $\delta_m$ न्यूनतम विचलन है,इसलिए $\delta_m \le \delta = 40^o$.
अतः,$\mu = \frac{\sin((74^o + \delta_m)/2)}{\sin(37^o)}$.
$\sin(37^o) \approx 0.6$ होने के कारण,$\mu = \frac{\sin(37^o + \delta_m/2)}{0.6}$.
यदि $\delta_m = 40^o$ लिया जाए,तो $\mu = \frac{\sin(57^o)}{0.6} \approx \frac{0.838}{0.6} \approx 1.397$.
इस प्रकार,दिए गए विकल्पों में से $1.5$ गणना किए गए मान के सबसे निकट है।

(A) $1$. प्रकाश किरण प्रिज्म में लंबवत प्रवेश करती है,इसलिए यह बिना विचलित हुए ऊर्ध्वाधर फलक तक पहुँचती है।
$2$. ऊर्ध्वाधर फलक पर आपतन कोण $i = \theta = 37^o$ है।
$3$. प्रिज्म-वायु इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $C$,$sinC = 1/\mu = 1/(5/3) = 3/5$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. चूंकि $sin37^o = 3/5$ है,इसलिए आपतन कोण $i = C$ है। अतः,किरण ऊर्ध्वाधर सतह को स्पर्श करते हुए निकलती है।
$5$. ऊर्ध्वाधर फलक पर किरण का विचलन $90^o - i = 90^o - 37^o = 53^o$ होता है।
$6$. बाहर निकलने के बाद,कुल विचलन $53^o$ है।

(C) हम जानते हैं कि विचलन कोण $(\delta)$ आपतन कोण $(i)$ पर निर्भर करता है।
यदि हम प्रयोगात्मक रूप से विभिन्न आपतन कोणों के संगत विचलन कोणों को निर्धारित करते हैं और फिर $x$-अक्ष पर $i$ और $y$-अक्ष पर $\delta$ को आलेखित करते हैं,तो हमें एक विशिष्ट वक्र प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे आपतन कोण $(i)$ को एक छोटे मान से धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है,विचलन कोण $(\delta)$ पहले घटता है,एक विशेष आपतन कोण के लिए न्यूनतम मान $(\delta_m)$ तक पहुँचता है और फिर बढ़ना शुरू हो जाता है।
यह व्यवहार एक परवलयाकार वक्र द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ न्यूनतम विचलन एक विशिष्ट आपतन कोण पर होता है,जैसा कि समाधान छवि में दिखाया गया है।

(A) पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\mu = 1.5$ और $A = \frac{4}{\pi}$ डिग्री दिया गया है।
सबसे पहले,कोण $A$ को रेडियन में बदलें: $A = \left( \frac{4}{\pi} \right) \times \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{1}{45} \, rad$.
अब,विचलन की गणना करें: $\delta = (1.5 - 1) \times \frac{1}{45} = 0.5 \times \frac{1}{45} = \frac{1}{90} \, rad$.
प्रिज्म से गुजरने के बाद,प्रकाश किरणें $\delta$ कोण से विचलित हो जाती हैं और फिर $f = 60 \ cm$ फोकस दूरी वाले उत्तल लेंस से गुजरती हैं।
किरण पुंज का अभिसरण बिंदु (फोकस) लेंस से विचलित पथ पर $f$ दूरी पर होगा।
मुख्य अक्ष से ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = f \times \delta = 60 \times \frac{1}{90} = \frac{2}{3} \, cm$ होगा।
अतः,अभिसरण बिंदु के निर्देशांक $\left( 60 \ cm, \frac{2}{3} \ cm \right)$ हैं।

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta$ को $\delta = A(\mu - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संयोजन कोई शुद्ध विचलन उत्पन्न नहीं करता है,इसलिए प्रिज्म $P_1$ द्वारा उत्पन्न विचलन प्रिज्म $P_2$ द्वारा उत्पन्न विचलन के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
मान लीजिए $A_1 = 4^o$,$\mu_1 = 1.54$ और $A_2 = ?$,$\mu_2 = 1.72$ है।
कोई विचलन न होने की शर्त $\delta_1 + \delta_2 = 0$ है,जिसका अर्थ है $A_1(\mu_1 - 1) + A_2(\mu_2 - 1) = 0$।
मान रखने पर: $4(1.54 - 1) + A_2(1.72 - 1) = 0$।
$4(0.54) + A_2(0.72) = 0$।
$2.16 + A_2(0.72) = 0$।
$A_2 = -2.16 / 0.72 = -3^o$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रिज्म $P_2$ को $P_1$ के सापेक्ष उल्टा रखा जाना चाहिए। कोण का परिमाण $3^o$ है।

(C) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $D_m$ के बीच संबंध इस प्रकार हैं:
$1$. $i = \frac{A + D_m}{2}$
$2$. $r = \frac{A}{2}$
यहाँ अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ और आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ दिया गया है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} \implies \sqrt{2} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin r} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin r}$.
इसलिए,$\sin r = \frac{1}{2}$,जिससे $r = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r = \frac{A}{2}$,इसलिए $A = 2r = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
अब,$i = \frac{A + D_m}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है: $45^{\circ} = \frac{60^{\circ} + D_m}{2}$.
$90^{\circ} = 60^{\circ} + D_m \implies D_m = 30^{\circ}$.
अतः,$A = 60^{\circ}$ और $D_m = 30^{\circ}$ है।

(C) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$।
चूंकि किरण एक फलक पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए आपतन कोण $i_1 = 0^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1 = 0^{\circ}$ है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करने पर,हमें $30^{\circ} = 0^{\circ} + r_2$ प्राप्त होता है,इसलिए $r_2 = 30^{\circ}$।
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin r_2 = 1 \sin e$,जहाँ $e$ निर्गत कोण है।
$\sqrt{2} \sin 30^{\circ} = \sin e \Rightarrow \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \sin e \Rightarrow \sin e = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$e = 45^{\circ}$।
विचलन कोण $\delta$ को $\delta = (i_1 + e) - A$ द्वारा दिया जाता है।
$\delta = (0^{\circ} + 45^{\circ}) - 30^{\circ} = 15^{\circ}$।

(B) डायरेक्ट विजन स्पेक्ट्रोस्कोप के लिए,दो प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $A_1$ और $A_2$ क्राउन और फ्लिंट ग्लास प्रिज्म के कोण हैं,और $\mu_1$ और $\mu_2$ उनके संबंधित अपवर्तनांक हैं।
शून्य कुल विचलन के लिए शर्त है: $(\mu_1 - 1)A_1 + (\mu_2 - 1)A_2 = 0$.
चूंकि प्रिज्म विपरीत विचलन उत्पन्न करने के लिए व्यवस्थित होते हैं,हमारे पास है: $(\mu_1 - 1)A_1 = (\mu_2 - 1)A_2$.
दिया गया है: $A_1 = 9^{\circ}$,$\mu_1 = 1.40$,और $\mu_2 = 1.60$.
मान रखने पर: $(1.40 - 1) \times 9^{\circ} = (1.60 - 1) \times A_2$.
$0.40 \times 9^{\circ} = 0.60 \times A_2$.
$3.6^{\circ} = 0.60 \times A_2$.
$A_2 = \frac{3.6}{0.6} = 6^{\circ}$.

(C) प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$.
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है,और अपवर्तन कोण $r_1 = r_2 = A/2$ होता है।
अतः,आपतन कोण $i = (A + \delta_m)/2$ द्वारा प्राप्त होता है।
इस मान को अपवर्तनांक के सूत्र में रखने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$.
यहाँ $\mu = \sqrt{2}$ और $A = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए: $\sin i = \sqrt{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = \sin^{-1}(1/\sqrt{2}) = 45^{\circ}$.

(A) प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र इस प्रकार है: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $A$ न्यूनतम विचलन की स्थिति में प्रिज्म का कोण है।
दिया गया है: $\mu = \sqrt{2}$ और $A = 60^{\circ}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(30^{\circ})}$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ या $1/2$ है:
$\sin i = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$i = \arcsin(1/\sqrt{2}) = 45^{\circ}$।

(D) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (\mu - 1)A$,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का अपवर्तक कोण है।
दिया गया है:
अपवर्तक कोण $A = 2^o$
विचलन कोण $\delta = 1^o$
सूत्र में मान रखने पर:
$1^o = (\mu - 1) \times 2^o$
$0.5 = \mu - 1$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$
अतः,प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $1.5$ है।

(A) एक प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A$ संबंध $A = r_1 + r_2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_1$ और $r_2$ क्रमशः पहले और दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण हैं।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश की किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि $r_1 = r_2 = r$।
इसलिए,संबंध $A = 2r$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है,इसलिए $60^{\circ} = 2r$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,पहले फलक पर अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ है।

(B) पीली किरण के लिए कुल विचलन तीनों प्रिज्मों द्वारा उत्पन्न विचलनों का योग है।
पतले प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
चित्र से,हमारे पास $A$ कोण वाले दो क्राउन ग्लास प्रिज्म और उल्टी स्थिति में $A'$ कोण वाला एक फ्लिंट ग्लास प्रिज्म है।
अतः,कुल विचलन:
$(\delta_y)_{\text{net}} = \delta_{y1} + \delta_{y2} + \delta_{y3} = 0$
$(\mu_y - 1)A + (\mu_y' - 1)(-A') + (\mu_y - 1)A = 0$
$2(\mu_y - 1)A = (\mu_y' - 1)A'$
$\frac{A'}{A} = \frac{2(\mu_y - 1)}{(\mu_y' - 1)}$

(A) माध्यम में रखे गए प्रिज्म के लिए न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\mu_{p}}{\mu_{m}} = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$
जहाँ $\mu_{p} = 1.53$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है,$\mu_{m} = 1.33$ पानी का अपवर्तनांक है,और $A = 60^{\circ}$ प्रिज्म का कोण है।
मान रखने पर:
$\frac{1.53}{1.33} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_{m})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$
$\frac{1.53}{1.33} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_{m})/2)}{\sin(30^{\circ})}$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए:
$\sin((60^{\circ} + \delta_{m})/2) = 0.5 \times \frac{1.53}{1.33} \approx 0.575$
दिया गया है कि $\sin(35.1^{\circ}) = 0.575$,इसलिए कोणों की तुलना करने पर:
$(60^{\circ} + \delta_{m})/2 = 35.1^{\circ}$
$60^{\circ} + \delta_{m} = 70.2^{\circ}$
$\delta_{m} = 70.2^{\circ} - 60^{\circ} = 10.2^{\circ}$

(A) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 30^o$ है।
चित्र से,पहली सतह पर आपतन कोण $i = 30^o$ है।
निर्गत किरण $RS$ दूसरी सतह के लंबवत है,जिसका अर्थ है कि निर्गत कोण $e = 0^o$ है।
परिणामस्वरूप,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^o$ है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करने पर,हमें $30^o = r_1 + 0^o$ प्राप्त होता है,इसलिए $r_1 = 30^o$ है।
विचलन कोण $\delta$ सूत्र $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\delta = 30^o + 0^o - 30^o = 0^o$।

(B) मान लीजिए प्रिज्म $ABC$ है जिसका आधार $BC$ है। आधार के कोण $\theta$ हैं। शीर्ष कोण $180^{\circ} - 2\theta$ है।
जब किरण एक भुजा पर लंबवत आपतित होती है,तो वह बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है।
यह चांदी वाली सतह पर $i = 180^{\circ} - 2\theta - 90^{\circ} = 90^{\circ} - 2\theta$ के कोण पर आपतित होती है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण भी $90^{\circ} - 2\theta$ है।
परावर्तित किरण चांदी वाली सतह के साथ $90^{\circ} - (90^{\circ} - 2\theta) = 2\theta$ का कोण बनाती है।
किरण और प्रिज्म की भुजाओं द्वारा बने त्रिभुज में,उसी सतह पर दूसरे परावर्तन बिंदु पर कोण $180^{\circ} - 2\theta - 2\theta = 180^{\circ} - 4\theta$ है।
अंत में,किरण आधार पर $90^{\circ}$ के कोण पर टकराती है। ज्यामिति के अनुसार,आधार पर प्रिज्म के अंदर का कोण $90^{\circ} - \theta$ है।
किरण पथ द्वारा बने त्रिभुज में कोणों का योग: $(90^{\circ} - 2\theta) + (180^{\circ} - 4\theta) + (90^{\circ} - \theta) = 180^{\circ}$.
$360^{\circ} - 7\theta = 180^{\circ} \Rightarrow 7\theta = 180^{\circ} \Rightarrow \theta = 25.7^{\circ}$.
हालाँकि,दिए गए चित्र की ज्यामिति के अनुसार जहाँ किरण आधार के लंबवत बाहर निकलती है,त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही संबंध $5\theta = 180^{\circ}$ है,जिसे हल करने पर $\theta = 36^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि,
फ्लिंट ग्लास का अपवर्तनांक,$\mu_{f} = 1.620$
क्राउन ग्लास का अपवर्तनांक,$\mu_{c} = 1.518$
फ्लिंट प्रिज्म का अपवर्तक कोण,$A_{f} = 6.0^{\circ}$
माध्य किरण के शून्य कुल विचलन के लिए,फ्लिंट प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन क्राउन प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
विचलन का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ है।
अतः,$(\mu_{f} - 1)A_{f} = (\mu_{c} - 1)A_{c}$.
मान रखने पर:
$(1.620 - 1) \times 6.0^{\circ} = (1.518 - 1) \times A_{c}$
$0.620 \times 6.0^{\circ} = 0.518 \times A_{c}$
$A_{c} = \frac{0.620 \times 6.0}{0.518} = \frac{3.72}{0.518} \approx 7.18^{\circ} \approx 7.2^{\circ}$.
अतः,क्राउन प्रिज्म का अपवर्तक कोण $7.2^{\circ}$ है।

(D) एक समबाहु त्रिभुजाकार प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{3} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)}{\sin(30^{\circ})}$.
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $\sqrt{3} \times 0.5 = \sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)$.
हम जानते हैं कि $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $(60^{\circ} + \delta_m)/2 = 60^{\circ}$.
$60^{\circ} + \delta_m = 120^{\circ}$.
$\delta_m = 60^{\circ}$.

(A) विचलन कोण $\delta$,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ और प्रिज्म के कोण $A$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\delta = i + e - A$
दी गई मान:
प्रिज्म का कोण $A = 30^o$
आपतन कोण $i = 60^o$
विचलन कोण $\delta = 30^o$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$30^o = 60^o + e - 30^o$
$30^o = 30^o + e$
$e = 30^o - 30^o$
$e = 0^o$
अतः,निर्गत कोण $0^o$ है।

(C) दिया गया है: प्रिज्म का कोण,$A = 30^o$,आपतन कोण,$i = 60^o$,विचलन कोण,$\delta = 30^o$.
विचलन के लिए प्रिज्म सूत्र का उपयोग करने पर: $\delta = i + e - A$.
मान रखने पर: $30^o = 60^o + e - 30^o$.
निर्गमन कोण $e$ के लिए हल करने पर: $e = 30^o + 30^o - 60^o = 0^o$.
चूंकि निर्गमन कोण $e = 0^o$ है,इसलिए निर्गत किरण प्रिज्म के दूसरे फलक पर अभिलंबवत (लंबवत) है।
अतः,निर्गत किरण द्वारा प्रिज्म के दूसरे फलक के साथ बनाया गया कोण $90^o$ होगा।

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $D_m$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$D_m = (n - 1)A$
जहाँ $n$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
दिए गए ग्राफ से,जैसे-जैसे तरंग दैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,अपवर्तनांक $n$ घटता है (कॉची का परिक्षेपण सूत्र: $n(\lambda) = a + b/\lambda^2 + ...$)।
चूंकि $D_m$,$(n - 1)$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए जैसे-जैसे $\lambda$ के बढ़ने के साथ $n$ घटता है,वैसे-वैसे $D_m$ को भी $\lambda$ के बढ़ने के साथ घटना चाहिए।
इसलिए,$D_m$ बनाम $\lambda$ का ग्राफ एक घटती हुई प्रवृत्ति को दिखाना चाहिए,जो पहले ग्राफ (ग्राफ $A$) के अनुरूप है।

(C) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति $i = e$ और $r_1 = r_2 = r$ होती है।
चूंकि प्रिज्म समबाहु है,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करने पर,हमें $60^{\circ} = 2r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 30^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r_1$।
यहाँ $n_1 = 1$ (वायु) और $n_2 = \sqrt{3}$ (प्रिज्म) दिया गया है,इसलिए $\sin i = \sqrt{3} \sin 30^{\circ}$।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,हमें $\sin i = \sqrt{3} \times 0.5 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$i = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^{\circ}$।

(D) जब प्रकाश किरण एक फलक पर लंबवत आपतित होती है,तो आपतन कोण $i = 0^{\circ}$ होता है,जिसका अर्थ है कि अपवर्तन कोण $r_{1} = 0^{\circ}$ है।
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
संबंध $A = r_{1} + r_{2}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $60^{\circ} = 0^{\circ} + r_{2}$,इसलिए $r_{2} = 60^{\circ}$।
किरण दूसरे फलक से स्पर्श करते हुए बाहर निकलती है,जिसका अर्थ है कि निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है।
दूसरे फलक पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin r_{2} = 1 \sin e$।
मान रखने पर: $\mu \sin 60^{\circ} = \sin 90^{\circ}$।
$\mu \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$।
अतः,$\mu = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(C) दिए गए ग्राफ से,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^{\circ}$ है जो $i = 60^{\circ}$ के आपतन कोण पर प्राप्त होता है।
प्रिज्म के लिए,$\delta_m = 2i - A$ होता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,$i = e$ होता है,इसलिए $r_1 = r_2 = r = A/2$ होता है।
यहाँ $\delta_m = 30^{\circ}$ और $i = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $30^{\circ} = 2(60^{\circ}) - A$,जिससे $A = 120^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः $r = A/2 = 45^{\circ}$ होगा।
अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin(i)}{\sin(r)}$ है।
इसलिए $\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।

(C) जब कोई किरण रजतित सतह से परावर्तन के बाद अपने पथ पर वापस लौटती है,तो उसे रजतित सतह पर लंबवत आपतित होना चाहिए।
अतः,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_{2} = 0^{\circ}$ है।
प्रिज्म के संबंध से,$A = r_{1} + r_{2}$। दिया गया है $A = 30^{\circ}$ और $r_{2} = 0^{\circ}$,जिससे हमें $r_{1} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_{1}}$।
मान रखने पर: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$।
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$i = 45^{\circ}$।

(D) दिया गया है: प्रिज्म का कोण $A = 60^\circ$,अपवर्तनांक $\mu = 1.732 = \sqrt{3}$.
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin(\frac{\delta_m + A}{2})}{\sin(A/2)}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{\sin(\frac{\delta_m + 60^\circ}{2})}{\sin(30^\circ)}$.
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5$,इसलिए $\sqrt{3} \times 0.5 = \sin(\frac{\delta_m + 60^\circ}{2}) \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\delta_m + 60^\circ}{2})$.
हम जानते हैं कि $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{\delta_m + 60^\circ}{2} = 60^\circ$.
$\delta_m + 60^\circ = 120^\circ \Rightarrow \delta_m = 60^\circ$.
न्यूनतम विचलन के लिए,आपतन कोण $i$ का सूत्र $i = \frac{\delta_m + A}{2}$ है।
$i = \frac{60^\circ + 60^\circ}{2} = 60^\circ$.
अतः,न्यूनतम विचलन कोण $60^\circ$ है और आपतन कोण $60^\circ$ है।

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (\mu_{rel} - 1)A$,जहाँ $\mu_{rel}$ माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
हवा में,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_m = 1$ है। अतः,$\mu_{rel} = \mu_p / \mu_m = (3/2) / 1 = 3/2$.
हवा में न्यूनतम विचलन कोण $\delta_1 = (3/2 - 1)A = A/2$ है।
द्रव में,माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_m = 9/7$ है। अतः,$\mu_{rel} = \mu_p / \mu_m = (3/2) / (9/7) = (3/2) \times (7/9) = 7/6$.
द्रव में न्यूनतम विचलन कोण $\delta_2 = (7/6 - 1)A = A/6$ है।
हवा और द्रव में न्यूनतम विचलन कोणों का अनुपात $\delta_1 / \delta_2 = (A/2) / (A/6) = 6/2 = 3$ है।

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ का सूत्र $\delta_m = (\mu - 1)A$ होता है,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है।
पतले प्रिज्म के लिए,अपवर्तन कोण $r$ और प्रिज्म कोण $A$ के बीच संबंध $A = 2r$ होता है (क्योंकि न्यूनतम विचलन की स्थिति में $r_1 = r_2 = r$,इसलिए $A = r_1 + r_2 = 2r$)।
$A$ का मान विचलन सूत्र में रखने पर:
$\delta_m = (\mu - 1)(2r)$।
यहाँ अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ दिया गया है:
$\delta_m = (1.5 - 1)(2r) = (0.5)(2r) = r$।
अतः,सही संबंध $\delta_m = r$ है।

(A) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
जब प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण आधार के समानांतर होती है,तो न्यूनतम विचलन की स्थिति पूरी होती है।
इस स्थिति में,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है और अपवर्तन कोण समान होते हैं,अर्थात $r_{1} = r_{2} = r$।
हम जानते हैं कि $r_{1} + r_{2} = A$,इसलिए $2r = 60^{\circ}$,जिससे $r = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_{1} \sin i = n_{2} \sin r$
$1 \times \sin 45^{\circ} = \mu \times \sin 30^{\circ}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \times \frac{1}{2}$
$\mu = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$।
अतः,अपवर्तनांक लगभग $1.41$ है।

(D) एक पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = (\mu_{rel} - 1)A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_{rel}$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
जब प्रिज्म हवा में होता है,तो विचलन $\delta_{air} = (_a\mu_g - 1)A = (3/2 - 1)A = (1/2)A$ होता है।
जब प्रिज्म पानी में होता है,तो पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = 9/8$ होता है।
पानी में विचलन $\delta_{water} = (_w\mu_g - 1)A = (9/8 - 1)A = (1/8)A$ होता है।
विचलन का अनुपात $\frac{\delta_{air}}{\delta_{water}} = \frac{(1/2)A}{(1/8)A} = \frac{1/2}{1/8} = 4/1 = 4:1$ प्राप्त होता है।

(B) प्रिज्म के लिए विचलन का सूत्र $\delta = i + e - A$ है,जहाँ $i$ आपतन कोण है,$e$ निर्गत कोण है और $A$ प्रिज्म कोण है।
दिया गया है कि $i = 42^\circ$ और $i = 62^\circ$ के लिए विचलन $\delta = 44^\circ$ है। प्रिज्म के लिए,यदि दो अलग-अलग आपतन कोणों के लिए विचलन समान है,तो $e_1 = i_2$ और $e_2 = i_1$ होता है।
अतः,$44^\circ = 42^\circ + 62^\circ - A$.
$44^\circ = 104^\circ - A \Rightarrow A = 60^\circ$.
न्यूनतम विचलन के लिए,शर्त $i = e$ है और सूत्र $\delta_{min} = 2i - A$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $38^\circ = 2i - 60^\circ$.
$2i = 98^\circ \Rightarrow i = 49^\circ$.

(B) चित्र से,प्रिज्म एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^\circ$ और $AB = BC$ है,जिसका अर्थ है कि $\angle A = \angle C = 45^\circ$ है।
किरण सतह $AC$ पर इस तरह से आपतित होती है कि यह सतह $BC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,सतह $BC$ पर आपतन कोण $i$ क्रांतिक कोण $\theta_C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
ज्यामिति से,सतह $BC$ पर आपतन कोण $45^\circ$ है। इसलिए,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,हमारे पास $i \ge \theta_C$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $45^\circ \ge \theta_C$ है।
चूंकि $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$,इसलिए $\sin 45^\circ \ge \frac{1}{\mu}$ होगा।
$\frac{1}{\sqrt{2}} \ge \frac{1}{\mu} \implies \mu \ge \sqrt{2}$।
अतः,न्यूनतम अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ है।

(C) प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता $(\omega)$ को कोणीय विक्षेपण और माध्य विचलन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र है: $\omega = \frac{\mu_v - \mu_R}{\mu_y - 1}$।
यह गुण पूरी तरह से प्रिज्म के पदार्थ पर निर्भर करता है और प्रिज्म के अपवर्तक कोण से स्वतंत्र होता है।
चूंकि दोनों प्रिज्म एक ही पदार्थ (फ्लिंट ग्लास) से बने हैं, इसलिए उनकी विक्षेपण क्षमता समान होगी।
अतः, उनकी विक्षेपण क्षमता का अनुपात $1 : 1$ होगा।

(A) चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद प्रकाश किरण के अपने पथ को पुनः प्राप्त करने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत ($90^{\circ}$ के कोण पर) गिरना चाहिए।
प्रिज्म के अंदर किरण द्वारा निर्मित त्रिभुज में,चांदी वाली सतह पर कोण $90^{\circ}$ है और प्रिज्म कोण $A$ है। इसलिए,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ} - A$ होना चाहिए।
पहली सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर:
$1 \cdot sin(i) = \mu \cdot sin(r)$
यहाँ $i = 2A$ और $r = 90^{\circ} - A$ दिया गया है,इसलिए:
$sin(2A) = \mu \cdot sin(90^{\circ} - A)$
$sin(2A) = \mu \cdot cos(A)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $sin(2A) = 2\,sin(A)\,cos(A)$ का उपयोग करने पर:
$2\,sin(A)\,cos(A) = \mu \cdot cos(A)$
दोनों पक्षों को $cos(A)$ से विभाजित करने पर ($A \neq 90^{\circ}$ मानते हुए):
$\mu = 2\,sin(A)$

(A) दिया गया है: आपतन कोण $i = 60^{\circ}$,प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,विचलन कोण $\delta = 30^{\circ}$।
प्रिज्म में विचलन के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए: $\delta = (i + e) - A$।
मान रखने पर: $30^{\circ} = (60^{\circ} + e) - 30^{\circ}$।
$30^{\circ} = 30^{\circ} + e \implies e = 0^{\circ}$।
चूंकि निर्गत किरण दूसरे फलक के लंबवत है $(e = 0^{\circ})$,दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ से,हमें $r_1 = A - r_2 = 30^{\circ} - 0^{\circ} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहले फलक पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $1 \times \sin(i) = \mu \times \sin(r_1)$।
$\sin(60^{\circ}) = \mu \times \sin(30^{\circ})$।
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \mu \times \frac{1}{2}$।
$\mu = \sqrt{3} \approx 1.732$।

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ है।
चूंकि प्रकाश किरण एक फलक पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए आपतन कोण $i = 0^{\circ}$ है।
किरण बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है और दूसरे फलक पर प्रिज्म कोण के बराबर आपतन कोण पर टकराती है,इसलिए $i' = 60^{\circ}$ है।
हम दूसरे फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ की जांच करते हैं: क्रांतिक कोण $C$,$\sin C = 1/\mu = 1/1.5 = 2/3$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $\sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2 \approx 0.866$ और $2/3 \approx 0.667$ है,इसलिए $\sin 60^{\circ} > \sin C$ है,अतः $TIR$ होता है।
किरण दूसरे फलक पर परावर्तित होती है और आधार पर अभिलंब के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर टकराती है,और अपवर्तन कोण $r$ के साथ बाहर निकलती है जहाँ $1 \cdot \sin r = 1.5 \cdot \sin 30^{\circ} = 0.75$ है। इस प्रकार $r = \arcsin(0.75) \approx 48.6^{\circ}$ है।
हालाँकि,इस प्रकार के मानक पाठ्यपुस्तक प्रश्नों में,विचलन $\delta$ को आपतित किरण और अंतिम निर्गत किरण के बीच के कोण के रूप में गणना की जाती है। किरण पहले फलक पर $60^{\circ}$ मुड़ती है (कोई विचलन नहीं),फिर दूसरे फलक पर परावर्तित होती है (परावर्तन कोण = आपतन कोण = $60^{\circ}$),जिससे यह $180^{\circ} - 2(60^{\circ}) = 60^{\circ}$ मुड़ जाती है। कुल विचलन $30^{\circ}$ है।

(C) दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m}$,प्रिज्म के अपवर्तक कोण $A$ के बराबर है,इसलिए $\delta_{m} = A$ है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$ होता है।
सूत्र में $\delta_{m} = A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$.
चूंकि $\mu = \sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$\sqrt{3} = 2 \cos(A/2)$
$\cos(A/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$A/2 = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$.

(B) जब प्रिज्म के अंदर किरण आधार के समानांतर होती है,तो प्रिज्म न्यूनतम विचलन की स्थिति में होता है।
इस स्थिति में,आपतन कोण $i$ निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है,और अपवर्तन कोण $r_1 = r_2 = r = A/2$ होता है।
चूंकि प्रिज्म समबाहु है,प्रिज्म कोण $A = 60^o$ है।
इसलिए,अपवर्तन कोण $r = 60^o / 2 = 30^o$ है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$।
न्यूनतम विचलन के लिए,अंदर की किरण आधार के समानांतर होती है,जिसका अर्थ है कि $i = e = (A + \delta_m) / 2$।
जब किरण आधार के समानांतर होती है,तो अपवर्तनांक $\mu$ ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $i = 60^o$ होना चाहिए।
अतः,$\mu = \frac{\sin 60^o}{\sin 30^o} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।

(C) एक छोटे कोण वाले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण को $\delta = A\mu - A$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \delta$ और $x = \mu$ है:
$1$. ढाल $m = A$.
$2$. अंतःखंड $c = -A$.
बिंदु $P$ पर,विचलन $\delta = 0$ है। इस मान को समीकरण में रखने पर: $0 = (\mu - 1)A$। चूँकि $A \neq 0$,हमें $\mu - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\mu = 1$। अतः,बिंदु $P$,$\mu = 1$ के अनुरूप है।
चूँकि ढाल $A$ है,विकल्प $C$ सही है।

(B) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = i + e - A$।
दिया गया है कि प्रिज्म समबाहु है,इसलिए प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है और $e = \frac{3}{4} A$ है।
मान रखने पर: $i = e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$।
अब,इन मानों को विचलन सूत्र में रखने पर: $\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ}$।
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(C) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
जब एक किरण एक फलक पर स्पर्शरेखीय रूप से आपतित होती है,तो आपतन कोण $i_1 = 90^{\circ}$ होता है।
जब यह दूसरे फलक से स्पर्शरेखीय रूप से बाहर निकलती है,तो निर्गत कोण $i_2 = 90^{\circ}$ होता है।
प्रिज्म के सूत्र के अनुसार,$r_1 + r_2 = A$। चूंकि किरण सममित है,इसलिए $r_1 = r_2 = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i_1}{\sin r_1}$।
मान रखने पर: $\mu = \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{0.5} = 2$।

(B) प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$.
यह दिया गया है कि न्यूनतम विचलन का कोण $\delta_m$ अपवर्तक कोण $A$ के बराबर है,इसलिए $\delta_m = A$ को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$.
चूंकि प्रिज्म का अपवर्तक कोण $A$ आमतौर पर $0^\circ < A < 90^\circ$ के बीच होता है,इसलिए $\mu$ की सीमा होगी:
यदि $A \to 0^\circ$,तो $\mu \to 2 \cos(0) = 2$.
यदि $A \to 90^\circ$,तो $\mu \to 2 \cos(45^\circ) = 2(1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.
अतः,अपवर्तनांक $\sqrt{2}$ और $2$ के बीच होना चाहिए।

(A) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
बिना विचलन के विक्षेपण की शर्त $\delta_1 + \delta_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
पतले प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
अतः,$(\mu_1 - 1)A_1 + (\mu_2 - 1)A_2 = 0$।
यहाँ $A_1 = 6^{\circ}$,$\mu_1 = 1.54$,और $\mu_2 = 1.72$ दिया गया है।
मान रखने पर: $(1.54 - 1) \times 6^{\circ} + (1.72 - 1) \times A_2 = 0$।
$0.54 \times 6^{\circ} + 0.72 \times A_2 = 0$।
$3.24^{\circ} + 0.72 \times A_2 = 0$।
$A_2 = -\frac{3.24}{0.72} = -4.5^{\circ}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रिज्म $P_2$ को $P_1$ के सापेक्ष उल्टा रखा जाना चाहिए। कोण का परिमाण $4.5^{\circ}$ है,जो $4^{\circ} 30^{\prime}$ के बराबर है।

(B) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की शर्त यह है कि आपतन कोण $(i)$ निर्गत कोण $(e)$ के बराबर होना चाहिए।
एक समबाहु प्रिज्म में,यह समरूपता दर्शाती है कि प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण $(QR)$ प्रिज्म के आधार के समानांतर होनी चाहिए।
चूंकि प्रिज्म को एक क्षैतिज सतह पर रखा गया है,इसलिए प्रिज्म का आधार क्षैतिज है।
अतः,न्यूनतम विचलन के लिए,प्रिज्म के अंदर की किरण $QR$ क्षैतिज होनी चाहिए।

(A) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है। दिए गए विचलन $\delta$ (जहाँ $\delta > \delta_{min}$) के लिए,आपतन कोण $i$ और निर्गत कोण $e$ के दो संभावित मान होते हैं,जिससे $i_1 = e_2$ और $i_2 = e_1$ होता है। यह प्रकाश की उत्क्रमणीयता के सिद्धांत का सीधा परिणाम है,जो बताता है कि यदि प्रकाश किरण के पथ को उलट दिया जाए,तो वह अपने मूल पथ पर वापस लौट आती है। अतः,कारण कथन की सही व्याख्या करता है।

(N/A) दिया गया है: न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m} = 40^{\circ}$,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$,पानी का अपवर्तनांक $\mu_{w} = 1.33$.
$1$. प्रिज्म पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu_{g})$ ज्ञात करना:
प्रिज्म सूत्र का उपयोग करते हुए: $\mu_{g} = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu_{g} = \frac{\sin((60^{\circ} + 40^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin 50^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{0.766}{0.5} = 1.532$.
$2$. पानी में न्यूनतम विचलन का नया कोण $(\delta'_{m})$ ज्ञात करना:
पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $\mu_{g/w} = \frac{\mu_{g}}{\mu_{w}} = \frac{1.532}{1.33} \approx 1.1519$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\mu_{g/w} = \frac{\sin((A + \delta'_{m})/2)}{\sin(A/2)}$
$\sin((60^{\circ} + \delta'_{m})/2) = 1.1519 \times \sin(30^{\circ}) = 1.1519 \times 0.5 = 0.57595$.
$(60^{\circ} + \delta'_{m})/2 = \sin^{-1}(0.57595) \approx 35.17^{\circ}$.
$60^{\circ} + \delta'_{m} = 70.34^{\circ}$.
$\delta'_{m} = 70.34^{\circ} - 60^{\circ} = 10.34^{\circ}$.
अतः,न्यूनतम विचलन का नया कोण $10.34^{\circ}$ है।

$(29.75^{\circ})$ कांच के प्रिज्म $ABC$ से संबंधित आपतित, अपवर्तित और निर्गत किरणें चित्र में दिखाई गई हैं।
प्रिज्म का कोण, $A = 60^{\circ}$
प्रिज्म का अपवर्तनांक, $\mu = 1.524$
$i_1 = \text{आपतन कोण}$
$r_1 = \text{अपवर्तन कोण}$
$r_2 = \text{फलक } AC \text{ पर आपतन कोण}$
$e = \text{निर्गमन कोण} = 90^{\circ} \text{ (स्पर्शरेखीय निर्गमन के लिए)}$
स्नेल के नियम के अनुसार, फलक $AC$ के लिए:
$\frac{\sin e}{\sin r_2} = \mu$
$\sin r_2 = \frac{1}{\mu} \times \sin 90^{\circ} = \frac{1}{1.524} \approx 0.6562$
$\therefore r_2 = \sin^{-1}(0.6562) \approx 41^{\circ}$
प्रिज्म के माध्यम से अपवर्तन के लिए, $A = r_1 + r_2$
$\therefore r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 41^{\circ} = 19^{\circ}$
पहले फलक पर स्नेल के नियम के अनुसार:
$\mu = \frac{\sin i_1}{\sin r_1}$
$\sin i_1 = \mu \sin r_1 = 1.524 \times \sin 19^{\circ} \approx 1.524 \times 0.3256 \approx 0.4962$
$\therefore i_1 = \sin^{-1}(0.4962) \approx 29.75^{\circ}$
अतः, आपतन कोण $29.75^{\circ}$ है।

(N/A) एक समकोण प्रिज्म के लिए जिसमें वस्तु और प्रतिबिंब समान आकार के हों,प्रिज्म का उपयोग इस प्रकार किया जाना चाहिए कि प्रकाश किरणें पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करें और आवर्धन $m = 1$ प्राप्त हो।
यह तब होता है जब वस्तु को एक विशिष्ट दूरी पर रखा जाता है ताकि प्रिज्म में प्रवेश करने वाली किरणें कर्ण (hypotenuse) सतह से परावर्तित हों।
एक $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ प्रिज्म में,यदि प्रकाश छोटी भुजाओं में से एक के लंबवत प्रवेश करता है,तो यह कर्ण सतह पर $45^{\circ}$ के कोण पर आपतित होता है।
चूंकि कांच के लिए क्रांतिक कोण लगभग $42^{\circ}$ होता है,इसलिए $45^{\circ}$ क्रांतिक कोण से अधिक होने के कारण प्रकाश का पूर्ण आंतरिक परावर्तन हो जाता है।
इस प्रकार,बनने वाला प्रतिबिंब सीधा और वस्तु के आकार का ही होता है,जो एक परावर्तक प्रिज्म के रूप में कार्य करता है।