Refraction Through Prism Questions in Hindi

(B) जब प्रकाश की एक किरण एक समबाहु प्रिज्म $P$ से न्यूनतम विचलन के कोण पर गुजरती है,तो प्रिज्म के अंदर की किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर होती है।
जब अतिरिक्त समान प्रिज्म $Q$ और $R$ को पथ में रखा जाता है,तो वे प्रभावी रूप से एक ऐसा संयोजन बनाते हैं जो एक कांच की स्लैब की तरह कार्य करता है।
चूंकि प्रिज्म समान हैं और इस तरह व्यवस्थित हैं कि उनके अपवर्तक कोण एक-दूसरे के प्रभाव को संतुलित करते हैं,इसलिए निर्गत किरण आपतित किरण के समानांतर होगी।
अतः,प्रिज्म $P$,$Q$ और $R$ के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन,अकेले प्रिज्म $P$ द्वारा उत्पन्न विचलन के समान ही रहता है,क्योंकि अतिरिक्त प्रिज्म $Q$ और $R$ सेटअप की ज्यामिति द्वारा उत्पन्न कोणीय विचलन को प्रभावी रूप से रद्द कर देते हैं और न्यूनतम विचलन की स्थिति को बनाए रखते हैं।

(D) प्रकाश को प्रिज्म से गुजरने के लिए,आपतन कोण $i$ वास्तविक होना चाहिए। निर्गमन के लिए शर्त यह है कि दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2$ क्रांतिक कोण $C$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $r_1 + r_2 = A$,इसलिए $r_2 = A - r_1 \leq A$।
अतः,हमें $C \geq r_2$ की आवश्यकता है।
प्रकाश के गुजरने के लिए सीमांत स्थिति $\mu \sin(A/2) = 1$ है,जिसका अर्थ है $\mu = \csc(A/2)$।
सर्वसमिका $\csc^2(A/2) = 1 + \cot^2(A/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\mu = \sqrt{1 + \cot^2(A/2)}$ प्राप्त होता है।

(A) पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $D$ का सूत्र $D = (\mu - 1) A$ होता है,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
चूंकि नीले प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(\mu_{blue} = 1.525)$ लाल प्रकाश के अपवर्तनांक $(\mu_{red} = 1.520)$ से अधिक है,
इसलिए $\mu_{blue} > \mu_{red}$ है।
इन मानों को विचलन के सूत्र में रखने पर,हमें $D_{blue} > D_{red}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D_1$ लाल प्रकाश के लिए विचलन है और $D_2$ नीले प्रकाश के लिए विचलन है,इसलिए $D_2 > D_1$ या $D_1 < D_2$ होगा।

(A) प्रिज्म के लिए,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$,प्रिज्म कोण $A$ और विचलन कोण $\delta$ के बीच का संबंध $i + e = A + \delta$ है।
यहाँ किरण दूसरी सतह से लंबवत निर्गत होती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 0^{\circ}$ है।
प्रिज्म के लिए,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1$ और दूसरी सतह पर आपतन कोण $r_2$ का योग प्रिज्म कोण के बराबर होता है,अर्थात $r_1 + r_2 = A$।
चूंकि किरण लंबवत बाहर निकलती है,इसलिए $r_2 = 0^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $r_1 = A = 5^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$।
छोटे कोणों के लिए,$\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$ लेने पर।
अतः,$i = \mu \times r_1 = 1.5 \times 5^{\circ} = 7.5^{\circ}$।

(A) पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
चूंकि तीनों प्रिज्मों के लिए प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ समान है,इसलिए विचलन कोण $\delta$ प्रिज्म के पदार्थ के अपवर्तनांक $\mu$ के सीधे आनुपातिक है $(\delta \propto \mu - 1)$।
दिए गए अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.4, \mu_2 = 1.5$ और $\mu_3 = 1.6$ हैं।
अपवर्तनांकों की तुलना करने पर: $\mu_3 > \mu_2 > \mu_1$ प्राप्त होता है।
अतः,विचलन कोण भी इसी क्रम में होंगे: $\delta_3 > \delta_2 > \delta_1$।

(A) पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
नीले प्रकाश के लिए विचलन $\delta_B = (\mu_B - 1)A = (1.659 - 1) \times 5^{\circ} = 0.659 \times 5^{\circ} = 3.295^{\circ}$ है।
लाल प्रकाश के लिए विचलन $\delta_R = (\mu_R - 1)A = (1.641 - 1) \times 5^{\circ} = 0.641 \times 5^{\circ} = 3.205^{\circ}$ है।
कोणीय विक्षेपण $\theta$ विचलनों का अंतर होता है: $\theta = \delta_B - \delta_R$।
$\theta = 3.295^{\circ} - 3.205^{\circ} = 0.090^{\circ}$।

(D) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = \pi/3 = 60^{\circ}$,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = \pi/6 = 30^{\circ}$,निर्वात में प्रकाश का वेग $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$।
प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
साथ ही,$\mu = c/v$,जहाँ $v$ प्रिज्म में प्रकाश का वेग है।
इसलिए,$v = c \times \frac{\sin(A/2)}{\sin((A + \delta_m)/2)}$।
मान रखने पर:
$v = 3 \times 10^{8} \times \frac{\sin(60^{\circ}/2)}{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}$
$v = 3 \times 10^{8} \times \frac{\sin(30^{\circ})}{\sin(45^{\circ})}$
$v = 3 \times 10^{8} \times \frac{0.5}{0.7071}$
$v \approx 2.12 \times 10^{8} \text{ m/s}$।

(C) प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $n = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$ है।
यहाँ न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$n = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2 \cos(\frac{A}{2})$.
चूंकि $n = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $1.5 = 2 \cos(\frac{A}{2})$,जिसका अर्थ है $\cos(\frac{A}{2}) = 0.75$.
$\cos 41^\circ = 0.75$ दिया गया है,अतः $\frac{A}{2} = 41^\circ$.
इसलिए,$A = 82^\circ$.

(A) पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण का सूत्र $D = (\mu - 1) A$ होता है,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
चूंकि नीले प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $(\mu_{blue} = 1.525)$ लाल प्रकाश के अपवर्तनांक $(\mu_{red} = 1.520)$ से अधिक है,
इसलिए $\mu_{blue} > \mu_{red}$ होता है।
इस मान को विचलन के सूत्र में रखने पर,हमें $D_{blue} > D_{red}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $D_1$ लाल प्रकाश का विचलन है और $D_2$ नीले प्रकाश का विचलन है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $D_2 > D_1$ या $D_1 < D_2$।

(C) दिया गया है: $A = 15^o, \omega = 0.03, \omega' = 0.02, \mu = 1.65, \mu' = 1.52$.
बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,कुल विचलन $\delta + \delta' = 0$ होता है।
$(\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$
$(1.65 - 1)15^o + (1.52 - 1)A' = 0$
$0.65 \times 15^o + 0.52 \times A' = 0$
$A' = -\frac{0.65 \times 15^o}{0.52} = -18.75^o$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रिज्म विपरीत दिशा में रखे गए हैं।
शुद्ध कोणीय विक्षेपण $\theta = \delta_v - \delta_r = \omega(\mu - 1)A + \omega'(\mu' - 1)A'$.
मान रखने पर:
$\theta = 0.03(1.65 - 1)15^o + 0.02(1.52 - 1)(-18.75^o)$
$\theta = 0.03(0.65)(15^o) + 0.02(0.52)(-18.75^o)$
$\theta = 0.2925^o - 0.195^o = 0.0975^o$.

(A) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,दो प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि $\mu_y$ और $\mu_y'$ क्रमशः क्राउन और फ्लिंट कांच के प्रिज्मों के लिए माध्य रंग (पीला) के अपवर्तनांक हैं।
क्राउन कांच के प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = (\mu_y - 1)A$ है।
फ्लिंट कांच के प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta' = (\mu_y' - 1)A'$ है।
बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,कुल विचलन शून्य होना चाहिए,इसलिए $\delta + \delta' = 0$।
चूंकि प्रिज्मों को विक्षेपण उत्पन्न करने के लिए व्यवस्थित किया गया है,उन्हें विपरीत दिशाओं में रखा जाना चाहिए,इसलिए $(\mu_y - 1)A + (\mu_y' - 1)A' = 0$।
परिमाण लेने पर,हमें $(\mu_y - 1)A = (\mu_y' - 1)A'$ प्राप्त होता है।
अतः,$A'/A$ अनुपात $\frac{(\mu_y - 1)}{(\mu_y' - 1)}$ होगा।

(D) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $A$ प्रिज्म कोण है।
दिया गया है: $\mu = \sqrt{2}$ और $i = 45^o$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\sqrt{2} = \frac{\sin 45^o}{\sin(A/2)}$
चूंकि $\sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\sqrt{2} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin(A/2)}$
$\sin(A/2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\sin 30^o = 1/2$,इसलिए:
$A/2 = 30^o$
$A = 60^o$।

(C) न्यूनतम विचलन की स्थिति के लिए सूत्र है: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ आपतन कोण $i$ के बराबर है,और न्यूनतम विचलन की स्थिति में $i = (A + \delta_m)/2$ होता है,इसलिए $\delta_m = A$ है।
सूत्र में $\delta_m = A$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$।
$\mu = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $1.5 = 2 \cos(A/2)$।
$\cos(A/2) = 1.5 / 2 = 0.75$।
चूंकि $\cos 41^o = 0.75$,इसलिए $A/2 = 41^o$।
अतः,$A = 82^o$।

(A) प्रिज्म कोण $A = 30^\circ$ है। किरण एक सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए पहली सतह पर आपतन कोण $i_1 = 0^\circ$ है,जिसका अर्थ है कि पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1 = 0^\circ$ है।
चूंकि $A = r_1 + r_2$,इसलिए $r_2 = A - r_1 = 30^\circ - 0^\circ = 30^\circ$ प्राप्त होता है।
दूसरी सतह पर आपतन कोण $r_2 = 30^\circ$ है। मान लीजिए निर्गत कोण $e$ है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(e)$.
$1.5 \cdot \sin(30^\circ) = \sin(e) \Rightarrow 1.5 \cdot 0.5 = \sin(e) \Rightarrow \sin(e) = 0.75$.
दिया गया है $\sin(48^\circ 36') = 0.75$,इसलिए $e = 48^\circ 36'$।
प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = e - A$ (चूंकि $i_1 = 0$ और $r_1 = 0$ है)।
$\delta = 48^\circ 36' - 30^\circ = 18^\circ 36'$।

(C) जब कोई प्रकाश किरण चांदी वाली सतह से परावर्तित होकर अपने मूल पथ पर वापस लौटती है,तो उसे उस सतह पर लंबवत (normal) आपतित होना चाहिए।
प्रिज्म के लिए,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1$ है और दूसरी सतह पर आपतन कोण $r_2$ है। दूसरी सतह पर लंबवत आपतन के लिए $r_2 = 0^\circ$ होना चाहिए।
संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 30^\circ$ प्रिज्म कोण है,हमें $r_1 = A - r_2 = 30^\circ - 0^\circ = 30^\circ$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
यहाँ $\mu = \sqrt{2}$ और $r_1 = 30^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^\circ}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^\circ = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = 45^\circ$.

(D) प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
यहाँ $\mu = \cot \frac{A}{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$\cot \frac{A}{2} = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
चूंकि $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$,इसलिए:
$\sin \left( 90^\circ - \frac{A}{2} \right) = \sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)$
कोणों की तुलना करने पर:
$90^\circ - \frac{A}{2} = \frac{A + \delta_m}{2}$
$180^\circ - A = A + \delta_m$
$\delta_m = 180^\circ - 2A$

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^o$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$ और निर्गत कोण $e$,प्रिज्म कोण $A$ के $3/4$ गुना हैं।
अतः,$i = e = \frac{3}{4} \times 60^o = 45^o$ होगा।
प्रिज्म के कोणों के बीच का संबंध इस प्रकार है: $i + e = A + \delta$।
मान रखने पर: $45^o + 45^o = 60^o + \delta$।
$90^o = 60^o + \delta$।
इसलिए,विचलन कोण $\delta = 90^o - 60^o = 30^o$ प्राप्त होता है।

(A) पतले प्रिज्म के लिए विचलन कोण का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ है,जहाँ $\mu$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का अपवर्तक कोण है।
चित्र से,प्रिज्म का कुल अपवर्तक कोण $A = 30^o + 30^o = 60^o$ है।
यह दिया गया है कि प्रारंभिक विचलन $\delta = 30^o$ है,इसलिए $30^o = (\mu - 1)60^o$,जिसका अर्थ है कि $(\mu - 1) = 0.5$ है।
यदि प्रिज्म का आधा भाग हटा दिया जाता है,तो नया अपवर्तक कोण $A' = 30^o$ हो जाता है।
नया विचलन कोण $\delta' = (\mu - 1)A' = 0.5 \times 30^o = 15^o$ होगा।

(A) दो प्रिज्मों के संयोजन के लिए कुल विचलन शून्य होने की शर्त इस प्रकार है:
$\delta_1 + \delta_2 = 0$
जब प्रिज्मों को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि कुल विचलन शून्य हो,तो दोनों प्रिज्मों द्वारा उत्पन्न विचलन परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
$(\mu_1 - 1)A_1 = (\mu_2 - 1)A_2$
दिया गया है:
$A_1 = 10^o$,$\mu_1 = 1.602$,$\mu_2 = 1.500$
$(1.602 - 1) \times 10^o = (1.500 - 1) \times A_2$
$0.602 \times 10^o = 0.500 \times A_2$
$A_2 = \frac{6.02}{0.5} = 12.04^o$
चूंकि $0.04^o = 0.04 \times 60' = 2.4'$,इसलिए प्रिज्म कोण $12^o 2.4'$ है।

(D) प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है और $\delta_m$ न्यूनतम विचलन कोण है।
दिया गया है: $A = 30^o$ और $\delta_m = 30^o$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = \frac{\sin(\frac{30^o + 30^o}{2})}{\sin(\frac{30^o}{2})} = \frac{\sin(30^o)}{\sin(15^o)} \approx 1.93$।
हालाँकि,दिए गए समाधान के अनुसार:
$\mu = \frac{\sin 60^o}{\sin 30^o} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।

(A) एक प्रिज्म के लिए, अपवर्तन कोण $r$, प्रिज्म कोण $A$ से $A = r_1 + r_2$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
न्यूनतम विचलन कोण की स्थिति में, प्रिज्म सममित स्थिति में होता है, जिसका अर्थ है कि $r_1 = r_2 = r$।
इसलिए, प्रिज्म कोण $A$ को $A = 2r$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए अपवर्तन कोण $r$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।
अतः, अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ है।

(C) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\delta_1 + \delta_2 = 0$।
पतले प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$(\mu_1 - 1)A_1 + (\mu_2 - 1)A_2 = 0$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1.5 - 1) \times 15^o + (1.75 - 1) \times A_2 = 0$।
$0.5 \times 15^o + 0.75 \times A_2 = 0$।
$7.5^o + 0.75 \times A_2 = 0$।
$A_2 = -\frac{7.5^o}{0.75} = -10^o$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दूसरे प्रिज्म को पहले प्रिज्म के सापेक्ष उल्टी दिशा में रखा जाना चाहिए। दूसरे प्रिज्म के कोण का परिमाण $10^o$ है।

(B) प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A$,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin((A+A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$.
सर्वसमिका $\sin A = 2\sin(A/2)\cos(A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2\sin(A/2)\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2\cos(A/2)$.
एक भौतिक प्रिज्म के लिए,आपतन कोण $i$ को $0 < i < 90^o$ होना चाहिए। चूंकि $\delta_m = 2i - A$,इसलिए $A = 2i - A$,जिसका अर्थ है $i = A$। अतः,$0 < A < 90^o$।
यदि $A \to 0^o$,तो $\mu \to 2\cos(0^o) = 2$.
यदि $A \to 90^o$,तो $\mu \to 2\cos(45^o) = 2 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.
इसलिए,अपवर्तनांक $\mu$ को $\sqrt{2}$ और $2$ के बीच स्थित होना चाहिए।

(B) प्रिज्म के अपवर्तक कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ के पदों में अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
यहाँ $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$ दिया गया है,अतः:
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
दोनों पक्षों से $\sin(A/2)$ को हटाने पर:
$\cos(A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(90^o - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(90^o - A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
कोणों की तुलना करने पर:
$90^o - A/2 = (A+\delta)/2$
$180^o - A = A + \delta$
$\delta = 180^o - 2A$

(A) दिया गया है: आपतन कोण $i = 45^o$,प्रिज्म का कोण $A = 60^o$.
चूंकि किरण न्यूनतम विचलन का अनुभव करती है,इसलिए निर्गत कोण $e$ आपतन कोण $i$ के बराबर होता है,अतः $e = 45^o$.
न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ का सूत्र है: $\delta_m = i + e - A$.
मान रखने पर: $\delta_m = 45^o + 45^o - 60^o = 30^o$.
अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$.
मान रखने पर: $\mu = \frac{\sin((60^o + 30^o)/2)}{\sin(60^o/2)} = \frac{\sin(45^o)}{\sin(30^o)}$.
गणना करने पर: $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
अतः,न्यूनतम विचलन कोण $30^o$ है और अपवर्तनांक $\sqrt{2}$ है।

(A) एक प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A$,अपवर्तन कोणों $r_1$ और $r_2$ के साथ $A = r_1 + r_2$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रकाश किरण प्रिज्म से सममित रूप से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि $r_1 = r_2 = r$।
इसलिए,सूत्र $A = 2r$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है,हम अपवर्तन कोण $r$ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
$r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।
अतः,अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ है।

(A) बिना विचलन के विक्षेपण की स्थिति कुल विचलन $\delta = (\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$ के सूत्र द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रिज्मों को बिना विचलन के विक्षेपण उत्पन्न करने के लिए जोड़ा जाता है,इसलिए कुल विचलन शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रिज्मों को विपरीत दिशाओं में रखा जाना चाहिए।
अतः,स्थिति $(\mu - 1)A = (\mu' - 1)A'$ है।
दिए गए मान $\mu = 1.42$,$A = 10^{\circ}$ और $\mu' = 1.7$ हैं।
समीकरण में इन मानों को रखने पर:
$(1.42 - 1) \times 10^{\circ} = (1.7 - 1) \times A'$
$0.42 \times 10^{\circ} = 0.7 \times A'$
$4.2^{\circ} = 0.7 \times A'$
$A' = \frac{4.2}{0.7} = 6^{\circ}$.
अतः,दूसरे प्रिज्म का अपवर्तक कोण $6^{\circ}$ है।

(B) प्रकाश किरण के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे सिल्वर वाली सतह पर लंबवत (सतह के साथ $90^{\circ}$ के कोण पर) आपतित होना चाहिए।
मान लीजिए कि पहली सतह पर आपतन कोण $i$ है और अपवर्तन कोण $r_1$ है। प्रिज्म का कोण $A = 30^{\circ}$ है।
चूंकि किरण दूसरी सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ होगा।
प्रिज्म के सूत्र $A = r_1 + r_2$ से,हमें मिलता है $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$i = 45^{\circ}$।

(B) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^o$ है।
दिया गया है कि किरण एक फलक पर स्पर्शरेखीय रूप से आपतित होती है,इसलिए आपतन कोण $i = 90^o$ है।
प्रथम सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $1 \cdot \sin(90^o) = n \cdot \sin(r_1)$,जहाँ $n = 2$ है।
$1 = 2 \cdot \sin(r_1) \implies \sin(r_1) = 0.5 \implies r_1 = 30^o$.
चूँकि $A = r_1 + r_2$,हमारे पास $60^o = 30^o + r_2$ है,जिससे $r_2 = 30^o$ प्राप्त होता है।
दूसरी सतह के लिए,निर्गत कोण $e$,$n \cdot \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(e)$ द्वारा दिया जाता है।
$2 \cdot \sin(30^o) = \sin(e) \implies 2 \cdot 0.5 = \sin(e) \implies \sin(e) = 1 \implies e = 90^o$.
विचलन कोण $\delta$,$\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है।
$\delta = 90^o + 90^o - 60^o = 120^o$.

(B) जब प्रकाश की एक किरण चांदी की सतह से परावर्तन के बाद अपने पथ पर वापस लौटती है,तो उसे चांदी की सतह पर लंबवत ($90^{\circ}$ के कोण पर) आपतित होना चाहिए।
माना $r_1$ पहली सतह पर अपवर्तन कोण है और $r_2$ दूसरी (चांदी वाली) सतह पर आपतन कोण है।
चूंकि किरण चांदी की सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए $r_2 = 0^{\circ}$ होगा।
प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = r_1 + r_2$ होता है।
मान रखने पर,$30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,जिससे $r_1 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर आपतन कोण $i_1 = 60^{\circ}$ दिया गया है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर,$\mu = \frac{\sin i_1}{\sin r_1}$।
मान रखने पर,$\mu = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।

(A) किरण के प्रिज्म से होकर गुजरने के लिए,निर्गत किरण का दूसरी सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन नहीं होना चाहिए। सीमांत स्थिति तब होती है जब निर्गत किरण दूसरी सतह को स्पर्श करते हुए निकलती है,अर्थात निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ होता है।
माना $n_2 = \sqrt{7/3}$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है और $n_1 = 1$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है।
दूसरी सतह $(LN)$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_2 \sin r_2 = n_1 \sin e$
$\sqrt{7/3} \sin r_2 = 1 \times \sin 90^{\circ} = 1$
$\sin r_2 = \sqrt{3/7} \approx 0.6546$
$r_2 = \arcsin(0.6546) \approx 40.89^{\circ}$
प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $A = r_1 + r_2$। इसलिए:
$r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 40.89^{\circ} = 19.11^{\circ}$
अब,पहली सतह $(LM)$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_1 \sin i = n_2 \sin r_1$
$1 \times \sin i = \sqrt{7/3} \times \sin 19.11^{\circ}$
$\sin i = 1.5275 \times 0.3273 \approx 0.5$
$i = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$

(D) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,आपतन कोण $i_{1} = 45^{\circ}$।
चूंकि किरण चांदी वाले फलक से परावर्तन के बाद अपने पथ पर वापस लौटती है,इसलिए इसे चांदी वाले फलक पर लंबवत टकराना चाहिए। अतः,दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण $r_{2} = 0^{\circ}$ होगा।
संबंध $r_{1} + r_{2} = A$ का उपयोग करने पर,$r_{1} + 0^{\circ} = 30^{\circ}$,इसलिए $r_{1} = 30^{\circ}$।
पहले फलक पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu = \frac{\sin i_{1}}{\sin r_{1}}$।
मान रखने पर: $\mu = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
अतः,प्रिज्म का अपवर्तनांक $\sqrt{2}$ है।

(B) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन का सूत्र $\delta = i + e - A$ है।
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है $i = 50^{\circ}$ और $e = 40^{\circ}$,अतः विचलन $\delta$:
$\delta = 50^{\circ} + 40^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ तब प्राप्त होता है जब $i = e$ हो। $i$ और $e$ के किसी भी अन्य मान के लिए (जहाँ $i \neq e$),विचलन $\delta$ हमेशा न्यूनतम विचलन $\delta_m$ से अधिक होता है।
चूंकि $i = 50^{\circ}$ और $e = 40^{\circ}$ $(i \neq e)$,इसलिए परिकलित विचलन $\delta = 30^{\circ}$ न्यूनतम विचलन $\delta_m$ से अधिक होगा।
अतः,$\delta_m < 30^{\circ}$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) प्रिज्म के लिए,विचलन का सूत्र $\delta = i + e - A$ है।
दिया गया है,$\delta = 40^{\circ}$ और $A = 60^{\circ}$ (समबाहु प्रिज्म)।
अतः,$40^{\circ} = i + e - 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है $i + e = 100^{\circ}$।
हमें यह भी दिया गया है कि दो आपतन कोणों का अंतर $20^{\circ}$ है,इसलिए $|i - e| = 20^{\circ}$।
समीकरणों को हल करने पर:
$1$) $i + e = 100^{\circ}$
$2$) $i - e = 20^{\circ}$ या $e - i = 20^{\circ}$
समीकरणों को जोड़ने पर: $2i = 120^{\circ} \implies i = 60^{\circ}$।
मान रखने पर: $60^{\circ} + e = 100^{\circ} \implies e = 40^{\circ}$।
इस प्रकार,दो संभावित आपतन कोण $60^{\circ}$ और $40^{\circ}$ हैं।

(D) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 45^o$. स्पर्शी आपतन का अर्थ है आपतन कोण $i = 90^o$. निर्गत कोण $e = 45^o$ है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\sin i = \mu \sin r_1 \Rightarrow \sin 90^o = \mu \sin r_1 \Rightarrow \sin r_1 = \frac{1}{\mu}$.
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\sin e = \mu \sin r_2 \Rightarrow \sin 45^o = \mu \sin r_2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \sin r_2 \Rightarrow \sin r_2 = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$.
हम जानते हैं कि $r_1 + r_2 = A = 45^o$. इसलिए,$r_1 = 45^o - r_2$.
दोनों तरफ साइन लेने पर: $\sin r_1 = \sin(45^o - r_2) = \sin 45^o \cos r_2 - \cos 45^o \sin r_2$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos r_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin r_2$.
चूंकि $\sin r_2 = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$,इसलिए $\cos r_2 = \sqrt{1 - \sin^2 r_2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2\mu^2}} = \frac{\sqrt{2\mu^2 - 1}}{\sqrt{2}\mu}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\sqrt{2\mu^2 - 1}}{\sqrt{2}\mu} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}\mu} \right) = \frac{\sqrt{2\mu^2 - 1}}{2\mu} - \frac{1}{2\mu}$.
$2\mu$ से गुणा करने पर: $2 = \sqrt{2\mu^2 - 1} - 1 \Rightarrow 3 = \sqrt{2\mu^2 - 1}$.
दोनों तरफ वर्ग करने पर: $9 = 2\mu^2 - 1 \Rightarrow 2\mu^2 = 10 \Rightarrow \mu^2 = 5 \Rightarrow \mu = \sqrt{5}$.

(C) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = i + e - A$ होता है। विचलन $\delta$,आपतन कोण $i$ का एक फलन है। $\delta$ बनाम $i$ का ग्राफ न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{min}$ के परितः सममित एक परवलय जैसा होता है।
दिए गए मामले में,$i_1 = 53^{\circ}$ के लिए,निर्गत कोण $e_1 = 37^{\circ}$ है।
चूंकि प्रिज्म का सूत्र $i$ और $e$ के संबंध में सममित है (अर्थात,यदि $i$ और $e$ को आपस में बदल दिया जाए,तो विचलन समान रहता है),न्यूनतम विचलन कोण $i = e = \frac{53^{\circ} + 37^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
जब $i = 53^{\circ}$ होता है,तो $e = 37^{\circ}$ होता है।
जब $i = 37^{\circ}$ होता है,तो $e = 53^{\circ}$ होता है।
यदि हम आपतन कोण को बदलकर $i = 50^{\circ}$ कर दें,जो प्रारंभिक $53^{\circ}$ की तुलना में न्यूनतम विचलन कोण $(45^{\circ})$ के अधिक करीब है,तो निर्गत कोण $e$ को भी $45^{\circ}$ के करीब होना चाहिए।
चूंकि $37^{\circ} < 50^{\circ} < 53^{\circ}$ है,इसलिए नया निर्गत कोण $e$,$37^{\circ}$ और $53^{\circ}$ के बीच होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$40^{\circ}$ और $42^{\circ}$ संभावित हैं। हालाँकि,$i-e$ वक्र के मानक व्यवहार के अनुसार,जैसे-जैसे $i$,$53^{\circ}$ से घटकर $50^{\circ}$ होता है,$e$,$37^{\circ}$ से बढ़ता है। $40^{\circ}$ विचलन के गुणों के अनुरूप सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
दिया गया है: $\mu = \sqrt{3/2}$,$A = 90^o$.
मान रखने पर: $\sqrt{3/2} = \frac{\sin((90^o + \delta_m)/2)}{\sin(90^o/2)}$.
$\sqrt{3/2} = \frac{\sin(45^o + \delta_m/2)}{\sin(45^o)}$.
हम जानते हैं कि $\sin(45^o) = 1/\sqrt{2}$,इसलिए $\sqrt{3/2} = \frac{\sin(45^o + \delta_m/2)}{1/\sqrt{2}}$.
दोनों पक्षों को $1/\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{3/2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(45^o + \delta_m/2)$.
$\sqrt{3/4} = \sin(45^o + \delta_m/2) \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(45^o + \delta_m/2)$.
हम जानते हैं कि $\sin(60^o) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $45^o + \delta_m/2 = 60^o$.
$\delta_m/2 = 15^o \implies \delta_m = 30^o$.

(A) प्रिज्म से किरण के गुजरने के लिए,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $(r_2)$ क्रांतिक कोण $(\theta_C)$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
$\theta_C = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{7}}\right)$.
दिया गया है $A = r_1 + r_2$,सीमांत स्थिति के लिए,हम $r_2 = \theta_C$ लेते हैं।
अतः,$\sin r_2 = \sqrt{\frac{3}{7}}$.
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i_1}{\sin r_1}$,जहाँ $r_1 = A - r_2$.
$\sin r_1 = \sin(60^{\circ} - r_2) = \sin 60^{\circ} \cos r_2 - \cos 60^{\circ} \sin r_2$.
चूंकि $\sin r_2 = \sqrt{\frac{3}{7}}$,इसलिए $\cos r_2 = \sqrt{1 - \frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
$\sin r_1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{7}}\right) - \left(\frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{3}{7}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$.
अब,$\sin i_1 = \mu \sin r_1 = \sqrt{\frac{7}{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$i_1 = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$.

(C) मान लीजिए कि पहली सतह पर आपतन कोण $i_1 = 0^{\circ}$ (अभिलंब आपतन) है। प्रत्येक इंटरफ़ेस पर अपवर्तन कोण $r_1, r_2, \dots, r_{10}$ हैं।
चूंकि प्रिज्म समद्विबाहु समकोण हैं,इसलिए सतहों के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
प्रत्येक इंटरफ़ेस पर स्नेल के नियम को लागू करने पर:
$1 \cdot \sin(0^{\circ}) = \mu_1 \cdot \sin(r_1) \implies r_1 = 0^{\circ}$.
पहले प्रिज्म की दूसरी सतह पर: $\mu_1 \sin(45^{\circ}) = \mu_2 \sin(r_2)$.
दूसरे प्रिज्म की पहली सतह पर: $\mu_2 \sin(r_3) = \mu_3 \sin(r_4)$,और इसी तरह आगे।
सभी सतहों पर क्रमिक रूप से स्नेल के नियम को लागू करके और प्रिज्म की ज्यामिति का उपयोग करके,हम अपवर्तनांक के बीच संबंध प्राप्त करते हैं।
पाँच प्रिज्म के लिए,सही संबंध $\mu_1^2 + \mu_3^2 + \mu_5^2 = 2 + \mu_2^2 + \mu_4^2$ है।

(A) पूर्ण प्रिज्म के लिए,किरण लंबवत आपतित होती है,इसलिए पहले फलक पर आपतन कोण $0^{\circ}$ है। पहले फलक पर अपवर्तन कोण $r_1 = 0^{\circ}$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = A$,इसलिए $r_2 = A$ है।
'ग्रेजिंग इमर्जेंस' के लिए,निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है। दूसरे फलक पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin e \Rightarrow \mu \sin A = \sin 90^{\circ} = 1$,अतः $\mu = \frac{1}{\sin A}$ है।
जब प्रिज्म का आधा भाग हटा दिया जाता है,तो किरण आंतरिक फलक पर $r' = A/2$ के आपतन कोण पर टकराती है (द्विभाजित प्रिज्म की ज्यामिति के अनुसार)।
इस नए इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu \sin r' = 1 \cdot \sin e'$,जहाँ $e'$ नया निर्गत कोण है।
$\frac{1}{\sin A} \cdot \sin \frac{A}{2} = \sin e'$
$\sin e' = \frac{\sin(A/2)}{2 \sin(A/2) \cos(A/2)} = \frac{1}{2 \cos(A/2)} = \frac{1}{2} \sec \frac{A}{2}$.
अतः,$e' = \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \sec \frac{A}{2} \right)$।

(D) माना कोण $ACB = C = 30^o$ है। चूंकि किरण सतह $AB$ पर लंबवत आपतित होती है,यह बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है।
सतह $AC$ पर,आपतन कोण $i$ प्रिज्म के कोण $C$ के बराबर है,इसलिए $i = 30^o$ है।
सतह $AC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C_c$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$i \ge C_c$,जिसका अर्थ है $\sin(i) \ge \sin(C_c)$।
$i = 30^o$ दिया गया है,इसलिए $\sin(30^o) \ge \frac{\mu}{\mu_p}$,जहाँ $\mu_p = 1.5 = \frac{3}{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \ge \frac{\mu}{1.5} \implies \mu \le \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$।

(C) एक पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = A(\mu - 1)$ होता है।
यहाँ $A = 5^{\circ} = 5 \times \frac{\pi}{180}$ रेडियन और $\mu = 1.5$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\delta = (5 \times \frac{\pi}{180}) \times (1.5 - 1) = \frac{5\pi}{180} \times 0.5 = \frac{2.5\pi}{180} = \frac{5\pi}{360}$ रेडियन।
$d$ दूरी पर स्थित वस्तु के लिए पतले प्रिज्म द्वारा बने प्रतिबिंब का विस्थापन $y = d \times \delta$ (छोटे कोणों के लिए) द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$d = 10\,cm$ है।
अतः,वस्तु से प्रतिबिंब की दूरी $y = 10 \times \frac{5\pi}{360} = \frac{50\pi}{360} = \frac{5\pi}{36}\,cm$ है।

(A) चूंकि निर्गत किरण सतह को स्पर्श करती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है।
दूसरी सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu \sin r_{2} = 1 \cdot \sin e$
$\sqrt{2} \sin r_{2} = \sin 90^{\circ} = 1$
$\sin r_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies r_{2} = 45^{\circ}$.
प्रिज्म में,कोणों के बीच का संबंध $r_{1} + r_{2} = A$ होता है।
यहाँ $A = 60^{\circ}$ दिया गया है,अतः $r_{1} + 45^{\circ} = 60^{\circ} \implies r_{1} = 15^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\sin i = \mu \sin r_{1}$
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ}$.
$\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\sin i = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.
अतः,$i = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)$।

(C) एक पतले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
प्रणाली की ज्यामिति से,किरणें मुख्य अक्ष से $h$ दूरी पर आपतित होती हैं।
प्रिज्म से गुजरने के बाद,किरणें मुख्य अक्ष की ओर $\delta$ कोण से विचलित हो जाती हैं।
विचलन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\tan \delta = \frac{h}{f}$ है,जहाँ $f$ प्रिज्म से अभिसरण बिंदु की दूरी है।
चूंकि प्रिज्म पतला है,$\delta$ छोटा है,इसलिए $\tan \delta \approx \delta$।
अतः,$\delta = \frac{h}{f} \Rightarrow f = \frac{h}{\delta}$।
$\delta$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = \frac{h}{(\mu - 1)A}$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. किरण प्रिज्म में लंबवत प्रवेश करती है,इसलिए यह बिना विचलित हुए कर्ण फलक पर बिंदु $P$ तक जाती है।
$2$. बिंदु $P$ पर आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है।
$3$. कर्ण फलक पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_p \sin(60^{\circ}) = \mu_w \sin(r)$,जहाँ $r$ प्रिज्म के अंदर अपवर्तन कोण है।
$4$. $(5/3) \times (\sqrt{3}/2) = (4/3) \sin(r) \implies \sin(r) = 5\sqrt{3}/8$.
$5$. प्रिज्म के आधार के साथ किरण का कोण $30^{\circ}$ है। आधार पर आपतन कोण $i' = 90^{\circ} - (r + 30^{\circ}) = 60^{\circ} - r$ है।
$6$. आधार पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_p \sin(i') = \mu_w \sin(\theta_2)$.
$7$. यहाँ $P$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है क्योंकि $\sin(r) > 1$ प्राप्त होता है। अतः किरण आधार से बाहर नहीं निकलती है।
$8$. कथन $(C)$ के लिए,$P$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन तब समाप्त होता है जब आपतन कोण $i=60^{\circ}$ क्रांतिक कोण $C$ के बराबर हो जाता है। $\sin(60^{\circ}) = \mu_w / \mu_p \implies \sqrt{3}/2 = \mu_w / (5/3) \implies \mu_w = 5\sqrt{3}/6 = 5 / (2\sqrt{3})$। यह सही है।

(D) छोटे कोण वाले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = A(\mu - 1)$
जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है और $\mu$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $d$ प्रिज्म के कोण के सीधे आनुपातिक है $(d \propto A)$।
इसके अतिरिक्त,जैसे-जैसे प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ बढ़ता है,$(\mu - 1)$ पद बढ़ता है,जिससे विचलन कोण $d$ में वृद्धि होती है।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) प्रिज्म के लिए न्यूनतम विचलन कोण $D$ का सूत्र $D = (\mu - 1)A$ है,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
यहाँ लाल प्रकाश के लिए अपवर्तनांक $\mu_r = 1.520$ और नीले प्रकाश के लिए $\mu_b = 1.525$ दिया गया है।
चूंकि $\mu_b > \mu_r$,इसलिए $(\mu_b - 1) > (\mu_r - 1)$ होगा।
अतः,$D_2 > D_1$,जिसे $D_1 < D_2$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।