एक कांच के प्रिज्म का अनुप्रस्थ काट एक समकोण | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि प्रिज्म के कोण $\angle B = \alpha$ और $\angle C = 90^{\circ} - \alpha$ हैं। $AB$ पर $BC$ के समानांतर आपतित पहली किरण के लिए,आपतन कोण

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$\sqrt{2} < \mu < \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए कि प्रिज्म के कोण $\angle B = \alpha$ और $\angle C = 90^{\circ} - \alpha$ हैं। $AB$ पर $BC$ के समानांतर आपतित पहली किरण के लिए,आपतन कोण $i = \alpha$ है। किरण $AC$ को स्पर्श करते हुए बाहर निकलती है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है। पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\sin \alpha = \mu \sin(90^{\circ} - \alpha) = \mu \cos \alpha$। इस प्रकार,$ an \alpha = \mu$। चूंकि किरण $AC$ सतह को स्पर्श करती है,इसलिए $AC$ पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $ heta_c$ है। इस प्रकार,$\sin heta_c = \frac{1}{\mu}$। ज्यामिति से,$r_1 = 90^{\circ} - heta_c$। चूंकि $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ है,इसलिए $\alpha = heta_c$ प्राप्त होता है। अतः,$ an \alpha = \mu \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$। चूंकि $\sin \alpha = \sin heta_c = \frac{1}{\mu}$ है,इसलिए $\frac{1}{\mu} = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}} \Rightarrow 1+\mu^2 = \mu^4 \Rightarrow \mu^4 - \mu^2 - 1 = 0$। $\mu^2$ के लिए हल करने पर,$\mu^2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ प्राप्त होता है। $AC$ पर $BC$ के समानांतर आपतित दूसरी किरण के लिए,आपतन कोण $i' = 90^{\circ} - \alpha$ है। $AB$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$i' > heta_c \Rightarrow 90^{\circ} - \alpha > heta_c \Rightarrow \cos \alpha > \sin heta_c = \frac{1}{\mu}$। चूंकि $ an \alpha = \mu$ है,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$। इस प्रकार,$\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} > \frac{1}{\mu}$ प्राप्त होता है। इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $\sqrt{2} < \mu < \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

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