Refraction Through Prism Questions in Hindi

(C) न्यूनतम विचलन पर,$\delta_m = 2i - A = A$,जिसका अर्थ है $i = A$। चूंकि $i_1 = i_2 = i$ और $r_1 = r_2 = r$,इसलिए $2r = A$,यानी $r = A/2$।
अतः,$r_1 = i_1/2$,जो विकल्प [$A$] को सही बनाता है।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\sin i = \mu \sin r \implies \sin A = \mu \sin(A/2) \implies 2 \sin(A/2) \cos(A/2) = \mu \sin(A/2) \implies \mu = 2 \cos(A/2)$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\cos(A/2) = \mu/2$ प्राप्त होता है,इसलिए $A = 2 \cos^{-1}(\mu/2)$। विकल्प [$B$] गलत है।
निर्गत किरण के स्पर्शरेखीय होने के लिए,$i_2 = 90^\circ$,इसलिए $r_2 = \theta_c = \sin^{-1}(1/\mu)$। तब $r_1 = A - r_2 = A - \sin^{-1}(1/\mu)$।
$\sin i_1 = \mu \sin r_1 = \mu \sin(A - \sin^{-1}(1/\mu)) = \mu [\sin A \cos(\sin^{-1}(1/\mu)) - \cos A \sin(\sin^{-1}(1/\mu))] = \mu [\sin A \sqrt{1 - 1/\mu^2} - \cos A (1/\mu)] = \sin A \sqrt{\mu^2 - 1} - \cos A$।
$\mu = 2 \cos(A/2)$ रखने पर,$\mu^2 - 1 = 4 \cos^2(A/2) - 1$। अतः,$i_1 = \sin^{-1}[\sin A \sqrt{4 \cos^2(A/2) - 1} - \cos A]$। विकल्प [$C$] सही है।
न्यूनतम विचलन पर,प्रिज्म के अंदर की किरण आधार के समानांतर होती है,जो तब होता है जब $i_1 = i_2 = A$ हो। विकल्प [$D$] सही है।

(A) $1$. फलक $AB$ पर: स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$1 \cdot \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot \sin(r_1)$.
$\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = 1/2$,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$.
$2$. प्रिज्म के अंदर बने त्रिभुज में,फलक $CD$ पर आपतन कोण $r_2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ है।
$3$. क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}(1/\sqrt{3}) \approx 35.26^{\circ}$. चूंकि $r_2 = 45^{\circ} > C$,किरण फलक $CD$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरती है।
$4$. परावर्तन के बाद,किरण फलक $AD$ पर $i' = 30^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती है।
$5$. फलक $AD$ पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot \sin(e)$.
$\sin(e) = \sqrt{3}/2$,इसलिए $e = 60^{\circ}$.
$6$. कुल विचलन $\delta = 90^{\circ}$ है। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं,और आपतित तथा निर्गत किरण के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए $(C)$ सही है।

(C) दूसरी सतह पर सभी $\theta \leq 60^{\circ}$ के लिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,प्रिज्म के भीतर आपतन के न्यूनतम कोण पर शर्त पूरी होनी चाहिए।
माना कि पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1$ है और दूसरी सतह पर आपतन कोण $r_2$ है।
प्रिज्म की ज्यामिति से,$r_1 + r_2 = A = 75^{\circ}$।
दूसरी सतह पर $TIR$ के लिए,आपतन कोण $r_2$ क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{n}{n_0}$।
जैसे-जैसे $\theta$ घटता है,$r_1$ घटता है,और परिणामस्वरूप $r_2 = 75^{\circ} - r_1$ बढ़ता है।
$TIR$ के लिए शर्त $\theta = 60^{\circ}$ पर सीमांत स्थिति में है।
$\theta = 60^{\circ}$ पर,पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin r_1 \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r_1 \Rightarrow r_1 = 30^{\circ}$।
अतः,$r_2 = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$।
इस सतह पर $TIR$ के लिए,$r_2 \geq C$,इसलिए $45^{\circ} \geq C$,जिसका अर्थ है $\sin 45^{\circ} \geq \sin C = \frac{n}{\sqrt{3}}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} \geq \frac{n}{\sqrt{3}} \Rightarrow n \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$।
सीमांत मान $n = \sqrt{1.5}$ है,इसलिए $n^2 = 1.5$।

(C) सममित प्रिज्म $(n_1=n_2=n)$ में न्यूनतम विचलन के लिए,आपतन कोण $i$,$\sin i = n \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta=60^{\circ}$,$\sin i = 1.5 \times \sin 30^{\circ} = 1.5 \times 0.5 = 0.75 = 3/4$।
दूसरी सतह पर,आपतन कोण $r_2 = 30^{\circ}$ है। दूसरी सतह पर अपवर्तन $n_2 \sin r_2 = 1 \sin e$ है।
$n_1=n$ और $n_2=n+\Delta n$ के लिए,प्रकाश पहली सतह पर $i$ कोण पर प्रवेश करता है और $r_1=30^{\circ}$ पर अपवर्तित होता है। फिर यह दूसरी सतह की ओर जाता है। चूंकि प्रिज्म सममित है,किरण दूसरी सतह पर $r_2=30^{\circ}$ पर टकराती है।
अतः,$(n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = \sin e$।
चूंकि $e = i + \Delta e$,हमारे पास $\sin(i + \Delta e) = (n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = n \sin 30^{\circ} + \Delta n \sin 30^{\circ} = \sin i + \Delta n \sin 30^{\circ}$ है।
$\sin(i + \Delta e) \approx \sin i + \Delta e \cos i$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta e \cos i = \Delta n \sin 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin i = 3/4$,$\cos i = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{7}/4$ है।
$\Delta e = \Delta n \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos i} = \Delta n \frac{0.5}{\sqrt{7}/4} = \Delta n \frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.756 \Delta n$।
चूंकि $0.756 < 1$,$\Delta e < \Delta n$ है। अतः,$(A)$ गलत है।
चूंकि $\Delta e = (2/\sqrt{7}) \Delta n$,$\Delta e$,$\Delta n$ के समानुपाती है। अतः,$(B)$ सही है।
$\Delta n = 2.8 \times 10^{-3}$ के लिए,$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 0.756 \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 2.11 \times 10^{-3} \text{ rad} = 2.11 \text{ mrad}$।
यह मान $2.0$ और $3.0$ mrad के बीच है। अतः,$(C)$ सही है।

(B) प्रथम सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\sin(60^{\circ}) = n \sin(r_1) \Rightarrow \sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$.
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$,इसलिए $r_1 + r_2 = 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है $r_2 = 60^{\circ} - r_1$.
दूसरी सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $n \sin(r_2) = \sin(\theta)$.
$r_2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sin(\theta) = n \sin(60^{\circ} - r_1) = n [\sin(60^{\circ}) \cos(r_1) - \cos(60^{\circ}) \sin(r_1)]$.
चूंकि $\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$,इसलिए $\cos(r_1) = \sqrt{1 - \frac{3}{4n^2}} = \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n}$.
इन मानों को $\sin(\theta)$ के समीकरण में रखने पर:
$\sin(\theta) = n [\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2n}] = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{4n^2 - 3} - 1)$.
$n$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos(\theta) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{4n^2 - 3}} \cdot 8n = \frac{\sqrt{3} n}{\sqrt{4n^2 - 3}}$.
$n = \sqrt{3}$ और $\theta = 60^{\circ}$ पर,$\cos(60^{\circ}) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4(3) - 3}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dn} = 1 \Rightarrow \frac{d\theta}{dn} = 2$. अतः,$m = 2$.

(A) प्रिज्म $P_2$ में न्यूनतम विचलन के लिए,$P_2$ की दूसरी सतह पर आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होना चाहिए,और $P_2$ के भीतर किरण आधार के समानांतर होनी चाहिए। एक समबाहु प्रिज्म के लिए,इसका अर्थ है कि $P_2$ की पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 30^{\circ}$ है।
$P_1$ और $P_2$ के बीच इंटरफेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर ($P_1$ का अपवर्तनांक $\mu_1 = \sqrt{3/2}$ और $P_2$ का $\mu_2 = \sqrt{3}$):
$\mu_1 \sin r_2' = \mu_2 \sin r_2$
$\sqrt{\frac{3}{2}} \sin r_2' = \sqrt{3} \sin 30^{\circ}$
$\sqrt{\frac{3}{2}} \sin r_2' = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin r_2' = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$r_2' = 45^{\circ}$
चूंकि प्रिज्म $P_1$ समबाहु है,इसलिए अपवर्तन कोणों का योग $r_1 + r_2' = A = 60^{\circ}$ होता है।
$r_1 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
$P_1$ की पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर (निर्वात का अपवर्तनांक $1$ है):
$1 \sin \theta = \sqrt{\frac{3}{2}} \sin 15^{\circ}$
$\theta = \sin^{-1}\left[\sqrt{\frac{3}{2}} \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)\right]$
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $\beta = 12$ प्राप्त होता है।

(B) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta_{min}}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$ है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{min}$ प्रिज्म के कोण $A$ के बराबर है,इसलिए हम सूत्र में $\delta_{min} = A$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + A}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
चूंकि $\mu = \sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$,जिसका अर्थ है $\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
हम जानते हैं कि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,जिसका अर्थ है $A = 60^{\circ}$.

(B) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,दो पतले प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
कुल विचलन $\delta_{\text{net}} = \delta_1 - \delta_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
अतः,$(\mu_1 - 1)A_1 - (\mu_2 - 1)A_2 = 0$।
दिया गया है $\mu_1 = 1.54$,$A_1 = 4^{\circ}$,और $\mu_2 = 1.72$।
मान रखने पर: $(1.54 - 1) \times 4^{\circ} - (1.72 - 1) \times A_2 = 0$।
$0.54 \times 4 = 0.72 \times A_2$।
$2.16 = 0.72 \times A_2$।
$A_2 = \frac{2.16}{0.72} = 3^{\circ}$।

(C) प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$।
यहाँ $A = 60^{\circ}$ और $\mu = \sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए: $\sqrt{2} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)}{\sin(30^{\circ})}$।
चूँकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $\sqrt{2} \times 0.5 = \sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)$,जो सरल होकर $\sin(45^{\circ}) = \sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)$ हो जाता है।
अतः,$45^{\circ} = (60^{\circ} + \delta_m)/2$,जिससे $90^{\circ} = 60^{\circ} + \delta_m$,अर्थात $\delta_m = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$,प्रिज्म कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होता है: $i = (A + \delta_m)/2$।
मान रखने पर: $i = (60^{\circ} + 30^{\circ})/2 = 90^{\circ}/2 = 45^{\circ}$।

(A) प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में $(\delta_{\text{min}})$,आपतन कोण और निर्गत कोण बराबर होते हैं $(i = e)$।
इस स्थिति में,प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर होती है।
कथन $(A)$ सही है क्योंकि अंदर की किरण आधार के समानांतर होती है।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि न्यूनतम विचलन पर $i = e$ होता है।
कथन $(D)$ सही है क्योंकि किसी भी विचलन $\delta > \delta_{\text{min}}$ के लिए,आपतन कोण के दो मान $i_1$ और $i_2$ मौजूद होते हैं ताकि $i_1 = e$ और $i_2 = i$ हो,जिससे समान विचलन प्राप्त होता है।
कथन $(B)$ गलत है क्योंकि बड़ा प्रिज्म कोण $A$ आमतौर पर न्यूनतम विचलन का बड़ा कोण प्रदान करता है।
कथन $(E)$ गलत है क्योंकि न्यूनतम विचलन पर $r_1 = r_2 = A/2$ होता है,इसलिए अपवर्तन कोण प्रिज्म कोण का आधा होता है,दोगुना नहीं।
अतः,सही कथन $(A), (C)$ और $(D)$ हैं।

(C) प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin \left(\frac{\delta_{\min} + A}{2}\right)}{\sin(A/2)}$ है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{\min} = A$,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + A}{2}\right)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$.
दिया गया है $\mu = 1.5 = \frac{3}{2}$,इसलिए:
$\frac{3}{2} = 2 \cos(A/2) \Rightarrow \cos(A/2) = \frac{3}{4} = 0.75$.
चूंकि $\cos 41^{\circ} = 0.75$,इसलिए $A/2 = 41^{\circ}$.
अतः,$A = 82^{\circ}$.

(D) ग्राफ से,न्यूनतम विचलन पर,$\delta_m = 60^{\circ}$ और संगत आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है।
न्यूनतम विचलन के लिए,$i = e$,इसलिए $\delta_m = 2i - A$.
$60^{\circ} = 2(60^{\circ}) - A \Rightarrow A = 60^{\circ}$. अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
अपवर्तनांक $\mu$ को $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((60^{\circ} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$65^{\circ}$ के विचलन के लिए,ग्राफ दो संभावित आपतन कोण दिखाता है,$i_1$ और $70^{\circ}$। चूँकि $\delta = i + e - A$,$i = 70^{\circ}$ के लिए,$65^{\circ} = 70^{\circ} + e - 60^{\circ} \Rightarrow e = 55^{\circ}$। उत्क्रमणीयता के सिद्धांत के अनुसार,यदि $i = 70^{\circ}$ पर $e = 55^{\circ}$ मिलता है,तो $i = 55^{\circ}$ पर $e = 70^{\circ}$ मिलेगा। अतः,$i_1 = 55^{\circ}$। विकल्प $(C)$ सही है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(C) दिया गया है: आपतन कोण $i = 60^{\circ}$,प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,और विचलन कोण $\delta = 30^{\circ}$।
विचलन के लिए प्रिज्म सूत्र का उपयोग करते हुए: $\delta = i + e - A$।
मान रखने पर: $30^{\circ} = 60^{\circ} + e - 30^{\circ}$।
निर्गमन कोण के लिए हल करने पर: $e = 30^{\circ} - 60^{\circ} + 30^{\circ} = 0^{\circ}$।
चूंकि निर्गमन कोण $e = 0^{\circ}$ है,किरण दूसरी सतह से लंबवत बाहर निकलती है,जिसका अर्थ है कि $r_2 = 0^{\circ}$।
संबंध $r_1 + r_2 = A$ का उपयोग करते हुए,हमें $r_1 + 0^{\circ} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$।
$\mu = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।

(D) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ है,जहाँ $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म सामग्री का सापेक्ष अपवर्तनांक है।
$1$. जब प्रिज्म हवा में हो:
$\mu_1 = \frac{\mu_{\text{glass}}}{\mu_{\text{air}}} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$
$\delta_1 = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$
$2$. जब प्रिज्म पानी में हो:
$\mu_2 = \frac{\mu_{\text{glass}}}{\mu_{\text{water}}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$
$\delta_2 = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$
$3$. अनुपात की गणना:
$\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{\frac{1}{2}A}{\frac{1}{8}A} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$
अतः,अनुपात $\delta_1 : \delta_2$ का मान $4 : 1$ है।

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ है,जहाँ $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
जब प्रिज्म हवा में होता है,तो अपवर्तनांक ${ }_{a} \mu_{g} = \frac{3}{2}$ होता है। अतः,$\delta_1 = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$।
जब प्रिज्म को पानी में डुबोया जाता है,तो पानी के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक ${ }_{w} \mu_{g} = \frac{{ }_{a} \mu_{g}}{{ }_{a} \mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
अतः,$\delta_2 = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$।
अनुपात $\delta_2 : \delta_1 = \frac{\frac{1}{8}A}{\frac{1}{2}A} = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4}$।
अतः,अनुपात $1: 4$ है।

(A) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,आपतन कोण $i_1 = 60^{\circ}$ और विचलन कोण $\delta = 30^{\circ}$।
प्रिज्म के लिए,विचलन का सूत्र $\delta = (i_1 + i_2) - A$ है।
मान रखने पर: $30^{\circ} = (60^{\circ} + i_2) - 30^{\circ}$।
$30^{\circ} = 30^{\circ} + i_2$,जिससे $i_2 = 0^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि निर्गत कोण $i_2 = 0^{\circ}$ है,निर्गत किरण दूसरे फलक के लंबवत है,जिसका अर्थ है कि दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ है।
संबंध $r_1 + r_2 = A$ का उपयोग करने पर,हमें $r_1 + 0^{\circ} = 30^{\circ}$ मिलता है,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu_1 \sin i_1 = \mu_2 \sin r_1$।
यह मानते हुए कि आसपास का माध्यम हवा है $(\mu_1 = 1)$: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu_2 \sin 30^{\circ}$।
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \mu_2 \cdot \frac{1}{2}$।
अतः,$\mu_2 = \sqrt{3} \approx 1.732$।

(B) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति सूत्र $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ द्वारा दी जाती है।
समबाहु प्रिज्म में,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i = 50^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$50^{\circ} = \frac{60^{\circ} + \delta_m}{2}$
$100^{\circ} = 60^{\circ} + \delta_m$
$\delta_m = 100^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$.
अतः,न्यूनतम विचलन का कोण $40^{\circ}$ है।

(A) सामान्य प्रिज्म सूत्र $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$ द्वारा दिया जाता है।
एक सममित (समबाहु) प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
सूत्र में $A = 60^{\circ}$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{60^{\circ}+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)}$
$\mu = \frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)}{\sin 30^{\circ}}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\mu = \frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)}{1/2}$
$\mu = 2 \sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)$.

(D) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
हवा में,हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $_{a}\mu_{g} = \frac{3}{2}$ है। अतः,$\delta_1 = (_{a}\mu_{g} - 1)A = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
जब इसे पानी में डुबोया जाता है,तो पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $_{w}\mu_{g} = \frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
नया न्यूनतम विचलन कोण $\delta_2 = (_{w}\mu_{g} - 1)A = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$ है।
$\delta_2$ और $\delta_1$ की तुलना करने पर: $\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{\frac{1}{8}A}{\frac{1}{2}A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
अतः,$\delta_2 = \frac{\delta_1}{4}$.

(C) विक्षेपण क्षमता $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\delta_v - \delta_R}{\delta_y}$ है,जहाँ $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_R}{2}$ माध्य विचलन है।
प्रिज्म $A$ के लिए:
$\delta_y = \frac{12^{\circ} + 10^{\circ}}{2} = 11^{\circ}$.
$\omega_A = \frac{12^{\circ} - 10^{\circ}}{11^{\circ}} = \frac{2}{11}$.
प्रिज्म $B$ के लिए:
$\delta_y = \frac{10^{\circ} + 8^{\circ}}{2} = 9^{\circ}$.
$\omega_B = \frac{10^{\circ} - 8^{\circ}}{9^{\circ}} = \frac{2}{9}$.
उनकी विक्षेपण क्षमता का अनुपात $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2/11}{2/9} = \frac{9}{11}$ है।

(D) चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद प्रकाश किरण को अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत टकराना चाहिए।
प्रिज्म में,पहली सतह पर अपवर्तन कोण '$r_1$' है। प्रिज्म की ज्यामिति से,दूसरी सतह पर आपतन कोण '$r_2$' है। चूंकि किरण लंबवत टकराती है,इसलिए '$r_2 = 0$'.
संबंध '$A = r_1 + r_2$' का उपयोग करने पर,हमें '$A = r_1 + 0$' प्राप्त होता है,इसलिए '$r_1 = A$'.
पहली सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: '$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$'.
दिया गया आपतन कोण '$i = 2A$' है,इसलिए '$\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$'.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका '$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$' का उपयोग करने पर,हमें '$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$' प्राप्त होता है।
अतः,प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक '$2 \cos A$' है।

(A) प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ है,जहाँ $\delta_v$ बैंगनी प्रकाश के लिए विचलन है,$\delta_r$ लाल प्रकाश के लिए विचलन है,और $\delta_y$ माध्य विचलन है,जिसकी गणना $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_r}{2}$ द्वारा की जाती है।
पहले प्रिज्म के लिए:
$\delta_v = 11^{\circ}$,$\delta_r = 9^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{11 + 9}{2} = 10^{\circ}$.
$\omega_1 = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
दूसरे प्रिज्म के लिए:
$\delta_v = 13^{\circ}$,$\delta_r = 11^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{13 + 11}{2} = 12^{\circ}$.
$\omega_2 = \frac{13 - 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
दूसरे प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता का पहले प्रिज्म के साथ अनुपात $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{1/6}{1/5} = \frac{5}{6}$ है।
अतः,अनुपात $5: 6$ है।

(C) दिया गया है: किरण दूसरी सतह से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 0$ है।
चूंकि $e = 0$,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0$ होगा।
प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = r_1 + r_2$ होता है। $r_2 = 0$ रखने पर,हमें $A = r_1$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$ है।
चूंकि प्रिज्म कोण $A$ छोटा है,इसलिए $i$ और $r_1$ भी छोटे होंगे,अतः $\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$ लिया जा सकता है।
इस प्रकार,$\mu = \frac{i}{r_1}$।
$r_1 = A$ रखने पर,हमें $\mu = \frac{i}{A}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $i = \mu A$।

(B) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $(i)$,निर्गत कोण $(e)$ के बराबर है,और $e = \frac{3}{4} A$ है।
$A$ का मान रखने पर:
$e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$।
चूंकि $i = e$,इसलिए $i = 45^{\circ}$ है।
विचलन कोण $(\delta)$ का सूत्र $\delta = i + e - A$ है।
मान रखने पर:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$।
न्यूनतम विचलन के लिए शर्त $\delta = A$ है,जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$ है।
सूत्र में $\delta = A$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{\sin A}{\sin (A/2)}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin (A/2) \cos (A/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin (A/2) \cos (A/2)}{\sin (A/2)} = 2 \cos (A/2)$।
दिया गया है $\mu = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{3} = 2 \cos (A/2) \Rightarrow \cos (A/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूँकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $A/2 = 30^{\circ}$।
अतः,$A = 60^{\circ}$।

(D) दिया है: प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,अपवर्तनांक $\mu = 1.5$,और आपतन कोण $i_1 = 0^{\circ}$ (क्योंकि किरण फलक के लंबवत है)।
चूंकि $i_1 = 0^{\circ}$,इसलिए अपवर्तन कोण $r_1$ भी $0^{\circ}$ होगा।
संबंध $r_1 + r_2 = A$ का उपयोग करने पर,$0^{\circ} + r_2 = 30^{\circ}$,अतः $r_2 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दूसरे फलक पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $\mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(i_2)$.
$1.5 \cdot \sin(30^{\circ}) = \sin(i_2)$.
$1.5 \cdot 0.5 = \sin(i_2) \Rightarrow \sin(i_2) = 0.75$.
दिया है $\sin(48.6^{\circ}) = 0.75$,इसलिए $i_2 = 48.6^{\circ}$।
विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = (i_1 + i_2) - A$ है।
$\delta = (0^{\circ} + 48.6^{\circ}) - 30^{\circ} = 18.6^{\circ}$।

(A) प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = r_1 + r_2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि किरण दूसरे फलक से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $r_2 = 0$।
अतः,$A = r_1$।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$।
$r_1 = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{\sin i}{\sin A}$ प्राप्त होता है।
पतले प्रिज्म के लिए,कोण $i$ और $A$ बहुत छोटे होते हैं,इसलिए $\sin i \approx i$ और $\sin A \approx A$।
इस प्रकार,$n = \frac{i}{A}$,जिससे $i = An$ प्राप्त होता है।

(D) निर्गत किरण दूसरे फलक को स्पर्श करती हुई निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है।
दूसरे फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin e}{\sin r_2} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin r_2} = \frac{1}{\sin r_2}$.
चूंकि $\mu = \sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $\sin r_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $r_2 = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करने पर,हमें $r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\frac{\sin i}{\sin r_1} = \mu$.
अतः,$\sin i = \mu \sin r_1 = \sqrt{2} \sin 15^{\circ}$.
इस प्रकार,$i = \sin ^{-1}(\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$।

(D) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = A(n - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,कुल विचलन शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि पहले प्रिज्म द्वारा उत्पन्न विचलन दूसरे प्रिज्म द्वारा विपरीत दिशा में उत्पन्न विचलन के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$\delta_{1} = \delta_{2}$।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A_{1}(n_{1} - 1) = A_{2}(n_{2} - 1)$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A_{1} = 4^{\circ}$,$n_{1} = 1.54$,और $n_{2} = 1.72$ दिया गया है।
$4(1.54 - 1) = A_{2}(1.72 - 1)$।
$4 \times 0.54 = A_{2} \times 0.72$।
$A_{2} = \frac{4 \times 0.54}{0.72} = \frac{2.16}{0.72} = 3^{\circ}$।

(C) छोटे कोण '$A$' वाले एक पतले प्रिज्म के लिए,आपतन कोण '$i$',अपवर्तन कोण '$r_1$' और निर्गत कोण '$r_2$' के बीच का संबंध $A = r_1 + r_2$ है।
चूंकि किरण विपरीत सतह से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $0$ है,जिसका अर्थ है $r_2 = 0$.
अतः,$A = r_1 + 0$,यानी $r_1 = A$.
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$। छोटे कोणों के लिए,$\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$.
इस प्रकार,$\mu = \frac{i}{r_1}$.
$r_1 = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu = \frac{i}{A}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $i = \mu A$ मिलता है।

(D) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है,और $i = e = \frac{3}{4}A$ है।
$A$ का मान रखने पर:
$i = e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$।
विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = i + e - A$ है।
मान रखने पर:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ}$।
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(A) छोटे कोण '$A$' वाले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण '$\delta$' का सूत्र $\delta = (\mu - 1)A$ होता है।
हम जानते हैं कि प्रिज्म के लिए संबंध: $i + e = A + \delta$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि किरण दूसरे पृष्ठ से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण '$e$' का मान $0$ होगा।
संबंध में $e = 0$ और $\delta = (\mu - 1)A$ रखने पर:
$i + 0 = A + (\mu - 1)A$
$i = A + \mu A - A$
$i = \mu A$.
अतः,आपतन कोण $\mu A$ है।

(D) प्रकाश के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत आपतित होना चाहिए।
चूंकि दूसरी सतह पर चांदी की परत है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ होना चाहिए।
प्रिज्म सूत्र $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 30^{\circ}$ प्रिज्म कोण है और $r_2 = 0^{\circ}$ है,हमें $r_1 = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
यहाँ $n = \sqrt{2}$ और $r_1 = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण '$A$' और अपवर्तन कोणों '$r_1$' तथा '$r_2$' के बीच का संबंध $A = r_1 + r_2$ होता है।
चूंकि किरण दूसरे फलक से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण '$e = 0$' होगा,जिसका अर्थ है कि दूसरा अपवर्तन कोण '$r_2 = 0$' है।
अतः,$A = r_1$।
प्रथम सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार,$n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$।
पतले प्रिज्म के लिए,कोण '$i$' और '$r_1$' बहुत छोटे होते हैं,इसलिए हम $\sin i \approx i$ और $\sin r_1 \approx r_1$ मान सकते हैं।
इस प्रकार,$n = \frac{i}{r_1}$।
$r_1 = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{i}{A}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $i = An$।

(A) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि निर्गत किरण आसन्न फलक को छूते हुए निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है।
दूसरी सतह पर अपवर्तन की स्थिति के अनुसार,$r_2 = C$,जहाँ $C$ क्रांतिक कोण है।
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu \sin r_2 = 1 \sin e \implies \sqrt{2} \sin r_2 = \sin 90^{\circ} = 1$.
अतः,$\sin r_2 = 1/\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $r_2 = 45^{\circ}$।
चूँकि $A = r_1 + r_2$,हमारे पास $60^{\circ} = r_1 + 45^{\circ}$ है,इसलिए $r_1 = 15^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $1 \sin i = \mu \sin r_1$.
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ}$.
इसलिए,$i = \sin^{-1}(\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$।

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है। दिया गया है $\delta = 1.15^{\circ}$,इसलिए $(\mu - 1)A = 1.15^{\circ}$ (समीकरण $1$)।
जब किरण पहली सतह पर लंबवत आपतित होती है,तो यह दूसरी सतह पर प्रिज्म कोण $A$ के बराबर आपतन कोण पर टकराती है। किरण दूसरी सतह पर आंतरिक रूप से परावर्तित होती है,इसलिए परावर्तन कोण $A$ होता है। यह परावर्तित किरण फिर पहली सतह पर अभिलंब के साथ $2A$ के कोण पर टकराती है। पहली सतह से बाहर निकलते समय,अपवर्तन कोण $r'$ का मान $\sin(r') = \mu \sin(2A)$ द्वारा दिया जाता है। छोटे कोणों के लिए,$r' \approx \mu(2A)$।
बाहर निकलने वाली किरण और आपतित किरण के बीच का कोण $6.3^{\circ}$ दिया गया है। बाहर निकलने वाली किरण अभिलंब के साथ $r'$ कोण बनाती है और आपतित किरण सतह के लंबवत है,इसलिए उनके बीच का कोण $r' = 6.3^{\circ}$ है।
अतः,$2\mu A = 6.3^{\circ}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर: $\frac{2\mu A}{(\mu - 1)A} = \frac{6.3}{1.15} \implies \frac{2\mu}{\mu - 1} = 5.478$.
$2\mu = 5.478\mu - 5.478 \implies 3.478\mu = 5.478 \implies \mu \approx 1.575$.

(C) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = i + e - A$ द्वारा दिया जाता है। जब प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण आधार के समानांतर होती है,तो प्रिज्म न्यूनतम विचलन की स्थिति में होता है। न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है,अर्थात $i = e$। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (n - 1)A$,जहाँ $n$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का अपवर्तक कोण है।
दिया गया है:
अपवर्तक कोण $A = 3^{\circ}$
विचलन कोण $\delta = 1^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1^{\circ} = (n - 1) \cdot 3^{\circ}$
$n - 1 = \frac{1}{3}$
$n = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$n = 1.33$
अतः,पानी का अपवर्तनांक $1.33$ है।

(C) दिया गया है: प्रिज्म का कोण $= A$,आपतन कोण $i = 2A$ है।
प्रकाश किरण के चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद अपने पथ को पुनः प्राप्त करने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत गिरना चाहिए।
माना पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ है। प्रिज्म के अंदर किरण द्वारा निर्मित त्रिभुज से,ज्यामिति के अनुसार $r = A$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 2A}{\sin A}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $(D_{m})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$D_{m} = A(n - 1)$
जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है और $n$ अपवर्तनांक है।
दिया गया है:
$A = 4^{\circ}$
$n = 1.6$
सूत्र में मान रखने पर:
$D_{m} = 4^{\circ}(1.6 - 1)$
$D_{m} = 4^{\circ}(0.6)$
$D_{m} = 2.4^{\circ}$
अतः,न्यूनतम विचलन कोण $2.4^{\circ}$ है।

(D) प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+D_m}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$ है,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है और $D_m$ न्यूनतम विचलन कोण है।
दिया गया है कि $D_m = A$,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$
$\mu = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$
$\mu = 2 \cos \frac{A}{2}$
$\frac{\mu}{2} = \cos \frac{A}{2}$
$\frac{A}{2} = \cos ^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$
$A = 2 \cos ^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$

(B) एक छोटे कोण वाले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र इस प्रकार है: $\delta = A(n - 1)$,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है और $n$ प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है।
दिया गया है:
अपवर्तनांक $n = 1.6$
विचलन कोण $\delta = 3.6^{\circ}$
सूत्र में मान रखने पर:
$3.6^{\circ} = A(1.6 - 1)$
$3.6^{\circ} = A(0.6)$
$A = \frac{3.6^{\circ}}{0.6}$
$A = 6^{\circ}$
अतः,प्रिज्म का कोण $6^{\circ}$ है।

(D) प्रिज्म का अपवर्तनांक $n$ ज्ञात करने का सूत्र: $n = \frac{\sin((A + D_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
यहाँ दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $D_m$,प्रिज्म के कोण $A$ के बराबर है,इसलिए $D_m = A$ सूत्र में रखने पर:
$1.5 = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)}$
$1.5 = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर:
$1.5 = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)}$
$1.5 = 2 \cos(A/2)$
$\cos(A/2) = 1.5 / 2 = 0.75$
दिया गया है कि $\sin(48^{\circ} 36^{\prime}) = 0.75$,इसलिए $\cos(90^{\circ} - 48^{\circ} 36^{\prime}) = 0.75$,अर्थात $\cos(41^{\circ} 24^{\prime}) = 0.75$।
अतः,$A/2 = 41^{\circ} 24^{\prime} = 41.4^{\circ}$।
इस प्रकार,$A = 2 \times 41.4^{\circ} = 82.8^{\circ}$।

(D) एक प्रिज्म के लिए,दो फलकों पर अपवर्तन कोणों का योग प्रिज्म के कोण $(A)$ के बराबर होता है:
$r + r^1 = A$
यह दिया गया है कि प्रिज्म का कोण $A = 50^{\circ}$ है और $r = 10^{\circ} + t^2$ है,इसलिए हम इन मानों को समीकरण में रख सकते हैं:
$10^{\circ} + t^2 + r^1 = 50^{\circ}$
$r^1$ के लिए हल करने पर:
$r^1 = 50^{\circ} - 10^{\circ} - t^2$
$r^1 = 40^{\circ} - t^2$

(C) दिया गया है कि प्रिज्म समबाहु है,इसलिए प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A = 60^{\circ}$ है।
प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{60^{\circ} + 60^{\circ}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$,निर्वात में प्रकाश की गति $c$ और माध्यम में प्रकाश की गति $v$ से $\mu = \frac{c}{v}$ के रूप में संबंधित है।
अतः,$v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times 10^8 \ m/s$.

(C) एक समबाहु कांच के प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
यह दिया गया है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर है,और प्रत्येक प्रिज्म के कोण का $\frac{3}{4}$ है:
$i = e = \frac{3}{4} A = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
विचलन कोण $\delta$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\delta = i + e - A$.
मान रखने पर:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
अतः,विचलन कोण $30^{\circ}$ है।

(D) दिया गया है,प्रिज्म का कोण $= A$.
प्रिज्म का अपवर्तनांक,$\mu = \cot \frac{A}{2}$.
हम जानते हैं कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में अपवर्तनांक का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\mu$ का मान रखने पर:
$\cot \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos (A/2)}{\sin (A/2)} = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin (A/2)}$
$\cos (A/2) = \sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)$
चूंकि $\cos \theta = \sin (90^{\circ} - \theta)$,इसलिए:
$\sin (90^{\circ} - A/2) = \sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)$
कोणों की तुलना करने पर:
$90^{\circ} - \frac{A}{2} = \frac{A+\delta_m}{2}$
$180^{\circ} - A = A + \delta_m$
$\delta_m = 180^{\circ} - 2A$.

(A) प्रिज्म के लिए,विचलन $D$ का सूत्र $D = (i_1 + i_2) - A$ है,जहाँ $i_1$ और $i_2$ आपतन कोण और निर्गत कोण हैं,और $A$ प्रिज्म कोण है।
दिया गया है कि $D = 44^{\circ}$ जब $i_1 = 42^{\circ}$ और $i_2 = 62^{\circ}$ है,इसलिए:
$44^{\circ} = (42^{\circ} + 62^{\circ}) - A$
$44^{\circ} = 104^{\circ} - A$
$A = 104^{\circ} - 44^{\circ} = 60^{\circ}$.
न्यूनतम विचलन $(D_m = 38^{\circ})$ की स्थिति में,आपतन कोण $i$ का सूत्र $i = \frac{A + D_m}{2}$ है।
$i = \frac{60^{\circ} + 38^{\circ}}{2} = \frac{98^{\circ}}{2} = 49^{\circ}$.

(B) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है,और अपवर्तन कोण $r_1$,$r_2 = r$ के बराबर होता है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ से,हमें प्राप्त होता है $A = 2r$,इसलिए $r = A/2 = 60^{\circ}/2 = 30^{\circ}$।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$।
यहाँ $\mu = \sqrt{2}$ और $r = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$।
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$।