Refraction Through Prism Questions in Hindi

(C) मान लीजिए $n_1$ पहली सतह के बाहर के माध्यम का अपवर्तनांक है, $n_2$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है, और $n_3$ दूसरी सतह के बाहर के माध्यम का अपवर्तनांक है।
किरण के अभिलंब की ओर मुड़ने के लिए, इसे विरल से सघन माध्यम में जाना चाहिए $(n_{\text{आपतित}} < n_{\text{अपवर्तित}})$।
किरण के अभिलंब से दूर मुड़ने के लिए, इसे सघन से विरल माध्यम में जाना चाहिए $(n_{\text{आपतित}} > n_{\text{अपवर्तित}})$।
स्थिति $(a)$ में, किरण पहली सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है $(n_1 < n_2)$ और दूसरी सतह से होकर गुजरती है, जो पूर्ण आंतरिक परावर्तन या क्रांतिक कोण की स्थिति को दर्शाती है $(n_2 > n_3)$। अतः, $n_2 > n_1$ और $n_2 > n_3$ सही है।
स्थिति $(b)$ में, किरण पहली सतह पर बिना विचलित हुए प्रवेश करती है $(n_1 = n_2)$ और दूसरी सतह पर अभिलंब से दूर मुड़ती है $(n_2 > n_3)$। यह सही है।
स्थिति $(c)$ में, किरण पहली सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है $(n_1 < n_2)$ और दूसरी सतह पर अभिलंब से दूर मुड़ती है $(n_2 > n_3)$। कथन कहता है कि $n_2 < n_1$ और $n_2 = n_3$, जो देखे गए झुकाव के विपरीत है। इसलिए, $(c)$ गलत कथन है।

(D) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta = (i + e) - A$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूनतम विचलन की स्थिति में,आपतन कोण निर्गत कोण के बराबर होता है,अर्थात $i = e$।
इस स्थिति में,प्रिज्म के अंदर प्रकाश किरण आधार के समानांतर चलती है और अपवर्तन कोण $r$ का मान $r_1 = r_2 = r$ होता है।
चूंकि $A = r_1 + r_2$,इसलिए $A = 2r$ होता है।
दिया गया प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ है,इसलिए अपवर्तन कोण $r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ होगा।
यह स्थिति प्रकाश की तरंग दैर्ध्य या रंग से स्वतंत्र है।
अतः,लाल और बैंगनी दोनों रंगों के लिए अपवर्तन कोण $30^{\circ}$ होगा।

(B) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण या अपवर्तक कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m}$ अपवर्तक कोण $A$ के बराबर है,इसलिए $\delta_{m} = A = 60^{\circ}$।
प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$।
$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$।
चूँकि $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।

(C) प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\delta_{B} - \delta_{R}}{\delta_{y}}$ है,जहाँ $\delta_{B}$ और $\delta_{R}$ नीली और लाल किरणों के लिए विचलन हैं,और $\delta_{y}$ माध्य विचलन है,जिसकी गणना $\delta_{y} = \frac{\delta_{B} + \delta_{R}}{2}$ के रूप में की जाती है।
पहले प्रिज्म के लिए:
$\delta_{B1} = 12^{\circ}$,$\delta_{R1} = 8^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{12^{\circ} + 8^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.
$\omega_{1} = \frac{12^{\circ} - 8^{\circ}}{10^{\circ}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
दूसरे प्रिज्म के लिए:
$\delta_{B2} = 14^{\circ}$,$\delta_{R2} = 10^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{14^{\circ} + 10^{\circ}}{2} = 12^{\circ}$.
$\omega_{2} = \frac{14^{\circ} - 10^{\circ}}{12^{\circ}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
विक्षेपण क्षमता का अनुपात $\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} = \frac{2/5}{1/3} = \frac{2}{5} \times 3 = \frac{6}{5}$ है।

(B) आस-पास के द्रव के सापेक्ष प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$, जहाँ $A$ अपवर्तक कोण है और $\delta_m$ न्यूनतम विचलन कोण है।
दिया गया है $A = 60^{\circ}$ और $\delta_m = 30^{\circ}$, अतः:
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$.
क्रांतिक कोण $(C)$ और अपवर्तनांक के बीच संबंध है: $\sin(C) = 1/\mu$.
$\mu$ का मान रखने पर: $\sin(C) = 1/\sqrt{2}$.
अतः, $C = 45^{\circ}$.

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
जब प्रिज्म के अंदर प्रकाश किरण आधार के समानांतर चलती है,तो किरण न्यूनतम विचलन की स्थिति में होती है,जिसका अर्थ है कि आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है,और अपवर्तन कोण $r_1$,$r_2$ के बराबर होता है।
चूंकि $r_1 + r_2 = A$,इसलिए $2r = 60^{\circ}$,जिससे $r = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
दिया गया है $\mu = \sqrt{3}$ और $r = 30^{\circ}$,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\sin i = \sqrt{3} \times 0.5 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$i = 60^{\circ}$.

(D) रजतित दूसरे फलक से परावर्तन के बाद प्रकाश किरण के अपने पथ को पुनः अनुरेखित करने के लिए, इसे दूसरे फलक पर लंबवत (सतह के साथ $90^{\circ}$ के कोण पर) आपतित होना चाहिए。
मान लीजिए $i = 60^{\circ}$ पहले फलक पर आपतन कोण है, $r_1$ पहले फलक पर अपवर्तन कोण है और $A = 30^{\circ}$ प्रिज्म का कोण है。
चूंकि किरण दूसरे फलक पर लंबवत आपतित होती है, इसलिए दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ होगा。
प्रिज्म की ज्यामिति से, हम जानते हैं कि $A = r_1 + r_2$.
मान रखने पर, $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$, इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$.
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu = \frac{\sin(i)}{\sin(r_1)}$.
मान रखने पर: $\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
$\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
अतः, प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $\sqrt{3}$ है।

(D) एक प्रिज्म में,मान लीजिए प्रिज्म का कोण $A$ है।
जब प्रकाश की किरण पहले फलक पर प्रवेश करती है,तो यह $r_1$ कोण पर अपवर्तित होती है।
जब यह दूसरे फलक पर पहुँचती है,तो यह अभिलंब के साथ $r_2$ कोण पर टकराती है।
दो अभिलंबों और प्रिज्म के दो अपवर्तक फलकों द्वारा निर्मित चतुर्भुज की ज्यामिति से,प्रिज्म के कोण $A$ और दो अभिलंबों के बीच के कोण का योग $180^{\circ}$ होता है।
साथ ही,प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण और दो अपवर्तक फलकों द्वारा निर्मित त्रिभुज में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,जिससे $A + r_1 + r_2 = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है (त्रिभुज के आंतरिक कोणों को ध्यान में रखते हुए)।
अतः,प्रिज्म के कोण और अपवर्तन कोणों के बीच का संबंध $A = r_1 + r_2$ है।

(A) जब कोई किरण प्रिज्म की एक सतह पर लंबवत आपतित होती है,तो वह बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है। मान लीजिए प्रिज्म $ABC$ है जिसका अपवर्तक कोण $A = 30^{\circ}$ है।
दूसरी सतह $AB$ पर,आपतन कोण $i$ प्रिज्म के अपवर्तक कोण के बराबर होता है,इसलिए $i = 30^{\circ}$।
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu \sin i = 1 \sin e$,जहाँ $e$ निर्गत कोण है।
$1.5 \times \sin 30^{\circ} = \sin e$
$1.5 \times 0.5 = \sin e$
$\sin e = 0.75$
दिया गया है कि $\sin 48^{\circ} 36^{\prime} = 0.75$,इसलिए $e = 48^{\circ} 36^{\prime}$।
लंबवत आपतित किरण के लिए विचलन कोण $\delta$ को $\delta = e - i$ द्वारा दिया जाता है।
$\delta = 48^{\circ} 36^{\prime} - 30^{\circ} = 18^{\circ} 36^{\prime}$।

(D) दिया गया है,आपतन कोण $i = 0^{\circ}$ है।
एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
पहली सतह पर,चूंकि किरण लंबवत आपतित होती है,इसलिए अपवर्तन कोण $r_1 = 0^{\circ}$ होगा।
संबंध $r_1 + r_2 = A$ का उपयोग करने पर,हमें $0^{\circ} + r_2 = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $r_2 = 60^{\circ}$।
प्रिज्म के लिए क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $C = 45^{\circ}$।
चूंकि दूसरी सतह पर आपतन कोण $r_2 = 60^{\circ}$,क्रांतिक कोण $C = 45^{\circ}$ से अधिक है,इसलिए प्रकाश किरण दूसरी सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है।
परावर्तन के बाद,किरण तीसरी सतह से टकराती है। तीसरी सतह पर आपतन कोण $r_3 = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$ है (त्रिभुज की ज्यामिति से)। चूंकि $60^{\circ} > 45^{\circ}$,यह फिर से पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है।
अंत में,किरण पहली सतह से लंबवत बाहर निकलती है। कुल विचलन $\delta$,आपतित किरण और निर्गत किरण के बीच का कोण है। चूंकि किरण आपतित किरण के समानांतर लेकिन विपरीत दिशा में बाहर निकलती है,इसलिए विचलन $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।

(C) प्रकाश किरण के दूसरी सतह से अपवर्तित होने के लिए,दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $(r_2)$ क्रांतिक कोण $(C)$ से कम होना चाहिए।
दूसरी सतह पर अपवर्तन के लिए शर्त $r_2 < C$ है।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए $\sin C = 1/\mu = 1/\sqrt{7/3} = \sqrt{3/7}$ होता है।
अतः,$\sin r_2 < \sqrt{3/7}$।
प्रिज्म के लिए,$r_1 + r_2 = A = 60^{\circ}$,इसलिए $r_2 = 60^{\circ} - r_1$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\sin(60^{\circ} - r_1) < \sqrt{3/7}$।
आपतन कोण $(i)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें $r_1$ का अधिकतम मान चाहिए। चूंकि $r_2 < C$ होना चाहिए,इसलिए $r_1 > 60^{\circ} - C$ होना चाहिए।
$\sin C = \sqrt{3/7} \approx 0.6546$ का उपयोग करने पर,$C \approx 40.89^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_1 > 60^{\circ} - 40.89^{\circ} = 19.11^{\circ}$।
पहली सतह पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\sin i = \mu \sin r_1 = \sqrt{7/3} \sin(19.11^{\circ}) \approx 1.5275 \times 0.3274 \approx 0.5$।
इस प्रकार,$i > 30^{\circ}$। अतः न्यूनतम कोण $30^{\circ}$ है।

(C) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A$ है।
प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin \frac{A+\delta_m}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{\sin \frac{A+A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर: $\sqrt{3} = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$.
अतः,$A = 60^{\circ}$.

(B) दिया गया है: आपतन कोण $i = 45^{\circ}$,प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$।
चूंकि किरण चांदी वाले फलक से परावर्तन के बाद अपने पथ पर वापस लौटती है,इसलिए इसे चांदी वाले फलक पर लंबवत ($90^{\circ}$ पर) टकराना चाहिए।
प्रिज्म के अंदर बनने वाले त्रिभुज से,अपवर्तन कोण $r$ के लिए: $r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$।
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(A) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति में,अपवर्तन कोण $r$ और प्रिज्म कोण $A$ के बीच संबंध $A = 2r$ होता है।
दिया गया है $r = 30^{\circ}$,इसलिए $A = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$।
प्रिज्म के पदार्थ के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ है।
दिए गए मान $\delta_m = 30^{\circ}$ और $A = 60^{\circ}$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$।
चूंकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(B) माना प्रिज्म कोण $A = 90^{\circ}$ और अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{2}$ है।
दूसरे फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए, दूसरे फलक पर आपतन कोण $r_2$ क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, जिससे $C = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः, $TIR$ के लिए $r_2 > 45^{\circ}$ होना चाहिए।
प्रिज्म की ज्यामिति के अनुसार, $r_1 + r_2 = A = 90^{\circ}$।
$r_2 > 45^{\circ}$ रखने पर, हमें $r_1 < 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\sin i = \mu \sin r_1$।
चूंकि $r_1 < 45^{\circ}$, इसलिए $\sin r_1 < \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः, $\sin i < \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$, जिसका अर्थ है $i < 90^{\circ}$।
हालाँकि, प्रकाश के प्रिज्म में प्रवेश करने और शर्त को पूरा करने के लिए, हम सीमावर्ती स्थिति देखते हैं जहाँ $r_2 = 45^{\circ}$, जिसका अर्थ है $r_1 = 45^{\circ}$।
तब $\sin i = \sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 1$, इसलिए $i = 90^{\circ}$।

(A) छोटे कोण वाले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = (\mu - 1)A$,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
कोणीय विक्षेपण $\theta$,बैंगनी और लाल प्रकाश के लिए विचलन कोणों का अंतर है: $\theta = \delta_v - \delta_r$.
विचलन का सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\theta = (\mu_v - 1)A - (\mu_r - 1)A = (\mu_v - \mu_r)A$.
दिए गए मान: $\mu_v = 1.52$,$\mu_r = 1.48$,और $A = 6^{\circ}$.
गणना: $\theta = (1.52 - 1.48) \times 6^{\circ} = 0.04 \times 6^{\circ} = 0.24^{\circ}$.
अतः,कोणीय विक्षेपण $0.24^{\circ}$ है।

(C) समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A = 60^{\circ}$ है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक $n$ का सूत्र $n = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $n = \frac{\sin((60^{\circ} + 60^{\circ}) / 2)}{\sin(60^{\circ} / 2)}$.
$n = \frac{\sin(120^{\circ} / 2)}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
चूंकि $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $n = \frac{\sqrt{3} / 2}{1 / 2} = \sqrt{3}$.
$\sqrt{3}$ का मान लगभग $1.732$ होता है।

(C) छोटे कोण वाले प्रिज्म के लिए,आपतन कोण $i$,पहले फलक पर अपवर्तन कोण $r_1$,दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण $r_2$ और निर्गत कोण $e$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$A = r_1 + r_2$
यह दिया गया है कि किरण दूसरे फलक से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 0^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $r_2 = 0^{\circ}$।
चूंकि प्रिज्म कोण $A = 6^{\circ}$ है,इसलिए $r_1 = A - r_2 = 6^{\circ} - 0^{\circ} = 6^{\circ}$।
पहले फलक पर स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r_1)$,जहाँ $n_1 = 1$ (वायु) और $n_2 = n$ (प्रिज्म का पदार्थ)।
$1 \cdot \sin(9.3^{\circ}) = n \cdot \sin(6^{\circ})$.
छोटे कोणों के लिए $\sin(\theta) \approx \theta$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{\sin(9.3^{\circ})}{\sin(6^{\circ})} \approx \frac{9.3}{6} = 1.55$.
अतः,प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक $1.55$ है।

(D) प्रिज्म के लिए,कोणों के बीच का संबंध $A + \delta = i + e$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है,$\delta$ विचलन कोण है,$i$ आपतन कोण है और $e$ निर्गत कोण है।
यह दिया गया है कि प्रिज्म समबाहु है,इसलिए प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ है।
आपतन कोण $i$ और निर्गत कोण $e$ दोनों प्रिज्म के कोण का $70 \%$ हैं।
इसलिए,$i = e = 0.70 \times 60^{\circ} = 42^{\circ}$।
इन मानों को सूत्र $A + \delta = i + e$ में रखने पर:
$60^{\circ} + \delta = 42^{\circ} + 42^{\circ}$
$60^{\circ} + \delta = 84^{\circ}$
$\delta = 84^{\circ} - 60^{\circ} = 24^{\circ}$।
अतः,विचलन कोण $24^{\circ}$ है।

(A) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ का सूत्र $\delta = A(\mu - 1)$ है,जहाँ $A$ प्रिज्म का कोण है और $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक है।
$1$. जब प्रिज्म हवा में हो:
हवा के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu_1 = \frac{3}{2}$ है।
इसलिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_1 = A(\frac{3}{2} - 1) = A(\frac{1}{2}) = \frac{A}{2}$ है।
$2$. जब प्रिज्म पानी में हो:
पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = \frac{4}{3}$ है। पानी के सापेक्ष प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu_2 = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ है।
इसलिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_2 = A(\frac{9}{8} - 1) = A(\frac{1}{8}) = \frac{A}{8}$ है।
$3$. न्यूनतम विचलन कोणों का अनुपात:
$\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{A/2}{A/8} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$ है।
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(B) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = 1.6$,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 4.2^{\circ}$।
छोटे कोण वाले प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$,अपवर्तनांक $\mu$ और प्रिज्म कोण $A$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\delta = (\mu - 1)A$।
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4.2^{\circ} = (1.6 - 1)A$
$4.2^{\circ} = (0.6)A$
$A = \frac{4.2^{\circ}}{0.6} = 7^{\circ}$।
अतः,प्रिज्म का कोण $7^{\circ}$ है।

(B) प्रिज्म से गुजरने वाली प्रकाश किरण के लिए,पहली सतह पर विचलन कोण $\theta_1 = i - r_1$ है और दूसरी सतह पर विचलन कोण $\theta_2 = e - r_2$ है।
कुल विचलन $\delta$ दोनों सतहों पर हुए विचलनों का योग है:
$\delta = \theta_1 + \theta_2$
$\delta = (i - r_1) + (e - r_2)$
$\delta = (i + e) - (r_1 + r_2)$
चूंकि प्रिज्म कोण $A = r_1 + r_2$ होता है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\delta = i + e - A$

(C) प्रिज्म संयोजन के माध्यम से विचलन रहित विक्षेपण के लिए,कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
$\delta_{net} = \delta_1 - \delta_2 = 0$
$\Rightarrow \delta_1 = \delta_2$
पतले प्रिज्मों के लिए,विचलन $\delta = A(\mu - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$A_1(\mu_1 - 1) = A_2(\mu_2 - 1)$.
दिया गया है: $A_1 = 9^{\circ}$,$\mu_1 = 1.4$,और $\mu_2 = 1.6$.
मान रखने पर:
$9^{\circ} \times (1.4 - 1) = A \times (1.6 - 1)$
$9^{\circ} \times 0.4 = A \times 0.6$
$A = \frac{9 \times 0.4}{0.6} = \frac{3.6}{0.6} = 6^{\circ}$.

(B) माना $\delta_m$ न्यूनतम विचलन कोण है और $A$ प्रिज्म का कोण है।
हम जानते हैं कि प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
दिया गया है कि $\mu = \sqrt{2}$ और $\delta_m = A$,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sqrt{2} = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin A}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{2} = \frac{2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\sqrt{2} = 2 \cos \left(\frac{A}{2}\right)$
$\cos \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूंकि $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\frac{A}{2} = 45^{\circ}$
$A = 90^{\circ}$

(C) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
$\delta - \delta^{\prime} = 0 \Rightarrow A(\mu - 1) - A^{\prime}(\mu^{\prime} - 1) = 0$
जहाँ:
$A = 6^{\circ}$ (पहले प्रिज्म का कोण)
$\mu = 1.5$ (पहले प्रिज्म का अपवर्तनांक)
$A^{\prime} = ?$ (दूसरे प्रिज्म का कोण)
$\mu^{\prime} = 1.75$ (दूसरे प्रिज्म का अपवर्तनांक)
समीकरण में मान रखने पर:
$A^{\prime}(\mu^{\prime} - 1) = A(\mu - 1)$
$A^{\prime}(1.75 - 1) = 6(1.5 - 1)$
$A^{\prime}(0.75) = 6(0.5)$
$A^{\prime} = \frac{6 \times 0.5}{0.75} = \frac{3}{0.75} = 4^{\circ}$
अतः,दूसरे प्रिज्म का कोण $4^{\circ}$ है।

(B) माना प्रिज्म का कोण $A$ है। चूंकि किरण सतह $AB$ पर लंबवत आपतित होती है,यह बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है।
चांदी की पॉलिश वाली सतह $AC$ पर,आपतन कोण $i_1$ प्रिज्म के कोण $A$ के बराबर होता है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण भी $i_1 = A$ होगा।
किरण और सतहों द्वारा बने त्रिभुज में,सतह $AB$ पर कोण $90^{\circ} - A$ है। अतः,सतह $AB$ पर दूसरे परावर्तन के समय आपतन कोण $i_2 = 90^{\circ} - (90^{\circ} - 2A) = 2A$ होता है।
अंत में,किरण आधार $BC$ से लंबवत बाहर निकलती है।
ज्यामितीय संरचना से,प्रिज्म के अंदर किरण द्वारा बने त्रिभुज के कोणों का योग $A + 2A + 2A = 180^{\circ}$ होता है।
$5A = 180^{\circ} \implies A = 36^{\circ}$.

(B) प्रिज्म के अपवर्तक कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ के पदों में प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
दिया गया है कि $\mu = \cot(A / 2) = \frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)}$,इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\cos(A / 2)}{\sin(A / 2)} = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$
दोनों पक्षों से $\sin(A / 2)$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos(A / 2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(\pi/2 - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\pi/2 - A/2) = \sin((A + \delta_m) / 2)$
कोणों की तुलना करने पर:
$\pi/2 - A/2 = (A + \delta_m) / 2$
$2$ से गुणा करने पर:
$\pi - A = A + \delta_m$
$\delta_m = \pi - 2A$

(C) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A$ है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\sqrt{3} = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3} = \frac{2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = 2 \cos(\frac{A}{2})$
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है,इसलिए:
$\frac{A}{2} = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$

(A) दो प्रिज्मों को इस प्रकार संयोजित करने पर कि विचलन रहित विक्षेपण (achromatic combination) प्राप्त हो,कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो प्रिज्मों द्वारा उत्पन्न माध्य विचलन $d$ और $d^{\prime}$ हैं।
शून्य कुल विचलन के लिए शर्त $d + d^{\prime} = 0$ है।
विक्षेपण क्षमता $\omega$ को $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\delta_y$ माध्य विचलन $(d)$ है।
इस प्रकार,कोणीय विक्षेपण $\theta = \omega d$ है।
कुल विचलन शून्य होने के लिए आवश्यक शर्त $d + d^{\prime} = 0$ है।

(B) दिया गया है: आपतन कोण $i = 45^{\circ}$,प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$।
चूंकि किरण चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद अपने पथ पर वापस लौटती है,इसलिए इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत ($90^{\circ}$ पर) गिरना चाहिए।
प्रिज्म के अंदर बनने वाले त्रिभुज में,कोण $A = 30^{\circ}$ है,चांदी वाली सतह पर कोण $90^{\circ}$ है,और पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ है।
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $(90^{\circ} - r) + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$210^{\circ} - r = 180^{\circ} \implies r = 30^{\circ}$।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$।
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(B) दिया गया है: अपवर्तक कोण $A = 60^{\circ}$,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^{\circ}$।
तरल में डूबे प्रिज्म के अपवर्तनांक के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{60^{\circ} + 30^{\circ}}{2} \right)}{\sin \left( \frac{60^{\circ}}{2} \right)} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है।
$\sin C = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$C = \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 45^{\circ}$।

(A, C) क्रांतिक कोण $\theta_{C} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$ है।
आपतित सतह $S$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर $(n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2})$:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \cdot \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 30^{\circ}$.
बिंदु $P$ पर,आपतन कोण $90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$ है। चूँकि $75^{\circ} > 45^{\circ}$,इसलिए $P$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होता है।
बिंदु $Q$ पर,आपतन कोण $15^{\circ}$ है। चूँकि $15^{\circ} < 45^{\circ}$,इसलिए $Q$ पर आंशिक परावर्तन और अपवर्तन होता है।
$R$ पर निर्गत किरण $S$ पर आपतित किरण के समानांतर है क्योंकि प्रिज्म की ज्यामिति और किरण का पथ कुल विचलन $0^{\circ}$ (या $360^{\circ}$) देता है,जिसका अर्थ है कि वे समानांतर हैं। अतः,कथन $A$ और $C$ सही हैं।

(B) प्रिज्म के लिए,विचलन कोण $\delta$ का सूत्र है: $\delta = i + e - A$,जहाँ $i$ आपतन कोण है,$e$ निर्गत कोण है और $A$ प्रिज्म कोण है।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि $\delta = 30^{\circ}$ विचलन के लिए,आपतन कोण के दो संभावित मान हैं: $i_1 = 15^{\circ}$ और $i_2 = 60^{\circ}$।
प्रकाश के उत्क्रमणीयता के सिद्धांत के अनुसार,यदि $i = 15^{\circ}$ है,तो $e = 60^{\circ}$ होगा,और यदि $i = 60^{\circ}$ है,तो $e = 15^{\circ}$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $A = i + e - \delta$।
$A = 15^{\circ} + 60^{\circ} - 30^{\circ}$।
$A = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$।
अतः,प्रिज्म कोण $45^{\circ}$ है।

(D) बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,दो प्रिज्मों के संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि प्रिज्म $P_{1}$ और $P_{2}$ के अपवर्तनांक $\mu$ और $\mu^{\prime}$ हैं और उनके प्रिज्म कोण क्रमशः $A$ और $A^{\prime}$ हैं।
विचलन न होने की शर्त $\delta + \delta^{\prime} = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $(\mu - 1)A = (\mu^{\prime} - 1)A^{\prime}$।
दिए गए मान $\mu = 1.54$,$A = 4^{\circ}$ और $A^{\prime} = 3^{\circ}$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $(1.54 - 1) \times 4^{\circ} = (\mu^{\prime} - 1) \times 3^{\circ}$।
$0.54 \times 4 = (\mu^{\prime} - 1) \times 3$।
$2.16 = (\mu^{\prime} - 1) \times 3$।
$\mu^{\prime} - 1 = \frac{2.16}{3} = 0.72$।
$\mu^{\prime} = 0.72 + 1 = 1.72$।

(B) प्रिज्म के अपवर्तनांक $n$ का सूत्र $n = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{\min}$ अपवर्तक कोण $A$ के बराबर है,इसलिए सूत्र में $\delta_{\min} = A$ रखने पर:
$n = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $n = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रिज्म का अपवर्तक कोण $A$,$0 < A < 180^{\circ}$ के बीच होता है,इसलिए $\cos(A/2)$ का मान $\cos(90^{\circ}) = 0$ और $\cos(0^{\circ}) = 1$ के बीच होता है।
अतः,$0 < \cos(A/2) < 1$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$0 < 2 \cos(A/2) < 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $0 < n < 2$.
हालाँकि,एक भौतिक प्रिज्म के लिए $A$ आमतौर पर $180^{\circ}$ से कम होता है और $n > 1$ होता है। इसलिए,$1 < n < 2$।

(A) न्यूनतम विचलन की स्थिति के लिए,आपतन कोण $i$ निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है,और अपवर्तन कोण $r$ को $r = A/2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ प्रिज्म कोण है।
निकास सतह पर,प्रकाश किरण प्रिज्म (अपवर्तनांक $n$) और कोटिंग (अपवर्तनांक $n/2$) के बीच के इंटरफेस पर टकराती है।
क्रांतिक कोण $\theta_{c}$ की स्थिति के लिए,अपवर्तन कोण $r$ को $\theta_{c}$ के बराबर होना चाहिए।
निकास सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $n \sin(r) = (n/2) \sin(90^{\circ})$.
चूंकि $\sin(90^{\circ}) = 1$,इसलिए $n \sin(r) = n/2$.
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin(r) = 1/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r = A/2$,इसलिए $\sin(A/2) = 1/2$.
अतः,$A/2 = 30^{\circ}$,जिससे $A = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(A) माना प्रिज्म $PDC$ है जिसका आधार $DC$ है। आपतित किरण आधार $DC$ के समानांतर है।
दूसरी सतह पर स्पर्श करते हुए निकलने (grazing emergence) के लिए,अपवर्तन कोण $r_2$ क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होता है।
दिया गया है $\mu = \sqrt{2}$,इसलिए $\sin r_2 = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $r_2 = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आपतित किरण आधार के समानांतर है,इसलिए पहली सतह पर आपतन कोण $i$ आधार के कोण $45^{\circ}$ के बराबर होगा।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \times \sin(45^{\circ}) = \sqrt{2} \times \sin(r_1)$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin(r_1) \implies \sin(r_1) = \frac{1}{2} \implies r_1 = 30^{\circ}$।
प्रिज्म का शीर्ष कोण $A = r_1 + r_2 = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$ होगा।
प्रिज्म द्वारा बने त्रिभुज में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$45^{\circ} + \theta + A = 180^{\circ}$।
$45^{\circ} + \theta + 75^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta + 120^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta = 60^{\circ}$।

(C) एक पतले प्रिज्म के लिए,उत्पन्न विचलन $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है।
बिना विचलन के विक्षेपण के लिए,कुल विचलन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\delta_{net} = \delta_{1} + \delta_{2} = 0$.
चूंकि प्रिज्मों को बिना विचलन के विक्षेपण उत्पन्न करने के लिए जोड़ा जाता है,इसलिए उन्हें विपरीत दिशाओं में रखा जाना चाहिए,अतः $(\mu_{1} - 1)A_{1} + (\mu_{2} - 1)A_{2} = 0$.
परिमाण लेने पर,हमारे पास $(\mu_{1} - 1)A_{1} = -(\mu_{2} - 1)A_{2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1.72 - 1) \times 5^{\circ} = -(1.9 - 1) \times A_{2}$.
$0.72 \times 5^{\circ} = -0.9 \times A_{2}$.
ऋणात्मक चिह्न दूसरे प्रिज्म के अभिविन्यास को दर्शाता है। कोण $A_{2}$ का परिमाण है:
$A_{2} = \frac{0.72 \times 5^{\circ}}{0.9} = \frac{3.6^{\circ}}{0.9} = 4^{\circ}$.

(A) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $ A = 60^{\circ} $ होता है।
जब निर्गत किरण सतह को स्पर्श करते हुए निकलती है,तो निर्गत कोण $ e = 90^{\circ} $ होता है।
दूसरी सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $ \mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(e) $.
मान रखने पर: $ \sqrt{2} \cdot \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(90^{\circ}) = 1 $.
$ \sin(r_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
अतः,$ r_2 = 45^{\circ} $.
संबंध $ A = r_1 + r_2 $ का उपयोग करने पर,हमें प्रथम सतह पर अपवर्तन कोण प्राप्त होता है:
$ r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ} $.

(D) एक समबाहु प्रिज्म में न्यूनतम विचलन की स्थिति के लिए,आपतन कोण $i$,निर्गत कोण $e$ के बराबर होता है।
संबंध इस प्रकार है: $i = e = \frac{A + \delta_m}{2}$।
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 46^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$i = \frac{60^{\circ} + 46^{\circ}}{2} = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ}$।
अतः,आपतन कोण $53^{\circ}$ है।

(A) $1$. आकृति से,आपतित किरण प्रिज्म की पहली सतह पर लंबवत पड़ती है। इसलिए,आपतन कोण $i = 0^\circ$ है,और किरण बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है।
$2$. प्रिज्म एक समकोण त्रिभुज है जिसका एक कोण $60^\circ$ है। शीर्ष पर स्थित कोण $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ होगा।
$3$. प्रिज्म के अंदर,किरण दूसरी सतह (कर्ण) से टकराती है। इस सतह पर आपतन कोण $(r_2)$ अभिलंब और किरण के बीच का कोण है। चूँकि किरण पहली सतह पर लंबवत है,इसलिए दूसरी सतह पर आपतन कोण $r_2 = 30^\circ$ होगा।
$4$. दूसरी सतह पर स्नेल के नियम को लागू करने पर: $n_1 \sin(r_2) = n_2 \sin(e)$,जहाँ $n_1 = \sqrt{3}$,$n_2 = 1$,और $r_2 = 30^\circ$.
$5$. $\sqrt{3} \sin(30^\circ) = 1 \times \sin(e)$.
$6$. $\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin(e) \implies \sin(e) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$7$. अतः,$e = 60^\circ$.

(B) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
सममित प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति में आपतन कोण $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ होता है।
$\delta_m = (\mu - 1)A$ को $i$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$i = \frac{A + (\mu - 1)A}{2} = \frac{A + \mu A - A}{2} = \frac{\mu A}{2}$.
अब,आपतन कोण $i$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m$ का अनुपात है:
$\frac{i}{\delta_m} = \frac{\mu A / 2}{(\mu - 1)A} = \frac{\mu}{2(\mu - 1)}$.
चूँकि $\mu = 1.5$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{i}{\delta_m} = \frac{1.5}{2(1.5 - 1)} = \frac{1.5}{2(0.5)} = \frac{1.5}{1} = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $3 : 2$ है।