Refraction Through Prism Questions in Gujarati

(C) ત્રિભુજાકાર પ્રિઝમ માટે,વિચલનકોણ $(\delta)$ અને આપાતકોણ $(i)$ વચ્ચેનો સંબંધ અરેખીય છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ નાના મૂલ્યથી વધે છે,તેમ વિચલનકોણ $(\delta)$ શરૂઆતમાં ઘટે છે.
તે એક ચોક્કસ આપાતકોણ પર લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે,જેને લઘુત્તમ વિચલનકોણ $(\delta_{m})$ કહેવામાં આવે છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ આ બિંદુથી આગળ વધે છે,તેમ વિચલનકોણ $(\delta)$ ફરીથી વધવાનું શરૂ કરે છે.
આ લાક્ષણિક $U$-આકારનો વક્ર આલેખ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(D) ધારો કે સપાટી $AB$ પર આપાતકોણ $\theta$ છે અને વક્રીભૂતકોણ $r_1$ છે. સપાટી $AC$ પર,આપાતકોણ $r_2$ અને નિર્ગમનકોણ $e$ છે.
કિરણ સપાટી $AC$ માંથી બહાર નીકળે તે માટે,આપાતકોણ $r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે.
આમ,$r_2 < C$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 < \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right)$.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$r_1 + r_2 = A$,તેથી $r_1 = A - r_2$.
$r_2 < C$ હોવાથી,આપણને $r_1 > A - C$ મળે,અથવા $r_1 > A - \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right)$.
સપાટી $AB$ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sin \theta = \mu \sin r_1$.
સાઇન વિધેય $[0, \pi/2]$ અંતરાલમાં વધતું હોવાથી,$r_1 > A - C$ નો અર્થ છે કે $\sin r_1 > \sin(A - C)$.
તેથી,$\sin \theta = \mu \sin r_1 > \mu \sin(A - C)$.
$C = \sin^{-1}(1/\mu)$ મૂકતા,આપણને $\sin \theta > \mu \sin(A - \sin^{-1}(1/\mu))$ મળે છે.
આમ,$\theta > \sin^{-1}\left[ \mu \sin\left( A - \sin^{-1}\left( \frac{1}{\mu} \right) \right) \right]$.

(C) આપણે પ્રિઝમ માટેનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $i + e - A = \delta$.
અહીં $i = 35^o$,$e = 79^o$,અને $\delta = 40^o$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $35^o + 79^o - A = 40^o$.
$114^o - A = 40^o \implies A = 74^o$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
અહીં $\delta_m$ એ લઘુત્તમ વિચલન છે,તેથી $\delta_m \le \delta = 40^o$.
તેથી,$\mu = \frac{\sin((74^o + \delta_m)/2)}{\sin(37^o)}$.
$\sin(37^o) \approx 0.6$ હોવાથી,$\mu = \frac{\sin(37^o + \delta_m/2)}{0.6}$.
જો $\delta_m = 40^o$ લઈએ,તો $\mu = \frac{\sin(57^o)}{0.6} \approx \frac{0.838}{0.6} \approx 1.397$.
આમ,આપેલા વિકલ્પોમાંથી $1.5$ એ ગણતરી કરેલ મૂલ્યની સૌથી નજીક છે.

(A) $1$. પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમમાં લંબ રૂપે પ્રવેશે છે,તેથી તે વિચલિત થયા વગર ઉભી સપાટી પર પહોંચે છે.
$2$. ઉભી સપાટી પર આપાતકોણ $i = \theta = 37^o$ છે.
$3$. પ્રિઝમ-હવા આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ $C$ એ $sinC = 1/\mu = 1/(5/3) = 3/5$ દ્વારા મળે છે.
$4$. કારણ કે $sin37^o = 3/5$ છે,તેથી આપાતકોણ $i = C$ થાય. આમ,કિરણ ઉભી સપાટીને સ્પર્શીને બહાર નીકળે છે.
$5$. ઉભી સપાટી પર કિરણનું વિચલન $90^o - i = 90^o - 37^o = 53^o$ થાય છે.
$6$. બહાર નીકળ્યા પછી,કુલ વિચલન $53^o$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વિચલન કોણ $(\delta)$ એ આપાતકોણ $(i)$ પર આધાર રાખે છે.
જો આપણે પ્રાયોગિક રીતે અલગ-અલગ આપાતકોણ માટે વિચલન કોણ નક્કી કરીએ અને પછી $x$-અક્ષ પર $i$ અને $y$-અક્ષ પર $\delta$ ને આલેખીએ,તો આપણને એક લાક્ષણિક વક્ર મળે છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ ને નાના મૂલ્યથી ક્રમશઃ વધારવામાં આવે છે,તેમ વિચલન કોણ $(\delta)$ પહેલા ઘટે છે,એક ચોક્કસ આપાતકોણ માટે લઘુત્તમ મૂલ્ય $(\delta_m)$ પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ વધવાનું શરૂ કરે છે.
આ વર્તણૂક એક પેરાબોલિક જેવા વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં લઘુત્તમ વિચલન એક ચોક્કસ આપાતકોણ પર થાય છે,જે ઉકેલની છબીમાં દર્શાવેલ છે.

(A) પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\mu = 1.5$ અને $A = \frac{4}{\pi}$ ડિગ્રી આપેલ છે.
પ્રથમ,ખૂણા $A$ ને રેડિયનમાં ફેરવો: $A = \left( \frac{4}{\pi} \right) \times \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{1}{45} \, rad$.
હવે,વિચલન ગણો: $\delta = (1.5 - 1) \times \frac{1}{45} = 0.5 \times \frac{1}{45} = \frac{1}{90} \, rad$.
પ્રિઝમમાંથી પસાર થયા પછી,પ્રકાશના કિરણો $\delta$ ખૂણે વિચલિત થાય છે અને ત્યારબાદ $f = 60 \ cm$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થાય છે.
કિરણપુંજનું અભિસરણ બિંદુ (કેન્દ્ર) લેન્સથી વિચલિત માર્ગ પર $f$ અંતરે હશે.
મુખ્ય અક્ષથી શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = f \times \delta = 60 \times \frac{1}{90} = \frac{2}{3} \, cm$ થશે.
આમ,અભિસરણ બિંદુના યામ $\left( 60 \ cm, \frac{2}{3} \ cm \right)$ છે.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta$ એ $\delta = A(\mu - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે સંયોજન કોઈ ચોખ્ખું વિચલન ઉત્પન્ન કરતું નથી,તેથી પ્રિઝમ $P_1$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિચલન પ્રિઝમ $P_2$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિચલન જેટલું અને વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $A_1 = 4^o$,$\mu_1 = 1.54$ અને $A_2 = ?$,$\mu_2 = 1.72$.
કોઈ વિચલન ન થવાની શરત $\delta_1 + \delta_2 = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $A_1(\mu_1 - 1) + A_2(\mu_2 - 1) = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $4(1.54 - 1) + A_2(1.72 - 1) = 0$.
$4(0.54) + A_2(0.72) = 0$.
$2.16 + A_2(0.72) = 0$.
$A_2 = -2.16 / 0.72 = -3^o$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રિઝમ $P_2$ ને $P_1$ ની સાપેક્ષમાં ઉલટો રાખવો જોઈએ. ખૂણાનું મૂલ્ય $3^o$ છે.

(C) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$,પ્રિઝમ કોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $D_m$ વચ્ચેના સંબંધો નીચે મુજબ છે:
$1$. $i = \frac{A + D_m}{2}$
$2$. $r = \frac{A}{2}$
અહીં વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$ અને આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ આપેલ છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} \implies \sqrt{2} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin r} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin r}$.
તેથી,$\sin r = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $r = 30^{\circ}$.
કારણ કે $r = \frac{A}{2}$,તેથી $A = 2r = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
હવે,$i = \frac{A + D_m}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $45^{\circ} = \frac{60^{\circ} + D_m}{2}$.
$90^{\circ} = 60^{\circ} + D_m \implies D_m = 30^{\circ}$.
આમ,$A = 60^{\circ}$ અને $D_m = 30^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 30^{\circ}$,વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$.
કિરણ એક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,આપાતકોણ $i_1 = 0^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_1 = 0^{\circ}$ છે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $30^{\circ} = 0^{\circ} + r_2$ મળે છે,તેથી $r_2 = 30^{\circ}$.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin r_2 = 1 \sin e$,જ્યાં $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે.
$\sqrt{2} \sin 30^{\circ} = \sin e \Rightarrow \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \sin e \Rightarrow \sin e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$e = 45^{\circ}$.
વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = (i_1 + e) - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\delta = (0^{\circ} + 45^{\circ}) - 30^{\circ} = 15^{\circ}$.

(B) ડાયરેક્ટ વિઝન સ્પેક્ટ્રોસ્કોપ માટે,બે પ્રિઝમના સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $A_1$ અને $A_2$ એ ક્રાઉન અને ફ્લિન્ટ ગ્લાસ પ્રિઝમના ખૂણા છે,અને $\mu_1$ અને $\mu_2$ તેમના સંબંધિત વક્રીભવનાંક છે.
શૂન્ય કુલ વિચલન માટેની શરત છે: $(\mu_1 - 1)A_1 + (\mu_2 - 1)A_2 = 0$.
પ્રિઝમ વિરુદ્ધ દિશામાં વિચલન ઉત્પન્ન કરવા માટે ગોઠવાયેલા હોવાથી,આપણી પાસે છે: $(\mu_1 - 1)A_1 = (\mu_2 - 1)A_2$.
આપેલ છે: $A_1 = 9^{\circ}$,$\mu_1 = 1.40$,અને $\mu_2 = 1.60$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.40 - 1) \times 9^{\circ} = (1.60 - 1) \times A_2$.
$0.40 \times 9^{\circ} = 0.60 \times A_2$.
$3.6^{\circ} = 0.60 \times A_2$.
$A_2 = \frac{3.6}{0.6} = 6^{\circ}$.

(C) પ્રિઝમ માટે,વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો હોય છે,અને વક્રીભૂતકોણ $r_1 = r_2 = A/2$ થાય છે.
આમ,આપાતકોણ $i = (A + \delta_m)/2$ દ્વારા મળે છે.
આ કિંમતને વક્રીભવનાંકના સૂત્રમાં મૂકતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$.
અહીં $\mu = \sqrt{2}$ અને $A = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી: $\sin i = \sqrt{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i = \sin^{-1}(1/\sqrt{2}) = 45^{\circ}$.

(A) પ્રિઝમ માટે,વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે અને $A$ એ લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં પ્રિઝમનો પ્રિઝમકોણ છે.
આપેલ છે: $\mu = \sqrt{2}$ અને $A = 60^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(30^{\circ})}$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ અથવા $1/2$ છે:
$\sin i = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$i = \arcsin(1/\sqrt{2}) = 45^{\circ}$.

(D) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\delta = (\mu - 1)A$,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવન કોણ છે.
આપેલ છે:
વક્રીભવન કોણ $A = 2^o$
વિચલન કોણ $\delta = 1^o$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1^o = (\mu - 1) \times 2^o$
$0.5 = \mu - 1$
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$
તેથી,પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $1.5$ છે.

(A) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ એ $A = r_1 + r_2$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_1$ અને $r_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજી સપાટી પરના વક્રીભવનકોણ છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમમાંથી સંમિત રીતે પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $r_1 = r_2 = r$.
તેથી,સંબંધ $A = 2r$ બને છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે,તેથી $60^{\circ} = 2r$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ મળે છે.
આમ,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(B) પીળા કિરણ માટે કુલ વિચલન એ ત્રણેય પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા વિચલનોનો સરવાળો છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
આકૃતિ પરથી,આપણી પાસે $A$ ખૂણાવાળા બે ક્રાઉન ગ્લાસ પ્રિઝમ અને ઉલટી સ્થિતિમાં $A'$ ખૂણાવાળો એક ફ્લિન્ટ ગ્લાસ પ્રિઝમ છે.
તેથી,કુલ વિચલન:
$(\delta_y)_{\text{net}} = \delta_{y1} + \delta_{y2} + \delta_{y3} = 0$
$(\mu_y - 1)A + (\mu_y' - 1)(-A') + (\mu_y - 1)A = 0$
$2(\mu_y - 1)A = (\mu_y' - 1)A'$
$\frac{A'}{A} = \frac{2(\mu_y - 1)}{(\mu_y' - 1)}$

(A) માધ્યમમાં મૂકવામાં આવેલા પ્રિઝમ માટે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{m}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_{p}}{\mu_{m}} = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$
જ્યાં $\mu_{p} = 1.53$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે,$\mu_{m} = 1.33$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે,અને $A = 60^{\circ}$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.53}{1.33} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_{m})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$
$\frac{1.53}{1.33} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_{m})/2)}{\sin(30^{\circ})}$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,તેથી:
$\sin((60^{\circ} + \delta_{m})/2) = 0.5 \times \frac{1.53}{1.33} \approx 0.575$
આપેલ છે કે $\sin(35.1^{\circ}) = 0.575$,તેથી ખૂણાઓને સરખાવતા:
$(60^{\circ} + \delta_{m})/2 = 35.1^{\circ}$
$60^{\circ} + \delta_{m} = 70.2^{\circ}$
$\delta_{m} = 70.2^{\circ} - 60^{\circ} = 10.2^{\circ}$

(A) આપેલ છે: પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^o$.
આકૃતિ પરથી,પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $i = 30^o$ છે.
નિર્ગમન કિરણ $RS$ બીજી સપાટીને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે નિર્ગમન કોણ $e = 0^o$ છે.
તેથી,બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0^o$ છે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $30^o = r_1 + 0^o$ મળે છે,તેથી $r_1 = 30^o$.
વિચલન કોણ $\delta$ એ સૂત્ર $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\delta = 30^o + 0^o - 30^o = 0^o$.

(B) ધારો કે પ્રિઝમ $ABC$ છે જેનો પાયો $BC$ છે. પાયાના ખૂણા $\theta$ છે. ટોચનો ખૂણો $180^{\circ} - 2\theta$ છે.
જ્યારે કિરણ એક બાજુ પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે.
તે ચાંદીવાળી સપાટી પર $i = 180^{\circ} - 2\theta - 90^{\circ} = 90^{\circ} - 2\theta$ ના ખૂણે આપાત થાય છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન કોણ પણ $90^{\circ} - 2\theta$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી સાથે $90^{\circ} - (90^{\circ} - 2\theta) = 2\theta$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કિરણ અને પ્રિઝમની બાજુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,સમાન સપાટી પર બીજા પરાવર્તનના બિંદુએ ખૂણો $180^{\circ} - 2\theta - 2\theta = 180^{\circ} - 4\theta$ છે.
અંતે,કિરણ પાયા પર $90^{\circ}$ ના ખૂણે અથડાય છે. ભૂમિતિ મુજબ,પાયા પર પ્રિઝમની અંદરનો ખૂણો $90^{\circ} - \theta$ છે.
કિરણના માર્ગ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો: $(90^{\circ} - 2\theta) + (180^{\circ} - 4\theta) + (90^{\circ} - \theta) = 180^{\circ}$.
$360^{\circ} - 7\theta = 180^{\circ} \Rightarrow 7\theta = 180^{\circ} \Rightarrow \theta = 25.7^{\circ}$.
જો કે,આપેલી આકૃતિની ભૂમિતિ મુજબ જ્યાં કિરણ પાયાને લંબ રૂપે બહાર નીકળે છે,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો સંબંધ $5\theta = 180^{\circ}$ છે,જે ઉકેલતા $\theta = 36^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,
ફ્લિન્ટ ગ્લાસનો વક્રીભવનાંક,$\mu_{f} = 1.620$
ક્રાઉન ગ્લાસનો વક્રીભવનાંક,$\mu_{c} = 1.518$
ફ્લિન્ટ પ્રિઝમનો વક્રીભૂત કોણ,$A_{f} = 6.0^{\circ}$
સરેરાશ કિરણના શૂન્ય કુલ વિચલન માટે,ફ્લિન્ટ પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન ક્રાઉન પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિચલન જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
વિચલન માટેનું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
તેથી,$(\mu_{f} - 1)A_{f} = (\mu_{c} - 1)A_{c}$.
કિંમતો મૂકતા:
$(1.620 - 1) \times 6.0^{\circ} = (1.518 - 1) \times A_{c}$
$0.620 \times 6.0^{\circ} = 0.518 \times A_{c}$
$A_{c} = \frac{0.620 \times 6.0}{0.518} = \frac{3.72}{0.518} \approx 7.18^{\circ} \approx 7.2^{\circ}$.
તેથી,ક્રાઉન પ્રિઝમનો વક્રીભૂત કોણ $7.2^{\circ}$ છે.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણીય પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{3}$ છે.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{3} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)}{\sin(30^{\circ})}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,તેથી $\sqrt{3} \times 0.5 = \sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $(60^{\circ} + \delta_m)/2 = 60^{\circ}$.
$60^{\circ} + \delta_m = 120^{\circ}$.
$\delta_m = 60^{\circ}$.

(A) વિચલન કોણ $\delta$,આપાતકોણ $i$,નિર્ગમન કોણ $e$ અને પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\delta = i + e - A$
આપેલ કિંમતો:
પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^o$
આપાતકોણ $i = 60^o$
વિચલન કોણ $\delta = 30^o$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$30^o = 60^o + e - 30^o$
$30^o = 30^o + e$
$e = 30^o - 30^o$
$e = 0^o$
તેથી,નિર્ગમન કોણ $0^o$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રિઝમનો કોણ,$A = 30^o$,આપાતકોણ,$i = 60^o$,વિચલન કોણ,$\delta = 30^o$.
વિચલન માટે પ્રિઝમનું સૂત્ર વાપરતા: $\delta = i + e - A$.
કિંમતો મૂકતા: $30^o = 60^o + e - 30^o$.
નિર્ગમન કોણ $e$ માટે ઉકેલતા: $e = 30^o + 30^o - 60^o = 0^o$.
અહીં નિર્ગમન કોણ $e = 0^o$ હોવાથી,નિર્ગમન કિરણ પ્રિઝમની બીજી સપાટીને લંબ (perpendicular) છે.
તેથી,નિર્ગમન કિરણ પ્રિઝમની બીજી સપાટી સાથે $90^o$ નો ખૂણો બનાવશે.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $D_m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$D_m = (n - 1)A$
જ્યાં $n$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે છે તેમ વક્રીભવનાંક $n$ ઘટે છે (કોશીનું વિક્ષેપન સૂત્ર: $n(\lambda) = a + b/\lambda^2 + ...$).
કારણ કે $D_m$ એ $(n - 1)$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી જેમ $\lambda$ વધવાની સાથે $n$ ઘટે છે,તેમ $D_m$ પણ $\lambda$ વધવાની સાથે ઘટવો જોઈએ.
તેથી,$D_m$ વિરુદ્ધ $\lambda$ નો આલેખ ઘટતો ટ્રેન્ડ દર્શાવવો જોઈએ,જે પ્રથમ આલેખ (આલેખ $A$) ને અનુરૂપ છે.

(C) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની શરત $i = e$ અને $r_1 = r_2 = r$ છે.
પ્રિઝમ સમબાજુ હોવાથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $60^{\circ} = 2r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r_1$.
અહીં $n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = \sqrt{3}$ (પ્રિઝમ) આપેલ છે,તેથી $\sin i = \sqrt{3} \sin 30^{\circ}$.
$\sin 30^{\circ} = 0.5$ હોવાથી,આપણને $\sin i = \sqrt{3} \times 0.5 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી,$i = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^{\circ}$.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય,ત્યારે આપાતકોણ $i = 0^{\circ}$ હોય,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂતકોણ $r_{1} = 0^{\circ}$ થાય.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
સંબંધ $A = r_{1} + r_{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $60^{\circ} = 0^{\circ} + r_{2}$,તેથી $r_{2} = 60^{\circ}$.
કિરણ બીજી સપાટી પરથી ઘસાઈને બહાર નીકળે છે,જેનો અર્થ છે કે નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ}$ છે.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin r_{2} = 1 \sin e$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu \sin 60^{\circ} = \sin 90^{\circ}$.
$\mu \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.
તેથી,$\mu = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(C) આપેલ આલેખ પરથી,લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m = 30^{\circ}$ છે જે $i = 60^{\circ}$ ના આપાતકોણ પર મળે છે.
પ્રિઝમ માટે,$\delta_m = 2i - A$ થાય.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,$i = e$ હોય,તેથી $r_1 = r_2 = r = A/2$ થાય.
અહીં $\delta_m = 30^{\circ}$ અને $i = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $30^{\circ} = 2(60^{\circ}) - A$,જે પરથી $A = 120^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$ મળે.
તેથી $r = A/2 = 45^{\circ}$ થાય.
વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin(i)}{\sin(r)}$ છે.
તેથી $\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.

(C) જ્યારે કિરણ ચાંદીની સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પોતાનો માર્ગ પાછો ફરે છે,ત્યારે તે ચાંદીની સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
તેથી,બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_{2} = 0^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમના સંબંધ મુજબ,$A = r_{1} + r_{2}$. આપેલ છે કે $A = 30^{\circ}$ અને $r_{2} = 0^{\circ}$,તેથી આપણને $r_{1} = 30^{\circ}$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_{1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$i = 45^{\circ}$.

(D) આપેલ છે: પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$,વક્રીભવનાંક $\mu = 1.732 = \sqrt{3}$.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin(\frac{\delta_m + A}{2})}{\sin(A/2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = \frac{\sin(\frac{\delta_m + 60^\circ}{2})}{\sin(30^\circ)}$.
$\sin(30^\circ) = 0.5$ હોવાથી,$\sqrt{3} \times 0.5 = \sin(\frac{\delta_m + 60^\circ}{2}) \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\delta_m + 60^\circ}{2})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{\delta_m + 60^\circ}{2} = 60^\circ$.
$\delta_m + 60^\circ = 120^\circ \Rightarrow \delta_m = 60^\circ$.
લઘુત્તમ વિચલન માટે,આપાતકોણ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{\delta_m + A}{2}$ છે.
$i = \frac{60^\circ + 60^\circ}{2} = 60^\circ$.
આમ,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $60^\circ$ છે અને આપાતકોણ $60^\circ$ છે.

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર: $\delta = (\mu_{rel} - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu_{rel}$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો પ્રિઝમકોણ છે.
હવામાં,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_m = 1$ છે. તેથી,$\mu_{rel} = \mu_p / \mu_m = (3/2) / 1 = 3/2$.
હવામાં લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_1 = (3/2 - 1)A = A/2$ થાય.
પ્રવાહીમાં,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu_m = 9/7$ છે. તેથી,$\mu_{rel} = \mu_p / \mu_m = (3/2) / (9/7) = (3/2) \times (7/9) = 7/6$.
પ્રવાહીમાં લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_2 = (7/6 - 1)A = A/6$ થાય.
હવામાં અને પ્રવાહીમાં લઘુત્તમ વિચલન કોણનો ગુણોત્તર $\delta_1 / \delta_2 = (A/2) / (A/6) = 6/2 = 3$ મળે.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ નું સૂત્ર $\delta_m = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વક્રીભવન કોણ $r$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = 2r$ છે (કારણ કે લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં $r_1 = r_2 = r$,તેથી $A = r_1 + r_2 = 2r$).
$A$ ની કિંમત વિચલનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\delta_m = (\mu - 1)(2r)$.
અહીં વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ આપેલ છે:
$\delta_m = (1.5 - 1)(2r) = (0.5)(2r) = r$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\delta_m = r$ છે.

(A) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
જ્યારે પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ પાયાને સમાંતર હોય,ત્યારે લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિ સંતોષાય છે.
આ સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો હોય છે અને વક્રીભવનકોણ સમાન હોય છે,એટલે કે $r_{1} = r_{2} = r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_{1} + r_{2} = A$,તેથી $2r = 60^{\circ}$,જે $r = 30^{\circ}$ આપે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_{1} \sin i = n_{2} \sin r$
$1 \times \sin 45^{\circ} = \mu \times \sin 30^{\circ}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \times \frac{1}{2}$
$\mu = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
આમ,વક્રીભવનાંક આશરે $1.41$ છે.

(D) પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu_{rel} - 1)A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_{rel}$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
જ્યારે પ્રિઝમ હવામાં હોય,ત્યારે વિચલન $\delta_{air} = (_a\mu_g - 1)A = (3/2 - 1)A = (1/2)A$ થાય.
જ્યારે પ્રિઝમ પાણીમાં હોય,ત્યારે પાણીની સાપેક્ષમાં કાચનો વક્રીભવનાંક $_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = 9/8$ થાય.
પાણીમાં વિચલન $\delta_{water} = (_w\mu_g - 1)A = (9/8 - 1)A = (1/8)A$ થાય.
વિચલનનો ગુણોત્તર $\frac{\delta_{air}}{\delta_{water}} = \frac{(1/2)A}{(1/8)A} = \frac{1/2}{1/8} = 4/1 = 4:1$ મળે છે.

(B) પ્રિઝમ માટે વિચલનનું સૂત્ર $\delta = i + e - A$ છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે,$e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
આપેલ છે કે $i = 42^\circ$ અને $i = 62^\circ$ માટે વિચલન $\delta = 44^\circ$ છે. પ્રિઝમ માટે,જો બે અલગ-અલગ આપાતકોણ માટે વિચલન સમાન હોય,તો $e_1 = i_2$ અને $e_2 = i_1$ થાય.
તેથી,$44^\circ = 42^\circ + 62^\circ - A$.
$44^\circ = 104^\circ - A \Rightarrow A = 60^\circ$.
લઘુત્તમ વિચલન માટે,શરત $i = e$ છે અને સૂત્ર $\delta_{min} = 2i - A$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $38^\circ = 2i - 60^\circ$.
$2i = 98^\circ \Rightarrow i = 49^\circ$.

(B) આકૃતિ પરથી,પ્રિઝમ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^\circ$ અને $AB = BC$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = \angle C = 45^\circ$ થાય.
કિરણ સપાટી $AC$ પર એવી રીતે આપાત થાય છે કે તે સપાટી $BC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,સપાટી $BC$ પર આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
ભૂમિતિ પરથી,સપાટી $BC$ પર આપાતકોણ $45^\circ$ છે. તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપણી પાસે $i \ge \theta_C$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $45^\circ \ge \theta_C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\sin 45^\circ \ge \frac{1}{\mu}$ થાય.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \ge \frac{1}{\mu} \implies \mu \ge \sqrt{2}$.
તેથી,લઘુત્તમ વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$ છે.

(C) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $(\omega)$ એ કોણીય વિભાજન અને સરેરાશ વિચલનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર: $\omega = \frac{\mu_v - \mu_R}{\mu_y - 1}$ છે.
આ ગુણધર્મ સંપૂર્ણપણે પ્રિઝમના દ્રવ્ય પર આધાર રાખે છે અને પ્રિઝમના વક્રીભૂત કોણથી સ્વતંત્ર છે.
બંને પ્રિઝમ સમાન દ્રવ્ય (ફ્લિન્ટ ગ્લાસ) ના બનેલા હોવાથી, તેમની વિભાજન શક્તિ સમાન હશે.
તેથી, તેમની વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $1 : 1$ થશે.

(A) પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
પ્રિઝમની અંદર કિરણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,ચાંદીવાળી સપાટી પરનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે અને પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ છે. તેથી,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r = 90^{\circ} - A$ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot sin(i) = \mu \cdot sin(r)$
અહીં $i = 2A$ અને $r = 90^{\circ} - A$ આપેલ છે,તેથી:
$sin(2A) = \mu \cdot sin(90^{\circ} - A)$
$sin(2A) = \mu \cdot cos(A)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $sin(2A) = 2\,sin(A)\,cos(A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\,sin(A)\,cos(A) = \mu \cdot cos(A)$
બંને બાજુ $cos(A)$ વડે ભાગતા ($A \neq 90^{\circ}$ ધારીને):
$\mu = 2\,sin(A)$

(A) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$,પ્રિઝમ કોણ $A = 30^{\circ}$,વિચલન કોણ $\delta = 30^{\circ}$.
પ્રિઝમમાં વિચલન માટેનું સૂત્ર: $\delta = (i + e) - A$.
કિંમતો મૂકતા: $30^{\circ} = (60^{\circ} + e) - 30^{\circ}$.
$30^{\circ} = 30^{\circ} + e \implies e = 0^{\circ}$.
નિર્ગમન કિરણ બીજી સપાટીને લંબ હોવાથી $(e = 0^{\circ})$,બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0^{\circ}$ થશે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ પરથી,$r_1 = A - r_2 = 30^{\circ} - 0^{\circ} = 30^{\circ}$ મળે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $1 \times \sin(i) = \mu \times \sin(r_1)$.
$\sin(60^{\circ}) = \mu \times \sin(30^{\circ})$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \mu \times \frac{1}{2}$.
$\mu = \sqrt{3} \approx 1.732$.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમ કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
પ્રકાશનું કિરણ એક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,આપાતકોણ $i = 0^{\circ}$ છે.
કિરણ પ્રિઝમમાં વિચલિત થયા વગર પ્રવેશે છે અને બીજી સપાટી પર પ્રિઝમ કોણ જેટલા આપાતકોણે અથડાય છે,તેથી $i' = 60^{\circ}$.
આપણે બીજી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટે તપાસ કરીએ: ક્રાંતિકોણ $C$ એ $\sin C = 1/\mu = 1/1.5 = 2/3$ દ્વારા મળે છે. $\sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2 \approx 0.866$ અને $2/3 \approx 0.667$ હોવાથી,$\sin 60^{\circ} > \sin C$ થાય છે,તેથી $TIR$ થાય છે.
કિરણ બીજી સપાટી પર પરાવર્તિત થાય છે અને પાયા પર લંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે અથડાય છે,અને વક્રીભવન કોણ $r$ સાથે બહાર આવે છે જ્યાં $1 \cdot \sin r = 1.5 \cdot \sin 30^{\circ} = 0.75$. આમ $r = \arcsin(0.75) \approx 48.6^{\circ}$.
જોકે,આ પ્રકારના પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોમાં,વિચલન $\delta$ એ આપાત કિરણ અને અંતિમ નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કિરણ પ્રથમ સપાટી પર $60^{\circ}$ વળે છે (કોઈ વિચલન નથી),પછી બીજી સપાટી પર પરાવર્તિત થાય છે (પરાવર્તન કોણ = આપાતકોણ = $60^{\circ}$),જેનાથી તે $180^{\circ} - 2(60^{\circ}) = 60^{\circ}$ જેટલું વળે છે. કુલ વિચલન $30^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{m}$ એ પ્રિઝમના વક્રીભવન કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી $\delta_{m} = A$.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
સૂત્રમાં $\delta_{m} = A$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$.
અહીં $\mu = \sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી:
$\sqrt{3} = 2 \cos(A/2)$
$\cos(A/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$A/2 = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$.

(B) જ્યારે પ્રિઝમની અંદરનું કિરણ પાયાને સમાંતર હોય,ત્યારે પ્રિઝમ લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં હોય છે.
આ કિસ્સામાં,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે,અને વક્રીભવન કોણ $r_1 = r_2 = r = A/2$ થાય છે.
પ્રિઝમ સમબાજુ હોવાથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^o$ છે.
તેથી,વક્રીભવન કોણ $r = 60^o / 2 = 30^o$ થાય.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
લઘુત્તમ વિચલન માટે,અંદરનું કિરણ પાયાને સમાંતર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $i = e = (A + \delta_m) / 2$.
જ્યારે કિરણ પાયાને સમાંતર હોય ત્યારે વક્રીભવનાંક $\mu$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $i = 60^o$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\mu = \frac{\sin 60^o}{\sin 30^o} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(C) નાના ખૂણાવાળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને $\delta = A\mu - A$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \delta$ અને $x = \mu$ છે:
$1$. ઢાળ $m = A$.
$2$. અંતઃખંડ $c = -A$.
બિંદુ $P$ પર,વિચલન $\delta = 0$ છે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = (\mu - 1)A$. કારણ કે $A \neq 0$,આપણને $\mu - 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\mu = 1$. આમ,બિંદુ $P$ એ $\mu = 1$ ને અનુરૂપ છે.
ઢાળ $A$ હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) પ્રિઝમ માટે,વિચલનકોણ $\delta$ નું સૂત્ર: $\delta = i + e - A$ છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમ સમબાજુ છે,તેથી પ્રિઝમકોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો છે અને $e = \frac{3}{4} A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $i = e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
હવે,આ કિંમતોને વિચલનકોણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ}$.
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(C) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
જ્યારે કિરણ એક સપાટી પર સ્પર્શક રીતે આપાત થાય છે,ત્યારે આપાતકોણ $i_1 = 90^{\circ}$ છે.
જ્યારે તે બીજી સપાટી પરથી સ્પર્શક રીતે બહાર નીકળે છે,ત્યારે નિર્ગમન કોણ $i_2 = 90^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમના સૂત્ર મુજબ,$r_1 + r_2 = A$. કિરણ સંમિત હોવાથી,$r_1 = r_2 = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin i_1}{\sin r_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{0.5} = 2$.

(B) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$.
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલનનો કોણ $\delta_m$ એ વક્રીભવનકારક કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી $\delta_m = A$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$.
પ્રિઝમનો વક્રીભવનકારક કોણ $A$ સામાન્ય રીતે $0^\circ < A < 90^\circ$ ની વચ્ચે હોય છે,તેથી $\mu$ નો વિસ્તાર:
જો $A \to 0^\circ$,તો $\mu \to 2 \cos(0) = 2$.
જો $A \to 90^\circ$,તો $\mu \to 2 \cos(45^\circ) = 2(1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.
તેથી,વક્રીભવનાંક $\sqrt{2}$ અને $2$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.

(A) વિચલન વગરના વિભાજન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વિચલન વગરના વિભાજન માટેની શરત $\delta_1 + \delta_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
તેથી,$(\mu_1 - 1)A_1 + (\mu_2 - 1)A_2 = 0$.
અહીં $A_1 = 6^{\circ}$,$\mu_1 = 1.54$,અને $\mu_2 = 1.72$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1.54 - 1) \times 6^{\circ} + (1.72 - 1) \times A_2 = 0$.
$0.54 \times 6^{\circ} + 0.72 \times A_2 = 0$.
$3.24^{\circ} + 0.72 \times A_2 = 0$.
$A_2 = -\frac{3.24}{0.72} = -4.5^{\circ}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રિઝમ $P_2$ ને $P_1$ ની સાપેક્ષ ઉલટો રાખવો જોઈએ. ખૂણાનું મૂલ્ય $4.5^{\circ}$ છે,જે $4^{\circ} 30^{\prime}$ થાય છે.

(B) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની શરત એ છે કે આપાતકોણ $(i)$ એ નિર્ગમન કોણ $(e)$ ની બરાબર હોવો જોઈએ.
સમબાજુ પ્રિઝમમાં,આ સંમિતિ સૂચવે છે કે પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ $(QR)$ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર હોવું જોઈએ.
પ્રિઝમ સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,પ્રિઝમનો પાયો સમક્ષિતિજ છે.
તેથી,લઘુત્તમ વિચલન માટે,પ્રિઝમની અંદરનું કિરણ $QR$ સમક્ષિતિજ હોવું જોઈએ.

(A) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ વિચલન $\delta$ (જ્યાં $\delta > \delta_{min}$) માટે,આપાતકોણ $i$ અને નિર્ગમન કોણ $e$ ના બે શક્ય મૂલ્યો હોય છે,જેથી $i_1 = e_2$ અને $i_2 = e_1$ થાય. આ પ્રકાશની પ્રતિવર્તીતાના સિદ્ધાંતનું સીધું પરિણામ છે,જે જણાવે છે કે જો પ્રકાશના કિરણનો માર્ગ ઉલટાવવામાં આવે,તો તે તેના મૂળ માર્ગ પર પાછું ફરે છે. આમ,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(N/A) આપેલ છે: લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{m} = 40^{\circ}$,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$,પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_{w} = 1.33$.
$1$. પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(\mu_{g})$ શોધવો:
પ્રિઝમના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\mu_{g} = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu_{g} = \frac{\sin((60^{\circ} + 40^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin 50^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{0.766}{0.5} = 1.532$.
$2$. પાણીમાં લઘુત્તમ વિચલનનો નવો કોણ $(\delta'_{m})$ શોધવો:
પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_{g/w} = \frac{\mu_{g}}{\mu_{w}} = \frac{1.532}{1.33} \approx 1.1519$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\mu_{g/w} = \frac{\sin((A + \delta'_{m})/2)}{\sin(A/2)}$
$\sin((60^{\circ} + \delta'_{m})/2) = 1.1519 \times \sin(30^{\circ}) = 1.1519 \times 0.5 = 0.57595$.
$(60^{\circ} + \delta'_{m})/2 = \sin^{-1}(0.57595) \approx 35.17^{\circ}$.
$60^{\circ} + \delta'_{m} = 70.34^{\circ}$.
$\delta'_{m} = 70.34^{\circ} - 60^{\circ} = 10.34^{\circ}$.
આમ,લઘુત્તમ વિચલનનો નવો કોણ $10.34^{\circ}$ છે.

$(29.75^{\circ})$ કાચના પ્રિઝમ $ABC$ સાથે સંકળાયેલ આપાત, વક્રીભૂત અને નિર્ગમન કિરણો આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
પ્રિઝમનો કોણ, $A = 60^{\circ}$
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક, $\mu = 1.524$
$i_1 = \text{આપાતકોણ}$
$r_1 = \text{વક્રીભૂતકોણ}$
$r_2 = \text{સપાટી } AC \text{ પર આપાતકોણ}$
$e = \text{નિર્ગમનકોણ} = 90^{\circ} \text{ (સ્પર્શક નિર્ગમન માટે)}$
સ્નેલના નિયમ મુજબ, સપાટી $AC$ માટે:
$\frac{\sin e}{\sin r_2} = \mu$
$\sin r_2 = \frac{1}{\mu} \times \sin 90^{\circ} = \frac{1}{1.524} \approx 0.6562$
$\therefore r_2 = \sin^{-1}(0.6562) \approx 41^{\circ}$
પ્રિઝમ દ્વારા વક્રીભવન માટે, $A = r_1 + r_2$
$\therefore r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 41^{\circ} = 19^{\circ}$
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$\mu = \frac{\sin i_1}{\sin r_1}$
$\sin i_1 = \mu \sin r_1 = 1.524 \times \sin 19^{\circ} \approx 1.524 \times 0.3256 \approx 0.4962$
$\therefore i_1 = \sin^{-1}(0.4962) \approx 29.75^{\circ}$
આમ, આપાતકોણ $29.75^{\circ}$ છે.

(N/A) કાટકોણ પ્રિઝમ માટે કે જેમાં વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ સમાન કદના હોય,પ્રિઝમનો ઉપયોગ એવી રીતે કરવો જોઈએ કે જેથી પ્રકાશના કિરણો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે અને મોટવણી $m = 1$ મળે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે વસ્તુને ચોક્કસ અંતરે મૂકવામાં આવે જેથી પ્રિઝમમાં પ્રવેશતા કિરણો કર્ણ (hypotenuse) સપાટી દ્વારા પરાવર્તિત થાય.
$45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ ના પ્રિઝમમાં,જો પ્રકાશ ટૂંકી બાજુઓમાંથી એકને લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે,તો તે કર્ણ સપાટી પર $45^{\circ}$ ના ખૂણે આપાત થાય છે.
કાચ માટે ક્રાંતિકોણ આશરે $42^{\circ}$ હોવાથી,$45^{\circ}$ એ ક્રાંતિકોણ કરતા મોટો હોવાથી પ્રકાશનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
આમ,રચાતું પ્રતિબિંબ ચત્તું અને વસ્તુના કદ જેટલું જ હોય છે,જે પરાવર્તક પ્રિઝમ તરીકે કાર્ય કરે છે.