Refraction Through Prism Questions in Gujarati

(N/A) ધારો કે એક પ્રિઝમ $ABC$ છે જેનો પ્રિઝમ કોણ $A$ છે. એક એકવર્ણી પ્રકાશનું કિરણ $PQ$ એ પ્રિઝમની સપાટી $AB$ પર $i$ આપાતકોણે આપાત થાય છે. તે $r_1$ વક્રીભવન કોણે $QR$ માર્ગે વક્રીભવન પામે છે. સપાટી $AC$ પર તે $r_2$ કોણે આપાત થાય છે અને $e$ નિર્ગમન કોણે $RS$ તરીકે બહાર નીકળે છે.
$1$. ચતુષ્કોણ $AQNR$ માં (જ્યાં $N$ એ $Q$ અને $R$ પરના લંબનું છેદબિંદુ છે),સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle A + \angle QNR = 180^{\circ}$ --- $(1)$
$2$. $\triangle QNR$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$r_1 + r_2 + \angle QNR = 180^{\circ}$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા:
$A = r_1 + r_2$ --- $(3)$
$3$. કુલ વિચલન $\delta$ એ આપાત કિરણ $PQ$ ને આગળ વધારતા અને નિર્ગમન કિરણ $RS$ ને પાછળ વધારતા બનતો ખૂણો છે. $\triangle DQR$ માં (જ્યાં $D$ એ વિસ્તૃત કિરણોનું છેદબિંદુ છે):
$\delta = (i - r_1) + (e - r_2)$
$\delta = (i + e) - (r_1 + r_2)$
આ સમીકરણમાં $(3)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\delta = i + e - A$
આમ,અંતિમ સંબંધ છે:
$i + e = A + \delta$

(N/A) ધારો કે $A$ ખૂણાવાળો એક પ્રિઝમ $ABC$ છે. એક એકવર્ણી પ્રકાશનું કિરણ $PQ$, પ્રિઝમની સપાટી $AB$ પર $i$ આપાતકોણે આપાત થાય છે.
બિંદુ $Q$ પર, કિરણનું વક્રીભવન થાય છે અને તે પ્રિઝમની અંદર $QR$ માર્ગે ગતિ કરે છે, જે સપાટી $AB$ અને $AC$ પર અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ વક્રીભવનકોણ બનાવે છે.
આ કિરણ સપાટી $AC$ પરના બિંદુ $R$ માંથી $e$ નિર્ગમનકોણે બહાર આવે છે.
ધારો કે આપાત કિરણ $PQ$ ને આગળની તરફ અને નિર્ગમન કિરણ $RS$ ને પાછળની તરફ લંબાવતા તે બિંદુ $M$ પર મળે છે. આ બે કિરણો વચ્ચેના ખૂણાને વિચલનકોણ $\delta$ કહે છે.
$\triangle MQR$ માં, બહિષ્કોણ $\delta = \angle MQR + \angle MRQ$.
અહીં $\angle MQR = i - r_1$ અને $\angle MRQ = e - r_2$ હોવાથી, $\delta = (i - r_1) + (e - r_2) = (i + e) - (r_1 + r_2)$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $AQNR$ માં ($N$ એ $Q$ અને $R$ પરના લંબનું છેદબિંદુ છે), $\angle A + \angle QNR = 180^{\circ}$. વળી, $\triangle QNR$ માં, $r_1 + r_2 + \angle QNR = 180^{\circ}$.
આ બંનેની સરખામણી કરતા, આપણને $A = r_1 + r_2$ મળે છે.
આ કિંમત વિચલનકોણના સમીકરણમાં મૂકતા, $\delta = i + e - A$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપાતકોણ $i$ ના મૂલ્યો સામે વિચલન કોણ $\delta$ ના પ્રાયોગિક રીતે માપેલા મૂલ્યોનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિચલન કોણનું મૂલ્ય આપાતકોણ $i$ ના માત્ર એક ચોક્કસ મૂલ્ય માટે લઘુત્તમ બને છે.
આપણે એ પણ જોઈ શકીએ છીએ કે આપાતકોણના બે મૂલ્યો માટે વિચલન કોણ સમાન હોય છે.
પ્રાયોગિક રીતે એવું સ્થાપિત થયું છે કે કોઈપણ આપેલ પ્રિઝમ માટે,જે કિરણ માટે આપાતકોણ $i$ અને નિર્ગમન કોણ $e$ સમાન હોય,તે કિરણ માટે વિચલન કોણ લઘુત્તમ હોય છે.
આ કોણને આપેલ પ્રિઝમ માટે આપાત એકવર્ણી પ્રકાશ માટે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{m}$ કહેવામાં આવે છે.
નોંધો કે,
જ્યારે $i=e \Rightarrow \delta=\delta_{m}$
પ્રિઝમ માટે,
$i+e=A+\delta$
જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
લઘુત્તમ વિચલન કોણ માટેની શરત લાગુ પાડતા,
$i=e$ ત્યારે $\delta=\delta_{m}$
$\therefore i+i=A+\delta_{m}$
$\therefore 2i=A+\delta_{m}$
$\therefore i=\frac{A+\delta_{m}}{2}$

(N/A) પાતળો પ્રિઝમ એટલે એવો પ્રિઝમ કે જેનો પ્રિઝમ કોણ $A$ ખૂબ નાનો હોય.
પ્રિઝમ માટે વક્રીભવનાંક $n$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n = \frac{\sin((A + D_m)/2)}{\sin(A/2)}$ ... $(1)$
પાતળા પ્રિઝમ માટે $A$ નાનો હોવાથી,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $D_m$ પણ નાનો હોય છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,આપણે $\sin(\theta) \approx \theta$ (રેડિયનમાં) લઈ શકીએ છીએ.
સમીકરણ $(1)$ માં આ કિંમત મૂકતા:
$n \approx \frac{(A + D_m)/2}{A/2}$
$n = \frac{A + D_m}{A}$
બંને બાજુ $A$ વડે ગુણતા:
$nA = A + D_m$
$D_m = nA - A$
$D_m = A(n - 1)$
જો પ્રિઝમ $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં હોય અને પ્રિઝમનું દ્રવ્ય $n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતું હોય,તો $n = n_2/n_1 = n_{21}$ થાય.
તેથી,$D_m = A(n_{21} - 1)$.

(N/A) $1$. આપાતકોણ $(i)$: પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર આપાત થતા કિરણ અને આપાત બિંદુએ દોરેલા લંબ વચ્ચેના ખૂણાને આપાતકોણ કહે છે.
$2$. નિર્ગમન કોણ $(e)$: પ્રિઝમની બીજી સપાટી પરથી બહાર નીકળતા કિરણ (નિર્ગમન કિરણ) અને તે બિંદુએ દોરેલા લંબ વચ્ચેના ખૂણાને નિર્ગમન કોણ કહે છે.
$3$. વિચલન કોણ $(\delta)$: આપાત કિરણની દિશા અને નિર્ગમન કિરણની દિશા વચ્ચેના ખૂણાને વિચલન કોણ કહે છે. તે પ્રિઝમને કારણે પ્રકાશના કિરણના પથમાં થતા કુલ ફેરફારને દર્શાવે છે.

(D) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો વિચલન કોણ $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: નાના ખૂણાઓ માટે $\delta = (\mu - 1)A$,અથવા સામાન્ય રીતે,$\delta = i + e - A$.
$1$. તે આપાતકોણ $(i)$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. તે પ્રિઝમના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક $(\mu)$ પર આધાર રાખે છે,જે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે.
$3$. તે પ્રિઝમના કોણ $(A)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,વિચલન કોણ આ તમામ પરિબળો પર આધાર રાખે છે.

(N/A) જે પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $n$, પ્રિઝમ કોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ હોય, તેના માટેનો સંબંધ સ્નેલના નિયમ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં, આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે, અને વક્રીભૂતકોણ $r_1 = r_2 = r = A/2$ થાય છે.
આપાતકોણનું સૂત્ર $i = (A + \delta_m) / 2$ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ, $n = \frac{\sin(i)}{\sin(r)}$.
કિંમતો મૂકતા, આપણને વક્રીભવનાંકનું સમીકરણ મળે છે: $n = \frac{\sin((A + \delta_m) / 2)}{\sin(A / 2)}$.

(N/A) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $D$ નું સૂત્ર $D = i + e - A$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે,$i$ એ આપાતકોણ છે અને $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,$i = e$ અને $r_1 = r_2 = r = A/2$ થાય છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n_1 \sin i = n_2 \sin r_1$.
નાના પ્રિઝમ કોણ માટે,$i$ અને $r_1$ ખૂબ નાના હોવાથી,$\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$ લઈ શકાય.
તેથી,$n_1 i = n_2 r_1$,જેનો અર્થ છે કે $i = (n_2/n_1) r_1 = n_{21} (A/2)$.
વિચલનના સૂત્રમાં $i = e$ મૂકતા: $D_m = i + i - A = 2i - A$.
હવે $i = n_{21} (A/2)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $D_m = 2(n_{21} \cdot A/2) - A$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $D_m = n_{21} A - A = A(n_{21} - 1)$ મળે છે.

(N/A) ન્યૂનતમ વિચલન કોણ એ પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો વિચલનનો સૌથી નાનો કોણ છે જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ તેમાંથી પસાર થાય છે.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે આપાતકોણ એ નિર્ગમન કોણ જેટલો હોય $(i = e)$,જેનો અર્થ એ છે કે પ્રિઝમની અંદરનું પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર ગતિ કરે છે.
આ સ્થિતિમાં,બંને સપાટીઓ પર વક્રીભવન કોણ સમાન હોય છે $(r_1 = r_2 = r = A/2)$,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના વિક્ષેપના સૂત્ર મુજબ,પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $n$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે,જે $n \approx A + B/\lambda^2$ છે.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_y)$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_b)$ કરતા વધારે હોવાથી,પીળા પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક $(n_y)$ એ વાદળી પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(n_b)$ કરતા ઓછો હોય છે.
$v = c/n$ હોવાથી,ઓછો વક્રીભવનાંક વધુ ઝડપ આપે છે.
તેથી,કાચના પ્રિઝમમાં પીળો પ્રકાશ વાદળી પ્રકાશ કરતા વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે.

(C) પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+D_{m}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલનકોણ $D_{m}$ એ પ્રિઝમના કોણ $A$ જેટલો છે,એટલે કે $D_{m} = A$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 2 \cos \frac{A}{2}$
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{3}$,તેથી:
$\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\frac{A}{2} = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{\min}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\delta_{\min} = (\mu - 1)A$
આપેલ છે:
પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 1^{\circ}$
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$
કિંમતો મૂકતા:
$\delta_{\min} = (1.5 - 1) \times 1^{\circ}$
$\delta_{\min} = 0.5^{\circ}$
આપણને આપેલ છે કે $\delta_{\min} = N/10$.
તેથી,$0.5 = N/10$
$N = 0.5 \times 10 = 5$
આમ,$N$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(D) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = r_1 + r_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિરણ સામેની સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી,નિર્ગમન કોણ $e = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0$ છે.
પ્રિઝમના સમીકરણમાં $r_2 = 0$ મૂકતા,આપણને $r_1 = A$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sin i = \mu \sin r_1$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$.
તેથી,$i = \mu r_1$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $i = \mu A$ મળે છે.

$(A)$ પ્રિઝમ માટે, વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે, $e$ એ નિર્ગમનકોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
ન્યૂનતમ વિચલન કોણ વખતે:
$1$. આપાતકોણ એ નિર્ગમનકોણ જેટલો હોય છે, એટલે કે $i = e$. આનો અર્થ એ છે કે આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ પ્રિઝમની સાપેક્ષ સંમિત છે, જે વિધાન $(A)$ અને $(C)$ ને સાચા બનાવે છે.
$2$. પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ તેના પાયાને સમાંતર બને છે, જેનો અર્થ $r_1 = r_2$ થાય છે. આ વિધાન $(B)$ ને સાચું બનાવે છે.
આમ, વિધાન $(A)$, $(B)$ અને $(C)$ ત્રણેય ન્યૂનતમ વિચલન માટેની સાચી શરતો છે, તેથી સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) આપેલ છે: $\omega_{1} = 0.02, \mu_{1} = 1.5$ (ક્રાઉન ગ્લાસ) અને $\omega_{2} = 0.03, \mu_{2} = 1.6$ (ફ્લિન્ટ ગ્લાસ).
એક્રોમેટિક સંયોજન માટે,ચોખ્ખું વિભાજન શૂન્ય છે,તેથી $\theta_{1} = \theta_{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega_{1} \delta_{1} = \omega_{2} \delta_{2}$,જ્યાં $\delta$ એ વિચલન છે.
ચોખ્ખું વિચલન $\delta_{\text{net}} = \delta_{1} - \delta_{2} = 2^{\circ}$ આપેલ છે.
વિભાજનના સમીકરણ પરથી,$\delta_{2} = \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \delta_{1} = \frac{0.02}{0.03} \delta_{1} = \frac{2}{3} \delta_{1}$.
આને ચોખ્ખા વિચલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $\delta_{1} - \frac{2}{3} \delta_{1} = 2^{\circ}$.
$\frac{1}{3} \delta_{1} = 2^{\circ} \implies \delta_{1} = 6^{\circ}$.
પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
ક્રાઉન ગ્લાસ પ્રિઝમ માટે: $6^{\circ} = (1.5 - 1) A_{1}$.
$6^{\circ} = 0.5 A_{1} \implies A_{1} = 12^{\circ}$.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમકોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાતકોણ $i = A = 60^{\circ}$ હોય.
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin(\frac{\delta_{min} + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ વિચલન વખતે,$i = e = 60^{\circ}$,તેથી $\delta_{min} = 2i - A = 2(60^{\circ}) - 60^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
પ્રિઝમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3}} \, m/s$ છે.
અંતર $AP$ એ $a = 10 \, cm = 0.1 \, m$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
$AP = a \sin 60^{\circ} = 0.1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.05\sqrt{3} \, m$.
લાગતો સમય $t = \frac{AP}{v} = \frac{0.05\sqrt{3}}{3 \times 10^8 / \sqrt{3}} = \frac{0.05 \times 3}{3 \times 10^8} = 0.05 \times 10^{-8} = 5 \times 10^{-10} \, s$.
તેથી,જવાબ $5$ છે.

(A) પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમની કર્ણ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે. તેથી,પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $i_1 = 0^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂતકોણ $r_1 = 0^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$ આપેલ છે,આપણે $r_1 + r_2 = A$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $r_1 = 0^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $r_2 = 30^{\circ}$ મળે છે.
બીજી સપાટી (ઊભી સપાટી) પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin r_2 = 1 \times \sin e$,જ્યાં $\mu = \sqrt{3}$ અને $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે.
$\sqrt{3} \sin 30^{\circ} = \sin e$
$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin e$
$\sin e = \frac{\sqrt{3}}{2}$
તેથી,$e = 60^{\circ}$.

(D) લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,વક્રીભવનકોણ $r_1 = r_2 = r = \frac{A}{2}$ થાય છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ વક્રીભવનકોણ $r$ કરતા બમણો છે,તેથી $i = 2r = A$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$.
કિંમતો મૂકતા,$\sin A = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2}$ મળે.
$\sin \frac{A}{2} \neq 0$ હોવાથી,$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ}$.

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A+D)/2)}{\sin(A/2)}$ છે, જ્યાં $D$ એ લઘુત્તમ વિચલન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આપેલ શરત મુજબ લઘુત્તમ વિચલન કોણ $D = A$ છે, તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((A+A)/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)}$
$\mu = 2 \cos(A/2)$
$A$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\cos(A/2) = \frac{\mu}{2}$
$A/2 = \cos^{-1}(\mu/2)$
$A = 2 \cos^{-1}(\mu/2)$

(B) પ્રકાશના કિરણો $BC$ સપાટી પરથી વળ્યા વગર (એટલે કે વક્રીભવન પામ્યા વગર) પસાર થાય તે માટે, તે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર બંને પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી, આપણે $n_{1} = n_{2}$ લઈએ:
$1.2 + \frac{10.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}} = 1.45 + \frac{1.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}}$
$\lambda$ માટે ઉકેલવા પદોને ગોઠવતા:
$\frac{10.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}} - \frac{1.8 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}} = 1.45 - 1.2$
$\frac{9 \times 10^{-14}}{\lambda^{2}} = 0.25$
$\lambda^{2} = \frac{9 \times 10^{-14}}{0.25}$
$\lambda^{2} = 36 \times 10^{-14}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
મીટરને નેનોમીટરમાં ફેરવતા $(1 \text{ m} = 10^{9} \text{ nm})$:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^{9} \text{ nm} = 600 \text{ nm}$

(B) પ્રિઝમમાં,વિચલન કોણ $\delta$ અને આપાતકોણ $i$ વચ્ચેનો સંબંધ $\delta = (i + e) - A$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $i$ વધે છે,તેમ વિચલન કોણ $\delta$ પહેલા ઘટે છે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $(\delta_m)$ તરીકે ઓળખાતા લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને ત્યારબાદ વધે છે.
આ સંબંધને ઉપરની તરફ વક્રતા ધરાવતા પેરાબોલિક જેવા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) સપાટી $AC$ પર કાચના પ્રિઝમ અને પ્રવાહી વચ્ચેના આંતરપૃષ્ઠ માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu_{glass} \sin(i) = n \sin(r)$
અહીં આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે અને વક્રીભૂત કિરણ સપાટી $AC$ ને સમાંતર પસાર થાય છે,તેથી વક્રીભૂતકોણ $r = 90^{\circ}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$1.5 \times \sin(60^{\circ}) = n \times \sin(90^{\circ})$
$1.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = n \times 1$
$n = \frac{1.5 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
આપણને $n = \frac{\sqrt{x}}{4}$ આપેલ છે.
$n$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{x}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$
$\sqrt{x} = 3 \sqrt{3} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{27}$
તેથી,$x = 27$.

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે,સરેરાશ વિચલન $\delta = A(n_{Y} - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે પ્રિઝમને એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે જેથી કોઈ વિભાજન ન થાય,તેથી તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાયેલા છે.
સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચોખ્ખું સરેરાશ વિચલન $\delta$ એ બે પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિચલનોના તફાવત જેટલું હોય છે:
$\delta = A_{1}(n_{Y1} - 1) - A_{2}(n_{Y2} - 1)$
અહીં $A_{1} = 6^{\circ}$,$n_{Y1} = 1.5$ અને $A_{2} = 5^{\circ}$,$n_{Y2} = 1.55$ આપેલ છે.
$\delta = 6(1.5 - 1) - 5(1.55 - 1)$
$\delta = 6(0.5) - 5(0.55)$
$\delta = 3.0 - 2.75 = 0.25^{\circ}$
આપણને $\delta = (\frac{1}{x})^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{x} = 0.25 = \frac{1}{4}$.
તેથી,$x = 4$.

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_{m}$ નું સૂત્ર $\delta_{m} = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમકોણ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 1.5 + \frac{0.004}{\lambda^{2}}$,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\delta_{m} = \left(1.5 + \frac{0.004}{\lambda^{2}} - 1\right)A = \left(0.5 + \frac{0.004}{\lambda^{2}}\right)A$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\delta_{m}$ એ $\lambda^{2}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,જેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધે છે,તેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટે છે,જેના પરિણામે લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_{m}$ પણ ઘટે છે.
જો $\lambda_{1} < \lambda_{2}$ હોય,તો $\mu(\lambda_{1}) > \mu(\lambda_{2})$ થાય.
પરિણામે,$\delta_{m}(\lambda_{1}) > \delta_{m}(\lambda_{2})$ મળે.

(D) ધારો કે પ્રિઝમના ખૂણા $\angle B = \alpha$ અને $\angle C = 90^{\circ} - \alpha$ છે.
પ્રથમ કિરણ માટે જે $AB$ પર $BC$ ને સમાંતર આપાત થાય છે,આપાતકોણ $i = \alpha$ છે. કિરણ $AC$ ને સ્પર્શીને બહાર નીકળે છે,તેથી બીજા સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ છે. પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\sin \alpha = \mu \sin(90^{\circ} - \alpha) = \mu \cos \alpha$. આમ,$\tan \alpha = \mu$.
કિરણ $AC$ સપાટીને સ્પર્શે છે,તેથી $AC$ પર આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ છે. આમ,$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$.
ભૂમિતિ પરથી,$r_1 = 90^{\circ} - \theta_c$. $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ હોવાથી,$\alpha = \theta_c$ મળે. તેથી,$\tan \alpha = \mu \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$.
$\sin \alpha = \sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,$\frac{1}{\mu} = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}} \Rightarrow 1+\mu^2 = \mu^4 \Rightarrow \mu^4 - \mu^2 - 1 = 0$. $\mu^2$ માટે ઉકેલતા,$\mu^2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ મળે.
બીજા કિરણ માટે જે $AC$ પર $BC$ ને સમાંતર આપાત થાય છે,આપાતકોણ $i' = 90^{\circ} - \alpha$ છે. $AB$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i' > \theta_c \Rightarrow 90^{\circ} - \alpha > \theta_c \Rightarrow \cos \alpha > \sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$.
$\tan \alpha = \mu$ હોવાથી,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$. આમ,$\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} > \frac{1}{\mu}$ મળે.
આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $\sqrt{2} < \mu < \sqrt{3}$ મળે છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(f)$ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના ઉદગમ દ્વારા નક્કી થાય છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ $v = c/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે. પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક હવા કરતા વધારે હોવાથી $(n > 1)$, પ્રિઝમની અંદર પ્રકાશની ઝડપ ઘટે છે.
ઝડપ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે. કારણ કે $v$ ઘટે છે અને $f$ અચળ રહે છે, તેથી પ્રિઝમની અંદર તરંગલંબાઈ $\lambda$ પણ ઘટવી જોઈએ.
તેથી, ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે, જ્યારે આવૃત્તિ સમાન રહે છે.

(D) પ્રિઝમ $B$ એ પ્રિઝમ $A$ ની સાપેક્ષમાં ઉલટો છે. તેથી,પ્રિઝમ $A$ અને $B$ દ્વારા થતું પ્રકાશનું વિભાજન વિરુદ્ધ દિશામાં થાય છે.
બહાર નીકળતું કિરણ સફેદ દેખાય તે માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન અને કુલ વિભાજન શૂન્ય હોવું જોઈએ. આ માટે બંને પ્રિઝમમાં રહેલા પ્રવાહીના વક્રીભવનાંક સમાન હોવા જરૂરી છે,જે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બંને પ્રિઝમ સમાન તાપમાને હોય.
જો પ્રિઝમ અલગ-અલગ તાપમાને હોય,તો તેમના વક્રીભવનાંક અલગ-અલગ હશે કારણ કે પાણીનો વક્રીભવનાંક તાપમાન પર આધારિત છે. પરિણામે,પ્રિઝમ $A$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિભાજન પ્રિઝમ $B$ દ્વારા સંપૂર્ણપણે નાબૂદ થશે નહીં.
વિકલ્પ $(d)$ માં,પ્રિઝમ $A$ $70^{\circ} C$ પર છે અને પ્રિઝમ $B$ $7^{\circ} C$ પર છે. તેમના વક્રીભવનાંક અલગ હોવાથી,$A$ અને $B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિભાજન સમાન અને વિરુદ્ધ નથી. તેથી,પ્રિઝમ $B$ ની જમણી બાજુએ મળતું કિરણ વિભાજિત રહેશે અને રંગીન દેખાશે.

(B) સમદ્વિબાજુ પ્રિઝમના પાયાના ખૂણા $40^{\circ}$ છે. પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી પાયા પરનો આપાતકોણ નક્કી થાય છે. પ્રકાશ ઢળતી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતો હોવાથી,તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને લંબ સાથે $40^{\circ}$ ના ખૂણે પાયા પર અથડાય છે.
પાયા પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ કાચ અને પાણી વચ્ચેના ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
અહીં $i = 40^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $TIR$ માટેની શરત $i > \theta_c$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > \sin \theta_c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta_c = \frac{\mu_w}{\mu_g}$,જ્યાં $\mu_w = 1.33$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_g = \mu$ એ કાચનો વક્રીભવનાંક છે.
તેથી,$\sin 40^{\circ} > \frac{1.33}{\mu}$.
$\mu$ માટે સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\mu > \frac{1.33}{\sin 40^{\circ}}$ મળે છે.
$\sin 40^{\circ} \approx 0.6428$ નો ઉપયોગ કરતા,$\mu > \frac{1.33}{0.6428} \approx 2.069$ મળે છે.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,શરત $\mu > 2.07$ છે.

(B) પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta$ એ $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે,$e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $A = 60^{\circ}$,$i = 60^{\circ}$,અને $e = 40^{\circ}$.
તેથી,વિચલન $\delta = 60^{\circ} + 40^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$.
પ્રકાશની પ્રતિવર્તીતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જો $i = 60^{\circ}$ માટે $e = 40^{\circ}$ મળે,તો $i = 40^{\circ}$ માટે $e = 60^{\circ}$ મળશે,જેના પરિણામે સમાન વિચલન $\delta = 40^{\circ}$ મળશે.
વિચલન $\delta$ વિરુદ્ધ આપાતકોણ $i$ નો આલેખ એક $U$-આકારનો વળાંક છે જ્યાં ન્યૂનતમ વિચલન $\delta_m$ એ આપાતકોણ $i = i_m$ પર થાય છે.
કારણ કે $i = 40^{\circ}$ અને $i = 60^{\circ}$ બંને પર વિચલન સમાન $(40^{\circ})$ છે,તેથી ન્યૂનતમ વિચલન આ બે મૂલ્યોની વચ્ચેના આપાતકોણ પર થવું જોઈએ.
તેથી,ન્યૂનતમ વિચલન માટેનો આપાતકોણ $40^{\circ} < i < 60^{\circ}$ ની રેન્જમાં છે. આપેલ આલેખ જોતા,ન્યૂનતમ વિચલન $i \approx 48^{\circ}$ પર થાય છે,જે $40^{\circ} < i < 50^{\circ}$ ની રેન્જમાં આવે છે.

(B) કોશીના વિખેરણના સૂત્ર મુજબ,દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,$\mu \propto \frac{1}{\lambda}$.
આપેલા રંગોની તરંગલંબાઇનો ક્રમ આ મુજબ છે: $\lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{green}} > \lambda_{\text{blue}}$.
જેহেতু $\mu$ એ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી વક્રીભવનાંકનો ક્રમ આ મુજબ થશે: $\mu_{\text{yellow}} < \mu_{\text{green}} < \mu_{\text{blue}}$.
અહીં $\mu_1$ લીલા માટે,$\mu_2$ વાદળી માટે અને $\mu_3$ પીળા માટે છે,તેથી આપણને $\mu_3 < \mu_1 < \mu_2$ મળે છે,જેને $\mu_2 > \mu_1 > \mu_3$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
જ્યારે શ્વેત પ્રકાશનું કિરણ પ્રથમ પ્રિઝમમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનું વિભાજન (dispersion) થાય છે અને તે તેના ઘટક રંગોમાં (વર્ણપટ) વિભાજિત થાય છે.
જ્યારે બીજો સમાન પ્રિઝમ પ્રથમ પ્રિઝમની પાછળ ઉલટી સ્થિતિમાં સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પુનઃસંયોજન પ્રિઝમ તરીકે કાર્ય કરે છે. પ્રથમ પ્રિઝમ દ્વારા થતું વિભાજન બીજા પ્રિઝમ દ્વારા બરાબર રદ થાય છે,જેના પરિણામે રંગોનું ફરીથી શ્વેત પ્રકાશના એક કિરણમાં પુનઃસંયોજન થાય છે.
કારણ કે બંને પ્રિઝમ સાથે મળીને સમાંતર સપાટીવાળા કાચના સ્લેબ જેવી રચના બનાવે છે,તેથી બહાર આવતું શ્વેત પ્રકાશનું કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં કોઈ કોણીય વિચલન થતું નથી. તેથી,પડદા પર કોઈ વર્ણપટ જોવા મળતો નથી,માત્ર મૂળ શ્વેત પ્રકાશ જ જોવા મળે છે.

(A) પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta$ એ $\delta = (i_1 + i_2) - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમમાંથી સંમિત રીતે પસાર થાય છે.
આ સંમિતિ સૂચવે છે કે આપાતકોણ $i_1$ એ નિર્ગમનકોણ $i_2$ જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $i_1 = i_2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
જ્યારે નિર્ગમન કિરણ બીજી સપાટીને સ્પર્શીને બહાર નીકળે,ત્યારે નિર્ગમન કોણ $i_e = 90^{\circ}$ થાય.
બીજી સપાટી પર,વક્રીભવન કોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોય છે. તેથી,$r_2 = C$.
બીજી સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin i_e$.
અહીં $\mu = 2$ અને $i_e = 90^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $2 \sin C = \sin 90^{\circ} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sin C = 0.5$,એટલે કે $C = 30^{\circ}$.
તેથી,$r_2 = 30^{\circ}$.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$A = r_1 + r_2$. કિંમતો મૂકતા,$60^{\circ} = r_1 + 30^{\circ}$,જે આપણને $r_1 = 30^{\circ}$ આપે છે.
હવે,પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ કરતા: $\sin i = \mu \sin r_1$.
$\sin i = 2 \cdot \sin 30^{\circ} = 2 \cdot 0.5 = 1$.
આમ,$i = 90^{\circ}$.

(C) ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પ્રકાશના કિરણો તેમનો માર્ગ પાછો ખેંચે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે ($0^{\circ}$ ના આપાતકોણે) આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $i$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r$ છે.
આપેલ છે,$i = 60^{\circ}$ અને પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r$ અને બીજી સપાટી પર આપાતકોણ $r'$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = r + r'$ છે.
કિરણ બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,$r' = 0^{\circ}$.
તેથી,$r = A = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \approx 1.732$.
આમ,પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $1.732$ છે.

(B) પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ $(i)$,નિર્ગમન કોણ $(e)$,પ્રિઝમ કોણ $(A)$ અને વિચલન કોણ $(\delta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i + e = A + \delta$
આપેલ આલેખ પરથી,ચોક્કસ વિચલન કોણ $\delta = 50^{\circ}$ માટે,બે સંબંધિત આપાતકોણ $i_1 = 38^{\circ}$ અને $i_2 = 58^{\circ}$ મળે છે.
પ્રિઝમના કિસ્સામાં,આપેલ વિચલન કોણ માટે (ન્યૂનતમ વિચલન સિવાય),આપાતકોણના બે મૂલ્યો અનુક્રમે $i$ અને $e$ તરીકે લેવામાં આવે છે.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$38^{\circ} + 58^{\circ} = A + 50^{\circ}$
$96^{\circ} = A + 50^{\circ}$
$A = 96^{\circ} - 50^{\circ}$
$A = 46^{\circ}$
આમ,પ્રિઝમનો કોણ $46^{\circ}$ છે.

(D) પ્રિઝમ એ $60^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ ના પાયાના ખૂણા ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
પ્રિઝમનો ત્રીજો ખૂણો $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ $i$,નિર્ગમન કોણ $e$,પ્રિઝમ કોણ $A$ અને વિચલન કોણ $\delta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i + e = A + \delta$.
આકૃતિ પરથી,આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ અને નિર્ગમન કોણ $e = 60^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$45^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} + \delta$
$105^{\circ} = 90^{\circ} + \delta$
$\delta = 105^{\circ} - 90^{\circ} = 15^{\circ}$.
આમ,કોણીય વિચલન $15^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે કે પ્રિઝમની અંદરનું કિરણ પાયાને સમાંતર છે,તેથી પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r$ એ પ્રિઝમના પાયાના ખૂણા જેટલો હોવો જોઈએ.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,પાયાનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $r = 45^{\circ}$.
આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
કિંમતો મૂકતા,$\mu = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
આમ,વક્રીભવનાંક $\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(B) વિચલન રહિત વિક્ષેપન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વિચલન રહિત વિક્ષેપન માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\delta_1 + \delta_2 = 0$
જ્યારે પ્રિઝમને વિચલન રહિત વિક્ષેપન ઉત્પન્ન કરવા માટે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિચલન:
$A_1(\mu_1 - 1) + A_2(\mu_2 - 1) = 0$
આપેલ છે:
$A_1 = 6^{\circ}$,$\mu_1 = 1.5$,$\mu_2 = 1.75$
કિંમતો મૂકતા:
$6(1.5 - 1) + A_2(1.75 - 1) = 0$
$6(0.5) + A_2(0.75) = 0$
$3 + 0.75 A_2 = 0$
વિચલનને રદ કરવા માટે પ્રિઝમને વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવવા પડે છે,તેથી સૂત્ર $A_1(\mu_1 - 1) - A_2(\mu_2 - 1) = 0$ થાય છે.
$3 - 0.75 A_2 = 0$
$0.75 A_2 = 3$
$A_2 = \frac{3}{0.75} = 4^{\circ}$

(D) સરેરાશ વિચલન વગરના વિભાજન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સરેરાશ વિચલન ન હોવાની શરત $\delta_1 + \delta_2 = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $|\delta_1| = |\delta_2|$.
પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = A(\mu - 1)$ છે.
પ્રિઝમ $P_1$ માટે: $A_1 = 6^{\circ}$,$\mu_1 = 1.54$.
પ્રિઝમ $P_2$ માટે: $A_2 = A$,$\mu_2 = 1.72$.
વિચલનને સરખાવતા: $A_1(\mu_1 - 1) = A_2(\mu_2 - 1)$.
$6^{\circ}(1.54 - 1) = A(1.72 - 1)$.
$6^{\circ}(0.54) = A(0.72)$.
$A = \frac{6^{\circ} \times 0.54}{0.72} = \frac{6 \times 54}{72} = \frac{324}{72} = 4.5^{\circ}$.

(A) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((D_{\min} + A)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમ સમબાજુ છે,તેથી પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{\sin(30^{\circ})}$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 1/2$,આપણને મળે છે:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)}{1/2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin((D_{\min} + 60^{\circ})/2)$
કારણ કે $\sin(45^{\circ}) = 1/\sqrt{2}$,આપણને મળે છે:
$(D_{\min} + 60^{\circ})/2 = 45^{\circ}$
$D_{\min} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$
$D_{\min} = 30^{\circ}$.

(A) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$.
આથી,$\cos(A/2) = \sin((A + \delta_{\min})/2)$.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(\frac{\pi}{2} - A/2) = \sin((A + \delta_{\min})/2)$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા: $\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} = \frac{A + \delta_{\min}}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\pi - A = A + \delta_{\min}$.
તેથી,$\delta_{\min} = \pi - 2A$.

(D) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ નું એપેક્સ ખૂણા $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ ના સંદર્ભમાં સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
આપેલ છે કે $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
બંને બાજુથી $\sin(A/2)$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\cos(A/2) = \sin((A + \delta_m)/2)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(90^{\circ} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(90^{\circ} - A/2) = \sin((A + \delta_m)/2)$
ખૂણાઓને સરખાવતા:
$90^{\circ} - A/2 = (A + \delta_m)/2$
$180^{\circ} - A = A + \delta_m$
$\delta_m = 180^{\circ} - 2A$

(A) કોશીના સમીકરણ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે: $\mu(\lambda) = A + B/\lambda^2 + ...$
જેમ કે $\lambda_{\text{red}} > \lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{violet}}$,લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો અને જાંબલી પ્રકાશ માટે સૌથી વધુ હોય છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
જેમ કે $\mu_{\text{red}} < \mu_{\text{yellow}} < \mu_{\text{violet}}$,લાલ પ્રકાશ માટે વિચલન સૌથી ઓછું અને જાંબલી પ્રકાશ માટે સૌથી વધુ હોય છે.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ પણ સાચું છે કારણ કે વિક્ષેપક માધ્યમનો વક્રીભવનાંક તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે,જે વિક્ષેપનનું મૂળભૂત કારણ છે.

(A) લઘુત્તમ વિચલન $\delta_{\min}$ માટે,આપણી પાસે $i = e$ અને $r_1 = r_2 = \frac{A}{2}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{\min}$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ નો ગુણોત્તર $1$ છે,તેથી $\frac{\delta_{\min}}{A} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\delta_{\min} = A$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\delta_{\min} = 2i - A$. $\delta_{\min} = A$ મૂકતા,આપણને $A = 2i - A$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2A = 2i$ અથવા $i = A$ થાય છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $1 \times \sin i = \mu \sin r_1$.
$i = A$ અને $r_1 = \frac{A}{2}$ મૂકતા,આપણને $\sin A = \mu \sin \left(\frac{A}{2}\right)$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{A}{2}\right)$ મળે છે.
બંને બાજુ $\sin \left(\frac{A}{2}\right)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $A \neq 0$),આપણને $2 \cos \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{3}$ અથવા $\cos \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ}$.

(A) ધારો કે પ્રિઝમનો ઉપરનો ખૂણો $A = 90^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમમાં,બે સપાટીઓ પરના વક્રીભવનકોણનો સરવાળો પ્રિઝમના ખૂણા જેટલો હોય છે,તેથી $r_1 + r_2 = A = 90^{\circ}$.
કિરણ પાયા $BC$ ને સમાંતર ગતિ કરતું હોવાથી,બીજી સપાટી પરનો વક્રીભવનકોણ એ ક્રાંતિકોણ $c$ છે,તેથી $r_2 = c$.
આમ,$r_1 = 90^{\circ} - c$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot \sin 30^{\circ} = \mu \cdot \sin r_1$
$1 \cdot \frac{1}{2} = \mu \cdot \sin(90^{\circ} - c)$
$\frac{1}{2} = \mu \cdot \cos c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin c = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\cos c = \sqrt{1 - \sin^2 c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\mu^2}} = \frac{\sqrt{\mu^2 - 1}}{\mu}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \mu \cdot \frac{\sqrt{\mu^2 - 1}}{\mu}$
$\frac{1}{2} = \sqrt{\mu^2 - 1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4} = \mu^2 - 1$
$\mu^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$\mu = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(A) પ્રિઝમમાં,પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ એ બંને સપાટીઓ પરના વક્રીભવનના ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે: $A = r_1 + r_2$.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમમાંથી સંમિત રીતે પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે આપાતકોણ એ નિર્ગમનકોણ જેટલો હોય છે $(i = e)$.
પરિણામે,બંને સપાટીઓ પર વક્રીભવનના ખૂણા સમાન હોય છે: $r_1 = r_2 = r$.
આને પ્રિઝમના સૂત્રમાં મૂકતા: $A = r + r = 2r$.
તેથી,$r = A / 2$.
આપેલ પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ હોવાથી,બંને રંગો માટે વક્રીભવનનો ખૂણો $r = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$ થશે.
આમ,લાલ અને જાંબલી બંને રંગો માટે વક્રીભવનનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.

(A) $PQ$ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \times \sin \alpha = n \times \sin \beta$
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $n = \sqrt{2}$,તેથી:
$\sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin \beta$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \sin \beta \implies \sin \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 30^{\circ}$.
પ્રકાશના માર્ગ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,$PR$ સપાટી પર આપાતકોણ $\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ છે.
$PR$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $\gamma$ એ ન્યૂનતમ $\alpha$ માટે ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટે $\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $C = 45^{\circ}$.
આમ,$\gamma = 45^{\circ}$.
$\gamma = 90^{\circ} - (\theta + \beta)$ માં કિંમત મૂકતા:
$45^{\circ} = 90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ})$
$45^{\circ} = 60^{\circ} - \theta$
$\theta = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $1$. પરાવર્તન થતું ન હોવાથી,પ્રકાશ બ્રુસ્ટર કોણ $\theta_B$ પર આપાત થવો જોઈએ. તેથી,$i = \theta_B$,જ્યાં $\tan \theta_B = \mu_B = \sqrt{3}$. આથી $i = 60^{\circ}$.
$2$. બ્રુસ્ટર કોણની શરત સંતોષવા માટે પ્રકાશ આપાત સમતલમાં ધ્રુવીભૂત હોવો જોઈએ. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$3$. પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin r_1 \implies \sin r_1 = 1/2 \implies r_1 = 30^{\circ}$.
$4$. આપેલ છે $\delta = 60^{\circ}$ અને $\delta = i + e - A$,તેથી $60^{\circ} = 60^{\circ} + e - A \implies e = A$.
$5$. બીજી સપાટી પર,$\sqrt{3} \sin r_2 = 1 \sin e = \sin A$. કારણ કે $r_1 + r_2 = A$,તેથી $r_2 = A - 30^{\circ}$.
$6$. કિંમત મૂકતા: $\sqrt{3} \sin(A - 30^{\circ}) = \sin A$. વિસ્તરણ કરતા: $\sqrt{3}(\sin A \cos 30^{\circ} - \cos A \sin 30^{\circ}) = \sin A \implies \sqrt{3}(\sin A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos A \cdot \frac{1}{2}) = \sin A \implies \frac{3}{2} \sin A - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A = \sin A \implies \frac{1}{2} \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A \implies \tan A = \sqrt{3} \implies A = 60^{\circ}$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$7$. કારણ કે $e = A = 60^{\circ}$,તેથી વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$8$. લાલ પ્રકાશ માટે,$\mu_R = \frac{\sin((A + \delta_{\text{min}})/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.