Refraction Through Prism Questions in Gujarati

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનનો ખૂણો $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રિઝમ હવામાં હોય,ત્યારે વિચલન $\delta_a = (_a\mu_g - 1)A$ છે.
જ્યારે પ્રિઝમ પાણીમાં હોય,ત્યારે પાણીની સાપેક્ષમાં કાચનો વક્રીભવનાંક $_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
પાણીમાં વિચલન $\delta_w = (_w\mu_g - 1)A = \left( \frac{9}{8} - 1 \right)A = \frac{1}{8}A$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{\delta_w}{\delta_a} = \frac{(1/8)A}{(1/2)A} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,નવું વિચલન $\delta_w = \frac{\delta_a}{4}$ થશે.

(A) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કોણીય વિભાજન $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = (\mu_v - \mu_r)A$,જ્યાં $\mu_v$ એ જાંબલી પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક છે,$\mu_r$ એ લાલ પ્રકાશ માટેનો વક્રીભવનાંક છે,અને $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
$\mu_v = 1.66$
$\mu_r = 1.64$
$A = 10^o$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (1.66 - 1.64) \times 10^o$
$\theta = 0.02 \times 10^o$
$\theta = 0.2^o$
તેથી,કોણીય વિભાજન $0.2^o$ છે.

(D) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
આપેલ છે:
પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$
લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 30^\circ$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{60^\circ + 30^\circ}{2} \right)}{\sin \left( \frac{60^\circ}{2} \right)}$
$\mu = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$\mu \approx 1.414$

(A) પ્રકાશના ઇન્ફ્રારેડ વર્ણપટને સામાન્ય કાચના પ્રિઝમ (જેમ કે ફ્લિન્ટ અથવા ક્રાઉન ગ્લાસ) દ્વારા જોઈ શકાતો નથી કારણ કે તેઓ ઇન્ફ્રારેડ કિરણોનું શોષણ કરે છે.
રોક સોલ્ટ $(NaCl)$ ઇન્ફ્રારેડ કિરણોત્સર્ગ માટે પારદર્શક છે,જે તેને નોંધપાત્ર શોષણ વિના આ તરંગલંબાઇને પ્રસારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.
તેથી,પ્રકાશના ઇન્ફ્રારેડ વર્ણપટનો અભ્યાસ કરવા માટે ખાસ કરીને રોક સોલ્ટ પ્રિઝમનો ઉપયોગ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^o$ છે. જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $0^o$ હોય છે,તેથી વક્રીભવનકોણ પણ $0^o$ થાય છે. કિરણ સીધું આગળ વધે છે અને બીજી સપાટી પર $i = A = 60^o$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
$1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રિઝમના દ્રવ્ય માટે ક્રાંતિકોણ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C = \sin^{-1}(1/\mu) = \sin^{-1}(1/1.5) = \sin^{-1}(2/3) \approx 41.8^o$.
અહીં બીજી સપાટી પરનો આપાતકોણ $(i = 60^o)$ એ ક્રાંતિકોણ $(C \approx 41.8^o)$ કરતા મોટો હોવાથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,કિરણ બીજી વક્રીભવનકારક સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.

(D) લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = 30^o$,તેથી નિર્ગમનકોણ $e = 30^o$ થશે.
નિર્ગમન કિરણ અને બીજી વક્રીભવનકારક સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $(90^o - e)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $90^o - 30^o = 60^o$ મળે છે.

(C) પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કોણીય વિભાજન $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = (\mu_v - \mu_R)A$.
આપેલ છે:
પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 5^o$.
જાંબલી રંગ માટે વક્રીભવનાંક $\mu_v = 1.6$.
લાલ રંગ માટે વક્રીભવનાંક $\mu_R = 1.5$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (1.6 - 1.5) \times 5^o$.
$\theta = 0.1 \times 5^o = 0.5^o$.
આમ,પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કોણીય વિભાજન $0.5^o$ છે.

(D) પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કોણીય વિભાજન $\theta$ એ સૂત્ર $\theta = (\mu_v - \mu_r)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_v$ અને $\mu_r$ એ જાંબલી અને લાલ પ્રકાશ માટેના વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનકોણ છે.
બંને પ્રિઝમ એક જ દ્રવ્ય (ક્રાઉન ગ્લાસ) માંથી બનેલા હોવાથી,$(\mu_v - \mu_r)$ પદ બંને માટે સમાન રહેશે.
તેથી,કોણીય વિભાજનનો ગુણોત્તર $\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{A_1}{A_2}$ થશે.
અહીં $A_1 = 10^o$ અને $A_2 = 20^o$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{10^o}{20^o} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 30^\circ$,વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$.
પ્રકાશનું કિરણ એક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,આપાતકોણ $i = 0^\circ$,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂતકોણ $r_1 = 0^\circ$.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $30^\circ = 0^\circ + r_2$,તેથી $r_2 = 30^\circ$.
બીજી સપાટી (સપાટી $AC$) પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin r_2 = 1 \sin e$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} \sin 30^\circ = \sin e$.
$\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \sin e \Rightarrow \sin e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,નિર્ગમન કોણ $e = 45^\circ$.
વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = e - A$ દ્વારા મળે છે (કારણ કે $i=0$ અને $r_1=0$): $\delta = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$.

(C) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ એ પ્રિઝમના કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી આપણે સૂત્રમાં $\delta_m = A$ મૂકીએ:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\mu = \frac{2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2\cos(\frac{A}{2})$
આપેલ છે કે $\mu = 1.732 = \sqrt{3}$,તેથી:
$\sqrt{3} = 2\cos(\frac{A}{2})$
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
કારણ કે $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{A}{2} = 30^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $A = 60^\circ$.

(B) આપેલ છે: વક્રીભવનકોણ $A = 60^\circ$,લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m = 30^\circ$.
પ્રવાહીની સાપેક્ષે પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((60^\circ + 30^\circ)/2)}{\sin(60^\circ/2)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \sqrt{2}$
વક્રીભવનાંક અને ક્રાંતિકોણ $C$ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = 1/\sin(C)$ છે.
તેથી,$\sin(C) = 1/\mu = 1/\sqrt{2}$.
આમ,$C = \sin^{-1}(1/\sqrt{2}) = 45^\circ$.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
આપેલ છે કે ત્રણેય પ્રિઝમ માટે પ્રિઝમ કોણ $A = 60^o$ સમાન છે,તેથી વિચલન કોણ $\delta$ એ વક્રીભવનાંક $\mu$ પર સીધો આધાર રાખે છે,એટલે કે $\delta \propto (\mu - 1)$.
આપેલ પ્રિઝમ માટે:
$\mu_1 = 1.4 \implies \delta_1 = (1.4 - 1) \times 60^o = 0.4 \times 60^o = 24^o$
$\mu_2 = 1.5 \implies \delta_2 = (1.5 - 1) \times 60^o = 0.5 \times 60^o = 30^o$
$\mu_3 = 1.6 \implies \delta_3 = (1.6 - 1) \times 60^o = 0.6 \times 60^o = 36^o$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને $\delta_3 > \delta_2 > \delta_1$ મળે છે.

(C) પ્રિઝમ માટે લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમમાંથી સંમિત રીતે પસાર થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે આપાતકોણ $(i_1)$ એ નિર્ગમન કોણ $(i_2)$ ની બરાબર હોય છે,એટલે કે $i_1 = i_2$.
પરિણામે,પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભવન કોણ $(r_1)$ એ બીજી સપાટી પરના આપાતકોણ $(r_2)$ ની બરાબર હોય છે,એટલે કે $r_1 = r_2$.
કારણ કે $i_1 = i_2$ અને $r_1 = r_2$ છે,તેથી $i_1 = r_1$ ની શરત સામાન્ય રીતે સાચી નથી,સિવાય કે પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $1$ હોય,જે પ્રિઝમ માટે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,વિધાન $i_1 = r_1$ એ $FALSE$ (ખોટું) છે.

(C) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કોણીય વિભાજન $\theta = \omega \delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ વિભાજન શક્તિ છે અને $\delta$ એ સરેરાશ કોણીય વિચલન છે.
બે પ્રિઝમ માટે વિભાજન વગર વિચલન મેળવવા માટે,કુલ કોણીય વિભાજન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\theta_{net} = \theta + \theta' = 0$
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\omega d + \omega' d' = 0$.
તેથી,સાચી શરત $\omega d + \omega' d' = 0$ છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^o$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = 45^o$ અને નિર્ગમનકોણ $e = 45^o$ છે.
આપાતકોણ,નિર્ગમનકોણ,પ્રિઝમનો કોણ અને વિચલનકોણ $\delta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i + e = A + \delta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$45^o + 45^o = 60^o + \delta$
$90^o = 60^o + \delta$
$\delta = 90^o - 60^o = 30^o$.
તેથી,વિચલનકોણ $30^o$ થશે.

(C) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલનનો ખૂણો $\delta_m = A$ છે,તેથી આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2\cos(\frac{A}{2})$.
$A$ ને કર્તા બનાવતા:
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\mu}{2} \Rightarrow \frac{A}{2} = \cos^{-1}(\frac{\mu}{2}) \Rightarrow A = 2\cos^{-1}(\frac{\mu}{2})$.

(B) પ્રિઝમ $Q$ અને $R$ સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે અને તેમનો આકાર પ્રિઝમ $P$ જેવો જ છે.
જ્યારે આ પ્રિઝમને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રિઝમ $Q$ અને $R$ નું સંયોજન અસરકારક રીતે સમાંતર સપાટીઓ ધરાવતા કાચના સ્લેબ તરીકે કાર્ય કરે છે.
સમાંતર સપાટીઓ ધરાવતા કાચના સ્લેબમાંથી પસાર થતું પ્રકાશનું કિરણ પાર્શ્વ સ્થાનાંતર અનુભવે છે પરંતુ તેમાં કોઈ ચોખ્ખું કોણીય વિચલન થતું નથી.
તેથી,પ્રકાશના કિરણ દ્વારા અનુભવાતું કુલ વિચલન એ માત્ર પ્રિઝમ $P$ દ્વારા થતા વિચલન જેટલું જ રહે છે,જે લઘુત્તમ વિચલન છે.

(C) પ્રિઝમનો ખૂણો એ પ્રિઝમની બે વક્રીભવનકારક સપાટીઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પ્રકાશ એક સપાટીમાંથી પ્રવેશે છે અને બીજી સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે. બંને વક્રીભવનકારક સપાટીઓ શિરોબિંદુ $C$ પર મળે છે.
તેથી,શિરોબિંદુ $C$ પરનો ખૂણો એ પ્રિઝમનો ખૂણો દર્શાવે છે.

(A) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની શરત નીચે મુજબ છે: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
લઘુત્તમ વિચલન સમયે,આપાતકોણ $i$,વક્રીભવનાંક $\mu$ અને પ્રિઝમકોણ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$ છે.
આપેલ છે: $\mu = \sqrt{2}$ અને $A = 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin(30^{\circ})}$.
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,તેથી: $\sin i = \sqrt{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$i = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$.

(A) લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,વક્રીભવનનો ખૂણો $r$ એ પ્રિઝમના ખૂણા $A$ સાથે $r = \frac{A}{2}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^o$ છે.
કિંમત મૂકતા,આપણને $r = \frac{60^o}{2} = 30^o$ મળે છે.
તેથી,વક્રીભવનનો ખૂણો $30^o$ છે.

(B) લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર હોય છે.
પ્રિઝમ આડા ટેબલ પર મૂકેલો હોવાથી,તેનો પાયો આડો છે.
તેથી,વક્રીભૂત કિરણ $QR$ પાયાને સમાંતર હોવા માટે,$QR$ પણ આડું હોવું જોઈએ.

(A) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta$ એ સંબંધ $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\mu$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
કોશીના સૂત્ર મુજબ, વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\mu \propto \frac{1}{\lambda^2})$.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં લાલ રંગની તરંગલંબાઇ સૌથી વધુ હોવાથી, તે સૌથી ઓછો વક્રીભવનાંક $\mu$ અનુભવે છે.
પરિણામે, અન્ય રંગોની સરખામણીમાં લાલ રંગ ન્યૂનતમ વિચલન $\delta$ અનુભવે છે.

(A) લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 60^{\circ}$ અને લઘુત્તમ વિચલન $\delta_m = 38^{\circ}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin(\frac{60^{\circ} + 38^{\circ}}{2})}{\sin(\frac{60^{\circ}}{2})}$
$\mu = \frac{\sin(\frac{98^{\circ}}{2})}{\sin(30^{\circ})}$
$\mu = \frac{\sin(49^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$
$\sin(49^{\circ}) \approx 0.7547$ અને $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ ની કિંમત લેતા:
$\mu = \frac{0.7547}{0.5} = 1.5094 \approx 1.5$.

(D) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિચલનનું સૂત્ર $\delta = i_1 + i_2 - A$ છે,જ્યાં $\delta$ એ વિચલન કોણ છે,$i_1$ એ આપાતકોણ છે,$i_2$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આપેલ કિંમતો $\delta = 55^o$,$i_1 = 15^o$ અને $A = 60^o$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $55^o = 15^o + i_2 - 60^o$.
$55^o = i_2 - 45^o$.
$i_2 = 55^o + 45^o = 100^o$.
પ્રિઝમમાંથી કિરણ બહાર નીકળવા માટે નિર્ગમન કોણ $i_2$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યના ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ,તેથી $100^o$ નો ખૂણો ભૌતિક રીતે અશક્ય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) એક્રોમેટિક સંયોજન માટે,ચોખ્ખું વિભાજન શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિભાજન શક્તિઓ આ શરતનું પાલન કરે છે: $(\mu_{v,C} - \mu_{r,C})A_C = -(\mu_{v,F} - \mu_{r,F})A_F$.
આને ફરીથી ગોઠવતા: $\mu_{r,C}A_C + \mu_{r,F}A_F = \mu_{v,C}A_C + \mu_{v,F}A_F$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\mu_{r,C}A_C + \mu_{r,F}A_F = (1.5 \times 19) + (1.66 \times 6) = 28.5 + 9.96 = 38.46 \approx 38.5$.
લાલ પ્રકાશ માટે પરિણામી વિચલન આ મુજબ છે: $\delta_r = (\mu_{r,C} - 1)A_C + (\mu_{r,F} - 1)A_F$.
$\delta_r = (\mu_{r,C}A_C + \mu_{r,F}A_F) - (A_C + A_F)$.
$\delta_r = 38.5 - (19 + 6) = 38.5 - 25 = 13.5^o$.

(D) પ્રિઝમ $120^\circ$ ના ટોચના ખૂણા સાથે સમદ્વિબાજુ છે. પાયાના ખૂણા $(180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$ છે.
પ્રિઝમની સપાટી પર આપાતકોણ $i$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$1.44 \sin(30^\circ) = 1 \sin(e)$,
જ્યાં $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે. તેથી,$\sin(e) = 1.44 \times 0.5 = 0.72$,એટલે કે $e = \sin^{-1}(0.72)$.
દરેક કિરણનું વિચલન $\delta = e - r = \sin^{-1}(0.72) - 30^\circ$ છે.
બહાર આવતા બે કિરણો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $2\delta = 2\{\sin^{-1}(0.72) - 30^\circ\}$ થશે.

(D) ધારો કે પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $i$ છે. કિરણ કોઈપણ વિચલન વિના પ્રિઝમમાંથી પસાર થતું હોવાથી,છેલ્લી સપાટી પરથી નિર્ગમન કોણ પણ $i$ હોવો જોઈએ.
દરેક સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1$. પ્રથમ સપાટી (હવામાંથી પ્રિઝમ $n_1$): $1 \cdot \sin i = n_1 \cdot \sin r_1 \implies \sin^2 i = n_1^2 \sin^2 r_1$ ... $(i)$
$2$. પ્રિઝમ $n_1$ અને $n_2$ વચ્ચેની સપાટી: $n_1 \cdot \sin(90^\circ - r_1) = n_2 \cdot \sin r_2 \implies n_1 \cos r_1 = n_2 \sin r_2 \implies n_1^2 \cos^2 r_1 = n_2^2 \sin^2 r_2$ ... $(ii)$
$3$. પ્રિઝમ $n_2$ અને $n_3$ વચ્ચેની સપાટી: $n_2 \cdot \sin(90^\circ - r_2) = n_3 \cdot \sin r_3 \implies n_2 \cos r_2 = n_3 \sin r_3 \implies n_2^2 \cos^2 r_2 = n_3^2 \sin^2 r_3$ ... $(iii)$
$4$. છેલ્લી સપાટી (પ્રિઝમ $n_3$ માંથી હવામાં): $n_3 \cdot \sin(90^\circ - r_3) = 1 \cdot \sin i \implies n_3 \cos r_3 = \sin i \implies n_3^2 \cos^2 r_3 = \sin^2 i$ ... $(iv)$
$(i)$,$(ii)$,$(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$\sin^2 i + n_1^2 \cos^2 r_1 + n_2^2 \cos^2 r_2 + n_3^2 \cos^2 r_3 = n_1^2 \sin^2 r_1 + n_2^2 \sin^2 r_2 + n_3^2 \sin^2 r_3 + \sin^2 i$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આ સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$n_1^2 + n_3^2 = 1 + n_2^2$.

(A) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $(\delta)$ અને આપાતકોણ $(i)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\delta = (i + e) - A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ વધે છે,તેમ વિચલન કોણ $(\delta)$ શરૂઆતમાં ઘટે છે.
તે એક ચોક્કસ આપાતકોણ પર લઘુત્તમ વિચલન કોણ $(\delta_m)$ તરીકે ઓળખાતા લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
આ બિંદુ પછી,જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ વધવાનું ચાલુ રાખે છે,તેમ વિચલન કોણ $(\delta)$ ફરીથી વધવાનું શરૂ કરે છે.
તેથી,$\delta$ અને $i$ વચ્ચેનો આલેખ એક પરવલય જેવો વક્ર છે જે લઘુત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) નાના ખૂણાવાળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનનો ખૂણો $\delta_m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\delta_m = (\mu - 1)A$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ પ્રકારની સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં $y = \delta_m$,$x = \mu$,$m = A$,અને $c = -A$ છે.
બિંદુ $P$ પર,વિચલન $\delta_m = 0$ છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = (\mu - 1)A$
કારણ કે $A \neq 0$,તેથી $\mu - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = 1$. આમ,બિંદુ $P$ એ $\mu = 1$ ને અનુરૂપ છે.
$\delta_m = A\mu - A$ ની સરખામણી $y = mx + c$ સાથે કરતા,ઢાળ $m$ એ $A$ જેટલો મળે છે.
તેથી,વિધાન $(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ છે: પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 5^o$,લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $\mu_R = 1.5$,અને જાંબલી પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $\mu_V = 1.6$.
પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા કોણીય વિભાજન $\theta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\theta = (\mu_V - \mu_R) A$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (1.6 - 1.5) \times 5^o$
$\theta = 0.1 \times 5^o$
$\theta = 0.5^o$
તેથી,પ્રિઝમ દ્વારા પેદા થતું કોણીય વિભાજન $0.5^o$ છે.

(C) આપેલ છે: કાચનો હવાની સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $^{a}\mu_{g} = 1.53$,પાણીનો હવાની સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક $^{a}\mu_{w} = 1.33$,અને પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$.
પાણીની સાપેક્ષે પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક:
$^{w}\mu_{g} = \frac{^{a}\mu_{g}}{^{a}\mu_{w}} = \frac{1.53}{1.33} \approx 1.15$.
ન્યૂનતમ વિચલન કોણ $\delta_{m}$ માટેનું સૂત્ર:
$^{w}\mu_{g} = \frac{\sin(\frac{A + \delta_{m}}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.15 = \frac{\sin(\frac{60^{\circ} + \delta_{m}}{2})}{\sin(30^{\circ})}$.
$\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી:
$\sin(\frac{60^{\circ} + \delta_{m}}{2}) = 1.15 \times 0.5 = 0.575$.
ઇન્વર્સ સાઇન લેતા:
$\frac{60^{\circ} + \delta_{m}}{2} = \sin^{-1}(0.575) \approx 35.1^{\circ}$.
$\delta_{m}$ માટે ઉકેલતા:
$60^{\circ} + \delta_{m} = 70.2^{\circ} \implies \delta_{m} = 10.2^{\circ}$.

(B) પ્રિઝમમાંથી પસાર થતા પ્રકાશના કિરણ માટે,ન્યૂનત્તમ વિચલનની શરત એ છે કે આપાતકોણ એ નિર્ગમનકોણ જેટલો હોય $(i = e)$.
આ સંમિત સ્થિતિમાં,પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ $(QR)$ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર બને છે.
પ્રિઝમ સમક્ષિતિજ ટેબલ પર મૂકેલો હોવાથી,તેનો પાયો સમક્ષિતિજ છે.
તેથી,ન્યૂનત્તમ વિચલન માટે,પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ $QR$ સમક્ષિતિજ હોવું જોઈએ.

(A) નાના પ્રિઝમ કોણ $A$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ ધરાવતા પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\delta = (\mu - 1) A$
આ સૂત્ર સામાન્ય પ્રિઝમ સૂત્ર $\delta = i + e - A$ પરથી મેળવવામાં આવે છે. નાના ખૂણાઓ માટે,આપાતકોણ અને વક્રીભૂતકોણ નાના હોય છે,જેના પરિણામે $\delta = (\mu - 1) A$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$ અને પ્રિઝમનો કોણ $A = 30^\circ$ છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ પોલિશ કરેલી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામીને તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે છે,ત્યારે તે સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
તેથી,બીજી સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_2 = 0^\circ$ થશે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ પરથી,$30^\circ = r_1 + 0^\circ$,જે આપણને $r_1 = 30^\circ$ આપે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^\circ}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^\circ = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$i = 45^\circ$.

(C) ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ માટે,વિચલનકોણ $(\delta)$ એ આપાતકોણ $(i)$ સાથે બદલાય છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ વધે છે,તેમ વિચલનકોણ $(\delta)$ પહેલા ઘટે છે,લઘુત્તમ વિચલનકોણ $(\delta_m)$ તરીકે ઓળખાતા ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને ત્યારબાદ વધે છે.
આ સંબંધ એક $U$-આકારના વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે પ્રિઝમ માટે વિચલન વિરુદ્ધ આપાતકોણના આલેખની લાક્ષણિકતા છે.

(A) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $(\delta)$ એ આપાતકોણ $(i)$ પર આધાર રાખે છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ વધે છે,તેમ વિચલન કોણ $(\delta)$ પહેલા ઘટે છે,એક ન્યૂનતમ મૂલ્ય (જેને ન્યૂનતમ વિચલન કોણ,$\delta_m$ કહેવાય છે) સુધી પહોંચે છે,અને ત્યારબાદ વધવાનું શરૂ કરે છે.
આ સંબંધ એક પરવલયાકાર વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $\delta$ ને $y$-અક્ષ પર અને $i$ ને $x$-અક્ષ પર લેવામાં આવે છે.
આલેખ $\delta$ ના ચોક્કસ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે,ન્યૂનતમ સુધી ઘટે છે અને પછી ફરીથી વધે છે.
આ પ્રથમ વિકલ્પ (આકૃતિ $179-$a126) માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(A) પ્રિઝમમાં,વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = (i_1 + i_2) - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
ન્યૂનત્તમ વિચલન માટે,શરત એ છે કે આપાતકોણ એ નિર્ગમનકોણ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$i_1 = i_2$.
આ સ્થિતિમાં,પ્રિઝમની અંદરનો પ્રકાશનો કિરણ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર પસાર થાય છે.

(C) વિચલન વગર વિભાજન માટેની શરત $(\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$ છે.
આપેલ છે: $A = 15^\circ$,$\mu = 1.65$,$\omega = 0.03$ (ફિલન્ટ) અને $\mu' = 1.52$,$\omega' = 0.02$ (ક્રાઉન).
કિંમતો મૂકતા: $(1.65 - 1) \times 15^\circ + (1.52 - 1) \times A' = 0$.
$0.65 \times 15^\circ + 0.52 \times A' = 0$.
$A' = -\frac{0.65 \times 15^\circ}{0.52} = -18.75^\circ$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રિઝમ વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાયેલા છે.
ચોખ્ખું કોણીય વિભાજન $\delta_{\theta} = \omega(\mu - 1)A + \omega'(\mu' - 1)A'$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $(\mu - 1)A = -(\mu' - 1)A'$,તેથી $\delta_{\theta} = \omega(\mu - 1)A - \omega'(\mu - 1)A = (\omega - \omega')(\mu - 1)A$.
$\delta_{\theta} = (0.03 - 0.02) \times (1.65 - 1) \times 15^\circ$.
$\delta_{\theta} = 0.01 \times 0.65 \times 15^\circ = 0.0975^\circ$.

(C) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$,પ્રિઝમનો કોણ $A = 30^{\circ}$,વિચલનકોણ $\delta = 30^{\circ}$.
વિચલનકોણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\delta = i + e - A$.
કિંમતો મૂકતા: $30^{\circ} = 60^{\circ} + e - 30^{\circ}$.
નિર્ગમનકોણ માટે ઉકેલતા: $e = 0^{\circ}$.
જેથી $e = 0^{\circ}$,નિર્ગમન કિરણ બીજી સપાટીને લંબ છે,તેથી બીજી સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_2 = 0^{\circ}$.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા: $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,જે $r_1 = 30^{\circ}$ આપે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
$\mu = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમકોણ $A = 60^\circ$ છે.
આપેલ છે કે ન્યૂનત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A = 60^\circ$ છે.
ન્યૂનત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$i = \frac{A + \delta_m}{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{60^\circ + 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
તેથી,આપાતકોણ $60^\circ$ છે.

(B) પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ $i$,પ્રિઝમકોણ $A$ અને ન્યૂનતમ વિચલનકોણ $\delta_m$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{A + \delta_m}{2}$
આપેલ છે:
$A = 60^{\circ}$
$\delta_m = 30^{\circ}$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$i = \frac{60^{\circ} + 30^{\circ}}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$
તેથી,આપાતકોણ $45^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ છે:
પ્રિઝમનો ખૂણો,$A = 6^{\circ}$
વક્રીભવનાંક,$\mu = 1.5$
પાતળા પ્રિઝમ માટે,ન્યૂનત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\delta_m = (\mu - 1)A$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\delta_m = (1.5 - 1) \times 6^{\circ}$
$\delta_m = 0.5 \times 6^{\circ}$
$\delta_m = 3^{\circ}$
તેથી,ન્યૂનત્તમ વિચલનકોણ $3^{\circ}$ થશે.

(A) પ્રિઝમમાં,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = i + e - A$ છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે,$e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમકોણ છે.
ન્યૂનત્તમ વિચલનની સ્થિતિએ,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમમાંથી સંમિત રીતે પસાર થાય છે.
આ સંમિતિ સૂચવે છે કે આપાતકોણ એ નિર્ગમન કોણ જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $i = e$.
તેથી,ન્યૂનત્તમ વિચલનની સ્થિતિએ નિર્ગમન કોણ એ આપાતકોણ જેટલો હોય છે.

(C) પ્રિઝમ માટે,ન્યૂનત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં આપાતકોણ $i$,પ્રિઝમ કોણ $A$ અને ન્યૂનત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $i = \frac{A + \delta_m}{2}$.
આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 40^{\circ}$ અને આપાતકોણ $i = 38^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$38 = \frac{40 + \delta_m}{2}$
$76 = 40 + \delta_m$
$\delta_m = 76 - 40 = 36^{\circ}$.
આમ,ન્યૂનત્તમ વિચલન કોણ $36^{\circ}$ છે.

(D) આપાત કિરણ તેના માર્ગે પાછું ફરતું હોવાથી,તે પ્રિઝમની ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે (એટલે કે $90^\circ$ ના ખૂણે).
પ્રિઝમના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ લો,જ્યાં $D$ એ $AC$ સપાટી પરનું આપાતબિંદુ છે અને $E$ એ ચાંદીવાળી સપાટી પરનું બિંદુ છે. $\triangle AED$ માં,ખૂણાઓ $30^\circ, 90^\circ$ અને $\angle ADE$ છે.
$\triangle AED$ ના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય.
$30^\circ + 90^\circ + \angle ADE = 180^\circ \Rightarrow \angle ADE = 60^\circ$.
વક્રીભવન કોણ $r$ એ $D$ આગળના લંબ અને વક્રીભૂત કિરણ $DE$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. લંબ એ $AC$ સપાટીને લંબ હોવાથી,$\angle r + \angle ADE = 90^\circ$ થાય.
$\angle r = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
$AC$ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$
$\sin i = \sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ$
$\sin i = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i = 45^\circ$.

(A) આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 60^\circ$,વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{2}$.
ન્યૂનત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ ના સંદર્ભમાં પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{2} = \frac{\sin((60^\circ + \delta_m)/2)}{\sin(60^\circ/2)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin(30^\circ + \delta_m/2)}{\sin(30^\circ)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$:
$\sqrt{2} \times 0.5 = \sin(30^\circ + \delta_m/2)$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(30^\circ + \delta_m/2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$45^\circ = 30^\circ + \delta_m/2$
$15^\circ = \delta_m/2$
$\delta_m = 30^\circ$.

(C) ન્યૂનત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$ છે.
આપેલ છે: $\mu = \sqrt{2}$ અને $A = 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} = \frac{\sin(\frac{60^{\circ} + \delta_m}{2})}{\sin(30^{\circ})}$.
$\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી: $\sqrt{2} \times 0.5 = \sin(\frac{60^{\circ} + \delta_m}{2})$.
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{60^{\circ} + \delta_m}{2}) \Rightarrow \sin(45^{\circ}) = \sin(\frac{60^{\circ} + \delta_m}{2})$.
ખૂણાઓને સરખાવતા: $45^{\circ} = \frac{60^{\circ} + \delta_m}{2} \Rightarrow 90^{\circ} = 60^{\circ} + \delta_m \Rightarrow \delta_m = 30^{\circ}$.
ન્યૂનત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ નું સૂત્ર: $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ છે.
$i = \frac{60^{\circ} + 30^{\circ}}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમકોણ $A = 60^o$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો છે,અને $i = e = (3/4)A$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા:
$i = e = (3/4) \times 60^o = 45^o$.
વિચલન કોણ $\delta$ માટેનું સૂત્ર:
$\delta = i + e - A$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\delta = 45^o + 45^o - 60^o$.
$\delta = 90^o - 60^o = 30^o$.
આમ,વિચલન કોણ $30^o$ છે.