Refraction Through Prism Questions in Gujarati

(C) લઘુત્તમ વિચલન સમયે,$\delta_m = 2i - A = A$,જે સૂચવે છે કે $i = A$. કારણ કે $i_1 = i_2 = i$ અને $r_1 = r_2 = r$,તેથી $2r = A$,એટલે કે $r = A/2$.
આમ,$r_1 = i_1/2$,જે વિકલ્પ [$A$] ને સાચો ઠેરવે છે.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin i = \mu \sin r \implies \sin A = \mu \sin(A/2) \implies 2 \sin(A/2) \cos(A/2) = \mu \sin(A/2) \implies \mu = 2 \cos(A/2)$.
ગોઠવતા $\cos(A/2) = \mu/2$ મળે,તેથી $A = 2 \cos^{-1}(\mu/2)$. વિકલ્પ [$B$] ખોટો છે.
બહાર આવતું કિરણ સ્પર્શક હોય તે માટે,$i_2 = 90^\circ$,તેથી $r_2 = \theta_c = \sin^{-1}(1/\mu)$. પછી $r_1 = A - r_2 = A - \sin^{-1}(1/\mu)$.
$\sin i_1 = \mu \sin r_1 = \mu \sin(A - \sin^{-1}(1/\mu)) = \mu [\sin A \cos(\sin^{-1}(1/\mu)) - \cos A \sin(\sin^{-1}(1/\mu))] = \mu [\sin A \sqrt{1 - 1/\mu^2} - \cos A (1/\mu)] = \sin A \sqrt{\mu^2 - 1} - \cos A$.
$\mu = 2 \cos(A/2)$ મૂકતા,$\mu^2 - 1 = 4 \cos^2(A/2) - 1$. આમ,$i_1 = \sin^{-1}[\sin A \sqrt{4 \cos^2(A/2) - 1} - \cos A]$. વિકલ્પ [$C$] સાચો છે.
લઘુત્તમ વિચલન સમયે,પ્રિઝમની અંદરનું કિરણ પાયાને સમાંતર હોય છે,જે $i_1 = i_2 = A$ હોય ત્યારે થાય છે. વિકલ્પ [$D$] સાચો છે.

(A) $1$. સપાટી $AB$ પર: સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$1 \cdot \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3} \cdot \sin(r_1)$.
$\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = 1/2$,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
$2$. પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણમાં,સપાટી $CD$ પર આપાતકોણ $r_2 = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (90^{\circ} - 30^{\circ}) - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ છે.
$3$. ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(1/\sqrt{3}) \approx 35.26^{\circ}$. કારણ કે $r_2 = 45^{\circ} > C$,કિરણ સપાટી $CD$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામે છે.
$4$. પરાવર્તન પછી,કિરણ સપાટી $AD$ પર $i' = 30^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
$5$. સપાટી $AD$ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot \sin(e)$.
$\sin(e) = \sqrt{3}/2$,તેથી $e = 60^{\circ}$.
$6$. કુલ વિચલન $\delta = 90^{\circ}$ છે. આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે,અને આપાત તથા નિર્ગમન કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $(C)$ સાચું છે.

(C) બીજી સપાટી પર તમામ $\theta \leq 60^{\circ}$ માટે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થાય તે માટે,પ્રિઝમની અંદરના ન્યૂનતમ આપાતકોણ પર શરત સંતોષાવી જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_1$ છે અને બીજી સપાટી પર આપાતકોણ $r_2$ છે.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$r_1 + r_2 = A = 75^{\circ}$.
બીજી સપાટી પર $TIR$ માટે,આપાતકોણ $r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{n}{n_0}$.
જેમ $\theta$ ઘટે છે,તેમ $r_1$ ઘટે છે,અને પરિણામે $r_2 = 75^{\circ} - r_1$ વધે છે.
$TIR$ માટેની શરત $\theta = 60^{\circ}$ પર સીમાંત સ્થિતિમાં છે.
$\theta = 60^{\circ}$ પર,પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \sin r_1 \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r_1 \Rightarrow r_1 = 30^{\circ}$.
તેથી,$r_2 = 75^{\circ} - 30^{\circ} = 45^{\circ}$.
આ સપાટી પર $TIR$ માટે,$r_2 \geq C$,તેથી $45^{\circ} \geq C$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 45^{\circ} \geq \sin C = \frac{n}{\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \geq \frac{n}{\sqrt{3}} \Rightarrow n \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$.
સીમાંત મૂલ્ય $n = \sqrt{1.5}$ છે,તેથી $n^2 = 1.5$.

(C) સપ્રમાણ પ્રિઝમ $(n_1=n_2=n)$ માં ન્યૂનતમ વિચલન માટે,આપાતકોણ $i$ એ $\sin i = n \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\theta=60^{\circ}$,$\sin i = 1.5 \times \sin 30^{\circ} = 1.5 \times 0.5 = 0.75 = 3/4$.
બીજી સપાટી પર,આપાતકોણ $r_2 = 30^{\circ}$ છે. બીજી સપાટી પર વક્રીભવન $n_2 \sin r_2 = 1 \sin e$ છે.
$n_1=n$ અને $n_2=n+\Delta n$ માટે,પ્રકાશ પ્રથમ સપાટી પર $i$ કોણે પ્રવેશે છે અને $r_1=30^{\circ}$ પર વક્રીભવન પામે છે. ત્યારબાદ તે બીજી સપાટી તરફ જાય છે. પ્રિઝમ સપ્રમાણ હોવાથી,કિરણ બીજી સપાટી પર $r_2=30^{\circ}$ પર અથડાય છે.
આમ,$(n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = \sin e$.
$e = i + \Delta e$ હોવાથી,આપણને મળે $\sin(i + \Delta e) = (n+\Delta n) \sin 30^{\circ} = n \sin 30^{\circ} + \Delta n \sin 30^{\circ} = \sin i + \Delta n \sin 30^{\circ}$.
$\sin(i + \Delta e) \approx \sin i + \Delta e \cos i$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\Delta e \cos i = \Delta n \sin 30^{\circ}$.
$\sin i = 3/4$ હોવાથી,$\cos i = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \sqrt{7}/4$.
$\Delta e = \Delta n \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos i} = \Delta n \frac{0.5}{\sqrt{7}/4} = \Delta n \frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.756 \Delta n$.
$0.756 < 1$ હોવાથી,$\Delta e < \Delta n$. તેથી,$(A)$ ખોટું છે.
$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \Delta n$ હોવાથી,$\Delta e$ એ $\Delta n$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$\Delta n = 2.8 \times 10^{-3}$ માટે,$\Delta e = (2/\sqrt{7}) \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 0.756 \times 2.8 \times 10^{-3} \approx 2.11 \times 10^{-3} \text{ rad} = 2.11 \text{ mrad}$.
આ મૂલ્ય $2.0$ અને $3.0$ mrad ની વચ્ચે છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.

(B) પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sin(60^{\circ}) = n \sin(r_1) \Rightarrow \sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$,તેથી $r_1 + r_2 = 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 60^{\circ} - r_1$.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $n \sin(r_2) = \sin(\theta)$.
$r_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\sin(\theta) = n \sin(60^{\circ} - r_1) = n [\sin(60^{\circ}) \cos(r_1) - \cos(60^{\circ}) \sin(r_1)]$.
કારણ કે $\sin(r_1) = \frac{\sqrt{3}}{2n}$,તેથી $\cos(r_1) = \sqrt{1 - \frac{3}{4n^2}} = \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n}$.
આ કિંમતોને $\sin(\theta)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin(\theta) = n [\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4n^2 - 3}}{2n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2n}] = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{4n^2 - 3} - 1)$.
$n$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\cos(\theta) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{4n^2 - 3}} \cdot 8n = \frac{\sqrt{3} n}{\sqrt{4n^2 - 3}}$.
$n = \sqrt{3}$ અને $\theta = 60^{\circ}$ માટે,$\cos(60^{\circ}) \frac{d\theta}{dn} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4(3) - 3}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{d\theta}{dn} = 1 \Rightarrow \frac{d\theta}{dn} = 2$. આમ,$m = 2$.

(A) પ્રિઝમ $P_2$ માં લઘુત્તમ વિચલન માટે,$P_2$ ની બીજી સપાટી પરનો આપાતકોણ એ નિર્ગમન કોણ જેટલો હોવો જોઈએ,અને $P_2$ ની અંદરનું કિરણ પાયાને સમાંતર હોવું જોઈએ. સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,આનો અર્થ એ છે કે $P_2$ ની પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 30^{\circ}$ છે.
$P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેના સંપર્ક પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા ($P_1$ નો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = \sqrt{3/2}$ અને $P_2$ નો $\mu_2 = \sqrt{3}$):
$\mu_1 \sin r_2' = \mu_2 \sin r_2$
$\sqrt{\frac{3}{2}} \sin r_2' = \sqrt{3} \sin 30^{\circ}$
$\sqrt{\frac{3}{2}} \sin r_2' = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin r_2' = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$r_2' = 45^{\circ}$
પ્રિઝમ $P_1$ સમબાજુ હોવાથી,વક્રીભવન કોણોનો સરવાળો $r_1 + r_2' = A = 60^{\circ}$ થાય.
$r_1 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
$P_1$ ની પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા (શૂન્યાવકાશનો વક્રીભવનાંક $1$ છે):
$1 \sin \theta = \sqrt{\frac{3}{2}} \sin 15^{\circ}$
$\theta = \sin^{-1}\left[\sqrt{\frac{3}{2}} \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)\right]$
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = 12$ મળે છે.

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta_{min}}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{min}$ એ પ્રિઝમના કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી આપણે સૂત્રમાં $\delta_{min} = A$ મૂકીએ.
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + A}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,એટલે કે $A = 60^{\circ}$.

(B) વિચલન રહિત વિભાજન માટે,બે પાતળા પ્રિઝમના સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
કુલ વિચલન $\delta_{\text{net}} = \delta_1 - \delta_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
તેથી,$(\mu_1 - 1)A_1 - (\mu_2 - 1)A_2 = 0$.
આપેલ છે કે $\mu_1 = 1.54$,$A_1 = 4^{\circ}$,અને $\mu_2 = 1.72$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.54 - 1) \times 4^{\circ} - (1.72 - 1) \times A_2 = 0$.
$0.54 \times 4 = 0.72 \times A_2$.
$2.16 = 0.72 \times A_2$.
$A_2 = \frac{2.16}{0.72} = 3^{\circ}$.

(C) પ્રિઝમ માટે,વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
અહીં $A = 60^{\circ}$ અને $\mu = \sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી: $\sqrt{2} = \frac{\sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)}{\sin(30^{\circ})}$.
$\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી,$\sqrt{2} \times 0.5 = \sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)$,જેનું સાદું રૂપ $\sin(45^{\circ}) = \sin((60^{\circ} + \delta_m)/2)$ થાય છે.
તેથી,$45^{\circ} = (60^{\circ} + \delta_m)/2$,જેનો અર્થ છે કે $90^{\circ} = 60^{\circ} + \delta_m$,એટલે કે $\delta_m = 30^{\circ}$.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ એ પ્રિઝમ કોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ સાથે આ સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ છે: $i = (A + \delta_m)/2$.
કિંમતો મૂકતા: $i = (60^{\circ} + 30^{\circ})/2 = 90^{\circ}/2 = 45^{\circ}$.

(A) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ વિચલનની સ્થિતિમાં $(\delta_{\text{min}})$,આપાતકોણ અને નિર્ગમન કોણ સમાન હોય છે $(i = e)$.
આ સ્થિતિમાં,પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર હોય છે.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે અંદરનું કિરણ પાયાને સમાંતર છે.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે ન્યૂનતમ વિચલન સમયે $i = e$ હોય છે.
વિધાન $(D)$ સાચું છે કારણ કે કોઈપણ વિચલન $\delta > \delta_{\text{min}}$ માટે,આપાતકોણના બે મૂલ્યો $i_1$ અને $i_2$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $i_1 = e$ અને $i_2 = i$ થાય,પરિણામે સમાન વિચલન મળે છે.
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે મોટો પ્રિઝમ કોણ $A$ સામાન્ય રીતે ન્યૂનતમ વિચલનનો મોટો કોણ આપે છે.
વિધાન $(E)$ ખોટું છે કારણ કે ન્યૂનતમ વિચલન સમયે $r_1 = r_2 = A/2$ હોય છે,તેથી વક્રીભવન કોણ પ્રિઝમ કોણ કરતા અડધો હોય છે,બમણો નહીં.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (C)$ અને $(D)$ છે.

(C) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin \left(\frac{\delta_{\min} + A}{2}\right)}{\sin(A/2)}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{\min} = A$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + A}{2}\right)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$.
આપેલ છે કે $\mu = 1.5 = \frac{3}{2}$,તેથી:
$\frac{3}{2} = 2 \cos(A/2) \Rightarrow \cos(A/2) = \frac{3}{4} = 0.75$.
કારણ કે $\cos 41^{\circ} = 0.75$,તેથી $A/2 = 41^{\circ}$.
આમ,$A = 82^{\circ}$.

(D) આલેખ પરથી,લઘુત્તમ વિચલન સમયે,$\delta_m = 60^{\circ}$ અને અનુરૂપ આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે.
લઘુત્તમ વિચલન માટે,$i = e$,તેથી $\delta_m = 2i - A$.
$60^{\circ} = 2(60^{\circ}) - A \Rightarrow A = 60^{\circ}$. આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((60^{\circ} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$65^{\circ}$ ના વિચલન માટે,આલેખ બે શક્ય આપાતકોણ દર્શાવે છે,$i_1$ અને $70^{\circ}$. કારણ કે $\delta = i + e - A$,$i = 70^{\circ}$ માટે,$65^{\circ} = 70^{\circ} + e - 60^{\circ} \Rightarrow e = 55^{\circ}$. પ્રતિવર્તીતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જો $i = 70^{\circ}$ હોય તો $e = 55^{\circ}$ મળે,તો $i = 55^{\circ}$ માટે $e = 70^{\circ}$ મળે. આમ,$i_1 = 55^{\circ}$. વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(C) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$,અને વિચલનકોણ $\delta = 30^{\circ}$.
પ્રિઝમ માટે વિચલનનું સૂત્ર વાપરતા: $\delta = i + e - A$.
કિંમતો મૂકતા: $30^{\circ} = 60^{\circ} + e - 30^{\circ}$.
નિર્ગમનકોણ માટે ઉકેલતા: $e = 30^{\circ} - 60^{\circ} + 30^{\circ} = 0^{\circ}$.
જેથી નિર્ગમનકોણ $e = 0^{\circ}$ છે,કિરણ બીજી સપાટી પરથી લંબરૂપે બહાર આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 0^{\circ}$.
સંબંધ $r_1 + r_2 = A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r_1 + 0^{\circ} = 30^{\circ}$ મળે છે,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
$\mu = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(D) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણનું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષમાં પ્રિઝમ દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
$1$. જ્યારે પ્રિઝમ હવામાં હોય:
$\mu_1 = \frac{\mu_{\text{glass}}}{\mu_{\text{air}}} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$
$\delta_1 = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$
$2$. જ્યારે પ્રિઝમ પાણીમાં હોય:
$\mu_2 = \frac{\mu_{\text{glass}}}{\mu_{\text{water}}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$
$\delta_2 = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$
$3$. ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{\delta_1}{\delta_2} = \frac{\frac{1}{2}A}{\frac{1}{8}A} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$
તેથી,ગુણોત્તર $\delta_1 : \delta_2$ એ $4 : 1$ છે.

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
જ્યારે પ્રિઝમ હવામાં હોય,ત્યારે વક્રીભવનાંક ${ }_{a} \mu_{g} = \frac{3}{2}$ છે. તેથી,$\delta_1 = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
જ્યારે પ્રિઝમને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે,ત્યારે પાણીની સાપેક્ષ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક ${ }_{w} \mu_{g} = \frac{{ }_{a} \mu_{g}}{{ }_{a} \mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય.
તેથી,$\delta_2 = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$.
ગુણોત્તર $\delta_2 : \delta_1 = \frac{\frac{1}{8}A}{\frac{1}{2}A} = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{1}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 30^{\circ}$,આપાતકોણ $i_1 = 60^{\circ}$ અને વિચલન કોણ $\delta = 30^{\circ}$.
પ્રિઝમ માટે,વિચલનનું સૂત્ર $\delta = (i_1 + i_2) - A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $30^{\circ} = (60^{\circ} + i_2) - 30^{\circ}$.
$30^{\circ} = 30^{\circ} + i_2$,જે આપણને $i_2 = 0^{\circ}$ આપે છે.
નિર્ગમન કોણ $i_2 = 0^{\circ}$ હોવાથી,નિર્ગમન કિરણ બીજી સપાટીને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0^{\circ}$ છે.
સંબંધ $r_1 + r_2 = A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r_1 + 0^{\circ} = 30^{\circ}$ મળે છે,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu_1 \sin i_1 = \mu_2 \sin r_1$.
આસપાસનું માધ્યમ હવા છે તેમ ધારતા $(\mu_1 = 1)$: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu_2 \sin 30^{\circ}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \mu_2 \cdot \frac{1}{2}$.
તેથી,$\mu_2 = \sqrt{3} \approx 1.732$.

(B) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની શરત સૂત્ર $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ પ્રિઝમમાં,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ હોય છે.
આપાતકોણ $i = 50^{\circ}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$50^{\circ} = \frac{60^{\circ} + \delta_m}{2}$
$100^{\circ} = 60^{\circ} + \delta_m$
$\delta_m = 100^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$.
આમ,લઘુત્તમ વિચલનનો કોણ $40^{\circ}$ છે.

(A) સામાન્ય પ્રિઝમનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$ છે.
સમમિતિય (સમબાજુ) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ હોય છે.
સૂત્રમાં $A = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{60^{\circ}+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)}$
$\mu = \frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)}{\sin 30^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\mu = \frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)}{1/2}$
$\mu = 2 \sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)$.

(D) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ આસપાસના માધ્યમની સાપેક્ષ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
હવામાં,હવાના સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક $_{a}\mu_{g} = \frac{3}{2}$ છે. તેથી,$\delta_1 = (_{a}\mu_{g} - 1)A = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
જ્યારે પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીના સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક $_{w}\mu_{g} = \frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ થાય છે.
નવો લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_2 = (_{w}\mu_{g} - 1)A = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$ છે.
$\delta_2$ અને $\delta_1$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{\frac{1}{8}A}{\frac{1}{2}A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\delta_2 = \frac{\delta_1}{4}$.

(C) વિભાજન શક્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{\delta_v - \delta_R}{\delta_y}$ છે,જ્યાં $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_R}{2}$ એ સરેરાશ વિચલન છે.
પ્રિઝમ $A$ માટે:
$\delta_y = \frac{12^{\circ} + 10^{\circ}}{2} = 11^{\circ}$.
$\omega_A = \frac{12^{\circ} - 10^{\circ}}{11^{\circ}} = \frac{2}{11}$.
પ્રિઝમ $B$ માટે:
$\delta_y = \frac{10^{\circ} + 8^{\circ}}{2} = 9^{\circ}$.
$\omega_B = \frac{10^{\circ} - 8^{\circ}}{9^{\circ}} = \frac{2}{9}$.
તેમની વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2/11}{2/9} = \frac{9}{11}$ છે.

(D) ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પ્રકાશનું કિરણ તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
પ્રિઝમમાં,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ '$r_1$' છે. પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,બીજી સપાટી પર આપાતકોણ '$r_2$' છે. કિરણ લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,'$r_2 = 0$'.
સંબંધ '$A = r_1 + r_2$' નો ઉપયોગ કરતા,આપણને '$A = r_1 + 0$' મળે છે,તેથી '$r_1 = A$'.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: '$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$'.
આપાતકોણ '$i = 2A$' આપેલ હોવાથી,'$\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$'.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ '$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$' નો ઉપયોગ કરતા,આપણને '$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$' મળે છે.
આમ,પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક '$2 \cos A$' છે.

(A) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y}$ છે,જ્યાં $\delta_v$ એ જાંબલી પ્રકાશ માટેનું વિચલન છે,$\delta_r$ એ લાલ પ્રકાશ માટેનું વિચલન છે,અને $\delta_y$ એ સરેરાશ વિચલન છે,જે $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_r}{2}$ દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
પ્રથમ પ્રિઝમ માટે:
$\delta_v = 11^{\circ}$,$\delta_r = 9^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{11 + 9}{2} = 10^{\circ}$.
$\omega_1 = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
બીજા પ્રિઝમ માટે:
$\delta_v = 13^{\circ}$,$\delta_r = 11^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{13 + 11}{2} = 12^{\circ}$.
$\omega_2 = \frac{13 - 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
બીજા પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિનો પહેલા પ્રિઝમ સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{1/6}{1/5} = \frac{5}{6}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $5: 6$ છે.

(C) આપેલ છે: કિરણ બીજી સપાટી પરથી લંબરૂપે બહાર નીકળે છે,તેથી નિર્ગમન કોણ $e = 0$ છે.
$e = 0$ હોવાથી,બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0$ થશે.
પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = r_1 + r_2$. $r_2 = 0$ મૂકતા,આપણને $A = r_1$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ નાનો હોવાથી,$i$ અને $r_1$ પણ નાના હશે,તેથી $\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$ લઈ શકાય.
આમ,$\mu = \frac{i}{r_1}$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{i}{A}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $i = \mu A$.

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $(i)$ એ નિર્ગમનકોણ $(e)$ જેટલો છે,અને $e = \frac{3}{4} A$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
કારણ કે $i = e$,તેથી $i = 45^{\circ}$ થાય.
વિચલનકોણ $(\delta)$ માટેનું સૂત્ર $\delta = i + e - A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(B) આપેલ છે,વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{3}$.
લઘુત્તમ વિચલન માટેની શરત $\delta = A$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$ છે.
સૂત્રમાં $\delta = A$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{\sin A}{\sin (A/2)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin (A/2) \cos (A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin (A/2) \cos (A/2)}{\sin (A/2)} = 2 \cos (A/2)$.
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{3} = 2 \cos (A/2) \Rightarrow \cos (A/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $A/2 = 30^{\circ}$.
આમ,$A = 60^{\circ}$.

(D) આપેલ છે: પ્રિઝમનો કોણ $A = 30^{\circ}$,વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$,અને આપાતકોણ $i_1 = 0^{\circ}$ (કારણ કે કિરણ સપાટીને લંબ છે).
$i_1 = 0^{\circ}$ હોવાથી,વક્રીભવન કોણ $r_1$ પણ $0^{\circ}$ થશે.
સંબંધ $r_1 + r_2 = A$ નો ઉપયોગ કરતા,$0^{\circ} + r_2 = 30^{\circ}$,તેથી $r_2 = 30^{\circ}$ મળે.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(i_2)$.
$1.5 \cdot \sin(30^{\circ}) = \sin(i_2)$.
$1.5 \cdot 0.5 = \sin(i_2) \Rightarrow \sin(i_2) = 0.75$.
આપેલ છે કે $\sin(48.6^{\circ}) = 0.75$,તેથી $i_2 = 48.6^{\circ}$.
વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = (i_1 + i_2) - A$ છે.
$\delta = (0^{\circ} + 48.6^{\circ}) - 30^{\circ} = 18.6^{\circ}$.

(A) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = r_1 + r_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિરણ બીજી સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી,નિર્ગમન કોણ $e = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 0$.
તેથી,$A = r_1$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $n = \frac{\sin i}{\sin A}$ મળે છે.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,ખૂણા $i$ અને $A$ ખૂબ નાના હોય છે,તેથી $\sin i \approx i$ અને $\sin A \approx A$.
આમ,$n = \frac{i}{A}$,જે પરથી $i = An$ મળે છે.

(D) બહાર આવતું કિરણ બીજી સપાટીને સમાંતર પસાર થાય છે,તેથી નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ}$ છે.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $\mu = \frac{\sin e}{\sin r_2} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin r_2} = \frac{1}{\sin r_2}$.
અહીં $\mu = \sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $\sin r_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 45^{\circ}$.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમ કોણ $A = 60^{\circ}$ હોય છે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $\frac{\sin i}{\sin r_1} = \mu$.
તેથી,$\sin i = \mu \sin r_1 = \sqrt{2} \sin 15^{\circ}$.
આમ,$i = \sin ^{-1}(\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$.

(D) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta = A(n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચલન વગરના વિભાજન માટે,કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિચલન બીજા પ્રિઝમ દ્વારા વિરુદ્ધ દિશામાં ઉત્પન્ન થયેલા વિચલન જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\delta_{1} = \delta_{2}$.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $A_{1}(n_{1} - 1) = A_{2}(n_{2} - 1)$.
અહીં $A_{1} = 4^{\circ}$,$n_{1} = 1.54$,અને $n_{2} = 1.72$ આપેલ છે.
$4(1.54 - 1) = A_{2}(1.72 - 1)$.
$4 \times 0.54 = A_{2} \times 0.72$.
$A_{2} = \frac{4 \times 0.54}{0.72} = \frac{2.16}{0.72} = 3^{\circ}$.

(C) નાના ખૂણા '$A$' ધરાવતા પાતળા પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ '$i$',વક્રીભવનકોણ '$r_1$' અને નિર્ગમનકોણ '$r_2$' વચ્ચેનો સંબંધ $A = r_1 + r_2$ છે.
કિરણ સામેની સપાટી પરથી લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી,નિર્ગમનકોણ $0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 0$.
તેથી,$A = r_1 + 0$,એટલે કે $r_1 = A$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$.
આમ,$\mu = \frac{i}{r_1}$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{i}{A}$ મળે છે,જેનું સાદુરૂપ આપતા $i = \mu A$ મળે છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો છે,અને $i = e = \frac{3}{4}A$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા:
$i = e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
વિચલનકોણ $\delta$ માટેનું સૂત્ર $\delta = i + e - A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ}$.
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
તેથી,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(A) નાના ખૂણા '$A$' ધરાવતા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ '$\delta$' નું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રિઝમ માટેનો સંબંધ: $i + e = A + \delta$ છે.
અહીં આપેલ છે કે કિરણ બીજી સપાટી પરથી લંબરૂપે બહાર નીકળે છે,તેથી નિર્ગમન કોણ '$e$' નું મૂલ્ય $0$ થશે.
સંબંધમાં $e = 0$ અને $\delta = (\mu - 1)A$ મૂકતા:
$i + 0 = A + (\mu - 1)A$
$i = A + \mu A - A$
$i = \mu A$.
તેથી,આપાતકોણ $\mu A$ છે.

(D) પ્રકાશ પોતાનો માર્ગ પાછો ખેંચે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
કારણ કે બીજી સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ છે,તેથી બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
પ્રિઝમના સૂત્ર $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 30^{\circ}$ એ પ્રિઝમ કોણ છે અને $r_2 = 0^{\circ}$ છે,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$ મળે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
અહીં $n = \sqrt{2}$ અને $r_1 = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો '$A$' અને વક્રીભવનકોણ '$r_1$' તથા '$r_2$' વચ્ચેનો સંબંધ $A = r_1 + r_2$ છે.
કિરણ બીજી સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી,નિર્ગમન કોણ '$e = 0$' થાય,જેનો અર્થ છે કે બીજો વક્રીભવનકોણ '$r_2 = 0$' છે.
તેથી,$A = r_1$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,ખૂણા '$i$' અને '$r_1$' ખૂબ નાના હોવાથી,આપણે $\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$ લઈ શકીએ.
આમ,$n = \frac{i}{r_1}$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $n = \frac{i}{A}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $i = An$.

(A) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે નિર્ગમન કિરણ પાસપાસેના ફલકને સ્પર્શીને જાય છે,તેથી નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ}$ છે.
બીજી સપાટી પર વક્રીભવનની શરત મુજબ,$r_2 = C$,જ્યાં $C$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
બીજી સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu \sin r_2 = 1 \sin e \implies \sqrt{2} \sin r_2 = \sin 90^{\circ} = 1$.
તેથી,$\sin r_2 = 1/\sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 45^{\circ}$.
$A = r_1 + r_2$ હોવાથી,$60^{\circ} = r_1 + 45^{\circ}$,તેથી $r_1 = 15^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $1 \sin i = \mu \sin r_1$.
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ}$.
તેથી,$i = \sin^{-1}(\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$.

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $\delta = 1.15^{\circ}$,તેથી $(\mu - 1)A = 1.15^{\circ}$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તે બીજી સપાટી પર પ્રિઝમ કોણ $A$ જેટલા આપાતકોણે અથડાય છે. કિરણ બીજી સપાટી પરથી આંતરિક પરાવર્તન પામે છે,તેથી પરાવર્તન કોણ $A$ થાય છે. આ પરાવર્તિત કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબ સાથે $2A$ ના ખૂણે અથડાય છે. પ્રથમ સપાટીમાંથી બહાર નીકળતી વખતે,વક્રીભવન કોણ $r'$ એ $\sin(r') = \mu \sin(2A)$ દ્વારા મળે છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$r' \approx \mu(2A)$.
બહાર નીકળતા કિરણ અને આપાત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $6.3^{\circ}$ આપેલ છે. બહાર નીકળતું કિરણ લંબ સાથે $r'$ ખૂણો બનાવે છે અને આપાત કિરણ સપાટીને લંબ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $r' = 6.3^{\circ}$ થાય.
આમ,$2\mu A = 6.3^{\circ}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા: $\frac{2\mu A}{(\mu - 1)A} = \frac{6.3}{1.15} \implies \frac{2\mu}{\mu - 1} = 5.478$.
$2\mu = 5.478\mu - 5.478 \implies 3.478\mu = 5.478 \implies \mu \approx 1.575$.

(C) પ્રિઝમ માટે,વિચલનકોણ $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ પાયાને સમાંતર હોય,ત્યારે પ્રિઝમ લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં હોય છે. લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ એ નિર્ગમનકોણ જેટલો હોય છે,એટલે કે $i = e$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\delta = (n - 1)A$,જ્યાં $n$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવન કોણ છે.
આપેલ છે:
વક્રીભવન કોણ $A = 3^{\circ}$
વિચલન કોણ $\delta = 1^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1^{\circ} = (n - 1) \cdot 3^{\circ}$
$n - 1 = \frac{1}{3}$
$n = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$n = 1.33$
તેથી,પાણીનો વક્રીભવનાંક $1.33$ છે.

(C) આપેલ છે: પ્રિઝમનો ખૂણો $= A$,આપાતકોણ $i = 2A$.
પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r$ છે. પ્રિઝમની અંદરના કિરણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાંથી,ભૂમિતિ મુજબ $r = A$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 2A}{\sin A}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$

(C) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $(D_{m})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$D_{m} = A(n - 1)$
જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે અને $n$ એ વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે:
$A = 4^{\circ}$
$n = 1.6$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$D_{m} = 4^{\circ}(1.6 - 1)$
$D_{m} = 4^{\circ}(0.6)$
$D_{m} = 2.4^{\circ}$
તેથી,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $2.4^{\circ}$ છે.

(D) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+D_m}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે અને $D_m$ એ લઘુત્તમ વિચલન કોણ છે.
આપેલ છે કે $D_m = A$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \frac{A}{2}}$
$\mu = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$
$\mu = 2 \cos \frac{A}{2}$
$\frac{\mu}{2} = \cos \frac{A}{2}$
$\frac{A}{2} = \cos ^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$
$A = 2 \cos ^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$

(B) નાના ખૂણાવાળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\delta = A(n - 1)$,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે અને $n$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે:
વક્રીભવનાંક $n = 1.6$
વિચલન કોણ $\delta = 3.6^{\circ}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$3.6^{\circ} = A(1.6 - 1)$
$3.6^{\circ} = A(0.6)$
$A = \frac{3.6^{\circ}}{0.6}$
$A = 6^{\circ}$
તેથી,પ્રિઝમનો ખૂણો $6^{\circ}$ છે.

(D) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $n$ શોધવાનું સૂત્ર: $n = \frac{\sin((A + D_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $D_m$ એ પ્રિઝમના કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી $D_m = A$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.5 = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)}$
$1.5 = \frac{\sin(A)}{\sin(A/2)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1.5 = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)}$
$1.5 = 2 \cos(A/2)$
$\cos(A/2) = 1.5 / 2 = 0.75$
આપેલ છે કે $\sin(48^{\circ} 36^{\prime}) = 0.75$,તેથી $\cos(90^{\circ} - 48^{\circ} 36^{\prime}) = 0.75$,એટલે કે $\cos(41^{\circ} 24^{\prime}) = 0.75$.
તેથી,$A/2 = 41^{\circ} 24^{\prime} = 41.4^{\circ}$.
આમ,$A = 2 \times 41.4^{\circ} = 82.8^{\circ}$.

(D) પ્રિઝમ માટે,બે સપાટીઓ પરના વક્રીભવન કોણનો સરવાળો એ પ્રિઝમના કોણ $(A)$ જેટલો હોય છે:
$r + r^1 = A$
આપેલ છે કે પ્રિઝમનો કોણ $A = 50^{\circ}$ છે અને $r = 10^{\circ} + t^2$ છે,તેથી આપણે આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$10^{\circ} + t^2 + r^1 = 50^{\circ}$
$r^1$ માટે ઉકેલતા:
$r^1 = 50^{\circ} - 10^{\circ} - t^2$
$r^1 = 40^{\circ} - t^2$

(C) આપેલ છે કે,પ્રિઝમ સમબાજુ છે,તેથી પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A = 60^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A + \delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{60^{\circ} + 60^{\circ}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ સાથે $\mu = \frac{c}{v}$ તરીકે સંબંધિત છે.
તેથી,$v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times 10^8 \ m/s$.

(C) સમબાજુ કાચના પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો છે,અને દરેક પ્રિઝમના ખૂણાના $\frac{3}{4}$ છે:
$i = e = \frac{3}{4} A = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
વિચલનકોણ $\delta$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\delta = i + e - A$.
કિંમતો મૂકતા:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે,પ્રિઝમનો કોણ $= A$.
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક,$\mu = \cot \frac{A}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ ના સંદર્ભમાં વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cot \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos (A/2)}{\sin (A/2)} = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin (A/2)}$
$\cos (A/2) = \sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)$
કારણ કે $\cos \theta = \sin (90^{\circ} - \theta)$,તેથી:
$\sin (90^{\circ} - A/2) = \sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)$
ખૂણાઓને સરખાવતા:
$90^{\circ} - \frac{A}{2} = \frac{A+\delta_m}{2}$
$180^{\circ} - A = A + \delta_m$
$\delta_m = 180^{\circ} - 2A$.

(A) પ્રિઝમ માટે,વિચલન $D$ નું સૂત્ર $D = (i_1 + i_2) - A$ છે,જ્યાં $i_1$ અને $i_2$ એ આપાતકોણ અને નિર્ગમનકોણ છે,અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આપેલ છે કે $D = 44^{\circ}$ જ્યારે $i_1 = 42^{\circ}$ અને $i_2 = 62^{\circ}$ હોય,તેથી:
$44^{\circ} = (42^{\circ} + 62^{\circ}) - A$
$44^{\circ} = 104^{\circ} - A$
$A = 104^{\circ} - 44^{\circ} = 60^{\circ}$.
લઘુત્તમ વિચલન $(D_m = 38^{\circ})$ ની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{A + D_m}{2}$ છે.
$i = \frac{60^{\circ} + 38^{\circ}}{2} = \frac{98^{\circ}}{2} = 49^{\circ}$.

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે,અને વક્રીભવન કોણ $r_1$ એ $r_2 = r$ જેટલો હોય છે.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ પરથી,આપણને મળે છે $A = 2r$,તેથી $r = A/2 = 60^{\circ}/2 = 30^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
અહીં $\mu = \sqrt{2}$ અને $r = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$.