Refraction Through Prism Questions in Gujarati

(B) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ સમબાજુ પ્રિઝમ $P$ માંથી ન્યૂનત્તમ વિચલનના કોણે પસાર થાય છે,ત્યારે પ્રિઝમની અંદરનું કિરણ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર હોય છે.
જ્યારે વધારાના સમાન પ્રિઝમ $Q$ અને $R$ ને માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ અસરકારક રીતે એક એવું સંયોજન બનાવે છે જે કાચના સ્લેબ જેવું વર્તે છે.
પ્રિઝમ સમાન હોવાથી અને એવી રીતે ગોઠવાયેલા હોવાથી કે તેમના વક્રીભવનકારક કોણ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે,તેથી નિર્ગમન કિરણ આપાત કિરણને સમાંતર રહેશે.
તેથી,પ્રિઝમ $P$,$Q$ અને $R$ ના સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન એ એકલા પ્રિઝમ $P$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિચલન જેટલું જ રહેશે,કારણ કે વધારાના પ્રિઝમ $Q$ અને $R$ સેટઅપની ભૂમિતિ દ્વારા દાખલ થયેલા કોણીય વિચલનને અસરકારક રીતે નાબૂદ કરે છે અને ન્યૂનત્તમ વિચલનની સ્થિતિ જાળવી રાખે છે.

(D) પ્રકાશ પ્રિઝમમાંથી પસાર થઈ શકે તે માટે આપાતકોણ $i$ વાસ્તવિક હોવો જોઈએ. બહાર નીકળવા માટેની શરત એ છે કે બીજી સપાટી પરનો વક્રીભવન કોણ $r_2$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $r_1 + r_2 = A$,તેથી $r_2 = A - r_1 \leq A$.
આમ,આપણને $C \geq r_2$ ની જરૂર છે.
પ્રકાશ પસાર થઈ શકે તે માટેની સીમાંત શરત $\mu \sin(A/2) = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \csc(A/2)$.
નિત્યસમ $\csc^2(A/2) = 1 + \cot^2(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\mu = \sqrt{1 + \cot^2(A/2)}$ મળે છે.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $D$ નું સૂત્ર $D = (\mu - 1) A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
ભૂરા પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $(\mu_{blue} = 1.525)$ એ લાલ પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(\mu_{red} = 1.520)$ કરતા વધારે હોવાથી,
આપણને $\mu_{blue} > \mu_{red}$ મળે છે.
આ કિંમતોને વિચલનના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $D_{blue} > D_{red}$ મળે છે.
અહીં $D_1$ એ લાલ પ્રકાશ માટેનું વિચલન છે અને $D_2$ એ ભૂરા પ્રકાશ માટેનું વિચલન છે,તેથી $D_2 > D_1$ અથવા $D_1 < D_2$ થાય છે.

(A) પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ $i$,નિર્ગમન કોણ $e$,પ્રિઝમ કોણ $A$ અને વિચલન કોણ $\delta$ વચ્ચેનો સંબંધ $i + e = A + \delta$ છે.
અહીં કિરણ બીજી સપાટી પરથી લંબરૂપે નિર્ગમન પામે છે,તેથી નિર્ગમન કોણ $e = 0^{\circ}$ થાય.
પ્રિઝમ માટે,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભૂત કોણ $r_1$ અને બીજી સપાટી પર આપાતકોણ $r_2$ નો સરવાળો પ્રિઝમ કોણ જેટલો થાય છે,એટલે કે $r_1 + r_2 = A$.
કિરણ લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી $r_2 = 0^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $r_1 = A = 5^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$ લેતા.
તેથી,$i = \mu \times r_1 = 1.5 \times 5^{\circ} = 7.5^{\circ}$.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલનકોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
અહીં ત્રણેય પ્રિઝમ માટે પ્રિઝમકોણ $A = 60^{\circ}$ સમાન છે,તેથી વિચલનકોણ $\delta$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક $\mu$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(\delta \propto \mu - 1)$.
આપેલ વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1.4, \mu_2 = 1.5$ અને $\mu_3 = 1.6$ છે.
વક્રીભવનાંકની સરખામણી કરતા: $\mu_3 > \mu_2 > \mu_1$.
તેથી,વિચલનકોણ પણ આ જ ક્રમમાં હશે: $\delta_3 > \delta_2 > \delta_1$.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
વાદળી પ્રકાશ માટે વિચલન $\delta_B = (\mu_B - 1)A = (1.659 - 1) \times 5^{\circ} = 0.659 \times 5^{\circ} = 3.295^{\circ}$ છે.
લાલ પ્રકાશ માટે વિચલન $\delta_R = (\mu_R - 1)A = (1.641 - 1) \times 5^{\circ} = 0.641 \times 5^{\circ} = 3.205^{\circ}$ છે.
કોણીય વિભાજન $\theta$ એ વિચલનનો તફાવત છે: $\theta = \delta_B - \delta_R$.
$\theta = 3.295^{\circ} - 3.205^{\circ} = 0.090^{\circ}$.

(D) આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = \pi/3 = 60^{\circ}$,ન્યૂનત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = \pi/6 = 30^{\circ}$,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$.
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$
વળી,$\mu = c/v$,જ્યાં $v$ એ પ્રિઝમમાં પ્રકાશનો વેગ છે.
તેથી,$v = c \times \frac{\sin(A/2)}{\sin((A + \delta_m)/2)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = 3 \times 10^{8} \times \frac{\sin(60^{\circ}/2)}{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}$
$v = 3 \times 10^{8} \times \frac{\sin(30^{\circ})}{\sin(45^{\circ})}$
$v = 3 \times 10^{8} \times \frac{0.5}{0.7071}$
$v \approx 2.12 \times 10^{8} \text{ m/s}$.

(C) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $n = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$ છે.
અહીં ન્યૂનત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m = A$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$n = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2 \cos(\frac{A}{2})$.
$n = 1.5$ આપેલ હોવાથી,$1.5 = 2 \cos(\frac{A}{2})$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\frac{A}{2}) = 0.75$.
$\cos 41^\circ = 0.75$ આપેલ હોવાથી,$\frac{A}{2} = 41^\circ$.
તેથી,$A = 82^\circ$.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણનું સૂત્ર $D = (\mu - 1) A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
ભૂરા પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $(\mu_{blue} = 1.525)$ એ લાલ પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $(\mu_{red} = 1.520)$ કરતા વધારે હોવાથી,
$\mu_{blue} > \mu_{red}$ થાય છે.
આ કિંમત વિચલનના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $D_{blue} > D_{red}$ મળે છે.
અહીં $D_1$ એ લાલ પ્રકાશનું વિચલન છે અને $D_2$ એ ભૂરા પ્રકાશનું વિચલન છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $D_2 > D_1$ અથવા $D_1 < D_2$.

(C) આપેલ છે: $A = 15^o, \omega = 0.03, \omega' = 0.02, \mu = 1.65, \mu' = 1.52$.
વિચલન વગર વિભાજન માટે,કુલ વિચલન $\delta + \delta' = 0$ થાય.
$(\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$
$(1.65 - 1)15^o + (1.52 - 1)A' = 0$
$0.65 \times 15^o + 0.52 \times A' = 0$
$A' = -\frac{0.65 \times 15^o}{0.52} = -18.75^o$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રિઝમ વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવેલા છે.
ચોખ્ખું કોણીય વિભાજન $\theta = \delta_v - \delta_r = \omega(\mu - 1)A + \omega'(\mu' - 1)A'$.
કિંમતો મૂકતા:
$\theta = 0.03(1.65 - 1)15^o + 0.02(1.52 - 1)(-18.75^o)$
$\theta = 0.03(0.65)(15^o) + 0.02(0.52)(-18.75^o)$
$\theta = 0.2925^o - 0.195^o = 0.0975^o$.

(A) વિચલન સિવાય વિભાજન માટે,બે પ્રિઝમના સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $\mu_y$ અને $\mu_y'$ એ અનુક્રમે ક્રાઉન અને ફ્લિન્ટ કાચના પ્રિઝમ માટે સરેરાશ રંગ (પીળો) ના વક્રીભવનાંક છે.
ક્રાઉન કાચના પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu_y - 1)A$ છે.
ફ્લિન્ટ કાચના પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta' = (\mu_y' - 1)A'$ છે.
વિચલન સિવાય વિભાજન માટે,કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,તેથી $\delta + \delta' = 0$.
પ્રિઝમને વિભાજન ઉત્પન્ન કરવા માટે ગોઠવવામાં આવ્યા હોવાથી,તેમને વિરુદ્ધ દિશામાં રાખવા જોઈએ,તેથી $(\mu_y - 1)A + (\mu_y' - 1)A' = 0$.
માત્રા લેતા,આપણને $(\mu_y - 1)A = (\mu_y' - 1)A'$ મળે છે.
તેથી,$A'/A$ ગુણોત્તર $\frac{(\mu_y - 1)}{(\mu_y' - 1)}$ થશે.

(D) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિ માટેનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin i}{\sin(A/2)}$ છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમકોણ છે.
આપેલ છે: $\mu = \sqrt{2}$ અને $i = 45^o$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{2} = \frac{\sin 45^o}{\sin(A/2)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\sqrt{2} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin(A/2)}$
$\sin(A/2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\sin 30^o = 1/2$,તેથી:
$A/2 = 30^o$
$A = 60^o$.

(C) લઘુત્તમ વિચલન માટેનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_m$ એ આપાતકોણ $i$ જેટલો છે,અને લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં $i = (A + \delta_m)/2$ હોવાથી,$\delta_m = A$ થાય.
સૂત્રમાં $\delta_m = A$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((A + A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin(A/2) \cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2 \cos(A/2)$.
$\mu = 1.5$ આપેલ હોવાથી,$1.5 = 2 \cos(A/2)$.
$\cos(A/2) = 1.5 / 2 = 0.75$.
$\cos 41^o = 0.75$ હોવાથી,$A/2 = 41^o$.
તેથી,$A = 82^o$.

(A) પ્રિઝમકોણ $A = 30^\circ$ છે. કિરણ એક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $i_1 = 0^\circ$ છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_1 = 0^\circ$ છે.
$A = r_1 + r_2$ હોવાથી,$r_2 = A - r_1 = 30^\circ - 0^\circ = 30^\circ$ મળે.
બીજી સપાટી પર આપાતકોણ $r_2 = 30^\circ$ છે. ધારો કે નિર્ગમનકોણ $e$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(e)$.
$1.5 \cdot \sin(30^\circ) = \sin(e) \Rightarrow 1.5 \cdot 0.5 = \sin(e) \Rightarrow \sin(e) = 0.75$.
આપેલ છે કે $\sin(48^\circ 36') = 0.75$,તેથી $e = 48^\circ 36'$.
પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = e - A$ (કારણ કે $i_1 = 0$ અને $r_1 = 0$).
$\delta = 48^\circ 36' - 30^\circ = 18^\circ 36'$.

(C) જ્યારે કિરણ ચાંદી લગાવેલ સપાટી પરથી પરાવર્તન પામીને મૂળ માર્ગે પાછું ફરે,ત્યારે તે સપાટીને લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
પ્રિઝમ માટે,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_1$ છે અને બીજી સપાટી પર આપાતકોણ $r_2$ છે. બીજી સપાટી પર લંબ આપાત થવા માટે $r_2 = 0^\circ$ હોવું જોઈએ.
સંબંધ $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 30^\circ$ પ્રિઝમકોણ છે,આપણને $r_1 = A - r_2 = 30^\circ - 0^\circ = 30^\circ$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
અહીં $\mu = \sqrt{2}$ અને $r_1 = 30^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^\circ}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^\circ = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i = 45^\circ$.

(D) પ્રિઝમકોણ $A$ અને લઘુતમ વિચલનકોણ $\delta_m$ ના પદમાં પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
અહીં $\mu = \cot \frac{A}{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$\cot \frac{A}{2} = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)}{\sin \left( \frac{A}{2} \right)}$
$\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ હોવાથી:
$\sin \left( 90^\circ - \frac{A}{2} \right) = \sin \left( \frac{A + \delta_m}{2} \right)$
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા:
$90^\circ - \frac{A}{2} = \frac{A + \delta_m}{2}$
$180^\circ - A = A + \delta_m$
$\delta_m = 180^\circ - 2A$

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમકોણ $A = 60^o$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ અને નિર્ગમનકોણ $e$ એ પ્રિઝમકોણ $A$ ના $3/4$ ગણા છે.
તેથી,$i = e = \frac{3}{4} \times 60^o = 45^o$ થાય.
પ્રિઝમના ખૂણાઓ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $i + e = A + \delta$.
કિંમતો મૂકતા: $45^o + 45^o = 60^o + \delta$.
$90^o = 60^o + \delta$.
તેથી,વિચલનકોણ $\delta = 90^o - 60^o = 30^o$ મળે છે.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે વિચલનકોણનું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનકારક કોણ છે.
આકૃતિ પરથી,પ્રિઝમનો કુલ વક્રીભવનકારક કોણ $A = 30^o + 30^o = 60^o$ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક વિચલન $\delta = 30^o$ છે,તેથી $30^o = (\mu - 1)60^o$,જેનો અર્થ છે કે $(\mu - 1) = 0.5$.
જો પ્રિઝમનો અડધો ભાગ દૂર કરવામાં આવે,તો નવો વક્રીભવનકારક કોણ $A' = 30^o$ થશે.
નવો વિચલનકોણ $\delta' = (\mu - 1)A' = 0.5 \times 30^o = 15^o$ થશે.

(A) બે પ્રિઝમના સંયોજન માટે કુલ વિચલન શૂન્ય થવાની શરત નીચે મુજબ છે:
$\delta_1 + \delta_2 = 0$
જ્યારે પ્રિઝમને એવી રીતે જોડવામાં આવે કે જેથી કુલ વિચલન શૂન્ય થાય,ત્યારે બંને પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
$(\mu_1 - 1)A_1 = (\mu_2 - 1)A_2$
આપેલ છે:
$A_1 = 10^o$,$\mu_1 = 1.602$,$\mu_2 = 1.500$
$(1.602 - 1) \times 10^o = (1.500 - 1) \times A_2$
$0.602 \times 10^o = 0.500 \times A_2$
$A_2 = \frac{6.02}{0.5} = 12.04^o$
અહીં $0.04^o = 0.04 \times 60' = 2.4'$ હોવાથી,પ્રિઝમકોણ $12^o 2.4'$ થાય.

(D) પ્રિઝમ માટે,વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમકોણ છે અને $\delta_m$ એ લઘુતમ વિચલનકોણ છે.
આપેલ છે: $A = 30^o$ અને $\delta_m = 30^o$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin(\frac{30^o + 30^o}{2})}{\sin(\frac{30^o}{2})} = \frac{\sin(30^o)}{\sin(15^o)} \approx 1.93$.
પરંતુ,આપેલ ઉકેલ મુજબ:
$\mu = \frac{\sin 60^o}{\sin 30^o} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) પ્રિઝમ માટે, વક્રીભવનકોણ $r$ એ પ્રિઝમકોણ $A$ સાથે $A = r_1 + r_2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
લઘુત્તમ વિચલન કોણની સ્થિતિમાં, પ્રિઝમ સંમિત સ્થિતિમાં હોય છે, જેનો અર્થ છે કે $r_1 = r_2 = r$.
તેથી, પ્રિઝમકોણ $A$ ને $A = 2r$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અહીં પ્રિઝમકોણ $A = 60^{\circ}$ આપેલ છે, તેથી વક્રીભવનકોણ $r$ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.
આમ, વક્રીભવનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(C) વિચલન રહિત વિભાજન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\delta_1 + \delta_2 = 0$.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$(\mu_1 - 1)A_1 + (\mu_2 - 1)A_2 = 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1.5 - 1) \times 15^o + (1.75 - 1) \times A_2 = 0$.
$0.5 \times 15^o + 0.75 \times A_2 = 0$.
$7.5^o + 0.75 \times A_2 = 0$.
$A_2 = -\frac{7.5^o}{0.75} = -10^o$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બીજા પ્રિઝમને પ્રથમ પ્રિઝમની સાપેક્ષ ઉલટી દિશામાં ગોઠવવો જોઈએ. બીજા પ્રિઝમના ખૂણાનું મૂલ્ય $10^o$ છે.

(B) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((A+A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$.
નિત્યસમ $\sin A = 2\sin(A/2)\cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2\sin(A/2)\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2\cos(A/2)$.
ભૌતિક પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ $i$ એ $0 < i < 90^o$ હોવો જોઈએ. કારણ કે $\delta_m = 2i - A$,તેથી $A = 2i - A$,એટલે કે $i = A$. આમ,$0 < A < 90^o$.
જો $A \to 0^o$,તો $\mu \to 2\cos(0^o) = 2$.
જો $A \to 90^o$,તો $\mu \to 2\cos(45^o) = 2 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.
તેથી,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\sqrt{2}$ અને $2$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવન કોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta$ ના સંદર્ભમાં વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
અહીં $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
બંને બાજુથી $\sin(A/2)$ દૂર કરતા:
$\cos(A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(90^o - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(90^o - A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા:
$90^o - A/2 = (A+\delta)/2$
$180^o - A = A + \delta$
$\delta = 180^o - 2A$

(A) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 45^o$,પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^o$.
જ્યારે કિરણ લઘુત્તમ વિચલન અનુભવે છે,ત્યારે નિર્ગમન કોણ $e$ એ આપાતકોણ $i$ જેટલો હોય છે,તેથી $e = 45^o$.
લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ માટેનું સૂત્ર: $\delta_m = i + e - A$.
કિંમતો મૂકતા: $\delta_m = 45^o + 45^o - 60^o = 30^o$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{\sin((60^o + 30^o)/2)}{\sin(60^o/2)} = \frac{\sin(45^o)}{\sin(30^o)}$.
ગણતરી કરતા: $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
આમ,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $30^o$ અને વક્રીભવનાંક $\sqrt{2}$ છે.

(A) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A$ એ વક્રીભવન કોણ $r_1$ અને $r_2$ સાથે $A = r_1 + r_2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમમાંથી સંમિત રીતે પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $r_1 = r_2 = r$.
તેથી,સૂત્ર $A = 2r$ બને છે.
આપેલ છે કે પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે,તેથી આપણે વક્રીભવન કોણ $r$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકીએ છીએ:
$r = \frac{A}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.
આમ,વક્રીભવન કોણ $30^{\circ}$ છે.

(A) વિચલન વગરના વિભાજન માટેની શરત કુલ વિચલન $\delta = (\mu - 1)A + (\mu' - 1)A' = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રિઝમ વિચલન વગરનું વિભાજન ઉત્પન્ન કરવા માટે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રિઝમને વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવવા જોઈએ.
તેથી,શરત $(\mu - 1)A = (\mu' - 1)A'$ છે.
આપેલ કિંમતો $\mu = 1.42$,$A = 10^{\circ}$ અને $\mu' = 1.7$ છે.
સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(1.42 - 1) \times 10^{\circ} = (1.7 - 1) \times A'$
$0.42 \times 10^{\circ} = 0.7 \times A'$
$4.2^{\circ} = 0.7 \times A'$
$A' = \frac{4.2}{0.7} = 6^{\circ}$.
તેથી,બીજા પ્રિઝમનો વક્રીભવન કોણ $6^{\circ}$ છે.

(B) પ્રકાશનું કિરણ તેના માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે સિલ્વર કરેલી સપાટી પર લંબરૂપે (સપાટી સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r_1$ છે. પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$ છે.
કિરણ બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,બીજી સપાટી પરનો વક્રીભવનકોણ $r_2 = 0^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમના સૂત્ર $A = r_1 + r_2$ પરથી,આપણને મળે છે $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$i = 45^{\circ}$.

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમ કોણ $A = 60^o$ છે.
આપેલ છે કે કિરણ એક સપાટી પર સ્પર્શક રીતે આપાત થાય છે,તેથી આપાતકોણ $i = 90^o$ છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $1 \cdot \sin(90^o) = n \cdot \sin(r_1)$,જ્યાં $n = 2$ છે.
$1 = 2 \cdot \sin(r_1) \implies \sin(r_1) = 0.5 \implies r_1 = 30^o$.
$A = r_1 + r_2$ હોવાથી,$60^o = 30^o + r_2$,જે આપણને $r_2 = 30^o$ આપે છે.
બીજી સપાટી માટે,નિર્ગમન કોણ $e$ એ $n \cdot \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(e)$ દ્વારા મળે છે.
$2 \cdot \sin(30^o) = \sin(e) \implies 2 \cdot 0.5 = \sin(e) \implies \sin(e) = 1 \implies e = 90^o$.
વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = i + e - A$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\delta = 90^o + 90^o - 60^o = 120^o$.

(B) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીની સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પોતાનો માર્ગ પાછો ખેડે છે,ત્યારે તે ચાંદીની સપાટી પર લંબરૂપે ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે $r_1$ એ પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભવન કોણ છે અને $r_2$ એ બીજી (ચાંદીની) સપાટી પરનો આપાતકોણ છે.
કિરણ ચાંદીની સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,$r_2 = 0^{\circ}$ થાય.
પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = r_1 + r_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$ મળે.
પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i_1 = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\mu = \frac{\sin i_1}{\sin r_1}$.
કિંમતો મૂકતા,$\mu = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) કિરણ પ્રિઝમમાંથી પસાર થાય તે માટે,નિર્ગમન કિરણનું બીજી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ન થવું જોઈએ. સીમાંત કિસ્સો ત્યારે મળે છે જ્યારે નિર્ગમન કિરણ બીજી સપાટીને સ્પર્શીને જાય,એટલે કે નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ}$ હોય.
ધારો કે $n_2 = \sqrt{7/3}$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે અને $n_1 = 1$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
બીજી સપાટી $(LN)$ પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા:
$n_2 \sin r_2 = n_1 \sin e$
$\sqrt{7/3} \sin r_2 = 1 \times \sin 90^{\circ} = 1$
$\sin r_2 = \sqrt{3/7} \approx 0.6546$
$r_2 = \arcsin(0.6546) \approx 40.89^{\circ}$
પ્રિઝમ કોણ $A = 60^{\circ}$ આપેલ છે,આપણે જાણીએ છીએ કે $A = r_1 + r_2$. તેથી:
$r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 40.89^{\circ} = 19.11^{\circ}$
હવે,પ્રથમ સપાટી $(LM)$ પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા:
$n_1 \sin i = n_2 \sin r_1$
$1 \times \sin i = \sqrt{7/3} \times \sin 19.11^{\circ}$
$\sin i = 1.5275 \times 0.3273 \approx 0.5$
$i = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}$

(D) આપેલ છે: પ્રિઝમનો કોણ $A = 30^{\circ}$,આપાતકોણ $i_{1} = 45^{\circ}$.
જ્યારે કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામીને પોતાના માર્ગે પાછું ફરે છે,ત્યારે તે સપાટીને લંબરૂપે અથડાવું જોઈએ. તેથી,બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_{2} = 0^{\circ}$ થશે.
સંબંધ $r_{1} + r_{2} = A$ નો ઉપયોગ કરતા,$r_{1} + 0^{\circ} = 30^{\circ}$,તેથી $r_{1} = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu = \frac{\sin i_{1}}{\sin r_{1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
આમ,પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\sqrt{2}$ છે.

(B) પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન સૂત્ર $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે $i = 50^{\circ}$ અને $e = 40^{\circ}$,તેથી વિચલન $\delta$:
$\delta = 50^{\circ} + 40^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $i = e$ હોય. $i$ અને $e$ ના અન્ય કોઈપણ મૂલ્યો માટે (જ્યાં $i \neq e$),વિચલન $\delta$ હંમેશા લઘુત્તમ વિચલન $\delta_m$ કરતા વધારે હોય છે.
અહીં $i = 50^{\circ}$ અને $e = 40^{\circ}$ $(i \neq e)$ હોવાથી,ગણતરી કરેલ વિચલન $\delta = 30^{\circ}$ એ લઘુત્તમ વિચલન $\delta_m$ કરતા વધારે હશે.
તેથી,$\delta_m < 30^{\circ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પ્રિઝમ માટે,વિચલનનું સૂત્ર $\delta = i + e - A$ છે.
આપેલ છે કે,$\delta = 40^{\circ}$ અને $A = 60^{\circ}$ (સમબાજુ પ્રિઝમ).
તેથી,$40^{\circ} = i + e - 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $i + e = 100^{\circ}$.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે બે આપાતકોણ વચ્ચેનો તફાવત $20^{\circ}$ છે,તેથી $|i - e| = 20^{\circ}$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$1$) $i + e = 100^{\circ}$
$2$) $i - e = 20^{\circ}$ અથવા $e - i = 20^{\circ}$
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2i = 120^{\circ} \implies i = 60^{\circ}$.
કિંમત મૂકતા: $60^{\circ} + e = 100^{\circ} \implies e = 40^{\circ}$.
આમ,બે શક્ય આપાતકોણ $60^{\circ}$ અને $40^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રિઝમ કોણ $A = 45^o$. સ્પર્શક આપાતકોણ એટલે કે આપાતકોણ $i = 90^o$. નિર્ગમન કોણ $e = 45^o$ છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\sin i = \mu \sin r_1 \Rightarrow \sin 90^o = \mu \sin r_1 \Rightarrow \sin r_1 = \frac{1}{\mu}$.
બીજી સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\sin e = \mu \sin r_2 \Rightarrow \sin 45^o = \mu \sin r_2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \sin r_2 \Rightarrow \sin r_2 = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 + r_2 = A = 45^o$. તેથી,$r_1 = 45^o - r_2$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા: $\sin r_1 = \sin(45^o - r_2) = \sin 45^o \cos r_2 - \cos 45^o \sin r_2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos r_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin r_2$.
ચૂકી $\sin r_2 = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$,તેથી $\cos r_2 = \sqrt{1 - \sin^2 r_2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2\mu^2}} = \frac{\sqrt{2\mu^2 - 1}}{\sqrt{2}\mu}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\sqrt{2\mu^2 - 1}}{\sqrt{2}\mu} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}\mu} \right) = \frac{\sqrt{2\mu^2 - 1}}{2\mu} - \frac{1}{2\mu}$.
$2\mu$ વડે ગુણતા: $2 = \sqrt{2\mu^2 - 1} - 1 \Rightarrow 3 = \sqrt{2\mu^2 - 1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 = 2\mu^2 - 1 \Rightarrow 2\mu^2 = 10 \Rightarrow \mu^2 = 5 \Rightarrow \mu = \sqrt{5}$.

(C) પ્રિઝમ માટે,વિચલનકોણ $\delta = i + e - A$ છે. વિચલન $\delta$ એ આપાતકોણ $i$ નું વિધેય છે. $\delta$ વિરુદ્ધ $i$ નો આલેખ લઘુત્તમ વિચલનકોણ $\delta_{min}$ ની આસપાસ સંમિત પરવલય જેવો હોય છે.
આપેલા કિસ્સામાં,$i_1 = 53^{\circ}$ માટે,નિર્ગમનકોણ $e_1 = 37^{\circ}$ છે.
પ્રિઝમનું સૂત્ર $i$ અને $e$ ના સંદર્ભમાં સંમિત હોવાથી (એટલે કે,જો $i$ અને $e$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો વિચલન સમાન રહે છે),લઘુત્તમ વિચલનકોણ $i = e = \frac{53^{\circ} + 37^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$ પર મળે છે.
જ્યારે $i = 53^{\circ}$ હોય,ત્યારે $e = 37^{\circ}$ છે.
જ્યારે $i = 37^{\circ}$ હોય,ત્યારે $e = 53^{\circ}$ છે.
જો આપણે આપાતકોણ બદલીને $i = 50^{\circ}$ કરીએ,જે પ્રારંભિક $53^{\circ}$ કરતા લઘુત્તમ વિચલનકોણ $(45^{\circ})$ ની વધુ નજીક છે,તો નિર્ગમનકોણ $e$ પણ $45^{\circ}$ ની નજીક જશે.
$37^{\circ} < 50^{\circ} < 53^{\circ}$ હોવાથી,નવો નિર્ગમનકોણ $e$ એ $37^{\circ}$ અને $53^{\circ}$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$40^{\circ}$ અને $42^{\circ}$ શક્ય છે. જોકે,$i-e$ વક્રના પ્રમાણભૂત વર્તણૂક મુજબ,જેમ $i$ એ $53^{\circ}$ થી ઘટીને $50^{\circ}$ થાય છે,તેમ $e$ એ $37^{\circ}$ થી વધે છે. $40^{\circ}$ એ વિચલનના ગુણધર્મો સાથે સુસંગત સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(C) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
આપેલ છે: $\mu = \sqrt{3/2}$,$A = 90^o$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3/2} = \frac{\sin((90^o + \delta_m)/2)}{\sin(90^o/2)}$.
$\sqrt{3/2} = \frac{\sin(45^o + \delta_m/2)}{\sin(45^o)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(45^o) = 1/\sqrt{2}$,તેથી $\sqrt{3/2} = \frac{\sin(45^o + \delta_m/2)}{1/\sqrt{2}}$.
બંને બાજુ $1/\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{3/2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(45^o + \delta_m/2)$.
$\sqrt{3/4} = \sin(45^o + \delta_m/2) \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(45^o + \delta_m/2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(60^o) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $45^o + \delta_m/2 = 60^o$.
$\delta_m/2 = 15^o \implies \delta_m = 30^o$.

(A) પ્રિઝમમાંથી કિરણ પસાર થાય તે માટે,બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $(r_2)$ એ ક્રાંતિકોણ $(\theta_C)$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$\theta_C = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{7}}\right)$.
આપેલ છે કે $A = r_1 + r_2$,સીમાંત કિસ્સા માટે,આપણે $r_2 = \theta_C$ લઈએ છીએ.
તેથી,$\sin r_2 = \sqrt{\frac{3}{7}}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin i_1}{\sin r_1}$,જ્યાં $r_1 = A - r_2$.
$\sin r_1 = \sin(60^{\circ} - r_2) = \sin 60^{\circ} \cos r_2 - \cos 60^{\circ} \sin r_2$.
કારણ કે $\sin r_2 = \sqrt{\frac{3}{7}}$,તેથી $\cos r_2 = \sqrt{1 - \frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
$\sin r_1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{7}}\right) - \left(\frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{3}{7}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$.
હવે,$\sin i_1 = \mu \sin r_1 = \sqrt{\frac{7}{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$i_1 = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $i_1 = 0^{\circ}$ (લંબ આપાત) છે. દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર વક્રીભવનકોણ $r_1, r_2, \dots, r_{10}$ છે.
પ્રિઝમ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ હોવાથી,સપાટીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot \sin(0^{\circ}) = \mu_1 \cdot \sin(r_1) \implies r_1 = 0^{\circ}$.
પ્રથમ પ્રિઝમની બીજી સપાટી પર: $\mu_1 \sin(45^{\circ}) = \mu_2 \sin(r_2)$.
બીજા પ્રિઝમની પ્રથમ સપાટી પર: $\mu_2 \sin(r_3) = \mu_3 \sin(r_4)$,અને આ રીતે આગળ.
બધી સપાટીઓ પર ક્રમશઃ સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડીને અને પ્રિઝમની ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે વક્રીભવનાંક વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકીએ છીએ.
પાંચ પ્રિઝમ માટે,સાચો સંબંધ $\mu_1^2 + \mu_3^2 + \mu_5^2 = 2 + \mu_2^2 + \mu_4^2$ છે.

(A) આખા પ્રિઝમ માટે,કિરણ લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી પ્રથમ સપાટી પર આપાતકોણ $0^{\circ}$ છે. પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_1 = 0^{\circ}$ છે.
$r_1 + r_2 = A$ હોવાથી,આપણને $r_2 = A$ મળે છે.
સપાટીને સમાંતર નિર્ગમન માટે,નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ}$ છે. બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $\mu \sin r_2 = 1 \cdot \sin e \Rightarrow \mu \sin A = \sin 90^{\circ} = 1$,તેથી $\mu = \frac{1}{\sin A}$.
જ્યારે પ્રિઝમનો અડધો ભાગ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કિરણ આંતરિક સપાટી પર $r' = A/2$ ના આપાતકોણે અથડાય છે (પ્રિઝમના દ્વિભાજનની ભૂમિતિ મુજબ).
આ નવી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ વાપરતા: $\mu \sin r' = 1 \cdot \sin e'$,જ્યાં $e'$ એ નવો નિર્ગમન કોણ છે.
$\frac{1}{\sin A} \cdot \sin \frac{A}{2} = \sin e'$
$\sin e' = \frac{\sin(A/2)}{2 \sin(A/2) \cos(A/2)} = \frac{1}{2 \cos(A/2)} = \frac{1}{2} \sec \frac{A}{2}$.
આમ,$e' = \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \sec \frac{A}{2} \right)$.

(D) ધારો કે ખૂણો $ACB = C = 30^o$ છે. કિરણ સપાટી $AB$ પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,તે વિચલિત થયા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
સપાટી $AC$ પર,આપાતકોણ $i$ એ પ્રિઝમના ખૂણા $C$ જેટલો થાય છે,તેથી $i = 30^o$.
સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C_c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$i \ge C_c$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(i) \ge \sin(C_c)$.
$i = 30^o$ આપેલ છે,તેથી $\sin(30^o) \ge \frac{\mu}{\mu_p}$,જ્યાં $\mu_p = 1.5 = \frac{3}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \ge \frac{\mu}{1.5} \implies \mu \le \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$.

(C) પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો વિચલન કોણ $\delta$ એ સૂત્ર $\delta = A(\mu - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 5^{\circ} = 5 \times \frac{\pi}{180}$ રેડિયન અને $\mu = 1.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\delta = (5 \times \frac{\pi}{180}) \times (1.5 - 1) = \frac{5\pi}{180} \times 0.5 = \frac{2.5\pi}{180} = \frac{5\pi}{360}$ રેડિયન.
વસ્તુ $d$ અંતરે હોય ત્યારે પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબનું સ્થાનાંતર $y = d \times \delta$ (નાના ખૂણાઓ માટે) દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = 10\,cm$ છે.
તેથી,વસ્તુથી પ્રતિબિંબનું અંતર $y = 10 \times \frac{5\pi}{360} = \frac{50\pi}{360} = \frac{5\pi}{36}\,cm$ થાય.

(A) જ્યારે નિર્ગમન કિરણ સપાટીને સ્પર્શીને જાય,ત્યારે નિર્ગમન કોણ $e = 90^{\circ}$ થાય.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu \sin r_{2} = 1 \cdot \sin e$
$\sqrt{2} \sin r_{2} = \sin 90^{\circ} = 1$
$\sin r_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies r_{2} = 45^{\circ}$.
પ્રિઝમ માટે,ખૂણાઓ વચ્ચેનો સંબંધ $r_{1} + r_{2} = A$ છે.
અહીં $A = 60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$r_{1} + 45^{\circ} = 60^{\circ} \implies r_{1} = 15^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\sin i = \mu \sin r_{1}$
$\sin i = \sqrt{2} \sin 15^{\circ}$.
$\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\sin i = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.
આમ,$i = \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)$.

(C) પાતળા પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્રની ભૂમિતિ પરથી,કિરણો મુખ્ય અક્ષથી $h$ અંતરે આપાત થાય છે.
પ્રિઝમમાંથી પસાર થયા પછી,કિરણો મુખ્ય અક્ષ તરફ $\delta$ ખૂણે વિચલિત થાય છે.
વિચલન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $\tan \delta = \frac{h}{f}$ છે,જ્યાં $f$ એ પ્રિઝમથી કેન્દ્રિત બિંદુનું અંતર છે.
પ્રિઝમ પાતળો હોવાથી,$\delta$ નાનું છે,તેથી $\tan \delta \approx \delta$.
તેથી,$\delta = \frac{h}{f} \Rightarrow f = \frac{h}{\delta}$.
$\delta$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $f = \frac{h}{(\mu - 1)A}$ મળે છે.

(C) $1$. કિરણ પ્રિઝમમાં લંબરૂપે પ્રવેશે છે,તેથી તે કર્ણ સપાટી પરના બિંદુ $P$ સુધી વિચલિત થયા વગર જાય છે.
$2$. બિંદુ $P$ પર આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે.
$3$. કર્ણ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_p \sin(60^{\circ}) = \mu_w \sin(r)$,જ્યાં $r$ એ પ્રિઝમની અંદર વક્રીભવન કોણ છે.
$4$. $(5/3) \times (\sqrt{3}/2) = (4/3) \sin(r) \implies \sin(r) = 5\sqrt{3}/8$.
$5$. પ્રિઝમના પાયા સાથે કિરણનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે. પાયા પર આપાતકોણ $i' = 90^{\circ} - (r + 30^{\circ}) = 60^{\circ} - r$ છે.
$6$. પાયા પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_p \sin(i') = \mu_w \sin(\theta_2)$.
$7$. અહીં $P$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે કારણ કે $\sin(r) > 1$ મળે છે. તેથી કિરણ પાયામાંથી બહાર નીકળતું નથી.
$8$. વિધાન $(C)$ માટે,$P$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન ત્યારે બંધ થાય છે જ્યારે આપાતકોણ $i=60^{\circ}$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો થાય. $\sin(60^{\circ}) = \mu_w / \mu_p \implies \sqrt{3}/2 = \mu_w / (5/3) \implies \mu_w = 5\sqrt{3}/6 = 5 / (2\sqrt{3})$. આ સાચું છે.

(D) નાના ખૂણાવાળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $d$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = A(\mu - 1)$
જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે અને $\mu$ એ પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $d$ એ પ્રિઝમના ખૂણાના સીધા પ્રમાણમાં છે $(d \propto A)$.
વધુમાં,જેમ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ વધે છે,તેમ $(\mu - 1)$ પદ વધે છે,જેના પરિણામે વિચલન કોણ $d$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) પ્રિઝમ માટે લઘુત્તમ વિચલનકોણ $D$ નું સૂત્ર $D = (\mu - 1)A$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે અને $A$ એ પ્રિઝમકોણ છે.
અહીં લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક $\mu_r = 1.520$ અને વાદળી પ્રકાશ માટે $\mu_b = 1.525$ આપેલ છે.
આમ,$\mu_b > \mu_r$ હોવાથી,$(\mu_b - 1) > (\mu_r - 1)$ થાય.
તેથી,$D_2 > D_1$,જેને $D_1 < D_2$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.