Refraction of Light Questions in Hindi

(A) अपवर्तन के लिए विचलन कोण $\delta = i - r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
स्नेल के नियम से,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$,जिसका अर्थ है $\sin r = \frac{\sin i}{\mu}$.
चूंकि $\delta = i - r$,इसलिए $r = i - \delta$.
$\mu$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(i - \delta)}$
व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin(i - \delta)}{\sin i}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin i \cos \delta - \cos i \sin \delta}{\sin i}$
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin i \cos \delta}{\sin i} - \frac{\cos i \sin \delta}{\sin i}$
$\frac{1}{\mu} = \cos \delta - \frac{\sin \delta}{\tan i}$

(A) दिया गया है कि हीरे में प्रकाश का वेग $v_d = \frac{5}{12}c$ और पानी में $v_w = \frac{3}{4}c$ है,जहाँ $c$ हवा में प्रकाश की गति है।
पानी के सापेक्ष हीरे का अपवर्तनांक ${}_w n_d = \frac{n_d}{n_w} = \frac{c/v_d}{c/v_w} = \frac{v_w}{v_d}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: ${}_w n_d = \frac{3/4 c}{5/12 c} = \frac{3}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{9}{5}$.
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: ${}_w n_d = \frac{\sin i}{\sin r}$.
अतः,$\sin i = {}_w n_d \times \sin r = \frac{9}{5} \times \sin 30^{\circ}$.
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,हमें $\sin i = \frac{9}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{10}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$i = \sin^{-1}\left(\frac{9}{10}\right)$.

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,अपवर्तन कोण $r$ का दोगुना है,इसलिए $i = 2r$ या $r = \frac{i}{2}$।
इसे स्नेल के नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(i/2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin i = 2 \sin(i/2) \cos(i/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin(i/2) \cos(i/2)}{\sin(i/2)}$.
$\mu = 2 \cos(i/2)$.
$i$ के लिए हल करने पर:
$\frac{\mu}{2} = \cos(i/2)$.
$i/2 = \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$.
अतः,$i = 2 \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$।

(A) ऑप्टिकल पथ की लंबाई को माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu)$ और प्रकाश द्वारा उस माध्यम में तय की गई ज्यामितीय दूरी $(d)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दिया गया है कि ऑप्टिकल पथ समान हैं:
$\mu_{g} x_{g} = \mu_{m} x_{m}$
जहाँ $\mu_{g} = 1.6$ फ्लिंट ग्लास का अपवर्तनांक है, $x_{g} = 3 \ cm$ फ्लिंट ग्लास में तय की गई दूरी है, $\mu_{m} = 1.25$ अन्य माध्यम का अपवर्तनांक है, और $x_{m} = x$ अन्य माध्यम में तय की गई दूरी है।
मान रखने पर:
$1.6 \times 3 = 1.25 \times x$
$4.8 = 1.25 \times x$
$x = \frac{4.8}{1.25} = 3.84 \ cm$
अतः, '$x$' का मान $3.84 \ cm$ है।

(D) माध्यम $i$ के सापेक्ष माध्यम $j$ का अपवर्तनांक ${ }_{i} \mu_{j} = \frac{\mu_j}{\mu_i}$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $\mu$ माध्यम का निरपेक्ष अपवर्तनांक है।
दिया गया व्यंजक: ${ }_2 \mu_1 \times { }_3 \mu_2 \times { }_4 \mu_3$.
अपवर्तनांक की परिभाषा रखने पर:
$= \frac{\mu_1}{\mu_2} \times \frac{\mu_2}{\mu_3} \times \frac{\mu_3}{\mu_4}$.
अंश और हर में समान पदों को काटने पर:
$= \frac{\mu_1}{\mu_4}$.
परिभाषा के अनुसार,$\frac{\mu_1}{\mu_4} = { }_4 \mu_1$ होता है।

(B) माना $i$ आपतन कोण है,$r$ परावर्तन कोण है और $r_F$ अपवर्तन कोण है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,इसलिए $i = r$।
एक सीधी रेखा (सतह) पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
दी गई ज्यामिति के अनुसार,परावर्तन कोण,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण और अपवर्तन कोण का योग $180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$r + 90^{\circ} + r_F = 180^{\circ}$।
यहाँ $r_F = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $r + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$।
$r + 120^{\circ} = 180^{\circ}$।
$r = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।
चूंकि $i = r$,इसलिए आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ होगा।

(A) मान लीजिए कि पहली सतह से हवा के बुलबुले की वास्तविक गहराई $x$ है।
पहली सतह से देखने पर,आभासी गहराई $d_1 = \frac{x}{\mu} = 10 \ cm$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$x = 10\mu$.
विपरीत सतह से देखने पर,बुलबुले की वास्तविक गहराई $(24 - x)$ है।
आभासी गहराई $d_2 = \frac{24 - x}{\mu} = 6 \ cm$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$24 - x = 6\mu$.
दूसरे समीकरण में $x = 10\mu$ प्रतिस्थापित करने पर:
$24 - 10\mu = 6\mu$
$24 = 16\mu$
$\mu = \frac{24}{16} = 1.5$.
इसलिए,कांच का अपवर्तनांक $1.5$ है।

(B) माध्यम $1$ के सापेक्ष माध्यम $2$ का अपवर्तनांक, माध्यम $1$ में प्रकाश की गति और माध्यम $2$ में प्रकाश की गति के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $v_a$, $v_w$, और $v_g$ क्रमशः हवा, पानी और कांच में प्रकाश की गति हैं।
दिया गया है:
$X = {}^a\mu_w = \frac{v_a}{v_w}$
$Y = {}^w\mu_g = \frac{v_w}{v_g}$
$Z = {}^g\mu_a = \frac{v_g}{v_a}$
इन तीनों मानों का गुणा करने पर:
$X \times Y \times Z = \left(\frac{v_a}{v_w}\right) \times \left(\frac{v_w}{v_g}\right) \times \left(\frac{v_g}{v_a}\right) = 1$
अतः, $X Y Z = 1$।

(C) माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{n}$ है, जहाँ $\lambda_a$ हवा (या निर्वात) में तरंगदैर्ध्य है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है。
यहाँ अपवर्तनांक $n = 1.6$ दिया गया है。
निचली सीमा के लिए: $\lambda_{m1} = \frac{480 \,nm}{1.6} = 300 \,nm$.
ऊपरी सीमा के लिए: $\lambda_{m2} = \frac{672 \,nm}{1.6} = 420 \,nm$.
अतः, कांच में तरंगदैर्ध्य की सीमा $300 \,nm - 420 \,nm$ होगी।

(A) जब प्रकाश की किरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो उसकी आवृत्ति '$v$' अपरिवर्तित रहती है क्योंकि यह केवल प्रकाश के स्रोत पर निर्भर करती है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ '$c$' निर्वात में प्रकाश की गति है और '$n$' अपवर्तनांक है।
माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{v}{f} = \frac{c/n}{f} = \frac{\lambda}{n}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए अपवर्तनांक $n = \frac{3}{2}$ के लिए,नया तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{3/2} = \left(\frac{2}{3}\right) \lambda$ है।
अतः,आवृत्ति '$v$' रहती है और तरंगदैर्ध्य $\left(\frac{2}{3}\right) \lambda$ हो जाती है।

(C) जब प्रकाश निर्वात से कांच में प्रवेश करता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य घट जाती है।
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि कांच में प्रकाश की गति निर्वात की तुलना में कम होती है।
किसी माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,$\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $v$ माध्यम में प्रकाश की गति है।
चूंकि कांच का अपवर्तनांक निर्वात से अधिक होता है,इसलिए प्रकाश की गति $v$ कम हो जाती है।
संबंध $v = f \lambda$ के अनुसार,जहाँ $f$ आवृत्ति है (जो स्थिर रहती है) और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,गति $v$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक होती है।
इसलिए,जैसे-जैसे प्रकाश की गति कम होती है,प्रकाश की तरंगदैर्ध्य भी घट जाती है।

(C) मान लीजिए $n_{aw}$ हवा के सापेक्ष पानी का अपवर्तनांक है,$n_{gw}$ पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक है,और $n_{ag}$ कांच के सापेक्ष हवा का अपवर्तनांक है। दिया गया है: $x = n_{aw}$,$y = n_{gw}$,और $z = n_{ag}$।
उत्क्रमणीयता के सिद्धांत और सापेक्ष अपवर्तनांक की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$x = \frac{n_w}{n_a}$
$y = \frac{n_g}{n_w}$
$z = \frac{n_a}{n_g}$
इन तीनों व्यंजकों का गुणा करने पर:
$x \cdot y \cdot z = \left(\frac{n_w}{n_a}\right) \cdot \left(\frac{n_g}{n_w}\right) \cdot \left(\frac{n_a}{n_g}\right) = 1$
अतः,$xyz = 1$।

(A) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और उस माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है।
अतः,दो माध्यमों के लिए हमारे पास है:
$\mu_{1} = \frac{c}{v_{1}}$ और $\mu_{2} = \frac{c}{v_{2}}$
इन समीकरणों से,हम लिख सकते हैं:
$c = \mu_{1} v_{1}$ और $c = \mu_{2} v_{2}$
चूंकि दोनों व्यंजक निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ के बराबर हैं,इसलिए:
$\mu_{1} v_{1} = \mu_{2} v_{2}$

(B) जब किसी वस्तु को माध्यम में रखा जाता है,तो वह अपनी सीमाओं पर प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन के कारण दिखाई देती है।
यदि वस्तु का अपवर्तनांक उसके चारों ओर के द्रव के अपवर्तनांक $(\mu_{object} = \mu_{fluid} = \mu)$ के बिल्कुल समान हो,तो द्रव से वस्तु में प्रवेश करते समय प्रकाश की गति या दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
परिणामस्वरूप,वस्तु और द्रव के बीच की सतह पर कोई अपवर्तन या परावर्तन नहीं होता है।
अतः,प्रकाश की किरणें वस्तु से ऐसे गुजर जाती हैं जैसे कि वह वहां मौजूद ही न हो,जिससे वस्तु द्रव के बाहर के प्रेक्षक के लिए अदृश्य हो जाती है।

(C) माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है: $\mu = \frac{c}{v}$.
चूंकि प्रकाश जब एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति $(f)$ स्थिर रहती है,इसलिए हम गति को $c = f \lambda_0$ और $v = f \lambda$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है और $\lambda$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य है।
इन मानों को अपवर्तनांक के सूत्र में रखने पर: $\mu = \frac{f \lambda_0}{f \lambda} = \frac{\lambda_0}{\lambda}$.
चूंकि $\lambda_0$ (निर्वात में तरंगदैर्ध्य) एक स्थिरांक है,इसलिए $\mu \propto \frac{1}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$ होता है।
यहाँ,$\mu_1 = \sqrt{2}$ (कांच का अपवर्तनांक),$i = 45^{\circ}$ (आपतन कोण),और $\mu_2 = 1$ (वायु का अपवर्तनांक) है।
मान रखने पर: $\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 1 \cdot \sin r$।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हमें प्राप्त होता है: $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin r$।
$1 = \sin r$।
चूंकि $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ}$ होगा।

(D) जब प्रकाश की किरण समानांतर माध्यमों की एक श्रृंखला से गुजरती है और अंततः मूल माध्यम में बाहर निकलती है,तो सापेक्ष अपवर्तनांक का गुणनफल $1$ के बराबर होता है।
दिए गए क्रम (हवा $\rightarrow$ पानी $\rightarrow$ कांच $\rightarrow$ हवा) के लिए,उत्क्रमणीयता के सिद्धांत और समानांतर स्लैब के गुण के अनुसार:
$_{a}n_{w} \times _{w}n_{g} \times _{g}n_{a} = 1$.
हम जानते हैं कि $_{g}n_{a} = \frac{1}{_{a}n_{g}}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$_{a}n_{w} \times _{w}n_{g} \times \frac{1}{_{a}n_{g}} = 1$.
$_{w}n_{g}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$_{w}n_{g} = \frac{_{a}n_{g}}{_{a}n_{w}}$.
अतः,विकल्प $D$ सही संबंध है।

(B) पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक,पहले माध्यम में प्रकाश की गति और दूसरे माध्यम में प्रकाश की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $n_{21} = \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$.
हालाँकि,प्रश्न में पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक पूछा गया है,जो स्वयं अपवर्तनांकों के अनुपात द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$।

(A) किसी माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{C}{\mu_{w}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C$ हवा में प्रकाश की गति है और $\mu_{w}$ पानी का अपवर्तनांक है।
$h$ दूरी तय करने में लगा समय $(t)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{वेग}}$.
मान रखने पर,हमें मिलता है $t = \frac{h}{v}$.
चूँकि $v = \frac{C}{\mu_{w}}$,हम इसे समय के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$t = \frac{h}{(C / \mu_{w})} = \frac{h \mu_{w}}{C}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) किसी माध्यम का अपवर्तनांक उस माध्यम में प्रकाश की गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{c}{v}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब प्रकाश तेल (माध्यम $1$) से क्रिस्टल (माध्यम $2$) में यात्रा करता है,तो गति का अनुपात उनके अपवर्तनांक के व्युत्क्रम अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\frac{v_{crystal}}{v_{oil}} = \frac{\mu_{oil}}{\mu_{crystal}}$
यहाँ $\mu_{crystal} = 1.68$ और $\mu_{oil} = 1.2$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{v_{crystal}}{v_{oil}} = \frac{1.2}{1.68} = \frac{120}{168} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
अतः,वेग $\frac{5}{7}$ के कारक से बदल जाएगा।

(A) जब प्रकाश निर्वात से कांच में प्रवेश करता है,तो उसकी तरंगदैर्ध्य घट जाती है। इसका कारण यह है कि कांच में प्रकाश की गति निर्वात की तुलना में कम होती है। जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है। संबंध $v = f \lambda$ से,जहाँ $v$ गति है,$f$ आवृत्ति है,और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,हमारे पास $\lambda = \frac{v}{f}$ है। चूंकि निर्वात की तुलना में कांच में गति $v$ कम हो जाती है और आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घट जाती है।

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,अपवर्तन कोण $r$ का दोगुना है,इसलिए $i = 2r$ है।
इसे स्नेल के नियम में रखने पर: $\mu = \frac{\sin(2r)}{\sin r}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2r) = 2 \sin r \cos r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{2 \sin r \cos r}{\sin r}$।
सरल करने पर,$\mu = 2 \cos r$,जिसका अर्थ है $\cos r = \frac{\mu}{2}$।
अतः,$r = \cos^{-1} \left( \frac{\mu}{2} \right)$।
चूंकि $i = 2r$,इसलिए $i = 2 \cos^{-1} \left( \frac{\mu}{2} \right)$।

(A) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $n = \tan \theta_{B}$ होता है,जहाँ $\theta_{B}$ ब्रूस्टर कोण है।
यहाँ $\theta_{B} = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $n = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।
अब,स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin i}{\sin r} = n$,जहाँ $i = 45^{\circ}$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
मान रखने पर,$\sin r = \frac{\sin 45^{\circ}}{n} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$।
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$ होगा।

(B) अपवर्तनांक $n$ को निर्वात में प्रकाश की गति $c$ और माध्यम में प्रकाश की गति $v$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$n = \frac{c}{v}$
दिया गया है:
$n = 1.6$
$c = 3 \times 10^{8} \,m \,s^{-1}$
$v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v = \frac{c}{n}$
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{1.6}$
$v = 1.875 \times 10^{8} \,m \,s^{-1} \approx 1.88 \times 10^{8} \,m \,s^{-1}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) किसी माध्यम का अपवर्तनांक निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और उस माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$n = c/v$।
वायु के लिए,प्रकाश की गति निर्वात में प्रकाश की गति से थोड़ी कम होती है।
वायु का अपवर्तनांक लगभग $1.00029$ होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आभासी गहराई के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$\mu = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}}$
दिया गया है:
वास्तविक गहराई $(h_2) = 16 \text{ cm}$
अपवर्तनांक $(\mu) = \frac{4}{3}$
माना आभासी गहराई $h_1$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{4}{3} = \frac{16}{h_1}$
$h_1 = \frac{16 \times 3}{4}$
$h_1 = 4 \times 3 = 12 \text{ cm}$
अतः, सुई की आभासी गहराई $12.0 \text{ cm}$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
तरंग का वेग $v = \nu \lambda$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो उसकी आवृत्ति $\nu$ स्थिर रहती है क्योंकि यह प्रकाश के स्रोत पर निर्भर करती है।
चूंकि $v = \nu \lambda$ और $\nu$ स्थिर है,इसलिए वेग $v$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है $(v \propto \lambda)$।
इसलिए,जब सघन माध्यम में प्रवेश करने पर प्रकाश का वेग कम हो जाता है,तो तरंगदैर्ध्य भी कम हो जाती है।

(A) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n$,निर्वात में प्रकाश की चाल $c$ और माध्यम में प्रकाश की चाल $v$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है।
सूत्र $n = \frac{c}{v}$ है।
$v$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{c}{n}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $c = 3 \times 10^{8} \,m \,s^{-1}$ और $n = 1.25$ दिया गया है।
मान रखने पर: $v = \frac{3 \times 10^{8}}{1.25} = 2.4 \times 10^{8} \,m \,s^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दर्पण प्रकाश के परावर्तन के सिद्धांत पर कार्य करता है,जहाँ प्रकाश की किरणें दर्पण की सतह से टकराकर वापस लौटती हैं। लेंस प्रकाश के अपवर्तन के सिद्धांत पर कार्य करता है,जहाँ प्रकाश की किरणें माध्यम से गुजरती हैं और गति में परिवर्तन के कारण अपनी दिशा बदल लेती हैं। इसलिए,सही घटनाएँ क्रमशः परावर्तन और अपवर्तन हैं।

(C) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n$,निर्वात में प्रकाश की चाल $c$ और माध्यम में प्रकाश की चाल $v$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है,जो $n = \frac{c}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = \frac{3}{2}$ और $c = 3 \times 10^{8} \,ms^{-1}$ दिया गया है।
$v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{c}{n}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$v = \frac{3 \times 10^{8}}{3/2} = 3 \times 10^{8} \times \frac{2}{3} = 2 \times 10^{8} \,ms^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ द्वारा दी जाती है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ द्वारा दी जाती है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n$,निर्वात में प्रकाश की गति और माध्यम में प्रकाश की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है:
$n = \frac{c}{v} = \frac{\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}}{\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}} = \frac{\sqrt{\mu \varepsilon}}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} = \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$ होता है।
यहाँ,$n_1 = 1$ (निर्वात),$n_2 = n$,$i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
दिया गया है कि $i = 2r$,इसलिए $r = \frac{i}{2}$ होगा।
इन मानों को स्नेल के नियम में रखने पर:
$1 \times \sin i = n \sin \left(\frac{i}{2}\right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin i = 2 \sin \left(\frac{i}{2}\right) \cos \left(\frac{i}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{i}{2}\right) \cos \left(\frac{i}{2}\right) = n \sin \left(\frac{i}{2}\right)$
दोनों पक्षों को $\sin \left(\frac{i}{2}\right)$ से विभाजित करने पर ($i \neq 0$ मानते हुए):
$2 \cos \left(\frac{i}{2}\right) = n$
$\cos \left(\frac{i}{2}\right) = \frac{n}{2}$
$\frac{i}{2} = \cos^{-1} \left(\frac{n}{2}\right)$
$i = 2 \cos^{-1} \left(\frac{n}{2}\right)$

(B) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो प्रकाश का मुड़ना प्रकाश की गति में परिवर्तन के कारण होता है।
अपवर्तन इसलिए होता है क्योंकि दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक पहले माध्यम से भिन्न होता है।
अपवर्तनांक $( \mu )$ को निर्वात में प्रकाश की गति $( c )$ और माध्यम में प्रकाश की गति $( v )$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $ \mu = c/v $।
जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में यात्रा करता है,तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है,लेकिन उसकी गति बदल जाती है,जिसके कारण प्रकाश किरण अपने मूल पथ से विचलित हो जाती है (मुड़ जाती है)।
इसलिए,प्रकाश के मुड़ने का सही कारण यह है कि दूसरे माध्यम में प्रकाश की गति भिन्न होती है।

(A) समानांतर अंतरापृष्ठों (interfaces) की एक श्रृंखला के लिए स्नेल के नियम के अनुसार,प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर अपवर्तनांक और आपतन कोण की ज्या (sine) का गुणनफल स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि $\theta_{1}$ पहले माध्यम में आपतन कोण है और $\theta_{4}$ चौथे माध्यम में निर्गत कोण है।
प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{2} \sin \theta_{2} = n_{3} \sin \theta_{3} = n_{4} \sin \theta_{4}$
यह दिया गया है कि निर्गत किरण $DE$,आपतित किरण $AB$ के समानांतर है,इसलिए आपतन कोण $\theta_{1}$ निर्गत कोण $\theta_{4}$ के बराबर होना चाहिए (अर्थात $\theta_{1} = \theta_{4}$)।
इसलिए,$n_{1} \sin \theta_{1} = n_{4} \sin \theta_{1}$।
चूंकि $\sin \theta_{1} \neq 0$,इसलिए हमें $n_{1} = n_{4}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि दूरी $s$ है। माध्यम $A$ में तरंगदैर्ध्य $\lambda_{1}$ है और माध्यम $B$ में तरंगदैर्ध्य $\lambda_{2}$ है।
चूंकि माध्यम $A$ में $s$ दूरी में $x$ तरंगें हैं,इसलिए $s = x \lambda_{1}$ है।
चूंकि माध्यम $B$ में $s$ दूरी में $y$ तरंगें हैं,इसलिए $s = y \lambda_{2}$ है।
$s$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $x \lambda_{1} = y \lambda_{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{y}{x}$।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $n$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात $n \propto \frac{1}{\lambda}$)।
इसलिए,माध्यम $B$ के सापेक्ष माध्यम $A$ का अपवर्तनांक $n_{AB} = \frac{n_{A}}{n_{B}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$ द्वारा दिया जाता है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात रखने पर,हमें $n_{AB} = \frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।

(A) माध्यम $A$ और $B$ के इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_{1} \sin i = n_{2} \sin r_{1} \quad \text{...(i)}$
माध्यम $B$ और $C$ के इंटरफ़ेस पर फिर से स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_{2} \sin r_{1} = n_{3} \sin r_{2} \quad \text{...(ii)}$
चूंकि किरण माध्यम $B$ और $C$ की पृथक्करण सतह को छूते हुए (grazes) निकलती है,इसलिए अपवर्तन कोण $r_{2} = 90^{\circ}$ है।
समीकरण (ii) में $r_{2} = 90^{\circ}$ रखने पर:
$n_{2} \sin r_{1} = n_{3} \sin 90^{\circ} = n_{3}$
अब,$n_{2} \sin r_{1} = n_{3}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$n_{1} \sin i = n_{3}$
$\sin i = \frac{n_{3}}{n_{1}}$

(D) जब प्रकाश विरल माध्यम (हवा) से सघन माध्यम (पानी) में यात्रा करता है,तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है,लेकिन उसकी तरंगदैर्ध्य बदल जाती है।
पानी में तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda_{w} = \frac{\lambda_{a}}{n_{w}}$ है,जहाँ $\lambda_{a}$ हवा में तरंगदैर्ध्य है और $n_{w}$ पानी का अपवर्तनांक है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\lambda_{w} = \frac{500 \ nm}{4/3} = 500 \times \frac{3}{4} \ nm = 375 \ nm$.
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें $\lambda_{w} \approx 376 \ nm$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रकाश की तरंगदैर्ध्य स्पेक्ट्रम के नीले रंग की ओर स्थानांतरित हो जाती है ($376 \ nm$ नीले रंग के क्षेत्र में आता है),इसलिए गोताखोर को यह प्रकाश नीला दिखाई देगा।

(B) जब प्रेक्षक सघन माध्यम (पानी,अपवर्तनांक $n$) में होता है और वस्तु (पक्षी) विरल माध्यम (हवा,अपवर्तनांक $1$) में होती है,तो वस्तु की आभासी ऊँचाई बढ़ जाती है।
$n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में स्थित प्रेक्षक के लिए,$h$ वास्तविक ऊँचाई पर स्थित वस्तु की आभासी ऊँचाई $h' = n \times h$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,पक्षी पानी की सतह से $y$ ऊँचाई पर है।
इसलिए,पानी की सतह से मछली द्वारा देखी गई पक्षी की आभासी ऊँचाई $h' = n \times y$ होगी।
मछली पानी की सतह से $x$ गहराई पर है।
अतः,मछली द्वारा अनुमानित पक्षी की कुल दूरी मछली की गहराई और पक्षी की आभासी ऊँचाई का योग है: $D = x + ny$.

(B) किसी माध्यम में वस्तु की आभासी गहराई का सूत्र है: $\text{आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{अपवर्तनांक}}$.
पात्र की कुल ऊँचाई $2d$ है। यह दो अमिश्रणीय द्रवों से आधा भरा हुआ है,इसलिए प्रत्येक द्रव की वास्तविक गहराई $d$ है।
पहले द्रव के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_1 = \sqrt{2}$ है,आभासी गहराई $x_1$ है:
$x_1 = \frac{d}{\sqrt{2}}$
दूसरे द्रव के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_2 = n$ है,आभासी गहराई $x_2$ है:
$x_2 = \frac{d}{n}$
पात्र के तल की कुल आभासी गहराई दोनों परतों की आभासी गहराई का योग है:
$\text{कुल आभासी गहराई} = x_1 + x_2 = \frac{d}{\sqrt{2}} + \frac{d}{n}$
हर समान करने पर:
$\text{कुल आभासी गहराई} = \frac{dn + d\sqrt{2}}{n\sqrt{2}} = \frac{d(n + \sqrt{2})}{n\sqrt{2}}$

(C) किरण प्रकाशिकी में उपयोग की जाने वाली कार्तीय चिह्न परिपाटी के अनुसार,दर्पण के ध्रुव या लेंस के प्रकाशिक केंद्र को मूल बिंदु $(0,0)$ माना जाता है।
आपतित प्रकाश किरण की दिशा में मापी गई सभी दूरियों को धनात्मक माना जाता है।
इसके विपरीत,आपतित प्रकाश किरण की विपरीत दिशा में मापी गई सभी दूरियों को ऋणात्मक माना जाता है।

(C) प्रकाश विकिरण का रंग उसकी आवृत्ति द्वारा निर्धारित होता है। जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है,लेकिन उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है।
चूंकि आवृत्ति नहीं बदलती है,इसलिए विकिरण का रंग अपरिवर्तित रहता है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
हालाँकि,यह कथन कि माध्यम रंगों को अवशोषित या उत्सर्जित नहीं करते हैं,गलत है। विकिरण के विशिष्ट तरंगदैर्ध्य (रंगों) का अवशोषण या उत्सर्जन माध्यम की परमाणु या आणविक प्रकृति पर निर्भर करता है (उदाहरण के लिए,फिल्टर में चयनात्मक अवशोषण या उत्सर्जन स्पेक्ट्रा)। अतः,कारण $(R)$ असत्य है।

(C) प्रकाश तरंग की आवृत्ति प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है और यह उस माध्यम से स्वतंत्र रहती है जिससे होकर यह गुजरती है।
जब प्रकाश किरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है, तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है, लेकिन उसकी आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए, $1.5$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रकाश किरण की आवृत्ति वही रहेगी जो निर्वात या हवा में है, यानी $6 \times 10^{14} \,Hz$।

(C) पानी के लिए, $\text{वास्तविक गहराई} = 12 \,cm$ है।
$\text{आभासी गहराई} = 9 \,cm$ है।
पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ है।
जब पानी को $\mu_l = 1.5$ अपवर्तनांक वाले द्रव से बदला जाता है, तो नई आभासी गहराई इस प्रकार होगी:
$\text{नई आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\mu_l} = \frac{12}{1.5} = 8 \,cm$।
सूक्ष्मदर्शी शुरू में $9 \,cm$ पर केंद्रित था और अब इसे $8 \,cm$ पर केंद्रित करने की आवश्यकता है।
अतः, वह दूरी जिससे सूक्ष्मदर्शी को खिसकाया जाना है, $9 \,cm - 8 \,cm = 1 \,cm$ है।

(C) आपतन कोण $i$,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। प्रश्न में दिया गया है कि प्रकाश इंटरफेस के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर प्रवेश करता है। इसलिए,आपतन कोण $i = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ है।
विचलन कोण $D = 15^{\circ}$ दिया गया है। आपतन कोण $i$,अपवर्तन कोण $r$ और विचलन कोण $D$ के बीच का संबंध $D = i - r$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $15^{\circ} = 45^{\circ} - r$,जिससे $r = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$,जहाँ $n_1 = 1$ (हवा के लिए) और $n_2 = \mu$ (माध्यम का अपवर्तनांक):
$1 \times \sin 45^{\circ} = \mu \times \sin 30^{\circ}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \times \frac{1}{2}$
$\mu = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
अतः,माध्यम का अपवर्तनांक $1.414$ है।

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$ होता है।
दिया गया है: $n_1 = 2$,$i = 30^{\circ}$,$n_2 = 1$।
समीकरण में मान रखने पर:
$2 \times \sin 30^{\circ} = 1 \times \sin r$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए:
$2 \times 0.5 = \sin r$
$1 = \sin r$
अतः,$r = \arcsin(1) = 90^{\circ}$।

(A) माध्यम $A$ में प्रकाश की गति $v_A = f \lambda_A = (5 \times 10^{14} \ Hz) \times (300 \times 10^{-9} \ m) = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ है।
माध्यम $A$ का निरपेक्ष अपवर्तनांक $\mu_A = \frac{c}{v_A} = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{1.5 \times 10^8 \ m/s} = 2$ है।
हमें गति का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \frac{4}{5}$ दिया गया है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu$ प्रकाश की गति $v$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\mu = \frac{c}{v})$,इसलिए $\frac{\mu_B}{\mu_A} = \frac{v_A}{v_B}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{\mu_B}{2} = \frac{4}{5}$।
अतः,$\mu_B = 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$।

(A) प्रकाश तरंग की आवृत्ति $v = 4 \times 10^{14} \,Hz$ है और माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = 5 \times 10^{-7} \,m$ है।
माध्यम में प्रकाश की चाल $v_m = v \times \lambda_m = (4 \times 10^{14} \,Hz) \times (5 \times 10^{-7} \,m) = 2 \times 10^8 \,m/s$ द्वारा दी जाती है।
माध्यम का अपवर्तनांक $\mu$,निर्वात में प्रकाश की चाल $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की चाल $(v_m)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है $c = 3 \times 10^8 \,m/s$।
$\mu = \frac{c}{v_m} = \frac{3 \times 10^8 \,m/s}{2 \times 10^8 \,m/s} = 1.5$।
अतः,माध्यम का अपवर्तनांक $1.5$ है।

(C) जब किसी वस्तु को अवतल दर्पण के वक्रता केंद्र पर रखा जाता है,तो प्रतिबिंब वस्तु के साथ संपाती होता है। अतः,वक्रता त्रिज्या $R = 50 \ cm$ है।
जब दर्पण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है,तो वस्तु से प्रकाश की किरणें हवा से और फिर द्रव से होकर दर्पण तक पहुँचती हैं।
दर्पण की द्रव की सतह से दूरी $20 \ cm$ है। वस्तु दर्पण से $40 \ cm$ की दूरी पर है,जिसका अर्थ है कि यह हवा में द्रव की सतह से $40 - 20 = 20 \ cm$ की दूरी पर है।
वस्तु से प्रकाश की किरणें हवा में $20 \ cm$ चलती हैं और फिर द्रव में प्रवेश करती हैं। द्रव के अंदर से देखने पर वस्तु की आभासी गहराई $d' = d \times \mu = 20 \times \mu$ होगी।
दर्पण द्वारा देखी गई वस्तु की कुल दूरी $d_{total} = 20 + 20\mu$ है।
चूंकि प्रतिबिंब वस्तु के साथ संपाती होता है,इसलिए यह कुल दूरी वक्रता त्रिज्या $R = 50 \ cm$ के बराबर होनी चाहिए।
$20 + 20\mu = 50$
$20\mu = 30$
$\mu = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1.5$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है।
आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{c}{\lambda}$ है, जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $\lambda$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$ और $\lambda = 450 \times 10^{-9} \ m$।
मान रखने पर: $f = \frac{3 \times 10^8}{450 \times 10^{-9}} = \frac{3 \times 10^8}{4.5 \times 10^{-7}} = \frac{3}{4.5} \times 10^{15} = 0.666... \times 10^{15} \ Hz = 6.67 \times 10^{14} \ Hz$।
चूंकि आवृत्ति माध्यम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए माध्यम में आवृत्ति निर्वात के समान ही रहेगी।