Refraction of Light Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि आपतन कोण $i = 2r$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$ होता है।
मान लीजिए कि प्रकाश हवा $(\mu_1 = 1)$ से $\mu_2 = \mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में जा रहा है,तो:
$1 \cdot \sin(2r) = \mu \sin r$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2r) = 2 \sin r \cos r$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin r \cos r = \mu \sin r$
चूंकि $\sin r \neq 0$,दोनों पक्षों को $\sin r$ से विभाजित करने पर:
$2 \cos r = \mu \implies \cos r = \frac{\mu}{2}$
अतः,$r = \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$।
इसलिए,आपतन कोण $i = 2r = 2 \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$ होगा।

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,आपतन कोण और अपवर्तन कोण की ज्या (sine) का अनुपात दोनों माध्यमों के अपवर्तनांक के अनुपात के बराबर होता है:
$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $\mu$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है।
इसलिए,$\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$
$\lambda_2$ के लिए हल करने पर:
$\lambda_2 = \lambda_1 \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1}$

(D) हवा का बुलबुला ठोस कांच के गोले के केंद्र $O$ पर स्थित है।
जब हवा के बुलबुले से निकलने वाली प्रकाश की किरणें गोले की सतह की ओर यात्रा करती हैं,तो वे गोले की त्रिज्या के अनुदिश चलती हैं।
चूंकि त्रिज्या हमेशा गोले की सतह के लंबवत होती है,इसलिए प्रकाश की किरणें सतह पर $i = 0^\circ$ के आपतन कोण पर टकराती हैं।
स्नेल के नियम के अनुसार,जब प्रकाश किसी सतह पर लंबवत आपतित होता है,तो उसका कोई अपवर्तन या विचलन नहीं होता है।
इसलिए,प्रकाश की किरणें बिना मुड़े सीधी रेखा में यात्रा करना जारी रखती हैं।
परिणामस्वरूप,बाहर से देखने वाले प्रेक्षक को बुलबुले का प्रतिबिंब वस्तु के स्थान पर ही दिखाई देता है।
अतः,गोले के केंद्र से बुलबुले की आभासी दूरी शून्य है।

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_X \sin i = \mu_Y \sin r$ होता है।
चूँकि $\mu = \frac{c}{V}$ है,हम लिख सकते हैं $\frac{c}{V_X} \sin i = \frac{c}{V_Y} \sin r$,जो सरल होकर $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{V_X}{V_Y}$ हो जाता है।
दिए गए ग्राफ से,रेखा की ढाल $\tan 30^{\circ} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$\frac{\sin i}{\sin r} = \sqrt{3}$ है।
इस मान को वेग के अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{V_X}{V_Y} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V_X = \sqrt{3} V_Y$।
चूँकि प्रकाश विरल माध्यम $(X)$ से सघन माध्यम $(Y)$ में जा रहा है (क्योंकि $r < i$),इसलिए जब प्रकाश माध्यम $X$ से $Y$ में आपतित होता है तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन नहीं हो सकता है। अपवर्तन के दौरान आवृत्ति स्थिर रहती है।

(B) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$,परावर्तन कोण $\theta$ के बराबर होता है। इसलिए,$i = \theta$.
एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। इसलिए,परावर्तन कोण $\theta$,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $(90^{\circ})$,और अपवर्तन कोण $r$ के लिए:
$\theta + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$
$\theta = i$ रखने पर:
$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$
$r = 90^{\circ} - i$
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
$r = 90^{\circ} - i$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)}$
चूंकि $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,इसलिए:
$\mu = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$
अतः,$\tan i = \mu$.

(C) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो माध्यम का प्रकाशीय घनत्व बदलने के कारण उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं। हालाँकि,प्रकाश की आवृत्ति प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है और अपवर्तन के दौरान स्थिर रहती है। इसलिए,आवृत्ति में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(D) स्नेल के नियम के अनुसार,समानांतर परतों की एक श्रृंखला के लिए,अपवर्तनांक और आपतन कोण की ज्या (sine) का गुणनफल प्रत्येक इंटरफ़ेस पर स्थिर रहता है।
मान लीजिए $\mu_0$ $0$ वीं परत का अपवर्तनांक है और $i_0$ पहले इंटरफ़ेस पर आपतन कोण है।
$\mu_0 \sin i_0 = \mu_m \sin r_m$
दिया गया है:
$\mu_0 = \mu = 1.5$
$i_0 = 30^{\circ}$
$\mu_m = \mu - m \Delta \mu = 1.5 - m(0.015)$
चूंकि $m$ वें अपवर्तन के बाद किरण इंटरफ़ेस के समानांतर निकलती है,इसलिए अपवर्तन कोण $r_m = 90^{\circ}$ होगा।
मान रखने पर:
$1.5 \sin 30^{\circ} = (1.5 - m \times 0.015) \sin 90^{\circ}$
$1.5 \times 0.5 = (1.5 - 0.015m) \times 1$
$0.75 = 1.5 - 0.015m$
$0.015m = 1.5 - 0.75$
$0.015m = 0.75$
$m = \frac{0.75}{0.015} = \frac{750}{15} = 50$
अतः,$m$ का मान $50$ है।

(D) किसी माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात (या हवा) में तरंगदैर्ध्य है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है:
$\lambda_0 = 4200 Å$
$n = 4/3$
मान रखने पर:
$\lambda_m = \frac{4200}{4/3} = 4200 \times \frac{3}{4} = 1050 \times 3 = 3150 Å$.
अतः,पानी में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $3150 Å$ होगी।

(C) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो उसकी आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है।
चूंकि $v = f \lambda$ और $v = \frac{c}{\mu}$,हमारे पास $\frac{c}{\mu} = f \lambda$ है,जिसका अर्थ है $\mu \lambda = \frac{c}{f} = \text{स्थिरांक}$.
इसलिए,$\mu_1 \lambda_1 = \mu_2 \lambda_2$.
दिया गया है: $\mu_1 = \frac{4}{3}$,$\lambda_1 = 540 \ nm$,और $\mu_2 = \frac{3}{2}$.
मान रखने पर: $\left(\frac{4}{3}\right) \times 540 = \left(\frac{3}{2}\right) \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = 540 \times \frac{4}{3} \times \frac{2}{3}$.
$\lambda_2 = 540 \times \frac{8}{9} = 60 \times 8 = 480 \ nm$.

(C) निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = 200 \times 10^8 \text{ cm/s}$ है।
सबसे पहले,माध्यम में गति को $\text{m/s}$ में बदलें:
$v = 200 \times 10^8 \times 10^{-2} \text{ m/s} = 2 \times 10^8 \text{ m/s}$।
अपवर्तनांक $n$ का सूत्र $n = \frac{c}{v}$ है।
मान रखने पर: $n = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^8 \text{ m/s}} = 1.5$।

(A) स्नेल के नियम से,$\mu_1 \sin \alpha = \mu_2 \sin \beta$.
यहाँ $\mu_1 = 1$ और $\mu_2 = 1.5$ दिया गया है।
सदिश $\vec{AO} = 2\hat{i} - 3\hat{j}$ ऊर्ध्वाधर अक्ष (y-अक्ष) के साथ $\alpha$ कोण बनाता है। अतः,$\tan \alpha = \frac{|x|}{|y|} = \frac{2}{3}$.
इसलिए,$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\sin \beta = \frac{\mu_1}{\mu_2} \sin \alpha = \frac{1}{1.5} \times \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2}{1.5 \sqrt{13}} = \frac{4}{3\sqrt{13}}$.
अपवर्तित सदिश $\vec{OB} = C\hat{i} - 4\hat{j}$ है। कोण $\beta$ ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ है,इसलिए $\sin \beta = \frac{|C|}{\sqrt{C^2 + (-4)^2}} = \frac{C}{\sqrt{C^2 + 16}}$.
$\sin \beta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{C}{\sqrt{C^2 + 16}} = \frac{4}{3\sqrt{13}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{C^2}{C^2 + 16} = \frac{16}{9 \times 13} = \frac{16}{117}$.
$117C^2 = 16(C^2 + 16) \implies 117C^2 = 16C^2 + 256$.
$101C^2 = 256 \implies C^2 = \frac{256}{101} \approx 2.534$.
$C = \sqrt{2.534} \approx 1.59 \approx 1.6$.