Refraction of Light Questions in Hindi

(N/A) $n_{12}$ पहले माध्यम के सापेक्ष दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक दर्शाता है।
इसे पहले माध्यम में प्रकाश की गति $(v_1)$ और दूसरे माध्यम में प्रकाश की गति $(v_2)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $n_{12} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ क्रमशः पहले और दूसरे माध्यम के निरपेक्ष अपवर्तनांक हैं।

(A) उत्क्रमणीयता के सिद्धांत और अपवर्तनांक की परिभाषा के अनुसार,माध्यम $1$ के सापेक्ष माध्यम $2$ का अपवर्तनांक $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,माध्यम $2$ के सापेक्ष माध्यम $3$ का अपवर्तनांक $n_{32} = \frac{n_3}{n_2}$ है।
इन दोनों व्यंजकों का गुणा करने पर:
$n_{32} \times n_{21} = \left( \frac{n_3}{n_2} \right) \times \left( \frac{n_2}{n_1} \right) = \frac{n_3}{n_1}$.
परिभाषा के अनुसार,माध्यम $1$ के सापेक्ष माध्यम $3$ का अपवर्तनांक $n_{31} = \frac{n_3}{n_1}$ है।
अतः,$n_{32} \times n_{21} = n_{31}$।

(C) जब प्रकाश की किरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है,तो माध्यम के प्रकाशीय घनत्व में परिवर्तन के कारण इसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं। हालाँकि,प्रकाश तरंग की आवृत्ति प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है और जब यह एक नए माध्यम में प्रवेश करती है तो यह नहीं बदलती है। इसलिए,आवृत्ति स्थिर रहती है।

(A) जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है,तो दूसरे माध्यम का अपवर्तनांक पहले माध्यम से कम होता है $(n_2 < n_1)$।
चूंकि माध्यम में प्रकाश की गति $v = c/n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $n$ अपवर्तनांक है,इसलिए $n$ में कमी आने से प्रकाश की गति बढ़ जाती है ($v$ बढ़ती है)।
अपवर्तन के दौरान प्रकाश की आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है क्योंकि यह केवल स्रोत पर निर्भर करती है।
गति,आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच संबंध $v = f \lambda$ है।
चूंकि $v$ बढ़ती है और $f$ स्थिर रहती है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ भी बढ़नी चाहिए $(\lambda = v/f)$।

(N/A) $(i)$ हवा $(n_1 = 1)$ और मेटा-मटेरियल $(n_2 = -|n|)$ के बीच के इंटरफेस पर विचार करें। मान लीजिए कि एक तरंगिका $BC$ इंटरफेस पर $C$ पर आपतित होती है। हाइगेंस के सिद्धांत के अनुसार,तरंगिका को $B$ से $C$ तक यात्रा करने में लगा समय $t = \frac{BC}{c}$ है। उसी समय $t$ में,$A$ से द्वितीयक तरंगिका को मेटा-मटेरियल में $AD = v_2 t = \frac{c}{|n_2|} t = \frac{BC}{|n_2|}$ दूरी तय करनी चाहिए।
आपतित तरंगिका की ज्यामिति से,$BC = AC \sin \theta_i$। अपवर्तित तरंगिका की ज्यामिति से,$AD = AC \sin \theta_r$। चूंकि मेटा-मटेरियल में फेज वेग इंटरफेस की ओर निर्देशित होता है,इसलिए अपवर्तित किरण को आपतित किरण के रूप में अभिलंब के एक ही तरफ होना चाहिए लेकिन अभिलंब के सापेक्ष विपरीत चतुर्थांश में,जो इसे $3^{rd}$ चतुर्थांश में रखता है।
$(ii)$ त्रिभुज $ABC$ और $ADC$ से,हमारे पास $\sin \theta_i = \frac{BC}{AC}$ और $\sin \theta_r = \frac{AD}{AC}$ है।
दोनों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{BC}{AD}$ प्राप्त होता है।
$BC = c t$ और $AD = |v_2| t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{c}{|v_2|} = |n_2|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n_2 = -|n_2|$,हमारे पास $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = n_2$ है (कोणों के अनुपात के लिए परिमाण लेते हुए),जो पुष्टि करता है कि स्नेल का नियम लागू होता है।

(N/A) माना कि कटोरे के शीर्ष से डिस्क की गहराई $d$ है।
$1$. कटोरे को तरल से भरने से पहले,दूर का किनारा $A$ कटोरे के किनारे $M$ से बस दिखाई देता है। गहराई $d$ और दूरी $(a+R)$ द्वारा बने त्रिभुज की ज्यामिति से,हमें $\tan \alpha = \frac{a+R}{d}$ प्राप्त होता है,जहाँ $\alpha$ ऊर्ध्वाधर के साथ किरण का कोण है।
$2$. जब कटोरे को $\mu$ अपवर्तनांक वाले तरल से भरा जाता है,तो निकटतम किनारा $B$ दिखाई देने लगता है। $B$ से आने वाली किरण सतह पर $M$ बिंदु पर पहुँचती है और हवा में अपवर्तित होती है। $M$ बिंदु पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu \sin i = 1 \sin \alpha$,जहाँ $i$ $B$ से आपतन कोण है और $\alpha$ अपवर्तन कोण है।
$3$. ज्यामिति से,$\sin i = \frac{a-R}{\sqrt{d^2 + (a-R)^2}}$ और $\sin \alpha = \frac{a+R}{\sqrt{d^2 + (a+R)^2}}$.
$4$. इन मानों को स्नेल के नियम में रखने पर: $\mu \frac{a-R}{\sqrt{d^2 + (a-R)^2}} = \frac{a+R}{\sqrt{d^2 + (a+R)^2}}$.
$5$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\mu^2 \frac{(a-R)^2}{d^2 + (a-R)^2} = \frac{(a+R)^2}{d^2 + (a+R)^2}$.
$6$. $d^2$ के लिए हल करने पर: $d^2 = \frac{(a-R)^2 (a+R)^2 (\mu^2 - 1)}{(a+R)^2 - \mu^2 (a-R)^2}$.
$7$. अतः,$d = \sqrt{\frac{(a^2-R^2)^2 (\mu^2-1)}{(a+R)^2 - \mu^2(a-R)^2}}$.

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार, तरल के अत्यंत ऊंचे बेलनाकार स्तंभ के अंदर, $x$ और $x+dx$ दूरी पर स्थित परतों के बीच $dx$ चौड़ाई का एक अत्यंत संकीर्ण क्षेत्र मान लीजिए।
उपरोक्त क्षेत्र में, बिंदु $B$ क्षैतिज संदर्भ स्तर से $y$ ऊँचाई पर $\overline{PQ}$ स्तर पर है, जहाँ अपवर्तनांक $\mu$ है और अपवर्तनांक की प्रवणता $\frac{d\mu}{dy}$ है। इस बिंदु पर, प्रकाश की किरण $\overrightarrow{AB}$ कोण $(180^{\circ}-\theta)$ पर आपतित होती है। (क्योंकि $\overrightarrow{AB}$ क्षैतिज सतह $\overline{PQ}$ पर खींचे गए अभिलंब $M_1N_1$ के साथ $(180^{\circ}-\theta)$ कोण बनाती है, जो आपतन कोण बन जाता है)।
यदि अपवर्तनांक की कोई प्रवणता नहीं होती, तो किरण $\overrightarrow{AB}$ बिना विचलन के $dx$ चौड़ाई को पार कर जाती और बिंदु $B'$ पर पहुँच जाती। लेकिन यहाँ ऊँचाई घटने के साथ अपवर्तनांक बढ़ता है, इसलिए $\overline{RS}$ स्तर पर ऊँचाई $(y-dy)$ है और अपवर्तनांक $(\mu+d\mu)$ है जो $\mu$ से अधिक है। अतः, किरण $\overrightarrow{AB}$ अभिलंब $M_1N_1$ की ओर मुड़ जाती है और $B$ से $C$ तक आगे बढ़ती है। इस प्रकार, किरण $\overrightarrow{BC}$ अपवर्तित प्रकाश किरण बन जाती है जो अभिलंब $M_1N_1$ के साथ ${180^{\circ}-(\theta+d\theta)}$ कोण बनाती है।
बिंदु $B$ पर स्नेल का नियम लागू करने पर, हमें मिलता है:
$\mu \sin(180^{\circ}-\theta) = (\mu+d\mu) \sin(180^{\circ}-(\theta+d\theta))$
$\therefore \mu \sin\theta = (\mu+d\mu) \sin(\theta+d\theta)$
$\sin(\theta+d\theta) \approx \sin\theta + \cos\theta d\theta$ सन्निकटन का उपयोग करके और $d\mu d\theta$ जैसे उच्च-क्रम के पदों की उपेक्षा करने पर:
$\mu \sin\theta = \mu \sin\theta + \mu \cos\theta d\theta + d\mu \sin\theta$
$0 = \mu \cos\theta d\theta + \sin\theta d\mu$
$d\theta = -\tan\theta \frac{d\mu}{\mu}$
क्षैतिज दूरी $d$ पर इसका समाकलन करने पर, कुल विचलन $\delta = \int d\theta = -\int_0^d \tan\theta \frac{d\mu}{dx} dx$ प्राप्त होता है।

(D) चित्र में दिखाए अनुसार,जब प्रकाश की किरण $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक केंद्रीय विशाल पिंड की सतह के स्पर्शरेखीय गुजरती है,तो मान लीजिए कि यह $dr$ दूरी के भीतर $d\theta$ मात्रा से विचलित हो जाती है।
उस बिंदु पर स्नेल के नियम को लागू करने पर जहाँ प्रकाश किरण केंद्रीय विशाल पिंड के केंद्र से $r$ दूरी पर संकेंद्रित गोलाकार सतह पर आपतित होती है,हमें मिलता है:
$n \sin \theta = (n + dn) \sin(\theta + d\theta)$
$n \sin \theta = (n + dn)(\sin \theta \cos d\theta + \cos \theta \sin d\theta)$
चूंकि $d\theta$ अत्यंत छोटा है,$\sin(d\theta) \approx d\theta$ और $\cos(d\theta) \approx 1$ लेने पर:
$n \sin \theta = n \sin \theta + n \cos \theta (d\theta) + (dn) \sin \theta$
$0 = n \cos \theta (d\theta) + (dn) \sin \theta$
$-(dn) \sin \theta = n \cos \theta (d\theta)$
$-\left(\frac{dn}{dr}\right) \tan \theta = n \left(\frac{d\theta}{dr}\right)$
$n = 1 + \frac{2GM}{rc^2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{dn}{dr} = -\frac{2GM}{r^2c^2}$ है।
स्पर्श करने वाली किरण के लिए,$\theta$ बहुत छोटा है,इसलिए $\tan \theta \approx \sin \theta \approx \frac{b}{r}$ जहाँ $b \approx R$ इम्पैक्ट पैरामीटर है।
$\frac{dn}{dr}$ का मान प्रतिस्थापित करने और पथ के अनुदिश $\int d\theta = \int -\frac{1}{n} \frac{dn}{dr} \tan \theta dr$ का समाकलन करने पर,कुल विचलन $\Delta \theta = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2GM}{r^2c^2} \frac{b}{r} dx = \frac{4GM}{Rc^2}$ प्राप्त होता है।

(D) ऋणात्मक अपवर्तनांक वाले पदार्थ के लिए,स्नेल का नियम $-n = \frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r}$ है।
दिया गया है $n = -1$,इसलिए $-(-1) = \frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta_i = \sin \theta_r$,अर्थात $\theta_i = \theta_r$।
ज्यामिति के अनुसार,किरण $B$ पर प्रवेश करती है और $C$ पर बाहर निकलती है। ऋणात्मक अपवर्तनांक के कारण,किरण इस प्रकार मुड़ती है कि कुल विचलन $4\theta_i$ होता है।
प्रकाश के ऊपरी प्लेट तक न पहुँचने के लिए,निर्गत किरण को नीचे की ओर या किनारे की ओर निर्देशित होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि विचलन कोण $4\theta_i$ को $\frac{\pi}{2} \leq 4\theta_i \leq \frac{3\pi}{2}$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
इसे सरल बनाने पर $\frac{\pi}{8} \leq \theta_i \leq \frac{3\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta_i = \frac{x}{R}$ का उपयोग करते हुए,और छोटे कोणों के लिए $\sin \theta_i \approx \theta_i$ मानते हुए,हमें $\frac{\pi}{8} \leq \frac{x}{R} \leq \frac{3\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ की सीमा $\frac{\pi R}{8} \leq x \leq \frac{3\pi R}{8}$ है।

(B) मान लीजिए आपतन बिंदु $A$ है और परावर्तन/अपवर्तन बिंदु $B$ है। गोले का केंद्र $O$ है।
बिंदु $A$ पर स्नेल के नियम के अनुसार:
$1 \times \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \times \sin \theta$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.
त्रिभुज $\triangle OAB$ में,$OA = OB = R$ (गोले की त्रिज्या)। अतः,$\triangle OAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
बिंदु $B$ पर आपतन कोण भी $\theta = 30^{\circ}$ है।
$B$ पर परावर्तन कोण $r' = 30^{\circ}$ है (अभिलंब $OB$ के साथ कोण)।
$B$ पर अपवर्तन के लिए स्नेल के नियम के अनुसार:
$\sqrt{3} \times \sin 30^{\circ} = 1 \times \sin r''$
$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin r'' \Rightarrow \sin r'' = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow r'' = 60^{\circ}$.
अभिलंब $OB$ और परावर्तित किरण के बीच का कोण $30^{\circ}$ है।
अभिलंब $OB$ और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण अभिलंब के साथ इन कोणों का योग है: $30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$.

(A) मान लीजिए जार की त्रिज्या $R = 15\, cm$ है। तरल की ऊँचाई $h = 30\, cm$ है। छेद तल से $45\, cm$ की ऊँचाई पर है,इसलिए तरल की सतह से छेद की दूरी $45 - 30 = 15\, cm$ है।
जब प्रेक्षक तल के किनारे को देखता है,तो प्रकाश की किरण तल के किनारे से तरल की सतह तक जाती है और फिर छेद की ओर अपवर्तित होती है।
मान लीजिए $r$ अभिलंब के साथ तरल में अपवर्तन कोण है। ज्यामिति से,किनारे से उस बिंदु तक की क्षैतिज दूरी जहाँ किरण सतह से टकराती है,$15\, cm$ है और ऊर्ध्वाधर गहराई $30\, cm$ है। अतः,$\tan r = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $\sin r = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
तरल-वायु अंतरापृष्ठ पर आपतन कोण $i$ वह कोण है जो किरण अभिलंब के साथ बनाती है। चूंकि छेद से सतह पर स्थित बिंदु तक की क्षैतिज दूरी $15\, cm$ है और ऊर्ध्वाधर दूरी $15\, cm$ है,इसलिए $\tan i = \frac{15}{15} = 1$,अतः $i = 45^{\circ}$.
अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu \cdot \sin r$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$\mu = \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{2.5} \approx 1.5811$.
दिया गया है कि $\mu = \frac{N}{100}$,इसलिए $N = 100 \mu = 100 \times 1.5811 = 158.11$.
चूंकि $N$ एक पूर्णांक है,इसलिए $N = 158$ प्राप्त होता है।

(C) किसी माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $\mu$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
सबसे पहले,माध्यम $B$ में प्रकाश की गति $(v_{B})$ की गणना करें:
$v_{B} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.47} \approx 2.04 \times 10^{8} \, m/s = 20.4 \times 10^{7} \, m/s$.
गति का अंतर $v_{A} - v_{B} = 2.6 \times 10^{7} \, m/s$ दिया गया है,इसलिए हम $v_{A}$ ज्ञात कर सकते हैं:
$v_{A} = v_{B} + 2.6 \times 10^{7} = (20.4 + 2.6) \times 10^{7} = 23 \times 10^{7} \, m/s$.
चूंकि $v = \frac{c}{\mu}$,इसलिए $\mu = \frac{c}{v}$। अतः,अपवर्तनांक का अनुपात होगा:
$\frac{\mu_{B}}{\mu_{A}} = \frac{c/v_{B}}{c/v_{A}} = \frac{v_{A}}{v_{B}}$.
मान रखने पर:
$\frac{\mu_{B}}{\mu_{A}} = \frac{23 \times 10^{7}}{20.4 \times 10^{7}} \approx 1.127 \approx 1.13$.

(D) मान लीजिए आपतन कोण $i$ है और अपवर्तन कोण $r$ है।
दिया गया है कि $i = 2r$,जिसका अर्थ है $r = \frac{i}{2}$।
स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$।
यहाँ,$n_1 = 1$ (हवा के लिए) और $n_2 = \sqrt{2n}$ है।
मान रखने पर: $1 \cdot \sin i = \sqrt{2n} \cdot \sin\left(\frac{i}{2}\right)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin i = 2 \sin\left(\frac{i}{2}\right) \cos\left(\frac{i}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin\left(\frac{i}{2}\right) \cos\left(\frac{i}{2}\right) = \sqrt{2n} \sin\left(\frac{i}{2}\right)$।
दोनों पक्षों को $\sin\left(\frac{i}{2}\right)$ से विभाजित करने पर ($i \neq 0$ मानते हुए):
$2 \cos\left(\frac{i}{2}\right) = \sqrt{2n}$।
$\cos\left(\frac{i}{2}\right) = \frac{\sqrt{2n}}{2} = \sqrt{\frac{2n}{4}} = \sqrt{\frac{n}{2}}$।
अतः,$\frac{i}{2} = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{n}{2}}\right)$।
$i = 2 \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{n}{2}}\right)$।

(C) जब कोई तरंग विरल माध्यम से सघन माध्यम में यात्रा करती है,तो उसकी गति $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ कम हो जाती है क्योंकि सघन माध्यम का अपवर्तनांक अधिक होता है। हालाँकि,तरंग की आवृत्ति $(f)$ स्रोत का एक गुण है और अपवर्तन के दौरान स्थिर रहती है। यह संबंध $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है।

(A) अपवर्तनांक $\mu = c/v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $v$ माध्यम में गति है।
दिया गया है $\mu_{A}/\mu_{B} = 1/2$,इसलिए $(c/v_{A}) / (c/v_{B}) = v_{B}/v_{A} = 1/2$,जिसका अर्थ है $v_{A} = 2v_{B}$।
मान लीजिए कि दोनों पदार्थों की मोटाई $d$ है।
पदार्थ से गुजरने में लगा समय $t = d/v$ है।
दिया गया है $t_{2} - t_{1} = 5 \times 10^{-10} \text{ s}$,जहाँ $t_{1} = d/v_{A}$ और $t_{2} = d/v_{B}$ है।
मान रखने पर: $d/v_{B} - d/v_{A} = 5 \times 10^{-10}$।
$d(1/v_{B} - 1/v_{A}) = 5 \times 10^{-10}$।
$d((v_{A} - v_{B}) / (v_{A}v_{B})) = 5 \times 10^{-10}$।
चूंकि $v_{A} = 2v_{B}$,हमारे पास है $d((2v_{B} - v_{B}) / (2v_{B} \cdot v_{B})) = 5 \times 10^{-10}$।
$d(v_{B} / 2v_{B}^{2}) = 5 \times 10^{-10}$।
$d / (2v_{B}) = 5 \times 10^{-10}$।
$d = 10 \times 10^{-10} v_{B} = 10^{-9} v_{B} \text{ m}$।
वैकल्पिक रूप से,$v_{B} = v_{A}/2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $d / (2(v_{A}/2)) = 5 \times 10^{-10} \Rightarrow d/v_{A} = 5 \times 10^{-10} \Rightarrow d = 5 \times 10^{-10} v_{A} \text{ m}$।

(A) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n = \sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
माध्यम $2$ के लिए,अपवर्तनांक $n_{2} = \sqrt{\mu_{r2} \varepsilon_{r2}} = \sqrt{1 \times 9} = 3$ है।
माध्यम में प्रकाश की गति और निर्वात में प्रकाश की गति $c$ के बीच का संबंध $v = \frac{c}{n}$ है।
अतः,माध्यम $2$ में प्रकाश की गति $v_{2} = \frac{c}{n_{2}} = \frac{3 \times 10^{8} \, ms^{-1}}{3} = 1 \times 10^{8} \, ms^{-1}$ होगी।
इस प्रकार,मान $1.0 \times 10^{8} \, ms^{-1}$ है।

(B) आपतित किरण का सदिश $\overrightarrow{A} = 4\sqrt{3}\hat{i} - 3\sqrt{3}\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
$X-Y$ समतल पर अभिलंब $Z$-अक्ष की दिशा में है,अर्थात $\hat{k}$।
आपतन कोण $i$,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। चूंकि किरण $M_{1}$ $(Z \geq 0)$ में मूल बिंदु की ओर यात्रा कर रही है,इसका दिशा सदिश $-\overrightarrow{A} = -4\sqrt{3}\hat{i} + 3\sqrt{3}\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
अभिलंब $\hat{k}$ के साथ कोण $i$ का कोसाइन $\cos i = \frac{|A_z|}{|\overrightarrow{A}|}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाण $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2 + (-5)^2} = \sqrt{48 + 27 + 25} = \sqrt{100} = 10$.
$\cos i = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \Rightarrow i = 60^{\circ}$.
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$.
$\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \sin r$.
$\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$.
$\sin r = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow r = 45^{\circ}$.
आपतन कोण और अपवर्तन कोण के बीच का अंतर $i - r = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$ है।

(C) माना पात्र में पानी की ऊँचाई $h$ है। प्रेक्षक इस प्रकार स्थित है कि दृष्टि रेखा $CD$ दीवार के ऊपरी किनारे को छूती है। वस्तु पेंदे पर बिंदु $P$ पर है,जो कोने $C$ से $10 \, cm$ की दूरी पर है।
ज्यामिति के अनुसार,$P$ से आने वाली प्रकाश किरण पानी की सतह पर बिंदु $E$ पर पहुँचती है और वहाँ से प्रेक्षक की ओर अपवर्तित होती है।
पानी की सतह पर आपतन कोण $i$ के लिए $\tan i = \frac{10}{h}$ प्राप्त होता है।
अपवर्तन कोण $r = 45^{\circ}$ है।
स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu_w \sin i = \mu_a \sin r$.
यहाँ $\mu_w = 4/3$ और $\mu_a = 1$ लेने पर,$\frac{4}{3} \sin i = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\sin i = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.
इन गणनाओं और पात्र की ज्यामिति के आधार पर,सही उत्तर $27 \, cm$ प्राप्त होता है।

(C) सही विकल्प $(C)$ है।
दिए गए चित्र में,आपतित किरण और अपवर्तित किरण इंटरफ़ेस पर अभिलंब के एक ही तरफ स्थित हैं। स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$।
यदि प्रकाश हवा $(n_1 = 1)$ से एक माध्यम $(n_2 = n)$ में यात्रा करता है,तो $\sin(i) = n \sin(r)$।
दिए गए चित्र में,अपवर्तन कोण $r$ मानक अपवर्तन की तुलना में अभिलंब के विपरीत दिशा में है,जो गणितीय रूप से इंगित करता है कि अपवर्तनांक $n$ ऋणात्मक होना चाहिए।
ऋणात्मक अपवर्तनांक वाले पदार्थों को नेगेटिव इंडेक्स मेटा-मटेरियल्स $(NIM)$ के रूप में जाना जाता है। इन पदार्थों में,फेज वेलोसिटी ग्रुप वेलोसिटी (पॉइंटिंग वेक्टर) के विपरीत दिशा में निर्देशित होती है,जिससे चित्र में दिखाए अनुसार ऋणात्मक अपवर्तन होता है।

(C) स्नेल के नियम से,$\sin i = \mu \sin r$ है।
$\mu(\lambda) = a + \frac{b}{\lambda^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sin i = (a + \frac{b}{\lambda^2}) \sin r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $\lambda$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$i$ स्थिर रहता है:
$0 = \frac{d}{d\lambda} [(a + \frac{b}{\lambda^2}) \sin r]$
$0 = (a + \frac{b}{\lambda^2}) \cos r \frac{dr}{d\lambda} + \sin r (-\frac{2b}{\lambda^3})$.
$\frac{dr}{d\lambda}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(a + \frac{b}{\lambda^2}) \cos r \frac{dr}{d\lambda} = \frac{2b}{\lambda^3} \sin r$.
$\frac{dr}{d\lambda} = \frac{2b \sin r}{\lambda^3 (a + \frac{b}{\lambda^2}) \cos r} = \frac{2b \tan r}{\lambda^3 (a + \frac{b}{\lambda^2})} = \frac{2b \tan r}{\lambda(a\lambda^2 + b)}$.
अतः,अपवर्तन कोण में कोणीय प्रसार $\delta r = |\frac{dr}{d\lambda}| \delta \lambda = |\frac{2b \tan r}{a\lambda^3 + b\lambda}| \delta \lambda$ है।

(C) मान लीजिए कि जब सिक्का पहली बार दिखाई देता है तो पानी का स्तर $h$ है। सिक्के से आने वाली प्रकाश किरण पानी की सतह पर जाती है और प्रेक्षक $O$ की ओर अपवर्तित होती है।
ज्यामिति से,अपवर्तन कोण $r$ के लिए $\tan r = \frac{L-R}{H-d} = \frac{1.5-1}{5.75-4} = \frac{0.5}{1.75} = \frac{2}{7}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि सिक्के से उस बिंदु तक की क्षैतिज दूरी $x$ है जहाँ किरण पानी की सतह से टकराती है। तब $\tan r = \frac{x}{d-h} \Rightarrow x = (d-h) \tan r$.
साथ ही,$\tan i = \frac{R-x}{h}$ है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$n \sin i = \sin r$. यहाँ $n = 4/3$ है,इसलिए $\sin r = \frac{4}{3} \sin i$.
$\tan r = 2/7$ का उपयोग करने पर,$\sin r = \frac{2}{\sqrt{2^2+7^2}} = \frac{2}{\sqrt{53}}$.
अतः,$\sin i = \frac{3}{4} \sin r = \frac{3}{4} \times \frac{2}{\sqrt{53}} = \frac{3}{2\sqrt{53}}$.
अब $\tan i = \frac{\sin i}{\sqrt{1-\sin^2 i}} = \frac{3/2\sqrt{53}}{\sqrt{1-9/(4 \times 53)}} = \frac{3/2\sqrt{53}}{\sqrt{203}/(2\sqrt{53})} = \frac{3}{\sqrt{203}}$.
$x = R - h \tan i = (d-h) \tan r$ को बराबर करने पर,$h = \frac{d \tan r - R}{\tan r - \tan i} = \frac{4(2/7) - 1}{2/7 - 3/\sqrt{203}} \approx 1.92 \,m$ प्राप्त होता है।
पानी का आयतन $V = \pi R^2 h = \pi (1)^2 (1.92) = 1.92 \pi \approx 6.03 \,m^3$.
चूंकि $V = Qt$,इसलिए $t = V/Q = 6.03 / 0.1 = 60.3 \,s$. निकटतम विकल्प $63 \,s$ है।

(C) सही उत्तर $C$ है।
फ्रॉस्टेड ग्लास की सतह खुरदरी होती है जो प्रकाश का अनियमित परावर्तन और अपवर्तन करती है,जिससे कांच पारभासी दिखाई देता है।
जब फ्रॉस्टेड सतह पर एक पारदर्शी चिपकने वाली टेप लगाई जाती है,तो चिपकने वाला गोंद कांच की सतह की सूक्ष्म अनियमितताओं (खुरदरेपन) को भर देता है।
चूंकि चिपकने वाले गोंद का अपवर्तनांक कांच के अपवर्तनांक के बहुत करीब होता है,इसलिए गोंद और कांच के बीच का इंटरफेस ऑप्टिकली चिकना हो जाता है।
यह सतह पर प्रकाश के प्रकीर्णन को कम करता है,जिससे प्रकाश अधिक नियमित रूप से गुजर पाता है,जो कांच के उस विशिष्ट क्षेत्र को पारदर्शी बना देता है।

(B) अपवर्तनांक $\mu$ का मान $\mu = 1.33 + \frac{0.002}{\lambda^2}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए अपवर्तनांक अधिक होता है।
तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{orange}}$ है।
इसलिए,अपवर्तनांक का क्रम $\mu_{\text{blue}} > \mu_{\text{orange}}$ होगा।
आभासी गहराई $d'$ वास्तविक गहराई $d$ और अपवर्तनांक $\mu$ से $d' = \frac{d}{\mu}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
चूंकि टंकी के तल पर सभी टुकड़ों के लिए $d$ स्थिर है,इसलिए $d' \propto \frac{1}{\mu}$ होगा।
चूंकि $\mu_{\text{blue}} > \mu_{\text{orange}}$,इसलिए $d'_{\text{blue}} < d'_{\text{orange}}$ प्राप्त होता है।
अतः,नीले टुकड़ों का प्रतिबिंब नारंगी टुकड़ों की तुलना में कम गहरा (उथला) दिखाई देता है।

(C) मान लीजिए कि किरण बाईं सतह पर लंबवत आपतित होती है। यह बिना किसी विचलन के पहले प्रिज्म (अपवर्तनांक $\mu_1$) में प्रवेश करती है।
प्रिज्म $\mu_1$ और $\mu_2$ के बीच की सतह पर,आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ है। स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu_1 \sin 45^{\circ} = \mu_2 \sin \theta$,जहाँ $\theta$ अपवर्तन कोण है।
अतः,$\mu_1 \frac{1}{\sqrt{2}} = \mu_2 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{\mu_1}{\sqrt{2} \mu_2} \quad \dots(1)$
प्रिज्म $\mu_2$ और $\mu_3$ के बीच की सतह पर,किरण $r_2 = \alpha - \theta$ के आपतन कोण पर टकराती है। ज्यामिति से,$\alpha = 90^{\circ}$ है। इसलिए,$r_2 = 90^{\circ} - \theta$.
किरण दाईं सतह से लंबवत बाहर निकलती है,जिसका अर्थ है कि दूसरे इंटरफ़ेस पर अपवर्तन कोण $45^{\circ}$ है।
दूसरे इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_2 \sin(90^{\circ} - \theta) = \mu_3 \sin 45^{\circ} \implies \mu_2 \cos \theta = \mu_3 \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos \theta = \frac{\mu_3}{\sqrt{2} \mu_2} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left(\frac{\mu_1}{\sqrt{2} \mu_2}\right)^2 + \left(\frac{\mu_3}{\sqrt{2} \mu_2}\right)^2$
$1 = \frac{\mu_1^2}{2 \mu_2^2} + \frac{\mu_3^2}{2 \mu_2^2} \implies 2 \mu_2^2 = \mu_1^2 + \mu_3^2$.

(A) जब प्रकाश की किरण एक पारदर्शी गोले में प्रवेश करती है,तो वह पहली सतह पर अपवर्तन,दूसरी सतह पर एक आंतरिक परावर्तन और तीसरी सतह पर फिर से अपवर्तन का अनुभव करती है और गोले से बाहर निकलती है।
$1$. पहली सतह पर (अपवर्तन): आपतन कोण $i = \pi / 4$ है और अपवर्तन कोण $r$ है। उत्पन्न विचलन $\delta_1 = i - r = \frac{\pi}{4} - r$ है।
$2$. दूसरी सतह पर (आंतरिक परावर्तन): आपतन कोण $r$ है। परावर्तन द्वारा उत्पन्न विचलन $\delta_2 = \pi - 2r$ है।
$3$. तीसरी सतह पर (अपवर्तन): आपतन कोण $r$ है और निर्गत कोण $i = \pi / 4$ है। उत्पन्न विचलन $\delta_3 = i - r = \frac{\pi}{4} - r$ है।
कुल विचलन $\delta = \delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = (\frac{\pi}{4} - r) + (\pi - 2r) + (\frac{\pi}{4} - r) = \frac{\pi}{2} + \pi - 4r = \frac{3 \pi}{2} - 4r$.

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,जब प्रकाश की किरण $\mu_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से $\mu_2$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में जाती है,तो यदि $\mu_2 > \mu_1$ हो,तो वह अभिलंब की ओर झुक जाती है।
बिंदु $Q$ पर,प्रकाश की किरण अभिलंब की ओर झुकती है,जिसका अर्थ है कि $\mu_2 > \mu_1$ है।
बिंदु $R$ पर,प्रकाश की किरण अभिलंब से दूर हटती है,जिसका अर्थ है कि $\mu_3 < \mu_2$ है।
चूंकि निर्गत किरण $RS$,आपतित किरण $PQ$ के समानांतर है,इसलिए दोनों अंतरापृष्ठों (interfaces) द्वारा उत्पन्न कुल विचलन शून्य होना चाहिए। यह तब होता है जब पहले और तीसरे माध्यम के अपवर्तनांक समान हों,अर्थात $\mu_1 = \mu_3$ हो।
इन अवलोकनों को मिलाने पर,हमें $\mu_1 = \mu_3 < \mu_2$ प्राप्त होता है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
जब प्रकाश की किरण एक गोलाकार सतह पर इस प्रकार आपतित होती है कि वह गोले के केंद्र $C$ से होकर गुजरती है,तो आपतन कोण $i$ का मान $0^\circ$ होता है क्योंकि किरण सतह के अभिलंबवत होती है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$,जिसका अर्थ है कि $\sin(r) = 0$,इसलिए अपवर्तन कोण $r$ भी $0^\circ$ होता है।
चूंकि किरण केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए यह गोलाकार बूंद के प्रवेश और निकास दोनों बिंदुओं पर बिना विचलित हुए सीधी निकल जाती है।
चूंकि कोई विचलन या अपवर्तन नहीं होता है,इसलिए सफेद प्रकाश का अपने घटक रंगों में कोई विक्षेपण (dispersion) नहीं होता है।
अतः,निर्गत प्रकाश सफेद ही रहता है और बिना विचलित हुए बाहर निकलता है।

(C) बिंदु $Q$ तक सबसे कम समय में पहुँचने के लिए,लड़की को उस पथ का अनुसरण करना चाहिए जो कुल यात्रा समय को कम करे। यह प्रकाशिकी में फर्मेट के सिद्धांत (Fermat's principle) के समान है,जो बताता है कि प्रकाश उस पथ का अनुसरण करता है जिसमें सबसे कम समय लगता है।
चूंकि तट पर लड़की की चाल $(v_1 = 6 \, kmh^{-1})$ समुद्र में उसकी चाल $(v_2 = 4 \, kmh^{-1})$ से अधिक है,इसलिए उसे कुल समय को कम करने के लिए तट पर अधिक दूरी और समुद्र में कम दूरी तय करनी चाहिए। स्नेल के नियम के अनुसार,जो फर्मेट के सिद्धांत से प्राप्त होता है,कम चाल वाले माध्यम में प्रवेश करते समय पथ को अभिलंब (normal) की ओर झुकना चाहिए।
दिए गए पथों की तुलना करने पर,पथ $P C Q$ उस इष्टतम अपवर्तन-समान प्रक्षेपवक्र को दर्शाता है जो $Q$ तक पहुँचने में लगने वाले कुल समय को न्यूनतम करता है।

(C) निचले केंद्र $C$ से आने वाली किरण ऊपरी किनारे तक जाती है और फिर प्रेक्षक की ओर हवा में अपवर्तित होती है।
जल-वायु इंटरफेस पर स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $n_1 \cdot \sin i = n_2 \cdot \sin r$.
यहाँ,पानी में आपतन कोण $i$ वह कोण है जो किरण अभिलंब के साथ बनाती है। चूंकि किरण क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए ऊर्ध्वाधर अभिलंब के साथ कोण $i = 90^{\circ} - \theta$ होगा।
अपवर्तन कोण $r$ वह कोण है जो किरण हवा में अभिलंब के साथ बनाती है। ज्यामिति से,$\tan r = \frac{x/2}{h} = \frac{x}{2h}$.
दिया गया है $\frac{h}{x} = \frac{7}{4}$,इसलिए $\tan r = \frac{1}{2(h/x)} = \frac{1}{2(7/4)} = \frac{2}{7}$.
अतः,$\sin r = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 7^2}} = \frac{2}{\sqrt{53}}$.
स्नेल के नियम को लागू करने पर: $n_{water} \cdot \sin i = n_{air} \cdot \sin r$.
$\frac{4}{3} \cdot \sin(90^{\circ} - \theta) = 1 \cdot \sin r$.
$\frac{4}{3} \cdot \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{53}}$.
$\cos \theta = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{53}} = \frac{8}{3\sqrt{53}}$.

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu \sin \theta_1 = \mu_1 \sin r_1$,जहाँ $r_1$ पहले ब्लॉक में अपवर्तन कोण है।
यदि $\theta_1$ बढ़ता है,तो $\sin \theta_1$ बढ़ता है,इसलिए $\sin r_1$ को बढ़ना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r_1$ बढ़ता है।
दो ब्लॉकों के बीच के इंटरफेस पर,आपतन कोण $r_1$ है और अपवर्तन कोण $r_2$ है। स्नेल के नियम से: $\mu_1 \sin r_1 = \mu_2 \sin r_2$.
चूंकि $\mu_1 \sin r_1$ बढ़ गया है,इसलिए $\mu_2 \sin r_2$ को भी बढ़ना चाहिए। चूँकि $\mu_2$ स्थिर है,$\sin r_2$ बढ़ता है,इसलिए $r_2$ बढ़ता है।
अंतिम इंटरफेस पर,आपतन कोण $r_2$ है और अपवर्तन कोण $\theta_2$ है। स्नेल के नियम से: $\mu_2 \sin r_2 = \mu \sin \theta_2$.
चूंकि $\mu_2 \sin r_2$ बढ़ गया है,इसलिए $\mu \sin \theta_2$ को बढ़ना चाहिए। चूँकि $\mu$ स्थिर है,$\sin \theta_2$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $\theta_2$ बढ़ता है।

(C) प्रारंभ में,समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए:
$\frac{s}{3.8} = \frac{s + 30}{7.6}$
$7.6s = 3.8s + 114$
$3.8s = 114 \Rightarrow s = 30 \,cm$.
अंत में,जब टंकी को द्रव से भर दिया जाता है:
स्रोत से आने वाली प्रकाश किरण बाईं दीवार पर अभिलंब के साथ $i$ कोण बनाती है। बाईं दीवार पर केंद्रीय अक्ष से किरण की ऊंचाई $1.9 \,cm$ ($3.8 \,cm$ का आधा) है।
$\tan i = \frac{1.9}{s} = \frac{1.9}{30}$.
अपवर्तन के बाद,किरण अभिलंब के साथ $r$ कोण बनाती है। छाया की चौड़ाई $6.4 \,cm$ है,इसलिए दाईं दीवार पर केंद्रीय अक्ष से किरण की दूरी $3.2 \,cm$ है। बाईं दीवार पर किरण की ऊंचाई $1.9 \,cm$ है। द्रव के अंदर किरण का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $3.2 - 1.9 = 1.3 \,cm$ है।
$\tan r = \frac{1.3}{30}$.
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$1 \cdot \sin i = n \cdot \sin r$। छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \tan \theta$:
$1 \cdot \tan i = n \cdot \tan r$
$\frac{1.9}{30} = n \cdot \frac{1.3}{30}$
$n = \frac{1.9}{1.3} \approx 1.46$.
अतः,$n$ का मान $1.45$ के सबसे निकट है।

(C) जब कोई वस्तु विरल माध्यम (हवा) में होती है और उसे सघन माध्यम (पानी) से देखा जाता है,तो वह वस्तु अपनी वास्तविक ऊंचाई से अधिक ऊंचाई पर दिखाई देती है।
आभासी ऊंचाई $(h')$ और वास्तविक ऊंचाई $(h)$ तथा अपवर्तनांक $(\mu)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$h' = \mu \times h$
दिया गया है:
वास्तविक ऊंचाई $(h)$ = $24 \, cm$
पानी का अपवर्तनांक $(\mu)$ = $\frac{4}{3}$
मान रखने पर:
$h' = \frac{4}{3} \times 24 \, cm$
$h' = 4 \times 8 \, cm$
$h' = 32 \, cm$
अतः,खंभे का सिरा सतह से $32 \, cm$ ऊपर दिखाई देगा।

(A) प्रकाश का रंग उसकी आवृत्ति पर निर्भर करता है,न कि उसकी तरंगदैर्ध्य पर।
जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है,लेकिन उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है।
चूंकि आवृत्ति नहीं बदलती है,इसलिए प्रकाश का रंग भी नहीं बदलता है।
अतः,लाल प्रकाश पानी में प्रवेश करने के बाद भी लाल ही रहता है।

(B) न्यूटन के कणिका सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश 'कॉर्पसल्स' (corpuscles) नामक छोटे कणों से बना है।
न्यूटन ने माना था कि सघन माध्यम द्वारा इन कणों पर लगाया गया आकर्षण बल उनके वेग को बढ़ा देता है।
इसलिए,यह सिद्धांत भविष्यवाणी करता है कि प्रकाश की गति विरल माध्यम (जैसे निर्वात) की तुलना में सघन माध्यम (जैसे पानी) में अधिक होती है।
यह भविष्यवाणी बाद में फौकॉल्ट के प्रयोग द्वारा गलत साबित हुई,जिसने दिखाया कि प्रकाश की गति वास्तव में सघन माध्यमों में कम होती है।

(A) माध्यम में प्रकाश की गति $V$ और मुक्त आकाश में प्रकाश की गति $C$ का संबंध अपवर्तनांक $\mu$ द्वारा $V = \frac{C}{\mu}$ के रूप में दिया जाता है।
दिया गया है $V = 0.2C$,इसलिए $\mu = \frac{C}{V} = \frac{C}{0.2C} = 5$.
अपवर्तनांक का सूत्र $\mu = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ होता है।
यहाँ $\mu_r = 1$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \sqrt{\epsilon_r}$,जिसका अर्थ है $\epsilon_r = \mu^2$.
$\mu = 5$ रखने पर,हमें $\epsilon_r = 5^2 = 25$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष पारगम्यता $\epsilon_r$ और अपवर्तनांक $\mu$ का अनुपात $\frac{\epsilon_r}{\mu} = \frac{25}{5} = 5$ है।
अतः,अनुपात $5:1$ है,इसलिए $x = 5$.

(B) प्रकाश तरंग की आवृत्ति केवल स्रोत पर निर्भर करती है और जब यह एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है तो यह स्थिर रहती है। इसलिए,$v_2 = v_1$ होगा।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$,जहाँ $\mu_1$ और $\mu_2$ क्रमशः हवा और माध्यम के अपवर्तनांक हैं।
दिया गया है $i = 45^{\circ}$ और $r = 30^{\circ}$,और हवा के लिए $\mu_1 \approx 1$ होता है:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu_2 \cdot \sin 30^{\circ}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu_2 \cdot \frac{1}{2}$
$\mu_2 = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_1 f}{\lambda_2 f} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होता है,इसलिए $\mu_2 = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होगा।
$\mu_2 = \sqrt{2}$ रखने पर,$\sqrt{2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$।

(D) माना पानी की सतह के ऊपर खंभे की ऊंचाई $x$ है।
अभिलंब के साथ आपतन कोण $i = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
स्नेल के नियम के अनुसार,$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu_W \cdot \sin r$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
$\sin r = \frac{\sin 60^{\circ}}{\mu_W} = \frac{\sqrt{3}/2}{4/3} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.
अतः,$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - \frac{27}{64}} = \sqrt{\frac{37}{64}} = \frac{\sqrt{37}}{8}$.
$\tan r = \frac{\sin r}{\cos r} = \frac{3\sqrt{3}/8}{\sqrt{37}/8} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$.
ज्यामिति के अनुसार,कुल छाया की लंबाई $L = x \tan i + h \tan r$ है,जहाँ $h = 1.5 \, m$ पानी की गहराई है।
यहाँ,$\tan i = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
अतः,$2.15 = x \sqrt{3} + 1.5 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$.
$x \sqrt{3} = 2.15 - \frac{4.5 \sqrt{3}}{\sqrt{37}} \approx 2.15 - 1.281 = 0.869$.
$x = \frac{0.869}{\sqrt{3}} \approx 0.5016 \, m$.
इस प्रकार,$x \approx 50 \, cm$.

(A) $1 \text{ MSD} = \frac{1 \text{ cm}}{20} = 0.05 \text{ cm}$.
$1 \text{ VSD} = \frac{49}{50} \text{ MSD} = \frac{49}{50} \times 0.05 \text{ cm} = 0.049 \text{ cm}$.
$LC = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 0.05 - 0.049 = 0.001 \text{ cm}$.
कागज पर निशान के लिए,$L_1 = 8.45 \text{ cm} + 26 \times 0.001 \text{ cm} = 8.476 \text{ cm} = 84.76 \text{ mm}$.
स्लैब के माध्यम से देखे गए कागज पर निशान के लिए,$L_2 = 7.12 \text{ cm} + 41 \times 0.001 \text{ cm} = 7.161 \text{ cm} = 71.61 \text{ mm}$.
ऊपरी सतह पर पाउडर कण के लिए,$ZE = 4.05 \text{ cm} + 1 \times 0.001 \text{ cm} = 4.051 \text{ cm} = 40.51 \text{ mm}$.
वास्तविक $L_1 = 84.76 - 40.51 = 44.25 \text{ mm}$.
वास्तविक $L_2 = 71.61 - 40.51 = 31.10 \text{ mm}$.
चूंकि $\mu = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{आभासी गहराई}} = \frac{L_1}{L_2}$,
$\mu = \frac{44.25}{31.10} \approx 1.42$.

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,समानांतर अंतरापृष्ठों की एक श्रृंखला के लिए,अपवर्तनांक और अभिलंब के साथ कोण की ज्या (sine) का गुणनफल प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ क्रमशः क्षेत्र $I, II, III, IV$ में अपवर्तन के कोण हैं। यहाँ,$\theta_1 = \theta$ है।
प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n_0 \sin \theta = n_{II} \sin \theta_2 = n_{III} \sin \theta_3 = n_{IV} \sin \theta_4$
किरण के क्षेत्र $IV$ में प्रवेश करने से ठीक चूकने के लिए,क्षेत्र $IV$ में अपवर्तन का कोण $\theta_4 = 90^\circ$ होना चाहिए।
अतः,हमारे पास है:
$n_0 \sin \theta = n_{IV} \sin 90^\circ$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n_0 \sin \theta = \frac{n_0}{8} \times 1$
$\sin \theta = \frac{1}{8}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$

(B) निरंतर बदलते अपवर्तनांक वाले माध्यम के लिए स्नेल के नियम के अनुसार,प्रकाश किरण के पथ के दौरान $n(z) \sin \theta(z)$ का गुणनफल स्थिर रहता है।
माध्यम $1$ और स्लैब के बीच की सतह पर,$n_1 \sin \theta_i = n(0) \sin \theta(0)$.
स्लैब और माध्यम $2$ के बीच की सतह पर,$n(d) \sin \theta(d) = n_2 \sin \theta_f$.
चूंकि स्लैब में $n(z) \sin \theta(z)$ स्थिर है,इसलिए $n(0) \sin \theta(0) = n(d) \sin \theta(d)$.
अतः,$n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$. इस प्रकार,कथन $(A)$ सत्य है।
पार्श्व विस्थापन $l$ स्लैब से गुजरते समय किरण का क्षैतिज विस्थापन है। यह विस्थापन मोटाई $d$ पर $\tan \theta(z)$ के समाकलन द्वारा निर्धारित होता है,जहाँ $\sin \theta(z) = \frac{n_1 \sin \theta_i}{n(z)}$ है। चूंकि यह समाकलन केवल $n_1, \theta_i, d$ और फलन $n(z)$ पर निर्भर करता है,इसलिए विस्थापन $l, n_2$ से स्वतंत्र है और $n(z)$ पर निर्भर करता है।
अतः,कथन $(A)$,$(C)$ और $(D)$ सत्य हैं।

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,समानांतर परतों के ढेर के लिए,अपवर्तनांक और आपतन कोण की ज्या (sine) का गुणनफल प्रत्येक अंतरापृष्ठ पर स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक माध्यम का अपवर्तनांक $n = 1.6$ है और आपतन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
$m$-वीं स्लैब का अपवर्तनांक $n_m = n - m \Delta n$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $\Delta n = 0.1$ है।
किरण $(m-1)$-वीं और $m$-वीं स्लैब के बीच के अंतरापृष्ठ के समानांतर बाहर निकलती है,जिसका अर्थ है कि $m$-वीं स्लैब में अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है।
प्रारंभिक माध्यम और $m$-वीं स्लैब के बीच स्नेल का नियम लागू करने पर:
$n \sin \theta = n_m \sin 90^{\circ}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1.6 \times \sin 30^{\circ} = (1.6 - m \times 0.1) \times 1$
$1.6 \times 0.5 = 1.6 - 0.1m$
$0.8 = 1.6 - 0.1m$
$0.1m = 1.6 - 0.8$
$0.1m = 0.8$
$m = 8$
अतः,$m$ का मान $8$ है।

(C) मान लीजिए कि कोने से तार की दूरी $L = 12 \ cm$ है। प्रेक्षक कोने से देखता है,इसलिए इंटरफ़ेस पर आपतन कोण $\alpha = 45^{\circ}$ है।
इंटरफ़ेस पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu \sin \alpha = 1 \sin \theta$,जहाँ $\theta$ अपवर्तन कोण है।
$\frac{4}{3} \sin 45^{\circ} = \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अपवर्तक सतह के माध्यम से देखी गई वस्तु की आभासी स्थिति के सूत्र का उपयोग करते हुए,कोने से प्रतिबिंब की दूरी $x = \frac{L \cos^2 \theta}{\mu \cos^2 \alpha}$ है।
चूँकि $\cos^2 \alpha = \cos^2 45^{\circ} = 0.5$ और $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$,हमारे पास है:
$x = \frac{12 \cdot (1/9)}{(4/3) \cdot (1/2)} = \frac{12/9}{2/3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = 2 \ cm$.
दो प्रतिबिंबों के बीच कोणीय पृथक्करण $2(\theta - \alpha)$ है। दो प्रतिबिंबों के बीच रैखिक दूरी $d$,$d = 2x \sin(\theta - \alpha)$ द्वारा दी जाती है।
$d = 2(2) \sin(\theta - 45^{\circ}) = 4(\sin \theta \cos 45^{\circ} - \cos \theta \sin 45^{\circ})$.
$d = 4 \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4 \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3\sqrt{2}} \right) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{8 - 2.828}{3} = \frac{5.172}{3} \approx 1.724 \ cm$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,दूरी $1.73 \ cm$ है।

(A) $1.$ अपवर्तनांक को $n = \frac{c}{v}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मेटा-मटेरियल्स के लिए,अपवर्तनांक का परिमाण $|n| = \frac{c}{v}$ है,जिसका अर्थ है $v = \frac{c}{|n|}$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
साथ ही,माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{v}{f} = \frac{c}{|n|f} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ द्वारा दी जाती है। अतः,कथन $(D)$ सही है।
$2.$ स्नेल के नियम के अनुसार,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$। चूँकि $n_2$ ऋणात्मक है,$\sin \theta_2$ ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अपवर्तित किरण आपतित किरण की तरह अभिलंब के एक ही तरफ बाहर निकलती है। दिए गए चित्र को देखने पर,चित्र $(D)$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) मान लीजिए कि अभिलंब के साथ आपतन कोण $i$ है। चूँकि $\theta_1$ सतह के साथ कोण है,इसलिए $i = 90^\circ - \theta_1$ होगा।
स्नेल के नियम के अनुसार: $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
$n_1 \sin(90^\circ - \theta_1) = n_2 \sin(r) \implies n_1 \cos(\theta_1) = n_2 \sin(r)$.
दिया गया है कि $\theta_1 = \cos^{-1}\left(\frac{n_2}{2n_1}\right)$,इसलिए $\cos(\theta_1) = \frac{n_2}{2n_1}$ होगा।
इस मान को स्नेल के नियम में रखने पर: $n_1 \left(\frac{n_2}{2n_1}\right) = n_2 \sin(r) \implies \frac{n_2}{2} = n_2 \sin(r) \implies \sin(r) = \frac{1}{2}$.
अतः,$r = 30^\circ$ प्राप्त होता है।
ब्लॉक की ज्यामिति से,आपतन बिंदु से बिंदु $3$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी $d/2$ है। मान लीजिए ब्लॉक की मोटाई $t$ है।
तब,$\tan(r) = \frac{d/2}{t} \implies t = \frac{d}{2 \tan(r)}$.
$d = 4\sqrt{3} \text{ cm}$ और $r = 30^\circ$ रखने पर: $t = \frac{4\sqrt{3}}{2 \tan(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$.

(A) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में प्रवेश करता है,तो उसकी आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है। यहाँ आवृत्ति $f = 5 \times 10^{14} \ Hz$ दी गई है।
हवा में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ होती है।
हवा में तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{air}} = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 600 \ nm$ है।
जब प्रकाश $2$ अपवर्तनांक $(\mu = 2)$ वाले माध्यम में प्रवेश करता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{medium}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ के अनुसार बदल जाती है।
मान रखने पर,$\lambda_{\text{medium}} = \frac{600 \ nm}{2} = 300 \ nm$ प्राप्त होता है।

(C) किसी माध्यम का अपवर्तनांक इस बात का माप है कि निर्वात की तुलना में उस माध्यम में प्रकाश की गति कितनी कम हो जाती है। कांच हवा की तुलना में प्रकाशीय रूप से सघन है,इसलिए इसका अपवर्तनांक अधिक होता है। अतः अभिकथन $(A)$ सही है।
किसी माध्यम का प्रकाशीय घनत्व उसके द्रव्यमान घनत्व से सीधे संबंधित नहीं होता है। उदाहरण के लिए,तारपीन का द्रव्यमान घनत्व पानी से अधिक होता है लेकिन यह प्रकाशीय रूप से कम सघन होता है। इसलिए,यह कथन कि प्रकाशीय घनत्व द्रव्यमान घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है,गलत है। अतः कारण $(R)$ गलत है।
इस प्रकार,$(A)$ सही है लेकिन $(R)$ सही नहीं है।

(D) माना छड़ का अपवर्तनांक $\mu = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
छड़ के सिरे पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$1 \cdot \sin \theta = \mu \cdot \sin r$
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin r \quad \dots(1)$
प्रकाश किरण के दीवार के साथ स्पर्श करते हुए गुजरने के लिए,दीवार पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होना चाहिए। यदि पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$ है,तो दीवार पर आपतन कोण $(90^{\circ} - r)$ होगा।
अतः,$90^{\circ} - r = C$,जहाँ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है।
दीवार पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर:
$\mu \sin(90^{\circ} - r) = 1 \cdot \sin 90^{\circ}$
$\mu \cos r = 1$
$\cos r = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूँकि $\cos r = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $r = 30^{\circ}$ और $\sin r = \frac{1}{2}$ है।
$\sin r = \frac{1}{2}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

(C) स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$,जिसका अर्थ है $\frac{\sin r}{\sin i} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$।
दिए गए ग्राफ से,ढाल $\tan 30^{\circ} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसलिए,$\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $\mu_2 = \sqrt{3} \mu_1$।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v}$ होता है,इसलिए हमारे पास $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
यह दर्शाता है कि $v_1 = \sqrt{3} v_2 \approx 1.73 v_2$। अतः,कथन $(B)$ सही है।
क्रांतिक कोण $i_c$ को $\sin i_c = \frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,$\sin i_c = \frac{1}{\sqrt{3}}$। अतः,कथन $(C)$ सही है।
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ और $(C)$ हैं।

(C) आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ है।
विचलन कोण $\delta = 15^{\circ}$ है।
अपवर्तन कोण $r$,$\delta = i - r$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $r = i - \delta = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}$,जहाँ $v_1$ हवा में गति है और $v_2$ तरल में गति है।
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{0.5}{1/\sqrt{2}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$v_2 = \frac{v_1}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times 10^8}{1.414} \approx 2.12 \times 10^8 \ m/s$।
अतः,तरल में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति $2.1 \times 10^8 \ m/s$ है।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ तब होता है जब प्रकाश सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाता है और आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होता है।
$1$. गर्मियों के दिनों में मृगतृष्णा जमीन के पास हवा की परतों के अपवर्तनांक में भिन्नता के कारण $TIR$ से होती है।
$2$. हीरे की चमक $TIR$ के कारण होती है क्योंकि इसका क्रांतिक कोण बहुत छोटा $(24.4^{\circ})$ होता है,जिससे प्रकाश कई बार आंतरिक रूप से परावर्तित होता है।
$3$. तालाब की आभासी और वास्तविक गहराई के बीच का अंतर प्रकाश के अपवर्तन के कारण होता है जब यह पानी से हवा में जाता है,न कि $TIR$ के कारण।
$4$. ऑप्टिकल फाइबर लंबी दूरी तक प्रकाश संकेतों को भेजने के लिए $TIR$ के सिद्धांत पर काम करते हैं।
अतः,वह घटना जो $TIR$ के कारण नहीं है,वह तालाब की आभासी और वास्तविक गहराई के बीच का अंतर है।