Refraction of Light Questions in Gujarati

(N/A) $n_{12}$ એ પ્રથમ માધ્યમની સાપેક્ષમાં બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક દર્શાવે છે.
તેને પ્રથમ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v_1)$ અને બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v_2)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે: $n_{12} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા માધ્યમના નિરપેક્ષ વક્રીભવનાંક છે.

(A) પ્રકાશના પ્રતિવર્તીપણાના સિદ્ધાંત અને વક્રીભવનાંકની વ્યાખ્યા મુજબ,માધ્યમ $1$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $2$ નો વક્રીભવનાંક $n_{21} = \frac{n_2}{n_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,માધ્યમ $2$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $3$ નો વક્રીભવનાંક $n_{32} = \frac{n_3}{n_2}$ છે.
આ બંને પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$n_{32} \times n_{21} = \left( \frac{n_3}{n_2} \right) \times \left( \frac{n_2}{n_1} \right) = \frac{n_3}{n_1}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,માધ્યમ $1$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $3$ નો વક્રીભવનાંક $n_{31} = \frac{n_3}{n_1}$ છે.
તેથી,$n_{32} \times n_{21} = n_{31}$.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે માધ્યમની પ્રકાશીય ઘનતામાં ફેરફાર થવાને કારણે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે. જોકે,પ્રકાશ તરંગની આવૃત્તિ પ્રકાશના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી થાય છે અને જ્યારે તે નવા માધ્યમમાં પ્રવેશ કરે છે ત્યારે તે બદલાતી નથી. તેથી,આવૃત્તિ અચળ રહે છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક પ્રથમ માધ્યમ કરતા ઓછો હોય છે $(n_2 < n_1)$.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $n$ એ વક્રીભવનાંક છે. તેથી,$n$ માં ઘટાડો થવાથી પ્રકાશની ઝડપમાં વધારો થાય છે ($v$ વધે છે).
વક્રીભવન દરમિયાન પ્રકાશની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે કારણ કે તે માત્ર ઉદગમ પર આધાર રાખે છે.
ઝડપ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
જેમ કે $v$ વધે છે અને $f$ અચળ રહે છે,તેથી તરંગલંબાઈ $\lambda$ પણ વધવી જોઈએ $(\lambda = v/f)$.

(N/A) $(i)$ હવા $(n_1 = 1)$ અને મેટા-મટીરીયલ $(n_2 = -|n|)$ વચ્ચેની સપાટીનો વિચાર કરો. ધારો કે તરંગ અગ્ર $BC$ એ સપાટી પર $C$ બિંદુએ આપાત થાય છે. હ્યુજન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગ અગ્રને $B$ થી $C$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{BC}{c}$ છે. તે જ સમય $t$ માં,$A$ બિંદુમાંથી નીકળતું ગૌણ તરંગ મેટા-મટીરીયલમાં $AD = v_2 t = \frac{c}{|n_2|} t = \frac{BC}{|n_2|}$ અંતર કાપશે.
આપાત તરંગ અગ્રની ભૂમિતિ પરથી,$BC = AC \sin \theta_i$. વક્રીભૂત તરંગ અગ્રની ભૂમિતિ પરથી,$AD = AC \sin \theta_r$. મેટા-મટીરીયલમાં ફેઝ વેલોસીટી સપાટી તરફ હોવાથી,વક્રીભૂત કિરણ આપાત કિરણની જેમ લંબની એક જ બાજુએ પરંતુ લંબની સાપેક્ષ વિરુદ્ધ ચરણમાં હોવું જોઈએ,જે તેને $3^{rd}$ ચરણમાં મૂકે છે.
$(ii)$ ત્રિકોણ $ABC$ અને $ADC$ પરથી,આપણી પાસે $\sin \theta_i = \frac{BC}{AC}$ અને $\sin \theta_r = \frac{AD}{AC}$ છે.
બંનેનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{BC}{AD}$ મળે છે.
$BC = c t$ અને $AD = |v_2| t$ મૂકતા,આપણને $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = \frac{c}{|v_2|} = |n_2|$ મળે છે.
કારણ કે $n_2 = -|n_2|$,તેથી $\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r} = n_2$ (ખૂણાઓના ગુણોત્તર માટે મૂલ્ય લેતા),જે સાબિત કરે છે કે સ્નેલનો નિયમ લાગુ પડે છે.

(N/A) ધારો કે વાટકાની ઉપરની સપાટીથી તકતીની ઊંડાઈ $d$ છે.
$1$. વાટકાને પ્રવાહીથી ભરતા પહેલા,દૂરની ધાર $A$ એ વાટકાની ધાર $M$ પરથી માંડ દેખાય છે. ઊંડાઈ $d$ અને અંતર $(a+R)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણને $\tan \alpha = \frac{a+R}{d}$ મળે છે,જ્યાં $\alpha$ એ શિરોલંબ સાથે કિરણનો ખૂણો છે.
$2$. જ્યારે વાટકાને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નજીકની ધાર $B$ દેખાય છે. $B$ માંથી આવતું કિરણ સપાટી પર $M$ બિંદુએ પહોંચે છે અને હવામાં વક્રીભવન પામે છે. $M$ બિંદુએ સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu \sin i = 1 \sin \alpha$,જ્યાં $i$ એ $B$ માંથી આપાતકોણ છે અને $\alpha$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$3$. ભૂમિતિ પરથી,$\sin i = \frac{a-R}{\sqrt{d^2 + (a-R)^2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{a+R}{\sqrt{d^2 + (a+R)^2}}$.
$4$. આ કિંમતોને સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $\mu \frac{a-R}{\sqrt{d^2 + (a-R)^2}} = \frac{a+R}{\sqrt{d^2 + (a+R)^2}}$.
$5$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\mu^2 \frac{(a-R)^2}{d^2 + (a-R)^2} = \frac{(a+R)^2}{d^2 + (a+R)^2}$.
$6$. $d^2$ માટે ઉકેલતા: $d^2 = \frac{(a-R)^2 (a+R)^2 (\mu^2 - 1)}{(a+R)^2 - \mu^2 (a-R)^2}$.
$7$. તેથી,$d = \sqrt{\frac{(a^2-R^2)^2 (\mu^2-1)}{(a+R)^2 - \mu^2(a-R)^2}}$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, પ્રવાહીના અત્યંત ઊંચા નળાકાર સ્તંભની અંદર, $x$ અને $x+dx$ અંતરે આવેલા સ્તરો વચ્ચે $dx$ પહોળાઈનો અત્યંત સાંકડો વિસ્તાર ધ્યાનમાં લો.
ઉપરના વિસ્તારમાં, બિંદુ $B$ એ આડી સંદર્ભ સપાટીથી $y$ ઊંચાઈએ $\overline{PQ}$ સ્તર પર છે, જ્યાં વક્રીભવનાંક $\mu$ છે અને વક્રીભવનાંકનો ઢાળ $\frac{d\mu}{dy}$ છે. આ બિંદુએ, પ્રકાશનું કિરણ $\overrightarrow{AB}$ એ $(180^{\circ}-\theta)$ ખૂણે આપાત થાય છે. (કારણ કે $\overrightarrow{AB}$ એ આડી સપાટી $\overline{PQ}$ પર દોરેલા લંબ $M_1N_1$ સાથે $(180^{\circ}-\theta)$ ખૂણો બનાવે છે, જે આપાતકોણ બને છે).
જો વક્રીભવનાંકનો કોઈ ઢાળ ન હોત, તો કિરણ $\overrightarrow{AB}$ વિચલન વગર $dx$ પહોળાઈ ઓળંગીને બિંદુ $B'$ પર પહોંચ્યું હોત. પરંતુ અહીં ઊંચાઈ ઘટવાની સાથે વક્રીભવનાંક વધે છે, તેથી $\overline{RS}$ સ્તર પર ઊંચાઈ $(y-dy)$ છે અને વક્રીભવનાંક $(\mu+d\mu)$ છે જે $\mu$ કરતા વધારે છે. તેથી, કિરણ $\overrightarrow{AB}$ લંબ $M_1N_1$ તરફ વળે છે અને $B$ થી $C$ તરફ આગળ વધે છે. આમ, કિરણ $\overrightarrow{BC}$ એ વક્રીભૂત કિરણ બને છે જે લંબ $M_1N_1$ સાથે ${180^{\circ}-(\theta+d\theta)}$ ખૂણો બનાવે છે.
બિંદુ $B$ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા, આપણને મળે છે:
$\mu \sin(180^{\circ}-\theta) = (\mu+d\mu) \sin(180^{\circ}-(\theta+d\theta))$
$\therefore \mu \sin\theta = (\mu+d\mu) \sin(\theta+d\theta)$
$\sin(\theta+d\theta) \approx \sin\theta + \cos\theta d\theta$ અંદાજનો ઉપયોગ કરીને અને $d\mu d\theta$ જેવા ઉચ્ચ-ક્રમના પદોને અવગણતા:
$\mu \sin\theta = \mu \sin\theta + \mu \cos\theta d\theta + d\mu \sin\theta$
$0 = \mu \cos\theta d\theta + \sin\theta d\mu$
$d\theta = -\tan\theta \frac{d\mu}{\mu}$
આડી અંતર $d$ પર તેનું સંકલન કરતા, કુલ વિચલન $\delta = \int d\theta = -\int_0^d \tan\theta \frac{d\mu}{dx} dx$ મળે છે.

(D) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કેન્દ્રીય વિશાળ પદાર્થની સપાટીને સ્પર્શીને પસાર થાય છે,ત્યારે ધારો કે તે $dr$ અંતરમાં $d\theta$ જેટલું વિચલિત થાય છે.
કેન્દ્રીય વિશાળ પદાર્થના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલી સમકેન્દ્રીય ગોળાકાર સપાટી પર પ્રકાશનું કિરણ આપાત થાય છે ત્યાં સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n \sin \theta = (n + dn) \sin(\theta + d\theta)$
$n \sin \theta = (n + dn)(\sin \theta \cos d\theta + \cos \theta \sin d\theta)$
$d\theta$ અત્યંત નાનું હોવાથી,$\sin(d\theta) \approx d\theta$ અને $\cos(d\theta) \approx 1$ લેતા:
$n \sin \theta = n \sin \theta + n \cos \theta (d\theta) + (dn) \sin \theta$
$0 = n \cos \theta (d\theta) + (dn) \sin \theta$
$-(dn) \sin \theta = n \cos \theta (d\theta)$
$-\left(\frac{dn}{dr}\right) \tan \theta = n \left(\frac{d\theta}{dr}\right)$
$n = 1 + \frac{2GM}{rc^2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{dn}{dr} = -\frac{2GM}{r^2c^2}$ મળે.
સ્પર્શક કિરણ માટે,$\theta$ ખૂબ નાનું છે,તેથી $\tan \theta \approx \sin \theta \approx \frac{b}{r}$ જ્યાં $b \approx R$ એ ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર છે.
$\frac{dn}{dr}$ ની કિંમત મૂકીને અને માર્ગ પર $\int d\theta = \int -\frac{1}{n} \frac{dn}{dr} \tan \theta dr$ નું સંકલન કરતા,કુલ વિચલન $\Delta \theta = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2GM}{r^2c^2} \frac{b}{r} dx = \frac{4GM}{Rc^2}$ મળે છે.

(D) ઋણ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પદાર્થ માટે,સ્નેલનો નિયમ $-n = \frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r}$ છે.
આપેલ છે કે $n = -1$,તેથી $-(-1) = \frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta_i = \sin \theta_r$,એટલે કે $\theta_i = \theta_r$.
ભૂમિતિ મુજબ,કિરણ $B$ બિંદુએ પ્રવેશે છે અને $C$ બિંદુએ બહાર નીકળે છે. ઋણ વક્રીભવનાંકને કારણે,કિરણ એવી રીતે વળે છે કે કુલ વિચલન $4\theta_i$ થાય છે.
પ્રકાશ ઉપરની પ્લેટ સુધી ન પહોંચે તે માટે,બહાર નીકળતું કિરણ નીચેની તરફ અથવા બાજુની તરફ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વિચલન કોણ $4\theta_i$ એ $\frac{\pi}{2} \leq 4\theta_i \leq \frac{3\pi}{2}$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
આને સરળ બનાવતા $\frac{\pi}{8} \leq \theta_i \leq \frac{3\pi}{8}$ મળે છે.
$\sin \theta_i = \frac{x}{R}$ નો ઉપયોગ કરીને,અને નાના ખૂણાઓ માટે $\sin \theta_i \approx \theta_i$ ધારતા,આપણને $\frac{\pi}{8} \leq \frac{x}{R} \leq \frac{3\pi}{8}$ મળે છે.
આમ,$x$ નો વિસ્તાર $\frac{\pi R}{8} \leq x \leq \frac{3\pi R}{8}$ છે.

(B) ધારો કે આપાતબિંદુ $A$ છે અને પરાવર્તન/વક્રીભવન બિંદુ $B$ છે. ગોળાનું કેન્દ્ર $O$ છે.
બિંદુ $A$ પર સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$1 \times \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \times \sin \theta$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.
ત્રિકોણ $\triangle OAB$ માં,$OA = OB = R$ (ગોળાની ત્રિજ્યા). તેથી,$\triangle OAB$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
બિંદુ $B$ પર આપાતકોણ પણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
$B$ પર પરાવર્તન કોણ $r' = 30^{\circ}$ છે (લંબ $OB$ સાથેનો ખૂણો).
$B$ પર વક્રીભવન માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$\sqrt{3} \times \sin 30^{\circ} = 1 \times \sin r''$
$\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sin r'' \Rightarrow \sin r'' = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow r'' = 60^{\circ}$.
લંબ $OB$ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
લંબ $OB$ અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો એ લંબ સાથેના આ ખૂણાઓનો સરવાળો છે: $30^{\circ} + 60^{\circ} = 90^{\circ}$.

(A) ધારો કે બરણીની ત્રિજ્યા $R = 15\, cm$ છે. પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h = 30\, cm$ છે. છિદ્ર તળિયેથી $45\, cm$ ની ઊંચાઈએ છે,તેથી પ્રવાહીની સપાટીથી છિદ્ર સુધીનું અંતર $45 - 30 = 15\, cm$ છે.
જ્યારે અવલોકનકાર તળિયાની ધારને જુએ છે,ત્યારે પ્રકાશનું કિરણ તળિયાની ધારથી પ્રવાહીની સપાટી સુધી જાય છે અને પછી છિદ્ર તરફ વક્રીભવન પામે છે.
ધારો કે $r$ એ લંબ સાથે પ્રવાહીમાં વક્રીભવનનો કોણ છે. ભૂમિતિ પરથી,ધારથી સપાટી પર જ્યાં કિરણ અથડાય છે ત્યાં સુધીનું આડું અંતર $15\, cm$ છે અને ઊભી ઊંડાઈ $30\, cm$ છે. આમ,$\tan r = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin r = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
પ્રવાહી-હવા સપાટી પર આપાતકોણ $i$ એ કિરણ લંબ સાથે બનાવે છે તે કોણ છે. છિદ્રથી સપાટી પરના બિંદુ સુધીનું આડું અંતર $15\, cm$ અને ઊભું અંતર $15\, cm$ હોવાથી,$\tan i = \frac{15}{15} = 1$,તેથી $i = 45^{\circ}$.
સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu \cdot \sin r$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$\mu = \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{2.5} \approx 1.5811$.
આપેલ છે કે $\mu = \frac{N}{100}$,તેથી $N = 100 \mu = 100 \times 1.5811 = 158.11$.
$N$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$N = 158$ મળે છે.

(C) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
પ્રથમ,માધ્યમ $B$ માં પ્રકાશની ઝડપ $(v_{B})$ શોધો:
$v_{B} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.47} \approx 2.04 \times 10^{8} \, m/s = 20.4 \times 10^{7} \, m/s$.
ઝડપનો તફાવત $v_{A} - v_{B} = 2.6 \times 10^{7} \, m/s$ આપેલ હોવાથી,આપણે $v_{A}$ શોધી શકીએ છીએ:
$v_{A} = v_{B} + 2.6 \times 10^{7} = (20.4 + 2.6) \times 10^{7} = 23 \times 10^{7} \, m/s$.
કારણ કે $v = \frac{c}{\mu}$,તેથી $\mu = \frac{c}{v}$. તેથી,વક્રીભવનાંકનો ગુણોત્તર:
$\frac{\mu_{B}}{\mu_{A}} = \frac{c/v_{B}}{c/v_{A}} = \frac{v_{A}}{v_{B}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\mu_{B}}{\mu_{A}} = \frac{23 \times 10^{7}}{20.4 \times 10^{7}} \approx 1.127 \approx 1.13$.

(D) ધારો કે આપાતકોણ $i$ છે અને વક્રીભૂતકોણ $r$ છે.
આપેલ છે કે $i = 2r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{i}{2}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
અહીં,$n_1 = 1$ (હવા માટે) અને $n_2 = \sqrt{2n}$.
કિંમતો મૂકતા: $1 \cdot \sin i = \sqrt{2n} \cdot \sin\left(\frac{i}{2}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin i = 2 \sin\left(\frac{i}{2}\right) \cos\left(\frac{i}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin\left(\frac{i}{2}\right) \cos\left(\frac{i}{2}\right) = \sqrt{2n} \sin\left(\frac{i}{2}\right)$.
બંને બાજુ $\sin\left(\frac{i}{2}\right)$ વડે ભાગતા ($i \neq 0$ ધારીને):
$2 \cos\left(\frac{i}{2}\right) = \sqrt{2n}$.
$\cos\left(\frac{i}{2}\right) = \frac{\sqrt{2n}}{2} = \sqrt{\frac{2n}{4}} = \sqrt{\frac{n}{2}}$.
તેથી,$\frac{i}{2} = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{n}{2}}\right)$.
$i = 2 \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{n}{2}}\right)$.

(C) જ્યારે કોઈ તરંગ પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની ઝડપ $(v)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ઘટે છે કારણ કે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક વધારે હોય છે. જોકે,તરંગની આવૃત્તિ $(f)$ એ ઉદગમનો ગુણધર્મ છે અને વક્રીભવન દરમિયાન તે અચળ રહે છે. આ સંબંધ $v = f \lambda$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) વક્રીભવનાંક $\mu = c/v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v$ એ માધ્યમમાં ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $\mu_{A}/\mu_{B} = 1/2$,તેથી $(c/v_{A}) / (c/v_{B}) = v_{B}/v_{A} = 1/2$,જેનો અર્થ છે કે $v_{A} = 2v_{B}$.
ધારો કે બંને પદાર્થોની જાડાઈ $d$ છે.
પદાર્થમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય $t = d/v$ છે.
આપેલ છે કે $t_{2} - t_{1} = 5 \times 10^{-10} \text{ s}$,જ્યાં $t_{1} = d/v_{A}$ અને $t_{2} = d/v_{B}$.
કિંમતો મૂકતા: $d/v_{B} - d/v_{A} = 5 \times 10^{-10}$.
$d(1/v_{B} - 1/v_{A}) = 5 \times 10^{-10}$.
$d((v_{A} - v_{B}) / (v_{A}v_{B})) = 5 \times 10^{-10}$.
$v_{A} = 2v_{B}$ હોવાથી,$d((2v_{B} - v_{B}) / (2v_{B} \cdot v_{B})) = 5 \times 10^{-10}$.
$d(v_{B} / 2v_{B}^{2}) = 5 \times 10^{-10}$.
$d / (2v_{B}) = 5 \times 10^{-10}$.
$d = 10 \times 10^{-10} v_{B} = 10^{-9} v_{B} \text{ m}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$v_{B} = v_{A}/2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $d / (2(v_{A}/2)) = 5 \times 10^{-10} \Rightarrow d/v_{A} = 5 \times 10^{-10} \Rightarrow d = 5 \times 10^{-10} v_{A} \text{ m}$.

(A) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમ $2$ માટે,વક્રીભવનાંક $n_{2} = \sqrt{\mu_{r2} \varepsilon_{r2}} = \sqrt{1 \times 9} = 3$ છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ અને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{c}{n}$ છે.
તેથી,માધ્યમ $2$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v_{2} = \frac{c}{n_{2}} = \frac{3 \times 10^{8} \, ms^{-1}}{3} = 1 \times 10^{8} \, ms^{-1}$ થાય.
આમ,જવાબ $1.0 \times 10^{8} \, ms^{-1}$ છે.

(B) આપાત કિરણનો સદિશ $\overrightarrow{A} = 4\sqrt{3}\hat{i} - 3\sqrt{3}\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
$X-Y$ સમતલનો લંબ $Z$-અક્ષની દિશામાં છે,એટલે કે $\hat{k}$.
આપાતકોણ $i$ એ આપાત કિરણ અને લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે. કિરણ $M_{1}$ $(Z \geq 0)$ માં ઉગમબિંદુ તરફ ગતિ કરી રહ્યું હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $-\overrightarrow{A} = -4\sqrt{3}\hat{i} + 3\sqrt{3}\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
લંબ $\hat{k}$ સાથેના ખૂણા $i$ નો કોસાઇન $\cos i = \frac{|A_z|}{|\overrightarrow{A}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માન $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{3})^2 + (-5)^2} = \sqrt{48 + 27 + 25} = \sqrt{100} = 10$.
$\cos i = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \Rightarrow i = 60^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$.
$\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \sin r$.
$\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$.
$\sin r = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow r = 45^{\circ}$.
આપાતકોણ અને વક્રીભવનકોણ વચ્ચેનો તફાવત $i - r = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે પાત્રમાં પાણીની ઊંચાઈ $h$ છે. નિરીક્ષક એવી રીતે સ્થિત છે કે દ્રષ્ટિરેખા $CD$ દીવાલની ઉપરની ધારને સ્પર્શે છે. વસ્તુ તળિયે $P$ બિંદુ પર છે,જે ખૂણા $C$ થી $10 \, cm$ દૂર છે.
ભૂમિતિ મુજબ,$P$ માંથી આવતો પ્રકાશનો કિરણ પાણીની સપાટી પર $E$ બિંદુએ પહોંચે છે અને ત્યાંથી નિરીક્ષક તરફ વક્રીભવન પામે છે.
પાણીની સપાટી પર આપાતકોણ $i$ માટે $\tan i = \frac{10}{h}$ મળે છે.
વક્રીભવન કોણ $r = 45^{\circ}$ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_w \sin i = \mu_a \sin r$.
અહીં $\mu_w = 4/3$ અને $\mu_a = 1$ લેતા,$\frac{4}{3} \sin i = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\sin i = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.
આ ગણતરીઓ અને પાત્રની ભૂમિતિને આધારે,સાચો જવાબ $27 \, cm$ મળે છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,આપાત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ સપાટી પરના લંબની એક જ બાજુએ આવેલા છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$.
જો પ્રકાશ હવા $(n_1 = 1)$ માંથી માધ્યમ $(n_2 = n)$ માં ગતિ કરે,તો $\sin(i) = n \sin(r)$.
આપેલ આકૃતિમાં,વક્રીભવનકોણ $r$ એ પ્રમાણભૂત વક્રીભવનની તુલનામાં લંબની વિરુદ્ધ બાજુએ છે,જે ગાણિતિક રીતે સૂચવે છે કે વક્રીભવનાંક $n$ ઋણ હોવો જોઈએ.
ઋણ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પદાર્થોને નેગેટિવ ઇન્ડેક્સ મેટામટીરિયલ્સ $(NIM)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ પદાર્થોમાં,ફેઝ વેલોસિટી એ ગ્રુપ વેલોસિટી (પોઇન્ટિંગ વેક્ટર) ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઋણ વક્રીભવન તરફ દોરી જાય છે.

(C) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\sin i = \mu \sin r$.
$\mu(\lambda) = a + \frac{b}{\lambda^2}$ મૂકતા,$\sin i = (a + \frac{b}{\lambda^2}) \sin r$ મળે.
બંને બાજુ $\lambda$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$i$ અચળ રહે છે:
$0 = \frac{d}{d\lambda} [(a + \frac{b}{\lambda^2}) \sin r]$
$0 = (a + \frac{b}{\lambda^2}) \cos r \frac{dr}{d\lambda} + \sin r (-\frac{2b}{\lambda^3})$.
$\frac{dr}{d\lambda}$ માટે પદો ગોઠવતા:
$(a + \frac{b}{\lambda^2}) \cos r \frac{dr}{d\lambda} = \frac{2b}{\lambda^3} \sin r$.
$\frac{dr}{d\lambda} = \frac{2b \sin r}{\lambda^3 (a + \frac{b}{\lambda^2}) \cos r} = \frac{2b \tan r}{\lambda^3 (a + \frac{b}{\lambda^2})} = \frac{2b \tan r}{\lambda(a\lambda^2 + b)}$.
આમ,વક્રીભવનકોણમાં કોણીય ફેલાવો $\delta r = |\frac{dr}{d\lambda}| \delta \lambda = |\frac{2b \tan r}{a\lambda^3 + b\lambda}| \delta \lambda$ થાય.

(C) ધારો કે જ્યારે સિક્કો પ્રથમ વખત દેખાય ત્યારે પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ $h$ છે. સિક્કામાંથી આવતું પ્રકાશનું કિરણ પાણીની સપાટી પર જાય છે અને અવલોકનકાર $O$ તરફ વક્રીભવન પામે છે.
ભૂમિતિ પરથી,વક્રીભવન કોણ $r$ માટે $\tan r = \frac{L-R}{H-d} = \frac{1.5-1}{5.75-4} = \frac{0.5}{1.75} = \frac{2}{7}$ મળે છે.
ધારો કે સિક્કાથી કિરણ પાણીની સપાટીને જ્યાં અથડાય છે ત્યાં સુધીનું આડું અંતર $x$ છે. તેથી $\tan r = \frac{x}{d-h} \Rightarrow x = (d-h) \tan r$.
વળી,$\tan i = \frac{R-x}{h}$ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n \sin i = \sin r$. અહીં $n = 4/3$ હોવાથી,$\sin r = \frac{4}{3} \sin i$.
$\tan r = 2/7$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin r = \frac{2}{\sqrt{2^2+7^2}} = \frac{2}{\sqrt{53}}$.
તેથી,$\sin i = \frac{3}{4} \sin r = \frac{3}{4} \times \frac{2}{\sqrt{53}} = \frac{3}{2\sqrt{53}}$.
હવે $\tan i = \frac{\sin i}{\sqrt{1-\sin^2 i}} = \frac{3/2\sqrt{53}}{\sqrt{1-9/(4 \times 53)}} = \frac{3/2\sqrt{53}}{\sqrt{203}/(2\sqrt{53})} = \frac{3}{\sqrt{203}}$.
$x = R - h \tan i = (d-h) \tan r$ ને સરખાવતા,$h = \frac{d \tan r - R}{\tan r - \tan i} = \frac{4(2/7) - 1}{2/7 - 3/\sqrt{203}} \approx 1.92 \,m$ મળે છે.
પાણીનું કદ $V = \pi R^2 h = \pi (1)^2 (1.92) = 1.92 \pi \approx 6.03 \,m^3$.
$V = Qt$ હોવાથી,$t = V/Q = 6.03 / 0.1 = 60.3 \,s$. નજીકનો વિકલ્પ $63 \,s$ છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
ફ્રોસ્ટેડ ગ્લાસની સપાટી ખરબચડી હોય છે,જે પ્રકાશનું અનિયમિત પરાવર્તન અને વક્રીભવન કરે છે,જેના કારણે કાચ પારભાસક દેખાય છે.
જ્યારે પારદર્શક એડહેસિવ ટેપને ફ્રોસ્ટેડ સપાટી પર લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે એડહેસિવ ગુંદર કાચની સપાટીની સૂક્ષ્મ ખરબચડી જગ્યાઓને ભરી દે છે.
કારણ કે એડહેસિવ ગુંદરનો વક્રીભવનાંક કાચના વક્રીભવનાંકની ખૂબ નજીક હોય છે,તેથી ગુંદર અને કાચ વચ્ચેની સપાટી ઓપ્ટિકલી લીસી બની જાય છે.
આ સપાટી પર પ્રકાશનું પ્રકીર્ણન ઘટાડે છે,જેનાથી પ્રકાશ વધુ નિયમિત રીતે પસાર થઈ શકે છે,જે કાચના તે ચોક્કસ ભાગને પારદર્શક બનાવે છે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = 1.33 + \frac{0.002}{\lambda^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\mu$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી નાની તરંગલંબાઇ માટે વક્રીભવનાંક વધારે હોય છે.
તરંગલંબાઇનો ક્રમ $\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{orange}}$ છે.
તેથી,વક્રીભવનાંકનો ક્રમ $\mu_{\text{blue}} > \mu_{\text{orange}}$ થશે.
આભાસી ઊંડાઈ $d'$ એ વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ સાથે $d' = \frac{d}{\mu}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
ટાંકીના તળિયે રહેલા તમામ ટુકડાઓ માટે $d$ અચળ હોવાથી,$d' \propto \frac{1}{\mu}$ થાય.
કારણ કે $\mu_{\text{blue}} > \mu_{\text{orange}}$,તેથી $d'_{\text{blue}} < d'_{\text{orange}}$ મળે.
આમ,વાદળી ટુકડાઓની છબી નારંગી ટુકડાઓ કરતા ઓછી ઊંડી (છીછરી) દેખાય છે.

(C) ધારો કે કિરણ ડાબી સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે. તે પ્રથમ પ્રિઝમ (વક્રીભવનાંક $\mu_1$) માં વિચલન વગર પ્રવેશે છે.
પ્રિઝમ $\mu_1$ અને $\mu_2$ વચ્ચેની સપાટી પર,આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_1 \sin 45^{\circ} = \mu_2 \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
તેથી,$\mu_1 \frac{1}{\sqrt{2}} = \mu_2 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{\mu_1}{\sqrt{2} \mu_2} \quad \dots(1)$
પ્રિઝમ $\mu_2$ અને $\mu_3$ વચ્ચેની સપાટી પર,કિરણ $r_2 = \alpha - \theta$ ના આપાતકોણે અથડાય છે. ભૂમિતિ પરથી,$\alpha = 90^{\circ}$. તેથી,$r_2 = 90^{\circ} - \theta$.
કિરણ જમણી સપાટીમાંથી લંબ રૂપે બહાર નીકળે છે,એટલે કે બીજા અંતરાય પર વક્રીભવન કોણ $45^{\circ}$ છે.
બીજા અંતરાય પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_2 \sin(90^{\circ} - \theta) = \mu_3 \sin 45^{\circ} \implies \mu_2 \cos \theta = \mu_3 \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos \theta = \frac{\mu_3}{\sqrt{2} \mu_2} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left(\frac{\mu_1}{\sqrt{2} \mu_2}\right)^2 + \left(\frac{\mu_3}{\sqrt{2} \mu_2}\right)^2$
$1 = \frac{\mu_1^2}{2 \mu_2^2} + \frac{\mu_3^2}{2 \mu_2^2} \implies 2 \mu_2^2 = \mu_1^2 + \mu_3^2$.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ પારદર્શક ગોળામાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવન,બીજી સપાટી પર એક આંતરિક પરાવર્તન અને ત્રીજી સપાટી પર ફરીથી વક્રીભવન અનુભવીને ગોળામાંથી બહાર નીકળે છે.
$1$. પ્રથમ સપાટી પર (વક્રીભવન): આપાતકોણ $i = \pi / 4$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r$ છે. ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_1 = i - r = \frac{\pi}{4} - r$ છે.
$2$. બીજી સપાટી પર (આંતરિક પરાવર્તન): આપાતકોણ $r$ છે. પરાવર્તન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_2 = \pi - 2r$ છે.
$3$. ત્રીજી સપાટી પર (વક્રીભવન): આપાતકોણ $r$ છે અને નિર્ગમન કોણ $i = \pi / 4$ છે. ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta_3 = i - r = \frac{\pi}{4} - r$ છે.
કુલ વિચલન $\delta = \delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = (\frac{\pi}{4} - r) + (\pi - 2r) + (\frac{\pi}{4} - r) = \frac{\pi}{2} + \pi - 4r = \frac{3 \pi}{2} - 4r$.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ $\mu_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી $\mu_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે જો $\mu_2 > \mu_1$ હોય તો તે લંબ તરફ વળે છે.
બિંદુ $Q$ પર,પ્રકાશનું કિરણ લંબ તરફ વળે છે,જે સૂચવે છે કે $\mu_2 > \mu_1$ છે.
બિંદુ $R$ પર,પ્રકાશનું કિરણ લંબથી દૂર જાય છે,જે સૂચવે છે કે $\mu_3 < \mu_2$ છે.
કારણ કે નિર્ગમન કિરણ $RS$ એ આપાત કિરણ $PQ$ ને સમાંતર છે,તેથી બે સપાટીઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રથમ અને ત્રીજા માધ્યમના વક્રીભવનાંક સમાન હોય,એટલે કે $\mu_1 = \mu_3$.
આ અવલોકનોને જોડતા,આપણને $\mu_1 = \mu_3 < \mu_2$ મળે છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ગોળાકાર સપાટી પર એવી રીતે આપાત થાય છે કે તે ગોળાના કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થાય,ત્યારે આપાતકોણ $i$ એ $0^\circ$ હોય છે કારણ કે કિરણ સપાટીને લંબ હોય છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(r) = 0$,તેથી વક્રીભવન કોણ $r$ પણ $0^\circ$ થાય છે.
કિરણ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું હોવાથી,તે ગોળાકાર ટીપાંના પ્રવેશ અને બહાર નીકળવાના બંને બિંદુઓ પર વિચલિત થયા વગર સીધું પસાર થાય છે.
કોઈ વિચલન કે વક્રીભવન ન હોવાથી,સફેદ પ્રકાશનું તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજન (વિક્ષેપન) થતું નથી.
તેથી,બહાર આવતો પ્રકાશ સફેદ જ રહે છે અને વિચલન વગર બહાર આવે છે.

(C) બિંદુ $Q$ પર સૌથી ઓછા સમયમાં પહોંચવા માટે,છોકરીએ એવો માર્ગ પસંદ કરવો જોઈએ જે કુલ મુસાફરીના સમયને ઘટાડે. આ ઓપ્ટિક્સમાં ફર્માના સિદ્ધાંત (Fermat's principle) જેવું જ છે,જે જણાવે છે કે પ્રકાશ તે માર્ગ પસંદ કરે છે જેમાં સૌથી ઓછો સમય લાગે છે.
છોકરીની બીચ પરની ઝડપ $(v_1 = 6 \, kmh^{-1})$ એ સમુદ્રમાં તેની ઝડપ $(v_2 = 4 \, kmh^{-1})$ કરતા વધારે હોવાથી,તેણે કુલ સમય ઘટાડવા માટે બીચ પર વધુ અંતર અને સમુદ્રમાં ઓછું અંતર કાપવું જોઈએ. સ્નેલના નિયમ મુજબ,જે ફર્માના સિદ્ધાંત પરથી તારવવામાં આવ્યો છે,જ્યારે તે ઓછી ઝડપવાળા માધ્યમમાં પ્રવેશ કરે ત્યારે માર્ગ લંબ (normal) તરફ વળવો જોઈએ.
આપેલા માર્ગોની સરખામણી કરતા,માર્ગ $P C Q$ એ શ્રેષ્ઠ વક્રીભવન જેવો માર્ગ દર્શાવે છે જે $Q$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતા કુલ સમયને ન્યૂનતમ કરે છે.

(C) તળિયાના કેન્દ્ર $C$ થી આવતું કિરણ ઉપરની ધાર સુધી જાય છે અને પછી અવલોકનકાર તરફ હવામાં વક્રીભવન પામે છે.
પાણી-હવા સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $n_1 \cdot \sin i = n_2 \cdot \sin r$.
અહીં,પાણીમાં આપાતકોણ $i$ એ કિરણ લંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. કિરણ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી શિરોલંબ લંબ સાથેનો ખૂણો $i = 90^{\circ} - \theta$ થશે.
વક્રીભવનકોણ $r$ એ હવામાં કિરણ લંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. ભૂમિતિ પરથી,$\tan r = \frac{x/2}{h} = \frac{x}{2h}$.
આપેલ છે કે $\frac{h}{x} = \frac{7}{4}$,તેથી $\tan r = \frac{1}{2(h/x)} = \frac{1}{2(7/4)} = \frac{2}{7}$.
આમ,$\sin r = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 7^2}} = \frac{2}{\sqrt{53}}$.
સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $n_{water} \cdot \sin i = n_{air} \cdot \sin r$.
$\frac{4}{3} \cdot \sin(90^{\circ} - \theta) = 1 \cdot \sin r$.
$\frac{4}{3} \cdot \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{53}}$.
$\cos \theta = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{53}} = \frac{8}{3\sqrt{53}}$.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu \sin \theta_1 = \mu_1 \sin r_1$,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ બ્લોકમાં વક્રીભવન કોણ છે.
જો $\theta_1$ વધે,તો $\sin \theta_1$ વધે છે,તેથી $\sin r_1$ વધવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r_1$ વધે છે.
બે બ્લોક્સ વચ્ચેની સપાટી પર,આપાતકોણ $r_1$ છે અને વક્રીભવન કોણ $r_2$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_1 \sin r_1 = \mu_2 \sin r_2$.
જેમ કે $\mu_1 \sin r_1$ વધ્યું છે,તેથી $\mu_2 \sin r_2$ પણ વધવું જોઈએ. $\mu_2$ અચળ હોવાથી,$\sin r_2$ વધે છે,તેથી $r_2$ વધે છે.
અંતિમ સપાટી પર,આપાતકોણ $r_2$ છે અને વક્રીભવન કોણ $\theta_2$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_2 \sin r_2 = \mu \sin \theta_2$.
જેમ કે $\mu_2 \sin r_2$ વધ્યું છે,તેથી $\mu \sin \theta_2$ વધવું જોઈએ. $\mu$ અચળ હોવાથી,$\sin \theta_2$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta_2$ વધે છે.

(C) શરૂઆતમાં,સમાન ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{s}{3.8} = \frac{s + 30}{7.6}$
$7.6s = 3.8s + 114$
$3.8s = 114 \Rightarrow s = 30 \,cm$.
અંતે,જ્યારે ટાંકી પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે:
સ્ત્રોતમાંથી આવતું પ્રકાશનું કિરણ ડાબી દીવાલ પર લંબ સાથે $i$ ખૂણો બનાવે છે. ડાબી દીવાલ પર મધ્ય અક્ષથી કિરણની ઊંચાઈ $1.9 \,cm$ ($3.8 \,cm$ ના અડધા) છે.
$\tan i = \frac{1.9}{s} = \frac{1.9}{30}$.
વક્રીભવન પછી,કિરણ લંબ સાથે $r$ ખૂણો બનાવે છે. પડછાયાની પહોળાઈ $6.4 \,cm$ છે,તેથી જમણી દીવાલ પર મધ્ય અક્ષથી કિરણનું અંતર $3.2 \,cm$ છે. ડાબી દીવાલ પર કિરણની ઊંચાઈ $1.9 \,cm$ છે. પ્રવાહીની અંદર કિરણનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $3.2 - 1.9 = 1.3 \,cm$ છે.
$\tan r = \frac{1.3}{30}$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$1 \cdot \sin i = n \cdot \sin r$. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \tan \theta$:
$1 \cdot \tan i = n \cdot \tan r$
$\frac{1.9}{30} = n \cdot \frac{1.3}{30}$
$n = \frac{1.9}{1.3} \approx 1.46$.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $1.45$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) જ્યારે કોઈ વસ્તુ પાતળા માધ્યમ (હવા) માં હોય અને તેને ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી જોવામાં આવે,ત્યારે તે વસ્તુ તેની વાસ્તવિક ઊંચાઈ કરતા વધારે ઊંચાઈ પર દેખાય છે.
આભાસી ઊંચાઈ $(h')$ અને વાસ્તવિક ઊંચાઈ $(h)$ તથા વક્રીભવનાંક $(\mu)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$h' = \mu \times h$
આપેલ છે:
વાસ્તવિક ઊંચાઈ $(h)$ = $24 \, cm$
પાણીનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ = $\frac{4}{3}$
કિંમતો મૂકતા:
$h' = \frac{4}{3} \times 24 \, cm$
$h' = 4 \times 8 \, cm$
$h' = 32 \, cm$
તેથી,થાંભલાની ટોચ સપાટીથી $32 \, cm$ ઉપર દેખાશે.

(A) પ્રકાશનો રંગ તેની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તરંગલંબાઈ પર નહીં.
જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે,પરંતુ તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
આવૃત્તિ બદલાતી ન હોવાથી,પ્રકાશનો રંગ બદલાતો નથી.
તેથી,લાલ પ્રકાશ પાણીમાં પ્રવેશ્યા પછી પણ લાલ જ રહે છે.

(B) ન્યૂટનના કણવાદ મુજબ,પ્રકાશ એ 'કોર્પસલ્સ' (corpuscles) નામના નાના કણોનો બનેલો છે.
ન્યૂટને એવી ધારણા કરી હતી કે ઘટ્ટ માધ્યમ દ્વારા આ કણો પર લાગતું આકર્ષણ બળ તેમનો વેગ વધારે છે.
તેથી,આ સિદ્ધાંત મુજબ પ્રકાશની ઝડપ પાતળા માધ્યમ (જેમ કે શૂન્યાવકાશ) કરતા ઘટ્ટ માધ્યમ (જેમ કે પાણી) માં વધારે હોય છે.
આ આગાહી પાછળથી ફુકોલ્ટના પ્રયોગ દ્વારા ખોટી સાબિત થઈ હતી,જેણે દર્શાવ્યું હતું કે પ્રકાશની ઝડપ વાસ્તવમાં ઘટ્ટ માધ્યમોમાં ઓછી હોય છે.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $V$ અને મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $C$ વચ્ચેનો સંબંધ વક્રીભવનાંક $\mu$ દ્વારા $V = \frac{C}{\mu}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 0.2C$,તેથી $\mu = \frac{C}{V} = \frac{C}{0.2C} = 5$.
વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર $\mu = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ છે.
અહીં $\mu_r = 1$ આપેલ હોવાથી,$\mu = \sqrt{\epsilon_r}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\epsilon_r = \mu^2$.
$\mu = 5$ મૂકતા,આપણને $\epsilon_r = 5^2 = 25$ મળે છે.
સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\epsilon_r$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ નો ગુણોત્તર $\frac{\epsilon_r}{\mu} = \frac{25}{5} = 5$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $5:1$ છે,તેથી $x = 5$.

(B) પ્રકાશના તરંગની આવૃત્તિ માત્ર ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને જ્યારે તે એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય ત્યારે તે અચળ રહે છે. તેથી,$v_2 = v_1$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$,જ્યાં $\mu_1$ અને $\mu_2$ અનુક્રમે હવા અને માધ્યમના વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે $i = 45^{\circ}$ અને $r = 30^{\circ}$,અને હવા માટે $\mu_1 \approx 1$ હોવાથી:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu_2 \cdot \sin 30^{\circ}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu_2 \cdot \frac{1}{2}$
$\mu_2 = \sqrt{2}$.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_1 f}{\lambda_2 f} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ હોવાથી,આપણને $\mu_2 = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ મળે છે.
$\mu_2 = \sqrt{2}$ મૂકતા,$\sqrt{2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે પાણીની સપાટીથી ઉપર થાંભલાની ઊંચાઈ $x$ છે.
લંબ સાથે આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu_W \cdot \sin r$,જ્યાં $r$ વક્રીભવનકોણ છે.
$\sin r = \frac{\sin 60^{\circ}}{\mu_W} = \frac{\sqrt{3}/2}{4/3} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.
તેથી,$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - \frac{27}{64}} = \sqrt{\frac{37}{64}} = \frac{\sqrt{37}}{8}$.
$\tan r = \frac{\sin r}{\cos r} = \frac{3\sqrt{3}/8}{\sqrt{37}/8} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$.
ભૌમિતિક રીતે,કુલ પડછાયાની લંબાઈ $L = x \tan i + h \tan r$ છે,જ્યાં $h = 1.5 \, m$ પાણીની ઊંડાઈ છે.
અહીં,$\tan i = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
તેથી,$2.15 = x \sqrt{3} + 1.5 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$.
$x \sqrt{3} = 2.15 - \frac{4.5 \sqrt{3}}{\sqrt{37}} \approx 2.15 - 1.281 = 0.869$.
$x = \frac{0.869}{\sqrt{3}} \approx 0.5016 \, m$.
આમ,$x \approx 50 \, cm$.

(A) $1 \text{ MSD} = \frac{1 \text{ cm}}{20} = 0.05 \text{ cm}$.
$1 \text{ VSD} = \frac{49}{50} \text{ MSD} = \frac{49}{50} \times 0.05 \text{ cm} = 0.049 \text{ cm}$.
$LC = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = 0.05 - 0.049 = 0.001 \text{ cm}$.
કાગળ પરના નિશાન માટે,$L_1 = 8.45 \text{ cm} + 26 \times 0.001 \text{ cm} = 8.476 \text{ cm} = 84.76 \text{ mm}$.
સ્લેબ દ્વારા જોવામાં આવેલા કાગળ પરના નિશાન માટે,$L_2 = 7.12 \text{ cm} + 41 \times 0.001 \text{ cm} = 7.161 \text{ cm} = 71.61 \text{ mm}$.
ઉપરની સપાટી પરના પાવડરના કણ માટે,$ZE = 4.05 \text{ cm} + 1 \times 0.001 \text{ cm} = 4.051 \text{ cm} = 40.51 \text{ mm}$.
વાસ્તવિક $L_1 = 84.76 - 40.51 = 44.25 \text{ mm}$.
વાસ્તવિક $L_2 = 71.61 - 40.51 = 31.10 \text{ mm}$.
કારણ કે $\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}} = \frac{L_1}{L_2}$,
$\mu = \frac{44.25}{31.10} \approx 1.42$.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,સમાંતર આંતરપૃષ્ઠોની શ્રેણી માટે,વક્રીભવનાંક અને લંબ સાથેના ખૂણાના સાઈનનો ગુણાકાર દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર અચળ રહે છે.
ધારો કે $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ એ અનુક્રમે પ્રદેશ $I, II, III, IV$ માં વક્રીભવનના ખૂણા છે. અહીં,$\theta_1 = \theta$.
દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n_0 \sin \theta = n_{II} \sin \theta_2 = n_{III} \sin \theta_3 = n_{IV} \sin \theta_4$
કિરણ પ્રદેશ $IV$ માં પ્રવેશતા સહેજ ચૂકી જાય તે માટે,પ્રદેશ $IV$ માં વક્રીભવનનો ખૂણો $\theta_4 = 90^\circ$ હોવો જોઈએ.
આમ,આપણી પાસે છે:
$n_0 \sin \theta = n_{IV} \sin 90^\circ$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$n_0 \sin \theta = \frac{n_0}{8} \times 1$
$\sin \theta = \frac{1}{8}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$

(B) સતત બદલાતા વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમ માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,પ્રકાશના કિરણના માર્ગ દરમિયાન $n(z) \sin \theta(z)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
માધ્યમ $1$ અને સ્લેબ વચ્ચેની સપાટી પર,$n_1 \sin \theta_i = n(0) \sin \theta(0)$.
સ્લેબ અને માધ્યમ $2$ વચ્ચેની સપાટી પર,$n(d) \sin \theta(d) = n_2 \sin \theta_f$.
સ્લેબમાં $n(z) \sin \theta(z)$ અચળ હોવાથી,$n(0) \sin \theta(0) = n(d) \sin \theta(d)$.
તેથી,$n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_f$. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $l$ એ સ્લેબમાંથી પસાર થતા કિરણનું આડું સ્થાનાંતર છે. આ સ્થાનાંતર જાડાઈ $d$ પર $\tan \theta(z)$ ના સંકલન દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $\sin \theta(z) = \frac{n_1 \sin \theta_i}{n(z)}$. આ સંકલન માત્ર $n_1, \theta_i, d$ અને વિધેય $n(z)$ પર આધારિત હોવાથી,સ્થાનાંતર $l$ એ $n_2$ થી સ્વતંત્ર છે અને $n(z)$ પર આધારિત છે.
આમ,વિધાનો $(A)$,$(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,સમાંતર સ્તરોની થપ્પી માટે,વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈનનો ગુણાકાર દરેક આંતર સપાટી પર અચળ રહે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = 1.6$ છે અને આપાતકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
$m$-માં સ્લેબનો વક્રીભવનાંક $n_m = n - m \Delta n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta n = 0.1$ છે.
કિરણ $(m-1)$-માં અને $m$-માં સ્લેબ વચ્ચેની આંતર સપાટીને સમાંતર બહાર નીકળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m$-માં સ્લેબમાં વક્રીભવન કોણ $90^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક માધ્યમ અને $m$-માં સ્લેબ વચ્ચે સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$n \sin \theta = n_m \sin 90^{\circ}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1.6 \times \sin 30^{\circ} = (1.6 - m \times 0.1) \times 1$
$1.6 \times 0.5 = 1.6 - 0.1m$
$0.8 = 1.6 - 0.1m$
$0.1m = 1.6 - 0.8$
$0.1m = 0.8$
$m = 8$
આમ,$m$ નું મૂલ્ય $8$ છે.

(C) ધારો કે ખૂણાથી તારનું અંતર $L = 12 \ cm$ છે. અવલોકનકાર ખૂણામાંથી જુએ છે,તેથી આંતરપૃષ્ઠ પર આપાતકોણ $\alpha = 45^{\circ}$ છે.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu \sin \alpha = 1 \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
$\frac{4}{3} \sin 45^{\circ} = \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
વક્રીભવન સપાટી દ્વારા જોવામાં આવતી વસ્તુના આભાસી સ્થાન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ખૂણાથી પ્રતિબિંબનું અંતર $x = \frac{L \cos^2 \theta}{\mu \cos^2 \alpha}$ છે.
કારણ કે $\cos^2 \alpha = \cos^2 45^{\circ} = 0.5$ અને $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$,તેથી:
$x = \frac{12 \cdot (1/9)}{(4/3) \cdot (1/2)} = \frac{12/9}{2/3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = 2 \ cm$.
બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું કોણીય અંતર $2(\theta - \alpha)$ છે. બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું રેખીય અંતર $d$ એ $d = 2x \sin(\theta - \alpha)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = 2(2) \sin(\theta - 45^{\circ}) = 4(\sin \theta \cos 45^{\circ} - \cos \theta \sin 45^{\circ})$.
$d = 4 \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4 \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3\sqrt{2}} \right) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{8}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{8 - 2.828}{3} = \frac{5.172}{3} \approx 1.724 \ cm$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,અંતર $1.73 \ cm$ છે.

(A) $1.$ વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. મેટા-મટીરીયલ્સ માટે,વક્રીભવનાંકનું મૂલ્ય $|n| = \frac{c}{v}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v = \frac{c}{|n|}$. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
વળી,માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ $\lambda_m = \frac{v}{f} = \frac{c}{|n|f} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$2.$ સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}$. $n_2$ ઋણ હોવાથી,$\sin \theta_2$ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વક્રીભૂત કિરણ આપાત કિરણની જેમ લંબની એક જ બાજુએ બહાર આવે છે. આપેલી આકૃતિ જોતા,આકૃતિ $(D)$ આ વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે લંબ સાથેનો આપાતકોણ $i$ છે. $\theta_1$ એ સપાટી સાથેનો ખૂણો હોવાથી,$i = 90^\circ - \theta_1$ થાય.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$,જ્યાં $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
$n_1 \sin(90^\circ - \theta_1) = n_2 \sin(r) \implies n_1 \cos(\theta_1) = n_2 \sin(r)$.
આપેલ છે કે $\theta_1 = \cos^{-1}\left(\frac{n_2}{2n_1}\right)$,તેથી $\cos(\theta_1) = \frac{n_2}{2n_1}$ થાય.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $n_1 \left(\frac{n_2}{2n_1}\right) = n_2 \sin(r) \implies \frac{n_2}{2} = n_2 \sin(r) \implies \sin(r) = \frac{1}{2}$.
આમ,$r = 30^\circ$ મળે.
બ્લોકની ભૂમિતિ પરથી,આપાત બિંદુથી બિંદુ $3$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા સુધીનું આડું અંતર $d/2$ છે. ધારો કે બ્લોકની જાડાઈ $t$ છે.
તેથી,$\tan(r) = \frac{d/2}{t} \implies t = \frac{d}{2 \tan(r)}$.
$d = 4\sqrt{3} \text{ cm}$ અને $r = 30^\circ$ મૂકતા: $t = \frac{4\sqrt{3}}{2 \tan(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$.

(A) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં પ્રવેશે ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે. અહીં આવૃત્તિ $f = 5 \times 10^{14} \ Hz$ છે.
હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
હવામાં તરંગલંબાઈ $\lambda_{\text{air}} = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 600 \ nm$ થાય.
જ્યારે પ્રકાશ $2$ વક્રીભવનાંક $(\mu = 2)$ ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ $\lambda_{\text{medium}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ મુજબ બદલાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda_{\text{medium}} = \frac{600 \ nm}{2} = 300 \ nm$ મળે છે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક એ માપ છે કે શૂન્યાવકાશની તુલનામાં તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ કેટલી ઘટે છે. કાચ એ હવા કરતા પ્રકાશીય રીતે વધુ ઘટ્ટ છે,તેથી તેનો વક્રીભવનાંક વધારે છે. આથી વિધાન $(A)$ સાચું છે.
માધ્યમની પ્રકાશીય ઘનતાનો તેની દળ ઘનતા સાથે સીધો સંબંધ નથી. ઉદાહરણ તરીકે,ટર્પેન્ટાઇન પાણી કરતા વધુ દળ ઘનતા ધરાવે છે પરંતુ પ્રકાશીય રીતે ઓછું ઘટ્ટ છે. તેથી,પ્રકાશીય ઘનતા દળ ઘનતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે તે વિધાન ખોટું છે. આથી કારણ $(R)$ ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ સાચું નથી.

(D) ધારો કે સળિયાનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
સળિયાના છેડાના ભાગ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot \sin \theta = \mu \cdot \sin r$
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin r \quad \dots(1)$
પ્રકાશનું કિરણ દીવાલને સ્પર્શીને પસાર થાય તે માટે,દીવાલ પરનો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ. જો પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r$ હોય,તો દીવાલ પરનો આપાતકોણ $(90^{\circ} - r)$ થશે.
આમ,$90^{\circ} - r = C$,જ્યાં $\sin C = \frac{1}{\mu}$.
દીવાલ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu \sin(90^{\circ} - r) = 1 \cdot \sin 90^{\circ}$
$\mu \cos r = 1$
$\cos r = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{2/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
કારણ કે $\cos r = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $r = 30^{\circ}$ અને $\sin r = \frac{1}{2}$.
$\sin r = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

(C) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\sin r}{\sin i} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$.
આપેલ આલેખ પરથી,ઢાળ $\tan 30^{\circ} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_2 = \sqrt{3} \mu_1$.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ હોવાથી,આપણને $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $v_1 = \sqrt{3} v_2 \approx 1.73 v_2$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
ક્રાંતિકોણ $i_c$ એ $\sin i_c = \frac{\mu_R}{\mu_D} = \frac{\mu_1}{\mu_2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin i_c = \frac{1}{\sqrt{3}}$. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ છે.

(C) આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ છે.
વિચલન કોણ $\delta = 15^{\circ}$ છે.
વક્રીભવન કોણ $r$ એ $\delta = i - r$ દ્વારા મળે છે,તેથી $r = i - \delta = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}$,જ્યાં $v_1$ એ હવામાં ઝડપ છે અને $v_2$ એ પ્રવાહીમાં ઝડપ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{0.5}{1/\sqrt{2}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$v_2 = \frac{v_1}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times 10^8}{1.414} \approx 2.12 \times 10^8 \ m/s$.
આમ,પ્રવાહીમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $2.1 \times 10^8 \ m/s$ છે.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય અને આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય.
$1$. ગરમ ઉનાળાના દિવસોમાં મૃગજળ એ જમીન નજીકના હવાના સ્તરોના વક્રીભવનાંકમાં ફેરફારને કારણે થતા $TIR$ ને લીધે સર્જાય છે.
$2$. હીરાની ચમક $TIR$ ને કારણે છે કારણ કે તેનો ક્રાંતિકોણ ખૂબ જ નાનો $(24.4^{\circ})$ છે,જેના કારણે પ્રકાશ અંદરની તરફ ઘણી વખત પરાવર્તિત થાય છે.
$3$. તળાવની આભાસી અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ વચ્ચેનો તફાવત એ પ્રકાશના વક્રીભવનને કારણે છે જ્યારે તે પાણીમાંથી હવામાં જાય છે,તે $TIR$ ને કારણે નથી.
$4$. ઓપ્ટિકલ ફાઈબર લાંબા અંતર સુધી પ્રકાશના સંકેતો મોકલવા માટે $TIR$ ના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે.
તેથી,$TIR$ ને કારણે ન હોય તેવી ઘટના તળાવની આભાસી અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે.