Refraction of Light Questions in Gujarati

(C) હવાની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક $_a\mu_g = 1.5$ છે.
હવાની સાપેક્ષે પાણીનો વક્રીભવનાંક $_a\mu_w = 1.2$ છે.
પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$_w\mu_g = \frac{_a\mu_g}{_a\mu_w}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$_w\mu_g = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ શોધવાનું સૂત્ર $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{\mu}$ છે,જ્યાં $\lambda_a$ એ હવામાં તરંગલંબાઇ છે અને $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે: $\lambda_a = 5890 \ \mathring{A}$ અને $\mu = 1.6$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda_g = \frac{5890}{1.6} = 3681.25 \ \mathring{A}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તરંગલંબાઇ $3681 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(A) ધારો કે સ્તંભની જાડાઈ $t$ છે. શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈઓની સંખ્યા $n$ એ $t = n \lambda_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0 = 6000 \mathring A = 6 \times 10^{-7} \, m$ છે.
હવામાં,તરંગલંબાઈ $\lambda_a = \frac{\lambda_0}{\mu}$ છે,જ્યાં $\mu = 1.0003$ છે.
સમાન જાડાઈ $t$ માટે હવામાં તરંગલંબાઈઓની સંખ્યા $(n+1)$ છે,તેથી $t = (n+1) \lambda_a$.
$t$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $n \lambda_0 = (n+1) \frac{\lambda_0}{\mu}$.
$\lambda_0$ વડે ભાગતા: $n = \frac{n+1}{\mu} \implies n\mu = n+1 \implies n(\mu - 1) = 1$.
આમ,$n = \frac{1}{\mu - 1}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા: $t = \frac{\lambda_0}{\mu - 1}$.
$t = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.0003 - 1} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.0003} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \, m = 2 \, mm$.

(A) હવાની સાપેક્ષમાં માધ્યમનો વક્રીભવનાંક એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\mu_m = \frac{c}{v}$.
જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(n)$ અચળ રહે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $c = n \lambda_a$ અને $v = n \lambda_m$.
આ કિંમતોને વક્રીભવનાંકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\mu_m = \frac{n \lambda_a}{n \lambda_m} = \frac{\lambda_a}{\lambda_m}$.
આમ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક એ હવામાં તરંગલંબાઈ અને માધ્યમમાં તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર છે.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{c}{\mu}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\mu$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
$v \propto \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,જે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો હોય તેમાં પ્રકાશની ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
આપેલા માધ્યમોના વક્રીભવનાંક આશરે આ મુજબ છે: હવા $\approx 1.0003$,પાણી $\approx 1.33$,કાચ $\approx 1.5$ અને હીરો $\approx 2.42$.
આપેલા વિકલ્પોમાં હવાનો વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો હોવાથી,હવામાં પ્રકાશની ઝડપ મહત્તમ હોય છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = f \lambda$ છે,જ્યાં $f$ એ પ્રકાશની આવૃત્તિ છે.
જ્યારે પ્રકાશ $n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે,પરંતુ તેની ઝડપ $v$ બદલાઈને $v = \frac{c}{n}$ થાય છે.
આમ,$v = f \lambda_{medium}$ હોવાથી,$f \lambda_{medium} = \frac{c}{n} = \frac{f \lambda}{n}$ મળે.
તેથી,માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_{medium} = \frac{\lambda}{n}$ થશે.

(C) પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.33 \approx 4/3$ છે.
જ્યારે સૂર્ય આથમી રહ્યો હોય,ત્યારે સૂર્યના કિરણો પાણીની સપાટી પર $i = 90^o$ ના આપાતકોણે આપાત થાય છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin(i) = \mu_2 \sin(r)$,જ્યાં $\mu_1 = 1$ (હવા) અને $\mu_2 = 1.33$ (પાણી).
$\sin(r) = \frac{1}{1.33} \sin(90^o) = \frac{1}{1.33} \approx 0.75$.
$r = \arcsin(0.75) \approx 48.75^o \approx 49^o$.
આ ખૂણો $r$ એ લંબ (શિરોલંબ) સાથેનો વક્રીભવન કોણ છે.
તેથી,આથમતા સૂર્યને જોવા માટે માણસે શિરોલંબ સાથે $49^o$ ના ખૂણે જોવું જોઈએ.

(B) પ્રાથમિક મેઘધનુષ ત્યારે રચાય છે જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ ગોળાકાર પાણીના ટીપાની અંદર બે વક્રીભવન અને એક આંતરિક પરાવર્તનમાંથી પસાર થાય છે.
$1$. પ્રકાશ ટીપામાં પ્રવેશે છે,જ્યાં હવા-પાણીની સપાટી પર તેનું વક્રીભવન થાય છે.
$2$. ત્યારબાદ તે ટીપાની પાછળની સપાટી પર આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
$3$. અંતે,જ્યારે તે ટીપામાંથી બહાર નીકળીને હવામાં આવે છે ત્યારે તેનું બીજું વક્રીભવન થાય છે.
ઘટનાઓનો આ ચોક્કસ ક્રમ પ્રકાશને ન્યૂનતમ વિચલન સાથે બહાર આવવા દે છે,જેનાથી પ્રાથમિક મેઘધનુષ રચાય છે.

(B) નિરીક્ષકની દ્રષ્ટિ રેખા અચળ રહે છે,જે હવામાં લંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,જ્યારે પ્રવાહીને $2h$ ઊંચાઈ સુધી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાના નીચેના ભાગમાંથી આવતું પ્રકાશનું કિરણ બીકરની ઉભી ધરીથી $h$ અંતરે પ્રવાહીની સપાટી પર પહોંચે છે.
પ્રવાહીમાં આપાતકોણ $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{h}{2h} = 1/2$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
પ્રવાહી-હવા સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin \theta = 1 \cdot \sin 45^{\circ}$.
$\mu \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\mu = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(B) ધારો કે કાચનો વક્રીભવનાંક ${\mu _g}$ છે અને પાણીનો વક્રીભવનાંક ${\mu _w} = 4/3$ છે. હવા માટે વક્રીભવનાંક ${\mu _a} = 1$ છે.
કાચ-પાણીની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
${\mu _g} \sin i = {\mu _w} \sin r$ ---$(1)$
પાણી-હવાની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
${\mu _w} \sin r = {\mu _a} \sin 90^\circ$ ---$(2)$
કિરણ પાણીની સપાટીને સમાંતર બહાર આવતું હોવાથી,પાણી-હવાની સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $90^\circ$ થાય છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
${\mu _g} \sin i = {\mu _a} \sin 90^\circ$
${\mu _g} \sin i = 1 \times 1$
${\mu _g} = \frac{1}{\sin i}$

(A) ધારો કે પાણીની સપાટીથી પક્ષીની ઊંચાઈ $y$ છે અને પાણીની સપાટીથી નીચે માછલીની ઊંડાઈ $y'$ છે.
વક્રીભવનને કારણે,માછલી દ્વારા જોવામાં આવતી પક્ષીની આભાસી ઊંચાઈ $h_{app} = \mu y$ છે,જ્યાં $\mu = 4/3$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
પક્ષી અને માછલી વચ્ચેનું કુલ આભાસી અંતર $S = y' + \mu y$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને માછલીની સાપેક્ષમાં પક્ષીનો આભાસી વેગ મળે છે:
$\frac{dS}{dt} = \frac{dy'}{dt} + \mu \frac{dy}{dt}$.
અહીં,$\frac{dS}{dt} = 9 \; ms^{-1}$ (માછલીની સાપેક્ષમાં પક્ષીની આભાસી ઝડપ),
$\frac{dy'}{dt} = 3 \; ms^{-1}$ (માછલી ઉપર આવવાની ઝડપ),
અને $\frac{dy}{dt} = v_{bird}$ (પક્ષીની વાસ્તવિક ઝડપ).
કિંમતો મૂકતા: $9 = 3 + (4/3) v_{bird}$.
$6 = (4/3) v_{bird}$.
$v_{bird} = (6 \times 3) / 4 = 18 / 4 = 4.5 \; ms^{-1}$.

(A) વાસ્તવિક ઊંડાઈ $(h)$ અને આભાસી ઊંડાઈ $(h')$ વચ્ચેનો સંબંધ $h = \mu h'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h_1 = \mu(b - a)$ છે,જ્યાં $(b - a)$ એ આભાસી ઊંડાઈ છે.
બીજા કિસ્સામાં,પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h_2 = \mu(d - c)$ છે,જ્યાં $(d - c)$ એ આભાસી ઊંડાઈ છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈમાં તફાવત $\Delta h = h_2 - h_1 = \mu(d - c - b + a)$ છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈમાં આ તફાવત ઉમેરવામાં આવેલા વધારાના પ્રવાહીની જાડાઈ જેટલો છે,જે $\Delta h = d - b$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\mu(d - c - b + a) = d - b$.
તેથી,વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{d - b}{d - c - b + a}$ છે.

(B) આભાસી ઊંડાઈ $h'$ અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $h' = h / \mu$ છે,જ્યાં $\mu = n_2/n_1$ એ હવાના સાપેક્ષમાં પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે આભાસી ઊંડાઈ $x \, cm/min$ ના દરે ઘટી રહી છે,તેથી $\frac{dh'}{dt} = -x$.
$h' = h \cdot (n_1/n_2)$ હોવાથી,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dh'}{dt} = \frac{n_1}{n_2} \frac{dh}{dt}$ મળે.
આપેલ દર મૂકતા: $-x = \frac{n_1}{n_2} \frac{dh}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dh}{dt} = -x \cdot (n_2/n_1)$. આમ,વાસ્તવિક ઊંડાઈ $x \cdot (n_2/n_1) \, cm/min$ ના દરે ઘટી રહી છે.
નળાકાર ટાંકીમાં પાણીનું કદ $V = \pi R^2 h$ છે.
કદમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = \pi R^2 \frac{dh}{dt}$ છે.
$\frac{dh}{dt}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,પ્રતિ મિનિટ બહાર નીકળતા પાણીનું કદ $\frac{dV}{dt} = \pi R^2 \cdot x \cdot (n_2/n_1) = x \pi R^2 (n_2/n_1)$ થાય.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશના વક્રીભવનાંક $\mu$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ કોશીના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu = A + \frac{B}{\lambda^2}$,જ્યાં $A$ અને $B$ અચળાંકો છે.
આ સમીકરણ મુજબ,જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે છે,તેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ ઘટે છે.
આ એક વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવે છે જ્યાં $\mu$ એ $\frac{1}{\lambda^2}$ ના પ્રમાણમાં છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ $\lambda$ વધવાની સાથે $\mu$ ઘટતું દર્શાવે છે તે પ્રથમ આલેખ (આલેખ $A$) દ્વારા રજૂ થાય છે.

(D) આલેખ પરથી,ઢાળ $\tan 30^\circ = \frac{\sin r}{\sin i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
તેથી,$\frac{1}{\mu} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \sqrt{3}$.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $v = nc$,તેથી $nc = \frac{c}{\mu}$,એટલે કે $n = \frac{1}{\mu}$.
$\mu = \sqrt{3}$ મૂકતા,આપણને $n = \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-1/2}$ મળે છે.

(A) જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે $\pi$ રેડિયન $(180^o)$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે.
વિકલ્પ $(A)$ માં,પ્રકાશ હવા (પાતળું માધ્યમ) માંથી કાચ (ઘટ્ટ માધ્યમ) માં જાય છે.
તેથી,કાચની સપાટી પરના પરાવર્તનને કારણે $180^o$ નો કળા તફાવત જોવા મળે છે.

(A) પ્રથમ માધ્યમની સાપેક્ષે બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક,જેને $n_{21}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે પ્રથમ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ અને બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$n_{21} = \frac{v_1}{v_2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આભાસી ઊંડાઈ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{વક્રીભવનાંક (}\mu\text{)}}$.
અહીં,વાસ્તવિક ઊંડાઈ $= 12.5 \, cm$ અને નવો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.63$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{12.5}{1.63} \approx 7.67 \, cm$.
તેથી,સોયની આભાસી ઊંડાઈ $7.67 \, cm$ થશે.

(B) જ્યારે પ્રકાશ વધુ પ્રકાશીય ઘનતા ધરાવતા માધ્યમમાંથી ઓછી પ્રકાશીય ઘનતા ધરાવતા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તે લંબથી દૂર તરફ વળે છે.
અહીં,ટર્પેન્ટાઈનનો વક્રીભવનાંક $(n_t \approx 1.47)$ એ પાણીના વક્રીભવનાંક $(n_w \approx 1.33)$ કરતા વધારે છે.
તેથી,જ્યારે પ્રકાશ ટર્પેન્ટાઈનમાંથી પાણીમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે.
પરિણામે,વક્રીભૂત કિરણ સપાટી પર લંબથી દૂર તરફ વળવું જોઈએ.
આકૃતિ જોતા,કિરણ $2$ એ ટર્પેન્ટાઈનમાંથી પાણીમાં પ્રવેશતી વખતે લંબથી દૂર તરફ વળતો પથ દર્શાવે છે.
આમ,સાચો પથ કિરણ $2$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(B) ધારો કે પિનહોલ ઉગમબિંદુ પર છે. પ્રકાશનું કિરણ સળિયાના નીચેના છેડેથી પિનહોલ સુધી અને પછી અવલોકનકારની આંખ સુધી જાય છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,પ્રવાહીમાં આપાતકોણ $\theta$ એ પાયા $h$ અને ઊંચાઈ $2h$ દ્વારા બને છે (કારણ કે સળિયો કિનારે છે અને પિનહોલ ઉપરની સપાટીના કેન્દ્રમાં છે).
$\sin \theta = \frac{h}{\sqrt{h^2 + (2h)^2}} = \frac{h}{\sqrt{5h^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
હવામાં વક્રીભવન કોણ $45^\circ$ છે કારણ કે પિનહોલ સળિયાથી $h$ જેટલા આડા અંતરે છે અને પ્રવાહીની ઉપરની ઊભી ઊંચાઈ $h$ છે (કારણ કે કુલ ઊંચાઈ $3h$ છે અને પ્રવાહીનું સ્તર $2h$ છે).
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu \sin \theta = 1 \cdot \sin 45^\circ$.
$\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\mu = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(B) અહીં,વાસ્તવિક ઊંડાઈ $(d) = 12.5 \, cm$ અને આભાસી ઊંડાઈ $(d') = 9.4 \, cm$ છે.
વક્રીભવનાંક $(\mu)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\mu = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{12.5}{9.4}$
$\mu \approx 1.33$
તેથી,પાણીનો વક્રીભવનાંક $1.33$ છે.

(B) આપેલ છે:
હવાની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક,$\mu_g = 3/2$
હવાની સાપેક્ષે પાણીનો વક્રીભવનાંક,$\mu_w = 4/3$
પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક શોધવાનું સૂત્ર:
$_w\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_w}$
કિંમતો મૂકતા:
$_w\mu_g = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$
આમ,પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક $9/8$ છે.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n_1 \sin i = n_2 \sin r$. અહીં $n_1 = 1$ (હવા) અને $n_2 = \mu$ હોવાથી,$\sin i = \mu \sin r$ મળે.
આપેલ છે કે વક્રીભવન કોણ $r = i/2$ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\sin i = \mu \sin(i/2)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin i = 2 \sin(i/2) \cos(i/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(i/2) \cos(i/2) = \mu \sin(i/2)$.
જો $\sin(i/2) \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુ $\sin(i/2)$ વડે ભાગતા:
$2 \cos(i/2) = \mu$.
$\cos(i/2) = \mu/2$.
$i/2 = \cos^{-1}(\mu/2)$.
તેથી,$i = 2 \cos^{-1}(\mu/2)$.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,સમાંતર માધ્યમો વચ્ચેની દરેક સપાટી પર,વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈનનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_2 \sin \theta_2 = \mu_3 \sin \theta_3 = \mu_4 \sin \theta_4$.
કારણ કે નિર્ગમન કિરણ $CD$ એ આપાત કિરણ $AB$ ને સમાંતર છે,તેથી પ્રથમ માધ્યમમાં આપાતકોણ અને ચોથા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\theta_1 = \theta_4$.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_1$.
તેથી,$\mu_1 = \mu_4$.

(B) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ હોય,ત્યારે આપાતકોણ એ બ્રુસ્ટર કોણ $(i_p)$ હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = 60^o$,તેથી $i_p = 60^o$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ શોધવાનું સૂત્ર: $\mu = \tan(i_p)$.
કિંમત મૂકતા: $\mu = \tan(60^o) = \sqrt{3}$.

(C) માધ્યમ $i$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $j$ નો વક્રીભવનાંક $_i\mu_j = \frac{\mu_j}{\mu_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ ગુણાકાર: $_2\mu_1 \times _3\mu_2 \times _4\mu_3$.
વક્રીભવનાંકની વ્યાખ્યા મૂકતા:
$_2\mu_1 = \frac{\mu_1}{\mu_2}$
$_3\mu_2 = \frac{\mu_2}{\mu_3}$
$_4\mu_3 = \frac{\mu_3}{\mu_4}$
આ પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$\left(\frac{\mu_1}{\mu_2}\right) \times \left(\frac{\mu_2}{\mu_3}\right) \times \left(\frac{\mu_3}{\mu_4}\right) = \frac{\mu_1}{\mu_4}$.
જેમ કે $_i\mu_j = \frac{\mu_j}{\mu_i}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $_4\mu_1 = \frac{\mu_1}{\mu_4}$.
વળી,વક્રીભવનાંકના ગુણધર્મ મુજબ,$_4\mu_1 = \frac{1}{_1\mu_4}$.
તેથી,ગુણાકાર $_4\mu_1$ અથવા $\frac{1}{_1\mu_4}$ બરાબર થાય છે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu = \mu_0 + \mu_2 I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ અને વક્રીભવનાંક વચ્ચેનો સંબંધ $v = \frac{c}{\mu}$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
કિરણપુંજ સમાંતર હોવાથી અને જેમ તીવ્રતા ઘટે છે તેમ ત્રિજ્યા વધતી હોવાથી,તીવ્રતા $I$ કિરણપુંજની અક્ષ પર સૌથી વધુ હોય છે અને અક્ષથી દૂર જતાં ઘટે છે.
$\mu = \mu_0 + \mu_2 I$ હોવાથી,અક્ષ પર વધુ તીવ્રતા $I$ હોવાને કારણે અક્ષ પર વક્રીભવનાંક $\mu$ પણ વધુ હોય છે.
$v = \frac{c}{\mu}$ હોવાથી,અક્ષ પર વધુ વક્રીભવનાંક $\mu$ ને કારણે અક્ષ પર ઝડપ $v$ ન્યૂનતમ મળે છે.
તેથી,પ્રકાશની ઝડપ કિરણપુંજની અક્ષ પર ન્યૂનતમ છે.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે $\mu(I) = \mu_0 + \mu_2 I$,તેથી વક્રીભવનાંક તીવ્રતા $I$ પર આધાર રાખે છે.
સામાન્ય રીતે નળાકારીય કિરણની અક્ષ પર તીવ્રતા $I$ મહત્તમ હોય છે અને જેમ આપણે ત્રિજ્યાની બહારની તરફ જઈએ છીએ તેમ તે ઘટે છે,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu$ પણ અક્ષ પર મહત્તમ હશે.
કારણ કે $v = \frac{c}{\mu}$,તેથી ઊંચો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ ઓછી ઝડપ $v$ આપે છે.
તેથી,પ્રકાશની ઝડપ $v$ કિરણની અક્ષ પર ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં (દા.ત. હવા માંથી પાણીમાં) જાય છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી થાય છે।
જોકે, માધ્યમના વક્રીભવનાંકમાં ફેરફાર થવાને કારણે પ્રકાશનો વેગ $(v)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ બદલાય છે।
સંબંધ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે।
$f$ અચળ હોવાથી, વેગમાં થતો ફેરફાર તરંગલંબાઈમાં પ્રમાણસર ફેરફાર લાવે છે।

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે,જેને $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ અન્ય ભૌતિક માધ્યમમાં,પ્રકાશની ઝડપ $v$ એ $v = c/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે $(n > 1)$.
તમામ ભૌતિક માધ્યમો માટે $n > 1$ હોવાથી,પ્રકાશની ઝડપ $v$ હંમેશા $c$ કરતા ઓછી હોય છે.
તેથી,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ મહત્તમ હોય છે.

(C) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $\mu = \frac{\lambda_{air}}{\lambda_{medium}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\lambda_{air} = 4200\, \mathring A$ અને $\mu = 4/3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{3} = \frac{4200}{\lambda_{water}}$.
$\lambda_{water}$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\lambda_{water} = \frac{4200 \times 3}{4}$.
$\lambda_{water} = 1050 \times 3 = 3150\, \mathring A$.

(B) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 60^o$.
ધારો કે વક્રીભૂતકોણ $r$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.
ભૌમિતિક પરિસ્થિતિ મુજબ,પરાવર્તનકોણ $(i)$,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો,અને વક્રીભૂતકોણ $(r)$ નો સરવાળો $180^o$ થાય છે (કારણ કે તેઓ એક સીધી રેખા પર આવેલા છે).
તેથી,$i + 90^o + r = 180^o$.
$60^o + 90^o + r = 180^o$.
$150^o + r = 180^o$.
$r = 30^o$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ દ્વારા મળે છે.
$\mu = \frac{\sin 60^o}{\sin 30^o} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(C) કોઈ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તે માધ્યમમાં પ્રકાશના વેગ $v$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,$\mu \propto \frac{1}{v}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_1 v_1 = \mu_2 v_2$.
આપેલ છે:
કાંચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5$
કાંચમાં પ્રકાશનો વેગ $v_g = 2 \times 10^8 \ m/s$
પ્રવાહીમાં પ્રકાશનો વેગ $v_l = 2.5 \times 10^8 \ m/s$
સંબંધ $\mu_l v_l = \mu_g v_g$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu_l = \frac{\mu_g v_g}{v_l}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu_l = \frac{1.5 \times 2 \times 10^8}{2.5 \times 10^8}$
$\mu_l = \frac{3.0}{2.5} = 1.2$
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $1.2$ છે.

(D) સમાંતર આંતરપૃષ્ઠોની શ્રેણી માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈનનો ગુણાકાર તમામ માધ્યમોમાં અચળ રહે છે: $\mu \sin \theta = \text{constant}$.
ધારો કે $\theta_1$ એ માધ્યમ $\mu_1$ માં આપાતકોણ છે અને $\theta_4$ એ માધ્યમ $\mu_4$ માં વક્રીભૂતકોણ છે.
કિરણ $AB$ એ કિરણ $CD$ ને સમાંતર હોવાથી,પ્રથમ માધ્યમમાં આપાતકોણ અને છેલ્લા માધ્યમમાં વક્રીભૂતકોણ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\theta_1 = \theta_4$.
પ્રથમ અને છેલ્લા માધ્યમ વચ્ચે સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_1 \sin \theta_1 = \mu_4 \sin \theta_4$.
$\theta_1 = \theta_4$ હોવાથી,આપણને $\mu_1 = \mu_4$ મળે છે.

(B) કાચ-પાણીની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$_g\mu_w = \frac{\sin i}{\sin r} \implies \frac{\mu_w}{\mu_g} = \frac{\sin i}{\sin r} \implies \mu_g = \mu_w \frac{\sin r}{\sin i} \dots (1)$
પાણી-હવાની સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા (કિરણ સપાટીને સમાંતર જાય છે,તેથી વક્રીભવન કોણ $90^\circ$ છે):
$_w\mu_a = \frac{\sin r}{\sin 90^\circ} \implies \frac{1}{\mu_w} = \sin r \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $\sin r = 1/\mu_w$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\mu_g = \mu_w \cdot \frac{1/\mu_w}{\sin i} = \frac{1}{\sin i}$

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભૂતકોણ છે.
આપેલ છે કે $i = 2r$.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $\mu = \frac{\sin(2r)}{\sin r}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{2\sin r \cos r}{\sin r} = 2\cos r$.
તેથી,$\cos r = \frac{\mu}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \cos^{-1}(\frac{\mu}{2})$.
આમ,$i = 2r$ હોવાથી,$i = 2\cos^{-1}(\frac{\mu}{2})$ થાય.

(B) પ્રથમ આપાત બિંદુ $B$ પર,વિચલન કોણ $\delta_1 = (\alpha - \beta)$ છે.
બીજા વક્રીભવન બિંદુ $C$ પર,કિરણ $\beta$ ખૂણે આપાત થાય છે અને સંમિતિને કારણે $\alpha$ ખૂણે નિર્ગમન પામે છે.
બિંદુ $C$ પર વિચલન કોણ $\delta_2 = (\alpha - \beta)$ છે.
કુલ વિચલન કોણ $\delta$ એ બંને બિંદુઓ પરના વિચલનોનો સરવાળો છે:
$\delta = \delta_1 + \delta_2 = (\alpha - \beta) + (\alpha - \beta) = 2(\alpha - \beta)$.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\mu = \frac{c}{v}$.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $f = 2 \times 10^{14} \ Hz$ અને $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
માધ્યમમાં વેગની ગણતરી: $v = (2 \times 10^{14}) \times (5 \times 10^{-7}) = 10 \times 10^{7} = 10^{8} \ m/s$.
$c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ નો ઉપયોગ કરતા,વક્રીભવનાંક: $\mu = \frac{3 \times 10^{8}}{10^{8}} = 3$.

(D) ધારો કે આપાત કિરણની પહોળાઈ $w_i$ છે અને વક્રીભૂત કિરણની પહોળાઈ $w_r$ છે।
સ્નેલના નિયમ મુજબ, $n_1 \sin i = n_2 \sin r$.
અહીં $n_1 = 1$ (હવા), $n_2 = 1.414 = \sqrt{2}$, અને $i = 45^o$ આપેલ છે।
$1 \cdot \sin 45^o = \sqrt{2} \cdot \sin r$ implies $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sin r$ implies $\sin r = \frac{1}{2}$ implies $r = 30^o$.
તરંગાગ્રહની ભૂમિતિ પરથી, કિરણની પહોળાઈ $w = d \cos \theta$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $d$ એ આંતરપૃષ્ઠ પર આપાત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે।
તેથી, $w_i = d \cos i$ અને $w_r = d \cos r$.
વક્રીભૂત કિરણની પહોળાઈ અને આપાત કિરણની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{w_r}{w_i} = \frac{d \cos r}{d \cos i} = \frac{\cos 30^o}{\cos 45^o}$ થાય.
$\frac{w_r}{w_i} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
તેથી, ગુણોત્તર $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ છે।

(B) માધ્યમ $\mu_1$ અને $\mu_2$ વચ્ચેની પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r_1$
જ્યાં $r_1$ એ બીજા માધ્યમમાં વક્રીભવન કોણ છે.
માધ્યમ $\mu_2$ અને $\mu_3$ વચ્ચેની બીજી સપાટી પર:
$\mu_2 \sin r_1 = \mu_3 \sin r$
જ્યાં $r$ એ ત્રીજા માધ્યમમાં વક્રીભવન કોણ છે.
આ બે સમીકરણો પરથી,આપણે સામાન્ય પદ $\mu_2 \sin r_1$ ને સરખાવી શકીએ છીએ:
$\mu_1 \sin i = \mu_3 \sin r$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\mu_3}{\mu_1}$

(A) $x-z$ સમતલ એ આંતરપૃષ્ઠ છે,તેથી $y$-અક્ષ એ આંતરપૃષ્ઠને લંબ છે.
ધારો કે $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ લંબ સાથેનો વક્રીભવન કોણ છે ($y$-અક્ષ).
એકમ સદિશો $\vec{r}_A = a\hat{i} + b\hat{j}$ અને $\vec{r}_B = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j}$ છે. આ એકમ સદિશો હોવાથી,તેમના મૂલ્યો $1$ છે,તેથી $a^2 + b^2 = 1$ અને $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.
લંબ ($y$-અક્ષ) ની દિશામાં ઘટકો $\cos i = \vec{r}_A \cdot \hat{j} = b$ અને $\cos r = \vec{r}_B \cdot \hat{j} = \beta$ છે.
આંતરપૃષ્ઠ ($x$-અક્ષ) ની દિશામાં ઘટકો $\sin i = \vec{r}_A \cdot \hat{i} = a$ અને $\sin r = \vec{r}_B \cdot \hat{i} = \alpha$ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\mu_1 a = \mu_2 \alpha$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપાતકોણ $i = 75^{\circ}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનું વિચલન $\delta_r = 180^{\circ} - 2i$ છે.
વક્રીભૂત કિરણનું વિચલન $\delta_t = i - r$ છે,જ્યાં $r$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વિચલનો સમાન છે,તેથી $180^{\circ} - 2i = i - r \implies r = 3i - 180^{\circ}$.
$i = 75^{\circ}$ મૂકતા,$r = 3(75^{\circ}) - 180^{\circ} = 225^{\circ} - 180^{\circ} = 45^{\circ}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$.
$\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$\mu = \frac{(\sqrt{3} + 1) / 2\sqrt{2}}{1 / \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

(A) $1$. પ્રથમ બિંદુએ સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $1 \cdot \sin(45^{\circ}) = \sqrt{2} \cdot \sin(r) \Rightarrow \sin(r) = 0.5 \Rightarrow r = 30^{\circ}$.
$2$. પ્રથમ વક્રીભવન વખતે વિચલન: $\delta_1 = i - r = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$.
$3$. બે આંતરિક પરાવર્તનો પૈકી દરેક વખતે આપાતકોણ $r = 30^{\circ}$ છે. દરેક પરાવર્તન વખતે વિચલન $\delta = 180^{\circ} - 2(30^{\circ}) = 120^{\circ}$ થાય.
$4$. બે આંતરિક પરાવર્તનો માટે કુલ વિચલન $\delta_2 + \delta_3 = 120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$.
$5$. અંતિમ વક્રીભવન વખતે,આપાતકોણ $r = 30^{\circ}$ અને નિર્ગમન કોણ $e = 45^{\circ}$ છે. વિચલન $\delta_4 = e - r = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$.
$6$. કુલ વિચલન $\delta_{total} = 15^{\circ} + 120^{\circ} + 120^{\circ} + 15^{\circ} = 270^{\circ}$.

(D) ચલ વક્રીભવનાંક $\mu(y)$ ધરાવતા માધ્યમમાં $y$ ઊંડાઈએ રહેલી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $h$ એ સંકલન $h = \int_{0}^{y} \frac{dy'}{\mu(y')}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\mu = \mu_0(1 + ay)$,તેથી આભાસી ઊંડાઈ $h$:
$h = \int_{0}^{y} \frac{dy'}{\mu_0(1 + ay')} = \frac{1}{\mu_0 a} [\ln(1 + ay')]_{0}^{y} = \frac{\ln(1 + ay)}{\mu_0 a}$.
આભાસી ઝડપ $v_{app}$ એ સમયની સાપેક્ષે આભાસી ઊંડાઈમાં થતો ફેરફાર છે:
$v_{app} = \frac{dh}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\ln(1 + ay)}{\mu_0 a} \right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\mu_0 a} \cdot \frac{1}{1 + ay} \cdot \frac{d(1 + ay)}{dt} = \frac{1}{\mu_0 a} \cdot \frac{1}{1 + ay} \cdot (a \frac{dy}{dt})$.
કીટકની ઝડપ $u = -\frac{dy}{dt}$ હોવાથી (જેમ તે ઉપર જાય છે તેમ $y$ ઘટે છે),આપણને $\frac{dy}{dt} = -u$ મળે છે.
આમ,આભાસી ઝડપનું મૂલ્ય $v_{app} = \frac{u}{\mu_0(1 + ay)}$ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતો નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(D) ધારો કે માછલીનો વેગ $v_f = 3 \, m/s$ (ઉપરની તરફ) છે અને પક્ષીનો વાસ્તવિક વેગ $v_b$ (નીચેની તરફ) છે.
ધારો કે પાણીની સપાટીથી માછલીની ઊંડાઈ $x$ છે અને પક્ષીની ઊંચાઈ $y$ છે.
માછલી દ્વારા જોવા મળતી પક્ષીની આભાસી ઊંચાઈ $y' = \mu y$ છે,જ્યાં $\mu = 4/3$ છે.
માછલીથી પક્ષીનું કુલ આભાસી અંતર $h = x + \mu y$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,માછલીની સાપેક્ષે પક્ષીનો આભાસી વેગ મળે છે: $\frac{dh}{dt} = \frac{dx}{dt} + \mu \frac{dy}{dt}$.
અહીં,$\frac{dh}{dt} = 9 \, m/s$ (જે દરે માછલી પક્ષીને પોતાની તરફ આવતું જુએ છે) અને $\frac{dx}{dt} = 3 \, m/s$ (માછલીની ઝડપ) છે.
કિંમતો મૂકતા: $9 = 3 + (4/3) \times v_b$.
$6 = (4/3) \times v_b$.
$v_b = 6 \times (3/4) = 4.5 \, m/s$.

(C) ધારો કે બિંદુવત ઉદગમ $A$ છે,ગોળાનો ઉપરનો ભાગ $B$ છે અને ગોળાનું કેન્દ્ર $C$ છે. કિરણ સપાટી પર $E$ બિંદુએ અથડાય છે અને વક્રીભવન પામીને $D$ બિંદુએ ગોળાને સ્પર્શક બને છે.
આપેલ છે કે $AB = a/2$ અને $BC = a$. ગોળાની ત્રિજ્યા $a$ છે.
$\triangle CED$ માં,$CD = a$ (ત્રિજ્યા) અને $ED$ સ્પર્શક છે,તેથી $\angle CDE = 90^{\circ}$.
વક્રીભવન કોણ $r = \angle CED = 30^{\circ}$.
$\triangle CED$ માં,$\sin r = \frac{CD}{CE} \Rightarrow \sin 30^{\circ} = \frac{a}{CE} \Rightarrow CE = 2a$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$ED = \sqrt{CE^2 - CD^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = a\sqrt{3}$.
ધારો કે $E$ બિંદુ ઉભા અક્ષથી $x$ અંતરે છે. તો $BE = x$. $\triangle ABE$ માં,$\tan i = \frac{BE}{AB} = \frac{x}{a/2} = \frac{2x}{a}$.
ભૂમિતિ મુજબ,$x = CE \sin(\angle ECD)$. અહીં $\angle CED = 30^{\circ}$ અને $\angle CDE = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle ECD = 60^{\circ}$.
તેથી,$x = 2a \sin 60^{\circ} = 2a \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.
હવે $\tan i = \frac{2(a\sqrt{3})}{a} = 2\sqrt{3}$.
તેથી $\sin i = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1 + (2\sqrt{3})^2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $1 \cdot \sin i = n \cdot \sin r \Rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = n \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow n = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.
ભૂમિતિનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા: સ્પર્શક બિંદુ $D$ આગળ $\angle CDE = 90^{\circ}$ થાય છે. વક્રીભવન કોણ $r$ એ $E$ આગળના લંબ સાથેનો ખૂણો છે. $E$ આગળનો લંબ ઉભો છે. તેથી $\angle CED = r = 30^{\circ}$.
$BE = CE \sin 30^{\circ} = 2a \cdot 0.5 = a$. $\tan i = BE/AB = a/(a/2) = 2$. $\sin i = 2/\sqrt{5}$.
$n = \sin i / \sin r = (2/\sqrt{5}) / (1/2) = 4/\sqrt{5}$.

(B) $1$. માધ્યમ $\mu_1$ અને $\mu_3$ વચ્ચેની પ્રથમ સપાટી પર,પ્રકાશનું કિરણ લંબરૂપે (સપાટીને લંબ) પ્રવેશ કરે છે. આપાતકોણ $0^\circ$ હોવાથી,પ્રકાશના કિરણનું વિચલન થતું નથી. આ સૂચવે છે કે બંને માધ્યમોના વક્રીભવનાંક સમાન છે,તેથી $\mu_1 = \mu_3$.
$2$. માધ્યમ $\mu_3$ અને $\mu_2$ વચ્ચેની બીજી સપાટી પર,પ્રકાશનું કિરણ લંબ તરફ વળે છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તે લંબ તરફ વળે છે. તેથી,માધ્યમ $\mu_2$ એ માધ્યમ $\mu_3$ કરતા પ્રકાશીય રીતે ઘટ્ટ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\mu_2 > \mu_3$.

(C) ધારો કે ઉપરના અને નીચેના પ્રવાહી સ્તરોની જાડાઈ અનુક્રમે $t_1$ અને $t_2$ છે.
જ્યારે $d$ ઊંચાઈએ રહેલા બિંદુવત ઉદગમમાંથી પ્રકાશ પ્રવાહીના સ્તરોમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે.
$t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી સ્લેબ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું આભાસી સ્થાનાંતર $\Delta x = t(1 - \frac{1}{\mu})$ છે.
કુલ આભાસી સ્થાનાંતર $\Delta x_{total} = t_1(1 - \frac{1}{\mu_1}) + t_2(1 - \frac{1}{\mu_2})$ છે.
ઉદગમ તેના પ્રતિબિંબ સાથે સંપાત થતું હોવાથી,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ.
કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય તે માટે,અરીસાથી જોતા ઉદગમનું આભાસી સ્થાન અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર $R$ પર હોવું જોઈએ.
આ કિસ્સામાં,જ્યાં $d$ ખૂબ મોટું છે,અસરકારક અંતર $d_{eff} = \frac{t_1}{\mu_1} + \frac{t_2}{\mu_2} + (d - t_1 - t_2)$ થાય છે.
આમ,વક્રતા ત્રિજ્યા $R = d$ મળે છે.

(C) સ્નેલના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $\theta$ અને વક્રીભવનકોણ $\theta'$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\sin \theta = n(\lambda) \sin \theta'$.
આપાતકોણ $\theta$ અચળ હોવાથી,આપણે બંને બાજુઓનું $\lambda$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$0 = \frac{d}{d\lambda} [n(\lambda) \sin \theta']$
$0 = \frac{dn}{d\lambda} \sin \theta' + n(\lambda) \cos \theta' \frac{d\theta'}{d\lambda}$
$\frac{d\theta'}{d\lambda}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$n(\lambda) \cos \theta' \frac{d\theta'}{d\lambda} = -\frac{dn}{d\lambda} \sin \theta'$
$\frac{d\theta'}{d\lambda} = -\frac{1}{n(\lambda)} \frac{dn}{d\lambda} \tan \theta'$
નાના ફેલાવા $\delta \lambda$ માટે,કોણીય ફેલાવો $\delta \theta' = |\frac{d\theta'}{d\lambda}| \delta \lambda$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{d\theta'}{d\lambda}$ નું પદ મૂકતા:
$\delta \theta' = \left| \frac{\tan \theta'}{n} \frac{dn(\lambda)}{d\lambda} \delta \lambda \right|$.

(C) વક્રીભવનાંકના સૂત્ર મુજબ,$_1\mu_2 = \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{v_{\text{rarer}}}{v_{\text{denser}}} \Rightarrow v_1 > v_2$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ બદલાતી નથી કારણ કે તે પ્રકાશના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$f_1 = f_2 = f$.
ઝડપ $v_1 > v_2$ હોવાથી,$\lambda_1 f > \lambda_2 f$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_1 > \lambda_2$.
આમ,જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ ઘટે છે પરંતુ આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.