Refraction of Light Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે,આપાતકોણ $i = 2r$,જ્યાં $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$.
ધારો કે પ્રકાશ હવા $(\mu_1 = 1)$ માંથી $\mu_2 = \mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,તેથી:
$1 \cdot \sin(2r) = \mu \sin r$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2r) = 2 \sin r \cos r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin r \cos r = \mu \sin r$
$\sin r \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $\sin r$ વડે ભાગતા:
$2 \cos r = \mu \implies \cos r = \frac{\mu}{2}$
આમ,$r = \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$.
તેથી,આપાતકોણ $i = 2r = 2 \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$ થાય.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને વક્રીભવનકોણના સાઈનનો ગુણોત્તર એ બે માધ્યમોના વક્રીભવનાંકના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\mu_2}{\mu_1}$
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે.
તેથી,$\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$
$\lambda_2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\lambda_2 = \lambda_1 \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1}$

(D) હવાનો પરપોટો નક્કર કાચના ગોળાના કેન્દ્ર $O$ પર સ્થિત છે.
જ્યારે હવામાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણો ગોળાની સપાટી તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ ગોળાની ત્રિજ્યાની દિશામાં ગતિ કરે છે.
ત્રિજ્યા હંમેશા ગોળાની સપાટીને લંબ હોવાથી,પ્રકાશના કિરણો સપાટી પર $i = 0^\circ$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે તેનું કોઈ વક્રીભવન કે વિચલન થતું નથી.
તેથી,પ્રકાશના કિરણો વાંકા વળ્યા વિના સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
પરિણામે,બહારથી જોનાર અવલોકનકારને પરપોટાનું પ્રતિબિંબ વસ્તુના સ્થાને જ દેખાય છે.
આમ,ગોળાના કેન્દ્રથી પરપોટાનું આભાસી અંતર શૂન્ય છે.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_X \sin i = \mu_Y \sin r$.
$\mu = \frac{c}{V}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\frac{c}{V_X} \sin i = \frac{c}{V_Y} \sin r$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{V_X}{V_Y}$ થાય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\tan 30^{\circ} = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$\frac{\sin i}{\sin r} = \sqrt{3}$.
આ કિંમત વેગના ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{V_X}{V_Y} = \sqrt{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $V_X = \sqrt{3} V_Y$.
પ્રકાશ પાતળા માધ્યમ $(X)$ માંથી ઘટ્ટ માધ્યમ $(Y)$ માં જાય છે (કારણ કે $r < i$),તેથી જ્યારે પ્રકાશ માધ્યમ $X$ માંથી $Y$ માં આપાત થાય ત્યારે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થઈ શકે નહીં. વક્રીભવન દરમિયાન આવૃત્તિ અચળ રહે છે.

(B) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તનકોણ $\theta$ જેટલો હોય છે. તેથી,$i = \theta$.
સીધી રેખા પરના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,પરાવર્તનકોણ $\theta$,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ})$,અને વક્રીભવનકોણ $r$ માટે:
$\theta + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$
$\theta = i$ મૂકતા:
$i + 90^{\circ} + r = 180^{\circ}$
$r = 90^{\circ} - i$
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
$r = 90^{\circ} - i$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)}$
કારણ કે $\sin(90^{\circ} - i) = \cos i$,તેથી:
$\mu = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$
આમ,$\tan i = \mu$.

(C) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે માધ્યમની પ્રકાશીય ઘનતા બદલાવાને કારણે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે. જોકે,પ્રકાશની આવૃત્તિ પ્રકાશના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી થાય છે અને વક્રીભવન દરમિયાન તે અચળ રહે છે. તેથી,આવૃત્તિમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(D) સ્નેલના નિયમ મુજબ,સમાંતર સ્તરોની શ્રેણી માટે,વક્રીભવનાંક અને આપાતકોણના સાઈનનો ગુણાકાર દરેક આંતરપૃષ્ઠ પર અચળ રહે છે.
ધારો કે $\mu_0$ એ $0$ માં સ્તરનો વક્રીભવનાંક છે અને $i_0$ એ પ્રથમ આંતરપૃષ્ઠ પરનો આપાતકોણ છે.
$\mu_0 \sin i_0 = \mu_m \sin r_m$
આપેલ છે:
$\mu_0 = \mu = 1.5$
$i_0 = 30^{\circ}$
$\mu_m = \mu - m \Delta \mu = 1.5 - m(0.015)$
કારણ કે $m$ માં વક્રીભવન પછી કિરણ આંતરપૃષ્ઠને સમાંતર બહાર આવે છે,તેથી વક્રીભવન કોણ $r_m = 90^{\circ}$ થશે.
મૂલ્યો મૂકતા:
$1.5 \sin 30^{\circ} = (1.5 - m \times 0.015) \sin 90^{\circ}$
$1.5 \times 0.5 = (1.5 - 0.015m) \times 1$
$0.75 = 1.5 - 0.015m$
$0.015m = 1.5 - 0.75$
$0.015m = 0.75$
$m = \frac{0.75}{0.015} = \frac{750}{15} = 50$
આમ,$m$ નું મૂલ્ય $50$ છે.

(D) માધ્યમમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n}$ છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં તરંગલંબાઈ છે અને $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે:
$\lambda_0 = 4200 Å$
$n = 4/3$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda_m = \frac{4200}{4/3} = 4200 \times \frac{3}{4} = 1050 \times 3 = 3150 Å$.
તેથી,પાણીમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $3150 Å$ થશે.

(C) જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
$v = f \lambda$ અને $v = \frac{c}{\mu}$ હોવાથી,$\frac{c}{\mu} = f \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $\mu \lambda = \frac{c}{f} = \text{અચળ}$.
તેથી,$\mu_1 \lambda_1 = \mu_2 \lambda_2$.
આપેલ છે: $\mu_1 = \frac{4}{3}$,$\lambda_1 = 540 \ nm$,અને $\mu_2 = \frac{3}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{4}{3}\right) \times 540 = \left(\frac{3}{2}\right) \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = 540 \times \frac{4}{3} \times \frac{2}{3}$.
$\lambda_2 = 540 \times \frac{8}{9} = 60 \times 8 = 480 \ nm$.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = 200 \times 10^8 \text{ cm/s}$ છે.
પ્રથમ,માધ્યમમાં ઝડપને $\text{m/s}$ માં ફેરવો:
$v = 200 \times 10^8 \times 10^{-2} \text{ m/s} = 2 \times 10^8 \text{ m/s}$.
વક્રીભવનાંક $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{c}{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{2 \times 10^8 \text{ m/s}} = 1.5$.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin \alpha = \mu_2 \sin \beta$.
અહીં $\mu_1 = 1$ અને $\mu_2 = 1.5$ આપેલ છે.
સદિશ $\vec{AO} = 2\hat{i} - 3\hat{j}$ શિરોલંબ અક્ષ (y-અક્ષ) સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\tan \alpha = \frac{|x|}{|y|} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sin \beta = \frac{\mu_1}{\mu_2} \sin \alpha = \frac{1}{1.5} \times \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2}{1.5 \sqrt{13}} = \frac{4}{3\sqrt{13}}$.
વક્રીભૂત સદિશ $\vec{OB} = C\hat{i} - 4\hat{j}$ છે. ખૂણો $\beta$ શિરોલંબ અક્ષ સાથે છે,તેથી $\sin \beta = \frac{|C|}{\sqrt{C^2 + (-4)^2}} = \frac{C}{\sqrt{C^2 + 16}}$.
$\sin \beta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{C}{\sqrt{C^2 + 16}} = \frac{4}{3\sqrt{13}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{C^2}{C^2 + 16} = \frac{16}{9 \times 13} = \frac{16}{117}$.
$117C^2 = 16(C^2 + 16) \implies 117C^2 = 16C^2 + 256$.
$101C^2 = 256 \implies C^2 = \frac{256}{101} \approx 2.534$.
$C = \sqrt{2.534} \approx 1.59 \approx 1.6$.