Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि शेष भाग $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$ होता है।
इसलिए,अर्ध-आयु की संख्या $n = 4$ है।
चूंकि कुल समय $t = 1 \text{ घंटा} = 60 \text{ मिनट}$ है,इसलिए $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ होगा।
$4 = \frac{60}{T_{1/2}}$.
$T_{1/2} = \frac{60}{4} = 15 \text{ मिनट}$।

(A) मान लीजिए कि शेष यूरेनियम नाभिकों की संख्या $N_U$ है और बने हुए लेड नाभिकों की संख्या $N_{Pb}$ है।
दिया गया है कि अनुपात $N_U : N_{Pb} = 1:1$,इसलिए $N_U = N_{Pb}$ है।
प्रारंभ में यूरेनियम नाभिकों की संख्या $N_0 = N_U + N_{Pb} = N_U + N_U = 2N_U$ थी।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N_U = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$ है।
मान रखने पर: $N_U = (2N_U) \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$.
$N_U$ से विभाजित करने पर: $1 = 2 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$,जो सरल होकर $1/2 = (1/2)^{t/T_{1/2}}$ हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर: $t/T_{1/2} = 1$.
अतः,$t = T_{1/2} = 4.5 \times 10^9$ वर्ष।

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ क्षय न हुए नाभिकों की संख्या है।
समय $t_1$ पर,सक्रियता $A_1 = \lambda N_1$ है,जिसका अर्थ है $N_1 = A_1 / \lambda$।
समय $t_2$ पर,सक्रियता $A_2 = \lambda N_2$ है,जिसका अर्थ है $N_2 = A_2 / \lambda$।
$(t_1 - t_2)$ समयांतराल के दौरान क्षयित हुए नाभिकों की संख्या $t_1$ और $t_2$ पर उपस्थित नाभिकों की संख्या का अंतर है।
क्षयित नाभिकों की संख्या $= N_1 - N_2 = \frac{A_1}{\lambda} - \frac{A_2}{\lambda} = \frac{A_1 - A_2}{\lambda}$।

(C) क्षय की दर $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि प्रति सेकंड उत्सर्जित अल्फा कणों की संख्या $n$ है,इसलिए $\frac{dN}{dt} = n$।
अतः,$n = \lambda N$,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{n}{N}$।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ का सूत्र $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ है।
$\lambda$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T_{1/2} = \frac{0.693 \, N}{n} \, s$ प्राप्त होता है।

(C) रेडियोएक्टिव नमूने की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ के नियम का पालन करती है।
दिया गया है: $A_0 = 9750 \text{ counts/min}$,$A(t) = 975 \text{ counts/min}$,और $t = 5 \text{ min}$.
मान रखने पर: $975 = 9750 e^{-5\lambda}$.
$\frac{975}{9750} = e^{-5\lambda} \Rightarrow 0.1 = e^{-5\lambda}$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(0.1) = -5\lambda$.
चूंकि $\ln(0.1) = -\ln(10) \approx -2.3026$,इसलिए $-2.3026 = -5\lambda$.
$\lambda = \frac{2.3026}{5} = 0.46052 \approx 0.461 \text{ min}^{-1}$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ है, जहाँ $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है, $t$ कुल समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है: $N_0 = 0.1 \ mg = 100 \ \mu g$, $t = 120 \ \text{दिन}$, और $T = 24 \ \text{दिन}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T} = \frac{120}{24} = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$N = 100 \times \left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{100}{32} \ \mu g$.
$N = 3.125 \ \mu g$.
अतः, अविघटित पदार्थ की शेष मात्रा $3.125 \ \mu g$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक द्रव्यमान $M_0 = 10 \, g$ और समय $t = 2\tau$,जहाँ $\tau$ औसत आयु है।
हम जानते हैं कि औसत आयु $\tau = \frac{1}{\lambda}$,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
इसलिए,$t = 2 \times \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda}$.
रेडियो-सक्रिय क्षय का नियम $M = M_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $M = 10 \times e^{-\lambda \times (2/\lambda)} = 10 \times e^{-2}$.
चूँकि $e \approx 2.718$,इसलिए $e^2 \approx 7.389$.
$M = \frac{10}{7.389} \approx 1.35 \, g$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = t / T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि $^{14}C : ^{12}C$ का अनुपात मूल अनुपात का $1/16$ है,इसलिए $(1/2)^n = 1/16$ है।
चूँकि $1/16 = (1/2)^4$,घातांकों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है: $n = 4$।
$n = t / T_{1/2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $t / 5730 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,जीवाश्म हड्डी की आयु $t = 4 \times 5730 = 22920 \text{ वर्ष}$ है।

(D) क्षय का नियम $N = N_0 (1/2)^{t/T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$t$ समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
यहाँ $10\%$ शेष रहने पर (विकल्पों के अनुसार),$N = 0.10 N_0$ होगा।
मान रखने पर: $0.10 N_0 = N_0 (1/2)^{t/22}$.
$0.1 = (1/2)^{t/22}$.
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर: $\log_{10}(0.1) = (t/22) \log_{10}(0.5)$.
$-1 = (t/22) \times (-0.3010)$.
$t = 22 / 0.3010 \approx 73.09 \text{ वर्ष}$.
अतः,सही उत्तर $73 \text{ वर्ष}$ है।

(C) अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ का सूत्र $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ है।
यहाँ $T_{1/2} = 1600$ वर्ष दिया गया है।
अतः,$\frac{0.693}{\lambda} = 1600$ वर्ष।
औसत आयु $(\tau)$ को $\tau = \frac{1}{\lambda}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अर्ध-आयु के समीकरण से,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1600}{0.693}$।
इस मान की गणना करने पर: $\tau \approx 2308.8$ वर्ष।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,औसत आयु लगभग $2300$ वर्ष है।

(B) $m$ ग्राम द्रव्यमान में मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M_w}$ द्वारा दी जाती है।
$m$ ग्राम द्रव्यमान में परमाणुओं की कुल संख्या $N = n \times N_A = \frac{m}{M_w} N_A$ होती है।
रेडियोधर्मिता $R$ को $R = \lambda N$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$N$ का मान रखने पर,हमें $R = \lambda \left( \frac{m}{M_w} N_A \right) = \left[ \frac{N_A}{M_w} m \right] \lambda$ प्राप्त होता है।

(B) क्षय हुए बिना बचे पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_0} = 2^{-n}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ है。
यहाँ $t = 20 \, \text{hours}$ और $T_{1/2} = 40 \, \text{hours}$ दिया गया है, इसलिए अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{20}{40} = 0.5$ है。
अतः, बचा हुआ अंश $\frac{N}{N_0} = 2^{-0.5} = \frac{1}{2^{0.5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है。
क्षय हुआ अंश $1 - \frac{N}{N_0}$ होता है。
क्षय हुआ अंश $= 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.

(D) रेडियो-सक्रिय नमूने की गतिविधि $140$ दिनों में $6000 \, dps$ से घटकर $3000 \, dps$ हो जाती है।
चूंकि गतिविधि अपने मान की आधी हो जाती है,इसलिए नमूने की अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $140$ दिन है।
शुरुआत से पहले माप तक का समय $280$ दिन है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ $= \frac{280}{140} = 2$.
मान लीजिए प्रारंभिक गतिविधि $A_0$ है। $n$ अर्ध-आयु के बाद गतिविधि $A = A_0 \times (1/2)^n$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 2$ पर $A = 6000 \, dps$ है,इसलिए $6000 = A_0 \times (1/2)^2$ है।
$6000 = A_0 \times (1/4)$.
$A_0 = 6000 \times 4 = 24000 \, dps$.

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$,जहाँ $N$ शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$t$ कुल समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{64}$ और $t = 15$ घंटे।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{15/T}$.
चूंकि $64 = 2^6$,हम लिख सकते हैं $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^6$.
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{15}{T} = 6$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{15}{6} = 2.5$ घंटे।

(B) ट्रिटियम की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 12.3 \ \text{वर्ष}$ है।
समय $t$ के बाद शेष मात्रा $N = \frac{N_0}{2^n}$ सूत्र द्वारा दी जाती है, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ $t = 49.2 \ \text{वर्ष}$ और $T_{1/2} = 12.3 \ \text{वर्ष}$ दिया गया है, इसलिए अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{49.2}{12.3} = 4$ होगी।
सूत्र में मान रखने पर: $N = \frac{32}{2^4} = \frac{32}{16} = 2 \ mg$.
अतः, $49.2$ वर्ष बाद $2 \ mg$ ट्रिटियम शेष बचेगा।

(C) समय $t$ के बाद शेष बचे रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ माध्य आयु $\tau = 1/\lambda$ है,इसलिए दो माध्य आयु के लिए समय $t = 2\tau = 2/\lambda$ होगा।
इस मान को क्षय समीकरण में रखने पर: $N = N_0 e^{-\lambda(2/\lambda)} = N_0 e^{-2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $N_0 = 10 \, g$ दिया गया है,इसलिए शेष रेडियोधर्मी द्रव्यमान $N = 10 \times e^{-2} \approx 10 \times 0.135 = 1.35 \, g$ होगा।
हालाँकि,रेडियोधर्मी क्षय की प्रक्रिया में,उत्पन्न होने वाले नए नाभिक (daughter nuclei) पात्र में ही बने रहते हैं (यदि वे गैसीय न हों)। द्रव्यमान संरक्षण के नियम के अनुसार,पात्र में कुल द्रव्यमान $10 \, g$ ही रहेगा।

(C) किसी भी समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N_t = N_o e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
समय $t_1$ पर,अविघटित नाभिकों की संख्या $N(t_1) = N_o e^{-\lambda t_1}$ है।
समय $t_2$ पर,अविघटित नाभिकों की संख्या $N(t_2) = N_o e^{-\lambda t_2}$ है।
समय $t_1$ और $t_2$ के बीच क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या $t_1$ और $t_2$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या का अंतर है:
$\Delta N = N(t_1) - N(t_2)$
व्यंजक रखने पर:
$\Delta N = N_o e^{-\lambda t_1} - N_o e^{-\lambda t_2}$
$N_o$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta N = N_o [e^{-\lambda t_1} - e^{-\lambda t_2}]$

(D) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ है, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है。
यहाँ $N_0 = 100 \, \text{g}$ और $N = 25 \, \text{g}$ दिया गया है。
मान रखने पर: $\frac{25}{100} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^n \Rightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
अतः, $n = 2$.
कुल समय $t$ की गणना $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा की जाती है。
$t = 2 \times 1600 \, \text{वर्ष} = 3200 \, \text{वर्ष}$.

(A) समय $t$ पर रेडियोएक्टिव नमूने की सक्रियता $A$ का सूत्र $A = A_0 e^{-\lambda t}$ है।
दिया गया है: $A_0 = 5000$ विघटन/मिनट, $A = 1250$ विघटन/मिनट, और $t = 5$ मिनट।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$1250 = 5000 e^{-\lambda \times 5}$
$\frac{1250}{5000} = e^{-5\lambda}$
$\frac{1}{4} = e^{-5\lambda}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln(1/4) = -5\lambda$
$-\ln(4) = -5\lambda$
$\ln(2^2) = 5\lambda$
$2 \ln 2 = 5\lambda$
$\lambda = \frac{2 \ln 2}{5} = 0.4 \ln 2$ प्रति मिनट।

(B) रेडियो-सक्रिय क्षय के नियम के अनुसार,किसी भी समय $t$ पर सक्रियता $R$ को $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_0$ समय $t = 0$ पर प्रारंभिक सक्रियता है।
समय $t_1$ पर,सक्रियता $R_1 = R_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
समय $t_2$ पर,सक्रियता $R_2 = R_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 e^{-\lambda t_1}}{R_0 e^{-\lambda t_2}}$
$\frac{R_1}{R_2} = e^{-\lambda t_1} \cdot e^{\lambda t_2} = e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$
अतः,$R_1 = R_2 e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$।

(C) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = \lambda N$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ नाभिकों की संख्या है।
यह दिया गया है कि सक्रियता समान है,इसलिए $A_X = A_Y$ है।
चूंकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ होता है,इसलिए हमारे पास $\frac{\ln 2}{T_X} N_X = \frac{\ln 2}{T_Y} N_Y$ है।
यह सरल होकर $\frac{N_X}{T_X} = \frac{N_Y}{T_Y}$ हो जाता है।
नाभिकों के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{N_X}{N_Y} = \frac{T_X}{T_Y}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T_X = 3 \ min$ और $T_Y = 27 \ min$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{N_X}{N_Y} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ है।
अतः,उत्तेजित नाभिकों की संख्या का अनुपात $1 : 9$ है।

(A) दिया गया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 100 \ s$।
कुल समय $t = 5 \ min = 5 \times 60 \ s = 300 \ s$।
प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 8 \ g$।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{300}{100} = 3$।
शेष मात्रा $N$ ज्ञात करने का सूत्र $N = N_0 \times (1/2)^n$ है।
मान रखने पर: $N = 8 \times (1/2)^3 = 8 \times (1/8) = 1 \ g$।
अतः,$1 \ g$ पदार्थ शेष बचेगा।

(A) समय $t$ के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम रेडियो-सक्रिय तत्व के लिए,$\lambda_1 = 15x$ और $t = \frac{1}{6x}$ है।
$N_1 = N_0 e^{-(15x) \times \frac{1}{6x}} = N_0 e^{-\frac{15}{6}} = N_0 e^{-\frac{5}{2}}$.
दूसरे रेडियो-सक्रिय तत्व के लिए,$\lambda_2 = 3x$ और $t = \frac{1}{6x}$ है।
$N_2 = N_0 e^{-(3x) \times \frac{1}{6x}} = N_0 e^{-\frac{3}{6}} = N_0 e^{-\frac{1}{2}}$.
नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-\frac{5}{2}}}{N_0 e^{-\frac{1}{2}}}$ है।
$\frac{N_1}{N_2} = e^{-\frac{5}{2} + \frac{1}{2}} = e^{-\frac{4}{2}} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.

(A) माना कि रेडियोधर्मी नमूने की प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है। $t = 1$ महीने के बाद,शेष मात्रा $N = N_0(1 - 0.10) = 0.90N_0$ है।
रेडियोधर्मी क्षय नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ का उपयोग करते हुए,$t = 1$ महीने के लिए:
$0.90N_0 = N_0 e^{-\lambda(1)} \Rightarrow e^{-\lambda} = 0.90$ है।
$t = 4$ महीनों के बाद,शेष मात्रा $N' = N_0 e^{-\lambda(4)} = N_0 (e^{-\lambda})^4$ है।
$e^{-\lambda}$ का मान रखने पर:
$N' = N_0 (0.90)^4 = N_0 (0.6561)$ है।
नमूने का क्षयित अंश $1 - \frac{N'}{N_0} = 1 - 0.6561 = 0.3439$ है।
प्रतिशत में बदलने पर,क्षयित भाग $34.39\%$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_{01} = 2x$ और $N_{02} = 3x$ है।
अर्ध-आयु $T_1 = 1 \ h$ और $T_2 = 2 \ h$ है।
$t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहले नमूने के लिए $t = 6 \ h$ के बाद: $N_1 = 2x \left( \frac{1}{2} \right)^{6/1} = 2x \left( \frac{1}{64} \right) = \frac{x}{32}$.
दूसरे नमूने के लिए $t = 6 \ h$ के बाद: $N_2 = 3x \left( \frac{1}{2} \right)^{6/2} = 3x \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 3x \left( \frac{1}{8} \right) = \frac{3x}{8}$.
अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{x/32}{3x/8} = \frac{x}{32} \times \frac{8}{3x} = \frac{1}{4 \times 3} = \frac{1}{12}$.
अतः,अनुपात $1:12$ होगा।

(D) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ अविघटित नाभिकों की संख्या है।
दिया गया औसत जीवनकाल $T = \frac{1}{\lambda}$ है,इसलिए $\lambda = \frac{1}{T}$ है।
समय $T_1$ पर,उपस्थित नाभिकों की संख्या $N_1 = \frac{R_1}{\lambda} = R_1 T$ है।
समय $T_2$ पर,उपस्थित नाभिकों की संख्या $N_2 = \frac{R_2}{\lambda} = R_2 T$ है।
समय $T_1$ और $T_2$ के बीच विघटित होने वाले नाभिकों की संख्या इन समयों पर उपस्थित नाभिकों की संख्या का अंतर है:
$\Delta N = N_1 - N_2 = R_1 T - R_2 T = (R_1 - R_2)T$.

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि नाभिकों का प्रारंभिक अनुपात $N_1/N_2 = 2/3$ है।
समय $t$ के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ है।
समय $t$ पर सक्रियता $A(t) = \lambda N(t) = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ है।
$t = 12 \ hours$ पर दोनों नमूनों के लिए:
$A_1 = \frac{\ln 2}{2} N_1 (1/2)^{12/2} = \frac{\ln 2}{2} N_1 (1/2)^6 = \frac{\ln 2}{2} N_1 \cdot \frac{1}{64}$.
$A_2 = \frac{\ln 2}{3} N_2 (1/2)^{12/3} = \frac{\ln 2}{3} N_2 (1/2)^4 = \frac{\ln 2}{3} N_2 \cdot \frac{1}{16}$.
सक्रियता का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{N_2} \cdot \frac{T_{1/2, 2}}{T_{1/2, 1}} \cdot \frac{(1/2)^{12/T_{1/2, 1}}}{(1/2)^{12/T_{1/2, 2}}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{(1/2)^6}{(1/2)^4} = 1 \cdot (1/2)^2 = 1/4$.

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = \left| \frac{dN(t)}{dt} \right| = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln A = \ln(\lambda N_0) - \lambda t$ प्राप्त होता है।
यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल $m = -\lambda$ है।
दिए गए ग्राफ से,ढाल $\text{slope} = \frac{3 - 4}{6 - 4} = \frac{-1}{2}$ है।
अतः,$-\lambda = -\frac{1}{2}$,जिससे क्षय नियतांक $\lambda = 0.5 \text{ year}^{-1}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.5} = 1.386 \text{ years}$ है।
समय $t$ के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ है।
$t = 4.16 \text{ years}$ दिया गया है,इसलिए व्यतीत अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{4.16}{1.386} \approx 3$ है।
अतः,शेष अंश $\frac{N(t)}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ है।
चूंकि नाभिकों की संख्या $p$ के कारक से घटती है,हमारे पास $\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{p} = \frac{1}{8}$ है,जिसका अर्थ है $p = 8$।

(B) रेडियो-सक्रिय क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
$5$ दिनों के बाद,$10\%$ क्षय हो जाता है,इसलिए $90\%$ शेष रहता है: $0.9 N_0 = N_0 e^{-5\lambda}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(0.9) = -5\lambda$,या $5\lambda = -\ln(0.9) = \ln(1/0.9)$।
$20$ दिनों के बाद,शेष मात्रा $N = N_0 e^{-20\lambda}$ है।
$20\lambda = 4 \times (5\lambda) = 4 \ln(1/0.9)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$N = N_0 e^{-4 \ln(1/0.9)} = N_0 (1/0.9)^{-4} = N_0 (0.9)^4$।
$(0.9)^4 = 0.81 \times 0.81 = 0.6561$ की गणना करने पर।
अतः,$N \approx 0.656 N_0$,जो लगभग $65.6\%$ है। निकटतम विकल्प $65\%$ है।

(A) मान लीजिए $t = 0$ पर परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0 = 10^{20}$ है।
समय $t$ पर शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$n$-वें वर्ष के दौरान उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या उस वर्ष की शुरुआत और अंत में परमाणुओं की संख्या का अंतर है: $\Delta N_n = N(n-1) - N(n) = N_0 e^{-\lambda(n-1)} (1 - e^{-\lambda})$.
दूसरे वर्ष के लिए $(n=2)$: $\Delta N_2 = N_0 e^{-\lambda} (1 - e^{-\lambda})$.
तीसरे वर्ष के लिए $(n=3)$: $\Delta N_3 = N_0 e^{-2\lambda} (1 - e^{-\lambda})$.
दिया गया है कि $\Delta N_3 = 0.3 \times \Delta N_2$,इसलिए:
$N_0 e^{-2\lambda} (1 - e^{-\lambda}) = 0.3 \times N_0 e^{-\lambda} (1 - e^{-\lambda})$.
दोनों पक्षों को $N_0 (1 - e^{-\lambda}) e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-\lambda} = 0.3$ प्राप्त होता है।
पहले वर्ष में $(n=1)$ उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या:
$\Delta N_1 = N_0 - N_1 = N_0 - N_0 e^{-\lambda} = N_0 (1 - e^{-\lambda})$.
मान रखने पर: $\Delta N_1 = 10^{20} (1 - 0.3) = 10^{20} (0.7) = 7 \times 10^{19}$.

(C) किसी भी समय $t$ पर सक्रियता $I$ को $I(t) = I_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_0$ समय $t=0$ पर प्रारंभिक सक्रियता है।
दिया गया है कि $I_0 = n$ और औसत आयु $\tau = 1/\lambda$,इसलिए $\lambda = 1/\tau$ है।
समय अंतराल $0$ से $t$ के बीच क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या उस समय के दौरान सक्रियता का समाकलन है:
$N_{decayed} = \int_{0}^{t} I(t') dt' = \int_{0}^{t} I_0 e^{-\lambda t'} dt'$
$N_{decayed} = I_0 \left[ \frac{e^{-\lambda t'}}{-\lambda} \right]_{0}^{t} = \frac{I_0}{\lambda} (1 - e^{-\lambda t})$
$I_0 = n$ और $\lambda = 1/\tau$ प्रतिस्थापित करने पर:
$N_{decayed} = n \tau (1 - e^{-t/\tau})$.

(A) दिया गया है कि $t = 0$ पर ऐक्टिविटी $I = I_0$ है और $t = 5$ मिनट पर $I = I_0/e$ है।
रेडियो-ऐक्टिव क्षय के नियम $I = I_0 e^{-\lambda t}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{I_0}{e} = I_0 e^{-5\lambda}$
$e^{-1} = e^{-5\lambda}$
घातांकों की तुलना करने पर,$5\lambda = 1$,इसलिए $\lambda = \frac{1}{5} \text{ min}^{-1}$।
वह समय $t$ जिस पर ऐक्टिविटी अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है,उसे अर्ध-आयु $T_{1/2}$ कहते हैं।
$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \frac{\ln(2)}{1/5} = 5 \ln(2)$।
चूंकि $\ln(2) = \log_e(2)$,इसलिए उत्तर $5 \log_e(2)$ है।

(A) सक्रियता $R$ का सूत्र $R = \lambda N$ है, जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ और $N = \frac{m}{M} \times N_A$ है।
दिया गया है:
$T_{1/2} = 1620 \, \text{वर्ष} = 1620 \times 365 \times 24 \times 3600 \, \text{सेकंड} \approx 5.11 \times 10^{10} \, \text{s}$.
$m = 1 \, \text{g}$, $M = 226 \, \text{g/mol}$, $N_A = 6.023 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol}$.
परमाणुओं की संख्या $N = \frac{1}{226} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.665 \times 10^{21} \, \text{atoms}$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{5.11 \times 10^{10}} \approx 1.356 \times 10^{-11} \, \text{s}^{-1}$.
सक्रियता $R = \lambda N = (1.356 \times 10^{-11}) \times (2.665 \times 10^{21}) \approx 3.61 \times 10^{10} \, \text{decays/s}$.

(C) क्षय प्रक्रिया $X \rightarrow Y$ है।
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,मान लीजिए $X$ की मात्रा $N_0 = 8$ और $Y = 0$ है।
समय $t$ पर,$X$ और $Y$ का अनुपात $1:7$ है,जिसका अर्थ है $N_X = 1$ और $N_Y = 7$।
कुल प्रारंभिक मात्रा $N_0 = N_X + N_Y = 1 + 7 = 8$ है।
रेडियोधर्मी क्षय नियम का उपयोग करते हुए: $N = N_0 (1/2)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$1 = 8 \times (1/2)^n \Rightarrow (1/2)^3 = (1/2)^n \Rightarrow n = 3$।
चट्टान की आयु $t = n \times T_{1/2}$ होगी।
यहाँ $T_{1/2} = 1.37 \times 10^9 \, y$ दिया गया है।
अतः,$t = 3 \times 1.37 \times 10^9 \, y = 4.11 \times 10^9 \, y$।

(A) प्रारंभ में, चट्टान में केवल रेडियो-सक्रिय समस्थानिक $X$ होता है। मान लीजिए प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 8 \, g$ है।
$t$ समय के बाद, $X$ और $Y$ का अनुपात $1:7$ है। इसका अर्थ है कि $1 \, g$ मात्रा $X$ की शेष है और $7 \, g$ मात्रा $Y$ की बन चुकी है।
कुल मात्रा स्थिर रहती है, इसलिए प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 1 \, g + 7 \, g = 8 \, g$ है।
$t$ समय के बाद शेष अविघटित समस्थानिक $X$ की मात्रा $N = 1 \, g$ है।
रेडियो-सक्रिय क्षय के नियम के अनुसार, $N = N_0 (1/2)^n$, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर: $1 = 8 \times (1/2)^n$, जिसे सरल करने पर $(1/2)^n = 1/8$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1/8 = (1/2)^3$, इसलिए $n = 3$ है।
चट्टान की आयु $t = n \times T_{1/2}$ है, जहाँ $T_{1/2} = 20 \, \text{वर्ष}$.
अतः, $t = 3 \times 20 = 60 \, \text{वर्ष}$।

(C) $t$ समय के बाद शेष बचे नाभिकों की संख्या $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ है।
यहाँ $N_0 = 4 \times 10^{16}$,$T_{1/2} = 10 \ days$,और $t = 30 \ days$ दिया गया है।
सबसे पहले,अर्ध-आयु की संख्या ज्ञात करें: $n = \frac{30}{10} = 3$.
शेष बचे नाभिकों की संख्या $N = 4 \times 10^{16} \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 4 \times 10^{16} \times \frac{1}{8} = 0.5 \times 10^{16}$ है।
क्षयित हुए नाभिकों की संख्या $N_{decayed} = N_0 - N$ होगी।
$N_{decayed} = 4 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 3.5 \times 10^{16}$.

(A) दो प्रक्रियाओं के लिए क्षय नियतांक $\lambda_1 = \frac{0.693}{T_1}$ और $\lambda_2 = \frac{0.693}{T_2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ $T_1 = 1620 \text{ वर्ष}$ और $T_2 = 810 \text{ वर्ष}$ दिए गए हैं।
प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{\text{net}} = \lambda_1 + \lambda_2$ होता है।
$\lambda_{\text{net}} = 0.693 \left( \frac{1}{1620} + \frac{1}{810} \right) = 0.693 \left( \frac{1 + 2}{1620} \right) = 0.693 \left( \frac{3}{1620} \right) = \frac{0.693}{540} \text{ वर्ष}^{-1}$।
प्रभावी अर्ध-आयु काल $T_{\text{net}} = \frac{0.693}{\lambda_{\text{net}}} = 540 \text{ वर्ष}$ है।
पदार्थ के अपने प्रारंभिक मान का एक-चौथाई रहने के लिए आवश्यक समय $t$,$N = N_0 (1/2)^n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
चूँकि $1/4 = (1/2)^2$,इसलिए $n = 2$ है।
अतः,$t = n \times T_{\text{net}} = 2 \times 540 = 1080 \text{ वर्ष}$।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर गणना दर है।
दिया गया है $N(0) = N_0 = 1600 \text{ counts/s}$ और $N(8) = 100 \text{ counts/s}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $100 = 1600 e^{-\lambda(8)}$।
$e^{-8\lambda} = \frac{100}{1600} = \frac{1}{16}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-8\lambda = \ln(1/16) = -\ln(16) = -4\ln(2)$।
अतः,$8\lambda = 4\ln(2)$,जिससे $\lambda = \frac{\ln(2)}{2} \text{ s}^{-1}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $t = 6 \text{ s}$ पर गणना दर $N(6)$ ज्ञात करनी है:
$N(6) = N_0 e^{-\lambda(6)} = 1600 e^{-(\frac{\ln 2}{2}) \times 6}$।
$N(6) = 1600 e^{-3\ln 2} = 1600 e^{\ln(2^{-3})} = 1600 \times 2^{-3}$।
$N(6) = 1600 \times \frac{1}{8} = 200 \text{ counts/s}$।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
अर्ध-आयु $T$ दी गई है,इसलिए $N(T) = N_0/2 = N_0 e^{-\lambda T}$ होता है।
इसका अर्थ है $e^{-\lambda T} = 1/2$,अतः $\lambda T = \ln 2$,या $\lambda = (\ln 2)/T$ है।
हमें $t = T/2$ समय के बाद शेष अंश ज्ञात करना है,जो $N(T/2)/N_0 = e^{-\lambda (T/2)}$ है।
$\lambda = (\ln 2)/T$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$N(T/2)/N_0 = e^{-[(\ln 2)/T] \cdot (T/2)} = e^{-(\ln 2)/2} = e^{-\ln(2^{1/2})} = e^{\ln(2^{-1/2})} = 2^{-1/2} = 1/\sqrt{2}$।
अतः,पदार्थ का शेष अंश $1/\sqrt{2}$ है।

(A) माना कि प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है और $t$ समय के बाद अविघटित नाभिकों की संख्या $N$ है।
यह दिया गया है कि $99\%$ नाभिक क्षयित हो चुके हैं,इसलिए अविघटित नाभिकों की संख्या $N = N_0 - 0.99N_0 = 0.01N_0$ है।
रेडियो-सक्रिय क्षय नियम का उपयोग करते हुए: $N = N_0(1/2)^n$,जहाँ $n = t/\tau_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
मान रखने पर: $0.01N_0 = N_0(1/2)^n \Rightarrow (1/2)^n = 0.01 \Rightarrow 2^n = 100$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $n \log_{10}(2) = \log_{10}(100)$.
$n \times 0.3010 = 2$.
$n = 2 / 0.3010 \approx 6.64$.
चूंकि $n = t/\tau_{1/2}$,इसलिए $t = n \times \tau_{1/2} \approx 6.64 \tau_{1/2}$.
यह मान $6\tau_{1/2}$ और $7\tau_{1/2}$ के बीच स्थित है।

(D) माना कि $t$ सिंधु घाटी सभ्यता की आयु है।
क्षय दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $N = N_0 e^{-\lambda t}$, समय $t$ पर सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ होती है, जहाँ $R_0$ प्रारंभिक क्षय दर है।
यहाँ $R_0 = 15$ क्षय/मिनट और $R = 9$ क्षय/मिनट दिया गया है।
अतः, $\frac{R}{R_0} = e^{-\lambda t} \implies \frac{9}{15} = e^{-\lambda t} \implies \frac{3}{5} = e^{-\lambda t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(3/5) = -\lambda t \implies \lambda t = \ln(5/3)$।
चूंकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$, इसलिए $t = \frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \times T_{1/2}$ प्राप्त होता है।
$T_{1/2} = 5730$ वर्ष दिया गया है, अतः $t = \frac{\ln(1.667)}{\ln 2} \times 5730 \approx \frac{0.5108}{0.6931} \times 5730 \approx 0.737 \times 5730 \approx 4224$ वर्ष।

(B) दिया गया है: सक्रियता $A = 1 \ mCi = 3.7 \times 10^7 \ \text{विघटन/सेकंड}$.
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1.9 \ \text{वर्ष} = 1.9 \times 365 \times 24 \times 3600 \ \text{सेकंड} \approx 5.99 \times 10^7 \ \text{सेकंड}$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5.99 \times 10^7} \approx 1.157 \times 10^{-8} \ \text{सेकंड}^{-1}$.
सूत्र $A = \lambda N$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $N$ परमाणुओं की संख्या है: $N = \frac{A}{\lambda} = \frac{3.7 \times 10^7}{1.157 \times 10^{-8}} \approx 3.198 \times 10^{15} \ \text{परमाणु}$.
द्रव्यमान $m = \frac{N \times M}{N_A}$, जहाँ $M = 227 \ \text{g/mol}$ और $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ \text{परमाणु/मोल}$.
$m = \frac{3.198 \times 10^{15} \times 227}{6.023 \times 10^{23}} \approx 1.206 \times 10^{-6} \ \text{g} = 1.206 \ \mu g$.

(A) $t$ समय के बाद रेडियो-सक्रिय पदार्थ की शेष मात्रा $N = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
तत्व $A$ के लिए: $N_A = 10 (1/2)^{t/1}$.
तत्व $B$ के लिए: $N_B = 1 (1/2)^{t/2}$.
दिया गया है कि शेष मात्रा समान है,इसलिए $N_A = N_B$.
$10 (1/2)^t = (1/2)^{t/2}$.
$10 = (1/2)^{t/2} / (1/2)^t = (1/2)^{t/2 - t} = (1/2)^{-t/2} = 2^{t/2}$.
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर:
$\log_{10} 10 = (t/2) \log_{10} 2$.
$1 = (t/2) \times 0.3010$.
$t = 2 / 0.3010 \approx 6.64 \, years$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार $6.62$ वर्ष)।

(A) समय $t$ के बाद रेडियोधर्मी पदार्थ की शेष मात्रा $N = \frac{N_0}{2^{t/T_{1/2}}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: प्रारंभिक अनुपात $\frac{N_{01}}{N_{02}} = \frac{2}{1}$,$T_{1/2,1} = 12 \text{ घंटे}$,$T_{1/2,2} = 16 \text{ घंटे}$,और समय $t = 2 \text{ दिन} = 48 \text{ घंटे}$।
शेष मात्रा का अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_{01} \cdot 2^{-t/T_{1/2,1}}}{N_{02} \cdot 2^{-t/T_{1/2,2}}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{N_1}{N_2} = \left(\frac{2}{1}\right) \cdot \frac{2^{-48/12}}{2^{-48/16}} = 2 \cdot \frac{2^{-4}}{2^{-3}} = 2 \cdot 2^{-4+3} = 2 \cdot 2^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(D) दिया गया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 138.6 \, \text{दिन} = 138.6 \times 24 \, \text{घंटे} = 3326.4 \, \text{घंटे}$.
प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या $N_0 = 1,000,000$.
समय अंतराल $t = 24 \, \text{घंटे}$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{138.6 \times 24} \, \text{hr}^{-1}$.
अल्प समय अंतराल $t$ के लिए विघटन की संख्या $\Delta N = N_0 \lambda t$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\Delta N = 1,000,000 \times \left( \frac{0.693}{138.6 \times 24} \right) \times 24$.
$\Delta N = 1,000,000 \times \frac{0.693}{138.6} = 1,000,000 \times 0.005 = 5000$.
अतः, विघटन की संख्या $5000$ है।

(C) $1 \, \text{curie}$ की सक्रियता $A = 3.7 \times 10^{10} \, \text{disintegrations/second}$ के रूप में परिभाषित है।
$U^{234}$ के लिए क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है। $U^{234}$ की अर्ध-आयु $T_{1/2}$ लगभग $2.455 \times 10^5 \, \text{years} = 7.74 \times 10^{12} \, \text{s}$ है।
रेडियोधर्मिता के नियम के अनुसार, $A = \lambda N$, जहाँ $N$ परमाणुओं की संख्या है।
$N = \frac{A}{\lambda} = \frac{A \times T_{1/2}}{\ln 2} = \frac{3.7 \times 10^{10} \times 7.74 \times 10^{12}}{0.693} \approx 4.13 \times 10^{23} \, \text{atoms}$.
द्रव्यमान $m = \frac{N \times M}{N_A}$, जहाँ $M = 234 \, \text{g/mol}$ और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol}$ है।
$m = \frac{4.13 \times 10^{23} \times 234}{6.022 \times 10^{23}} \approx 160.5 \, \text{g}$.
नोट: दिया गया विकल्प $C$ एक सामान्य पाठ्यपुस्तक त्रुटि है जो सक्रियता मान को सीधे परमाणुओं की संख्या मानकर प्राप्त की जाती है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$t$ बीता हुआ समय है,और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि शेष मात्रा प्रारंभिक मात्रा का $1/16$ वां भाग है,इसलिए $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{40/T_{1/2}}$.
चूंकि $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$,हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं: $4 = \frac{40}{T_{1/2}}$.
$T_{1/2}$ के लिए हल करने पर,हमें $T_{1/2} = \frac{40}{4} = 10 \, days$ प्राप्त होता है।

(D) समय $t$ पर रेडियोधर्मी पदार्थ का द्रव्यमान $M = M_0 e^{-\lambda t}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M_0 = 10 \, gm$ और समय $t$ दो औसत आयु के बराबर है,अर्थात $t = 2\tau$।
चूंकि औसत आयु $\tau = \frac{1}{\lambda}$ है,इसलिए $t = \frac{2}{\lambda}$ होगा।
इन मानों को क्षय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = 10 \cdot e^{-\lambda \left( \frac{2}{\lambda} \right)}$
$M = 10 \cdot e^{-2}$
$M = 10 \cdot \left( \frac{1}{e^2} \right) \approx 10 \cdot \left( \frac{1}{7.389} \right) \approx 1.353 \, gm$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,शेष द्रव्यमान लगभग $1.35 \, gm$ है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यहाँ दिया गया है कि शेष भाग $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,इसलिए $4 = \frac{t}{100 \,\mu s}$।
अतः,$t = 4 \times 100 \,\mu s = 400 \,\mu s$।

(C) $\alpha$ क्षय के लिए क्षय नियतांक $\lambda_{\alpha} = \frac{1}{1620} \text{ year}^{-1}$ है।
$\beta$ क्षय के लिए क्षय नियतांक $\lambda_{\beta} = \frac{1}{405} \text{ year}^{-1}$ है।
प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta} = \frac{1}{1620} + \frac{1}{405} = \frac{1+4}{1620} = \frac{5}{1620} = \frac{1}{324} \text{ year}^{-1}$ है।
समय $t$ पर गतिविधि $A$ का सूत्र $A = A_0 e^{-\lambda t}$ है।
यहाँ $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{4}$ दिया गया है,इसलिए $e^{-\lambda t} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $e^{\lambda t} = 4$।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\lambda t = \ln(4) = 2 \ln(2)$।
$\lambda = \frac{1}{324}$ और $\ln(2) \approx 0.693$ रखने पर:
$t = 324 \times 2 \times 0.693 = 648 \times 0.693 \approx 449.06 \text{ वर्ष}$।
अतः,समय लगभग $449 \text{ वर्ष}$ होगा।