Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(C) रेडियोधर्मी पदार्थ दो चैनलों के माध्यम से क्षय होता है। प्रभावी औसत जीवनकाल $\tau$ निम्नलिखित संबंध द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}$
दिए गए मान $\tau_1 = 1620 \, \text{वर्ष}$ और $\tau_2 = 520 \, \text{वर्ष}$ रखने पर:
$\tau = \frac{\tau_1 \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = \frac{1620 \times 520}{1620 + 520} = \frac{842400}{2140} \approx 393.64 \, \text{वर्ष} \approx 394 \, \text{वर्ष}$.
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ और औसत जीवनकाल $\tau$ के बीच का संबंध है:
$T_{1/2} = 0.693 \times \tau$
$T_{1/2} = 0.693 \times 393.64 \approx 272.79 \, \text{वर्ष} \approx 273 \, \text{वर्ष}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) क्षय नियतांक $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{6.92 \ s} \approx 0.1 \ s^{-1}$ होता है।
समय $t$ के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
नाभिकों की संख्या में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ है।
मान $t = 10 \ s$ और $\lambda = 0.1 \ s^{-1}$ रखने पर:
भिन्नात्मक परिवर्तन $= 1 - e^{-(0.1)(10)} = 1 - e^{-1}$।
चूंकि $e^{-1} \approx 0.37$,इसलिए भिन्नात्मक परिवर्तन $1 - 0.37 = 0.63$ है।

(B) मान लीजिए कि दो विधियों के लिए क्षय नियतांक क्रमशः $\lambda_{\alpha}$ और $\lambda_{\beta}$ हैं।
यह दिया गया है कि नमूना $66.6 \%$ समय $\alpha$-क्षय द्वारा और $33.3 \%$ समय $\beta$-क्षय द्वारा क्षयित होता है,इसलिए क्षय दरों का अनुपात $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{\beta}} = \frac{66.6}{33.3} = 2$ है।
अतः,$\lambda_{\alpha} = 2\lambda_{\beta}$ या $\lambda_{\beta} = \frac{\lambda_{\alpha}}{2}$।
प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रभावी अर्ध-आयु $T_{eff} = 60 \text{ years}$ है,इसलिए $\lambda_{eff} = \frac{\ln 2}{60}$।
मान रखने पर: $\lambda_{\alpha} + \frac{\lambda_{\alpha}}{2} = \frac{\ln 2}{60} \Rightarrow \frac{3\lambda_{\alpha}}{2} = \frac{\ln 2}{60}$।
इसलिए,$\lambda_{\alpha} = \frac{2 \ln 2}{180} = \frac{\ln 2}{90}$।
केवल $\alpha$-क्षय के लिए अर्ध-आयु $T_{\alpha} = \frac{\ln 2}{\lambda_{\alpha}} = 90 \text{ years}$ होगी।

(C) एक साथ क्षय के लिए प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$ द्वारा दिया जाता है।
औसत आयु $\tau = \frac{1}{\lambda}$ होने के कारण,$\frac{1}{\tau_{eff}} = \frac{1}{\tau_{\alpha}} + \frac{1}{\tau_{\beta}}$ होता है।
यहाँ $\tau_{\alpha} = 30$ वर्ष और $\tau_{\beta} = 60$ वर्ष दिए गए हैं,इसलिए प्रभावी औसत आयु $\frac{1}{\tau_{eff}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ प्राप्त होती है।
अतः,$\tau_{eff} = 20$ वर्ष।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ और औसत आयु के बीच संबंध $T_{1/2} = \tau \ln(2)$ है।
यदि हम अर्ध-आयु $T_{1/2, eff} = 20$ वर्ष मानते हैं,तो $2$ अर्ध-आयु के बाद नमूना $(1/2)^2 = 1/4$ शेष रहेगा।
इसलिए,आवश्यक समय $t = 2 \times 20 = 40$ वर्ष होगा।

(C) मान लीजिए कि पहली बार रखी गई प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है। तो दूसरी बार रखी गई मात्रा $2N_0$ है।
मान लीजिए कि पहले नमूने के लिए बीता हुआ समय $t_1$ है और दूसरे नमूने के लिए बीता हुआ समय $t_2$ है। आयु का अंतर $\tau = t_1 - t_2$ है।
सक्रियता का सूत्र $A = \lambda N = \lambda N_{initial} e^{-\lambda t}$ है।
पहले नमूने के लिए: $A_1 = \lambda N_0 e^{-\lambda t_1}$.
दूसरे नमूने के लिए: $A_2 = \lambda (2N_0) e^{-\lambda t_2}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\lambda N_0 e^{-\lambda t_1}}{2 \lambda N_0 e^{-\lambda t_2}} = \frac{1}{2} e^{-\lambda (t_1 - t_2)} = \frac{1}{2} e^{-\lambda \tau}$.
$\tau$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $e^{\lambda \tau} = \frac{A_2}{2A_1}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\lambda \tau = \ln \left( \frac{A_2}{2A_1} \right)$.
चूंकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,इसलिए $\tau = \frac{T}{\ln 2} \ln \left( \frac{A_2}{2A_1} \right)$.

(B) विघटन की दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है $R_A = R_B$,इसलिए $\lambda_A N_A = \lambda_B N_B$ है।
चूंकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$,हमारे पास $\left( \frac{\ln 2}{T} \right) N_A = \left( \frac{\ln 2}{2T} \right) N_B$ है,जो $N_B = 2N_A$ में सरल हो जाता है।
क्षय नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ का उपयोग करते हुए,$x e^{-\lambda_B t} = 2 x e^{-\lambda_A t}$ है।
$\lambda_A = \frac{\ln 2}{T}$ और $\lambda_B = \frac{\ln 2}{2T}$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^{-\frac{\ln 2}{2T} t} = 2 e^{-\frac{\ln 2}{T} t}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\frac{\ln 2}{2T} t = \ln 2 - \frac{\ln 2}{T} t$।
$\ln 2$ से विभाजित करने पर: $-\frac{t}{2T} = 1 - \frac{t}{T} \Rightarrow \frac{t}{2T} = 1 \Rightarrow t = 2T$।
$t = 2T$ पर,$A$ ने $2$ अर्ध-आयु पूरी कर ली है,इसलिए $N_A = \frac{x}{2^2} = \frac{x}{4}$। विघटित $A = x - \frac{x}{4} = 0.75x$।
$t = 2T$ पर,$B$ ने $1$ अर्ध-आयु पूरी कर ली है,इसलिए $N_B = \frac{x}{2^1} = \frac{x}{2}$। विघटित $B = x - \frac{x}{2} = 0.5x$।
निर्मित $C$ नाभिकों की कुल संख्या विघटित $A$ और $B$ का योग है: $0.75x + 0.5x = 1.25x$।

(B) नमूने का क्षयित होने वाला भाग $7/8$ है। इसलिए, शेष बचा हुआ भाग $N/N_0 = 1 - 7/8 = 1/8$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए, $N/N_0 = (1/2)^n$, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$1/8 = (1/2)^n$
$(1/2)^3 = (1/2)^n$
\text{अतः}, $n = 3$ \text{है।}
\text{अर्ध-आयु की संख्या } n \text{ को } n = t / T_{1/2} \text{ द्वारा दर्शाया जाता है}, \text{जहाँ } t = 15 \ minutes \text{ है।}
$3 = 15 / T_{1/2}$
$T_{1/2} = 15 / 3 = 5 \ minutes$।
अतः, नमूने की अर्ध-आयु $5 \ minutes$ है।

(A) क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
$\alpha$-उत्सर्जन के लिए,क्षय नियतांक $\lambda_{\alpha} = \frac{\ln 2}{T}$ है।
$\beta$-उत्सर्जन के लिए,क्षय नियतांक $\lambda_{\beta} = \frac{\ln 2}{2T}$ है।
चूंकि क्षय एक साथ हो रहे हैं,इसलिए कुल क्षय नियतांक $\lambda_{total}$ व्यक्तिगत क्षय नियतांकों का योग है:
$\lambda_{total} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta} = \frac{\ln 2}{T} + \frac{\ln 2}{2T}$.
$\frac{\ln 2}{T}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\lambda_{total} = \frac{\ln 2}{T} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{\ln 2}{T} (\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} \frac{\ln 2}{T}$.

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $A = |\frac{dN}{dt}| = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ उपस्थित रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है।
नमूने में मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है।
कुल नाभिकों की संख्या $N$ का मान $N = n \times N_A = \frac{m}{M} \times N_A$ होता है।
इस मान को सक्रियता के सूत्र में रखने पर,हमें $A = \lambda \times \frac{m}{M} \times N_A = \frac{\lambda m N_A}{M}$ प्राप्त होता है।

(D) यह ग्राफ $\ln A$ और $t$ के बीच खींची गई एक सीधी रेखा है। सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + C$ होता है।
यहाँ,$y = \ln A$ और $x = t$ है।
$\ln A$ अक्ष पर अंतःखंड $C = 2.6$ है।
ढाल $m$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2.6}{26 - 0} = -\frac{2.6}{26} = -0.1$ है।
अतः,रेखा का समीकरण $\ln A = -0.1t + 2.6$ है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी (exponential) लेने पर,हमें $A = e^{-0.1t + 2.6} = e^{2.6} \cdot e^{-0.1t}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\ln 12 = 2.6$,इसलिए $e^{2.6} = 12$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = 12 e^{-0.1t}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो विधियों के लिए क्षय नियतांक क्रमशः $\lambda_{\alpha}$ और $\lambda_{\beta}$ हैं।
यह दिया गया है कि $\alpha$-क्षय की प्रायिकता $66.6\%$ $(2/3)$ है और $\beta$-क्षय की प्रायिकता $33.3\%$ $(1/3)$ है,इसलिए क्षय नियतांकों का अनुपात $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{\beta}} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ है,अर्थात $\lambda_{\beta} = \frac{\lambda_{\alpha}}{2}$।
प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$ है।
प्रभावी अर्ध-आयु $T_{eff} = \frac{\ln 2}{\lambda_{eff}} = 60 \text{ years}$ है।
$\lambda_{\beta} = \frac{\lambda_{\alpha}}{2}$ को समीकरण में रखने पर: $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \frac{\lambda_{\alpha}}{2} = \frac{3\lambda_{\alpha}}{2}$।
अतः,$\frac{\ln 2}{\frac{3\lambda_{\alpha}}{2}} = 60 \Rightarrow \frac{\ln 2}{\lambda_{\alpha}} = 60 \times \frac{3}{2} = 90 \text{ years}$।
केवल $\alpha$-क्षय के लिए अर्ध-आयु $T_{\alpha} = \frac{\ln 2}{\lambda_{\alpha}} = 90 \text{ years}$ होगी।

(C) मान लीजिए कि $N_0$ रेडियोधर्मी न्यूक्लाइड $X$ के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है। किसी भी समय $t$ पर,$X$ के शेष परमाणुओं की संख्या $N_X(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{\ln(2)}{\tau}$ है।
चूंकि $X$ का क्षय $Y$ में होता है,इसलिए समय $t$ पर $Y$ के परमाणुओं की संख्या $N_Y(t) = N_0 - N_X(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $T$ पर,$N_X(T) = N_Y(T)$ होता है।
इसलिए,$N_0 e^{-\lambda T} = N_0(1 - e^{-\lambda T})$ है।
$N_0$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-\lambda T} = 1 - e^{-\lambda T}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2e^{-\lambda T} = 1$,या $e^{-\lambda T} = \frac{1}{2}$।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-\lambda T = \ln(1/2) = -\ln(2)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\lambda T = \ln(2)$ है।
$\lambda = \frac{\ln(2)}{\tau}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(\frac{\ln(2)}{\tau}\right) T = \ln(2)$ प्राप्त होता है।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \tau$ प्राप्त होता है।

(C) विघटन की दर $R$ को $R = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ समय $t$ पर शेष रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या है।
दिया गया है कि $T_{1/2, A} = 2 \ hr$ और $T_{1/2, B} = 4 \ hr$ है। क्षय स्थिरांक $\lambda_A = \frac{\ln 2}{2}$ और $\lambda_B = \frac{\ln 2}{4}$ हैं।
प्रारंभ में,$N_A(0) = N_B(0) = N_0$ है।
$t = 2 \ hr$ पर,शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ है।
स्रोत $A$ के लिए: $N_A(2) = N_0 (1/2)^{2/2} = N_0/2$ है।
स्रोत $B$ के लिए: $N_B(2) = N_0 (1/2)^{2/4} = N_0/\sqrt{2}$ है।
विघटन की दरें $R_A = \lambda_A N_A$ और $R_B = \lambda_B N_B$ हैं।
अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\lambda_A N_A}{\lambda_B N_B} = \frac{(\ln 2 / 2) \times (N_0 / 2)}{(\ln 2 / 4) \times (N_0 / \sqrt{2})} = \frac{1/4}{1/(4\sqrt{2})} = \sqrt{2}$ है।
अतः,अनुपात $\sqrt{2} : 1$ है।

(D) समय $t$ पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता का सूत्र: $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}$ है।
दिया गया है: $A_0 = 64 \times 10^{-5} \text{ Ci}$,$A = 5 \times 10^{-6} \text{ Ci}$,और $T_{1/2} = 3 \text{ दिन}$.
मान रखने पर: $5 \times 10^{-6} = 64 \times 10^{-5} \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 3}$.
दोनों पक्षों को $64 \times 10^{-5}$ से विभाजित करने पर: $\frac{5 \times 10^{-6}}{64 \times 10^{-5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 3}$.
$\frac{0.5}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 3} \Rightarrow \frac{1}{128} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 3}$.
चूंकि $\frac{1}{128} = \left( \frac{1}{2} \right)^7$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^7 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t / 3}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $7 = \frac{t}{3} \Rightarrow t = 21 \text{ दिन}$.

(C) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
पदार्थ $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 20 \text{ min}$,$t = 80 \text{ min}$. अर्ध-आयु की संख्या $n_A = \frac{80}{20} = 4$.
शेष नाभिक $N_A = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{N_0}{16}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 40 \text{ min}$,$t = 80 \text{ min}$. अर्ध-आयु की संख्या $n_B = \frac{80}{40} = 2$.
शेष नाभिक $N_B = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{N_0}{4}$.
शेष नाभिकों का अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0/16}{N_0/4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ है।

(A) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$X_1$ के लिए,$N_1 = N_0 e^{-6\lambda t}$.
$X_2$ के लिए,$N_2 = N_0 e^{-4\lambda t}$.
अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-6\lambda t}}{N_0 e^{-4\lambda t}} = e^{-6\lambda t + 4\lambda t} = e^{-2\lambda t}$.
$\frac{1}{e} = e^{-1}$ के बराबर रखने पर,हमें $e^{-2\lambda t} = e^{-1}$ प्राप्त होता है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-2\lambda t = -1$.
अतः,$t = \frac{1}{2\lambda} \, s$.

(C) मूल नमूने में उपस्थित सक्रिय नाभिकों की संख्या $N_0 = 4 \times 10^{16}$ है।
तत्व की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 10$ दिन है।
$30$ दिनों में अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{30}{10} = 3$ है।
$30$ दिनों के बाद शेष सक्रिय नाभिकों की संख्या $N = \frac{N_0}{2^n} = \frac{4 \times 10^{16}}{2^3} = \frac{4 \times 10^{16}}{8} = 0.5 \times 10^{16}$ है।
क्षयित नाभिकों की संख्या $N_{decayed} = N_0 - N$ द्वारा दी जाती है।
$N_{decayed} = 4 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 3.5 \times 10^{16}$.

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की $t$ समय पर सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t = 1 \text{ घंटा}$ पर,$A(1) = \frac{A_0}{\sqrt{3}}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{A_0}{\sqrt{3}} = A_0 e^{-\lambda(1)}$,जिसका अर्थ है कि $e^{-\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
हमें $3$ घंटे और बाद की सक्रियता ज्ञात करनी है,अर्थात कुल समय $t = 1 + 3 = 4 \text{ घंटे}$ पर।
$A(4) = A_0 e^{-\lambda(4)} = A_0 (e^{-\lambda})^4$.
$e^{-\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ को समीकरण में रखने पर:
$A(4) = A_0 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^4 = A_0 \left(\frac{1}{3^2}\right) = \frac{A_0}{9}$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t = 0$ पर,$N(0) = N_0 = 1000$ है।
समय $t = 2 \ s$ पर,$N(2) = 1000 e^{-2\lambda} = 900$ है।
इसका अर्थ है कि $e^{-2\lambda} = \frac{900}{1000} = 0.9$ है।
समय $t = 4 \ s$ पर,नाभिकों की संख्या $N(4) = N_0 e^{-4\lambda} = N_0 (e^{-2\lambda})^2$ होगी।
मान रखने पर,हमें $N(4) = 1000 \times (0.9)^2$ प्राप्त होता है।
$N(4) = 1000 \times 0.81 = 810$ है।
अतः,$t = 4 \ s$ पर नाभिकों की संख्या $810$ होगी।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि पदार्थ अपने प्रारंभिक मान के $25\%$ तक कम हो जाता है,इसलिए $N(t) = 0.25 N_0 = \frac{1}{4} N_0$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{4} N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{16/T}$.
इसे सरल करने पर $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{16/T}$ प्राप्त होता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$2 = \frac{16}{T}$ प्राप्त होता है।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \frac{16}{2} = 8\, days$ प्राप्त होता है।

(C) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ के नियम का पालन करती है,जहाँ $A$ अंतिम सक्रियता है,$A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है,$t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु काल है।
दिया गया है: $A_0 = 16000 \ counts \ min^{-1}$,$A = 2000 \ counts \ min^{-1}$,और $t = 12 \ h$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2000 = 16000 \times (1/2)^{12/T_{1/2}}$।
दोनों पक्षों को $16000$ से विभाजित करने पर: $2000/16000 = (1/2)^{12/T_{1/2}}$।
$1/8 = (1/2)^{12/T_{1/2}}$।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$,इसलिए $(1/2)^3 = (1/2)^{12/T_{1/2}}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $3 = 12/T_{1/2}$।
$T_{1/2}$ के लिए हल करने पर: $T_{1/2} = 12/3 = 4 \ h$।

(C) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t / T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
पदार्थ $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 20 \ min$। $80 \ min$ में अर्ध-आयु की संख्या $n_A = 80 / 20 = 4$ है।
शेष नाभिक $N_A = N_0 (1/2)^4 = N_0 / 16$।
पदार्थ $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 40 \ min$। $80 \ min$ में अर्ध-आयु की संख्या $n_B = 80 / 40 = 2$ है।
शेष नाभिक $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$।
शेष नाभिकों का अनुपात $N_A / N_B = (N_0 / 16) / (N_0 / 4) = 4 / 16 = 1 / 4$ है।

(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = |dN/dt| = \lambda N$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह दिया गया है कि सक्रियता $1 \ h$ में $4\%$ कम हो जाती है,इसलिए सक्रियता में आंशिक परिवर्तन: $\frac{\Delta A}{A} = 0.04$ और समय अंतराल $\Delta t = 1 \ h$ है।
सूत्र $A = A_0 e^{-\lambda t}$ से,छोटे $\lambda t$ के लिए,हम $A = A_0(1 - \lambda t)$ लिख सकते हैं,जो $\frac{A_0 - A}{A_0} = \lambda t$ देता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $0.04 = \lambda \times (1 \ h)$।
इस प्रकार,क्षय नियतांक $\lambda = 0.04 \ h^{-1}$ प्राप्त होता है।
माध्य जीवनकाल $T$ क्षय नियतांक का व्युत्क्रम होता है: $T = \frac{1}{\lambda}$।
$T = \frac{1}{0.04} \ h = 25 \ h$।

(D) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A(t) = A_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t / T_{1/2}$ व्यतीत अर्ध-आयु की संख्या है।
$t = 48$ वर्ष पर न्यूक्लाइड $X$ के लिए:
अर्ध-आयु की संख्या $n_X = 48 / 24 = 2$.
सक्रियता $A_X = A_0 (1/2)^2 = A_0 / 4$.
$t = 48$ वर्ष पर न्यूक्लाइड $Y$ के लिए:
अर्ध-आयु की संख्या $n_Y = 48 / 16 = 3$.
सक्रियता $A_Y = A_0 (1/2)^3 = A_0 / 8$.
मिश्रण की कुल सक्रियता व्यक्तिगत सक्रियताओं का योग है:
$A_{total} = A_X + A_Y = A_0 / 4 + A_0 / 8 = (2 A_0 + A_0) / 8 = 3 A_0 / 8$.

(B) मान लीजिए कि शुरुआत में रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N_{0}$ है।
$33 \%$ क्षय के बाद,शेष बचे हुए नाभिकों की संख्या $N_{1} = N_{0} - 0.33 N_{0} = 0.67 N_{0}$ है।
$67 \%$ क्षय के बाद,शेष बचे हुए नाभिकों की संख्या $N_{2} = N_{0} - 0.67 N_{0} = 0.33 N_{0}$ है।
हम देखते हैं कि $N_{2} \approx \frac{N_{1}}{2}$,क्योंकि $0.33 N_{0} \approx \frac{0.67 N_{0}}{2}$ होता है।
अर्ध-आयु की परिभाषा के अनुसार,अविघटित नाभिकों की संख्या को अपने प्रारंभिक मान का आधा होने में लगने वाला समय ठीक एक अर्ध-आयु के बराबर होता है।
अतः,पदार्थ को $33 \%$ से $67 \%$ तक क्षय होने में लगा समय पदार्थ की अर्ध-आयु के बराबर,यानी $20 \, minutes$ है।

(A) नमूने की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 15$ वर्ष है।
यदि नमूने का $96.875\%$ क्षय हो जाता है,तो शेष मात्रा $N$,प्रारंभिक मात्रा $N_0$ का $100\% - 96.875\% = 3.125\%$ होगी।
हम लिख सकते हैं $N = N_0 \times \frac{3.125}{100} = N_0 \times \frac{3125}{100000} = N_0 \times \frac{1}{32}$।
चूंकि $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^5$,इसलिए अर्ध-आयु की संख्या $n = 5$ है।
कुल लगा समय $t = n \times T_{1/2} = 5 \times 15 = 75$ वर्ष है।

(D) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
$t$ समय पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $x_1$ के लिए,$N_1(t) = N_0 e^{-(10\lambda)t}$।
पदार्थ $x_2$ के लिए,$N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$।
दिया गया अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e}$ है,इसलिए:
$\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$
$e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$
$e^{-9\lambda t} = e^{-1}$
घातांकों की तुलना करने पर: $-9\lambda t = -1$
अतः,$t = \frac{1}{9\lambda}$।

(D) माना कि रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
समय $t_1$ पर,क्षयित मात्रा $\frac{1}{3}N_0$ है,इसलिए शेष मात्रा $N(t_1) = N_0 - \frac{1}{3}N_0 = \frac{2}{3}N_0$ है।
समय $t_2$ पर,क्षयित मात्रा $\frac{2}{3}N_0$ है,इसलिए शेष मात्रा $N(t_2) = N_0 - \frac{2}{3}N_0 = \frac{1}{3}N_0$ है।
हम देखते हैं कि $N(t_2) = \frac{1}{2} N(t_1)$ है।
चूंकि सक्रिय नाभिकों की संख्या $(t_2 - t_1)$ अंतराल में आधी हो जाती है,इसलिए यह समय अंतराल अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बराबर होगा।
अतः,$t_2 - t_1 = T_{1/2} = 50 \, \text{दिन}$।

(B) माना $N$ रेडियोधर्मी समस्थानिक $X$ की शेष मात्रा है और $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है।
निर्मित स्थिर तत्व $Y$ की मात्रा $N_0 - N$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{N}{N_0 - N} = \frac{1}{15}$ है।
इसका अर्थ है $\frac{N_0 - N}{N} = 15$,इसलिए $\frac{N_0}{N} - 1 = 15$,जिससे $\frac{N_0}{N} = 16$ प्राप्त होता है।
हम रेडियोधर्मी क्षय का नियम जानते हैं: $N = N_0 (\frac{1}{2})^{t/T_{1/2}}$,जहाँ $T_{1/2} = 50$ वर्ष है।
अतः,$\frac{N_0}{N} = 2^{t/T_{1/2}} = 16$।
चूंकि $16 = 2^4$,हमारे पास $\frac{t}{T_{1/2}} = 4$ है।
इसलिए,$t = 4 \times 50 = 200$ वर्ष।

(A) $\alpha$-उत्सर्जन के लिए क्षय नियतांक $\lambda_1 = \frac{1}{\tau_1} = \frac{1}{30} \, \text{year}^{-1}$ है।
$\beta$-उत्सर्जन के लिए क्षय नियतांक $\lambda_2 = \frac{1}{\tau_2} = \frac{1}{60} \, \text{year}^{-1}$ है।
चूंकि नमूना दोनों प्रक्रियाओं द्वारा एक साथ क्षय होता है,इसलिए प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff} = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20} \, \text{year}^{-1}$ है।
प्रभावी औसत जीवनकाल $\tau_{eff} = \frac{1}{\lambda_{eff}} = 20 \, \text{years}$ है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = \tau_{eff} \ln(2) = 20 \times 0.693 = 13.86 \, \text{years}$ है।
नमूने के अपने प्रारंभिक मात्रा के एक-चौथाई तक कम होने के लिए आवश्यक समय $t$,$N(t) = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
चूंकि $(1/2)^2 = 1/4$,हमें $n = 2$ अर्ध-आयु की आवश्यकता है।
इसलिए,$t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 13.86 \approx 27.72 \, \text{years}$,जो लगभग $28 \, \text{years}$ है।

(B) समय $t$ के बाद शेष रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $N_0 = 1.414 \times 10^6$,$N = 10^6$,और $t = 10 \text{ min}$.
मान रखने पर: $10^6 = 1.414 \times 10^6 \times \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{1}{1.414} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
चूँकि $1.414 \approx \sqrt{2}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$(2)^{-1/2} = (2)^{-n}$.
अतः,$n = 1/2$.
चूँकि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,इसलिए $1/2 = \frac{10}{T_{1/2}}$.
$T_{1/2} = 20 \text{ min}$.

(A) समान रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए,क्षय नियतांक (decay constant) $\lambda$ सभी टुकड़ों के लिए समान होता है।
रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = \lambda N$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $N$ समय $t$ पर मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है।
चूंकि $\lambda$ स्थिर है,सक्रियता नाभिकों की संख्या के सीधे आनुपातिक है: $A \propto N$।
किसी भी समय $t$ पर,प्रत्येक टुकड़े में नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ होती है,जहाँ $N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है।
इसलिए,किसी भी समय $t$ पर सक्रियता का अनुपात:
$A_1 : A_2 : A_3 = (\lambda N_{0,1} e^{-\lambda t}) : (\lambda N_{0,2} e^{-\lambda t}) : (\lambda N_{0,3} e^{-\lambda t})$
$A_1 : A_2 : A_3 = N_{0,1} : N_{0,2} : N_{0,3}$
चूंकि सक्रियता का प्रारंभिक अनुपात $1 : 2 : 3$ था,इसलिए नाभिकों की प्रारंभिक संख्या का अनुपात $N_{0,1} : N_{0,2} : N_{0,3}$ भी $1 : 2 : 3$ ही होना चाहिए।
अतः,भविष्य में किसी भी समय उनकी सक्रियता का अनुपात $1 : 2 : 3$ ही रहेगा।

(B) $X$ की अर्ध-आयु $T_{1/2, X} = \frac{0.693}{\lambda_X}$ है।
$Y$ का औसत जीवनकाल $\tau_Y = \frac{1}{\lambda_Y}$ है।
दिया गया है कि $T_{1/2, X} = \tau_Y$,इसलिए $\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_X}{\lambda_Y} = 0.693$।
क्षय दर $R$ को $R = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या $N_X = N_Y = N_0$ है,इसलिए प्रारंभिक क्षय दर $R_X = \lambda_X N_0$ और $R_Y = \lambda_Y N_0$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{R_X}{R_Y} = \frac{\lambda_X}{\lambda_Y} = 0.693$।
चूंकि $0.693 < 1$ है,इसलिए $R_X < R_Y$ होता है,जिसका अर्थ है कि $Y$ प्रारंभ में $X$ की तुलना में तेजी से क्षय होता है।

(D) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = N \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है और $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
क्षय स्थिरांक $\lambda$ अर्ध-आयु $T$ से $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ द्वारा संबंधित है।
समय $T_1$ पर,सक्रियता $R_1 = N_1 \lambda$ है,इसलिए $N_1 = \frac{R_1}{\lambda} = \frac{R_1 T}{\ln 2}$।
समय $T_2$ पर,सक्रियता $R_2 = N_2 \lambda$ है,इसलिए $N_2 = \frac{R_2}{\lambda} = \frac{R_2 T}{\ln 2}$।
$(T_2 - T_1)$ समयांतराल में विघटित हुए परमाणुओं की संख्या इन समयों पर उपस्थित नाभिकों की संख्या का अंतर है: $\Delta N = N_1 - N_2$।
$N_1$ और $N_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta N = \frac{R_1 T}{\ln 2} - \frac{R_2 T}{\ln 2} = \frac{T}{\ln 2} (R_1 - R_2)$।
चूंकि $T$ और $\ln 2$ स्थिरांक हैं,इसलिए विघटित परमाणुओं की संख्या $(R_1 - R_2)$ के समानुपाती है।

(B) समय $t$ पर शेष रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{1}{\tau_{mean}}$ है।
पहली प्रजाति के लिए जिसका औसत जीवनकाल $\tau_1 = \tau$ है,क्षय स्थिरांक $\lambda_1 = \frac{1}{\tau}$ है।
$t = 5\tau$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N_1 = N_0 e^{-\lambda_1 t} = N_0 e^{-(1/\tau)(5\tau)} = N_0 e^{-5} = \frac{N_0}{e^5}$ है।
दूसरी प्रजाति के लिए जिसका औसत जीवनकाल $\tau_2 = 5\tau$ है,क्षय स्थिरांक $\lambda_2 = \frac{1}{5\tau}$ है।
$t = 5\tau$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N_2 = N_0 e^{-\lambda_2 t} = N_0 e^{-(1/5\tau)(5\tau)} = N_0 e^{-1} = \frac{N_0}{e}$ है।
रेडियोधर्मी नाभिकों की कुल संख्या $N_{total} = N_1 + N_2 = \frac{N_0}{e^5} + \frac{N_0}{e}$ है।
$N_0$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$N_{total} = N_0 \left( \frac{1 + e^4}{e^5} \right)$ प्राप्त होता है।

(A) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर $N = N_0$ और $t = 5$ मिनट पर $N = N_0/e$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0}{e} = N_0 e^{-\lambda(5)}$.
इसे सरल करने पर $e^{-1} = e^{-5\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $5\lambda = 1$,इसलिए $\lambda = 1/5 \text{ min}^{-1}$।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ वह समय है जब सक्रियता अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है,अर्थात $N = N_0/2$।
$N = N_0 e^{-\lambda t}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow 2 = e^{\lambda t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln 2 = \lambda t$।
$\lambda = 1/5$ रखने पर: $\ln 2 = \frac{t}{5} \Rightarrow t = 5 \ln 2$ मिनट।

(C) मान लीजिए $N_0$ $X$ के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है। किसी भी समय $T$ पर,$X$ के शेष परमाणुओं की संख्या $N_X(T) = N_0 e^{-\lambda T}$ है।
चूंकि $X$ का क्षय $Y$ में होता है,समय $T$ पर बने $Y$ के परमाणुओं की संख्या $N_Y(T) = N_0(1 - e^{-\lambda T})$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$N_X(T) = N_Y(T)$ होता है।
इसलिए,$N_0 e^{-\lambda T} = N_0(1 - e^{-\lambda T})$.
$e^{-\lambda T} = 1 - e^{-\lambda T} \implies 2e^{-\lambda T} = 1 \implies e^{-\lambda T} = \frac{1}{2}$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-\lambda T = \ln(1/2) = -\ln(2)$.
अतः,$T = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.
चूंकि अर्ध-आयु $t = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ है,इसलिए हमें $T = t$ प्राप्त होता है।

(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
$t = 0$ पर, सक्रियता $N_0$ है।
$t = 5\, \text{minutes}$ पर, सक्रियता $N(5) = N_0/e$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $N_0/e = N_0 e^{-\lambda(5)}$।
यह सरल होकर $e^{-1} = e^{-5\lambda}$ देता है, जिससे $5\lambda = 1$, अर्थात $\lambda = 1/5\, \text{min}^{-1}$।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ वह समय है जब सक्रियता $N_0/2$ हो जाती है।
$N_0/2 = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow 1/2 = e^{-\lambda T_{1/2}}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -\lambda T_{1/2} \Rightarrow -\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$।
$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{\ln 2}{1/5} = 5 \ln 2\, \text{minutes}$।

(A) दिया गया है,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \ min$.
माना पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है।
$33\%$ क्षय पर,शेष मात्रा $N_1 = N_0(1 - 0.33) = 0.67 N_0$ है।
$67\%$ क्षय पर,शेष मात्रा $N_2 = N_0(1 - 0.67) = 0.33 N_0$ है।
रेडियोधर्मी क्षय नियम $N = N_0(1/2)^{t/T_{1/2}}$ का उपयोग करने पर:
$N_1$ के लिए: $0.67 N_0 = N_0(1/2)^{t_1/20} \Rightarrow 0.67 = (1/2)^{t_1/20} \dots (1)$
$N_2$ के लिए: $0.33 N_0 = N_0(1/2)^{t_2/20} \Rightarrow 0.33 = (1/2)^{t_2/20} \dots (2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{0.67}{0.33} = \frac{(1/2)^{t_1/20}}{(1/2)^{t_2/20}} = (1/2)^{(t_1 - t_2)/20}$
चूंकि $0.67/0.33 \approx 2$,इसलिए $2^1 = 2^{(t_2 - t_1)/20}$.
अतः,$(t_2 - t_1)/20 = 1$,जिससे $t_2 - t_1 = 20 \ min$ प्राप्त होता है।

(A) समय $t$ के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए: $N_A = 10 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/1}$.
पदार्थ $B$ के लिए: $N_B = 1 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/2}$.
दिया गया है कि शेष मात्रा समान है, इसलिए $N_A = N_B$.
$10 \left( \frac{1}{2} \right)^t = 1 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/2}$.
$10 = \frac{(1/2)^{t/2}}{(1/2)^t} = (1/2)^{-t/2} = 2^{t/2}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log_{10}(10) = \frac{t}{2} \log_{10}(2)$.
$1 = \frac{t}{2} \times 0.3010$.
$t = \frac{2}{0.3010} \approx 6.64 \, \text{वर्ष}$। (दिए गए विकल्प के अनुसार $6.62$)।

(C) $January \, 1^{st}$ से $January \, 24^{th}$ तक दिनों की संख्या $23 \, days$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{23}{8.04} \approx 2.86$ है।
चूंकि $n < 3$ है,इसलिए नमूने ने अभी तक तीन पूर्ण अर्ध-आयु पूरी नहीं की हैं।
$3$ अर्ध-आयु के बाद,सक्रियता $A = A_0 \times (1/2)^3 = 600 \times (1/8) = 75 \, Bq$ होगी।
चूंकि बीता हुआ समय $(23 \, days)$,$3$ अर्ध-आयु $(3 \times 8.04 = 24.12 \, days)$ से कम है,इसलिए शेष सक्रियता $75 \, Bq$ से अधिक होगी।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,$N_0 = 1000$ है।
$t = 2 \, s$ पर,$N(2) = 900$ है।
अतः,$900 = 1000 e^{-\lambda(2)}$,जिससे हमें $e^{-2\lambda} = 0.9$ प्राप्त होता है।
$t = 4 \, s$ पर,नाभिकों की संख्या $N(4) = N_0 e^{-\lambda(4)} = N_0 (e^{-2\lambda})^2$ होगी।
मान रखने पर: $N(4) = 1000 \times (0.9)^2 = 1000 \times 0.81 = 810$।
अतः,$t = 4 \, s$ पर नाभिकों की संख्या $810$ होगी।

(B) दिया गया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \ min$। क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{20} \ min^{-1}$।
मान लीजिए $N_0$ पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा है।
$20\%$ क्षय पर,शेष मात्रा $N_1 = N_0 - 0.20 N_0 = 0.80 N_0$ है। इसमें लगा समय $t_1$ है।
क्षय नियम $N_1 = N_0 e^{-\lambda t_1}$ का उपयोग करने पर,$0.80 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1}$,अतः $e^{-\lambda t_1} = 0.8$।
$80\%$ क्षय पर,शेष मात्रा $N_2 = N_0 - 0.80 N_0 = 0.20 N_0$ है। इसमें लगा समय $t_2$ है।
क्षय नियम $N_2 = N_0 e^{-\lambda t_2}$ का उपयोग करने पर,$0.20 N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2}$,अतः $e^{-\lambda t_2} = 0.2$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{e^{-\lambda t_1}}{e^{-\lambda t_2}} = \frac{0.8}{0.2} = 4$।
$e^{\lambda(t_2 - t_1)} = 4$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\lambda(t_2 - t_1) = \ln 4 = 2 \ln 2$।
$\lambda = \frac{\ln 2}{20}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\ln 2}{20} (t_2 - t_1) = 2 \ln 2$।
$t_2 - t_1 = 2 \times 20 = 40 \ min$।

(D) प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 0.8\,\mu Ci = 0.8 \times 3.7 \times 10^4\,dps = 29600\,dps$.
समय $t = 10\,hrs$ पर सक्रियता $A_t = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $A_t = 29600 \times 0.84 = 24864\,dps$.
$t = 10\,hrs$ पर $1\,cm^3$ रक्त में सक्रियता $n = 300\,decays/min = 300/60 = 5\,dps$ है।
मान लीजिए रक्त का कुल आयतन $V\,cm^3$ है। कुल सक्रियता $A_t$,$V$ आयतन में वितरित है,इसलिए $A_t = V \times n$.
$V = A_t / n = 24864 / 5 = 4972.8\,cm^3$.
चूंकि $1000\,cm^3 = 1\,litre$,इसलिए $V = 4972.8 / 1000 \approx 5\,litres$.

(D) दिया गया है: $N_1 = 2N_2$.
रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ नाभिकों की संख्या है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
नमूने $S_1$ के लिए: $A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1 = 5\,\mu Ci$ ...... $(i)$
नमूने $S_2$ के लिए: $A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2 = 10\,\mu Ci$ ...... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{\lambda_2 N_2}{\lambda_1 N_1} = \frac{T_1}{T_2} \times \frac{N_2}{N_1} = \frac{10}{5} = 2$
चूंकि $N_1 = 2N_2$,इसलिए $\frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{2}$.
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} \times \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = 4 \Rightarrow T_1 = 4T_2$.
इसका अर्थ है कि $S_1$ की अर्ध-आयु $S_2$ की तुलना में चार गुना है। विकल्पों को देखने पर,यदि $T_2 = 5$ वर्ष है,तो $T_1 = 20$ वर्ष होगा। अतः,अर्ध-आयु क्रमशः $20$ वर्ष और $5$ वर्ष है।

(B) प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0 = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{1}{24} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.51 \times 10^{22}$ है।
$t$ समय में क्षय हुए नाभिकों की संख्या $N_{\beta} = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ है।
यहाँ $t = 7.5 \, hrs$ और $T_{1/2} = 15 \, hrs$ दिया गया है,इसलिए क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ होगा।
अतः,$N_{\beta} = N_0(1 - e^{-\frac{\ln 2}{15} \times 7.5}) = N_0(1 - e^{-\frac{\ln 2}{2}}) = N_0(1 - 2^{-1/2})$।
$2^{-1/2} \approx 0.707$ का उपयोग करने पर,$N_{\beta} = 2.51 \times 10^{22} \times (1 - 0.707) = 2.51 \times 10^{22} \times 0.293 \approx 7.35 \times 10^{21}$ प्राप्त होता है।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$N_{\beta} \approx 7.5 \times 10^{21}$ है।

(B) नाभिकों की संख्या $N$ में परिवर्तन की दर उत्पादन दर और क्षय दर का अंतर है:
$\frac{dN}{dt} = P - \lambda N$
यहाँ $P = 100$ और $\lambda = 0.5$ दिया गया है,इसलिए $\frac{dN}{dt} = 100 - 0.5N$.
$t=0$ $(N=0)$ से $t$ $(N=50)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^N \frac{dN}{100 - 0.5N} = \int_0^t dt$
$-\frac{1}{0.5} [\ln(100 - 0.5N)]_0^N = t$
$-2 [\ln(100 - 0.5N) - \ln(100)] = t$
$\ln \left( \frac{100 - 0.5N}{100} \right) = -0.5t$
$1 - \frac{0.5N}{100} = e^{-0.5t}$
$N = 200(1 - e^{-0.5t})$.
$N = 50$ रखने पर:
$50 = 200(1 - e^{-0.5t})$
$0.25 = 1 - e^{-0.5t}$
$e^{-0.5t} = 0.75 = \frac{3}{4}$
$-0.5t = \ln(3/4) = -\ln(4/3)$
$t = \frac{\ln(4/3)}{0.5} = 2 \ln \left( \frac{4}{3} \right) s$.

(B) दिया गया है,$^{14}C$ के लिए:
प्रारंभिक सक्रियता $A_{0} = 16$ विघटन $\text{min}^{-1} \text{g}^{-1}$.
अंतिम सक्रियता $A = 12$ विघटन $\text{min}^{-1} \text{g}^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = 5760$ वर्ष.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5760} \text{ वर्ष}^{-1}$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $A = A_{0} e^{-\lambda t}$ का उपयोग करने पर,$\frac{A_{0}}{A} = e^{\lambda t}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln\left(\frac{A_{0}}{A}\right) = \lambda t$.
अतः,$t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_{0}}{A}\right) = \frac{t_{1/2}}{0.693} \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{A_{0}}{A}\right)$.
मान रखने पर: $t = \frac{5760}{0.693} \times 2.303 \times \log_{10}\left(\frac{16}{12}\right)$.
$t = \frac{5760 \times 2.303}{0.693} \times \log_{10}(1.333)$.
$t \approx 19142.8 \times 0.1249 \approx 2391$ वर्ष।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 20$ क्षय/मिनट।
अंतिम सक्रियता $A = 2$ क्षय/मिनट।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5730$ वर्ष।
हम जानते हैं कि समय $t$ पर सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ है।
$t$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_0}{A}\right) = \frac{T_{1/2}}{0.693} \times 2.303 \times \log_{10}\left(\frac{A_0}{A}\right)$।
मान रखने पर: $t = \frac{5730}{0.693} \times 2.303 \times \log_{10}\left(\frac{20}{2}\right)$।
चूंकि $\log_{10}(10) = 1$,इसलिए $t = \frac{5730 \times 2.303}{0.693} \approx 5730 \times 3.322$।
$t \approx 19039$ वर्ष।

(D) दिया गया है: $(T_{1/2})_A = (\tau)_B$, जहाँ $\tau$ औसत आयु है।
हम जानते हैं कि $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ और $\tau = \frac{1}{\lambda}$ होता है।
अतः, $\frac{0.693}{\lambda_A} = \frac{1}{\lambda_B}$।
इसका अर्थ है $\lambda_A = 0.693 \lambda_B$, जिसका तात्पर्य है कि $\lambda_A < \lambda_B$।
क्षय की दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में, दोनों तत्वों के लिए परमाणुओं की संख्या $N$ समान है।
चूँकि $\lambda_B > \lambda_A$, इसलिए क्षय दर $R_B = \lambda_B N$, $R_A = \lambda_A N$ से अधिक होगी।
अतः, $B$, $A$ की तुलना में तेज दर से क्षय होगा।