Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 64 \times 10^{-5} \, Ci$,अंतिम सक्रियता $A = 5 \times 10^{-6} \, Ci$,और अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3 \, days$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 \times 10^{-6} = 64 \times 10^{-5} \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
दोनों पक्षों को $64 \times 10^{-5}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5 \times 10^{-6}}{64 \times 10^{-5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
$\frac{0.5}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3} \Rightarrow \frac{1}{128} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
चूंकि $\frac{1}{128} = \left( \frac{1}{2} \right)^7$,इसलिए:
$\left( \frac{1}{2} \right)^7 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$7 = \frac{t}{3} \Rightarrow t = 21 \, days$.

(C) नमूने का क्षय हुआ भाग $\frac{3}{4}$ है।
इसलिए,नमूने का जो भाग क्षय नहीं हुआ है वह $N/N_0 = 1 - 3/4 = 1/4$ है।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $N/N_0 = (1/2)^n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है:
$1/4 = (1/2)^n$
$(1/2)^2 = (1/2)^n$
इससे $n = 2$ प्राप्त होता है।
कुल समय $t$ का मान $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$t = 2 \times 3.8 \ days = 7.6 \ days$।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8}$,इसलिए $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^n$ है।
चूँकि $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$,इसलिए $n = 3$ प्राप्त होता है।
कुल समय $t$ का मान $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$t = 3 \times 3.8 \ days = 11.4 \ days$।

(D) अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना कुल समय $t$ को अर्ध-आयु $T_{1/2}$ से विभाजित करके की जाती है।
$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{72000}{24000} = 3$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 3$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।

(A) अर्ध-आयु की संख्या $n$ का मान $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $t$ कुल समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
यहाँ $t = 5 \text{ वर्ष}$ और $T_{1/2} = 1 \text{ वर्ष}$ दिया गया है,इसलिए $n = \frac{5}{1} = 5$.
रेडियोधर्मी पदार्थ का शेष अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ प्राप्त होता है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय एक परमाणु घटना है जो पूरी तरह से नाभिक की प्रकृति पर निर्भर करती है। यह तापमान,दबाव या रासायनिक वातावरण जैसी बाहरी भौतिक स्थितियों से स्वतंत्र है। इसलिए,एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता को गर्म करके या किसी अन्य भौतिक या रासायनिक विधि द्वारा बदला नहीं जा सकता है। अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n$ इस प्रकार है: $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{10}{5} = 2$.
अविघटित नाभिकों का शेष अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ है।
क्षयित नाभिकों का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
इसे प्रतिशत में बदलने के लिए,$100$ से गुणा करें: $\frac{3}{4} \times 100 = 75\%$.
अतः,$10$ वर्षों में क्षय होने की प्रायिकता $75\%$ है।

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n$,कुल समय $t$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{19}{3.8} = 5$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए,शेष मात्रा $N = N_0 \times (1/2)^n$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$N = 10.38 \times (1/2)^5$.
$N = 10.38 \times \frac{1}{32}$.
$N = 0.324375\, gm$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,शेष मात्रा $0.32\, gm$ है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि $n$ अर्ध-आयु के बाद रेडियोधर्मी पदार्थ का शेष अंश निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$
यहाँ,$n$ अर्ध-आयु की संख्या को दर्शाता है।
यह दिया गया है कि अर्ध-आयु की संख्या $n = 5$ है,इसलिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^5$
अतः,पाँच अर्ध-आयु के बाद शेष बचे प्रारंभिक पदार्थ का अंश $(\frac{1}{2})^5$ है।

(D) क्षय नियतांक $\lambda$,अर्ध-आयु $T_{1/2}$ से समीकरण $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा संबंधित है।
जब $t = T_{1/2}$ होता है,तब $N(t) = N_0 / 2$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$N_0 / 2 = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$,जो सरल होकर $1/2 = e^{-\lambda T_{1/2}}$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,$\ln(1/2) = -\lambda T_{1/2}$,या $-\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$।
चूंकि $\ln 2 = 2.303 \log_{10} 2$,इसलिए व्यंजक $T_{1/2} = \frac{2.303 \log_{10} 2}{\lambda}$ हो जाता है।

(D) $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे रेडियोधर्मी पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ समय अवधि $n = 2$ अर्ध-आयु है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
यह पदार्थ का वह अंश है जो विघटित नहीं हुआ है।
विघटित हुए पदार्थ का अंश $1 - \frac{N}{N_0}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
अतः,विघटित अंश $= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ होगा।

(C) अर्ध-आयु काल की संख्या $n$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{10 \, days}{2.5 \, days} = 4$.
समय $t$ के बाद सक्रियता $A$ का सूत्र $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $A = 1.6 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
$A = 1.6 \times \frac{1}{16} = 0.1 \, curie$.
अतः,$10 \, days$ के बाद सक्रियता $0.1 \, curie$ होगी।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य आयु $\tau$ को $\tau = 1/\lambda$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समय $t = \tau$ पर,शेष पदार्थ की मात्रा $N = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0/e$ होती है।
चूंकि $e \approx 2.718$,इसलिए $N \approx N_0 / 2.718 \approx 0.368 N_0 \approx N_0 / 3$ है।
विघटित हुए पदार्थ की मात्रा $N_{dis} = N_0 - N = N_0 - N_0/e = N_0(1 - 1/e)$ है।
$N_{dis} \approx N_0(1 - 0.368) = 0.632 N_0 \approx 2/3 N_0$ है।
अतः,पदार्थ का लगभग $2/3$ भाग विघटित हो जाता है।

(C) समय $t$ के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t / T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यदि $3/4$ नाभिकों का क्षय हो गया है,तो शेष भाग $1 - 3/4 = 1/4$ है।
अतः,$N/N_0 = 1/4 = (1/2)^2$.
इसकी तुलना $(1/2)^n$ से करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n = t / T_{1/2}$,इसलिए $2 = (3/4) / T_{1/2}$ है।
अतः,$T_{1/2} = (3/4) / 2 = 3/8 \, s$।

(C) समय $t$ के बाद शेष रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
एक रेडियोधर्मी तत्व की माध्य आयु (औसत आयु) को $T_{avg} = \frac{1}{\lambda}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
क्षय समीकरण में $t = \frac{1}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें शेष नाभिकों की संख्या प्राप्त होती है:
$N = N_0 e^{-\lambda (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = \frac{N_0}{e}$।
शेष नाभिकों का अंश $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{e}$ है।
विघटित होने वाला अंश $1 - \frac{N}{N_0}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,विघटित अंश $= 1 - \frac{1}{e} = \frac{e - 1}{e}$ है।

(A) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु वह समय है जो नमूने में मौजूद आधे रेडियोधर्मी नाभिकों के क्षय होने के लिए आवश्यक होता है।
अर्ध-आयु निर्धारित करने के लिए,समय की अवधि में नमूने की सक्रियता (activity) को मापना आवश्यक है।
एक रेडियोधर्मी स्रोत की सक्रियता को क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो प्रति इकाई समय में होने वाले विघटन की संख्या है।
$Geiger-Muller$ काउंटर एक ऐसा उपकरण है जिसे विशेष रूप से रेडियोधर्मी क्षय के दौरान उत्सर्जित कणों या फोटॉनों की संख्या को गिनकर आयनकारी विकिरण का पता लगाने और मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
विभिन्न समय अंतरालों पर काउंट दर को रिकॉर्ड करके,क्षय स्थिरांक और उसके बाद अर्ध-आयु की गणना की जा सकती है।
इसलिए,इस माप के लिए $Geiger-Muller$ काउंटर सही उपकरण है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$,जिसे हम $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु की संख्या $n$,कुल समय $t$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ से $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
यहाँ $t = 40$ दिन और $n = 4$ दिया गया है,इसलिए $4 = \frac{40}{T_{1/2}}$।
अतः,$T_{1/2} = \frac{40}{4} = 10$ दिन।

(A) $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दी जाती है।
यदि तत्व का $99\%$ क्षय हो जाता है,तो शेष मात्रा $N = N_0 - 0.99 N_0 = 0.01 N_0$ होगी।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $0.01 N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$।
$\frac{1}{100} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$।
व्युत्क्रम लेने पर: $100 = 2^n$।
हम जानते हैं कि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ होता है।
चूंकि $64 < 100 < 128$ है,इसलिए $n$ का मान $6$ और $7$ अर्ध-आयु के बीच होगा।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ है。
दिया गया है:
प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 1 \, mg$
कुल समय $t = 8.1 \, \text{दिन}$
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2.7 \, \text{दिन}$
सबसे पहले, अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{8.1}{2.7} = 3$
अब, मानों को क्षय सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$N = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$N = \frac{1}{8} = 0.125 \, mg$
अतः, $8.1 \, \text{दिन}$ के बाद शेष मात्रा $0.125 \, mg$ है。

(C) एक रेडियोधर्मी तत्व का औसत जीवनकाल $(\tau)$ उसके क्षय नियतांक $(\lambda)$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,$\lambda = 1.5 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1}$।
औसत जीवनकाल का सूत्र $\tau = \frac{1}{\lambda}$ है।
$\lambda$ का मान रखने पर:
$\tau = \frac{1}{1.5 \times 10^{-9}} \text{ s}$।
$\tau = \frac{1}{1.5} \times 10^9 \text{ s}$।
$\tau = 0.6666... \times 10^9 \text{ s}$।
$\tau = 6.67 \times 10^8 \text{ s}$।
अतः,औसत जीवनकाल $6.67 \times 10^8 \text{ s}$ है।

(C) $t$ समय के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ सूत्र द्वारा दी जाती है, जहाँ $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है, $t$ बीता हुआ समय है और $T$ अर्ध-आयु है。
दिया गया है: $N_0 = 10 \, g$, $t = 20 \, \text{वर्ष}$, $T = 15 \, \text{वर्ष}$.
मान रखने पर: $N = 10 \times (2)^{-20/15} = 10 \times (2)^{-4/3} = 10 \times (2)^{-1.333}$.
गणना करने पर: $2^{1.333} \approx 2.5198$.
अतः, $N = 10 / 2.5198 \approx 3.968 \, g$.
विघटित पदार्थ की मात्रा $N_{\text{decayed}} = N_0 - N$ है。
$N_{\text{decayed}} = 10 - 3.968 = 6.032 \, g$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, विघटित पदार्थ $6.04 \, g$ है。

(B) समय $t$ के बाद अविघटित बचे रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ के बाद क्षय हुए नाभिकों की संख्या $N_d = N_0 - N = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ है।
एक माध्य आयु (mean life) को $\tau = \frac{1}{\lambda}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
क्षय समीकरण में $t = \tau = \frac{1}{\lambda}$ रखने पर:
$N_d = N_0(1 - e^{-\lambda \times \frac{1}{\lambda}}) = N_0(1 - e^{-1}) = N_0(1 - \frac{1}{e})$.
$e \approx 2.718$ का मान उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{e} \approx 0.368$ प्राप्त होता है।
अतः,$N_d = N_0(1 - 0.368) = N_0(0.632) = 63.2\% \text{ of } N_0$.
इस प्रकार,एक माध्य आयु के दौरान लगभग $63\%$ प्रारंभिक नाभिकों का क्षय हो जाएगा।

(D) रेडियोएक्टिविटी की $S.I.$ इकाई बेक्वेरल है, जिसे $Bq$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
एक बेक्वेरल को रेडियोधर्मी पदार्थ की उस मात्रा की सक्रियता के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रति सेकंड एक नाभिक का क्षय होता है।
गणितीय रूप से, $1 \ Bq = 1 \ \text{disintegration per second} \ (dps)$।
अन्य इकाइयाँ जैसे क्यूरी $(Ci)$ और रदरफोर्ड $(Rd)$ का भी उपयोग किया जाता है, जहाँ $1 \ Ci = 3.7 \times 10^{10} \ Bq$ और $1 \ Rd = 10^6 \ Bq$ होता है।

(B) $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N$ और प्रारंभिक मात्रा $N_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
यहाँ $N_0 = 16 \, gm$ और $N = 1 \, gm$ दिया गया है:
$1 = 16 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
अतः,अर्ध-आयु की संख्या $n = 4$ है।
हम जानते हैं कि $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,जहाँ $t$ कुल समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
$4 = \frac{120}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = \frac{120}{4} = 30 \, days$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है $T_{1/2} = 10 \text{ वर्ष}$ और $N = \frac{1}{4} N_0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{4} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
चूंकि $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $2 = \frac{t}{10}$.
अतः,$t = 20 \text{ वर्ष}$.

(A) रेडियोधर्मी पदार्थ की शेष मात्रा के लिए सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
यहाँ प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0$ है,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5 \text{ वर्ष}$ है और व्यतीत समय $t = 15 \text{ वर्ष}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{5}}$
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$N = N_0 \left( \frac{1}{8} \right) = \frac{N_0}{8}$.
अतः,$15 \text{ वर्ष}$ बाद शेष बचे पदार्थ की मात्रा $\frac{N_0}{8}$ होगी।

(B) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
यह दिया गया है कि सक्रियता $t = 60 \ s$ में अपने मूल मान का $\frac{1}{64}$ हो जाती है,इसलिए:
$\frac{A}{A_0} = \frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{60}{T_{1/2}}}$
चूंकि $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^6$,हम घातांकों की तुलना कर सकते हैं:
$6 = \frac{60}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = \frac{60}{6} = 10 \ s$.
अतः,अर्ध-आयु काल $10 \ s$ है।

(C) किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $A = A_0 e^{-\lambda t}$।
चूंकि माध्य आयु $T = 1/\lambda$ है,हम समीकरण को $A = A_0 e^{-t/T}$ के रूप में लिख सकते हैं।
समय $t_1$ पर,सक्रियता $A_1 = A_0 e^{-t_1/T}$ है। इससे,हमें $A_0 = A_1 e^{t_1/T}$ प्राप्त होता है।
समय $t_2$ पर,सक्रियता $A_2 = A_0 e^{-t_2/T}$ है।
$A_2$ के समीकरण में $A_0$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A_2 = (A_1 e^{t_1/T}) e^{-t_2/T} = A_1 e^{(t_1 - t_2)/T}$।
अतः,सही संबंध $A_2 = A_1 e^{(t_1 - t_2)/T}$ है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि समय $t$ पर गतिविधि $A = A_0 (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि गतिविधि अपने प्रारंभिक मान के $\frac{1}{16}$ तक क्षय हो जाती है,इसलिए $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{16}$ है।
चूंकि $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,इसलिए हमें $n = 4$ प्राप्त होता है।
कुल लगा समय $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_{1/2} = 100 \mu s$ है।
अतः,$t = 4 \times 100 \mu s = 400 \mu s$।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{t/T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ शेष मात्रा है,$N_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$t$ बीता हुआ समय है और $T$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है,$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ और $T = 48 \text{ घंटे}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{t/48}$.
चूंकि $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,इसलिए $(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{t/48}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $4 = \frac{t}{48}$.
अतः,$t = 4 \times 48 = 192 \text{ घंटे}$.

(C) औसत जीवनकाल $\tau = 5 \text{ घंटे}$ दिया गया है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और औसत जीवनकाल के बीच संबंध $\tau = \frac{1}{\lambda}$ है।
$t$ समय के बाद बचे हुए रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$t = \tau = \frac{1}{\lambda}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $N(\tau) = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = \frac{N_0}{e} \approx \frac{N_0}{2.718} \approx 0.368 N_0$.
क्षयित हुए नाभिकों की संख्या $N_{decayed} = N_0 - N(\tau) = N_0 - 0.368 N_0 = 0.632 N_0$ है।
इसका अर्थ है कि $63.2\%$ नाभिकों का क्षय हो चुका है,जो आधे $(50\%)$ से अधिक है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने का द्रव्यमान क्षय नियम द्वारा दिया जाता है: $M = M_0 e^{-\lambda t}$.
यहाँ,$M_0 = 10 \, g$ और समय $t$ दो माध्य आयु के बराबर दिया गया है,अर्थात $t = 2 \tau$,जहाँ $\tau = \frac{1}{\lambda}$ माध्य आयु है।
क्षय समीकरण में $t = \frac{2}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$M = 10 e^{-\lambda (2/\lambda)} = 10 e^{-2}$.
$e \approx 2.718$ का मान उपयोग करने पर,$e^2 \approx 7.389$ प्राप्त होता है।
$M = \frac{10}{7.389} \approx 1.35 \, g$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) किसी समय $t$ पर विघटन दर $A$ को $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$t = 0$ पर $A_0 = 5000$ विघटन प्रति मिनट।
$5$ मिनट बाद,$A = 1250$ विघटन प्रति मिनट।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $1250 = 5000 e^{-\lambda (5)}$.
दोनों पक्षों को $5000$ से विभाजित करने पर: $\frac{1250}{5000} = e^{-5\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-5\lambda}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/4) = -5\lambda$.
$-\ln(4) = -5\lambda$.
$\ln(2^2) = 5\lambda$.
$2 \ln 2 = 5\lambda$.
$\lambda = \frac{2}{5} \ln 2 = 0.4 \ln 2 \text{ प्रति मिनट}$.

(B) समय $t$ पर शेष परमाणुओं की संख्या का सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है,जहाँ $N_0 = 8 \times 10^{10}$ और $T_{1/2} = 1 \text{ hour}$ है।
$t = 2 \text{ hours}$ पर शेष परमाणुओं की संख्या:
$N_1 = 8 \times 10^{10} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{1}} = 8 \times 10^{10} \times \frac{1}{4} = 2 \times 10^{10}$.
$t = 4 \text{ hours}$ पर शेष परमाणुओं की संख्या:
$N_2 = 8 \times 10^{10} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{4}{1}} = 8 \times 10^{10} \times \frac{1}{16} = 0.5 \times 10^{10}$.
$t = 2 \text{ hours}$ और $t = 4 \text{ hours}$ के बीच क्षयित होने वाले परमाणुओं की संख्या इन दो समयों पर मौजूद परमाणुओं की संख्या का अंतर है:
$\Delta N = N_1 - N_2 = (2 - 0.5) \times 10^{10} = 1.5 \times 10^{10}$.

(B) कार्बन डेटिंग का उपयोग मुख्य रूप से जीवाश्मों जैसे कार्बनिक पदार्थों की आयु निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
यह रेडियोधर्मी समस्थानिक कार्बन-$14$ $(^{14}C)$ के क्षय पर निर्भर करता है,जिसका अर्ध-आयु काल लगभग $5730$ वर्ष है।
$^{14}C$ के अर्ध-आयु काल के कारण,यह विधि लगभग $45,000$ से $50,000$ वर्ष पुराने नमूनों की आयु निर्धारित करने के लिए प्रभावी है।
इसलिए,कार्बन डेटिंग के लिए सबसे उपयुक्त आयु सीमा $10^4$ वर्ष के क्रम की है।
बहुत पुराने भूवैज्ञानिक नमूनों के लिए,पोटेशियम-आर्गन डेटिंग जैसी अन्य विधियों को प्राथमिकता दी जाती है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $A = A_0 (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 240$ काउंट/मिनट और अंतिम सक्रियता $A = 30$ काउंट/मिनट दी गई है।
मान रखने पर: $30 = 240 (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 30/240 = 1/8$.
$(1/2)^n = (1/2)^3$,जिसका अर्थ है $n = 3$.
कुल बीता हुआ समय $t = 1$ घंटा = $60$ मिनट है।
चूँकि $n = t / T_{1/2}$,इसलिए $3 = 60 / T_{1/2}$.
अतः,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 60 / 3 = 20$ मिनट है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
यहाँ, प्रारंभिक द्रव्यमान $M_0 = 100 \, g$, शेष द्रव्यमान $M = 25 \, g$, और अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1600 \, years$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$25 = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
$\frac{25}{100} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
चूंकि $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, इसलिए:
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$2 = \frac{t}{1600}$
$t = 2 \times 1600 = 3200 \, years$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t = 9$ वर्षों के बाद,सक्रियता $R = \frac{R_0}{3}$ हो जाती है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R_0}{3} = R_0 e^{-\lambda \times 9}$,जिसका अर्थ है $e^{-9\lambda} = \frac{1}{3}$ ... $(i)$.
अगले $9$ वर्षों के बाद,कुल व्यतीत समय $t = 9 + 9 = 18$ वर्ष है।
नई सक्रियता $R'$ को $R' = R_0 e^{-\lambda \times 18}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इसे $R' = R_0 (e^{-9\lambda})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर: $R' = R_0 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{R_0}{9}$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार, $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ को उसकी मूल मात्रा के एक-चौथाई $(N = N_0/4)$ तक कम करने के लिए, $(1/2)^n = 1/4$ होगा, जिसका अर्थ है $n = 2$।
चूंकि एक अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ $40 \, \text{वर्ष}$ है, इसलिए कुल लगा समय $t = n \times T_{1/2} = 2 \times 40 = 80 \, \text{वर्ष}$ होगा।
क्षय नियतांक $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ है।
दिए गए मान को रखने पर: $\lambda = \frac{0.693}{40} = 0.0173 \, \text{वर्ष}^{-1}$।

(D) रेडियोधर्मी पदार्थ के शेष द्रव्यमान का सूत्र $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
यहाँ, प्रारंभिक द्रव्यमान $M_0 = 20\, mg$, कुल समय $t = 36\, \text{दिन}$, और अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3.6\, \text{दिन}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{36}{3.6} = 10$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = 20 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$.
$M = 20 \times \frac{1}{1024}$.
$M = 0.01953125\, mg$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $M \approx 0.019\, mg$ प्राप्त होता है।

(C) समय $t$ के बाद शेष बचे रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या का सूत्र है: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$।
यहाँ,प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 10$ दिन है,और कुल समय $t = 30$ दिन है।
पदार्थ का शेष अंश $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{10}}$ है।
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$।
$\frac{N}{N_0} = 0.125$।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{A}{A_0} = (\frac{1}{2})^{t/T_{1/2}}$, जहाँ $A$ अंतिम सक्रियता है, $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है, $t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि सक्रियता अपने मूल मान के $1/8$ तक कम हो जाती है, इसलिए $\frac{A}{A_0} = 1/8$.
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 8$ वर्ष है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $1/8 = (\frac{1}{2})^{t/8}$.
चूंकि $1/8 = (\frac{1}{2})^3$, हम लिख सकते हैं: $(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^{t/8}$.
घातांकों की तुलना करने पर, हमें मिलता है $3 = t/8$.
इसलिए, $t = 3 \times 8 = 24$ वर्ष।

(B) रेडियोधर्मी पदार्थ की शेष मात्रा के लिए सूत्र $N = N_0 \times (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{11400}{5700} = 2$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$N = N_0 \times (1/2)^2$
$N = N_0 \times (1/4)$
$N = 0.25 N_0$.
अतः,शेष बची मात्रा मूल मात्रा का $0.25$ गुना है।

(D) माध्य जीवनकाल $(T)$ का सूत्र $T = 1/\lambda = 100 \, \text{s}$ है।
अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ और क्षय नियतांक $(\lambda)$ के बीच का संबंध $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ है।
$\lambda = 1/T$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T_{1/2} = 0.693 \times T$ प्राप्त होता है।
यहाँ $T = 100 \, \text{s}$ दिया गया है,इसलिए सेकंड में अर्ध-आयु $T_{1/2} = 0.693 \times 100 = 69.3 \, \text{s}$ होगी।
अर्ध-आयु को मिनटों में बदलने के लिए,इसे $60$ से विभाजित करें:
$T_{1/2} = \frac{69.3}{60} \, \text{min} = 1.155 \, \text{min}$.

(C) रेडियोधर्मिता एक प्राकृतिक घटना है जिसमें परमाणु अस्थिरता के परिणामस्वरूप नाभिक से कण उत्सर्जित होते हैं।
यह एक स्वतःस्फूर्त परमाणु प्रक्रिया है और यह तापमान,दबाव या रासायनिक वातावरण जैसे बाहरी कारकों पर निर्भर नहीं करती है।
चूंकि नाभिक प्रबल परमाणु बल और इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रतिकर्षण बल के बीच तीव्र संघर्ष का अनुभव करता है,इसलिए कई परमाणु समस्थानिक अस्थिर होते हैं और अधिक स्थिर स्थिति प्राप्त करने के लिए विकिरण उत्सर्जित करते हैं।

(B) क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
दिया गया है कि अर्ध-आयु $T_{1/2} = 77 \, days$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\lambda = \frac{0.693}{77}$.
गणना करने पर: $\lambda = 0.009 \, day^{-1}$.
वैज्ञानिक संकेतन में लिखने पर: $\lambda = 9 \times 10^{-3} \, day^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ शेष नाभिकों की संख्या है,$N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है,$t$ बीता हुआ समय है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
यहाँ दिया गया है कि बीता हुआ समय अर्ध-आयु का आधा है,इसलिए $t = \frac{1}{2} T_{1/2}$ है।
इस मान को क्षय सूत्र में रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{(T_{1/2}/2) / T_{1/2}}$
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2}$
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,शेष नाभिकों का भाग $1/\sqrt{2}$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय एक स्वतःस्फूर्त और सांख्यिकीय प्रक्रिया है जो प्रायिकता के नियमों द्वारा शासित होती है।
किसी भी दिए गए रेडियोधर्मी नाभिक के लिए,प्रति इकाई समय क्षय की संभावना (क्षय स्थिरांक,$\lambda$) उस विशिष्ट न्यूक्लाइड का एक अभिलक्षणिक गुण है।
यह संभावना नाभिक की आयु या उसके निर्माण के इतिहास पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,दोनों नाभिक,एक ही रेडियोधर्मी न्यूक्लाइड के होने के कारण,समान क्षय संभावना रखते हैं,चाहे वे $5$ अरब साल पहले बने हों या $5$ मिनट पहले।
अतः,क्षय की संभावना निर्माण के समय से स्वतंत्र है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ है,जहाँ $N/N_0 = 1/20$ है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{0.6931}{T_{1/2}} = \frac{0.6931}{3.8 \ days}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{20} = e^{-\lambda t}$,जिसका अर्थ है $20 = e^{\lambda t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln 20 = \lambda t$।
इसे $10$ के आधार वाले लघुगणक में बदलने पर: $2.303 \log_{10} 20 = \lambda t$।
दिया गया है कि $\log_{10} 20 = 1.3010$।
अतः,$t = \frac{2.303 \times 1.3010 \times 3.8}{0.6931} \approx 16.43 \ days$।
इस प्रकार,सही उत्तर $16.5 \ days$ है।

(C) मान लीजिए रेडियोधर्मी समस्थानिक $X$ की प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है।
कुछ समय $t$ के बाद,$X$ की शेष मात्रा $N_X$ है और $Y$ की बनी मात्रा $N_Y$ है।
दिए गए अनुपात $N_X : N_Y = 1 : 7$ के अनुसार,कुल मात्रा $N_X + N_Y = N_0$ है।
अतः,$N_X = \frac{1}{1+7} N_0 = \frac{1}{8} N_0$।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए,$N_X = N_0 (\frac{1}{2})^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$\frac{1}{8} N_0 = N_0 (\frac{1}{2})^n \implies (\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^n \implies n = 3$।
चट्टान की आयु $t = n \times T_{1/2} = 3 \times 1.37 \times 10^9$ वर्ष $= 4.11 \times 10^9$ वर्ष।