Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(A) अविघटित नाभिकों की संख्या $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t/T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है: $t = 2 \text{ दिन} = 48 \text{ घंटे}$.
पहले तत्व के लिए: $n_1 = 48/12 = 4$.
दूसरे तत्व के लिए: $n_2 = 48/16 = 3$.
प्रारंभिक अनुपात $(N_0)_1 / (N_0)_2 = 2/1$ है।
$48 \text{ घंटे}$ बाद अविघटित भागों का अनुपात:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{(N_0)_1}{(N_0)_2} \times \frac{(1/2)^{n_1}}{(1/2)^{n_2}}$
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{2}{1} \times \frac{(1/2)^4}{(1/2)^3} = 2 \times (1/2)^{4-3} = 2 \times (1/2)^1 = 1$.
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(B) $n$ अर्ध-आयु के बाद रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $A$ का सूत्र है: $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$,जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ है।
दिया गया है कि सक्रियता प्रारंभिक सक्रियता $A_0$ का $1/64$ हो जाती है,इसलिए $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{64}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ प्राप्त होता है।
चूँकि $64 = 2^6$,हम लिख सकते हैं कि $\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$,जिससे $n = 6$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2 \text{ घंटे}$ दी गई है,अतः कुल समय $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 2 = 12 \text{ घंटे}$ होगा।

(C) समय $t$ पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक सक्रियता है और $T_{1/2}$ अर्ध-आयु (half-life) है।
दिया गया है $A_0 = 1600$,$t = 8 \, s$ पर $A = 100$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $100 = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$.
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$.
चूँकि $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$,इसलिए $4 = \frac{8}{T_{1/2}}$,जिससे $T_{1/2} = 2 \, s$ प्राप्त होता है।
अब,$t = 6 \, s$ पर सक्रियता ज्ञात करने के लिए:
$A = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{6/2} = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^3$.
$A = 1600 \times \frac{1}{8} = 200$.

(C) न्यूट्रॉन का वेग $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 0.0837 \times 1.602 \times 10^{-19}}{1.675 \times 10^{-27}}} \approx 4000 \, m/s = 4 \times 10^3 \, m/s$.
$40 \, m$ की दूरी तय करने में लगा समय $\Delta t = \frac{d}{v} = \frac{40}{4 \times 10^3} = 10^{-2} \, s$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{693} = 10^{-3} \, s^{-1}$.
अविभाजित कणों का अंश $N/N_0 = e^{-\lambda \Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\lambda \Delta t = 10^{-3} \times 10^{-2} = 10^{-5}$ बहुत छोटा है,इसलिए $e^{-\lambda \Delta t} \approx 1 - \lambda \Delta t$ का उपयोग करते हैं।
अतः क्षयित भाग $\approx \lambda \Delta t = 10^{-5}$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ है,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
यदि हम मानते हैं कि $6$ दिनों में क्षयित अंश $7/8$ है,तो अविभाजित अंश $N/N_0 = 1 - 7/8 = 1/8$ होगा।
अतः,$1/8 = (1/2)^{6/T_{1/2}} \Rightarrow (1/2)^3 = (1/2)^{6/T_{1/2}}$।
इससे $3 = 6/T_{1/2}$ प्राप्त होता है,अर्थात $T_{1/2} = 2$ दिन।
अब $10$ दिनों के बाद अविभाजित अंश $N/N_0 = (1/2)^{10/2} = (1/2)^5 = 1/32$ होगा।
यदि प्रश्न क्षयित अंश के बारे में पूछ रहा है,तो वह $1 - 1/32 = 31/32$ होगा।

(B) क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या है।
$33\%$ क्षय के बाद,अविघटित नाभिकों की संख्या $N_1 = N_0(1 - 0.33) = 0.67 N_0$ है।
$67\%$ क्षय के बाद,अविघटित नाभिकों की संख्या $N_2 = N_0(1 - 0.67) = 0.33 N_0$ है।
ध्यान दें कि $0.33 N_0 \approx \frac{0.67 N_0}{2}$ है।
चूंकि एक अर्ध-आयु $(T_{1/2} = 20 \, minutes)$ के दौरान अविघटित नाभिकों की संख्या आधी हो जाती है,इसलिए जनसंख्या को $0.67 N_0$ से $0.33 N_0$ तक कम होने में लगा समय अंतराल ठीक एक अर्ध-आयु के बराबर है।
अतः,समय अंतराल $20 \, minutes$ है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,किसी भी समय $t$ पर सक्रियता $R$ का मान $R = R_0 e^{-\lambda t}$ होता है।
समय $t_1$ पर,सक्रियता $R_1 = R_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
समय $t_2$ पर,सक्रियता $R_2 = R_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 e^{-\lambda t_1}}{R_0 e^{-\lambda t_2}} = e^{-\lambda t_1} \cdot e^{\lambda t_2} = e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$.
अतः,$R_1 = R_2 e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$।

(C) दिया गया है: क्षय नियतांक $\lambda_{A} = 5\lambda$ और $\lambda_{B} = \lambda$.
$t=0$ पर,नाभिकों की प्रारंभिक संख्या समान है,अर्थात $(N_{0})_{A} = (N_{0})_{B}$.
हमें अनुपात $\frac{N_{A}}{N_{B}} = (\frac{1}{e})^{2} = e^{-2}$ दिया गया है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$N = N_{0}e^{-\lambda t}$.
पदार्थ $A$ के लिए,$N_{A} = (N_{0})_{A} e^{-5\lambda t}$.
पदार्थ $B$ के लिए,$N_{B} = (N_{0})_{B} e^{-\lambda t}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{N_{A}}{N_{B}} = \frac{(N_{0})_{A} e^{-5\lambda t}}{(N_{0})_{B} e^{-\lambda t}} = e^{-(5\lambda - \lambda)t} = e^{-4\lambda t}$.
अनुपातों की तुलना करने पर:
$e^{-4\lambda t} = e^{-2}$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$4\lambda t = 2$.
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = \frac{2}{4\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$.

(A) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $X_1$ के लिए: $N_1(t) = N_0 e^{-(5\lambda)t}$।
पदार्थ $X_2$ के लिए: $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$।
अनुपात $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0 e^{-5\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$।
$e^{-5\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$।
$e^{-4\lambda t} = e^{-1}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4\lambda t = -1$।
अतः,$t = \frac{1}{4\lambda}$।

(D) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,समय $t$ पर सक्रियता $R = R_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर $R_0 = N_0$ और $t = 5$ मिनट पर $R = N_0/e$ है।
इन मानों को क्षय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$N_0/e = N_0 e^{-5\lambda}$
$e^{-1} = e^{-5\lambda}$
घातांकों की तुलना करने पर,$5\lambda = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 1/5$ प्रति मिनट।
अर्ध-आयु $T_{1/2}$ वह समय है जब सक्रियता अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है,अर्थात $R = R_0/2$।
$R = R_0 e^{-\lambda t}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $R_0/2 = R_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$।
$1/2 = e^{-\lambda T_{1/2}}$
$2 = e^{\lambda T_{1/2}}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(2) = \lambda T_{1/2}$
$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \frac{\log_e 2}{1/5} = 5 \log_e 2$ मिनट।

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को $A = \lambda N$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $N$ उस समय उपस्थित अविघटित नाभिकों की संख्या है।
समय $t_1$ पर,सक्रियता $A_1 = \lambda N_1$ है,जिसका अर्थ है $N_1 = A_1 / \lambda$।
समय $t_2$ पर,सक्रियता $A_2 = \lambda N_2$ है,जिसका अर्थ है $N_2 = A_2 / \lambda$।
$(t_1 - t_2)$ समयांतराल के दौरान क्षय हुए नाभिकों की संख्या,समय $t_1$ और $t_2$ पर उपस्थित नाभिकों की संख्या का अंतर है।
क्षय हुए नाभिकों की संख्या $= N_1 - N_2 = \frac{A_1}{\lambda} - \frac{A_2}{\lambda} = \frac{A_1 - A_2}{\lambda}$।

(B) मान लीजिए $N_0$ रेडियोधर्मी समस्थानिक $X$ की प्रारंभिक मात्रा है और $N$ समय $t$ के बाद बची हुई मात्रा है।
$X$ और $Y$ का अनुपात $1:15$ दिया गया है, इसलिए कुल मात्रा $N_0 = N + N_Y = N + 15N = 16N$ है।
अतः, शेष समस्थानिक का अंश $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है:
$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies n = 4$.
चट्टान की आयु $t$ का मान $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $T_{1/2} = 50$ वर्ष दिया गया है, इसलिए $t = 4 \times 50 = 200$ वर्ष।

(D) $t = 0$ पर,$N_P(0) = 4N_0$ और $N_Q(0) = N_0$ है।
समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N(t) = N(0) \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
$P$ के लिए,$N_P(t) = 4N_0 \cdot (1/2)^{t/1} = 4N_0 \cdot 2^{-t}$ है।
$Q$ के लिए,$N_Q(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/2} = N_0 \cdot 2^{-t/2}$ है।
दिया गया है कि $N_P(t) = N_Q(t),$ इसलिए $4N_0 \cdot 2^{-t} = N_0 \cdot 2^{-t/2}$ है।
$N_0$ से विभाजित करने पर,$4 = 2^t / 2^{t/2} = 2^{t/2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $4 = 2^2,$ इसलिए $t/2 = 2,$ अर्थात $t = 4 \text{ मिनट}$ है।
$t = 4 \text{ मिनट}$ पर,
$N_P(4) = 4N_0 \cdot (1/2)^4 = 4N_0 / 16 = N_0/4$ है।
$N_Q(4) = N_0 \cdot (1/2)^{4/2} = N_0 / 4$ है।
$R$ के नाभिकों की संख्या $P$ और $Q$ के क्षयित नाभिकों की कुल संख्या है।
$N_R = (N_P(0) - N_P(4)) + (N_Q(0) - N_Q(4))$
$N_R = (4N_0 - N_0/4) + (N_0 - N_0/4) = 15N_0/4 + 3N_0/4 = 18N_0/4 = 9N_0/2$ है।

(D) मान लीजिए कि $t \, s$ के बाद $A_1$ और $A_2$ की मात्रा समान हो जाती है।
समय $t$ के बाद रेडियोधर्मी पदार्थ की शेष मात्रा $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
$A_1$ के लिए: $N_1 = 40 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/20}$.
$A_2$ के लिए: $N_2 = 160 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
$N_1 = N_2$ रखने पर:
$40 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/20} = 160 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
दोनों पक्षों को $40$ से विभाजित करने पर:
$\left( \frac{1}{2} \right)^{t/20} = 4 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
$2^{-x} = \frac{1}{2^x}$ गुण का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2^{t/20}} = 4 \cdot \frac{1}{2^{t/10}}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{2^{t/10}}{2^{t/20}} = 4$.
$2^{(t/10 - t/20)} = 2^2$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$\frac{t}{10} - \frac{t}{20} = 2$.
$\frac{2t - t}{20} = 2$.
$\frac{t}{20} = 2 \Rightarrow t = 40 \, s$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$N = N_0 e^{-\lambda t}$,जहाँ $N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है और $N$ समय $t$ पर शेष बचे नाभिकों की संख्या है।
समय $t_2$ पर,नमूने का $2/3$ भाग क्षय हो गया है,इसलिए शेष मात्रा $N = N_0 - (2/3)N_0 = (1/3)N_0$ है।
अतः,$(1/3)N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2} \Rightarrow e^{-\lambda t_2} = 1/3$ ...... $(i)$
समय $t_1$ पर,नमूने का $1/3$ भाग क्षय हो गया है,इसलिए शेष मात्रा $N = N_0 - (1/3)N_0 = (2/3)N_0$ है।
अतः,$(2/3)N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1} \Rightarrow e^{-\lambda t_1} = 2/3$ ...... $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{e^{-\lambda t_2}}{e^{-\lambda t_1}} = \frac{1/3}{2/3} = 1/2$.
यह सरल होकर $e^{-\lambda(t_2 - t_1)} = 1/2$,या $e^{\lambda(t_2 - t_1)} = 2$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\lambda(t_2 - t_1) = \ln 2$.
चूंकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$,इसलिए $(t_2 - t_1) = \frac{\ln 2}{\lambda} = T_{1/2}$ है।
दिया गया है कि $T_{1/2} = 50$ दिन,अतः समयांतराल $(t_2 - t_1) = 50$ दिन है।

(A) मान लीजिए कि $X$ के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
$t$ समय के बाद,$X$ के शेष परमाणुओं की संख्या $N$ है और बने हुए $Y$ परमाणुओं की संख्या $N_0 - N$ है।
प्रश्न के अनुसार,$X$ और $Y$ का अनुपात $\frac{N}{N_0 - N} = \frac{1}{7}$ है।
इसका अर्थ है $7N = N_0 - N$,जो $8N = N_0$ या $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8}$ में सरल हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
अतः,$(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^n$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।
चट्टान की आयु $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $T_{1/2} = 20$ वर्ष दिया गया है,इसलिए $t = 3 \times 20 = 60$ वर्ष।
अतः,चट्टान की आयु $60$ वर्ष है।

(C) दिया गया है कि रेडियोआइसोटोप $X$ और स्थिर आइसोटोप $Y$ की मात्रा का अनुपात $\frac{X}{Y} = \frac{1}{7}$ है।
प्रारंभिक नमूने की कुल मात्रा $X + Y$ है। शेष रेडियोआइसोटोप $X$ का अंश $\frac{X}{X+Y} = \frac{1}{1+7} = \frac{1}{8}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष अंश $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यतीत अर्ध-आयु की संख्या $n = 3$ है।
चट्टान की आयु $t$,$t = n \times T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
$t = 3 \times 1.4 \times 10^{9} \text{ years} = 4.2 \times 10^{9} \text{ years}$.

(B) मान लीजिए कि $t=0$ समय पर नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_{0}$ है।
$40\%$ क्षय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N_{1}$ है:
$N_{1} = (1 - 0.40) N_{0} = 0.6 N_{0}$
$85\%$ क्षय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N_{2}$ है:
$N_{2} = (1 - 0.85) N_{0} = 0.15 N_{0}$
अब,शेष नाभिकों का अनुपात ज्ञात करें:
$\frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{0.15 N_{0}}{0.6 N_{0}} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
चूंकि $\frac{N_{2}}{N_{1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है,इसलिए $n = 2$ है।
अतः,लगा समय $t = n \times T_{1/2} = 2 \times 30 \text{ मिनट} = 60 \text{ मिनट}$ है।

(D) किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
यहाँ,$N_0$ समय $t=0$ पर नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है और $\lambda$ क्षय नियतांक है।
पदार्थ $A$ के लिए दिया गया है: $\lambda_A = 8\lambda$ और $N_{0A} = N_0$.
पदार्थ $B$ के लिए दिया गया है: $\lambda_B = \lambda$ और $N_{0B} = N_0$.
समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या:
$N_A(t) = N_0 e^{-8\lambda t}$
$N_B(t) = N_0 e^{-\lambda t}$
$B$ और $A$ के नाभिकों की संख्या का अनुपात:
$\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-8\lambda t}} = e^{7\lambda t}$.
प्रश्न के अनुसार यह अनुपात $\frac{1}{e} = e^{-1}$ है।
अतः,$e^{7\lambda t} = e^{-1}$।
घातांकों की तुलना करने पर,$7\lambda t = -1$ प्राप्त होता है। यदि हम $A$ और $B$ के अनुपात को देखें,तो $t = \frac{1}{7\lambda}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $D$ में है।

(A) विघटन के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_{0} - N_{\text{disintegrated}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $N_{0} = 600$ और $N_{\text{disintegrated}} = 450$ दिया गया है,इसलिए शेष नाभिक $N = 600 - 450 = 150$ होंगे।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$\frac{N}{N_{0}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$,जहाँ $T_{1/2} = 10$ मिनट है।
मान रखने पर: $\frac{150}{600} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}$,इसलिए $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{10}}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $2 = \frac{t}{10}$,जिससे $t = 20$ मिनट प्राप्त होता है।

(A) अर्ध-आयु $t_{1/2}$ को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक रेडियोधर्मी पदार्थ को अपने प्रारंभिक मात्रा के आधे तक क्षय होने के लिए आवश्यक होता है।
इसी प्रकार,$t_{3/4}$ उस समय को दर्शाता है जो पदार्थ को अपनी प्रारंभिक मात्रा के $\frac{3}{4}$ तक क्षय होने के लिए आवश्यक होता है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$t$ समय के बाद शेष मात्रा $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$t_{1/2}$ के लिए,$N = \frac{N_0}{2}$,जिससे $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
$t_{3/4}$ के लिए,क्षयित मात्रा $\frac{3}{4}N_0$ है,इसलिए शेष मात्रा $N = N_0 - \frac{3}{4}N_0 = \frac{1}{4}N_0$ है।
$N = N_0 e^{-\lambda t_{3/4}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1}{4} = e^{-\lambda t_{3/4}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4 = e^{\lambda t_{3/4}}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(4) = \lambda t_{3/4}$,इसलिए $2\ln(2) = \lambda t_{3/4}$।
चूंकि $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$,हमारे पास $2\ln(2) = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \times t_{3/4}$ है,जो सरल होकर $t_{3/4} = 2t_{1/2}$ हो जाता है।
अतः,$t_{3/4}$ वह समय है जिसमें पदार्थ अपने प्रारंभिक मान का $\frac{3}{4}$ भाग क्षयित कर देता है।

(C) $1$ जनवरी से $24$ जनवरी तक दिनों की संख्या $23$ दिन है।
न्यूक्लाइड की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 8.04$ दिन है।
बीते हुए अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{23}{8.04} \approx 2.86$ है।
चूंकि $n < 3$,सक्रियता $3$ अर्ध-आयु के बाद की सक्रियता से अधिक होगी।
$1$ अर्ध-आयु के बाद,सक्रियता = $600 / 2 = 300 \, Bq$.
$2$ अर्ध-आयु के बाद,सक्रियता = $300 / 2 = 150 \, Bq$.
$3$ अर्ध-आयु के बाद,सक्रियता = $150 / 2 = 75 \, Bq$.
चूंकि बीता हुआ समय $3$ अर्ध-आयु से कम है $(2.86 < 3)$,इसलिए शेष सक्रियता $75 \, Bq$ से अधिक होगी।

(A) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को सूत्र $A = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ नमूने में मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है।
चूंकि नाभिकों की संख्या $N$ नमूने के द्रव्यमान $m$ के सीधे आनुपातिक है $(N = \frac{m}{M} N_A)$,इसलिए द्रव्यमान $m$ को दोगुना करने पर नाभिकों की संख्या $N$ भी दोगुनी हो जाती है।
परिणामस्वरूप,सक्रियता $A$ बढ़ जाती है क्योंकि $A \propto N$ है।
क्षय नियतांक $\lambda$ रेडियोधर्मी समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है और यह केवल पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है,न कि नमूने की मात्रा पर।
इसलिए,$\lambda$ समान रहता है।

(C) क्षय दर $|\frac{dN}{dt}| = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
$t = 0$ पर,क्षय दर $|\frac{dN}{dt}|_0 = \lambda N_0$ है।
परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0 = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} \times N_A = \frac{M}{A} N_A$ द्वारा दी जाती है।
क्षय नियतांक $\lambda$ और अर्ध-आयु $T$ के बीच संबंध $\lambda = \frac{\ln 2}{T} \approx \frac{0.693}{T}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,प्रारंभिक क्षय दर $|\frac{dN}{dt}|_0 = (\frac{0.693}{T}) \times (\frac{M N_A}{A}) = \frac{0.693 M N_A}{A T}$ प्राप्त होती है।

(B) अविघटित नाभिकों की संख्या $10 \, s$ में $25\%$ से घटकर $6.25\%$ हो जाती है।
चूंकि $6.25\% = 25\% \times (1/4)$,नाभिकों की संख्या अपने प्रारंभिक मान की एक-चौथाई रह जाती है।
इसका अर्थ है कि $10 \, s$ में दो अर्ध-आयु (half-lives) व्यतीत हो चुकी हैं (क्योंकि $(1/2)^2 = 1/4$)।
अतः,$2 \times T_{1/2} = 10 \, s$,जिससे अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5 \, s$ प्राप्त होती है।
माध्य जीवनकाल $\tau$,अर्ध-आयु से $\tau = \frac{T_{1/2}}{0.693}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\tau = \frac{5}{0.693} \approx 7.21 \, s$।

(B) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A_1$ के लिए,$N_1(t) = N_0 e^{-(10\lambda_0)t}$ है।
पदार्थ $A_2$ के लिए,$N_2(t) = N_0 e^{-\lambda_0 t}$ है।
अविघटित नाभिकों का अनुपात $N_1(t) / N_2(t) = 1/e$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $(N_0 e^{-10\lambda_0 t}) / (N_0 e^{-\lambda_0 t}) = e^{-1}$ प्राप्त होता है।
$e^{-10\lambda_0 t + \lambda_0 t} = e^{-1}$.
$-9\lambda_0 t = -1$.
$t = 1 / (9\lambda_0)$।

(D) विघटन की दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ और $N = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
स्रोत $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 2 \ hr$,इसलिए $\lambda_A = \frac{\ln 2}{2}$.
स्रोत $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 4 \ hr$,इसलिए $\lambda_B = \frac{\ln 2}{4}$.
$t = 8 \ hr$ पर,शेष परमाणुओं की संख्या:
$N_A = N_0 e^{-\lambda_A t} = N_0 e^{-(\frac{\ln 2}{2}) \times 8} = N_0 e^{-4 \ln 2} = N_0 (2)^{-4} = \frac{N_0}{16}$.
$N_B = N_0 e^{-\lambda_B t} = N_0 e^{-(\frac{\ln 2}{4}) \times 8} = N_0 e^{-2 \ln 2} = N_0 (2)^{-2} = \frac{N_0}{4}$.
विघटन की दरें:
$R_A = \lambda_A N_A = (\frac{\ln 2}{2}) \times \frac{N_0}{16} = \frac{N_0 \ln 2}{32}$.
$R_B = \lambda_B N_B = (\frac{\ln 2}{4}) \times \frac{N_0}{4} = \frac{N_0 \ln 2}{16}$.
अनुपात $R_A : R_B = \frac{N_0 \ln 2}{32} : \frac{N_0 \ln 2}{16} = \frac{1}{32} : \frac{1}{16} = 1 : 2$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $A_t = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0$ प्रारंभिक मात्रा है,$A_t$ समय $t$ पर शेष मात्रा है,और $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
एक रेडियोधर्मी तत्व का औसत जीवनकाल $(\tau)$ $\tau = \frac{1}{\lambda}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हमें समय $t = \tau = \frac{1}{\lambda}$ के बाद शेष प्रारंभिक मात्रा का अंश ज्ञात करना है।
क्षय समीकरण में $t = \frac{1}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A_t = A_0 e^{-\lambda \times (\frac{1}{\lambda})}$
$A_t = A_0 e^{-1}$
$A_t = \frac{A_0}{e}$
शेष प्रारंभिक मात्रा का अंश $\frac{A_t}{A_0} = \frac{1}{e}$ है।

(B) मान लीजिए कि रेडियोधर्मी नमूने की प्रारंभिक मात्रा $N_0$ है।
समय $t$ के बाद,अविघटित बची हुई मात्रा $N(t) = 0.9 N_0$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ होता है।
अतः,$e^{-\lambda t} = 0.9$ है।
कुल समय $2t$ के बाद,अविघटित बची हुई मात्रा $N(2t) = N_0 e^{-\lambda (2t)} = N_0 (e^{-\lambda t})^2$ होगी।
$e^{-\lambda t}$ का मान रखने पर,हमें $N(2t) = N_0 (0.9)^2 = 0.81 N_0$ प्राप्त होता है।
समय $2t$ में क्षय हुई मात्रा $N_0 - N(2t) = N_0 - 0.81 N_0 = 0.19 N_0$ है।
इसलिए,समय $2t$ में क्षय होने वाले प्रारंभिक नमूने का प्रतिशत $19\%$ है।

(A) किसी भी समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $R(t) = R_0 e^{-\lambda t}$।
समय $t_1$ पर, सक्रियता $R_1 = R_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
समय $t_2$ पर, सक्रियता $R_2 = R_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
अनुपात $\frac{R_2}{R_1}$ ज्ञात करने के लिए, हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_0 e^{-\lambda t_2}}{R_0 e^{-\lambda t_1}}$
$\frac{R_2}{R_1} = e^{-\lambda t_2} \cdot e^{\lambda t_1}$
$\frac{R_2}{R_1} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}$।

(A) $\alpha$ और $\beta$ कण प्राप्त करने की प्रायिकता संबंधित नाभिकों की क्षय दर के सीधे आनुपातिक होती है।
क्षय की दर $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
$t = 0$ पर प्रायिकता समान होने के लिए,क्षय की दर समान होनी चाहिए:
$\lambda_A N_A = \lambda_B N_B$
परमाणुओं की संख्या का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$
यह दिया गया है कि विघटन स्थिरांकों का अनुपात $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \frac{2}{1}$ होगा।
अतः,$\frac{N_A}{N_B} = \frac{2}{1}$।

(B) रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ के नियम का पालन करती है।
दिया गया है कि $t = 1 \text{ घंटा}$ पर,$A(1) = \frac{A_0}{\sqrt{3}}$ है।
इसे क्षय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{A_0}{\sqrt{3}} = A_0 e^{-\lambda(1)}$,जिससे $e^{-\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
हमें $3$ घंटे और बाद,यानी कुल $t = 1 + 3 = 4 \text{ घंटे}$ पर सक्रियता ज्ञात करनी है।
$t = 4$ पर सक्रियता $A(4) = A_0 (e^{-\lambda})^4$ होगी।
$e^{-\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$A(4) = A_0 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^4 = A_0 \left(\frac{1}{3^{1/2}}\right)^4 = A_0 \left(\frac{1}{3^2}\right) = \frac{A_0}{9}$.

(B) दिया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1620 \text{ वर्ष}$.
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1620 \times 365 \times 24} \text{ hr}^{-1}$.
$t = 5 \text{ घंटे}$ के समय में, $\lambda t = \frac{0.693 \times 5}{1620 \times 365 \times 24} \approx 2.44 \times 10^{-7}$.
प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0 = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{5}{223} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 1.35 \times 10^{22} \text{ नाभिक}$.
क्षयित नाभिकों की संख्या $\Delta N = N_0(1 - e^{-\lambda t})$.
चूंकि $\lambda t$ बहुत छोटा है, $e^{-\lambda t} \approx 1 - \lambda t$.
अतः, $\Delta N \approx N_0 \lambda t = (1.35 \times 10^{22}) \times (2.44 \times 10^{-7}) \approx 3.29 \times 10^{15}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर, निकटतम मान $3.23 \times 10^{15}$ है।

(C) किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = \lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
समय $t_1$ पर, सक्रियता $A_1 = \lambda N_0 e^{-\lambda t_1}$ है।
समय $t_2$ पर, सक्रियता $A_2 = \lambda N_0 e^{-\lambda t_2}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{A_2}{A_1} = \frac{\lambda N_0 e^{-\lambda t_2}}{\lambda N_0 e^{-\lambda t_1}} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)} = e^{\lambda(t_1 - t_2)}$.
चूंकि माध्य जीवनकाल $T = \frac{1}{\lambda}$ है, हम $\lambda = \frac{1}{T}$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः, $\frac{A_2}{A_1} = e^{(t_1 - t_2) / T}$, जिसका अर्थ है $A_2 = A_1 e^{(t_1 - t_2) / T}$.

(A) $t$ समय के बाद शेष बचे नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
क्षयित होने वाला अंश $f = \frac{N_0 - N(t)}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ है।
एक माध्य आयु के लिए,$t = \tau = \frac{1}{\lambda}$। अतः,$f_1 = 1 - e^{-\lambda(1/\lambda)} = 1 - e^{-1} \approx 1 - 0.368 = 0.632$।
एक अर्ध-आयु के लिए,$t = T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$। अतः,$f_2 = 1 - e^{-\lambda(\ln 2 / \lambda)} = 1 - e^{-\ln 2} = 1 - 0.5 = 0.5$।
दोनों की तुलना करने पर,$0.632 > 0.5$,इसलिए $f_1 > f_2$।

(C) माना नाभिकों के उत्पादन की दर $R = 10 \text{ nuclei/s}$ है।
क्षय स्थिरांक $\lambda = 0.5 \text{ s}^{-1}$ है।
नाभिकों की संख्या में परिवर्तन की दर: $\frac{dN}{dt} = R - \lambda N$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dN}{R - \lambda N} = dt$.
$t=0$ (जहाँ $N=0$) से $t=t$ (जहाँ $N=N$) तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{N} \frac{dN}{R - \lambda N} = \int_{0}^{t} dt$.
इससे प्राप्त होता है: $-\frac{1}{\lambda} \ln(R - \lambda N) \Big|_{0}^{N} = t$.
$-\frac{1}{\lambda} [\ln(R - \lambda N) - \ln(R)] = t$.
$\ln\left(\frac{R - \lambda N}{R}\right) = -\lambda t$.
$1 - \frac{\lambda N}{R} = e^{-\lambda t}$.
$N(t) = \frac{R}{\lambda} (1 - e^{-\lambda t})$.
$N = 10$,$R = 10$,और $\lambda = 0.5$ मान रखने पर:
$10 = \frac{10}{0.5} (1 - e^{-0.5t})$.
$10 = 20 (1 - e^{-0.5t})$.
$0.5 = 1 - e^{-0.5t}$.
$e^{-0.5t} = 0.5$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-0.5t = \ln(0.5) = -\ln(2)$.
$0.5t = \ln(2)$.
$t = \frac{\ln(2)}{0.5} = 2 \ln(2) \approx 1.386 \text{ s}$.

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $R = N \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N$ उपस्थित रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या है और $\lambda$ क्षय नियतांक है।
समय $T_1$ पर,$R_1 = N_1 \lambda \implies N_1 = R_1 / \lambda.$
समय $T_2$ पर,$R_2 = N_2 \lambda \implies N_2 = R_2 / \lambda.$
समय अंतराल $(T_2 - T_1)$ में विघटित हुए परमाणुओं की संख्या $\Delta N = N_1 - N_2$ है।
$N_1$ और $N_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta N = (R_1 - R_2) / \lambda$ प्राप्त होता है।
चूँकि अर्ध-आयु $T = \ln(2) / \lambda,$ इसलिए $\lambda = \ln(2) / T$ होता है।
$\Delta N$ के व्यंजक में $\lambda$ का मान रखने पर,हमें $\Delta N = (R_1 - R_2) \cdot T / \ln(2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\ln(2)$ एक नियतांक है,इसलिए $\Delta N \propto (R_1 - R_2) T$ होगा।

(C) रेडियोधर्मी नमूने की क्षय दर रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है,जो बताता है कि गतिविधि $R = \lambda N$ है।
पहले नमूने के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_1(t) = N_1 e^{-\lambda_1 t}$ है। अतः,इसकी क्षय दर $R_1 = \lambda_1 N_1(t) = \lambda_1 N_1 e^{-\lambda_1 t}$ है।
दूसरे नमूने के लिए,समय $t$ पर नाभिकों की संख्या $N_2(t) = N_2 e^{-\lambda_2 t}$ है। अतः,इसकी क्षय दर $R_2 = \lambda_2 N_2(t) = \lambda_2 N_2 e^{-\lambda_2 t}$ है।
चूंकि नमूनों को मिलाया जाता है,मिश्रण की कुल क्षय दर व्यक्तिगत क्षय दरों का योग है:
$R_{total} = R_1 + R_2 = N_1 \lambda_1 e^{-\lambda_1 t} + N_2 \lambda_2 e^{-\lambda_2 t}$.

(D) दिया गया क्षय नियतांक $\lambda = 0.173 \, (years)^{-1}$ है।
$1$. अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.173} \approx 4 \, years$ है।
$2$. समय $t = 1/\lambda = 1/0.173 \, years$ के लिए,शेष मात्रा $N = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 e^{-1} \approx 0.37 N_0$ होती है।
अतः,क्षयित मात्रा $N_0 - 0.37 N_0 = 0.63 N_0$ यानी $63\%$ है। इसलिए,विकल्प $A$ सही है।
$3$. $8 \, years$ के बाद,जो कि $2 \times T_{1/2}$ समय है,शेष मात्रा $N = N_0 (1/2)^2 = N_0/4$ होगी। इसलिए,विकल्प $C$ भी सही है।
अतः,$A$ और $C$ दोनों सही हैं।

(B) क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N(t)$ समय $t$ पर अविघटित परमाणुओं की संख्या है।
समय $t_1$ पर,पदार्थ का $\frac{1}{3}$ भाग क्षय हो जाता है,इसलिए शेष मात्रा $N(t_1) = N_0 - \frac{1}{3}N_0 = \frac{2}{3}N_0$ है।
अतः,$\frac{2}{3}N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1} \Rightarrow e^{-\lambda t_1} = \frac{2}{3}$।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\lambda t_1 = \ln(\frac{2}{3}) \Rightarrow \lambda t_1 = \ln(1.5)$।
समय $t_2$ पर,पदार्थ का $\frac{2}{3}$ भाग क्षय हो जाता है,इसलिए शेष मात्रा $N(t_2) = N_0 - \frac{2}{3}N_0 = \frac{1}{3}N_0$ है।
अतः,$\frac{1}{3}N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2} \Rightarrow e^{-\lambda t_2} = \frac{1}{3}$।
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\lambda t_2 = \ln(\frac{1}{3}) \Rightarrow \lambda t_2 = \ln(3)$।
समय अंतराल $t_2 - t_1 = \frac{\ln(3) - \ln(1.5)}{\lambda} = \frac{\ln(3/1.5)}{\lambda} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ है।
चूँकि अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} = 20 \, min$ है,इसलिए $t_2 - t_1 = 20 \, min$ प्राप्त होता है।

(B) तत्व $A$ के लिए,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \ min$ है। कुल समय $t = 80 \ min$ है। अर्ध-आयु की संख्या $n_A = \frac{80}{20} = 4$ है।
शेष नाभिक $N_A = \frac{N_0}{2^4} = \frac{N_0}{16}$ हैं।
क्षयित नाभिक $N_{A, decayed} = N_0 - \frac{N_0}{16} = \frac{15N_0}{16}$ हैं।
तत्व $B$ के लिए,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 40 \ min$ है। कुल समय $t = 80 \ min$ है। अर्ध-आयु की संख्या $n_B = \frac{80}{40} = 2$ है।
शेष नाभिक $N_B = \frac{N_0}{2^2} = \frac{N_0}{4}$ हैं।
क्षयित नाभिक $N_{B, decayed} = N_0 - \frac{N_0}{4} = \frac{3N_0}{4}$ हैं।
क्षयित नाभिकों का अनुपात $\frac{N_{A, decayed}}{N_{B, decayed}} = \frac{15N_0 / 16}{3N_0 / 4} = \frac{15}{16} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{4}$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभ में $A$ के नाभिकों की कुल संख्या $N_0$ है।
समय $t$ पर,$A$ के नाभिकों की संख्या $N_A$ और $B$ की संख्या $N_B$ है।
दिया गया है कि $\frac{N_B}{N_A} = 0.3$,इसलिए $N_B = 0.3 N_A$.
नाभिकों की कुल संख्या स्थिर रहती है: $N_0 = N_A + N_B = N_A + 0.3 N_A = 1.3 N_A$.
अतः,$N_A = \frac{N_0}{1.3}$.
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$N_A = N_0 e^{-\lambda t}$.
$N_A$ का मान रखने पर,$\frac{N_0}{1.3} = N_0 e^{-\lambda t}$,जिसका अर्थ है कि $e^{\lambda t} = 1.3$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\lambda t = \ln(1.3)$.
चूंकि $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,इसलिए $t = \frac{\ln(1.3)}{\lambda} = \frac{\ln(1.3)}{\ln 2} T$.
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\frac{\ln(1.3)}{\ln 2} = \frac{\log 1.3}{\log 2}$.
अतः,$t = T \frac{\log 1.3}{\log 2}$.

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर $R$ और $S$ के परमाणुओं की संख्या $N_R(t)$ और $N_S(t)$ है।
दिया गया प्रारंभिक अनुपात $\frac{N_{R0}}{N_{S0}} = \frac{2}{1}$ है।
क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
समय $t$,$R$ की तीन अर्ध-आयु के बराबर है,इसलिए $t = 3 \times T_{1/2, R} = 3 \times \frac{\ln 2}{\lambda_R}$।
अतः,$\lambda_R t = 3 \ln 2$।
तत्व $S$ के लिए,घातांक $\lambda_S t = \lambda_S \times \frac{3 \ln 2}{\lambda_R} = 3 \ln 2 \times \frac{3 \times 10^{-3}}{4.5 \times 10^{-3}} = 3 \ln 2 \times \frac{2}{3} = 2 \ln 2$।
अब,समय $t$ पर परमाणुओं का अनुपात:
$\frac{N_R(t)}{N_S(t)} = \frac{N_{R0} e^{-\lambda_R t}}{N_{S0} e^{-\lambda_S t}} = \frac{N_{R0}}{N_{S0}} \times e^{-(\lambda_R t - \lambda_S t)}$
$\frac{N_R(t)}{N_S(t)} = 2 \times e^{-(3 \ln 2 - 2 \ln 2)} = 2 \times e^{-\ln 2} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$।
अतः,अनुपात $1:1$ होगा।

(C) मान लीजिए कि $N_0$ प्रारंभिक रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है और $T$ अर्ध-आयु है।
समय $t$ में क्षयित नाभिकों की संख्या $\Delta N = N_0(1 - 2^{-t/T})$ द्वारा दी जाती है।
पहले $2 \ s$ में,क्षयित नाभिकों की संख्या $n = N_0(1 - 2^{-2/T})$ है।
अगले $2 \ s$ में ($t=2$ से $t=4$ तक),क्षयित नाभिकों की संख्या $0.25n = N_0(1 - 2^{-4/T}) - N_0(1 - 2^{-2/T}) = N_0(2^{-2/T} - 2^{-4/T})$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{n}{0.25n} = \frac{1 - 2^{-2/T}}{2^{-2/T}(1 - 2^{-2/T})}$.
$4 = \frac{1}{2^{-2/T}} = 2^{2/T}$.
चूंकि $4 = 2^2$,इसलिए $2 = 2/T$,जिससे $T = 1 \ s$ प्राप्त होता है।

(C) $\alpha$-उत्सर्जन के लिए क्षय नियतांक $\lambda_{\alpha} = \frac{1}{1620} \ year^{-1}$ है।
$\beta$-उत्सर्जन के लिए क्षय नियतांक $\lambda_{\beta} = \frac{1}{405} \ year^{-1}$ है।
चूंकि उत्सर्जन एक साथ हो रहे हैं,इसलिए कुल क्षय नियतांक $\lambda = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta} = \frac{1}{1620} + \frac{1}{405} = \frac{1 + 4}{1620} = \frac{5}{1620} = \frac{1}{324} \ year^{-1}$ होगा।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_{0} e^{-\lambda t}$ है,जहाँ $\frac{N}{N_{0}} = \frac{1}{4}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(\frac{N_{0}}{N}) = \lambda t$.
$\ln(4) = \lambda t \Rightarrow t = \frac{\ln(4)}{\lambda} = \frac{2 \ln(2)}{\lambda}$.
मान रखने पर: $t = 324 \times 2 \times 0.6931 \approx 449 \ years$.

(B) एक रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता को क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे प्रति सेकंड विघटन $(dps)$ में मापा जाता है。
$1\ Bq$ (बेकरेल) को $1\ \text{विघटन/सेकंड}$ $(1\ dps)$ के रूप में परिभाषित किया गया है。
$1\ Ci$ (क्यूरी) को $1\ \text{ग्राम}$ रेडियम-$226$ की सक्रियता के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $3.7 \times 10^{10}\ \text{विघटन/सेकंड}$ $(dps)$ के बराबर है。
अतः,सही संबंध $1\ Ci = 3.7 \times 10^{10}\ dps$ है。

(B) ग्राफ से, अर्ध-आयु $T_{1/2}$ वह समय है जिसमें गतिविधि (काउंट रेट) अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।
$t = 0$ पर, काउंट रेट $100 \, \text{counts/min}$ है।
$t = 3 \, \text{घंटे}$ पर, काउंट रेट $50 \, \text{counts/min}$ है।
अतः, अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3 \, \text{घंटे} = 3 \times 60 = 180 \, \text{मिनट}$ है।
पहले अर्ध-आयु काल में कुल काउंट $N$, $t = 0$ से $t = T_{1/2}$ तक गतिविधि $A(t)$ के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$, जहाँ $A_0 = 100$ और $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{180} \, \text{min}^{-1}$ है।
$N = \int_{0}^{180} 100 e^{-\left(\frac{\ln 2}{180}\right)t} dt = 100 \left[ \frac{e^{-\left(\frac{\ln 2}{180}\right)t}}{-\left(\frac{\ln 2}{180}\right)} \right]_{0}^{180} = \frac{100 \times 180}{\ln 2} (1 - e^{-\ln 2}) = \frac{18000}{\ln 2} (1 - 0.5) = \frac{9000}{0.693} \approx 12987$.
घातांकीय क्षय वक्र को देखते हुए, वास्तविक काउंट रैखिक अनुमान $(75 \times 180 = 13500)$ से थोड़ा अधिक है। विकल्पों में दिया गया $14100$ सबसे निकटतम अनुमान है।

(B) क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{20} \approx 0.03465 \ min^{-1}$ है।
विघटन के लिए आवश्यक समय $t = \frac{1}{\lambda} \ln \left( \frac{N_0}{N} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
$33\%$ विघटन के लिए,शेष मात्रा $N_1 = 0.67N_0$ है। समय $t_1 = \frac{1}{0.03465} \ln \left( \frac{1}{0.67} \right) \approx 11.6 \ min$ है।
$67\%$ विघटन के लिए,शेष मात्रा $N_2 = 0.33N_0$ है। समय $t_2 = \frac{1}{0.03465} \ln \left( \frac{1}{0.33} \right) \approx 32.1 \ min$ है।
समय का अंतर $\Delta t = t_2 - t_1 = 32.1 - 11.6 = 20.5 \ min$ है।
अतः,निकटतम पूर्णांक में अंतर लगभग $20 \ min$ है।

(A) प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 1 \, \mu Ci = 10^{-6} \times 3.7 \times 10^{10} = 3.7 \times 10^4 \, \text{विघटन/सेकंड}$।
$t = 5$ घंटे बाद सक्रियता $A_t = A_0 e^{-\lambda t}$ है।
दिया गया है $e^{-\lambda t} = 0.7927$, इसलिए $5$ घंटे बाद कुल रक्त आयतन $V$ की सक्रियता $A_t = A_0 \times 0.7927 = 3.7 \times 10^4 \times 0.7927 = 29330 \, \text{विघटन/सेकंड}$ होगी।
इसे प्रति मिनट विघटन में बदलने पर: $A_t = 29330 \times 60 = 1,759,800 \, \text{विघटन/मिनट}$।
$1 \, cm^3$ नमूने की सक्रियता $298 \, \text{विघटन/मिनट}$ है।
कुल आयतन $V = \frac{\text{कुल सक्रियता}}{\text{प्रति } cm^3 \text{ सक्रियता}} = \frac{1,759,800}{298} \approx 5905 \, cm^3$।
चूंकि $1000 \, cm^3 = 1 \, L$, इसलिए कुल आयतन $V \approx 5.9 \, L$ है।

(C) सक्रियता $R$ को $R = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
अतः,नाभिकों की संख्या $N$ का मान $N = \frac{R}{\lambda} = R \times \frac{T_{1/2}}{\ln 2}$ होता है।
$^{240}Pu$ के लिए: $N_{Pu} = R_{Pu} \times \frac{(T_{1/2})_{Pu}}{\ln 2} = 5.00 \mu Ci \times \frac{6560 \ y}{\ln 2}$.
$^{243}Am$ के लिए: $N_{Am} = R_{Am} \times \frac{(T_{1/2})_{Am}}{\ln 2} = 4.45 \mu Ci \times \frac{7370 \ y}{\ln 2}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{N_{Pu}}{N_{Am}} = \frac{5.00 \times 6560}{4.45 \times 7370} = \frac{32800}{32796.5} \approx 1$.
चूंकि अनुपात लगभग $1$ है,इसलिए दोनों नमूनों में नाभिकों की संख्या समान है।