Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Hindi

(B) विकिरण की तीव्रता $I$ रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार घटती है: $I = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है。
यह दिया गया है कि प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 64 I_{\text{safe}}$ है, हमें तीव्रता को $I_{\text{safe}}$ तक पहुँचाने की आवश्यकता है。
अतः, $\frac{I_{\text{safe}}}{64 I_{\text{safe}}} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
चूँकि $64 = 2^6$, इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$, जिसका अर्थ है कि $n = 6$.
कुल समय $t = n \times T_{1/2}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है, जहाँ $T_{1/2} = 2 \text{ घंटे}$.
$t = 6 \times 2 = 12 \text{ घंटे}$.

(A) क्षय की दर $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,क्षय नियतांक $\lambda$ को $s^{-1}$ में ज्ञात करें:
$\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1620 \times 365 \times 24 \times 3600} \ s^{-1}$.
इसके बाद,रेडियम के $1 \ g$ $(10^{-3} \ kg)$ नमूने में परमाणुओं की संख्या $N$ ज्ञात करें:
$N = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} \times N_A = \frac{10^{-3} \ kg}{226 \ kg/kmol} \times 6.02 \times 10^{26} \ atoms/kmol = \frac{6.02}{226} \times 10^{23} \ atoms$.
अब,सक्रियता $\frac{dN}{dt}$ की गणना करें:
$\frac{dN}{dt} = \left( \frac{0.693}{1620 \times 3.1536 \times 10^7} \right) \times \left( \frac{6.02}{226} \times 10^{23} \right) \approx 3.61 \times 10^{10} \ atoms/s$.

(A) जब एक रेडियोधर्मी पदार्थ दो एक साथ होने वाली प्रक्रियाओं द्वारा क्षयित होता है,तो प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda$ को $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अर्ध-आयु $T$ का क्षय नियतांक के साथ संबंध $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ होता है,इसलिए प्रभावी अर्ध-आयु $T$ को $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T_1 = 1620$ वर्ष और $T_2 = 810$ वर्ष दिए गए हैं,इसलिए प्रभावी अर्ध-आयु:
$T = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2} = \frac{1620 \times 810}{1620 + 810} = \frac{1620 \times 810}{2430} = 540$ वर्ष।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जिसके बाद पदार्थ का $\frac{1}{4}$ भाग शेष रहता है।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ है।
$N(t) = \frac{1}{4} N_0$ रखने पर,$\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$।
अतः,$\frac{t}{T} = 2$,जिसका अर्थ है $t = 2T = 2 \times 540 = 1080$ वर्ष।

(B) विकिरण की तीव्रता नमूने में मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए $N_0$ प्रारंभिक नाभिकों की संख्या है और $N$, $n$ अर्ध-आयु के बाद बचे हुए नाभिकों की संख्या है।
सुरक्षित सीमा $N = \frac{N_0}{128}$ के अनुरूप है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम का उपयोग करते हुए, शेष अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें $\frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^n$ प्राप्त होता है।
चूंकि $128 = 2^7$, इसलिए $(\frac{1}{2})^7 = (\frac{1}{2})^n$, जिसका अर्थ है कि $n = 7$ है।
चूंकि अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1$ घंटा है, इसलिए कुल समय $t = n \times T_{1/2} = 7 \times 1 = 7$ घंटे होगा।

(C) दिया गया है कि $X$ की अर्ध-आयु $Y$ की औसत आयु के बराबर है:
$({T_{1/2}})_X = ({\tau})_Y$
हम जानते हैं कि ${T_{1/2}} = \frac{0.693}{\lambda}$ और ${\tau} = \frac{1}{\lambda}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$
$\Rightarrow \lambda_X = 0.693 \lambda_Y$
चूंकि $0.693 < 1$ है,इसलिए $\lambda_X < \lambda_Y$ प्राप्त होता है।
क्षय की दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में परमाणुओं की संख्या $N$ दोनों के लिए समान है।
अतः,$\lambda_Y > \lambda_X$ होने के कारण,$Y$ की क्षय दर $R_Y = \lambda_Y N$,$R_X = \lambda_X N$ से अधिक होगी।
इसलिए,$Y$,$X$ की तुलना में तेज दर से क्षय होगा।

(C) $\alpha$-उत्सर्जन के लिए क्षय नियतांक $\lambda_{\alpha} = \frac{1}{1620} \text{ वर्ष}^{-1}$ है।
$\beta$-उत्सर्जन के लिए क्षय नियतांक $\lambda_{\beta} = \frac{1}{405} \text{ वर्ष}^{-1}$ है।
कुल क्षय नियतांक $\lambda = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta} = \frac{1}{1620} + \frac{1}{405} = \frac{1+4}{1620} = \frac{5}{1620} = \frac{1}{324} \text{ वर्ष}^{-1}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ है,जहाँ $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{4}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln\left(\frac{N_0}{N}\right) = \lambda t$.
मान रखने पर: $\ln(4) = \left(\frac{1}{324}\right) t$.
$t = 324 \times \ln(4) = 324 \times 2 \times \ln(2) \approx 648 \times 0.6931 = 449.13 \text{ वर्ष}$.
अतः,आवश्यक समय लगभग $449 \text{ वर्ष}$ है।

(D) क्षय नियतांक $\lambda$ इस प्रकार दिया जाता है: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{138.6 \times 24 \text{ घंटे}} = \frac{0.693}{3326.4} \text{ घंटे}^{-1}$.
वैकल्पिक रूप से,छोटे समय अंतराल $\Delta t$ के लिए सक्रियता (activity) का सूत्र उपयोग करने पर:
सक्रियता $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$.
यहाँ $T_{1/2} = 138.6 \text{ दिन} = 138.6 \times 24 \text{ घंटे} = 3326.4 \text{ घंटे}$ दिया गया है।
परमाणुओं की संख्या $N = 10^6$ है।
$\Delta t = 24 \text{ घंटे}$ (अर्थात $1$ दिन) में होने वाला विघटन:
$\Delta N = \lambda N \Delta t = \left( \frac{0.693}{138.6 \text{ दिन}} \right) \times 10^6 \times 1 \text{ दिन}$.
$\Delta N = \frac{0.693}{138.6} \times 10^6 = 0.005 \times 10^6 = 5000$.
अतः,विघटन की संख्या $5000$ है।

(B) क्षय नियतांक $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{20} = 0.03465 \ min^{-1}$ है।
पदार्थ के क्षय के लिए आवश्यक समय $t$ का सूत्र $t = \frac{2.303}{\lambda} \log_{10} \left( \frac{N_0}{N} \right)$ है।
$33\%$ विघटन के लिए,शेष मात्रा $N = N_0 - 0.33N_0 = 0.67N_0$ है। अतः,$t_1 = \frac{2.303}{0.03465} \log_{10} \left( \frac{100}{67} \right) \approx 66.46 \times 0.1739 \approx 11.56 \ min$.
$67\%$ विघटन के लिए,शेष मात्रा $N = N_0 - 0.67N_0 = 0.33N_0$ है। अतः,$t_2 = \frac{2.303}{0.03465} \log_{10} \left( \frac{100}{33} \right) \approx 66.46 \times 0.4815 \approx 32.00 \ min$.
समय का अंतर $\Delta t = t_2 - t_1 = 32.00 - 11.56 = 20.44 \ min \approx 20 \ min$ है।

(D) मान लीजिए कि $t = 0$ पर दोनों तत्वों के लिए रेडियोधर्मी परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,समय $t$ पर शेष परमाणुओं की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
तत्व $X_1$ के लिए,जिसका क्षय नियतांक $\lambda_1 = 10\lambda$ है,परमाणुओं की संख्या $N_1 = N_0 e^{-10\lambda t}$ है।
तत्व $X_2$ के लिए,जिसका क्षय नियतांक $\lambda_2 = \lambda$ है,परमाणुओं की संख्या $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
हमें दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।
$N_1$ और $N_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$
$e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$
$e^{-9\lambda t} = e^{-1}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$-9\lambda t = -1$
$t = \frac{1}{9\lambda}$.

(D) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 (1/2)^n$ के नियम का पालन करती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि सक्रियता $140$ दिनों में $6000 \, dps$ से घटकर $3000 \, dps$ हो जाती है,इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 140$ दिन है।
$280$ दिनों के बाद,व्यतीत अर्ध-आयु की संख्या $n = 280 / 140 = 2$ है।
मान लीजिए $A_{280}$ $280$ दिनों के बाद की सक्रियता है,जो $6000 \, dps$ है।
सूत्र $A_{280} = A_{initial} \times (1/2)^n$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $6000 = A_{initial} \times (1/2)^2$.
$6000 = A_{initial} \times (1/4)$.
$A_{initial} = 6000 \times 4 = 24000 \, dps$.

(B) विघटन की दर $\frac{dN}{dt} = \lambda N_0 = 10^{17} \, s^{-1}$ द्वारा दी जाती है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1445 \, \text{वर्ष}$ है।
अर्ध-आयु को सेकंड में बदलने पर: $T_{1/2} = 1445 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 4.55 \times 10^{10} \, s$.
क्षय नियतांक $\lambda$ इस प्रकार है: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{4.55 \times 10^{10}} \approx 1.52 \times 10^{-11} \, s^{-1}$.
$\frac{dN}{dt} = \lambda N_0$ संबंध का उपयोग करके,हम कणों की मूल संख्या $N_0$ ज्ञात करते हैं:
$N_0 = \frac{dN/dt}{\lambda} = \frac{10^{17}}{1.52 \times 10^{-11}} \approx 6.58 \times 10^{27} \approx 6.6 \times 10^{27}$.

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{1.5 \times 10^9}{4.5 \times 10^9} = \frac{1}{3}$ है।
शेष $U^{238}$ नाभिकों की संख्या $N_U = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{1/3}$ है।
दिया गया है कि $2^{1/3} = 1.26$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^{1/3} = \frac{1}{1.26} \approx 0.7937$ है।
अतः,$N_U = N_0 \times 0.7937$ है।
निर्मित $Pb$ नाभिकों की संख्या $N_{Pb} = N_0 - N_U = N_0(1 - 0.7937) = N_0(0.2063)$ है।
वैकल्पिक रूप से,अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{N_U}{N_0} = \frac{1}{1.26}$ है।
चूंकि $N_0 = N_U + N_{Pb}$,इसलिए $\frac{N_U}{N_U + N_{Pb}} = \frac{1}{1.26}$ है।
$1.26 N_U = N_U + N_{Pb} \implies N_{Pb} = 0.26 N_U$ है।
अतः,अनुपात $\frac{N_{Pb}}{N_U} = 0.26$ है।

(A) सक्रियता $A$ को $A = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ नाभिकों की संख्या है।
क्षय नियतांक $\lambda$ अर्ध-आयु $T_{1/2}$ से $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ द्वारा संबंधित है।
यहाँ $T_{1/2} = 138.6 \text{ दिन} = 138.6 \times 24 \times 3600 \text{ सेकंड} = 1.1975 \times 10^7 \text{ सेकंड}$.
दी गई सक्रियता $A = 2000 \text{ विघटन/सेकंड}$.
$N = \frac{A}{\lambda} = \frac{A \times T_{1/2}}{\ln 2}$ में मान रखने पर:
$N = \frac{2000 \times 138.6 \times 24 \times 3600}{0.693} = \frac{2000 \times 1.1975 \times 10^7}{0.693} \approx 3.45 \times 10^{10}$.

(A) नाभिकों की संख्या $N$ में परिवर्तन की दर अवकल समीकरण द्वारा दी जाती है: $\frac{dN}{dt} = \alpha - \lambda N$.
जब नाभिकों की संख्या अधिकतम होती है,तो परिवर्तन की दर शून्य होती है,अर्थात $\frac{dN}{dt} = 0$.
समीकरण को शून्य के बराबर रखने पर: $0 = \alpha - \lambda N$.
$N$ के लिए हल करने पर,हमें $N_{max} = \frac{\alpha}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि यदि नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_0$ पहले से ही $\frac{\alpha}{\lambda}$ से अधिक है,तो नाभिकों की संख्या घटकर संतुलन मान $\frac{\alpha}{\lambda}$ तक पहुँच जाएगी। यदि $N_0 < \frac{\alpha}{\lambda}$ है,तो यह बढ़कर $\frac{\alpha}{\lambda}$ तक पहुँच जाएगी।

(C) पदार्थ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 12 \, \text{hrs}$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 1 \, \text{week} = 7 \, \text{days} = 7 \times 24 \, \text{hrs} = 168 \, \text{hrs}$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{168}{12} = 14$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद सक्रियता $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $A_0 = 1 \, \text{curie}$ है।
$A = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{14} \, \text{curie} = \frac{1}{16384} \, \text{curie}$.
मान की गणना करने पर: $A \approx 0.000061 \, \text{curie} = 61 \times 10^{-6} \, \text{curie} = 61 \, \mu\text{Ci}$.
अतः, शेष सक्रियता लगभग $60 \, \mu\text{Ci}$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक प्रजाति के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है। समय $t$ पर पहली प्रजाति के रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N_1(t) = N_0 e^{-t/\tau}$ है।
समय $t$ पर दूसरी प्रजाति के रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N_2(t) = N_0 e^{-t/(5\tau)}$ है।
रेडियोधर्मी नाभिकों की कुल संख्या $N(t) = N_1(t) + N_2(t) = N_0(e^{-t/\tau} + e^{-t/(5\tau)})$ है।
$t = 0$ पर,$N(0) = 2N_0$ है। जैसे-जैसे $t \to \infty$,$N(t) \to 0$ होता है।
चूंकि $e^{-t/\tau}$ और $e^{-t/(5\tau)}$ दोनों समय के साथ घटते हुए फलन हैं,इसलिए उनका योग $N(t)$ भी समय के साथ निरंतर घटता हुआ फलन होना चाहिए।
अतः,रेडियोधर्मी नाभिकों की कुल संख्या समय के साथ निरंतर घटती जाएगी,जिसे विकल्प $(d)$ में दिए गए ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N$ को $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है और $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
क्षय की दर समय $t$ के सापेक्ष $N$ के अवकलन द्वारा दी जाती है:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N_0 e^{-\lambda t}$
क्षय की दर का परिमाण $|\frac{dN}{dt}| = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि क्षय की दर समय $t$ के साथ चरघातांकीय (exponentially) रूप से घटती है। दिए गए विकल्पों में से,चित्र $C$ एक चरघातांकीय क्षय वक्र को दर्शाता है,जो क्षय की दर और समय के बीच के संबंध को सही ढंग से प्रदर्शित करता है।

(D) रेडियोधर्मी विघटन की दर $R$ को रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार $R = -\frac{dN}{dt} = \lambda N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
इस संबंध से,हम विघटन की दर और परमाणुओं की संख्या के अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{R}{N} = \lambda$
चूंकि क्षय नियतांक $\lambda$ एक रेडियोधर्मी पदार्थ का विशिष्ट गुण है और समय के साथ स्थिर रहता है,इसलिए अनुपात $R/N$ समय से स्वतंत्र है।
अतः,समय $t$ के साथ $R/N$ के परिवर्तन को दर्शाने वाला ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा होगी।

(B) $1$. अर्ध-आयु ज्ञात करने के लिए,ग्राफ को देखें। $t = 0$ पर प्रारंभिक गणना दर $100$ है। अर्ध-आयु वह समय है जो गणना दर को उसके प्रारंभिक मान का आधा यानी $50$ होने में लगता है। ग्राफ से,$50$ की गणना दर पर,समय $3\,h$ है। अतः,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3\,h$ है।
$2$. पहले अर्ध-आयु काल ($0$ से $3\,h$) में कुल गणना ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ और $t = 3\,h$ के बीच वक्र के नीचे के क्षेत्रफल की गणना करते हैं।
$3$. ग्राफ पर प्रत्येक छोटा वर्ग y-अक्ष पर $10$ इकाई और x-अक्ष पर $1\,h$ की गणना दर दर्शाता है। वक्र के नीचे छोटे वर्गों की संख्या गिनने पर,हमें लगभग $24$ वर्ग मिलते हैं।
$4$. प्रत्येक वर्ग $10 \times 60 = 600$ गणनाओं को दर्शाता है (यह मानते हुए कि दर प्रति मिनट है,इसलिए $10 \text{ counts/min} \times 60 \text{ min} = 600 \text{ counts/hour}$)।
$5$. कुल गणना $\approx 24 \times 600 = 14400$।

(B) समय $t$ पर अविघटित परमाणुओं की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
क्षयित परमाणुओं की संख्या $N_d = N_0 - N = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ है।
रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षयित अंश $f = \frac{N_d}{N_0} = \frac{N_0(1 - e^{-\lambda t})}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ है।
$t = 0$ पर,$f = 1 - e^0 = 0$ है।
जैसे $t \to \infty$,$f \to 1 - 0 = 1$ होता है।
फलन $f(t) = 1 - e^{-\lambda t}$ एक चरघातांकीय वृद्धि वक्र को दर्शाता है जो $0$ से शुरू होता है और अनंत पर $1$ के करीब पहुंचता है। यह ग्राफ में वक्र $B$ के अनुरूप है।

(B) समय $t$ पर अविघटित परमाणुओं की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $N = \frac{A}{\lambda}$।
चूंकि किसी दिए गए रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए $\lambda$ (क्षय नियतांक) एक स्थिरांक है, इसलिए $N$, $A$ के सीधे समानुपाती है $(N \propto A)$।
अतः, अविघटित परमाणुओं की संख्या $(N)$ बनाम सक्रियता $(A)$ का आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि किसी भी समय $t$ पर रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $N$ समीकरण द्वारा दी जाती है: $N = N_0 e^{-\lambda t}$,जहाँ $N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है और $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
यह समीकरण एक चरघातांकीय क्षय फलन (exponential decay function) को दर्शाता है।
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,$N$ का मान चरघातांकीय रूप से घटता है,और जैसे-जैसे $t$ अनंत की ओर जाता है,यह शून्य के करीब पहुंच जाता है।
इसलिए,$N$ बनाम $t$ का ग्राफ एक चरघातांकीय क्षय वक्र है,जो विकल्प $(D)$ के अनुरूप है।

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ का सूत्र $A = -\frac{dN}{dt} = \lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ है।
यहाँ,$N_0$ नाभिकों की प्रारंभिक संख्या है,$\lambda$ क्षय नियतांक है,और $t$ समय है।
यह समीकरण दर्शाता है कि सक्रियता $A$ समय $t$ के साथ चरघातांकीय (exponentially) रूप से घटती है।
ग्राफ के अनुसार,$t=0$ पर एक धनात्मक मान से शुरू होकर और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,शून्य की ओर जाने वाला चरघातांकीय क्षय वक्र $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) सक्रियता $A$ के लिए रेडियोधर्मी क्षय का नियम $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_0 = \lambda N_0$ प्रारंभिक सक्रियता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln A = \ln(A_0 e^{-\lambda t})$
$\ln A = \ln A_0 + \ln(e^{-\lambda t})$
$\ln A = \ln A_0 - \lambda t$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \ln A$,$x = t$,ढाल $m = -\lambda$,और अंतःखंड $c = \ln A_0$ है।
चूँकि ढाल ऋणात्मक $(-\lambda)$ है और अंतःखंड धनात्मक $(\ln A_0)$ है,इसलिए $\log A$ बनाम $t$ का ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है। दी गई आकृति में,$D$ के रूप में चिह्नित रेखा इस रैखिक गिरावट को दर्शाती है।

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A$ को रेडियोधर्मी नाभिकों के क्षय की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
$A = \left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N$
जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ उस क्षण मौजूद सक्रिय परमाणुओं की संख्या है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = A$,$x = N$,और ढाल $m = \lambda$ है।
चूंकि किसी दिए गए रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए $\lambda$ एक स्थिरांक है,इसलिए $A$ और $N$ के बीच का संबंध मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
अतः,सही ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(D) जब कोई रेडियोधर्मी पदार्थ एक साथ दो अलग-अलग प्रक्रियाओं द्वारा क्षयित होता है,तो कुल क्षय नियतांक $\lambda_{eff}$ व्यक्तिगत क्षय नियतांकों का योग होता है: $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$.
हम जानते हैं कि अर्ध-आयु $T$ और क्षय नियतांक $\lambda$ के बीच संबंध $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.
इस मान को प्रभावी क्षय नियतांक के समीकरण में रखने पर: $\frac{\ln 2}{T_{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\alpha}} + \frac{\ln 2}{T_{\beta}}$.
दोनों पक्षों को $\ln 2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{T_{eff}} = \frac{1}{T_{\alpha}} + \frac{1}{T_{\beta}}$.
$T_{eff}$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{T_{eff}} = \frac{T_{\beta} + T_{\alpha}}{T_{\alpha} T_{\beta}}$.
अतः,$T_{eff} = \frac{T_{\alpha} T_{\beta}}{T_{\alpha} + T_{\beta}}$.

(B) अर्ध-आयु $T_{1/2}$ और क्षय नियतांक $\lambda$ के बीच का संबंध $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T_{1/2} = 2.2 \times 10^9 \; s$,जिससे $\lambda = \frac{0.693}{2.2 \times 10^9} \approx 3.15 \times 10^{-10} \; s^{-1}$ प्राप्त होता है।
विघटन की दर $R$ और रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या $N$ के बीच का संबंध $R = \lambda N$ है।
यहाँ $R = 10^{10} \; s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $N = \frac{R}{\lambda} = \frac{10^{10}}{3.15 \times 10^{-10}} \approx 3.17 \times 10^{19}$ परमाणु।

(A) क्यूरी $(Ci)$ रेडियोधर्मिता की एक इकाई है। इसे रेडियोधर्मी पदार्थ की उस मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो प्रति सेकंड $3.7 \times 10^{10}$ विघटन (disintegrations) करती है,जो लगभग $1 \ g$ रेडियम-$226$ की सक्रियता के बराबर है।

(B) $t$ समय के बाद शेष नमूने का अंश $N/N_0 = 1 - 7/8 = 1/8$ है।
रेडियोधर्मी क्षय नियम $N = N_0(1/2)^n$ का उपयोग करने पर,$1/8 = (1/2)^n$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(1/2)^3 = (1/2)^n$,इसलिए $n = 3$ है।
चूंकि $n = t/T_{1/2}$ होता है,इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = t/3$ है।
अब,$15/16$ भाग के विघटित होने के लिए,शेष अंश $N/N_0 = 1 - 15/16 = 1/16$ है।
$N/N_0 = (1/2)^n$ का उपयोग करने पर,$1/16 = (1/2)^n$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(1/2)^4 = (1/2)^n$,इसलिए $n = 4$ है।
अतः आवश्यक कुल समय $t' = n \times T_{1/2} = 4 \times (t/3) = \frac{4}{3}t$ होगा।

(C) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = |dN/dt| = N\lambda$ द्वारा दी जाती है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
परिभाषा के अनुसार,क्षय नियतांक $\lambda$ प्रति इकाई समय में एक नाभिक के क्षय होने की प्रायिकता को दर्शाता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$t = 1/\lambda$ के लिए,शेष नाभिकों की संख्या $N(1/\lambda) = N e^{-\lambda(1/\lambda)} = N e^{-1} = N/e$ होती है।
विकल्प $C$ कहता है कि शेष नाभिकों की संख्या $N[1 - 1/e]$ है,जो क्षय हो चुके नाभिकों की संख्या को दर्शाता है,न कि शेष नाभिकों की। अतः,विकल्प $C$ गलत है।
अर्ध-आयु $T_{1/2} = \ln(2)/\lambda$ होती है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम बताता है कि क्षय की दर उस समय मौजूद रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या के समानुपाती होती है,जिसे $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\lambda$ क्षय नियतांक है,जो एक एकल रेडियोधर्मी नाभिक के लिए प्रति इकाई समय में क्षय की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है।
रेडियोधर्मी क्षय एक स्वतःस्फूर्त और यादृच्छिक प्रक्रिया है,जिसका अर्थ है कि किसी नाभिक के लिए क्षय की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि नाभिक कितने समय से अस्तित्व में है।
इसलिए,$\lambda$ रेडियोधर्मी समस्थानिक की एक स्थिर विशेषता है और यह परमाणु की आयु से स्वतंत्र है।

(B) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की विशिष्ट सक्रियता को प्रति इकाई द्रव्यमान सक्रियता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,$1 \, Curie$ $(1 \, Ci)$ इकाई को मूल रूप से $1 \, gram$ रेडियम-$226$ की सक्रियता के रूप में परिभाषित किया गया था।
इसलिए,रेडियम की विशिष्ट सक्रियता लगभग $1 \, Ci/g$ है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
अर्ध-आयु $t = \tau_{1/2}$ पर,शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 / 2$ होती है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda \tau_{1/2}}$।
$1/2 = e^{-\lambda \tau_{1/2}}$,जिसका अर्थ है $2 = e^{\lambda \tau_{1/2}}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln 2 = \lambda \tau_{1/2}$।
अतः,संबंध $\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ है।

(A) विशिष्ट सक्रियता को रेडियोधर्मी पदार्थ के प्रति इकाई द्रव्यमान की सक्रियता के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है,विशिष्ट सक्रियता $A_s = 1 \, Ci/g$ है।
नमूने का द्रव्यमान $m = 1 \, \mu g = 10^{-6} \, g$ है।
नमूने की सक्रियता $A$,विशिष्ट सक्रियता और नमूने के द्रव्यमान के गुणनफल द्वारा दी जाती है:
$A = A_s \times m$
$A = 1 \, Ci/g \times 10^{-6} \, g$
$A = 10^{-6} \, Ci$
चूंकि $1 \, \mu Ci = 10^{-6} \, Ci$ होता है,इसलिए सक्रियता $1 \, \mu Ci$ होगी।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{N}{N_0} = (1/2)^n$, जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{6400}{1600} = 4$.
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = (1/2)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः, $6400 \, \text{years}$ के बाद रेडियम के नमूने का शेष अंश $1/16$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
यहाँ, $T_{1/2} = 10 \, \text{दिन}$ और $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{10}$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{10} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{10}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(10^{-1}) = \frac{t}{10} \ln(2^{-1})$.
$- \ln(10) = - \frac{t}{10} \ln(2)$.
$t = 10 \times \frac{\ln(10)}{\ln(2)} = 10 \times \frac{2.303}{0.693} \approx 10 \times 3.32$.
$t \approx 33.2 \, \text{दिन}$.
अतः, आवश्यक समय लगभग $33 \, \text{दिन}$ है।

(A) किसी समय $t$ पर अविघटित नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
नमूने $A_1$ के लिए,$N_1 = N_0 e^{-(10\lambda_0)t}$।
नमूने $A_2$ के लिए,$N_2 = N_0 e^{-\lambda_0 t}$।
अविघटित नाभिकों का अनुपात $N_1/N_2 = \frac{N_0 e^{-10\lambda_0 t}}{N_0 e^{-\lambda_0 t}} = e^{-9\lambda_0 t}$ है।
दिया गया है कि $t = 1/(9\lambda_0)$,इस मान को अनुपात में रखने पर:
$N_1/N_2 = e^{-9\lambda_0 (1/9\lambda_0)} = e^{-1} = 1/e$।

(A) दिया गया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30 \ min$।
कुल समय $t = 2 \ \text{घंटे} = 120 \ min$।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{120}{30} = 4$।
प्रारंभिक सक्रियता $A_0$ और अंतिम सक्रियता $A$ के बीच संबंध $A = \frac{A_0}{2^n}$ है।
अंतिम सक्रियता $A = 5 \ \text{विघटन/सेकंड}$ दी गई है।
मान रखने पर: $5 = \frac{A_0}{2^4} = \frac{A_0}{16}$।
अतः, $A_0 = 5 \times 16 = 80 \ \text{विघटन/सेकंड}$।

(D) अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5$ वर्ष है।
कुल समय $t = 10$ वर्ष है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = t / T_{1/2} = 10 / 5 = 2$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे पदार्थ का अंश $N/N_0 = (1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4$ है।
क्षय हुए पदार्थ का अंश $1 - N/N_0$ है।
क्षय हुआ अंश $= 1 - 1/4 = 3/4 = 0.75$।

(A) क्षय प्रक्रिया $X \rightarrow Y$ है।
दी गई अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3$ दिन है।
कुल बीता हुआ समय $t = 6$ दिन है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = t / T_{1/2} = 6 / 3 = 2$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद $X$ का शेष द्रव्यमान $N = N_0(1/2)^n$ द्वारा दिया जाता है।
$N = 10 \times (1/2)^2 = 10 / 4 = 2.5 \, g$।
चूंकि कुल द्रव्यमान संरक्षित रहता है,इसलिए निर्मित $Y$ का द्रव्यमान $M_Y = N_0 - N = 10 - 2.5 = 7.5 \, g$ होगा।
अतः,$X$ का द्रव्यमान $2.5 \, g$ और $Y$ का द्रव्यमान $7.5 \, g$ होगा।

(A) सक्रियता $R$ का सूत्र $R = \lambda N$ है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ नाभिकों की संख्या है।
नाभिकों की संख्या $N = \frac{m}{M} \times N_A$,जहाँ $m = 1 \, mg = 10^{-3} \, g$,$M = 64 \, g/mol$,और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, atoms/mol$ है।
$N = \frac{10^{-3}}{64} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 9.41 \times 10^{18} \, atoms$.
अब,$R = (1.6 \times 10^{-5} \, s^{-1}) \times (9.41 \times 10^{18}) = 1.5056 \times 10^{14} \, Bq$.
क्यूरी $(Ci)$ में बदलने के लिए,$3.7 \times 10^{10} \, Bq/Ci$ से भाग देने पर:
$R = \frac{1.5056 \times 10^{14}}{3.7 \times 10^{10}} \approx 4069 \, Ci$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $4054 \, Ci$ है।

(B) दिया गया है: $X$ की अर्ध-आयु $(T_{1/2, X})$ = $Y$ की औसत आयु $(\tau_Y)$।
हम जानते हैं कि $T_{1/2, X} = \frac{\ln 2}{\lambda_X} \approx 0.693 \tau_X$।
साथ ही, $\tau_Y = \frac{1}{\lambda_Y}$।
चूंकि $T_{1/2, X} = \tau_Y$, इसलिए $0.693 \tau_X = \tau_Y$, जिसका अर्थ है कि $\tau_X > \tau_Y$।
क्षय नियतांक $\lambda = \frac{1}{\tau}$ होता है, इसलिए $\lambda_Y > \lambda_X$ होगा।
क्षय की दर $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है। चूंकि प्रारंभ में परमाणुओं की संख्या $N_0$ दोनों के लिए समान है, इसलिए जिस तत्व का क्षय नियतांक बड़ा होगा, वह तेजी से क्षय होगा।
अतः, $Y$, $X$ की तुलना में तेजी से क्षय होगा।

(D) $\alpha$-क्षय के लिए क्षय नियतांक $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{T_1}$ है।
$\beta$-क्षय के लिए क्षय नियतांक $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{T_2}$ है।
जब एक रेडियोधर्मी नाभिक दो अलग-अलग प्रक्रियाओं द्वारा क्षयित हो सकता है,तो कुल क्षय नियतांक व्यक्तिगत क्षय नियतांकों का योग होता है: $\lambda_{eq} = \lambda_1 + \lambda_2$.
चूंकि $\lambda_{eq} = \frac{\ln 2}{T_{eq}}$,इसलिए $\frac{\ln 2}{T_{eq}} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$ होता है।
$\ln 2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{T_{eq}} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{T_1 + T_2}{T_1 T_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रभावी अर्ध-आयु $T_{eq} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$ है।

(C) रेडियो-सक्रिय क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है कि नमूने का $3/4$ भाग क्षयित हो जाता है,इसलिए शेष मात्रा $N(t) = N_0 - \frac{3}{4} N_0 = \frac{1}{4} N_0$ है।
इसे क्षय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{4} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $2 = \frac{t}{T_{1/2}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t = 3/4 \, s$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{3/4}{T_{1/2}}$ होगा।
अतः,$T_{1/2} = \frac{3/4}{2} = 3/8 \, s$।

(C) दिया गया है: अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30$ दिन,कुल समय $t = 90$ दिन।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$ है।
रेडियोधर्मी पदार्थ की शेष मात्रा $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8}$।
क्षय हुई मात्रा $N_{decayed} = N_0 - N = N_0 - \frac{N_0}{8} = \frac{7N_0}{8}$ है।
क्षय का प्रतिशत $\frac{N_{decayed}}{N_0} \times 100 = \frac{7}{8} \times 100 = 87.5\%$ होगा।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{t_{1/2}}}$
दिया गया है:
प्रारंभिक द्रव्यमान = $M_0$
अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ = $5 \text{ वर्ष}$
कुल समय $(t)$ = $15 \text{ वर्ष}$
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ = $\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$
सूत्र में मान रखने पर:
$M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$M = M_0 \left( \frac{1}{8} \right)$
$M = \frac{M_0}{8}$

(A) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $7/8$ नाभिक क्षय हो चुके हैं,इसलिए शेष भाग $1 - 7/8 = 1/8$ है।
अतः,$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{T_{1/2}}}$.
चूंकि $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{T_{1/2}}}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $3 = \frac{15}{T_{1/2}}$.
अतः,$T_{1/2} = \frac{15}{3} = 5 \ min$.

(B) रेडियोधर्मी पदार्थ के शेष द्रव्यमान के लिए सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ है, जहाँ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ अर्ध-आयु की संख्या है。
दिया गया है: प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0 = 10.38 \, g$, अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3.8 \, \text{दिन}$, और कुल समय $t = 19 \, \text{दिन}$ है。
सबसे पहले, अर्ध-आयु की संख्या की गणना करें: $n = \frac{19}{3.8} = 5$.
अब, मानों को सूत्र में रखें: $N = \frac{10.38}{2^5}$.
$N = \frac{10.38}{32} = 0.324375 \, g$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, शेष द्रव्यमान $0.32 \, g$ है。