Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે બાકી રહેલો ભાગ $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 4$ છે.
કુલ સમય $t = 1 \text{ કલાક} = 60 \text{ મિનિટ}$ હોવાથી,$n = \frac{t}{T_{1/2}}$ થાય.
$4 = \frac{60}{T_{1/2}}$.
$T_{1/2} = \frac{60}{4} = 15 \text{ મિનિટ}$.

(A) ધારો કે બાકી રહેલા યુરેનિયમ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_U$ છે અને બનેલા લેડ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_{Pb}$ છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $N_U : N_{Pb} = 1:1$,તેથી $N_U = N_{Pb}$.
શરૂઆતમાં યુરેનિયમ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0 = N_U + N_{Pb} = N_U + N_U = 2N_U$ હતી.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N_U = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $N_U = (2N_U) \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$.
$N_U$ વડે ભાગતા: $1 = 2 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$,જેનું સાદું રૂપ $1/2 = (1/2)^{t/T_{1/2}}$ થાય છે.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા: $t/T_{1/2} = 1$.
તેથી,$t = T_{1/2} = 4.5 \times 10^9$ વર્ષ.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની ઍક્ટિવિટી $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ ક્ષય ન પામેલા ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા છે.
$t_1$ સમયે,ઍક્ટિવિટી $A_1 = \lambda N_1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $N_1 = A_1 / \lambda$.
$t_2$ સમયે,ઍક્ટિવિટી $A_2 = \lambda N_2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $N_2 = A_2 / \lambda$.
$(t_1 - t_2)$ સમયગાળા દરમિયાન ક્ષય પામતા ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા એ $t_1$ અને $t_2$ સમયે હાજર ન્યુક્લિયસોની સંખ્યાનો તફાવત છે.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા $= N_1 - N_2 = \frac{A_1}{\lambda} - \frac{A_2}{\lambda} = \frac{A_1 - A_2}{\lambda}$.

(C) ક્ષયનો દર $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રતિ સેકન્ડે ઉત્સર્જિત આલ્ફા કણોની સંખ્યા $n$ છે,તેથી $\frac{dN}{dt} = n$.
તેથી,$n = \lambda N$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{n}{N}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ એ સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T_{1/2} = \frac{0.693 \, N}{n} \, s$ મળે છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ ના નિયમનું પાલન કરે છે.
આપેલ છે: $A_0 = 9750 \text{ counts/min}$,$A(t) = 975 \text{ counts/min}$,અને $t = 5 \text{ min}$.
કિંમતો મૂકતા: $975 = 9750 e^{-5\lambda}$.
$\frac{975}{9750} = e^{-5\lambda} \Rightarrow 0.1 = e^{-5\lambda}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(0.1) = -5\lambda$.
કારણ કે $\ln(0.1) = -\ln(10) \approx -2.3026$,તેથી $-2.3026 = -5\lambda$.
$\lambda = \frac{2.3026}{5} = 0.46052 \approx 0.461 \text{ min}^{-1}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ છે, જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે, $t$ એ કુલ સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે: $N_0 = 0.1 \ mg = 100 \ \mu g$, $t = 120 \ \text{દિવસ}$, અને $T = 24 \ \text{દિવસ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T} = \frac{120}{24} = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$N = 100 \times \left( \frac{1}{2} \right)^5 = \frac{100}{32} \ \mu g$.
$N = 3.125 \ \mu g$.
આમ, અવિભંજિત પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો $3.125 \ \mu g$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક દળ $M_0 = 10 \, g$ અને સમય $t = 2\tau$,જ્યાં $\tau$ એ સરેરાશ જીવનકાળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સરેરાશ જીવનકાળ $\tau = \frac{1}{\lambda}$,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
તેથી,$t = 2 \times \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda}$.
રેડિયો-ઍક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $M = M_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $M = 10 \times e^{-\lambda \times (2/\lambda)} = 10 \times e^{-2}$.
કારણ કે $e \approx 2.718$,તેથી $e^2 \approx 7.389$.
$M = \frac{10}{7.389} \approx 1.35 \, g$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t / T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $^{14}C : ^{12}C$ નો ગુણોત્તર મૂળ ગુણોત્તરના $1/16$ ભાગનો છે,તેથી $(1/2)^n = 1/16$.
કારણ કે $1/16 = (1/2)^4$,ઘાતાંકોને સરખાવતા આપણને મળે છે: $n = 4$.
$n = t / T_{1/2}$ મૂકતા,આપણને $t / 5730 = 4$ મળે છે.
તેથી,અશ્મિ હાડકાંની ઉંમર $t = 4 \times 5730 = 22920 \text{ વર્ષ}$ છે.

(D) ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 (1/2)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ બાકી રહેલો જથ્થો છે,$N_0$ પ્રારંભિક જથ્થો છે,$t$ સમય છે અને $T$ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
અહીં $10\%$ ક્ષય થાય છે,એટલે કે $10\%$ બાકી રહે છે (પ્રશ્નના વિકલ્પો મુજબ),તેથી $N = 0.10 N_0$.
કિંમતો મૂકતા: $0.10 N_0 = N_0 (1/2)^{t/22}$.
$0.1 = (1/2)^{t/22}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log_{10}(0.1) = (t/22) \log_{10}(0.5)$.
$-1 = (t/22) \times (-0.3010)$.
$t = 22 / 0.3010 \approx 73.09 \text{ વર્ષ}$.
આમ,સાચો જવાબ $73 \text{ વર્ષ}$ છે.

(C) અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ નું સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ છે.
અહીં $T_{1/2} = 1600$ વર્ષ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{0.693}{\lambda} = 1600$ વર્ષ.
સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ ને $\tau = \frac{1}{\lambda}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અર્ધ-આયુષ્યના સમીકરણ પરથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1600}{0.693}$.
આ કિંમતની ગણતરી કરતા: $\tau \approx 2308.8$ વર્ષ.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,સરેરાશ આયુષ્ય આશરે $2300$ વર્ષ થાય છે.

(B) $m$ ગ્રામ દળમાં રહેલા મોલની સંખ્યા $n = \frac{m}{M_w}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ ગ્રામ દળમાં રહેલા કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા $N = n \times N_A = \frac{m}{M_w} N_A$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવિટી $R$ ને $R = \lambda N$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$N$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = \lambda \left( \frac{m}{M_w} N_A \right) = \left[ \frac{N_A}{M_w} m \right] \lambda$ મળે છે.

(B) ક્ષય પામ્યા વગર બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = 2^{-n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ છે。
અહીં $t = 20 \, \text{hours}$ અને $T_{1/2} = 40 \, \text{hours}$ આપેલ છે, તેથી અર્ધઆયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{20}{40} = 0.5$ થાય。
તેથી, બાકી રહેલો અંશ $\frac{N}{N_0} = 2^{-0.5} = \frac{1}{2^{0.5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે。
ક્ષય પામેલો અંશ $1 - \frac{N}{N_0}$ થાય。
ક્ષય પામેલો અંશ $= 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.

(D) રેડિયો-ઍક્ટિવ નમૂનાની ઍક્ટિવિટી $140$ દિવસમાં $6000 \, dps$ થી ઘટીને $3000 \, dps$ થાય છે.
ઍક્ટિવિટી અડધી થતી હોવાથી,નમૂનાનો અર્ધઆયુ $(T_{1/2})$ $140$ દિવસ છે.
શરૂઆતથી પ્રથમ માપન સુધીનો સમય $280$ દિવસ છે.
અર્ધઆયુની સંખ્યા $(n)$ $= \frac{280}{140} = 2$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઍક્ટિવિટી $A_0$ છે. $n$ અર્ધઆયુ પછી ઍક્ટિવિટી $A = A_0 \times (1/2)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $n = 2$ સમયે $A = 6000 \, dps$ છે,તેથી $6000 = A_0 \times (1/2)^2$.
$6000 = A_0 \times (1/4)$.
$A_0 = 6000 \times 4 = 24000 \, dps$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલો જથ્થો છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે,$t$ એ કુલ સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
અહીં આપેલ છે કે $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{64}$ અને $t = 15$ કલાક.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{15/T}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 2^6$,તેથી $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^6$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{15}{T} = 6$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{15}{6} = 2.5$ કલાક.

(B) ટ્રીટ્રીયમનું અર્ધ આયુષ્ય $T_{1/2} = 12.3 \ \text{વર્ષ}$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેતો જથ્થો $N = \frac{N_0}{2^n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અહીં $t = 49.2 \ \text{વર્ષ}$ અને $T_{1/2} = 12.3 \ \text{વર્ષ}$ આપેલ છે, તેથી અર્ધ આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{49.2}{12.3} = 4$ થશે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{32}{2^4} = \frac{32}{16} = 2 \ mg$.
આમ, $49.2$ વર્ષ પછી $2 \ mg$ ટ્રીટ્રીયમ બાકી રહેશે.

(C) સમય $t$ બાદ બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 1/\lambda$ છે,તેથી બે સરેરાશ આયુષ્ય માટેનો સમય $t = 2\tau = 2/\lambda$ થાય.
આ કિંમતને ક્ષયના સમીકરણમાં મૂકતા: $N = N_0 e^{-\lambda(2/\lambda)} = N_0 e^{-2}$.
અહીં $N_0 = 10 \, g$ આપેલ છે,તેથી બાકી રહેલ રેડિયોએક્ટિવ દળ $N = 10 \times e^{-2} \approx 10 \times 0.135 = 1.35 \, g$ થાય.
પરંતુ,રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયની પ્રક્રિયામાં,ઉત્પન્ન થતા નવા ન્યુક્લિયસ (daughter nuclei) પાત્રમાં જ રહે છે (જો તે વાયુ સ્વરૂપે ન હોય તો). દળ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પાત્રમાં રહેલું કુલ દળ $10 \, g$ જ રહેશે.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા $N_t = N_o e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t_1$ પર,અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t_1) = N_o e^{-\lambda t_1}$ છે.
સમય $t_2$ પર,અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t_2) = N_o e^{-\lambda t_2}$ છે.
$t_1$ અને $t_2$ સમયગાળા દરમિયાન વિખંડન પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા એ $t_1$ અને $t_2$ સમયે અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યાનો તફાવત છે:
$\Delta N = N(t_1) - N(t_2)$
પદો મૂકતા:
$\Delta N = N_o e^{-\lambda t_1} - N_o e^{-\lambda t_2}$
$N_o$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta N = N_o [e^{-\lambda t_1} - e^{-\lambda t_2}]$

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ છે, જ્યાં $n$ એ અર્ધઆયુની સંખ્યા છે。
અહીં $N_0 = 100 \, \text{g}$ અને $N = 25 \, \text{g}$ આપેલ છે。
કિંમતો મૂકતા: $\frac{25}{100} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^n \Rightarrow \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
આમ, $n = 2$.
કુલ સમય $t$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $t = n \times T_{1/2}$ છે。
$t = 2 \times 1600 \, \text{વર્ષ} = 3200 \, \text{વર્ષ}$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A$ નું સૂત્ર $A = A_0 e^{-\lambda t}$ છે.
આપેલ છે: $A_0 = 5000$ વિભંજન/મિનિટ, $A = 1250$ વિભંજન/મિનિટ, અને $t = 5$ મિનિટ.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$1250 = 5000 e^{-\lambda \times 5}$
$\frac{1250}{5000} = e^{-5\lambda}$
$\frac{1}{4} = e^{-5\lambda}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(ln)$ લેતા:
$\ln(1/4) = -5\lambda$
$-\ln(4) = -5\lambda$
$\ln(2^2) = 5\lambda$
$2 \ln 2 = 5\lambda$
$\lambda = \frac{2 \ln 2}{5} = 0.4 \ln 2$ પ્રતિ મિનિટ.

(B) રેડિયો-ઍક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,કોઈપણ સમય $t$ પર ઍક્ટિવિટી $R$ એ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક ઍક્ટિવિટી છે.
સમય $t_1$ પર,ઍક્ટિવિટી $R_1 = R_0 e^{-\lambda t_1}$ છે.
સમય $t_2$ પર,ઍક્ટિવિટી $R_2 = R_0 e^{-\lambda t_2}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 e^{-\lambda t_1}}{R_0 e^{-\lambda t_2}}$
$\frac{R_1}{R_2} = e^{-\lambda t_1} \cdot e^{\lambda t_2} = e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$
તેથી,$R_1 = R_2 e^{-\lambda(t_1 - t_2)}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે એક્ટિવિટી સમાન છે,તેથી $A_X = A_Y$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ હોવાથી,આપણને $\frac{\ln 2}{T_X} N_X = \frac{\ln 2}{T_Y} N_Y$ મળે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{N_X}{T_X} = \frac{N_Y}{T_Y}$ મળે છે.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,$\frac{N_X}{N_Y} = \frac{T_X}{T_Y}$ મળે છે.
અહીં $T_X = 3 \ min$ અને $T_Y = 27 \ min$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{N_X}{N_Y} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ થાય.
આમ,ઉત્તેજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $1 : 9$ છે.

(A) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 100 \ s$.
કુલ સમય $t = 5 \ min = 5 \times 60 \ s = 300 \ s$.
પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 8 \ g$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{300}{100} = 3$.
બાકી રહેલ જથ્થો $N$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \times (1/2)^n$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = 8 \times (1/2)^3 = 8 \times (1/8) = 1 \ g$.
આમ,$1 \ g$ પદાર્થ બાકી રહેશે.

(A) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ રેડિયો-ઍક્ટિવ તત્વ માટે,$\lambda_1 = 15x$ અને $t = \frac{1}{6x}$.
$N_1 = N_0 e^{-(15x) \times \frac{1}{6x}} = N_0 e^{-\frac{15}{6}} = N_0 e^{-\frac{5}{2}}$.
બીજા રેડિયો-ઍક્ટિવ તત્વ માટે,$\lambda_2 = 3x$ અને $t = \frac{1}{6x}$.
$N_2 = N_0 e^{-(3x) \times \frac{1}{6x}} = N_0 e^{-\frac{3}{6}} = N_0 e^{-\frac{1}{2}}$.
ન્યુક્લિયસોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-\frac{5}{2}}}{N_0 e^{-\frac{1}{2}}}$ છે.
$\frac{N_1}{N_2} = e^{-\frac{5}{2} + \frac{1}{2}} = e^{-\frac{4}{2}} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$.

(A) ધારો કે રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ છે. $t = 1$ મહિના પછી,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0(1 - 0.10) = 0.90N_0$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = 1$ મહિના માટે:
$0.90N_0 = N_0 e^{-\lambda(1)} \Rightarrow e^{-\lambda} = 0.90$.
$t = 4$ મહિના પછી,બાકી રહેલો જથ્થો $N' = N_0 e^{-\lambda(4)} = N_0 (e^{-\lambda})^4$ છે.
$e^{-\lambda}$ ની કિંમત મૂકતા:
$N' = N_0 (0.90)^4 = N_0 (0.6561)$.
વિભંજિત થયેલ નમૂનાનો અંશ $1 - \frac{N'}{N_0} = 1 - 0.6561 = 0.3439$ છે.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,વિભંજિત ભાગ $34.39\%$ થાય છે.

(B) ધારો કે શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_{01} = 2x$ અને $N_{02} = 3x$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_1 = 1 \ h$ અને $T_2 = 2 \ h$ છે.
$t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ નમૂના માટે $t = 6 \ h$ પછી: $N_1 = 2x \left( \frac{1}{2} \right)^{6/1} = 2x \left( \frac{1}{64} \right) = \frac{x}{32}$.
બીજા નમૂના માટે $t = 6 \ h$ પછી: $N_2 = 3x \left( \frac{1}{2} \right)^{6/2} = 3x \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 3x \left( \frac{1}{8} \right) = \frac{3x}{8}$.
ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{x/32}{3x/8} = \frac{x}{32} \times \frac{8}{3x} = \frac{1}{4 \times 3} = \frac{1}{12}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:12$ થશે.

(D) રેડિયો એક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ અવિભંજિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આપેલ સરેરાશ આયુષ્ય $T = \frac{1}{\lambda}$ હોવાથી,આપણને $\lambda = \frac{1}{T}$ મળે છે.
સમય $T_1$ પર,હાજર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1 = \frac{R_1}{\lambda} = R_1 T$ છે.
સમય $T_2$ પર,હાજર ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2 = \frac{R_2}{\lambda} = R_2 T$ છે.
સમય $T_1$ અને $T_2$ ની વચ્ચે વિભંજન પામતા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ આ સમયગાળા દરમિયાન હાજર ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો તફાવત છે:
$\Delta N = N_1 - N_2 = R_1 T - R_2 T = (R_1 - R_2)T$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A = \lambda N = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ન્યુક્લિયસનો પ્રારંભિક ગુણોત્તર $N_1/N_2 = 2/3$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ છે.
સમય $t$ પર એક્ટિવિટી $A(t) = \lambda N(t) = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ છે.
$t = 12 \ hours$ પર બંને નમૂનાઓ માટે:
$A_1 = \frac{\ln 2}{2} N_1 (1/2)^{12/2} = \frac{\ln 2}{2} N_1 (1/2)^6 = \frac{\ln 2}{2} N_1 \cdot \frac{1}{64}$.
$A_2 = \frac{\ln 2}{3} N_2 (1/2)^{12/3} = \frac{\ln 2}{3} N_2 (1/2)^4 = \frac{\ln 2}{3} N_2 \cdot \frac{1}{16}$.
એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{N_2} \cdot \frac{T_{1/2, 2}}{T_{1/2, 1}} \cdot \frac{(1/2)^{12/T_{1/2, 1}}}{(1/2)^{12/T_{1/2, 2}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{(1/2)^6}{(1/2)^4} = 1 \cdot (1/2)^2 = 1/4$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A = \left| \frac{dN(t)}{dt} \right| = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln A = \ln(\lambda N_0) - \lambda t$ મળે છે.
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ઢાળ $\text{slope} = \frac{3 - 4}{6 - 4} = \frac{-1}{2}$ છે.
આમ,$-\lambda = -\frac{1}{2}$,જે ક્ષય અચળાંક $\lambda = 0.5 \text{ year}^{-1}$ આપે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.5} = 1.386 \text{ years}$ છે.
સમય $t$ પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ છે.
$t = 4.16 \text{ years}$ આપેલ છે,તેથી વીતેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{4.16}{1.386} \approx 3$ છે.
તેથી,બાકી રહેલો અંશ $\frac{N(t)}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ છે.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $p$ ના અવયવથી ઘટતી હોવાથી,$\frac{N(t)}{N_0} = \frac{1}{p} = \frac{1}{8}$,જે સૂચવે છે કે $p = 8$.

(B) રેડિયો-ઍક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$ દિવસ પછી,$10\%$ વિભંજન થાય છે,તેથી $90\%$ બાકી રહે છે: $0.9 N_0 = N_0 e^{-5\lambda}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(0.9) = -5\lambda$,અથવા $5\lambda = -\ln(0.9) = \ln(1/0.9)$.
$20$ દિવસ પછી,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 e^{-20\lambda}$ છે.
$20\lambda = 4 \times (5\lambda) = 4 \ln(1/0.9)$ મૂકતા:
$N = N_0 e^{-4 \ln(1/0.9)} = N_0 (1/0.9)^{-4} = N_0 (0.9)^4$.
$(0.9)^4 = 0.81 \times 0.81 = 0.6561$ ગણતરી કરતા.
આમ,$N \approx 0.656 N_0$,જે આશરે $65.6\%$ છે. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $65\%$ છે.

(A) ધારો કે $t = 0$ સમયે શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0 = 10^{20}$ છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$-મા વર્ષ દરમિયાન ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા એ તે વર્ષની શરૂઆતમાં અને અંતમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યાનો તફાવત છે: $\Delta N_n = N(n-1) - N(n) = N_0 e^{-\lambda(n-1)} (1 - e^{-\lambda})$.
બીજા વર્ષ માટે $(n=2)$: $\Delta N_2 = N_0 e^{-\lambda} (1 - e^{-\lambda})$.
ત્રીજા વર્ષ માટે $(n=3)$: $\Delta N_3 = N_0 e^{-2\lambda} (1 - e^{-\lambda})$.
આપેલ છે કે $\Delta N_3 = 0.3 \times \Delta N_2$,તેથી:
$N_0 e^{-2\lambda} (1 - e^{-\lambda}) = 0.3 \times N_0 e^{-\lambda} (1 - e^{-\lambda})$.
બંને બાજુ $N_0 (1 - e^{-\lambda}) e^{-\lambda}$ વડે ભાગતા,આપણને $e^{-\lambda} = 0.3$ મળે છે.
પ્રથમ વર્ષમાં $(n=1)$ ઉત્સર્જિત $\alpha$-કણોની સંખ્યા:
$\Delta N_1 = N_0 - N_1 = N_0 - N_0 e^{-\lambda} = N_0 (1 - e^{-\lambda})$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta N_1 = 10^{20} (1 - 0.3) = 10^{20} (0.7) = 7 \times 10^{19}$.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર ઍક્ટિવિટી $I$ એ $I(t) = I_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ $t=0$ સમયે પ્રારંભિક ઍક્ટિવિટી છે.
આપેલ છે કે $I_0 = n$ અને સરેરાશ જીવનકાળ $\tau = 1/\lambda$,તેથી $\lambda = 1/\tau$ થાય.
સમયગાળા $0$ થી $t$ ની વચ્ચે વિભંજન પામતાં ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા એ તે સમય દરમિયાન ઍક્ટિવિટીનું સંકલન છે:
$N_{decayed} = \int_{0}^{t} I(t') dt' = \int_{0}^{t} I_0 e^{-\lambda t'} dt'$
$N_{decayed} = I_0 \left[ \frac{e^{-\lambda t'}}{-\lambda} \right]_{0}^{t} = \frac{I_0}{\lambda} (1 - e^{-\lambda t})$
$I_0 = n$ અને $\lambda = 1/\tau$ મૂકતા:
$N_{decayed} = n \tau (1 - e^{-t/\tau})$.

(A) આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે ઍક્ટિવિટી $I = I_0$ અને $t = 5$ મિનિટ સમયે $I = I_0/e$ છે.
રેડિયો-ઍક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $I = I_0 e^{-\lambda t}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{I_0}{e} = I_0 e^{-5\lambda}$
$e^{-1} = e^{-5\lambda}$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$5\lambda = 1$,તેથી $\lambda = \frac{1}{5} \text{ min}^{-1}$.
જે સમયે ઍક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધી થાય તે સમયને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ કહે છે.
$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \frac{\ln(2)}{1/5} = 5 \ln(2)$.
અહીં $\ln(2) = \log_e(2)$ હોવાથી,જવાબ $5 \log_e(2)$ મળે છે.

(A) એક્ટિવિટી $R$ નું સૂત્ર $R = \lambda N$ છે, જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ અને $N = \frac{m}{M} \times N_A$ છે.
આપેલ છે:
$T_{1/2} = 1620 \, \text{વર્ષ} = 1620 \times 365 \times 24 \times 3600 \, \text{સેકન્ડ} \approx 5.11 \times 10^{10} \, \text{s}$.
$m = 1 \, \text{g}$, $M = 226 \, \text{g/mol}$, $N_A = 6.023 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol}$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{1}{226} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.665 \times 10^{21} \, \text{atoms}$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{5.11 \times 10^{10}} \approx 1.356 \times 10^{-11} \, \text{s}^{-1}$.
એક્ટિવિટી $R = \lambda N = (1.356 \times 10^{-11}) \times (2.665 \times 10^{21}) \approx 3.61 \times 10^{10} \, \text{decays/s}$.

(C) ક્ષયની પ્રક્રિયા $X \rightarrow Y$ છે.
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,ધારો કે $X$ નો જથ્થો $N_0 = 8$ અને $Y = 0$ છે.
$t$ સમયે,$X$ અને $Y$ નો ગુણોત્તર $1:7$ છે,જેનો અર્થ છે કે $N_X = 1$ અને $N_Y = 7$.
કુલ પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = N_X + N_Y = 1 + 7 = 8$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_0 (1/2)^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$1 = 8 \times (1/2)^n \Rightarrow (1/2)^3 = (1/2)^n \Rightarrow n = 3$.
ખડકનું આયુષ્ય $t = n \times T_{1/2}$ થાય.
અહીં $T_{1/2} = 1.37 \times 10^9 \, y$ આપેલ છે.
તેથી,$t = 3 \times 1.37 \times 10^9 \, y = 4.11 \times 10^9 \, y$.

(A) પ્રારંભમાં ખડકમાં માત્ર રેડિયો-ઍક્ટિવ સમસ્થાનિક $X$ જ છે. ધારો કે તેનું પ્રારંભિક પ્રમાણ $N_0 = 8 \, g$ છે.
$t$ સમય બાદ, $X$ અને $Y$ નું પ્રમાણ $1:7$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $1 \, g$ જેટલું $X$ બાકી છે અને $7 \, g$ જેટલું $Y$ બન્યું છે.
કુલ જથ્થો અચળ રહે છે, તેથી પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 1 \, g + 7 \, g = 8 \, g$ થાય.
$t$ સમય બાદ બાકી રહેલ અવિભંજિત સમસ્થાનિક $X$ નો જથ્થો $N = 1 \, g$ છે.
રેડિયો-ઍક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ, $N = N_0 (1/2)^n$, જ્યાં $n$ એ અર્ધઆયુની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = 8 \times (1/2)^n$, જેનું સાદું રૂપ $(1/2)^n = 1/8$ થાય.
કારણ કે $1/8 = (1/2)^3$, તેથી $n = 3$ મળે.
ખડકનું આયુષ્ય $t = n \times T_{1/2}$ છે, જ્યાં $T_{1/2} = 20 \, \text{વર્ષ}$.
તેથી, $t = 3 \times 20 = 60 \, \text{વર્ષ}$।

(C) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$.
અહીં $N_0 = 4 \times 10^{16}$,$T_{1/2} = 10 \ days$,અને $t = 30 \ days$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અર્ધઆયુની સંખ્યા શોધો: $n = \frac{30}{10} = 3$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા $N = 4 \times 10^{16} \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 4 \times 10^{16} \times \frac{1}{8} = 0.5 \times 10^{16}$.
વિભંજન પામેલા ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા $N_{decayed} = N_0 - N$ થાય.
$N_{decayed} = 4 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 3.5 \times 10^{16}$.

(A) બે પ્રક્રિયાઓ માટે ક્ષય અચળાંકો $\lambda_1 = \frac{0.693}{T_1}$ અને $\lambda_2 = \frac{0.693}{T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T_1 = 1620 \text{ વર્ષ}$ અને $T_2 = 810 \text{ વર્ષ}$ આપેલ છે.
પરિણામી ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{net}} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય.
$\lambda_{\text{net}} = 0.693 \left( \frac{1}{1620} + \frac{1}{810} \right) = 0.693 \left( \frac{1 + 2}{1620} \right) = 0.693 \left( \frac{3}{1620} \right) = \frac{0.693}{540} \text{ વર્ષ}^{-1}$.
પરિણામી અર્ધ-આયુષ્ય $T_{\text{net}} = \frac{0.693}{\lambda_{\text{net}}} = 540 \text{ વર્ષ}$ છે.
પદાર્થ તેના પ્રારંભિક જથ્થાના ચોથા ભાગનો રહે તે માટે જરૂરી સમય $t$ એ $N = N_0 (1/2)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$1/4 = (1/2)^2$ હોવાથી,$n = 2$ મળે.
તેથી,$t = n \times T_{\text{net}} = 2 \times 540 = 1080 \text{ વર્ષ}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N(t)$ એ $t$ સમયે કાઉન્ટિંગ દર છે.
આપેલ છે કે $N(0) = N_0 = 1600 \text{ counts/s}$ અને $N(8) = 100 \text{ counts/s}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $100 = 1600 e^{-\lambda(8)}$.
$e^{-8\lambda} = \frac{100}{1600} = \frac{1}{16}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-8\lambda = \ln(1/16) = -\ln(16) = -4\ln(2)$.
તેથી,$8\lambda = 4\ln(2)$,જે આપે છે $\lambda = \frac{\ln(2)}{2} \text{ s}^{-1}$.
હવે,આપણે $t = 6 \text{ s}$ સમયે કાઉન્ટિંગ દર $N(6)$ શોધવાનો છે:
$N(6) = N_0 e^{-\lambda(6)} = 1600 e^{-(\frac{\ln 2}{2}) \times 6}$.
$N(6) = 1600 e^{-3\ln 2} = 1600 e^{\ln(2^{-3})} = 1600 \times 2^{-3}$.
$N(6) = 1600 \times \frac{1}{8} = 200 \text{ counts/s}$.

(C) રેડિયો એક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
અર્ધ આયુષ્ય $T$ આપેલું હોવાથી,$N(T) = N_0/2 = N_0 e^{-\lambda T}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $e^{-\lambda T} = 1/2$,તેથી $\lambda T = \ln 2$,અથવા $\lambda = (\ln 2)/T$.
આપણે $t = T/2$ સમય પછી બાકી રહેતો અંશ શોધવાનો છે,જે $N(T/2)/N_0 = e^{-\lambda (T/2)}$ છે.
$\lambda = (\ln 2)/T$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$N(T/2)/N_0 = e^{-[(\ln 2)/T] \cdot (T/2)} = e^{-(\ln 2)/2} = e^{-\ln(2^{1/2})} = e^{\ln(2^{-1/2})} = 2^{-1/2} = 1/\sqrt{2}$.
તેથી,બાકી રહેતો પદાર્થનો અંશ $1/\sqrt{2}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા $N_0$ છે અને $t$ સમય પછી અવિભંજિત ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા $N$ છે.
આપેલ છે કે $99\%$ ન્યુક્લિયસોનું વિભંજન થાય છે,તેથી અવિભંજિત ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા $N = N_0 - 0.99N_0 = 0.01N_0$ થાય.
રેડિયો-ઍક્ટિવ વિભંજનના નિયમ મુજબ: $N = N_0(1/2)^n$,જ્યાં $n = t/\tau_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.01N_0 = N_0(1/2)^n \Rightarrow (1/2)^n = 0.01 \Rightarrow 2^n = 100$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $n \log_{10}(2) = \log_{10}(100)$.
$n \times 0.3010 = 2$.
$n = 2 / 0.3010 \approx 6.64$.
તેથી,$n = t/\tau_{1/2}$ હોવાથી,$t = n \times \tau_{1/2} \approx 6.64 \tau_{1/2}$.
આ કિંમત $6\tau_{1/2}$ અને $7\tau_{1/2}$ ની વચ્ચે આવે છે.

(D) ધારો કે $t$ એ ઈન્ડસ વેલી સભ્યતાનું આયુષ્ય છે.
ક્ષયનો દર $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N = N_0 e^{-\lambda t}$ હોવાથી, $t$ સમયે એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ થાય, જ્યાં $R_0$ એ પ્રારંભિક ક્ષય દર છે.
અહીં $R_0 = 15$ ક્ષય/મિનિટ અને $R = 9$ ક્ષય/મિનિટ આપેલ છે.
તેથી, $\frac{R}{R_0} = e^{-\lambda t} \implies \frac{9}{15} = e^{-\lambda t} \implies \frac{3}{5} = e^{-\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(3/5) = -\lambda t \implies \lambda t = \ln(5/3)$.
$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ હોવાથી, $t = \frac{\ln(5/3)}{\ln 2} \times T_{1/2}$ મળે.
$T_{1/2} = 5730$ વર્ષ આપેલ હોવાથી, $t = \frac{\ln(1.667)}{\ln 2} \times 5730 \approx \frac{0.5108}{0.6931} \times 5730 \approx 0.737 \times 5730 \approx 4224$ વર્ષ.

(B) આપેલ છે: એક્ટિવિટી $A = 1 \ mCi = 3.7 \times 10^7 \ \text{વિભંજન/સેકન્ડ}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1.9 \ \text{વર્ષ} = 1.9 \times 365 \times 24 \times 3600 \ \text{સેકન્ડ} \approx 5.99 \times 10^7 \ \text{સેકન્ડ}$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5.99 \times 10^7} \approx 1.157 \times 10^{-8} \ \text{સેકન્ડ}^{-1}$.
સૂત્ર $A = \lambda N$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $N$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા છે: $N = \frac{A}{\lambda} = \frac{3.7 \times 10^7}{1.157 \times 10^{-8}} \approx 3.198 \times 10^{15} \ \text{પરમાણુઓ}$.
દળ $m = \frac{N \times M}{N_A}$, જ્યાં $M = 227 \ \text{g/mol}$ અને $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ \text{પરમાણુ/મોલ}$.
$m = \frac{3.198 \times 10^{15} \times 227}{6.023 \times 10^{23}} \approx 1.206 \times 10^{-6} \ \text{g} = 1.206 \ \mu g$.

(A) રેડિયો-ઍક્ટિવ પદાર્થનો $t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તત્વ $A$ માટે: $N_A = 10 (1/2)^{t/1}$.
તત્વ $B$ માટે: $N_B = 1 (1/2)^{t/2}$.
આપેલ છે કે બાકી રહેલો જથ્થો સમાન છે,તેથી $N_A = N_B$.
$10 (1/2)^t = (1/2)^{t/2}$.
$10 = (1/2)^{t/2} / (1/2)^t = (1/2)^{t/2 - t} = (1/2)^{-t/2} = 2^{t/2}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} 10 = (t/2) \log_{10} 2$.
$1 = (t/2) \times 0.3010$.
$t = 2 / 0.3010 \approx 6.64 \, years$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ $6.62$ વર્ષ).

(A) સમય $t$ પછી રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો $N = \frac{N_0}{2^{t/T_{1/2}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક ગુણોત્તર $\frac{N_{01}}{N_{02}} = \frac{2}{1}$,$T_{1/2,1} = 12 \text{ કલાક}$,$T_{1/2,2} = 16 \text{ કલાક}$,અને સમય $t = 2 \text{ દિવસ} = 48 \text{ કલાક}$.
બાકી રહેલા જથ્થાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_{01} \cdot 2^{-t/T_{1/2,1}}}{N_{02} \cdot 2^{-t/T_{1/2,2}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{N_1}{N_2} = \left(\frac{2}{1}\right) \cdot \frac{2^{-48/12}}{2^{-48/16}} = 2 \cdot \frac{2^{-4}}{2^{-3}} = 2 \cdot 2^{-4+3} = 2 \cdot 2^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(D) આપેલ છે: અર્ધઆયુ $T_{1/2} = 138.6 \, \text{દિવસ} = 138.6 \times 24 \, \text{કલાક} = 3326.4 \, \text{કલાક}$.
શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0 = 1,000,000$.
સમયગાળો $t = 24 \, \text{કલાક}$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{138.6 \times 24} \, \text{hr}^{-1}$.
નાના સમયગાળા $t$ માટે વિભંજનની સંખ્યા $\Delta N = N_0 \lambda t$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta N = 1,000,000 \times \left( \frac{0.693}{138.6 \times 24} \right) \times 24$.
$\Delta N = 1,000,000 \times \frac{0.693}{138.6} = 1,000,000 \times 0.005 = 5000$.
આમ, વિભંજનની સંખ્યા $5000$ છે.

(C) $1 \, \text{curie}$ ની એક્ટિવિટી $A = 3.7 \times 10^{10} \, \text{disintegrations/second}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$U^{234}$ માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ છે. $U^{234}$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2}$ આશરે $2.455 \times 10^5 \, \text{years} = 7.74 \times 10^{12} \, \text{s}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવિટીના નિયમ મુજબ, $A = \lambda N$, જ્યાં $N$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા છે।
$N = \frac{A}{\lambda} = \frac{A \times T_{1/2}}{\ln 2} = \frac{3.7 \times 10^{10} \times 7.74 \times 10^{12}}{0.693} \approx 4.13 \times 10^{23} \, \text{atoms}$.
દળ $m = \frac{N \times M}{N_A}$, જ્યાં $M = 234 \, \text{g/mol}$ અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol}$.
$m = \frac{4.13 \times 10^{23} \times 234}{6.022 \times 10^{23}} \approx 160.5 \, \text{g}$.
નોંધ: આપેલ વિકલ્પ $C$ એ એક સામાન્ય પાઠ્યપુસ્તકની ભૂલ છે જે એક્ટિવિટીના મૂલ્યને સીધા પરમાણુઓની સંખ્યા ગણીને મેળવવામાં આવે છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલો જથ્થો છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધઆયુ છે.
આપેલ છે કે બાકી રહેલો જથ્થો પ્રારંભિક જથ્થાનો $1/16$ મો ભાગ છે,તેથી $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{40/T_{1/2}}$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$,આપણે ઘાતાંકોને સરખાવી શકીએ: $4 = \frac{40}{T_{1/2}}$.
$T_{1/2}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T_{1/2} = \frac{40}{4} = 10 \, days$ મળે છે.

(D) સમય $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું દળ $M = M_0 e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$M_0 = 10 \, gm$ અને સમય $t$ એ બે સરેરાશ જીવનકાળ જેટલો છે,એટલે કે $t = 2\tau$.
સરેરાશ જીવનકાળ $\tau = \frac{1}{\lambda}$ હોવાથી,$t = \frac{2}{\lambda}$ થાય.
આ કિંમતોને ક્ષયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = 10 \cdot e^{-\lambda \left( \frac{2}{\lambda} \right)}$
$M = 10 \cdot e^{-2}$
$M = 10 \cdot \left( \frac{1}{e^2} \right) \approx 10 \cdot \left( \frac{1}{7.389} \right) \approx 1.353 \, gm$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,બાકી રહેતું દળ આશરે $1.35 \, gm$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધઆયુની સંખ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે બાકી રહેલ ભાગ $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 4$ મળે છે.
કારણ કે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,તેથી $4 = \frac{t}{100 \,\mu s}$.
આમ,$t = 4 \times 100 \,\mu s = 400 \,\mu s$.

(C) $\alpha$ ક્ષય માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\alpha} = \frac{1}{1620} \text{ year}^{-1}$ છે.
$\beta$ ક્ષય માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\beta} = \frac{1}{405} \text{ year}^{-1}$ છે.
પરિણામી ક્ષય અચળાંક $\lambda = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta} = \frac{1}{1620} + \frac{1}{405} = \frac{1+4}{1620} = \frac{5}{1620} = \frac{1}{324} \text{ year}^{-1}$ થાય.
સમય $t$ પર એક્ટિવિટી $A$ નું સૂત્ર $A = A_0 e^{-\lambda t}$ છે.
અહીં $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે,તેથી $e^{-\lambda t} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{\lambda t} = 4$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\lambda t = \ln(4) = 2 \ln(2)$.
$\lambda = \frac{1}{324}$ અને $\ln(2) \approx 0.693$ મૂકતા:
$t = 324 \times 2 \times 0.693 = 648 \times 0.693 \approx 449.06 \text{ વર્ષ}$.
આમ,સમય આશરે $449 \text{ વર્ષ}$ થશે.