Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0 = 64 \times 10^{-5} \, Ci$,અંતિમ એક્ટિવિટી $A = 5 \times 10^{-6} \, Ci$,અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 3 \, days$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-6} = 64 \times 10^{-5} \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
બંને બાજુ $64 \times 10^{-5}$ વડે ભાગતા:
$\frac{5 \times 10^{-6}}{64 \times 10^{-5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
$\frac{0.5}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3} \Rightarrow \frac{1}{128} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
કારણ કે $\frac{1}{128} = \left( \frac{1}{2} \right)^7$,તેથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^7 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/3}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$7 = \frac{t}{3} \Rightarrow t = 21 \, days$.

(C) નમૂનાનો ક્ષય પામેલો ભાગ $\frac{3}{4}$ છે.
તેથી,ક્ષય પામ્યા વગરનો બાકી રહેલો ભાગ $N/N_0 = 1 - 3/4 = 1/4$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $N/N_0 = (1/2)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે:
$1/4 = (1/2)^n$
$(1/2)^2 = (1/2)^n$
આના પરથી $n = 2$ મળે છે.
કુલ સમય $t$ એ $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$t = 2 \times 3.8 \ days = 7.6 \ days$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8}$,તેથી $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^n$.
કારણ કે $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$,તેથી $n = 3$ મળે છે.
કુલ સમય $t$ એ $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$t = 3 \times 3.8 \ days = 11.4 \ days$.

(D) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ કુલ સમય $t$ ને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વડે ભાગીને ગણવામાં આવે છે.
$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{72000}{24000} = 3$.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ મૂકતા, આપણને $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ મળે છે.

(A) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ કુલ સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
અહીં $t = 5 \text{ વર્ષ}$ અને $T_{1/2} = 1 \text{ વર્ષ}$ આપેલ છે,તેથી $n = \frac{5}{1} = 5$.
બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ મળે છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય એ ન્યુક્લિયર ઘટના છે જે સંપૂર્ણપણે ન્યુક્લિયસના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે. તે તાપમાન,દબાણ અથવા રાસાયણિક વાતાવરણ જેવી બાહ્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિઓથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટીને ગરમ કરીને અથવા અન્ય કોઈ ભૌતિક કે રાસાયણિક પદ્ધતિ દ્વારા બદલી શકાતી નથી. આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ નીચે મુજબ મળે છે: $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{10}{5} = 2$.
બાકી રહેલા અવિભંજિત ન્યુક્લિયસનો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ છે.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસનો અંશ $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવવા માટે,$100$ વડે ગુણતા: $\frac{3}{4} \times 100 = 75\%$.
તેથી,$10$ વર્ષમાં ક્ષય થવાની સંભાવના $75\%$ છે.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ કુલ સમય $t$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{19}{3.8} = 5$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 \times (1/2)^n$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$N = 10.38 \times (1/2)^5$.
$N = 10.38 \times \frac{1}{32}$.
$N = 0.324375\, gm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,બાકી રહેલો જથ્થો $0.32\, gm$ થાય છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો બાકી રહેલો અંશ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$
અહીં,$n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 5$ છે,તેથી આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ:
$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^5$
આમ,પાંચ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પ્રારંભિક પદાર્થનો અંશ $(\frac{1}{2})^5$ છે.

(D) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સાથે સમીકરણ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
જ્યારે $t = T_{1/2}$ હોય,ત્યારે $N(t) = N_0 / 2$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા,$N_0 / 2 = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$,જેનું સાદું રૂપ $1/2 = e^{-\lambda T_{1/2}}$ થાય છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,$\ln(1/2) = -\lambda T_{1/2}$,અથવા $-\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$ મળે છે.
આમ,$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
કારણ કે $\ln 2 = 2.303 \log_{10} 2$,તેથી સૂત્ર $T_{1/2} = \frac{2.303 \log_{10} 2}{\lambda}$ બને છે.

(D) $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં સમયગાળો $n = 2$ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આ પદાર્થનો તે અંશ દર્શાવે છે જેનું વિઘટન થયું નથી.
વિઘટિત થયેલા પદાર્થનો અંશ $1 - \frac{N}{N_0}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,વિઘટિત અંશ $= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ થાય.

(C) અર્ધ-આયુષ્ય સમયની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{10 \, days}{2.5 \, days} = 4$.
સમય $t$ પછીની એક્ટિવિટી $A$ નું સૂત્ર $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ છે,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $A = 1.6 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
$A = 1.6 \times \frac{1}{16} = 0.1 \, curie$.
તેથી,$10 \, days$ પછીની એક્ટિવિટી $0.1 \, curie$ હશે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને $\tau = 1/\lambda$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમય $t = \tau$ પર,બાકી રહેલા પદાર્થનો જથ્થો $N = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0/e$ છે.
કારણ કે $e \approx 2.718$,તેથી $N \approx N_0 / 2.718 \approx 0.368 N_0 \approx N_0 / 3$.
વિઘટન પામેલા પદાર્થનો જથ્થો $N_{dis} = N_0 - N = N_0 - N_0/e = N_0(1 - 1/e)$ છે.
$N_{dis} \approx N_0(1 - 0.368) = 0.632 N_0 \approx 2/3 N_0$.
આમ,પદાર્થનો આશરે $2/3$ ભાગ વિઘટન પામે છે.

(C) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = t / T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
જો $3/4$ ભાગના ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થઈ ગયું હોય,તો બાકી રહેલો ભાગ $1 - 3/4 = 1/4$ છે.
આમ,$N/N_0 = 1/4 = (1/2)^2$.
આને $(1/2)^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2$ મળે છે.
કારણ કે $n = t / T_{1/2}$,તેથી $2 = (3/4) / T_{1/2}$.
તેથી,$T_{1/2} = (3/4) / 2 = 3/8 \, s$.

(C) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું સરેરાશ આયુષ્ય $T_{avg} = \frac{1}{\lambda}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ક્ષયના સમીકરણમાં $t = \frac{1}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા મળે છે:
$N = N_0 e^{-\lambda (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = \frac{N_0}{e}$.
બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{e}$ છે.
વિઘટન પામતો અંશ $1 - \frac{N}{N_0}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,વિઘટન પામતો અંશ $= 1 - \frac{1}{e} = \frac{e - 1}{e}$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય એ સમય છે જે દરમિયાન નમૂનામાં રહેલા અડધા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થાય છે.
અર્ધ-આયુષ્ય નક્કી કરવા માટે,સમયના ગાળા દરમિયાન નમૂનાની એક્ટિવિટી માપવી જરૂરી છે.
રેડિયોએક્ટિવ સ્ત્રોતની એક્ટિવિટીને ક્ષય દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે એકમ સમયમાં થતા વિઘટનોની સંખ્યા છે.
$Geiger-Muller$ કાઉન્ટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે ખાસ કરીને રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય દરમિયાન ઉત્સર્જિત થતા કણો અથવા ફોટોનની સંખ્યા ગણીને આયનાઇઝિંગ રેડિયેશનને શોધવા અને માપવા માટે બનાવવામાં આવ્યું છે.
જુદા જુદા સમયના અંતરાલો પર કાઉન્ટ રેટ નોંધીને,ક્ષય અચળાંક અને ત્યારબાદ અર્ધ-આયુષ્યની ગણતરી કરી શકાય છે.
તેથી,આ માપન માટે $Geiger-Muller$ કાઉન્ટર એ સાચું સાધન છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$,જેને આપણે $\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^4$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 4$ મળે છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ કુલ સમય $t$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સાથે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ છે.
અહીં $t = 40$ દિવસ અને $n = 4$ આપેલ છે,તેથી $4 = \frac{40}{T_{1/2}}$.
આથી,$T_{1/2} = \frac{40}{4} = 10$ દિવસ.

(A) $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો તત્વનો $99\%$ ક્ષય થાય,તો બાકી રહેલું પ્રમાણ $N = N_0 - 0.99 N_0 = 0.01 N_0$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $0.01 N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{1}{100} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
વ્યસ્ત લેતા: $100 = 2^n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^6 = 64$ અને $2^7 = 128$ થાય છે.
જેથી $64 < 100 < 128$ હોવાથી,$n$ નું મૂલ્ય $6$ અને $7$ અર્ધ-આયુષ્યની વચ્ચે આવશે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ છે。
આપેલ છે:
પ્રારંભિક જથ્થો $N_0 = 1 \, mg$
કુલ સમય $t = 8.1 \, \text{દિવસ}$
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 2.7 \, \text{દિવસ}$
સૌ પ્રથમ, અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ગણો:
$n = \frac{8.1}{2.7} = 3$
હવે, કિંમતોને ક્ષયના સૂત્રમાં મૂકો:
$N = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$N = \frac{1}{8} = 0.125 \, mg$
આમ, $8.1 \, \text{દિવસ}$ પછી બાકી રહેલો જથ્થો $0.125 \, mg$ છે。

(C) રેડિયોએક્ટિવ તત્વનું સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau)$ તેના ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે,$\lambda = 1.5 \times 10^{-9} \text{ s}^{-1}$.
સરેરાશ આયુષ્ય માટેનું સૂત્ર $\tau = \frac{1}{\lambda}$ છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tau = \frac{1}{1.5 \times 10^{-9}} \text{ s}$.
$\tau = \frac{1}{1.5} \times 10^9 \text{ s}$.
$\tau = 0.6666... \times 10^9 \text{ s}$.
$\tau = 6.67 \times 10^8 \text{ s}$.
તેથી,સરેરાશ આયુષ્ય $6.67 \times 10^8 \text{ s}$ છે.

(C) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું પ્રમાણ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે, $t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે。
આપેલ છે: $N_0 = 10 \, g$, $t = 20 \, \text{વર્ષ}$, $T = 15 \, \text{વર્ષ}$.
કિંમતો મૂકતા: $N = 10 \times (2)^{-20/15} = 10 \times (2)^{-4/3} = 10 \times (2)^{-1.333}$.
ગણતરી કરતા: $2^{1.333} \approx 2.5198$.
તેથી, $N = 10 / 2.5198 \approx 3.968 \, g$.
વિઘટિત થયેલ પદાર્થનું પ્રમાણ $N_{\text{decayed}} = N_0 - N$ છે。
$N_{\text{decayed}} = 10 - 3.968 = 6.032 \, g$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ, વિઘટિત પદાર્થ $6.04 \, g$ છે。

(B) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા અવિભંજિત રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ પછી ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_d = N_0 - N = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ છે.
એક સરેરાશ આયુષ્ય (mean life) ને $\tau = \frac{1}{\lambda}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ક્ષયના સમીકરણમાં $t = \tau = \frac{1}{\lambda}$ મૂકતા:
$N_d = N_0(1 - e^{-\lambda \times \frac{1}{\lambda}}) = N_0(1 - e^{-1}) = N_0(1 - \frac{1}{e})$.
$e \approx 2.718$ ની કિંમતનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{e} \approx 0.368$ મળે છે.
તેથી,$N_d = N_0(1 - 0.368) = N_0(0.632) = 63.2\% \text{ of } N_0$.
આમ,એક સરેરાશ આયુષ્ય દરમિયાન લગભગ $63\%$ પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થશે.

(D) રેડિયોએક્ટિવિટીનો $S.I.$ એકમ બેકવેરલ છે, જેને સંજ્ઞા $Bq$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
એક બેકવેરલ એટલે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના જથ્થાની એવી સક્રિયતા જેમાં પ્રતિ સેકન્ડ એક ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થાય છે.
ગાણિતિક રીતે, $1 \ Bq = 1 \ \text{disintegration per second} \ (dps)$.
અન્ય એકમો જેવા કે ક્યુરી $(Ci)$ અને રધરફોર્ડ $(Rd)$ પણ વપરાય છે, જ્યાં $1 \ Ci = 3.7 \times 10^{10} \ Bq$ અને $1 \ Rd = 10^6 \ Bq$ થાય છે.

(B) બાકી રહેલા જથ્થા $N$ અને પ્રારંભિક જથ્થા $N_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી નીચે મુજબ છે:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
અહીં $N_0 = 16 \, gm$ અને $N = 1 \, gm$ આપેલ છે:
$1 = 16 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
તેથી,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 4$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$,જ્યાં $t$ એ કુલ સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
$4 = \frac{120}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = \frac{120}{4} = 30 \, days$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલી માત્રા છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક માત્રા છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $T_{1/2} = 10 \text{ વર્ષ}$ અને $N = \frac{1}{4} N_0$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{4} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $2 = \frac{t}{10}$.
તેથી,$t = 20 \text{ વર્ષ}$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની બાકી રહેલી માત્રા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં પ્રારંભિક દળ $N_0$ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5 \text{ વર્ષ}$ છે અને વીતેલો સમય $t = 15 \text{ વર્ષ}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{5}}$
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$N = N_0 \left( \frac{1}{8} \right) = \frac{N_0}{8}$.
આમ,$15 \text{ વર્ષ}$ પછી બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $\frac{N_0}{8}$ હશે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$,જ્યાં $A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે એક્ટિવિટી $t = 60 \ s$ માં તેના મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{64}$ ભાગની થઈ જાય છે,તેથી:
$\frac{A}{A_0} = \frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{60}{T_{1/2}}}$
કારણ કે $\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^6$,આપણે ઘાતાંકોને સરખાવી શકીએ:
$6 = \frac{60}{T_{1/2}}$
$T_{1/2} = \frac{60}{6} = 10 \ s$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $10 \ s$ છે.

(C) કોઈપણ સમયે $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A = A_0 e^{-\lambda t}$.
સરેરાશ આયુષ્ય $T = 1/\lambda$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $A = A_0 e^{-t/T}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
સમય $t_1$ પર,એક્ટિવિટી $A_1 = A_0 e^{-t_1/T}$ છે. આના પરથી,આપણને $A_0 = A_1 e^{t_1/T}$ મળે છે.
સમય $t_2$ પર,એક્ટિવિટી $A_2 = A_0 e^{-t_2/T}$ છે.
$A_2$ ના સમીકરણમાં $A_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A_2 = (A_1 e^{t_1/T}) e^{-t_2/T} = A_1 e^{(t_1 - t_2)/T}$.
આમ,સાચો સંબંધ $A_2 = A_1 e^{(t_1 - t_2)/T}$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે સમય $t$ પરની એક્ટિવિટી $A = A_0 (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે એક્ટિવિટી તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{16}$ ભાગ સુધી ઘટે છે,તેથી $\frac{A}{A_0} = \frac{1}{16}$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,તેથી $n = 4$ મળે છે.
કુલ લાગતો સમય $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1/2} = 100 \mu s$.
તેથી,$t = 4 \times 100 \mu s = 400 \mu s$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલો જથ્થો છે,$N_0$ એ પ્રારંભિક જથ્થો છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે,$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ અને $T = 48 \text{ કલાક}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{t/48}$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,તેથી $(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{t/48}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $4 = \frac{t}{48}$.
તેથી,$t = 4 \times 48 = 192 \text{ કલાક}$.

(C) સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 5 \text{ કલાક}$ આપેલ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને સરેરાશ આયુષ્ય વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = \frac{1}{\lambda}$ છે.
$t$ સમય પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = \tau = \frac{1}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $N(\tau) = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = \frac{N_0}{e} \approx \frac{N_0}{2.718} \approx 0.368 N_0$.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_{decayed} = N_0 - N(\tau) = N_0 - 0.368 N_0 = 0.632 N_0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $63.2\%$ ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થયું છે,જે અડધા $(50\%)$ કરતા વધારે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું $t$ સમયે દળ ક્ષયના નિયમ મુજબ મળે છે: $M = M_0 e^{-\lambda t}$.
અહીં,$M_0 = 10 \, g$ અને સમય $t$ એ બે સરેરાશ આયુષ્ય જેટલો છે,એટલે કે $t = 2 \tau$,જ્યાં $\tau = \frac{1}{\lambda}$ એ સરેરાશ આયુષ્ય છે.
ક્ષયના સમીકરણમાં $t = \frac{2}{\lambda}$ મૂકતા:
$M = 10 e^{-\lambda (2/\lambda)} = 10 e^{-2}$.
$e \approx 2.718$ ની કિંમત લેતા,$e^2 \approx 7.389$ મળે છે.
$M = \frac{10}{7.389} \approx 1.35 \, g$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર વિઘટન દર $A$ એ $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$t = 0$ સમયે $A_0 = 5000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
$t = 5$ મિનિટ પછી,$A = 1250$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $1250 = 5000 e^{-\lambda (5)}$.
બંને બાજુ $5000$ વડે ભાગતા: $\frac{1250}{5000} = e^{-5\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-5\lambda}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/4) = -5\lambda$.
$-\ln(4) = -5\lambda$.
$\ln(2^2) = 5\lambda$.
$2 \ln 2 = 5\lambda$.
$\lambda = \frac{2}{5} \ln 2 = 0.4 \ln 2 \text{ પ્રતિ મિનિટ}$.

(B) સમય $t$ પર બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે,જ્યાં $N_0 = 8 \times 10^{10}$ અને $T_{1/2} = 1 \text{ hour}$ છે.
$t = 2 \text{ hours}$ સમયે બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા:
$N_1 = 8 \times 10^{10} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{1}} = 8 \times 10^{10} \times \frac{1}{4} = 2 \times 10^{10}$.
$t = 4 \text{ hours}$ સમયે બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા:
$N_2 = 8 \times 10^{10} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{4}{1}} = 8 \times 10^{10} \times \frac{1}{16} = 0.5 \times 10^{10}$.
$t = 2 \text{ hours}$ થી $t = 4 \text{ hours}$ ની વચ્ચે ક્ષય પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા આ બે સમયગાળામાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યાનો તફાવત છે:
$\Delta N = N_1 - N_2 = (2 - 0.5) \times 10^{10} = 1.5 \times 10^{10}$.

(B) કાર્બન ડેટિંગનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે અશ્મિઓ જેવા કાર્બનિક પદાર્થોની ઉંમર નક્કી કરવા માટે થાય છે.
તે રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ કાર્બન-$14$ $(^{14}C)$ ના ક્ષય પર આધારિત છે,જેનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય આશરે $5730$ વર્ષ છે.
$^{14}C$ ના અર્ધ-આયુષ્યને કારણે,આ પદ્ધતિ આશરે $45,000$ થી $50,000$ વર્ષ જૂના નમૂનાઓની ઉંમર નક્કી કરવા માટે અસરકારક છે.
તેથી,કાર્બન ડેટિંગ માટે સૌથી યોગ્ય ઉંમરનો ક્રમ $10^4$ વર્ષ છે.
વધુ જૂના ભૌગોલિક નમૂનાઓ માટે,પોટેશિયમ-આર્ગોન ડેટિંગ જેવી અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $A = A_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0 = 240$ કાઉન્ટ/મિનિટ અને અંતિમ એક્ટિવિટી $A = 30$ કાઉન્ટ/મિનિટ છે.
કિંમતો મૂકતા: $30 = 240 (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 30/240 = 1/8$.
$(1/2)^n = (1/2)^3$,જે સૂચવે છે કે $n = 3$.
કુલ વીતેલો સમય $t = 1$ કલાક = $60$ મિનિટ છે.
કારણ કે $n = t / T_{1/2}$,તેથી $3 = 60 / T_{1/2}$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 60 / 3 = 20$ મિનિટ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં, પ્રારંભિક દળ $M_0 = 100 \, g$, બાકી રહેલું દળ $M = 25 \, g$, અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1600 \, years$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$25 = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
$\frac{25}{100} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, તેથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$2 = \frac{t}{1600}$
$t = 2 \times 1600 = 3200 \, years$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $t = 9$ વર્ષ પછી,એક્ટિવિટી $R = \frac{R_0}{3}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_0}{3} = R_0 e^{-\lambda \times 9}$,જે સૂચવે છે કે $e^{-9\lambda} = \frac{1}{3}$ ... $(i)$.
વધુ $9$ વર્ષ પછી,કુલ વીતેલો સમય $t = 9 + 9 = 18$ વર્ષ છે.
નવી એક્ટિવિટી $R'$ એ $R' = R_0 e^{-\lambda \times 18}$ દ્વારા મળે છે.
આને $R' = R_0 (e^{-9\lambda})^2$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમત મૂકતા: $R' = R_0 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{R_0}{9}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ, $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેતો જથ્થો $N = N_0 (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
પદાર્થને તેના મૂળ જથ્થાના એક-ચતુર્થાંશ $(N = N_0/4)$ સુધી ઘટાડવા માટે, $(1/2)^n = 1/4$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.
અહીં એક અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ $40 \, \text{વર્ષ}$ છે, તેથી લાગતો કુલ સમય $t = n \times T_{1/2} = 2 \times 40 = 80 \, \text{વર્ષ}$ થશે。
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ છે。
આપેલ કિંમત મૂકતા: $\lambda = \frac{0.693}{40} = 0.0173 \, \text{વર્ષ}^{-1}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના બાકી રહેલા દળ માટેનું સૂત્ર $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં, પ્રારંભિક દળ $M_0 = 20\, mg$, કુલ સમય $t = 36\, \text{દિવસ}$, અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 3.6\, \text{દિવસ}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{36}{3.6} = 10$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = 20 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$.
$M = 20 \times \frac{1}{1024}$.
$M = 0.01953125\, mg$.
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $M \approx 0.019\, mg$ મળે છે.

(C) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા માટેનું સૂત્ર: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 10$ દિવસ છે,અને કુલ સમય $t = 30$ દિવસ છે.
બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{30}{10}}$ છે.
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$.
$\frac{N}{N_0} = 0.125$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $\frac{A}{A_0} = (\frac{1}{2})^{t/T_{1/2}}$, જ્યાં $A$ એ અંતિમ એક્ટિવિટી છે, $A_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે, $t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે।
અહીં આપેલ છે કે એક્ટિવિટી તેના મૂળ મૂલ્યના $1/8$ ભાગ સુધી ઘટે છે, તેથી $\frac{A}{A_0} = 1/8$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 8$ વર્ષ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $1/8 = (\frac{1}{2})^{t/8}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1/8 = (\frac{1}{2})^3$, તેથી: $(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^{t/8}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા, આપણને મળે છે $3 = t/8$.
તેથી, $t = 3 \times 8 = 24$ વર્ષ।

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો બાકી રહેલો જથ્થો શોધવાનું સૂત્ર $N = N_0 \times (1/2)^n$ છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{\text{અર્ધ-આયુષ્ય}} = \frac{11400}{5700} = 2$.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = N_0 \times (1/2)^2$
$N = N_0 \times (1/4)$
$N = 0.25 N_0$.
તેથી,બાકી રહેલો જથ્થો મૂળ જથ્થાના $0.25$ ગણો છે.

(D) સરેરાશ આયુષ્ય $(T)$ નું સૂત્ર $T = 1/\lambda = 100 \, \text{s}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ અને ક્ષય અચળાંક $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ છે.
$\lambda = 1/T$ મૂકતા,આપણને $T_{1/2} = 0.693 \times T$ મળે છે.
અહીં $T = 100 \, \text{s}$ આપેલ છે,તેથી સેકન્ડમાં અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 0.693 \times 100 = 69.3 \, \text{s}$ થાય.
અર્ધ-આયુષ્યને મિનિટમાં ફેરવવા માટે,તેને $60$ વડે ભાગતા:
$T_{1/2} = \frac{69.3}{60} \, \text{min} = 1.155 \, \text{min}$.

(C) રેડિયોએક્ટિવિટી એ એક કુદરતી ઘટના છે જેમાં પરમાણુની અસ્થિરતાને કારણે ન્યુક્લિયસમાંથી કણોનું ઉત્સર્જન થાય છે.
તે એક સ્વયંભૂ પરમાણુ પ્રક્રિયા છે અને તે તાપમાન,દબાણ અથવા રાસાયણિક વાતાવરણ જેવા બાહ્ય પરિબળો પર આધારિત નથી.
ન્યુક્લિયસમાં પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ અને સ્થિર વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ વચ્ચેના તીવ્ર સંઘર્ષને કારણે,ઘણા ન્યુક્લિયર આઇસોટોપ્સ અસ્થિર હોય છે અને વધુ સ્થિર સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરવા માટે રેડિયેશનનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(B) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
અહીં આપેલ છે કે અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 77 \, days$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\lambda = \frac{0.693}{77}$.
ભાગાકાર કરતા: $\lambda = 0.009 \, day^{-1}$.
વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં લખતા: $\lambda = 9 \times 10^{-3} \, day^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે,$N_0$ એ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે,$t$ એ વીતેલો સમય છે અને $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
અહીં આપેલ છે કે વીતેલો સમય એ અર્ધ-આયુષ્યનો અડધો ભાગ છે,તેથી $t = \frac{1}{2} T_{1/2}$.
આ કિંમતને ક્ષયના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{(T_{1/2}/2) / T_{1/2}}$
$\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{1/2}$
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસનો ભાગ $1/\sqrt{2}$ છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય એ સંભાવનાના નિયમો દ્વારા સંચાલિત એક સ્વયંભૂ અને આંકડાકીય પ્રક્રિયા છે.
કોઈપણ આપેલ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ માટે,એકમ સમય દીઠ ક્ષય થવાની સંભાવના (ક્ષય અચળાંક,$\lambda$) એ તે ચોક્કસ ન્યુક્લાઇડનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
આ સંભાવના ન્યુક્લિયસની ઉંમર અથવા તેના નિર્માણના ઇતિહાસ પર આધારિત નથી.
તેથી,બંને ન્યુક્લિયસ એક જ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લાઇડના હોવાથી,તેઓ $5$ અબજ વર્ષ પહેલાં બન્યા હોય કે $5$ મિનિટ પહેલાં,તેમની ક્ષય થવાની સંભાવના સમાન જ રહે છે.
આમ,ક્ષય થવાની સંભાવના તેના બનવાના સમયથી સ્વતંત્ર છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે,જ્યાં $N/N_0 = 1/20$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{0.6931}{T_{1/2}} = \frac{0.6931}{3.8 \ days}$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{20} = e^{-\lambda t}$,જેનો અર્થ થાય છે $20 = e^{\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln 20 = \lambda t$.
આને $10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં ફેરવતા: $2.303 \log_{10} 20 = \lambda t$.
આપેલ છે કે $\log_{10} 20 = 1.3010$.
તેથી,$t = \frac{2.303 \times 1.3010 \times 3.8}{0.6931} \approx 16.43 \ days$.
આમ,સાચો જવાબ $16.5 \ days$ છે.

(C) ધારો કે રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ $X$ નો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ છે.
અમુક સમય $t$ પછી,બાકી રહેલા $X$ નો જથ્થો $N_X$ છે અને બનેલા $Y$ નો જથ્થો $N_Y$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $N_X : N_Y = 1 : 7$ મુજબ,કુલ જથ્થો $N_X + N_Y = N_0$ થાય.
તેથી,$N_X = \frac{1}{1+7} N_0 = \frac{1}{8} N_0$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N_X = N_0 (\frac{1}{2})^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$\frac{1}{8} N_0 = N_0 (\frac{1}{2})^n \implies (\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^n \implies n = 3$.
ખડકની ઉંમર $t = n \times T_{1/2} = 3 \times 1.37 \times 10^9$ વર્ષ $= 4.11 \times 10^9$ વર્ષ.