Law of Radioactivity by Rutherford and Soddy and Half Life and Mean Life Questions in Gujarati

(B) રેડિયેશનની તીવ્રતા $I$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ ઘટે છે: $I = I_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે。
આપેલ છે કે પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 64 I_{\text{safe}}$, આપણે તીવ્રતા $I_{\text{safe}}$ સુધી પહોંચાડવાની જરૂર છે。
તેથી, $\frac{I_{\text{safe}}}{64 I_{\text{safe}}} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$\frac{1}{64} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
કારણ કે $64 = 2^6$, તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$, જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
કુલ સમય $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $T_{1/2} = 2 \text{ કલાક}$.
$t = 6 \times 2 = 12 \text{ કલાક}$.

(A) ક્ષયનો દર $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ને $s^{-1}$ માં ગણો:
$\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1620 \times 365 \times 24 \times 3600} \ s^{-1}$.
ત્યારબાદ,રેડિયમના $1 \ g$ $(10^{-3} \ kg)$ નમૂનામાં પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ ગણો:
$N = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} \times N_A = \frac{10^{-3} \ kg}{226 \ kg/kmol} \times 6.02 \times 10^{26} \ atoms/kmol = \frac{6.02}{226} \times 10^{23} \ atoms$.
હવે,એક્ટિવિટી $\frac{dN}{dt}$ ગણો:
$\frac{dN}{dt} = \left( \frac{0.693}{1620 \times 3.1536 \times 10^7} \right) \times \left( \frac{6.02}{226} \times 10^{23} \right) \approx 3.61 \times 10^{10} \ atoms/s$.

(A) જ્યારે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ બે એકસાથે થતી પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામે છે,ત્યારે અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T$ એ ક્ષય અચળાંક સાથે $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T$ એ $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $T_1 = 1620$ વર્ષ અને $T_2 = 810$ વર્ષ આપેલ છે,તેથી અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય:
$T = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2} = \frac{1620 \times 810}{1620 + 810} = \frac{1620 \times 810}{2430} = 540$ વર્ષ.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જેના પછી પદાર્થનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બાકી રહે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ છે.
$N(t) = \frac{1}{4} N_0$ લેતા,$\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$.
તેથી,$\frac{t}{T} = 2$,એટલે કે $t = 2T = 2 \times 540 = 1080$ વર્ષ.

(B) વિકિરણની તીવ્રતા નમૂનામાં હાજર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $N_0$ એ પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે અને $N$ એ $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
સુરક્ષિત મર્યાદા $N = \frac{N_0}{128}$ ને અનુરૂપ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, બાકી રહેલો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^n$ મળે છે.
કારણ કે $128 = 2^7$, તેથી $(\frac{1}{2})^7 = (\frac{1}{2})^n$, જેનો અર્થ છે કે $n = 7$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1$ કલાક હોવાથી, કુલ સમય $t = n \times T_{1/2} = 7 \times 1 = 7$ કલાક થશે.

(C) આપેલ છે કે $X$ નું અર્ધ-આયુષ્ય $Y$ ના સરેરાશ આયુષ્ય જેટલું છે:
$({T_{1/2}})_X = ({\tau})_Y$
આપણે જાણીએ છીએ કે ${T_{1/2}} = \frac{0.693}{\lambda}$ અને ${\tau} = \frac{1}{\lambda}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.693}{\lambda_X} = \frac{1}{\lambda_Y}$
$\Rightarrow \lambda_X = 0.693 \lambda_Y$
અહીં $0.693 < 1$ હોવાથી,$\lambda_X < \lambda_Y$ મળે છે.
ક્ષયનો દર $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ બંને માટે સમાન છે.
તેથી,$\lambda_Y > \lambda_X$ હોવાથી,$Y$ નો ક્ષય દર $R_Y = \lambda_Y N$ એ $R_X = \lambda_X N$ કરતા વધારે હશે.
આમ,$Y$ એ $X$ કરતા ઝડપી દરે ક્ષય પામશે.

(C) $\alpha$-ઉત્સર્જન માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\alpha} = \frac{1}{1620} \text{ વર્ષ}^{-1}$ છે.
$\beta$-ઉત્સર્જન માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\beta} = \frac{1}{405} \text{ વર્ષ}^{-1}$ છે.
કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta} = \frac{1}{1620} + \frac{1}{405} = \frac{1+4}{1620} = \frac{5}{1620} = \frac{1}{324} \text{ વર્ષ}^{-1}$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે,જ્યાં $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln\left(\frac{N_0}{N}\right) = \lambda t$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(4) = \left(\frac{1}{324}\right) t$.
$t = 324 \times \ln(4) = 324 \times 2 \times \ln(2) \approx 648 \times 0.6931 = 449.13 \text{ વર્ષ}$.
આમ,જરૂરી સમય આશરે $449 \text{ વર્ષ}$ છે.

(D) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ નીચે મુજબ મળે છે: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{138.6 \times 24 \text{ કલાક}} = \frac{0.693}{3326.4} \text{ કલાક}^{-1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,નાના સમયગાળા $\Delta t$ માટે એક્ટિવિટીનું સૂત્ર વાપરતા:
એક્ટિવિટી $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$.
અહીં $T_{1/2} = 138.6 \text{ દિવસ} = 138.6 \times 24 \text{ કલાક} = 3326.4 \text{ કલાક}$ આપેલ છે.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 10^6$.
$\Delta t = 24 \text{ કલાક}$ (એટલે કે $1$ દિવસ) માં થતું વિભંજન:
$\Delta N = \lambda N \Delta t = \left( \frac{0.693}{138.6 \text{ દિવસ}} \right) \times 10^6 \times 1 \text{ દિવસ}$.
$\Delta N = \frac{0.693}{138.6} \times 10^6 = 0.005 \times 10^6 = 5000$.
આમ,વિભંજનની સંખ્યા $5000$ છે.

(B) ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{20} = 0.03465 \ min^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થના ક્ષય માટે જરૂરી સમય $t$ એ $t = \frac{2.303}{\lambda} \log_{10} \left( \frac{N_0}{N} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$33\%$ વિઘટન માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 - 0.33N_0 = 0.67N_0$ છે. તેથી,$t_1 = \frac{2.303}{0.03465} \log_{10} \left( \frac{100}{67} \right) \approx 66.46 \times 0.1739 \approx 11.56 \ min$.
$67\%$ વિઘટન માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 - 0.67N_0 = 0.33N_0$ છે. તેથી,$t_2 = \frac{2.303}{0.03465} \log_{10} \left( \frac{100}{33} \right) \approx 66.46 \times 0.4815 \approx 32.00 \ min$.
સમયનો તફાવત $\Delta t = t_2 - t_1 = 32.00 - 11.56 = 20.44 \ min \approx 20 \ min$ છે.

(D) ધારો કે $t = 0$ સમયે બંને તત્વો માટે રેડિયોએક્ટિવ પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્વ $X_1$ માટે,જેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda_1 = 10\lambda$ છે,પરમાણુઓની સંખ્યા $N_1 = N_0 e^{-10\lambda t}$ છે.
તત્વ $X_2$ માટે,જેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda_2 = \lambda$ છે,પરમાણુઓની સંખ્યા $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ છે.
$N_1$ અને $N_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{N_0 e^{-10\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$
$e^{-10\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$
$e^{-9\lambda t} = e^{-1}$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$-9\lambda t = -1$
$t = \frac{1}{9\lambda}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A = A_0 (1/2)^n$ ના નિયમનું પાલન કરે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે એક્ટિવિટી $140$ દિવસમાં $6000 \, dps$ થી ઘટીને $3000 \, dps$ થાય છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 140$ દિવસ છે.
$280$ દિવસ પછી,વીતેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 280 / 140 = 2$ છે.
ધારો કે $A_{280}$ એ $280$ દિવસ પછીની એક્ટિવિટી છે,જે $6000 \, dps$ છે.
$A_{280} = A_{initial} \times (1/2)^n$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $6000 = A_{initial} \times (1/2)^2$.
$6000 = A_{initial} \times (1/4)$.
$A_{initial} = 6000 \times 4 = 24000 \, dps$.

(B) વિઘટનનો દર $\frac{dN}{dt} = \lambda N_0 = 10^{17} \, s^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1445 \, \text{વર્ષ}$.
અર્ધ-આયુષ્યને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $T_{1/2} = 1445 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 4.55 \times 10^{10} \, s$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ આ રીતે મળે છે: $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{4.55 \times 10^{10}} \approx 1.52 \times 10^{-11} \, s^{-1}$.
$\frac{dN}{dt} = \lambda N_0$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,આપણે કણોની મૂળ સંખ્યા $N_0$ શોધીએ છીએ:
$N_0 = \frac{dN/dt}{\lambda} = \frac{10^{17}}{1.52 \times 10^{-11}} \approx 6.58 \times 10^{27} \approx 6.6 \times 10^{27}$.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{1.5 \times 10^9}{4.5 \times 10^9} = \frac{1}{3}$ છે.
બાકી રહેલા $U^{238}$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_U = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{1/3}$ છે.
આપેલ છે કે $2^{1/3} = 1.26$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^{1/3} = \frac{1}{1.26} \approx 0.7937$.
આમ,$N_U = N_0 \times 0.7937$.
બનેલા $Pb$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_{Pb} = N_0 - N_U = N_0(1 - 0.7937) = N_0(0.2063)$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{N_U}{N_0} = \frac{1}{1.26}$.
કારણ કે $N_0 = N_U + N_{Pb}$,તેથી $\frac{N_U}{N_U + N_{Pb}} = \frac{1}{1.26}$.
$1.26 N_U = N_U + N_{Pb} \implies N_{Pb} = 0.26 N_U$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{N_{Pb}}{N_U} = 0.26$ થાય છે.

(A) એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ સાથે $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
અહીં $T_{1/2} = 138.6 \text{ દિવસ} = 138.6 \times 24 \times 3600 \text{ સેકન્ડ} = 1.1975 \times 10^7 \text{ સેકન્ડ}$.
આપેલી એક્ટિવિટી $A = 2000 \text{ વિભંજન/સેકન્ડ}$.
$N = \frac{A}{\lambda} = \frac{A \times T_{1/2}}{\ln 2}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$N = \frac{2000 \times 138.6 \times 24 \times 3600}{0.693} = \frac{2000 \times 1.1975 \times 10^7}{0.693} \approx 3.45 \times 10^{10}$.

(A) ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ માં થતા ફેરફારનો દર વિકલ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dN}{dt} = \alpha - \lambda N$.
જ્યારે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા મહત્તમ હોય,ત્યારે ફેરફારનો દર શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\frac{dN}{dt} = 0$.
સમીકરણને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $0 = \alpha - \lambda N$.
$N$ માટે ઉકેલતા,આપણને $N_{max} = \frac{\alpha}{\lambda}$ મળે છે.
નોંધો કે જો શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ એ $\frac{\alpha}{\lambda}$ કરતા વધારે હોય,તો ન્યુક્લિયસની સંખ્યા ઘટીને સંતુલન મૂલ્ય $\frac{\alpha}{\lambda}$ સુધી પહોંચશે. જો $N_0 < \frac{\alpha}{\lambda}$ હોય,તો તે વધીને $\frac{\alpha}{\lambda}$ સુધી પહોંચશે.

(C) પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 12 \, \text{hrs}$ છે.
કુલ વીતેલો સમય $t = 1 \, \text{week} = 7 \, \text{days} = 7 \times 24 \, \text{hrs} = 168 \, \text{hrs}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{168}{12} = 14$ થાય.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછીની એક્ટિવિટી $A = A_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે, જ્યાં $A_0 = 1 \, \text{curie}$ છે.
$A = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{14} \, \text{curie} = \frac{1}{16384} \, \text{curie}$.
કિંમત ગણતા: $A \approx 0.000061 \, \text{curie} = 61 \times 10^{-6} \, \text{curie} = 61 \, \mu\text{Ci}$.
આમ, બાકી રહેલી એક્ટિવિટી આશરે $60 \, \mu\text{Ci}$ છે.

(D) ધારો કે દરેક જાતિના પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ છે. સમય $t$ પર પ્રથમ જાતિના રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_1(t) = N_0 e^{-t/\tau}$ છે.
સમય $t$ પર બીજી જાતિના રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_2(t) = N_0 e^{-t/(5\tau)}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની કુલ સંખ્યા $N(t) = N_1(t) + N_2(t) = N_0(e^{-t/\tau} + e^{-t/(5\tau)})$ છે.
$t = 0$ સમયે,$N(0) = 2N_0$ છે. જેમ $t \to \infty$,તેમ $N(t) \to 0$ થાય છે.
કારણ કે $e^{-t/\tau}$ અને $e^{-t/(5\tau)}$ બંને સમયના ઘટતા વિધેયો છે,તેથી તેમનો સરવાળો $N(t)$ પણ સમય સાથે સતત ઘટતું વિધેય હોવું જોઈએ.
તેથી,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની કુલ સંખ્યા સમય સાથે સતત ઘટતી જશે,જે વિકલ્પ $(d)$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,સમય $t$ પર અક્ષયિત ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ એ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_0$ એ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
ક્ષયનો દર એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $N$ ના વિકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N_0 e^{-\lambda t}$
ક્ષયના દરનું મૂલ્ય $|\frac{dN}{dt}| = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ક્ષયનો દર સમય $t$ સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આકૃતિ $C$ એ ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર દર્શાવે છે,જે ક્ષય દર અને સમય વચ્ચેના સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ વિભંજનનો દર $R$ એ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ $R = -\frac{dN}{dt} = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે વિભંજનના દર અને પરમાણુઓની સંખ્યાના ગુણોત્તરને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\frac{R}{N} = \lambda$
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ હોવાથી તે સમય સાથે અચળ રહે છે,તેથી ગુણોત્તર $R/N$ સમયથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સમય $t$ સાથે $R/N$ ના ફેરફારને દર્શાવતો આલેખ સમયની અક્ષને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા હશે.

(B) $1$. અર્ધ-આયુષ્ય શોધવા માટે,આલેખ જુઓ. $t = 0$ સમયે પ્રારંભિક કાઉન્ટ રેટ $100$ છે. અર્ધ-આયુષ્ય એ સમય છે જે કાઉન્ટ રેટને તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા એટલે કે $50$ થવા માટે લાગે છે. આલેખ પરથી,$50$ ના કાઉન્ટ રેટ પર,સમય $3\,h$ છે. આમ,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 3\,h$ છે.
$2$. પ્રથમ અર્ધ-આયુષ્ય ગાળા ($0$ થી $3\,h$) માં કુલ કાઉન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ અને $t = 3\,h$ વચ્ચેના વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ છીએ.
$3$. આલેખ પરનો દરેક નાનો ચોરસ y-અક્ષ પર $10$ એકમ અને x-અક્ષ પર $1\,h$ નો કાઉન્ટ રેટ દર્શાવે છે. વક્ર હેઠળના નાના ચોરસની સંખ્યા ગણતા,આપણને આશરે $24$ ચોરસ મળે છે.
$4$. દરેક ચોરસ $10 \times 60 = 600$ કાઉન્ટ્સ દર્શાવે છે (ધારી લઈએ કે રેટ પ્રતિ મિનિટ છે,તેથી $10 \text{ counts/min} \times 60 \text{ min} = 600 \text{ counts/hour}$).
$5$. કુલ કાઉન્ટ્સ $\approx 24 \times 600 = 14400$.

(B) સમય $t$ પર ક્ષય ન પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષય પામેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N_d = N_0 - N = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ છે.
ક્ષય પામેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો અંશ $f = \frac{N_d}{N_0} = \frac{N_0(1 - e^{-\lambda t})}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ છે.
$t = 0$ સમયે,$f = 1 - e^0 = 0$.
જેમ $t \to \infty$,તેમ $f \to 1 - 0 = 1$.
વિધેય $f(t) = 1 - e^{-\lambda t}$ એ ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ વક્ર દર્શાવે છે જે $0$ થી શરૂ થાય છે અને અનંતે $1$ ની નજીક પહોંચે છે. આ આલેખમાં વક્ર $B$ ને અનુરૂપ છે.

(B) સમય $t$ પર અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $N = \frac{A}{\lambda}$.
આપેલ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે $\lambda$ (ક્ષય અચળાંક) અચળ હોવાથી, $N$ એ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(N \propto A)$.
તેથી, અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ વિરુદ્ધ એક્ટિવિટી $(A)$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા મળે છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ સમયે $t$ પર રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N = N_0 e^{-\lambda t}$,જ્યાં $N_0$ એ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે અને $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
આ સમીકરણ ઘાતાંકીય ક્ષય વિધેય (exponential decay function) દર્શાવે છે.
જેમ જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ $N$ નું મૂલ્ય ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે,અને જેમ $t$ અનંત તરફ જાય છે તેમ તે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,$N$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એ ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર છે,જે વિકલ્પ $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ નું સૂત્ર $A = -\frac{dN}{dt} = \lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
અહીં,$N_0$ એ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા છે,$\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે,અને $t$ એ સમય છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે એક્ટિવિટી $A$ સમય $t$ સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,$t=0$ સમયે ધન મૂલ્યથી શરૂ થતો અને જેમ $t \to \infty$ થાય તેમ શૂન્ય તરફ જતો ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) એક્ટિવિટી $A$ માટે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0 = \lambda N_0$ એ પ્રારંભિક એક્ટિવિટી છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln A = \ln(A_0 e^{-\lambda t})$
$\ln A = \ln A_0 + \ln(e^{-\lambda t})$
$\ln A = \ln A_0 - \lambda t$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \ln A$,$x = t$,ઢાળ $m = -\lambda$,અને અંતઃખંડ $c = \ln A_0$ છે.
ઢાળ ઋણ $(-\lambda)$ હોવાથી અને અંતઃખંડ ધન $(\ln A_0)$ હોવાથી,$\log A$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે. આપેલી આકૃતિમાં,$D$ તરીકે દર્શાવેલ રેખા આ રેખીય ઘટાડાને રજૂ કરે છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસના ક્ષયના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A = \left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N$
જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ તે ક્ષણે હાજર સક્રિય અણુઓની સંખ્યા છે.
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = A$,$x = N$,અને ઢાળ $m = \lambda$ છે.
કોઈ ચોક્કસ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે $\lambda$ અચળ હોવાથી,$A$ અને $N$ વચ્ચેનો સંબંધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
તેથી,સાચો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(D) જ્યારે કોઈ રેડિયો એક્ટિવ પદાર્થ એકસાથે બે અલગ-અલગ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામે છે,ત્યારે કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{eff}$ એ વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો થાય છે: $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધ-આયુષ્ય $T$ અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.
આ કિંમતને અસરકારક ક્ષય અચળાંકના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\ln 2}{T_{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\alpha}} + \frac{\ln 2}{T_{\beta}}$.
બંને બાજુ $\ln 2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{T_{eff}} = \frac{1}{T_{\alpha}} + \frac{1}{T_{\beta}}$.
$T_{eff}$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{T_{eff}} = \frac{T_{\beta} + T_{\alpha}}{T_{\alpha} T_{\beta}}$.
તેથી,$T_{eff} = \frac{T_{\alpha} T_{\beta}}{T_{\alpha} + T_{\beta}}$.

(B) અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ અને ક્ષય અચળાંક $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_{1/2} = 2.2 \times 10^9 \; s$,તેથી $\lambda = \frac{0.693}{2.2 \times 10^9} \approx 3.15 \times 10^{-10} \; s^{-1}$ મળે છે.
વિઘટનનો દર $R$ અને રેડિયોએક્ટિવ પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = \lambda N$ છે.
અહીં $R = 10^{10} \; s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $N = \frac{R}{\lambda} = \frac{10^{10}}{3.15 \times 10^{-10}} \approx 3.17 \times 10^{19}$ પરમાણુઓ થાય.

(A) ક્યુરી $(Ci)$ એ રેડિયો એક્ટિવિટીનો એકમ છે. તે રેડિયો એક્ટિવ પદાર્થના એ જથ્થા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે પ્રતિ સેકન્ડ $3.7 \times 10^{10}$ વિભંજન (disintegrations) અનુભવે છે,જે આશરે $1 \ g$ રેડિયમ-$226$ ની એક્ટિવિટી જેટલું છે.

(B) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા નમૂનાનો અંશ $N/N_0 = 1 - 7/8 = 1/8$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $N = N_0(1/2)^n$ નો ઉપયોગ કરતા,$1/8 = (1/2)^n$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(1/2)^3 = (1/2)^n$,તેથી $n = 3$.
અહીં $n = t/T_{1/2}$ હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = t/3$ થાય છે.
હવે,$15/16$ ભાગનું વિભંજન થવા માટે,બાકી રહેલો અંશ $N/N_0 = 1 - 15/16 = 1/16$ છે.
$N/N_0 = (1/2)^n$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$1/16 = (1/2)^n$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(1/2)^4 = (1/2)^n$,તેથી $n = 4$.
આમ,જરૂરી કુલ સમય $t' = n \times T_{1/2} = 4 \times (t/3) = \frac{4}{3}t$ થશે.

(C) રેડિયો એક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવીટી $A = |dN/dt| = N\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ એક ન્યુક્લિયસ માટે એકમ સમયમાં ક્ષય થવાની સંભાવના દર્શાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1/\lambda$ માટે,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(1/\lambda) = N e^{-\lambda(1/\lambda)} = N e^{-1} = N/e$ થાય.
વિકલ્પ $C$ જણાવે છે કે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N[1 - 1/e]$ છે,જે ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા દર્શાવે છે,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની નહીં. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
અર્ધ આયુષ્ય $T_{1/2} = \ln(2)/\lambda$ છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) રેડિયો એક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે ક્ષયનો દર તે સમયે હાજર રેડિયો એક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે,જે એક રેડિયો એક્ટિવ ન્યુક્લિયસ માટે એકમ સમયમાં ક્ષય થવાની સંભાવના દર્શાવે છે.
રેડિયો એક્ટિવ ક્ષય એ એક સ્વયંભૂ અને યાદચ્છિક પ્રક્રિયા છે,જેનો અર્થ છે કે ન્યુક્લિયસ માટે ક્ષયની સંભાવના તે ન્યુક્લિયસ કેટલા સમયથી અસ્તિત્વમાં છે તેના પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,$\lambda$ એ રેડિયો એક્ટિવ આઇસોટોપનો એક અચળ ગુણધર્મ છે અને તે પરમાણુની ઉંમરથી સ્વતંત્ર છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની વિશિષ્ટ એક્ટિવીટી એટલે એકમ દળ દીઠ એક્ટિવીટી.
વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \, Curie$ $(1 \, Ci)$ એકમ મૂળભૂત રીતે $1 \, gram$ રેડિયમ-$226$ ની એક્ટિવીટી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો હતો.
તેથી,રેડિયમની વિશિષ્ટ એક્ટિવીટી આશરે $1 \, Ci/g$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $t = \tau_{1/2}$ સમયે,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 / 2$ હોય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda \tau_{1/2}}$.
$1/2 = e^{-\lambda \tau_{1/2}}$,જેનો અર્થ છે કે $2 = e^{\lambda \tau_{1/2}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln 2 = \lambda \tau_{1/2}$.
તેથી,સંબંધ $\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$ છે.

(A) વિશિષ્ટ એક્ટિવીટી એટલે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના એકમ દળ દીઠ એક્ટિવીટી.
આપેલ છે,વિશિષ્ટ એક્ટિવીટી $A_s = 1 \, Ci/g$.
નમૂનાનું દળ $m = 1 \, \mu g = 10^{-6} \, g$.
નમૂનાની એક્ટિવીટી $A$ એ વિશિષ્ટ એક્ટિવીટી અને નમૂનાના દળના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$A = A_s \times m$
$A = 1 \, Ci/g \times 10^{-6} \, g$
$A = 10^{-6} \, Ci$
કારણ કે $1 \, \mu Ci = 10^{-6} \, Ci$,તેથી એક્ટિવીટી $1 \, \mu Ci$ થશે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $\frac{N}{N_0} = (1/2)^n$, જ્યાં $n$ એ અર્ધઆયુની સંખ્યા છે.
અર્ધઆયુની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{6400}{1600} = 4$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{N}{N_0} = (1/2)^4 = \frac{1}{16}$.
આમ, $6400 \, \text{years}$ પછી બાકી રહેલ રેડિયમ નમૂનાનો અંશ $1/16$ છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં, $T_{1/2} = 10 \, \text{દિવસ}$ અને $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{10}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{10} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{10}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(10^{-1}) = \frac{t}{10} \ln(2^{-1})$.
$- \ln(10) = - \frac{t}{10} \ln(2)$.
$t = 10 \times \frac{\ln(10)}{\ln(2)} = 10 \times \frac{2.303}{0.693} \approx 10 \times 3.32$.
$t \approx 33.2 \, \text{દિવસ}$.
તેથી, જરૂરી સમય આશરે $33 \, \text{દિવસ}$ છે.

(A) કોઈપણ સમયે $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નમૂના $A_1$ માટે,$N_1 = N_0 e^{-(10\lambda_0)t}$.
નમૂના $A_2$ માટે,$N_2 = N_0 e^{-\lambda_0 t}$.
ક્ષય પામ્યા વગરના ન્યુક્લિયસનો ગુણોત્તર $N_1/N_2 = \frac{N_0 e^{-10\lambda_0 t}}{N_0 e^{-\lambda_0 t}} = e^{-9\lambda_0 t}$ થાય.
આપેલ છે કે $t = 1/(9\lambda_0)$,આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$N_1/N_2 = e^{-9\lambda_0 (1/9\lambda_0)} = e^{-1} = 1/e$.

(A) આપેલ છે: અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 30 \ min$.
કુલ સમય $t = 2 \ \text{કલાક} = 120 \ min$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{120}{30} = 4$.
પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0$ અને અંતિમ એક્ટિવિટી $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = \frac{A_0}{2^n}$ છે।
અંતિમ એક્ટિવિટી $A = 5 \ \text{વિભંજન/સેકન્ડ}$ આપેલ છે।
કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{A_0}{2^4} = \frac{A_0}{16}$.
તેથી, $A_0 = 5 \times 16 = 80 \ \text{વિભંજન/સેકન્ડ}$।

(D) અર્ધ આયુષ્ય $T_{1/2} = 5$ વર્ષ છે.
કુલ સમય $t = 10$ વર્ષ છે.
અર્ધ આયુષ્યની સંખ્યા $n = t / T_{1/2} = 10 / 5 = 2$ થાય.
$n$ અર્ધ આયુષ્ય પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો અંશ $N/N_0 = (1/2)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N/N_0 = (1/2)^2 = 1/4$ થાય.
વિખંડન પામેલા પદાર્થનો અંશ $1 - N/N_0$ છે.
વિખંડન પામેલો અંશ $= 1 - 1/4 = 3/4 = 0.75$.

(A) ક્ષયની પ્રક્રિયા $X \rightarrow Y$ છે.
આપેલ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 3$ દિવસ છે.
કુલ વીતેલો સમય $t = 6$ દિવસ છે.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = t / T_{1/2} = 6 / 3 = 2$ છે.
$n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી $X$ નું બાકી રહેલું દળ $N = N_0(1/2)^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$N = 10 \times (1/2)^2 = 10 / 4 = 2.5 \, g$.
કુલ દળ સંરક્ષિત હોવાથી,બનેલા $Y$ નું દળ $M_Y = N_0 - N = 10 - 2.5 = 7.5 \, g$ થશે.
આમ,$X$ નું દળ $2.5 \, g$ અને $Y$ નું દળ $7.5 \, g$ હશે.

(A) એક્ટિવિટી $R$ નું સૂત્ર $R = \lambda N$ છે,જ્યાં $\lambda$ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = \frac{m}{M} \times N_A$,જ્યાં $m = 1 \, mg = 10^{-3} \, g$,$M = 64 \, g/mol$,અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, atoms/mol$ છે.
$N = \frac{10^{-3}}{64} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 9.41 \times 10^{18} \, atoms$.
હવે,$R = (1.6 \times 10^{-5} \, s^{-1}) \times (9.41 \times 10^{18}) = 1.5056 \times 10^{14} \, Bq$.
ક્યુરી $(Ci)$ માં રૂપાંતર કરવા માટે,$3.7 \times 10^{10} \, Bq/Ci$ વડે ભાગતા:
$R = \frac{1.5056 \times 10^{14}}{3.7 \times 10^{10}} \approx 4069 \, Ci$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $4054 \, Ci$ છે.

(B) આપેલ છે: $X$ નું અર્ધ આયુષ્ય $(T_{1/2, X})$ = $Y$ નું સરેરાશ આયુષ્ય $(\tau_Y)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $T_{1/2, X} = \frac{\ln 2}{\lambda_X} \approx 0.693 \tau_X$.
વળી, $\tau_Y = \frac{1}{\lambda_Y}$.
$T_{1/2, X} = \tau_Y$ હોવાથી, $0.693 \tau_X = \tau_Y$, જેનો અર્થ છે કે $\tau_X > \tau_Y$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{1}{\tau}$ હોવાથી, $\lambda_Y > \lambda_X$ થાય.
ક્ષયનો દર $R = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ બંને માટે સમાન હોવાથી, જેનો ક્ષય અચળાંક મોટો હશે તે ઝડપથી ક્ષય પામશે.
તેથી, $Y$ એ $X$ કરતા ઝડપથી ક્ષય પામશે.

(D) $\alpha$-ક્ષય માટેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{T_1}$ છે.
$\beta$-ક્ષય માટેનો ક્ષય અચળાંક $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{T_2}$ છે.
જ્યારે કોઈ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ બે અલગ-અલગ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામી શકે,ત્યારે કુલ ક્ષય અચળાંક એ વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો થાય છે: $\lambda_{eq} = \lambda_1 + \lambda_2$.
કારણ કે $\lambda_{eq} = \frac{\ln 2}{T_{eq}}$,તેથી $\frac{\ln 2}{T_{eq}} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$ થાય.
$\ln 2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{T_{eq}} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} = \frac{T_1 + T_2}{T_1 T_2}$ મળે છે.
તેથી,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T_{eq} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$ થાય.

(C) રેડિયો-ઍક્ટિવ વિભંજનનો નિયમ $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધઆયુ છે.
આપેલ છે કે નમૂનાનો $3/4$ ભાગ વિભંજન પામે છે,તેથી બાકી રહેલો ભાગ $N(t) = N_0 - \frac{3}{4} N_0 = \frac{1}{4} N_0$ થાય.
આ કિંમતને વિભંજનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{4} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,આપણને $2 = \frac{t}{T_{1/2}}$ મળે છે.
અહીં $t = 3/4 \, s$ આપેલ હોવાથી,$2 = \frac{3/4}{T_{1/2}}$ થાય.
તેથી,$T_{1/2} = \frac{3/4}{2} = 3/8 \, s$.

(C) આપેલ છે: અર્ધ આયુષ્ય $T_{1/2} = 30$ દિવસ,કુલ સમય $t = 90$ દિવસ.
અર્ધ આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$.
બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો જથ્થો $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{N_0}{8}$.
વિખંડિત થયેલો જથ્થો $N_{decayed} = N_0 - N = N_0 - \frac{N_0}{8} = \frac{7N_0}{8}$.
વિખંડનનો ટકાવારી દર $\frac{N_{decayed}}{N_0} \times 100 = \frac{7}{8} \times 100 = 87.5\%$ થાય.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{t_{1/2}}}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દળ = $M_0$
અર્ધઆયુ $(t_{1/2})$ = $5 \text{ વર્ષ}$
કુલ સમય $(t)$ = $15 \text{ વર્ષ}$
અર્ધઆયુની સંખ્યા $(n)$ = $\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$M = M_0 \left( \frac{1}{8} \right)$
$M = \frac{M_0}{8}$

(A) $t$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $7/8$ ભાગના ન્યુક્લિયસો ક્ષય પામ્યા છે,તેથી બાકી રહેલો ભાગ $1 - 7/8 = 1/8$ છે.
તેથી,$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{T_{1/2}}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{T_{1/2}}}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $3 = \frac{15}{T_{1/2}}$.
તેથી,$T_{1/2} = \frac{15}{3} = 5 \ min$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થના બાકી રહેલા દળ માટેનું સૂત્ર $N = \frac{N_0}{2^n}$ છે, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે。
આપેલ છે: પ્રારંભિક દળ $N_0 = 10.38 \, g$, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 3.8 \, \text{દિવસ}$, અને કુલ સમય $t = 19 \, \text{દિવસ}$。
પ્રથમ, અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા ગણો: $n = \frac{19}{3.8} = 5$.
હવે, કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો: $N = \frac{10.38}{2^5}$.
$N = \frac{10.38}{32} = 0.324375 \, g$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, બાકી રહેલ દળ $0.32 \, g$ છે。