Force on a Current Carrying Conductor Questions in Hindi

(C) एक तार द्वारा दूसरे तार की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
लोरेंत्ज़ बल नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $B$ में धारा $I$ ले जाने वाले तार पर प्रति इकाई लंबाई बल $f = I B \sin(90^\circ) = I B$ होता है।
$B$ का मान रखने पर,हमें $f = I \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} \right) = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ प्राप्त होता है।
चूंकि धाराएं एक ही दिशा में हैं,इसलिए तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।

(A) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ तार के खंड के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का सदिश है।
लूप के लिए,हम $AC$,$CD$,$AE$,$ED$ और विकर्ण $AD$ खंडों पर विचार कर सकते हैं।
प्रत्येक खंड पर बल की गणना करने पर:
$1$. $AC$ खंड के लिए: $\vec{L}_{AC} = 2\hat{j}$,$\vec{B} = -2\hat{k}$. $\vec{F}_{AC} = 3(2\hat{j} \times -2\hat{k}) = -12\hat{i}\,N$.
$2$. $CD$ खंड के लिए: $\vec{L}_{CD} = 2\hat{i}$,$\vec{B} = -2\hat{k}$. $\vec{F}_{CD} = 3(2\hat{i} \times -2\hat{k}) = 12\hat{j}\,N$.
$3$. $AE$ खंड के लिए: $\vec{L}_{AE} = 2\hat{i}$,$\vec{B} = -2\hat{k}$. $\vec{F}_{AE} = 3(2\hat{i} \times -2\hat{k}) = 12\hat{j}\,N$.
$4$. $ED$ खंड के लिए: $\vec{L}_{ED} = 2\hat{j}$,$\vec{B} = -2\hat{k}$. $\vec{F}_{ED} = 3(2\hat{j} \times -2\hat{k}) = -12\hat{i}\,N$.
$5$. $AD$ खंड के लिए: $\vec{L}_{AD} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$,$\vec{B} = -2\hat{k}$. $\vec{F}_{AD} = 3((2\hat{i} + 2\hat{j}) \times -2\hat{k}) = 12\hat{i} - 12\hat{j}\,N$.
सभी बलों का योग करने पर: $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{AC} + \vec{F}_{CD} + \vec{F}_{AE} + \vec{F}_{ED} + \vec{F}_{AD} = -12\hat{i} + 12\hat{j}\,N$.
यदि प्रश्न के अनुसार कुल धारा $3i$ ली जाए,तो परिणामी बल $36\sqrt{2}\,N$ प्राप्त होता है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
बिंदु $A$ और $C$ के बीच किसी भी धारावाही पथ के लिए,शुद्ध चुंबकीय बल केवल $A$ और $C$ को जोड़ने वाले सीधी रेखा के विस्थापन सदिश $\vec{AC}$ पर निर्भर करता है।
दिए गए परिपथ में,धारा $I$,$A$ और $C$ के बीच दो पथों में विभाजित हो जाती है: पथ $ABC$ और पथ $ADC$।
पथ $ABC$ के लिए,विस्थापन सदिश $\vec{AC}$ है जो $A$ से $C$ की ओर है और जिसका परिमाण $l$ है। बल $\vec{F}_{ABC} = I_1 (\vec{l} \times \vec{B})$ है।
पथ $ADC$ के लिए,विस्थापन सदिश भी $\vec{AC}$ है जो $A$ से $C$ की ओर है और जिसका परिमाण $l$ है। बल $\vec{F}_{ADC} = I_2 (\vec{l} \times \vec{B})$ है।
चूंकि कुल धारा $I = I_1 + I_2$ है,लूप पर कुल बल $\vec{F} = \vec{F}_{ABC} + \vec{F}_{ADC} = (I_1 + I_2) (\vec{l} \times \vec{B}) = I (\vec{l} \times \vec{B})$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के लंबवत है,इसलिए बल का परिमाण $F = I l B$ है।

(C) तार के एक छोटे तत्व पर विचार करें जो केंद्र पर $d\theta$ कोण बनाता है। इस तत्व पर चुंबकीय बल $dF = I(R d\theta)B = IBR d\theta$ है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
मान लीजिए $T$ तार में तनाव है। इस छोटे तत्व के सिरों पर तनाव के घटक,प्रत्येक सिरे पर $T \sin(d\theta/2)$,चुंबकीय बल को संतुलित करने के लिए त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर कार्य करते हैं।
छोटे कोणों के लिए,$\sin(d\theta/2) \approx d\theta/2$। अतः,कुल अंदर की ओर कार्य करने वाला बल $2T \sin(d\theta/2) \approx 2T(d\theta/2) = T d\theta$ है।
अंदर की ओर कार्य करने वाले बल को बाहर की ओर कार्य करने वाले चुंबकीय बल के बराबर करने पर:
$T d\theta = IBR d\theta$
इसलिए,तार में तनाव $T = IBR$ है।

(A) दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,यदि धाराएं एक ही दिशा में हैं,तो $I_1 I_2 > 0$,तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,और बल $F$ को 'ऋणात्मक' के रूप में परिभाषित किया गया है।
यदि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,तो $I_1 I_2 < 0$,तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,और बल $F$ को 'धनात्मक' के रूप में परिभाषित किया गया है।
इस प्रकार,संबंध $F = -k(I_1 I_2)$ है,जहाँ $k = \frac{\mu_0}{2 \pi d}$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल ऋणात्मक है। इसलिए,$F$ की $I_1 I_2$ पर निर्भरता दर्शाने वाला ग्राफ दूसरे और चौथे चतुर्थांश में एक सीधी रेखा है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(A) दिया गया है,तार $Q$ की लंबाई,$L = 25\, cm = 0.25\, m$.
$I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $R$ के कारण तार $Q$ पर बल $(F_{QR})$:
$I_Q = 10\, A$,$I_R = 20\, A$,$r = 0.05\, m$.
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल प्रतिकर्षी (बाईं ओर) होगा।
$F_{QR} = \frac{\mu_0 I_Q I_R}{2\pi r} \times L = 2 \times 10^{-7} \times \frac{10 \times 20}{0.05} \times 0.25 = 20 \times 10^{-5}\, N$ (बाईं ओर)।
तार $P$ के कारण तार $Q$ पर बल $(F_{QP})$:
$I_Q = 10\, A$,$I_P = 30\, A$,$r = 0.03\, m$.
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल प्रतिकर्षी (दाईं ओर) होगा।
$F_{QP} = \frac{\mu_0 I_Q I_P}{2\pi r} \times L = 2 \times 10^{-7} \times \frac{10 \times 30}{0.03} \times 0.25 = 50 \times 10^{-5}\, N$ (दाईं ओर)।
कुल बल $F_{\text{net}} = F_{QP} - F_{QR} = 50 \times 10^{-5} - 20 \times 10^{-5} = 30 \times 10^{-5}\, N = 3 \times 10^{-4}\, N$ दाईं ओर।

(A) लूप के ऊपरी खंड (लंबाई $a$) पर चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = i(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि धारा $i$ ऊपरी खंड में बाएं से दाएं बहती है और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है,इसलिए बल $\overrightarrow{F}$ लंबवत ऊपर की ओर कार्य करता है।
चुंबकीय बल का परिमाण $F = iBa$ है।
यह दिया गया है कि $i > mg/Ba$,इसलिए $iBa > mg$,जिसका अर्थ है कि ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ से अधिक है।
परिणामस्वरूप,लूप पर शुद्ध बल ऊपर की ओर होता है,जिससे द्रव्यमान $m$ ऊपर उठता है।
चूंकि लूप गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध गति करता है,इसलिए बाहरी स्रोत (जो धारा $i$ को संचालित करता है) द्वारा निकाय पर कार्य किया जाता है।
अतः,वजन ऊपर उठता है और निकाय पर कार्य किया जाता है।

(C) परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{24}{12} = 2 \, A$ है।
दो स्प्रिंग $k$ द्वारा समर्थित $m$ द्रव्यमान के तार के लिए प्रारंभिक संतुलन स्थिति $2kx_1 = mg$ है,जहाँ $x_1 = 0.5 \, cm = 0.5 \times 10^{-2} \, m$ है।
जब चुंबकीय क्षेत्र $B$ लगाया जाता है,तो अतिरिक्त बल $F_m = IlB$ अतिरिक्त खिंचाव $x_2 = 0.3 \, cm = 0.3 \times 10^{-2} \, m$ उत्पन्न करता है। नई संतुलन स्थिति $2k(x_1 + x_2) = mg + IlB$ है।
पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर $2kx_2 = IlB$ प्राप्त होता है।
$2k = \frac{mg}{x_1}$ को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{mg}{x_1} x_2 = IlB$ प्राप्त होता है।
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{mgx_2}{Ilx_1} = \frac{10 \times 10^{-3} \times 10 \times 0.3 \times 10^{-2}}{2 \times 5 \times 10^{-2} \times 0.5 \times 10^{-2}} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6 \, T$.
चूंकि स्प्रिंग और अधिक खिंचती है,इसलिए चुंबकीय बल नीचे की ओर होना चाहिए। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,तार में बहने वाली धारा के लिए,नीचे की ओर बल उत्पन्न करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र को पृष्ठ के तल के अंदर की ओर निर्देशित होना चाहिए।

(A) अनंत लंबाई के तार $A$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I_A = 10\, A$ और $r = 10\, cm = 0.1\, m$ है।
अतः,$B_A = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.1} = 2 \times 10^{-5}\, T$.
चुंबकीय क्षेत्र $B_A$ में $L$ लंबाई के धारावाही तार $B$ पर लगने वाला बल $F = I_B L B_A \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार समानांतर हैं,इसलिए कोण $\theta = 90^\circ$ है,अतः $\sin(90^\circ) = 1$.
यहाँ $I_B = 2\, A$ और $L = 2\, m$ दिया गया है,इसलिए $F = 2 \times 2 \times (2 \times 10^{-5}) = 8 \times 10^{-5}\, N$.

(D) अनंत लंबाई के तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
जब $M = I_L \pi a^2$ (जहाँ $I_L$ लूप की धारा है) चुंबकीय आघूर्ण वाला एक छोटा लूप एक असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो उस पर लगने वाला बल $F = \nabla (M \cdot B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार से चुंबकीय क्षेत्र $B$,$1/r$ के अनुसार बदलता है,इसलिए क्षेत्र का प्रवणता (gradient) $1/r^2$ के अनुसार बदलता है।
अतः,तार के कारण लूप पर लगने वाला बल (या इसके विपरीत) $M \times (B \text{ का प्रवणता})$ के समानुपाती होता है।
$F \propto M \times \frac{1}{d^2} \propto (I_L a^2) \times \frac{1}{d^2}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,हम $a$ और $d$ पर निर्भरता देखते हैं। बल $a^2/d^2$ के समानुपाती है,जो $(a/d)^2$ के बराबर है।

(B) मान लीजिए कि वर्गाकार लूप के शीर्ष $P, Q, R, S$ हैं,जहाँ $PQ$ भुजा तार से $a$ दूरी पर है। लंबे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}$ होता है।
$1$. $PQ$ भुजा के लिए (लंबाई $a$,दूरी $a$): धारा नीचे की ओर बहती है। चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,बल $F_1$ तार से दूर (प्रतिकर्षी) कार्य करता है,जिसका मान $F_1 = I_2 B_1 a = I_2 \left( \frac{\mu_0 I_1}{2\pi a} \right) a = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}$ है।
$2$. $RS$ भुजा के लिए (लंबाई $a$,दूरी $2a$): धारा ऊपर की ओर बहती है। चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,बल $F_2$ तार की ओर (आकर्षक) कार्य करता है,जिसका मान $F_2 = I_2 B_2 a = I_2 \left( \frac{\mu_0 I_1}{2\pi (2a)} \right) a = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi}$ है।
$3$. ऊपर और नीचे की भुजाओं के लिए: इन खंडों पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$4$. कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi} - \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi}$ है। चूंकि $F_1 > F_2$,इसलिए कुल बल प्रतिकर्षी है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित $I'$ धारा वाले दूसरे समानांतर तार के कारण $I$ धारा वाले तार पर प्रति इकाई लंबाई बल $F = \frac{\mu_0 I I'}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $C$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,तार $A$ और $B$ द्वारा लगाए गए बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
मान लीजिए तार $C$,$A$ से $x$ दूरी पर और $B$ से $(d-x)$ दूरी पर है। $A$ के कारण प्रति इकाई लंबाई बल $F_A = \frac{\mu_0 I_1 I}{2 \pi x}$ है।
$B$ के कारण प्रति इकाई लंबाई बल $F_B = \frac{\mu_0 I_2 I}{2 \pi (d-x)}$ है।
चूंकि चित्र में $I_1$ और $I_2$ धाराएँ विपरीत दिशाओं में हैं,यदि $C$,$A$ और $B$ के बीच में है तो बल एक ही दिशा में होंगे। इसलिए,संतुलन बिंदु $A$ और $B$ के बीच के क्षेत्र के बाहर होना चाहिए।
$C$ की स्थिति पर $A$ और $B$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाणों की तुलना करने पर:
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi |x - d|}$
$\frac{I_1}{x} = \frac{I_2}{|x - d|}$
स्थिति $1$: $x > d$,तो $x - d = x - d$,इसलिए $I_1(x - d) = I_2 x \Rightarrow x(I_1 - I_2) = I_1 d \Rightarrow x = \frac{I_1 d}{I_1 - I_2}$.
इस प्रकार,संतुलन के लिए बिंदु $x = \frac{I_1 d}{I_1 - I_2}$ है।

(B) दिया गया है:
धारा $I = 8\,A$
कोण $\theta = 30^{\circ}$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.15\,T$
प्रति इकाई लंबाई $\ell = 1\,m$
धारावाही चालक पर चुंबकीय बल $F = BI\ell \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $f = \frac{F}{\ell} = BI \sin \theta$ है।
मान रखने पर:
$f = 0.15 \times 8 \times \sin 30^{\circ}$
$f = 1.2 \times 0.5$
$f = 0.6\,N\,m^{-1}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में,एक पलड़े में जोड़ा गया वजन तराजू के दूसरे पलड़े में स्थित आयताकार कुंडली को संतुलित करता है।
मान लीजिए $M = 500 \, g = 0.5 \, kg$ है। संतुलन की स्थिति $Mgl = W_{coil}l$ है,जहाँ $l$ तराजू की भुजा की लंबाई है।
जब कुंडली से $I = 9.8 \, A$ की धारा प्रवाहित की जाती है और $B = 0.4 \, T$ का चुंबकीय क्षेत्र चालू किया जाता है,तो $L = 1.5 \, cm = 1.5 \times 10^{-2} \, m$ लंबाई वाली भुजा $CD$ पर चुंबकीय बल $F_m = IBL$ कार्य करता है।
फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,चुंबकीय बल भुजा $CD$ पर लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है।
संतुलन पुनः प्राप्त करने के लिए,$500 \, g$ द्रव्यमान वाले पलड़े में अतिरिक्त द्रव्यमान $m$ जोड़ा जाना चाहिए।
नई संतुलन स्थिति $(M + m)gl = W_{coil}l + F_m l$ है।
चूंकि $Mgl = W_{coil}l$ है,इसलिए हमें $mgl = F_m l = (IBL)l$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = \frac{IBL}{g} = \frac{9.8 \times 0.4 \times 1.5 \times 10^{-2}}{9.8}$.
$m = 0.4 \times 1.5 \times 10^{-2} \, kg = 0.6 \times 10^{-2} \, kg = 6 \times 10^{-3} \, kg = 6 \, g$.

(C) $1$. समान दिशा में धारा ले जाने वाले दो समानांतर तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं, जबकि विपरीत दिशा में धारा ले जाने वाले तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
$2$. तार $P$ में धारा कागज के अंदर की ओर $(\otimes)$ है, तार $Q$ में धारा कागज के बाहर की ओर $(\odot)$ है, और तार $R$ में धारा कागज के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$3$. चूंकि $P$ और $Q$ में धारा विपरीत दिशाओं में है, इसलिए तार $Q$, $P$ पर एक प्रतिकर्षण बल लगाता है, जो इसे बाईं ओर ($Q$ से दूर) धकेलता है। मान लीजिए यह बल $F_Q$ है।
$4$. चूंकि $P$ और $R$ में धारा समान दिशा में है, इसलिए तार $R$, $P$ पर एक आकर्षण बल लगाता है, जो इसे नीचे की ओर ($R$ की ओर) खींचता है। मान लीजिए यह बल $F_R$ है।
$5$. तार $P$ पर परिणामी बल $F$, $F_Q$ और $F_R$ का सदिश योग है। चूंकि दोनों बलों का परिमाण समान है, इसलिए परिणामी बल $F$, तीर $C$ की दिशा में होगा, जो क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है।

(B) $1$. चालक $A$ और $B$ के लिए: जब दो समानांतर चालक समान दिशा में धारा प्रवाहित करते हैं,तो वे चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जिसके परिणामस्वरूप उनके बीच आकर्षण बल कार्य करता है।
$2$. इलेक्ट्रॉन पुंज $x$ और $y$ के लिए: इलेक्ट्रॉन पुंज गतिमान ऋणात्मक आवेशों से बने होते हैं। चूंकि वे समान दिशा में गति कर रहे हैं,वे समान दिशा में समानांतर धारा का निर्माण करते हैं। हालाँकि,उनके पास एक शुद्ध ऋणात्मक आवेश घनत्व भी होता है,जो एक मजबूत स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल उत्पन्न करता है। इलेक्ट्रॉन पुंज के मामले में,स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण चुंबकीय आकर्षण पर हावी हो जाता है,जिससे पुंजों के बीच शुद्ध प्रतिकर्षण होता है।

(A) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल,जो $d$ दूरी पर स्थित हैं,$f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
समान दिशा में धारा ले जाने वाले तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,जबकि विपरीत दिशा में धारा ले जाने वाले तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
तार $R$ के लिए:
$1$. तार $Q$ के कारण बल $(f_{RQ})$: धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं (एक कागज के अंदर,एक बाहर),इसलिए वे प्रतिकर्षित करते हैं। बल $Q$ से दूर (दाईं ओर) कार्य करता है।
$f_{RQ} = \frac{\mu_0 (4)(2)}{2 \pi (1)} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{8}{1} = 16 \times 10^{-7} \, N/m$.
$2$. तार $P$ के कारण बल $(f_{RP})$: धाराएं समान दिशा में हैं (दोनों कागज के बाहर),इसलिए वे आकर्षित करते हैं। बल $P$ की ओर (बाईं ओर) कार्य करता है।
$f_{RP} = \frac{\mu_0 (1)(2)}{2 \pi (3)} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \times 10^{-7} \, N/m$.
$R$ पर प्रति इकाई लंबाई कुल बल $f_{net} = f_{RQ} - f_{RP} = (16 - \frac{4}{3}) \times 10^{-7} = \frac{48-4}{3} \times 10^{-7} = \frac{44}{3} \times 10^{-7} \, N/m$.

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
तार $x = 0$ से शुरू होता है और $x = 2L$ पर समाप्त होता है।
$x = 0$ पर,$y = a \sin(0) = 0$ है।
$x = 2L$ पर,$y = a \sin\left(\frac{\pi(2L)}{L}\right) = a \sin(2\pi) = 0$ है।
अतः,प्रारंभिक बिंदु $(0, 0)$ है और अंतिम बिंदु $(2L, 0)$ है।
प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}_{eff}$ बिंदु $(0, 0)$ से $(2L, 0)$ तक का विस्थापन सदिश है,जो $\vec{L}_{eff} = 2L \hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र एक समान है और तल के अंदर की ओर है,इसलिए $\vec{B} = -B \hat{k}$ (यह मानते हुए कि तल $xy$-तल है)।
चुंबकीय बल $\vec{F} = i(2L \hat{i} \times -B \hat{k}) = -2iLB(\hat{i} \times \hat{k}) = -2iLB(-\hat{j}) = 2iLB \hat{j}$ है।
बल का परिमाण $2iLB$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = B_0 \left( 5 + \frac{x}{l} \right) \hat k$ है। मान लीजिए वर्गाकार लूप के शीर्ष $P(0,0)$,$Q(l,0)$,$R(l,l)$,और $S(0,l)$ हैं।
धारावाही तार पर बल $\vec F = i \int d\vec l \times \vec B$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. खंड $PQ$ के लिए ($x$-अक्ष पर,$y=0$,$x$ का मान $0$ से $l$ तक): $d\vec l = dx \hat i$,$\vec B = B_0 (5 + x/l) \hat k$. $\vec F_{PQ} = i \int_0^l (dx \hat i) \times B_0 (5 + x/l) \hat k = -5.5 B_0 il \hat j$.
$2$. खंड $RS$ के लिए ($x$-अक्ष के समानांतर,$y=l$,$x$ का मान $l$ से $0$ तक): $d\vec l = dx \hat i$,$\vec B = B_0 (5 + x/l) \hat k$. $\vec F_{RS} = 5.5 B_0 il \hat j$.
$3$. खंड $QR$ के लिए ($y$-अक्ष के समानांतर,$x=l$,$y$ का मान $0$ से $l$ तक): $d\vec l = dy \hat j$,$\vec B = 6 B_0 \hat k$. $\vec F_{QR} = 6 B_0 il \hat i$.
$4$. खंड $SP$ के लिए ($y$-अक्ष के समानांतर,$x=0$,$y$ का मान $l$ से $0$ तक): $d\vec l = dy \hat j$,$\vec B = 5 B_0 \hat k$. $\vec F_{SP} = -5 B_0 il \hat i$.
शुद्ध बल $\vec F_{net} = \vec F_{PQ} + \vec F_{RS} + \vec F_{QR} + \vec F_{SP} = B_0 il \hat i$.
अतः,परिमाण $B_0 il$ है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
$R$ त्रिज्या वाली अर्धवृत्ताकार रिंग के लिए,विस्थापन सदिश $\vec{L}$ अर्धवृत्त के दोनों सिरों को जोड़ता है। इस सीधी रेखा के विस्थापन की लंबाई अर्धवृत्त का व्यास है,जो $2R$ है।
चूंकि तार का तल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए बल का परिमाण $F = iLB \sin(90^\circ) = i(2R)B$ होगा।
अतः,रिंग पर कार्य करने वाला कुल बल $F = 2BiR$ है।

(C) दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f = \frac{{\mu _0}{I_1}{I_2}}{2\pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी तारों में समान धारा $I$ बहती है,तार $A$ द्वारा $B$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f_A = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2\pi d}$ ($A$ की दिशा में) है।
तार $C$ द्वारा $B$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f_C = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2\pi d}$ ($C$ की दिशा में) है।
चूंकि तार $A$,$B$,और $C$ इस तरह व्यवस्थित हैं कि बलों $f_A$ और $f_C$ की दिशाओं के बीच का कोण $90^\circ$ है,इसलिए तार $B$ पर प्रति इकाई लंबाई कुल बल:
$f_{net} = \sqrt{f_A^2 + f_C^2} = \sqrt{\left(\frac{{\mu _0}{I^2}}{2\pi d}\right)^2 + \left(\frac{{\mu _0}{I^2}}{2\pi d}\right)^2}$
$f_{net} = \sqrt{2 \left(\frac{{\mu _0}{I^2}}{2\pi d}\right)^2} = \sqrt{2} \frac{{\mu _0}{I^2}}{2\pi d} = \frac{{\mu _0}{I^2}}{\sqrt{2}\pi d}$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर प्रति इकाई लंबाई बल का सूत्र $f = \frac{F}{L} = I B \sin \theta$ होता है।
यहाँ,चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times 10^{-5} \, T$ दक्षिण से उत्तर दिशा में है।
धारा $I = 1 \, A$ पूर्व से पश्चिम दिशा में प्रवाहित हो रही है।
चूंकि धारा की दिशा (पूर्व-पश्चिम) चुंबकीय क्षेत्र की दिशा (दक्षिण-उत्तर) के लंबवत है,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ होगा।
सूत्र में मान रखने पर:
$f = 1 \, A \times (3 \times 10^{-5} \, T) \times \sin(90^{\circ})$
$f = 1 \times 3 \times 10^{-5} \times 1$
$f = 3 \times 10^{-5} \, N/m$.

(B) जब एक लचीले धारावाही लूप को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो चुंबकीय बल तार पर इस प्रकार कार्य करता है कि लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स अधिकतम हो जाए।
दी गई परिधि के लिए अधिकतम क्षेत्रफल के सिद्धांत के अनुसार,लूप अधिकतम संभव क्षेत्रफल को घेरने के लिए फैलता है।
एक निश्चित परिधि के लिए,वृत्त वह ज्यामितीय आकार है जो अधिकतम क्षेत्रफल को घेरता है।
इसलिए,लचीला तार एक वृत्त का आकार ले लेगा।

(A) तार $A$ में प्रवाहित धारा,$I_{A} = 8.0 \, A$.
तार $B$ में प्रवाहित धारा,$I_{B} = 5.0 \, A$.
तारों के बीच की दूरी,$r = 4.0 \, cm = 0.04 \, m$.
तार $A$ के खंड की लंबाई,$l = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
दो समानांतर तारों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{\mu_{0} I_{A} I_{B} l}{2 \pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$F = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 8.0 \times 5.0 \times 0.1}{2 \pi \times 0.04} \, N$.
$F = \frac{2 \times 10^{-7} \times 40 \times 0.1}{0.04} \, N$.
$F = 2 \times 10^{-5} \, N$.
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए यह बल आकर्षण बल है।

(B) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ प्रारंभिक बिंदु $A$ से अंतिम बिंदु $C$ तक का विस्थापन सदिश है।
तार में $3 \, m$ लंबाई का एक सीधा खंड $AB$ और $R = 4 \, m$ त्रिज्या वाला एक चौथाई वृत्ताकार खंड $BC$ शामिल है।
निर्देशांक इस प्रकार हैं: $A = (0, 0)$,$B = (3, 0)$,और $C = (3, 4)$।
प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}_{eff} = \vec{AC} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \, m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है,इसलिए $\vec{B} = -2 \hat{k} \, T$ है।
बल $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B}) = 2 \, A \times [(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \times (-2 \hat{k})] \, T$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$):
$\vec{F} = 2 \times [3(\hat{i} \times -2\hat{k}) + 4(\hat{j} \times -2\hat{k})] = 2 \times [-6(-\hat{j}) + -8(\hat{i})] = 2 \times [6\hat{j} - 8\hat{i}] = (12\hat{j} - 16\hat{i}) \, N$।
बल का परिमाण $F = \sqrt{(12)^2 + (-16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, N$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ बाहर की ओर (बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया) निर्देशित है और एकसमान है।
लेंज के नियम के अनुसार, लूप में प्रेरित धारा एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र बनाएगी जो चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करेगा।
हालाँकि, इस स्थिति में, चुंबकीय क्षेत्र स्थिर है।
यदि हम चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में धारावाही तत्व $d\vec{l}$ पर बल पर विचार करें, तो बल $d\vec{F} = i(d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
बाहर की ओर निर्देशित एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में धारा $i$ प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के लिए, प्रत्येक छोटे तत्व $d\vec{l}$ पर बल त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होगा।
ऐसा इसलिए है क्योंकि स्पर्शरेखीय धारा तत्व और बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र का क्रॉस उत्पाद केंद्र से दूर की दिशा में बल देता है।
इसलिए, लूप पर एक शुद्ध बाहरी बल लगेगा, जिससे यह विस्तारित होगा।

(A) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
समान दिशा में बहने वाली धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं,जबकि विपरीत दिशा में बहने वाली धाराएं एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।
तार $R$ के लिए:
$1$. तार $Q$ $(4 \text{ A})$ के कारण बल $(F_{RQ})$: $Q$ और $R$ $(6 \text{ A})$ में धारा समान दिशा में है,इसलिए वे आकर्षित करते हैं। अतः,$F_{RQ}$ बाईं ओर ($Q$ की दिशा में) है।
$2$. तार $P$ $(2 \text{ A})$ के कारण बल $(F_{RP})$: $P$ और $R$ में धारा समान दिशा में है,इसलिए वे आकर्षित करते हैं। अतः,$F_{RP}$ बाईं ओर ($P$ की दिशा में) है।
चूंकि दोनों बल $F_{RQ}$ और $F_{RP}$ बाईं ओर कार्य कर रहे हैं,इसलिए $R$ पर परिणामी बल बाईं ओर होगा।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ तार के शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
यहाँ,तार $(0, 0)$ से शुरू होता है और $(2L, 0)$ पर समाप्त होता है।
इसलिए,प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}_{eff} = (2L - 0)\hat{i} = 2L\hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र एक समान है और कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित है,इसलिए $\vec{B} = -B\hat{k}$ (मानते हुए कि $xy$-तल तार का तल है)।
बल $\vec{F} = i(2L\hat{i} \times -B\hat{k}) = i(2LB)(\hat{j}) = 2iLB\hat{j}$ होगा।
अतः,बल का परिमाण $F = 2iLB$ है।

(D) लंबे सीधे तार $1$ द्वारा $r$ लंबवत दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे गए धारा अवयव $i_2 \, dl$ पर लगने वाला बल $dF = i_2 (dl \times B) = i_2 \, dl \, B \sin \alpha$ है,जहाँ $\alpha$ धारा अवयव $dl$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ तारों वाले तल के लंबवत (अंदर की ओर) है। धारा अवयव $dl$ तारों के तल में स्थित है। इसलिए,$dl$ और $B$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,$dF = i_2 \, dl \left( \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r} \right) \sin 90^{\circ} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi r} dl$.

(A) धारावाही तार पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = IlB$ द्वारा दिया जाता है,जो गुरुत्वाकर्षण का सामना करने के लिए ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
तार के हवा में लटके रहने के लिए,चुंबकीय बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए:
$mg = IlB$
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$B = \frac{mg}{Il}$
दिया गया है:
$m = 200 \;g = 0.2 \;kg$
$l = 1.5 \;m$
$I = 2 \;A$
$g = 9.8 \;m/s^2$
मान रखने पर:
$B = \frac{0.2 \times 9.8}{2 \times 1.5} = \frac{1.96}{3} \approx 0.653 \;T$
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण लगभग $0.65 \;T$ है।

(A) धारावाही चालक पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
बल का परिमाण $F = I L B \sin \theta$ है।
प्रति इकाई लंबाई पर बल $f = F/L = I B \sin \theta$ है।
$(a)$ जब धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है, तो धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र (दक्षिण से उत्तर) के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
अतः, $f = I B \sin 90^{\circ} = I B = (1 \; A) \times (3.0 \times 10^{-5} \; T) = 3.0 \times 10^{-5} \; N/m$.
बल की दिशा नीचे की ओर है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)।
$(b)$ जब धारा दक्षिण से उत्तर की ओर बहती है, तो धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
अतः, $f = I B \sin 0^{\circ} = 0 \; N/m$.
इस स्थिति में चालक पर कोई बल नहीं लगता है।

(B) धारावाही तार पर प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $f$ का सूत्र $f = B I \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान:
$I = 8 \; A$
$B = 0.15 \; T$
$\theta = 30^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = 0.15 \times 8 \times \sin 30^{\circ}$
$f = 1.2 \times 0.5$
$f = 0.6 \; N \; m^{-1}$
अतः,प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल का परिमाण $0.6 \; N \; m^{-1}$ है।

(C) तार की लंबाई,$l = 3 \; cm = 0.03 \; m$.
तार में प्रवाहित धारा,$I = 10 \; A$.
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.27 \; T$.
धारा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण,$\theta = 90^{\circ}$ (क्योंकि सोलेनोइड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उसकी अक्ष के अनुदिश होता है और धारावाही तार को अक्ष के लंबवत रखा गया है)।
तार पर लगने वाला चुंबकीय बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = B I l \sin \theta$
मान रखने पर:
$F = 0.27 \times 10 \times 0.03 \times \sin 90^{\circ}$
$F = 0.27 \times 10 \times 0.03 \times 1$
$F = 8.1 \times 10^{-2} \; N$.
अतः,तार पर चुंबकीय बल $8.1 \times 10^{-2} \; N$ है। बल की दिशा फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम से प्राप्त की जा सकती है।

(D) तार $A$ में प्रवाहित धारा,$I_A = 8.0 \; A$.
तार $B$ में प्रवाहित धारा,$I_B = 5.0 \; A$.
तारों के बीच की दूरी,$r = 4.0 \; cm = 0.04 \; m$.
तार $A$ के खंड की लंबाई,$l = 10 \; cm = 0.1 \; m$.
दो समानांतर तारों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_A I_B l}{2 \pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$F = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 8.0 \times 5.0 \times 0.1}{2 \pi \times 0.04}$.
$F = 2 \times 10^{-7} \times \frac{4.0}{0.04} = 2 \times 10^{-5} \; N$.
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए यह बल आकर्षण का बल है।

(A) दिया गया है:
छड़ की लंबाई,$l = 0.45\; m$
छड़ का द्रव्यमान,$m = 60\; g = 60 \times 10^{-3}\; kg$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8\; m s^{-2}$
छड़ में धारा,$I = 5.0\; A$
$(a)$ तारों में तनाव शून्य होने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल छड़ के नीचे की ओर लगने वाले भार को संतुलित करना चाहिए।
$F_B = mg$
$BIl = mg$
$B = \frac{mg}{Il} = \frac{60 \times 10^{-3} \times 9.8}{5.0 \times 0.45} = 0.26\; T$
अतः,चालक के लंबवत $0.26\; T$ का चुंबकीय क्षेत्र आवश्यक है।
$(b)$ जब धारा की दिशा उलट दी जाती है,तो चुंबकीय बल $F_B$ भार $mg$ के साथ नीचे की ओर कार्य करता है।
कुल तनाव $T = F_B + mg = BIl + mg$
$T = (0.26 \times 5.0 \times 0.45) + (60 \times 10^{-3} \times 9.8)$
$T = 0.588 + 0.588 = 1.176\; N$

(A) दोनों तारों में धारा,$I = 300\; A$.
तारों के बीच की दूरी,$r = 1.5\; cm = 0.015\; m$.
दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi r}$
जहाँ $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\; T\cdot m/A$ निर्वात की पारगम्यता है।
मान रखने पर:
$f = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (300)^2}{2 \pi \times 0.015}$
$f = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90000}{0.015}$
$f = \frac{0.018}{0.015} = 1.2\; N/m$.
चूंकि तारों में धारा विपरीत दिशाओं में प्रवाहित होती है (एक मोटर की ओर और एक वापस आती हुई),इसलिए उनके बीच का बल प्रतिकर्षण का है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 1.5 \; T$
बेलनाकार क्षेत्र की त्रिज्या,$r = 10 \; cm = 0.1 \; m$
तार में धारा,$I = 7.0 \; A$
$(a)$ यदि तार अक्ष को काटता है,तो क्षेत्र के भीतर तार की लंबाई व्यास के बराबर होती है,$l = 2r = 0.2 \; m$। चुंबकीय क्षेत्र (पूर्व-पश्चिम) और धारा (उत्तर-दक्षिण) के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
बल $F = B I l \sin \theta = 1.5 \times 7.0 \times 0.2 \times \sin 90^{\circ} = 2.1 \; N$। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,दिशा लंबवत नीचे की ओर है।
$(b)$ जब तार को घुमाया जाता है,तो क्षेत्र के भीतर लंबाई $l' = l / \sin \theta$ हो जाती है,जहाँ $\theta = 45^{\circ}$ है।
बल $F = B I l' \sin \theta = B I (l / \sin \theta) \sin \theta = B I l = 1.5 \times 7.0 \times 0.2 = 2.1 \; N$। बल $2.1 \; N$ लंबवत नीचे की ओर ही रहता है।
$(c)$ यदि तार को $d = 6.0 \; cm$ नीचे किया जाता है,तो जीवा की लंबाई $l'' = 2 \sqrt{r^2 - d^2} = 2 \sqrt{10^2 - 6^2} = 2 \sqrt{64} = 16 \; cm = 0.16 \; m$ होगी।
बल $F = B I l'' = 1.5 \times 7.0 \times 0.16 = 1.68 \; N$। दिशा लंबवत नीचे की ओर है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,$l$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले एक चालक $PQ$ पर विचार करें,जिसमें $+y$ दिशा में $I$ धारा प्रवाहित हो रही है। चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ $+z$ दिशा में कार्य करता है।
इलेक्ट्रॉन अनुगमन वेग $\overrightarrow{v_{d}}$ के साथ बाईं ओर गति करते हैं।
प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर $+x$ दिशा में बल लगता है,जो इस प्रकार है:
$\vec{f} = -e(\overrightarrow{v_{d}} \times \overrightarrow{B})$
यदि $n$ प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या है,तो चालक में इलेक्ट्रॉनों की कुल संख्या है:
$N = n \times \text{Volume} = nAl$
चालक पर कुल बल है:
$\overrightarrow{F} = N \vec{f} = nAl[-e(\overrightarrow{v_{d}} \times \overrightarrow{B})]$
$= nAe[-(l \overrightarrow{v_{d}} \times \overrightarrow{B})]$
चूंकि $I\vec{l}$ धारा की दिशा में एक धारा अवयव सदिश को दर्शाता है,हम लिख सकते हैं:
$\vec{v}_{d} = v_{d} \vec{l}$
$\therefore \overrightarrow{F} = nAe(v_{d} \vec{l} \times \overrightarrow{B}) = nAev_{d}(\vec{l} \times \overrightarrow{B})$
चूंकि $nAev_{d} = I$ (धारा),
$\therefore \vec{F} = I(\vec{l} \times \overrightarrow{B})$
इसका परिमाण $F = IlB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ $\overrightarrow{B}$ और $\vec{l}$ के बीच का कोण है।
किसी भी आकार के तार के लिए,हम बल की गणना उसे छोटे रैखिक खंडों $d\vec{l}$ के संग्रह के रूप में मानकर और योग करके कर सकते हैं:
$\overrightarrow{F} = \sum I(d\vec{l} \times \overrightarrow{B})$

(N/A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे $L$ लंबाई और $I$ धारा वाले सीधे तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ सदिश गुणनफल द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$F = I(\vec{L} \times \vec{B})$
जहाँ:
$I$ तार में प्रवाहित धारा है (एम्पीयर में),
$\vec{L}$ तार का लंबाई सदिश है (मीटर में),जो धारा की दिशा में होता है,
$\vec{B}$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र है (टेस्ला में),
$F$ चुंबकीय बल है (न्यूटन में)।
परिमाण के रूप में,इसे $F = BIL \sin(\theta)$ लिखा जा सकता है,जहाँ $\theta$ धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।

(N/A) मान लीजिए कि दो लंबे समानांतर तार $a$ और $b$ एक-दूसरे से $d$ दूरी पर स्थित हैं,जिनमें क्रमशः $I_{a}$ और $I_{b}$ धारा प्रवाहित हो रही है।
चालक $a$,चालक $b$ पर स्थित सभी बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}_{a}$ उत्पन्न करता है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,इस क्षेत्र की दिशा तारों वाले तल के लंबवत होती है।
तार $a$ द्वारा $d$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण है:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I_{a}}{2 \pi d}$ ... $(1)$
$I_{b}$ धारा ले जाने वाला चालक $b$,$B_{a}$ क्षेत्र के कारण चुंबकीय बल का अनुभव करता है। तार $b$ के $L$ लंबाई के खंड पर लगने वाला बल है:
$\overrightarrow{F} = I \vec{L} \times \overrightarrow{B}$
चूंकि धारा और चुंबकीय क्षेत्र लंबवत हैं,इसलिए तार $a$ के कारण तार $b$ पर लगने वाले बल $F_{ba}$ का परिमाण है:
$F_{ba} = I_{b} L B_{a} = \frac{\mu_{0} I_{a} I_{b} L}{2 \pi d}$ ... $(2)$
इसी प्रकार,तार $b$ में प्रवाहित धारा के कारण तार $a$ के $L$ लंबाई के खंड पर लगने वाला बल $F_{ab}$ परिमाण में $F_{ba}$ के बराबर होता है लेकिन विपरीत दिशा में कार्य करता है:
$\overrightarrow{F}_{ba} = -\overrightarrow{F}_{ab}$ ... $(3)$
यह परिणाम न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुरूप है।
अतः,समान दिशा में प्रवाहित धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं,जबकि विपरीत दिशा में प्रवाहित धाराएं एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।

(N/A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखे धारावाही तत्व $I\vec{dl}$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $d\vec{F}$ सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$d\vec{F} = I(d\vec{l} \times \vec{B})$
जहाँ $I$ विद्युत धारा है,$d\vec{l}$ चालक का सूक्ष्म लंबाई सदिश है,और $\vec{B}$ बाह्य चुंबकीय क्षेत्र है।
चुंबकीय बल की दिशा फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
इस नियम के अनुसार,यदि हम बाएं हाथ के अंगूठे,तर्जनी और मध्यमा उंगली को इस प्रकार फैलाएं कि वे एक-दूसरे के लंबवत हों,तो:
$1$. तर्जनी चुंबकीय क्षेत्र $(\vec{B})$ की दिशा को दर्शाती है।
$2$. मध्यमा उंगली विद्युत धारा $(I)$ की दिशा को दर्शाती है।
$3$. अंगूठा चालक पर लगने वाले चुंबकीय बल $(d\vec{F})$ की दिशा को दर्शाता है।

(A) बायो-सावर्ट नियम और लोरेंत्ज़ बल नियम के अनुसार,जब दो समानांतर तारों में समान दिशा में धारा प्रवाहित होती है,तो एक तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र दूसरे तार पर आकर्षण बल लगाता है।
इसके विपरीत,जब धाराएं विपरीत दिशाओं में प्रवाहित होती हैं,तो तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उनके बीच एक प्रतिकर्षण बल उत्पन्न करते हैं।
इसलिए,सही क्रम आकर्षण और उसके बाद प्रतिकर्षण है।

(N/A) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$।
यदि $I_1 = I_2 = 1 \ A$ और $d = 1 \ m$ है,तो प्रति इकाई लंबाई पर बल $F/L = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1 \times 1}{2 \pi \times 1} = 2 \times 10^{-7} \ N/m$ होगा।
अतः,$1 \ A$ वह स्थिर धारा है जो निर्वात में $1 \ m$ की दूरी पर रखे गए अनंत लंबाई और नगण्य अनुप्रस्थ काट वाले दो सीधे समानांतर चालकों में प्रवाहित होने पर,उन चालकों के बीच प्रति मीटर लंबाई पर $2 \times 10^{-7} \ N$ का बल उत्पन्न करती है।

(N/A) विद्युत चुंबकों का उपयोग उनकी चुंबकत्व को चालू और बंद करने की क्षमता के कारण विभिन्न उपकरणों में किया जाता है। इनके सामान्य उपयोग निम्नलिखित हैं:
$1$. इलेक्ट्रिक बेल: घंटी की आवाज उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाता है।
$2$. लाउडस्पीकर: विद्युत संकेतों को ध्वनि तरंगों में बदलने के लिए उपयोग किया जाता है।
$3$. टेलीफोन: डायफ्राम में विद्युत संकेतों को ध्वनि में बदलने के लिए उपयोग किया जाता है।
$4$. क्रेन: औद्योगिक क्षेत्रों में लोहे और स्टील जैसी भारी चुंबकीय सामग्री को उठाने और स्थानांतरित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

(D) $x$-अक्ष के अनुदिश $I_1$ धारा वाले लंबे तार द्वारा $(0, 0, d)$ बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ बायो-सावर्ट नियम द्वारा प्राप्त होता है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$x$-अक्ष पर $I_1$ धारा के कारण $(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा ऋणात्मक $y$-दिशा ($-j$ दिशा) में होती है।
धारा अवयव $I_2 dl$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $dF = I_2 (dl \times B_1)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा अवयव $I_2 dl$,$y$-अक्ष की दिशा में है (मान लीजिए $dl = dl \hat{j}$)।
$(0, 0, d)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है $(B_1 = -B_1 \hat{j})$।
चूंकि धारा अवयव $dl$ और चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ दोनों $y$-अक्ष के समानांतर हैं,इसलिए उनका सदिश गुणनफल $dl \times B_1$ शून्य होता है क्योंकि $\hat{j} \times \hat{j} = 0$ होता है।
अतः,$O_2$ बिंदु पर दूसरे तार के खंड पर लगने वाला चुंबकीय बल $dF$ शून्य है।

(0.51 CM) मेज पर रखे धारावाही तार के कारण तार $PQ$ पर लगने वाला चुंबकीय बल,$PQ$ पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए ताकि वह ऊंचाई $h$ पर संतुलन में रहे।
$I = 25 \ A$ धारा वाले लंबे सीधे तार से $h$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi h}$
$l = 1 \ m$ लंबाई और $I$ धारा वाले तार $PQ$ पर चुंबकीय बल $F_m$ है:
$F_m = I l B = I l \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi h} \right) = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi h}$
चूंकि धाराएं विपरीत दिशा में हैं,चुंबकीय बल प्रतिकर्षी है और ऊपर की दिशा में कार्य करता है। संतुलन पर,यह बल तार $PQ$ के वजन $mg$ को संतुलित करता है:
$mg = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi h}$
$h$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$h = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi m g}$
दिया गया है: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,$I = 25 \ A$,$l = 1 \ m$,$m = 2.5 \times 10^{-3} \ kg$,$g = 9.8 \ m/s^2$:
$h = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (25)^2 \times 1}{2 \pi \times (2.5 \times 10^{-3}) \times 9.8}$
$h = \frac{2 \times 10^{-7} \times 625}{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8} = \frac{1250 \times 10^{-7}}{24.5 \times 10^{-3}} \approx 51.02 \times 10^{-4} \ m$
$h \approx 0.51 \times 10^{-2} \ m = 0.51 \ cm$

(10 G) भुजा $CD$ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल एक टॉर्क उत्पन्न करता है जो संतुलन को बिगाड़ देता है। संतुलन को पुनः प्राप्त करने के लिए,हमें कुंडली वाली भुजा में अतिरिक्त द्रव्यमान $m$ जोड़ना होगा।
भुजा $CD$ पर चुंबकीय बल $F_m = N I L B \sin(90^\circ) = N I L B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N = 100$ फेरों की संख्या है,$I = 4.9 \text{ A}$ धारा है,$L = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$ भुजा की लंबाई है और $B = 0.2 \text{ T}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
$F_m = 100 \times 4.9 \times 0.01 \times 0.2 = 0.098 \text{ N}$.
यह बल नीचे की ओर कार्य करता है (फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार)। इसे संतुलित करने के लिए,हम एक द्रव्यमान $m$ जोड़ते हैं ताकि उसका भार $mg$ चुंबकीय बल $F_m$ के बराबर हो जाए।
$mg = F_m$
$m \times 9.8 = 0.098$
$m = \frac{0.098}{9.8} = 0.01 \text{ kg} = 10 \text{ g}$.
अतः,$10 \text{ g}$ का अतिरिक्त द्रव्यमान जोड़ा जाना चाहिए।

(B) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र तार के दो अर्ध-अनंत खंडों द्वारा उत्पन्न होता है।
अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र का उपयोग करते हुए,$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$।
बिंदु $P$ पर,दूरी $r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$ है।
$P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ दो अर्ध-अनंत खंडों के क्षेत्रों का योग है:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} = 2 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$
मान रखने पर: $B = 2 \times \frac{10^{-7} \times 5}{5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-5} \, T$।
धारावाही तार पर प्रति इकाई लंबाई बल $f = iB$ द्वारा दिया जाता है।
$f = 5 \, A \times 2 \times 10^{-5} \, T = 10^{-4} \, N/m$।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए किसी भी बंद धारावाही लूप पर लगने वाला कुल चुंबकीय बल हमेशा शून्य होता है।
इसका कारण यह है कि धारा अवयव $I d\vec{l}$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $d\vec{F} = I(d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
एक बंद लूप के लिए,कुल बल का मान समाकलन $\oint I(d\vec{l} \times \vec{B}) = I(\oint d\vec{l}) \times \vec{B}$ होता है।
चूंकि एक बंद लूप में सभी विस्थापन अवयवों $d\vec{l}$ का सदिश योग शून्य होता है (अर्थात $\oint d\vec{l} = 0$),इसलिए कुल बल $\vec{F}$ शून्य होता है।

(A) जब एक लचीले धारावाही लूप को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो तार के प्रत्येक सूक्ष्म खंड $(d\ell)$ पर $dF = i(d\ell \times B)$ के अनुसार चुंबकीय बल कार्य करता है।
यह बल विद्युत धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत कार्य करता है।
त्रिज्यीय दिशा में कार्य करने वाले चुंबकीय बल की समरूपता के कारण,तार पर एक समान तनाव उत्पन्न होता है जो इसे गोलाकार आकार में फैलने के लिए मजबूर करता है ताकि लूप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल अधिकतम हो सके,और इसका तल चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के लंबवत हो।