Force on a Current Carrying Conductor Questions in Hindi

(A) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच,जो $d$ दूरी पर स्थित हैं,प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाले बल का सूत्र है: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$।
चूंकि दोनों तारों में धारा समान रहती है,इसलिए बल उनके बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $F \propto \frac{1}{d}$।
यदि नई दूरी $d' = \frac{d}{3}$ है,तो नया बल $F'$ होगा: $F' = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi (d/3)} = 3 \times \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right) = 3F$।
अतः,बल का परिमाण मूल मान का $3$ गुना हो जाता है।

(D) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_1$:
चूंकि $A$ और $B$ में धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षक ( $B$ की ओर) होगा।
$F_1 = \frac{\mu_0 I \cdot I}{2 \pi x} \cdot L = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi x}$.
$2$. $C$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_2$:
चूंकि $A$ और $C$ में धाराएं विपरीत दिशा में हैं,इसलिए बल प्रतिकारक ($C$ से दूर) होगा।
$A$ और $C$ के बीच की दूरी $2x$ है।
$F_2 = \frac{\mu_0 I \cdot 2I}{2 \pi (2x)} \cdot L = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi x}$.
परिमाणों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $F_1 = F_2$ है। हालांकि,चूंकि बल विपरीत दिशाओं में हैं (एक $B$ की ओर आकर्षक और दूसरा $C$ से दूर प्रतिकारक),सदिश रूप में $F_1 = -F_2$ होगा।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $F$ सूत्र $F = I L B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I = 1.2 \ A$ धारा है,
$L = 0.5 \ m$ तार की लंबाई है,
$B = 2 \ T$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,
और $\theta = 90^{\circ}$ तार और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 1.2 \times 0.5 \times 2 \times \sin 90^{\circ}$
$F = 1.2 \times 0.5 \times 2 \times 1$
$F = 1.2 \times 1$
$F = 1.2 \ N$.
अतः,तार पर लगने वाला बल $1.2 \ N$ है।

(C) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{\ell} \times \vec{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार $x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए इसका लंबाई सदिश $\vec{\ell} = \ell \hat{i}$ है।
दिया गया है $\vec{B} = B(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\vec{F} = I(\ell \hat{i}) \times B(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$।
$\vec{F} = I \ell B [(\hat{i} \times \hat{i}) + 2(\hat{i} \times \hat{j}) - 3(\hat{i} \times \hat{k})]$।
सदिश गुणन के नियमों का उपयोग करने पर: $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,और $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$।
$\vec{F} = I \ell B [0 + 2\hat{k} - 3(-\hat{j})] = I \ell B (3\hat{j} + 2\hat{k})$।
बल का परिमाण $F = |\vec{F}| = I \ell B \sqrt{3^2 + 2^2}$ है।
$F = I \ell B \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} I \ell B$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाला बल $F = BIL \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र चालक के लंबवत है,इसलिए $\theta = 90^\circ$,अतः $F = BIL$ होगा।
तारों में तनाव शून्य होने के लिए,चुंबकीय बल को छड़ के भार को संतुलित करना चाहिए।
इसलिए,$BIL = Mg$ होगा।
$B$ के लिए हल करने पर,हमें $B = \frac{Mg}{IL}$ प्राप्त होता है।

(B) धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L$ तार का लंबाई सदिश है。
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $EF = 5 \,cm$, $EG = 12 \,cm$ और $GF = 13 \,cm$ हैं。
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ भुजा $GF$ के समानांतर है। मान लीजिए भुजा $EF$ और भुजा $GF$ के बीच का कोण $\theta$ है。
त्रिभुज की ज्यामिति से, $\sin \theta = \frac{EG}{GF} = \frac{12}{13}$ है。
भुजा $EF$ पर लगने वाला बल $F_{EF} = I \cdot L_{EF} \cdot B \sin \theta$ है。
दिया गया है कि $I = 2 \,A$, $L_{EF} = 0.05 \,m$, $B = 0.75 \,T$ और $\sin \theta = \frac{12}{13}$ है。
$F_{EF} = 2 \times 0.05 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.1 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.075 \times \frac{12}{13} = \frac{0.9}{13} = \frac{9}{130} \,N$ है。
इसे $\frac{x}{130} \,N$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 9$ प्राप्त होता है。

(C) जब दो समानांतर चालक एक ही दिशा में $i_1$ और $i_2$ धारा प्रवाहित करते हैं,तो पहले चालक द्वारा दूसरे चालक के स्थान पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
लोरेंत्ज़ बल के नियम के अनुसार,दूसरे चालक पर प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $F = i_2 l B_1 \sin(90^\circ) = i_2 l \left( \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi d} \right)$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरे चालक पर बल की दिशा पहले चालक की ओर होती है।
इसी प्रकार,पहले चालक पर लगने वाला बल दूसरे चालक की ओर होता है।
अतः,दोनों चालक एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।

(C) $h$ दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi h}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल प्रतिकर्षी है।
संतुलन की स्थिति में,प्रतिकर्षी चुंबकीय बल तार $PQ$ पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है:
$F = mg$
$\frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi h} = mg$
दिया गया है: $I = 25 \,A$,$l = 1 \,m$,$m = 2.5 \,g = 2.5 \times 10^{-3} \,kg$,$g = 9.8 \,m/s^2$,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
मान रखने पर:
$h = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi m g} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (25)^2 \times 1}{2 \pi \times (2.5 \times 10^{-3}) \times 9.8}$
$h = \frac{2 \times 10^{-7} \times 625}{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8} = \frac{1250 \times 10^{-7}}{24.5 \times 10^{-3}} = \frac{1250}{24.5} \times 10^{-4} \,m \approx 51 \times 10^{-4} \,m \approx 5.1 \,mm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $5 \,mm$ है।

(B) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच बल का सूत्र है: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d}$.
दिया गया है:
$I_1 = 10 \ A$
$I_2 = 4 \ A$
$d = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
$l = 4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 4 \times (4 \times 10^{-2})}{2 \pi \times (2 \times 10^{-2})}$
$F = \frac{2 \times 10^{-7} \times 40 \times 4 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}}$
$F = 2 \times 10^{-7} \times 40 \times 2$
$F = 160 \times 10^{-7} \ N = 1.6 \times 10^{-5} \ N$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) धारावाही चालक पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = i l B \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $i = 2 \text{ A}$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 3.0 \times 10^{-5} \text{ T}$,और धारा (पूर्व-पश्चिम) तथा चुंबकीय क्षेत्र (दक्षिण-उत्तर) के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
चूंकि $\sin(90^\circ) = 1$,इसलिए प्रति इकाई लंबाई पर बल:
$\frac{F}{l} = i B \sin(90^\circ)$
$\frac{F}{l} = 2 \times 3.0 \times 10^{-5} \times 1$
$\frac{F}{l} = 6 \times 10^{-5} \text{ N/m}$.

(B) दो समानांतर धारा-वाहक तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल का सूत्र है: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
दिया गया है: $I_1 = I_2 = 5 \text{ A}$,$d = 1 \text{ m}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
मान रखने पर: $\frac{F}{l} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 5}{2 \pi \times 1}$.
सरलीकरण करने पर: $\frac{F}{l} = 2 \times 10^{-7} \times 25 = 50 \times 10^{-7} \text{ N/m}$.
अतः,$\frac{F}{l} = 5 \times 10^{-6} \text{ N/m}$.
चूंकि धाराएं एक ही दिशा में हैं,इसलिए तारों के बीच का बल आकर्षक होगा।

(B) $1$. समान दिशा में धारा प्रवाहित करने वाले दो समानांतर तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,जबकि विपरीत दिशा में धारा प्रवाहित करने वाले तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
$2$. चित्र में,तार $P$ में धारा नीचे की ओर $(20 \ A)$ है,जबकि तार $Q$ में धारा ऊपर की ओर $(40 \ A)$ है। चूंकि ये धाराएं प्रति-समानांतर हैं,इसलिए तार $P$,तार $Q$ पर प्रतिकर्षण बल लगाता है,जो इसे दाईं ओर धकेलता है।
$3$. तार $Q$ में धारा ऊपर की ओर $(40 \ A)$ है और तार $R$ में भी धारा ऊपर की ओर $(60 \ A)$ है। चूंकि ये धाराएं समानांतर हैं,इसलिए तार $R$,तार $Q$ पर आकर्षण बल लगाता है,जो इसे दाईं ओर खींचता है।
$4$. चूंकि दोनों बल ($P$ से प्रतिकर्षण और $R$ से आकर्षण) दाईं ओर कार्य कर रहे हैं,इसलिए तार $Q$ पर परिणामी बल दाईं ओर की दिशा में होगा।

(B) जब दो लंबे समानांतर तारों में एक ही दिशा में विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो प्रत्येक तार दूसरे तार के स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,एक तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र दूसरे धारावाही तार पर लॉरेंट्ज़ बल लगाता है।
समान दिशा में प्रवाहित धाराओं के लिए,तारों के बीच का बल आकर्षण का होता है।
इसलिए,तार एक-दूसरे को आकर्षित करेंगे।

(D) दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi y}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $B$ को स्थिर रखने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले चुंबकीय बल को नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (प्रति इकाई लंबाई भार) को संतुलित करना चाहिए।
$\frac{F}{l} = \text{प्रति इकाई लंबाई भार} = 40 \times 10^{-3} \text{ N/m}$.
मान रखने पर: $40 \times 10^{-3} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 10 \times 20}{2 \pi \times y}$.
समीकरण को सरल करने पर: $40 \times 10^{-3} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 200}{y}$.
$40 \times 10^{-3} = \frac{400 \times 10^{-7}}{y}$.
$y = \frac{400 \times 10^{-7}}{40 \times 10^{-3}} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \text{ m}$.
चूंकि गुरुत्वाकर्षण का मुकाबला करने के लिए चुंबकीय बल ऊपर की ओर (प्रतिकर्षी) होना चाहिए,इसलिए धाराओं को विपरीत दिशाओं में बहना चाहिए।

(C) $y$ दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल का सूत्र है:
$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi y}$
यह दिया गया है कि दोनों तारों में समान धारा $I$ प्रवाहित हो रही है,इसलिए प्रारंभिक बल:
$F = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi y}$
यदि प्रत्येक तार में धारा को आधा कर दिया जाए,तो नई धारा $I' = \frac{I}{2}$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा:
$F' = \frac{\mu_0 (I/2) (I/2)}{2 \pi y} = \frac{\mu_0 I^2}{4 \cdot 2 \pi y}$
इस समीकरण में मूल बल $F$ का मान रखने पर:
$F' = \frac{1}{4} F$
अतः,नया बल $\frac{F}{4}$ होगा।

(D) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच कार्य करने वाला बल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi y}$
दिया गया है:
$I_1 = 10 \ A$
$I_2 = 2 \ A$
$l = 2 \ m$
$y = 10 \ cm = 0.1 \ m = 10 \times 10^{-2} \ m$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 2 \times 2}{2 \pi \times 10 \times 10^{-2}}$
$F = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 40}{2 \pi \times 0.1}$
$F = 2 \times 10^{-7} \times 400$
$F = 800 \times 10^{-7} \ N = 8 \times 10^{-5} \ N$
अतः,चालक $B$ पर कार्य करने वाला बल $8 \times 10^{-5} \ N$ है।

(B) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f$ सूत्र $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान $I_1 = I_2 = 1 \text{ mA} = 10^{-3} \text{ A}$,$d = 1 \text{ m}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (10^{-3}) \times (10^{-3})}{2 \pi \times 1}$
$f = 2 \times 10^{-7} \times 10^{-6}$
$f = 2 \times 10^{-13} \text{ N/m}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) तार के हवा में लटके रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाले चुंबकीय बल को नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_B = F_g$
$I B l = m g$
जहाँ $I = 2.5 \text{ A}$,$B = 0.5 \text{ T}$,$l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,और $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ है।
$m = \frac{I B l}{g}$
$m = \frac{2.5 \times 0.5 \times 0.5}{10}$
$m = \frac{0.625}{10} = 0.0625 \text{ kg}$
ग्राम में बदलने पर: $0.0625 \text{ kg} \times 1000 = 62.5 \text{ g}$.
अतः,तार का द्रव्यमान $62.5 \text{ g}$ है।

(B) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल का सूत्र है:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$
इस मामले में,दोनों तारों में समान धारा $I$ बह रही है,इसलिए $I_1 = I_2 = I$। अतः,प्रति इकाई लंबाई बल है:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi r}$
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,समान दिशा में धारा ले जाने वाले समानांतर तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,जबकि विपरीत दिशा में धारा ले जाने वाले तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करेंगे।

(C) दिया गया है, चुंबकीय क्षेत्र, $B = 0.25 \,T$
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान, $\frac{m}{l} = 0.5 \,kg \,m^{-1}$
नत कोण, $\theta = 30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 9.8 \,m \,s^{-2}$
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = BIl$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र ऊर्ध्वाधर है, इसलिए बल $F$ क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
चिकने नत समतल पर छड़ को स्थिर रखने के लिए, समतल के अनुदिश चुंबकीय बल का घटक, समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करना चाहिए।
समतल के नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक = $mg \sin 30^{\circ}$
समतल के ऊपर की ओर चुंबकीय बल का घटक = $F \cos 30^{\circ} = (BIl) \cos 30^{\circ}$
संतुलन के लिए दोनों बलों को बराबर करने पर:
$BIl \cos 30^{\circ} = mg \sin 30^{\circ}$
$BIl \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = mg \left(\frac{1}{2}\right)$
$BIl \sqrt{3} = mg$
$I = \frac{mg}{l \sqrt{3} B} = \left(\frac{m}{l}\right) \frac{g}{\sqrt{3} B}$
मान रखने पर:
$I = 0.5 \times \frac{9.8}{\sqrt{3} \times 0.25} \approx 11.316 \,A \approx 11.32 \,A$
अतः, आवश्यक विद्युत धारा $11.32 \,A$ है।

(A) $\text{दिया गया है}$:
$r = 10 \,cm = 0.1 \,m$
$I_1 = I_2 = 10 \,A$
$\text{दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है}$:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$
$\text{मान रखने पर}$:
$\frac{F}{l} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 10}{2 \pi \times 0.1} = 2 \times 10^{-4} \,N/m$
$\text{चूंकि धारा समान दिशा में बह रही है,इसलिए बल की प्रकृति आकर्षक होगी}$.

(A) धारा $I_2$ ले जाने वाली एक वृत्ताकार लूप द्वारा उसकी अक्ष पर किसी भी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र स्वयं अक्ष की दिशा में होता है।
जब धारा $I_1$ ले जाने वाले एक सीधे चालक को इस लूप की अक्ष पर रखा जाता है,तो सीधे तार में प्रवाहित धारा लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के समानांतर होती है।
धारावाही तत्व पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सीधे चालक में धारा लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए धारा तत्व $I_1\vec{dl}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ है।
इसलिए,बल $F = I_1 dl B \sin(\theta) = 0$ है।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,लूप द्वारा सीधे चालक पर लगाया गया बल शून्य है,और परिणामस्वरूप,सीधे चालक द्वारा लूप पर लगाया गया बल भी शून्य है।

(D) क्षैतिज खंडों $PQ$ और $RS$ पर लगने वाले बल परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत हैं,इसलिए उनका कुल बल शून्य है।
दो समानांतर धारावाही चालकों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ चालकों के बीच की दूरी है।
खंड $PS$ के लिए ($r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ की दूरी पर):
$F_{PS} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.02} = 6 \times 10^{-4} \text{ N}$ (तार की ओर आकर्षण बल)।
खंड $QR$ के लिए ($r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ की दूरी पर):
$F_{QR} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.12} = 1 \times 10^{-4} \text{ N}$ (तार से दूर प्रतिकर्षण बल)।
परिणामी बल $F_{\text{net}} = F_{PS} - F_{QR} = 6 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-4} \text{ N}$ है।

(D) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है। यदि धाराएं एक ही दिशा में हैं तो बल आकर्षक होता है।
$A$ के कारण $C$ पर बल $(F_{AC})$:
$F_{AC} = \frac{\mu_0 I_A I_C L}{2 \pi r_{AC}} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 3 \times 1}{0.05} = \frac{12 \times 10^{-7}}{0.05} = 2.4 \times 10^{-5} \, N$ ($A$ की ओर, आकर्षक)।
$B$ के कारण $C$ पर बल $(F_{BC})$:
$F_{BC} = \frac{\mu_0 I_B I_C L}{2 \pi r_{BC}} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4 \times 3 \times 1}{0.08} = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.08} = 3.0 \times 10^{-5} \, N$ ($B$ की ओर, आकर्षक)।
चूंकि $F_{BC} > F_{AC}$, परिणामी बल $F_{net} = F_{BC} - F_{AC} = (3.0 - 2.4) \times 10^{-5} \, N = 0.6 \times 10^{-5} \, N$ जो $B$ की ओर होगा।

(A) दूरी पर स्थित और $I_1$ तथा $I_2$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई का बल $f$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{d}$
दिए गए मान $I_1 = 1 \text{ A}$,$I_2 = 3 \text{ A}$,$d = 1 \text{ m}$,और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = 10^{-7} \times \frac{2 \times 1 \times 3}{1} = 6 \times 10^{-7} \text{ N m}^{-1}$
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में बह रही हैं,इसलिए तारों के बीच का बल प्रतिकर्षी होगा।
अतः,प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाला बल $6 \times 10^{-7} \text{ N m}^{-1}$ है और यह प्रतिकर्षी है।

(A) तार के हवा में लटके रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल उसके भार को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $l$ तार की लंबाई है,$m$ उसका द्रव्यमान है,$I$ धारा है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
तार का भार $W = mg$ है।
दिया गया रैखिक घनत्व $\lambda = \frac{m}{l} = 0.12 \ kg \ m^{-1}$ है,हम $m = \lambda l$ लिख सकते हैं।
अतः,$W = \lambda l g$।
धारावाही तार पर चुंबकीय बल $F_m = IlB \sin(\theta)$ होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र तार के लंबवत है,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $F_m = IlB$।
संतुलन के लिए,$F_m = W$,जिसका अर्थ है $IlB = \lambda l g$।
दोनों पक्षों से $l$ को हटाने पर,हमें $IB = \lambda g$ प्राप्त होता है।
$I$ के लिए हल करने पर: $I = \frac{\lambda g}{B}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{0.12 \times 10}{0.5} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \ A$।
अतः,तार से प्रवाहित धारा $2.4 \ A$ है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $L$ लंबाई के धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ का सूत्र $F = I L B \sin(\theta)$ है।
हमें प्रति इकाई लंबाई बल ज्ञात करना है,जो $f = F/L$ है।
अतः,$f = I B \sin(\theta)$.
दिए गए मान हैं:
धारा $I = 8 \ A$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.15 \ T$
कोण $\theta = 30^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f = 8 \times 0.15 \times \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,हमें प्राप्त होता है:
$f = 8 \times 0.15 \times 0.5$
$f = 8 \times 0.075 = 0.6 \ N \ m^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक लंबे सीधे चालक के पास धारावाही तार पर लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I_1 = 25 \text{ A}$,$I_2 = 10 \text{ A}$,$L = 25 \text{ cm} = 0.25 \text{ m}$ है।
लूप की दो ऊर्ध्वाधर भुजाएँ सीधे तार से $r_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ और $r_2 = 10 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ की दूरी पर हैं।
क्षैतिज भुजाओं पर लगने वाले बल ($F_3$ और $F_4$) समान और विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल बल दो ऊर्ध्वाधर भुजाओं पर लगने वाले बलों का अंतर है: $F_{net} = |F_1 - F_2|$.
$F_1 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 10 \times 0.25}{0.1} = 1.25 \times 10^{-4} \text{ N}$ (आकर्षक)।
$F_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 10 \times 0.25}{0.2} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ N}$ (प्रतिकर्षी)।
$F_{net} = 1.25 \times 10^{-4} - 0.625 \times 10^{-4} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ N} = 6.25 \times 10^{-5} \text{ N}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही चालक पर प्रति इकाई लंबाई में लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{F}{l} = iB \sin \theta$.
यहाँ,धारा $i = 1 \,A$ दक्षिण से उत्तर की ओर बह रही है।
चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times 10^{-5} \,T$ भी दक्षिण से उत्तर की ओर है।
चूंकि धारा और चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
अतः,प्रति इकाई लंबाई में लगने वाला बल: $\frac{F}{l} = 1 \times (3 \times 10^{-5}) \times \sin(0^\circ) = 1 \times (3 \times 10^{-5}) \times 0 = 0 \,N/m$.

(B) जब धारावाही लचीले तार के लूप को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो यह चुंबकीय बलों का अनुभव करता है जो लूप को फैलाने की प्रवृत्ति रखते हैं।
लूप से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स को अधिकतम करने के लिए,लूप एक निश्चित परिधि के लिए अधिकतम संभव क्षेत्रफल को घेरने की कोशिश करता है।
ज्यामितीय सिद्धांतों के अनुसार,एक निश्चित परिधि के लिए,वृत्त सबसे अधिक क्षेत्रफल घेरता है।
इसलिए,लूप अपना आकार बदलकर वृत्ताकार हो जाता है,जिसका तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{L}$ लंबाई के धारावाही चालक पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए किसी भी बंद धारावाही लूप पर कुल चुंबकीय बल हमेशा शून्य होता है।
गणितीय रूप से,$\vec{F}_{net} = I \oint (d\vec{l} \times \vec{B}) = I (\oint d\vec{l}) \times \vec{B}$।
चूंकि लूप बंद है,इसलिए सभी लंबाई तत्वों का सदिश योग $\oint d\vec{l} = 0$ होता है।
अतः,$\vec{F}_{net} = 0$।

(A) एक लंबे सीधे तार के कारण धारावाही चालक पर लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
आयताकार कुंडली $ABCD$ के लिए,क्षैतिज खंडों $BC$ और $AD$ पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द कर देते हैं।
खंड $AB$ पर बल (दूरी $r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ पर) आकर्षक है (तार की ओर) क्योंकि धाराएं समानांतर हैं:
$F_{AB} = \frac{\mu_0 (2 \text{ A})(1 \text{ A})(0.15 \text{ m})}{2 \pi (0.02 \text{ m})} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 0.15}{0.02} = 30 \times 10^{-7} \text{ N}$.
खंड $CD$ पर बल (दूरी $r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ पर) प्रतिकर्षी है (तार से दूर) क्योंकि धाराएं प्रति-समानांतर हैं:
$F_{CD} = \frac{\mu_0 (2 \text{ A})(1 \text{ A})(0.15 \text{ m})}{2 \pi (0.12 \text{ m})} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 0.15}{0.12} = 5 \times 10^{-7} \text{ N}$.
कुल बल $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = 30 \times 10^{-7} - 5 \times 10^{-7} = 25 \times 10^{-7} \text{ N}$.
चूंकि $F_{AB} > F_{CD}$,इसलिए कुल बल तार की दिशा में कार्य करता है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में '$l$' लंबाई के धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यदि यह एक बंद लूप होता,तो एक समान चुंबकीय क्षेत्र में कुल बल शून्य होता। लेकिन यहाँ धारा $C$ पर प्रवेश करती है और $A$ पर बाहर निकलती है,इसलिए यह एक बंद लूप नहीं है।
यहाँ तीन खंड हैं: $CB$,$BA$,और $AC$।
प्रत्येक खंड पर लगने वाला बल $F = ilB$ है। सदिश योग के नियम के अनुसार,$CB$ और $BA$ खंडों पर लगने वाले बल का परिणामी बल $C$ से $A$ तक के विस्थापन सदिश पर लगने वाले बल के बराबर होता है।
अतः,कुल बल $C$ से $A$ तक की '$l$' लंबाई के सीधे तार पर लगने वाले बल के बराबर,यानी $ilB$ होगा।

(B) $i_1$ और $i_2$ धारा प्रवाहित करने वाले दो समानांतर चालकों के बीच $x$ दूरी पर प्रति इकाई लंबाई बल $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi x}$ होता है।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षण का है।
दूरी को $d$ से $2d$ तक बढ़ाने के लिए,हमें इस आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना होगा।
प्रति इकाई लंबाई किया गया कार्य बल का दूरी के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है:
$W = \int_{d}^{2d} F \, dx = \int_{d}^{2d} \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi x} \, dx$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} [\ln(x)]_{d}^{2d}$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} (\ln(2d) - \ln(d))$
$W = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} \ln\left(\frac{2d}{d}\right) = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi} \ln(2)$.

(D) $i_1$ धारा ले जाने वाले अनंत लंबाई के सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ है।
यह चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के लंबवत (कागज के अंदर या बाहर) होता है।
आयताकार लूप के प्रत्येक खंड पर लगने वाला बल $F = \int i_2 (dl \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ लंबाई के दो ऊर्ध्वाधर खंडों के लिए,बल $F_1 = \frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2\pi a}$ (आकर्षक) और $F_2 = \frac{\mu_0 i_1 i_2 l}{2\pi b}$ (प्रतिकर्षी) हैं।
दो क्षैतिज खंडों के लिए,बल समान और विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
चूंकि ये सभी बल लूप के तल में कार्य करते हैं और उनकी क्रिया रेखा लूप के केंद्र से गुजरती है (या लूप के तल के समानांतर है),इसलिए लूप के तल में किसी भी अक्ष के परितः कुल टॉर्क शून्य है।
विशेष रूप से,चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश $A$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समानांतर है। टॉर्क $\tau = m \times B = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $\theta = 0^{\circ}$ है,इसलिए टॉर्क $\tau = 0$ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
परवलय समीकरण $y^2 = 2x$ से,$x = 2$ पर,$y^2 = 4$,इसलिए $y = \pm 2$। बिंदु $A(2, 2)$ और $B(2, -2)$ हैं।
धारा $A$ से $B$ तक मूल बिंदु $O$ से होकर बहती है। अतः,प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}$,$A$ से $B$ तक का सदिश है,जो $\vec{L} = (2-2)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} = -4\hat{j} \ m$ है।
यहाँ $I = 4 \ A$ और $\vec{B} = 6\hat{k} \ T$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{F} = 4 \times (-4\hat{j} \times 6\hat{k}) = 4 \times (-24)(\hat{j} \times \hat{k}) = -96\hat{i} \ N$.

(C) मान लीजिए कि तार में उत्पन्न तनाव $T$ है और वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r$ है।
तार के $dl$ लंबाई के एक छोटे अवयव पर विचार करें जो केंद्र पर $d\theta$ कोण बनाता है।
इस अवयव पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $dF = B I dl = B I (r d\theta)$ है।
यह बल त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
इस अवयव के सिरों पर तनाव $T$ त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर एक प्रत्यानयन बल प्रदान करता है।
अंदर की ओर बल प्रदान करने वाला तनाव का घटक $2 T \sin(d\theta / 2) \approx 2 T (d\theta / 2) = T d\theta$ है।
संतुलन के लिए बलों को बराबर करने पर: $T d\theta = B I r d\theta$, जिससे $T = B I r$ प्राप्त होता है।
चूंकि तार की कुल लंबाई $l = 2 \pi r$ है, इसलिए $r = l / (2 \pi)$ है।
तनाव के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $T = B I (l / 2 \pi)$।
यहाँ $B = 2.0 \,T$, $I = 1.1 \,A$, और $l = 1 \,m$ दिया गया है:
$T = (2.0 \times 1.1 \times 1) / (2 \times 3.14) = 2.2 / 6.28 \approx 0.35 \,N$।

(C) $I_1$ और $I_2$ धारा प्रवाहित करने वाले दो लंबे समानांतर तारों के बीच $x$ दूरी होने पर प्रति इकाई लंबाई बल का सूत्र है: $\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x}$.
तारों के बीच की दूरी को $dx$ सूक्ष्म मात्रा से बदलने के लिए प्रति इकाई लंबाई किया गया कार्य $dW$ बल और विस्थापन का गुणनफल है: $dW = \frac{F}{\ell} dx$.
बल का मान रखने पर: $dW = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x} dx$.
कुल कार्य $W$ ज्ञात करने के लिए समाकलन करने पर: $W = \int \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi x} dx$.
चूंकि $\mu_0$,$I_1$,$I_2$ और $2\pi$ स्थिरांक हैं: $W = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \int \frac{1}{x} dx$.
$\frac{1}{x}$ का समाकलन $\log_e x$ होता है,इसलिए $W = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} \log_e x$.
अतः,प्रति इकाई लंबाई किया गया कार्य $\log_e x$ के समानुपाती है।

(C) कुल धारा $I = 20 \text{ A}$ लूप में प्रवेश करती है और दो समानांतर शाखाओं $ABC$ और $ADC$ में विभाजित हो जाती है। चूंकि तार समान है,इसलिए दोनों शाखाओं का प्रतिरोध समान है,अतः धारा समान रूप से विभाजित होती है: $i_1 = i_2 = 10 \text{ A}$।
$i_1$ और $i_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल का सूत्र है:
$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$i_1 = 10 \text{ A}$
$i_2 = 10 \text{ A}$
$r = AD = BC = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
मान रखने पर:
$\frac{F}{L} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 10}{2 \pi \times (2 \times 10^{-2})}$
$\frac{F}{L} = \frac{4 \pi \times 10^{-5}}{4 \pi \times 10^{-2}}$
$\frac{F}{L} = 10^{-3} \text{ N m}^{-1}$.

(A) पहले तार द्वारा '$l$' दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi l}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि तार लंबवत हैं,चुंबकीय क्षेत्र और धारा $i_2$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
दूसरे तार की छोटी लंबाई '$d$' पर चुंबकीय बल $dF = i_2 (B) d \sin(90^{\circ})$ द्वारा दिया जाता है।
$B$ का मान रखने पर,हमें $dF = i_2 \left( \frac{\mu_0 i_1}{2 \pi l} \right) d (1) = \frac{\mu_0 i_1 i_2 d}{2 \pi l}$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय बल धाराओं के गुणनफल $i_1 i_2$ के समानुपाती है।

(D) तार की कुल लंबाई $L = 30 \sqrt{3} \text{ cm} = 0.3 \sqrt{3} \text{ m}$ है।
चूंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए प्रत्येक भुजा की लंबाई $l = L / 3 = 0.1 \sqrt{3} \text{ m}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ भुजा $BC$ के समानांतर है। भुजा $AC$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $60^\circ$ है (क्योंकि त्रिभुज समबाहु है)।
धारावाही चालक पर लगने वाला बल $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए इसका परिमाण $F = I l B \sin \theta$ होता है।
यहाँ,$I = 2 \text{ A}$,$l = 0.1 \sqrt{3} \text{ m}$,$B = 2 \text{ T}$,और $\theta = 60^\circ$ है।
$F = 2 \times (0.1 \sqrt{3}) \times 2 \times \sin(60^\circ) = 0.4 \sqrt{3} \times (\sqrt{3} / 2) = 0.2 \times 3 = 0.6 \text{ N}$.

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ प्रारंभिक बिंदु $P$ से अंतिम बिंदु $Q$ तक का प्रभावी विस्थापन सदिश है।
चित्र से,तार तीन खंडों से बना है। कुल विस्थापन सदिश $\vec{L}_{eff}$ इन खंडों का सदिश योग है।
क्षैतिज विस्थापन $= 6 \ cm = 0.06 \ m$ (दाईं ओर)।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $= 4 \ cm + 4 \ cm = 8 \ cm = 0.08 \ m$ (ऊपर की ओर)।
अतः,प्रभावी लंबाई का परिमाण $L_{eff} = \sqrt{(0.06)^2 + (0.08)^2} = \sqrt{0.0036 + 0.0064} = \sqrt{0.01} = 0.1 \ m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \ T$ तार के तल के लंबवत है।
बल का परिमाण $F = I L_{eff} B \sin(90^\circ) = 10 \ A \times 0.1 \ m \times 5 \ T \times 1 = 5 \ N$ है।

(D) $i_1$ और $i_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$ है।
तार $A$ में धारा की दिशा को धनात्मक लेते हुए,तारों $A$ और $B$ के कारण तार $C$ पर प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल:
$\vec{F} = \left( \frac{\mu_0 (3i)(2i)}{2 \pi (2d)} \right) - \left( \frac{\mu_0 (i)(2i)}{2 \pi d} \right) = \frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d} \left( \frac{3}{2} - 2 \right) = -\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d}$.
अतः,$\vec{F} = -\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} = -\vec{F}$.
अब,यदि तार $B$ को हटा दिया जाए,तो तार $C$ के कारण तार $A$ पर प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल:
$f_A = \frac{\mu_0 (3i)(2i)}{2 \pi (2d)} = \frac{6 \mu_0 i^2}{4 \pi d} = 3 \left( \frac{\mu_0 i^2}{2 \pi d} \right) = 6 \left( \frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} \right)$.
$\frac{\mu_0 i^2}{4 \pi d} = -\vec{F}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f_A = -3\vec{F}$ प्राप्त होता है।

(B) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
'$a$' लंबाई वाले लूप के निचले हिस्से के लिए,चुंबकीय बल $F = IaB$ है।
फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,यदि धारा बाएं से दाएं बहती है,तो बल ऊपर की ओर निर्देशित होता है। यदि धारा दाएं से बाएं बहती है,तो बल नीचे की ओर निर्देशित होता है।
मान लीजिए स्प्रिंग बैलेंस की प्रारंभिक रीडिंग $W_1 = mg - F$ है (ऊपर की ओर बल मानते हुए)।
जब धारा की दिशा उलट दी जाती है,तो बल $F' = -F$ (नीचे की ओर बल) हो जाता है।
स्प्रिंग बैलेंस की नई रीडिंग $W_2 = mg + F$ हो जाती है।
स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग में परिवर्तन $\Delta W = |W_2 - W_1| = |(mg + F) - (mg - F)| = 2F = 2IaB$ है।

(A) चूंकि दोनों तारों में धारा एक ही दिशा में बहती है,इसलिए उनके बीच चुंबकीय बल आकर्षक होगा।
निचले तार को हवा में लटकाए रखने के लिए,प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला ऊपर की ओर चुंबकीय बल,प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाले नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $I_1 = 160 \ A$ ऊपरी तार में धारा है,$I_2$ निचले तार में धारा है,$d = 4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$ दूरी है,और $\lambda = 10 \ g \ m^{-1} = 10 \times 10^{-3} \ kg \ m^{-1}$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
संतुलन के लिए शर्त है:
$F_{magnetic} = F_{gravitational}$
$\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} = \lambda g$
$I_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I_2 = \frac{2 \pi d \lambda g}{\mu_0 I_1}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I_2 = \frac{2 \pi \times (4 \times 10^{-2}) \times (10 \times 10^{-3}) \times 10}{4 \pi \times 10^{-7} \times 160}$
$I_2 = \frac{8 \pi \times 10^{-3} \times 10}{4 \pi \times 10^{-7} \times 160} = \frac{8 \times 10^{-2}}{4 \times 10^{-7} \times 160} = \frac{2 \times 10^5}{160} = \frac{200000}{160} = 125 \ A$
अतः,निचले तार में धारा $125 \ A$ है।

(A) दो समानांतर धारावाही चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi d}$.
दिया गया है: $l = 50 \ m$,$d = 0.2 \ m$,$F = 1 \ N$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
मान लीजिए कि दूसरे चालक में धारा $i$ है। तो पहले चालक में धारा $i_1 = 2i$ होगी।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{50} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times (2i) \times i}{2 \pi \times 0.2}$
$\frac{1}{50} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2i^2}{0.2}$
$0.02 = 2 \times 10^{-6} \times i^2$
$i^2 = \frac{0.02}{2 \times 10^{-6}} = 0.01 \times 10^6 = 10^4$
$i = \sqrt{10^4} = 100 \ A$.
अतः,दूसरे चालक में धारा $100 \ A$ है।

(A) तार $b$ के कारण तार $a$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f_{ab} = \frac{\mu_0 i_a i_b}{2 \pi d_1}$ है। चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए यह बल आकर्षण का है।
तार $c$ के कारण तार $a$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f_{ac} = \frac{\mu_0 i_a i_c}{2 \pi (d_1 + d_2)}$ है। चूंकि धाराएं विपरीत दिशा में हैं,इसलिए यह बल प्रतिकर्षण का है।
दिया गया है $d_2 = 2 d_1$,$i_b = i_a$ और $i_c = 4 i_a$,तो तार $a$ पर प्रति इकाई लंबाई कुल बल:
$f_{net} = f_{ab} - f_{ac} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} - \frac{\mu_0 i_a (4 i_a)}{2 \pi (d_1 + 2 d_1)}$
$f_{net} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} - \frac{4 \mu_0 i_a^2}{2 \pi (3 d_1)} = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} \left( 1 - \frac{4}{3} \right) = \frac{\mu_0 i_a^2}{2 \pi d_1} \left( -\frac{1}{3} \right)$
$l$ लंबाई पर लगने वाले बल का परिमाण $F = |f_{net}| \times l = \frac{\mu_0 i_a^2 l}{6 \pi d_1}$ है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में किसी भी आकार के धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ प्रारंभिक बिंदु $A$ से अंतिम बिंदु $B$ तक का विस्थापन सदिश है।
चूंकि बिंदु $A$ और $B$ निश्चित हैं,इसलिए विस्थापन सदिश $\vec{L}$ इन दो बिंदुओं के बीच तार द्वारा अपनाए गए पथ (आकार) की परवाह किए बिना समान रहता है।
इसलिए,चुंबकीय बल केवल धारा $I$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,और निश्चित बिंदुओं के बीच सीधी रेखा के विस्थापन सदिश $\vec{L}$ पर निर्भर करता है। यह तार के वास्तविक आकार से स्वतंत्र है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $F = I \vec{L}_{eff} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $L_{eff}$ तार के दो सिरों के बीच की प्रभावी लंबाई (विस्थापन सदिश) है。
$R$ त्रिज्या के अर्ध-वृत्ताकार लूप के लिए, प्रभावी लंबाई व्यास के बराबर होती है, $L_{eff} = 2R$.
दिया गया है: $R = 30 \,cm = 0.3 \,m$, $I = 6 \,A$, $B = 0.5 \,T$.
प्रभावी लंबाई $L_{eff} = 2 \times 0.3 \,m = 0.6 \,m$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के लंबवत है, इसलिए प्रभावी लंबाई सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $90^{\circ}$ है。
अतः, बल का परिमाण $F = I L_{eff} B \sin(90^{\circ})$ होगा。
$F = 6 \,A \times 0.6 \,m \times 0.5 \,T \times 1 = 1.8 \,N$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = \int I (d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $B = B_0 (1 + \frac{xy}{L^2}) \hat{k}$.
खंड $AB$ $(x=0, y: 0 \to L)$ के लिए: $\vec{B} = B_0(1+0)\hat{k} = B_0\hat{k}$. $d\vec{l} = dy\hat{j}$. $\vec{F}_{AB} = \int_0^L I(dy\hat{j} \times B_0\hat{k}) = I B_0 L \hat{i}$.
खंड $BC$ $(y=L, x: 0 \to L)$ के लिए: $\vec{B} = B_0(1+\frac{xL}{L^2})\hat{k} = B_0(1+\frac{x}{L})\hat{k}$. $d\vec{l} = dx\hat{i}$. $\vec{F}_{BC} = \int_0^L I(dx\hat{i} \times B_0(1+\frac{x}{L})\hat{k}) = -I B_0 \int_0^L (1+\frac{x}{L}) dx \hat{j} = -I B_0 [x + \frac{x^2}{2L}]_0^L \hat{j} = -\frac{3}{2} I B_0 L \hat{j}$.
खंड $CD$ $(x=L, y: L \to 0)$ के लिए: $\vec{B} = B_0(1+\frac{Ly}{L^2})\hat{k} = B_0(1+\frac{y}{L})\hat{k}$. $d\vec{l} = dy(-\hat{j})$. $\vec{F}_{CD} = \int_L^0 I(dy(-\hat{j}) \times B_0(1+\frac{y}{L})\hat{k}) = -I B_0 \int_L^0 (1+\frac{y}{L}) dy \hat{i} = I B_0 [y + \frac{y^2}{2L}]_0^L \hat{i} = \frac{3}{2} I B_0 L \hat{i}$.
खंड $DA$ $(y=0, x: L \to 0)$ के लिए: $\vec{B} = B_0(1+0)\hat{k} = B_0\hat{k}$. $d\vec{l} = dx(-\hat{i})$. $\vec{F}_{DA} = \int_L^0 I(dx(-\hat{i}) \times B_0\hat{k}) = -I B_0 \int_L^0 dx \hat{j} = I B_0 L \hat{j}$.
कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{CD} + \vec{F}_{DA} = (I B_0 L + \frac{3}{2} I B_0 L)\hat{i} + (I B_0 L - \frac{3}{2} I B_0 L)\hat{j} = \frac{5}{2} I B_0 L \hat{i} - \frac{1}{2} I B_0 L \hat{j}$.
इसका परिमाण $|\vec{F}| = \sqrt{(\frac{5}{2} I B_0 L)^2 + (-\frac{1}{2} I B_0 L)^2} = \frac{I B_0 L}{2} \sqrt{25+1} = \frac{\sqrt{26}}{2} I B_0 L$.