Force on a Current Carrying Conductor Questions in Hindi

(D) एक छोटे धारा अवयव $dl$ पर चुंबकीय बल $dF = i(dl \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
इस मामले में,धारा $i$ रिंग की परिधि के साथ बहती है,और चुंबकीय क्षेत्र $B$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित है।
रिंग पर किसी भी बिंदु पर,धारा अवयव $dl$ रिंग के स्पर्शरेखीय है,जबकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ त्रिज्यीय है।
इसलिए,$dl$ और $B$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
एक छोटे अवयव पर बल का परिमाण $dF = i \cdot dl \cdot B \cdot \sin(90^\circ) = i B dl$ है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,इस बल की दिशा स्पर्शरेखा और त्रिज्यीय दिशा दोनों के लंबवत है,जो रिंग के तल के लंबवत (तल से बाहर) है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र सममित है और हर जगह त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित है,इसलिए व्यास के विपरीत बिंदुओं पर बल परिमाण में समान होंगे और एक ही दिशा (तल से बाहर) में होंगे।
पूरी रिंग पर बलों का सदिश योग करने पर: $F = \int dF = \int i B dl = i B \int dl = i B (2 \pi a) = 2 \pi i a B$.

(C) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $F = i(\vec{L} \times \vec{B}) = iLB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ लंबाई सदिश $\vec{L}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
तार $ab$ के लिए: लंबाई $l$ है और यह चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है (अर्थात,$\theta = 90^o$)।
$F_1 = i l B \sin 90^o = i l B$.
तार $bc$ के लिए: लंबाई $l' = \frac{l}{\cos 45^o} = l\sqrt{2}$ है। तार $bc$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $45^o$ है।
$F_2 = i l' B \sin 45^o = i (l\sqrt{2}) B \sin 45^o = i (l\sqrt{2}) B \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = i l B$.
अतः,अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{i l B}{i l B} = 1$ है।

(B) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{F}{l} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }} \cdot \frac{{2{i_1}{i_2}}}{r}$
यहाँ,${i_1} = 10 \text{ A}$,${i_2} = 5 \text{ A}$,और $r = 0.1 \text{ m}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल प्रतिकर्षण बल होगा।
मान रखने पर: $\frac{F}{l} = {10^{ - 7}} \times \frac{{2 \times 10 \times 5}}{{0.1}} = {10^{ - 7}} \times \frac{{100}}{{0.1}} = {10^{ - 7}} \times 1000 = {10^{ - 4}} \text{ N/m}$.
अतः,बल ${10^{ - 4}} \text{ N/m}$ का प्रतिकर्षण बल है।

(A) एक धारावाही तार पर दूसरे समानांतर तार के कारण लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
भुजा $AB$ के लिए ($r_1 = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$ की दूरी पर):
$F_{AB} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 15 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-2}} = 30 \times 10^{-7} \, N$ (आकर्षक,बाईं ओर)।
भुजा $CD$ के लिए ($r_2 = 2 \, cm + 10 \, cm = 12 \, cm = 12 \times 10^{-2} \, m$ की दूरी पर):
$F_{CD} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 1 \times 15 \times 10^{-2}}{12 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^{-7} \, N$ (प्रतिकर्षी,दाईं ओर)।
कुल बल $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = 30 \times 10^{-7} - 5 \times 10^{-7} = 25 \times 10^{-7} \, N$ बाईं ओर।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए बंद धारावाही लूप पर कुल चुंबकीय बल $\overrightarrow{F}_{net} = I(\oint d\overrightarrow{l}) \times \overrightarrow{B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लूप बंद है,लंबाई तत्वों का सदिश योग $\oint d\overrightarrow{l} = 0$ होता है,इसलिए $\overrightarrow{F}_{net} = 0$ होता है।
मान लीजिए कि वर्गाकार लूप की चार भुजाओं पर बल $\overrightarrow{F}_1, \overrightarrow{F}_2, \overrightarrow{F}_3$ और $\overrightarrow{F}_4$ हैं।
लूप पर कुल बल $\overrightarrow{F}_1 + \overrightarrow{F}_2 + \overrightarrow{F}_3 + \overrightarrow{F}_4 = 0$ है।
यह दिया गया है कि एक भुजा पर बल $\overrightarrow{F}_1 = \overrightarrow{F}$ है,इसलिए शेष तीन भुजाओं पर बलों का योग $\overrightarrow{F}_2 + \overrightarrow{F}_3 + \overrightarrow{F}_4 = -\overrightarrow{F}_1 = -\overrightarrow{F}$ होगा।

(A) माना कि वर्गाकार लूप की भुजा की लंबाई $a$ है। लंबे सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r}$ है।
धारावाही तार पर लगने वाला बल $F = I \int (dl \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. लूप का ऊपरी भाग ($d$ दूरी पर) $I_1$ की विपरीत दिशा में $I$ धारा ले जाता है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,इस भाग पर लगने वाला बल तार की ओर आकर्षक है: $F_{top} = \frac{\mu_0 I_1 I}{2 \pi d} \times a$ (ऊपर की ओर)।
$2$. लूप का निचला भाग ($d+a$ दूरी पर) $I_1$ की समान दिशा में $I$ धारा ले जाता है। इस भाग पर लगने वाला बल तार से दूर प्रतिकर्षक है: $F_{bottom} = \frac{\mu_0 I_1 I}{2 \pi (d+a)} \times a$ (नीचे की ओर)।
$3$. लूप के दो ऊर्ध्वाधर भाग समान और विपरीत बल अनुभव करते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
चूंकि $d < d+a$,इसलिए आकर्षक बल $F_{top}$ प्रतिकर्षक बल $F_{bottom}$ से अधिक है।
अतः,शुद्ध बल चालक की ओर आकर्षक है।

(B) लंबे सीधे चालक के पास स्थित धारावाही तार पर लगने वाला बल $F = \frac{{\mu _0}IiL}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार के सबसे निकट लूप की भुजा के लिए (दूरी $r_1 = L/2$),धारा $XY$ तार की दिशा में ही बहती है। अतः बल $F_1$ आकर्षण का है:
$F_1 = \frac{{\mu _0}IiL}{2\pi (L/2)} = \frac{{\mu _0}Ii}{\pi}$.
तार से सबसे दूर लूप की भुजा के लिए (दूरी $r_2 = L/2 + L = 3L/2$),धारा $XY$ तार की विपरीत दिशा में बहती है। अतः बल $F_2$ प्रतिकर्षण का है:
$F_2 = \frac{{\mu _0}IiL}{2\pi (3L/2)} = \frac{{\mu _0}Ii}{3\pi}$.
लूप की ऊपरी और निचली भुजाओं पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{{\mu _0}Ii}{\pi} - \frac{{\mu _0}Ii}{3\pi} = \frac{{\mu _0}Ii}{\pi} (1 - 1/3) = \frac{2{\mu _0}Ii}{3\pi}$.

(C) दूरी पर स्थित और $I$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}}$ होता है।
चूंकि धाराएं एक ही दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षण का होगा।
तार $B$ पर तार $A$ की ओर एक आकर्षण बल $F_{AB}$ और तार $C$ की ओर एक आकर्षण बल $F_{BC}$ कार्य करता है।
इनका परिमाण $F_{AB} = F_{BC} = \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}}$ (प्रति इकाई लंबाई) है।
चूंकि तार $90^{\circ}$ के कोण पर व्यवस्थित हैं,इसलिए सदिश $\vec{F}_{AB}$ और $\vec{F}_{BC}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
कुल बल $f_{\text{net}}$ इनका सदिश योग है: $f_{\text{net}} = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{BC}^2} = \sqrt{2} F_{BC}$.
मान रखने पर: $f_{\text{net}} = \sqrt{2} \left( \frac{{\mu _0}{I^2}}{2{\pi d}} \right) = \frac{{\mu _0}{I^2}}{{\sqrt 2 \pi d}}$.

(B) एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र में $L$ लंबाई के धारावाही तार पर लगने वाला बल $F = BiL$ होता है।
वर्गाकार लूप के लिए,तार $XY$ के समानांतर भुजाओं पर बल कार्य करता है,जबकि तार के लंबवत भुजाओं पर समान और विपरीत बल कार्य करते हैं जो एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$1$. तार के निकट वाली भुजा पर बल (दूरी $r_1 = L/2$):
$F_1 = \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (L/2)} \right) i L = \frac{\mu_0 Ii}{\pi}$. यह बल आकर्षण बल है (तार की ओर)।
$2$. तार से दूर वाली भुजा पर बल (दूरी $r_2 = L/2 + L = 3L/2$):
$F_2 = \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (3L/2)} \right) i L = \frac{\mu_0 Ii}{3\pi}$. यह बल प्रतिकर्षण बल है (तार से दूर)।
परिणामी बल $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{\mu_0 Ii}{\pi} - \frac{\mu_0 Ii}{3\pi} = \frac{2\mu_0 Ii}{3\pi}$.

(C) नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg \sin 30^{\circ}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = IlB$ है,जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है। नत समतल के ऊपर की ओर कार्य करने वाला इस चुंबकीय बल का घटक $F_{m, \text{up}} = IlB \cos 30^{\circ}$ है।
छड़ को स्थिर रखने के लिए,नत समतल के अनुदिश बलों को संतुलित होना चाहिए:
$mg \sin 30^{\circ} = IlB \cos 30^{\circ}$
धारा $I$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$I = \frac{mg}{lB} \tan 30^{\circ}$
यहाँ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\frac{m}{l} = 0.5\; kg\; m^{-1}$,$B = 0.25\; T$,और $g = 9.8\; m/s^2$ दिया गया है:
$I = \frac{0.5 \times 9.8}{0.25} \times \tan 30^{\circ}$
$I = 2 \times 9.8 \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$I = \frac{19.6}{1.732} \approx 11.32\; A$

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $F = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ प्रारंभिक बिंदु $L$ से अंतिम बिंदु $N$ तक का प्रभावी लंबाई सदिश है।
ज्यामिति से,क्षैतिज विस्थापन $6 \, cm$ है और कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन $4 \, cm + 4 \, cm = 8 \, cm$ है।
प्रभावी लंबाई $L_{eff} = \sqrt{(6 \, cm)^2 + (8 \, cm)^2} = \sqrt{36 + 64} \, cm = \sqrt{100} \, cm = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है।
बल का परिमाण $F = B I L_{eff} = 5 \, T \times 10 \, A \times 0.1 \, m = 5 \, N$ है।

(C) दूसरे तार को हवा में तैरने के लिए,नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को पहले तार द्वारा लगाए गए ऊपर की ओर चुंबकीय बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
$1$. प्रति इकाई लंबाई गुरुत्वाकर्षण बल $F_g/l = (m/l)g = 10^{-2} \times 9.8 = 0.098\, N/m$ है।
$2$. दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $F_m/l = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2 i_1 i_2}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. दोनों बलों को बराबर करने पर: $(m/l)g = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2 i_1 i_2}{a}$।
$4$. मान रखने पर: $10^{-2} \times 9.8 = 10^{-7} \times \frac{2 \times 200 \times i}{2 \times 10^{-2}}$।
$5$. $i$ के लिए हल करने पर: $0.098 = 10^{-7} \times \frac{400 i}{0.02} = 10^{-7} \times 20000 i = 2 \times 10^{-3} i$।
$6$. $i = \frac{0.098}{2 \times 10^{-3}} = 49\, A$।
$7$. चूंकि गुरुत्वाकर्षण का मुकाबला करने के लिए चुंबकीय बल ऊपर की ओर (प्रतिकर्षी) होना चाहिए,इसलिए दो समानांतर तारों में धारा एक ही दिशा में प्रवाहित होनी चाहिए।

(B) माना लूप का द्रव्यमान $m$ है। लूप के निचले किनारे पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = IaB$ है।
प्रारंभ में,मान लीजिए कि धारा इस प्रकार प्रवाहित होती है कि चुंबकीय बल नीचे की ओर कार्य करता है। स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग $F_1 = mg + IaB$ है।
जब धारा की दिशा उलट दी जाती है,तो चुंबकीय बल ऊपर की ओर कार्य करता है। स्प्रिंग बैलेंस की नई रीडिंग $F_2 = mg - IaB$ है।
स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग में परिवर्तन $\Delta F = F_1 - F_2 = (mg + IaB) - (mg - IaB) = 2IaB$ है।

(C) चूंकि तार समानांतर में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक तार पर विभवांतर $V$ समान है। प्रत्येक तार में धारा $i = V/R$ द्वारा दी जाती है। प्रतिरोधों का अनुपात $R_1 : R_2 : R_3 = 3 : 4 : 5$ है,इसलिए धाराओं का अनुपात $i_1 : i_2 : i_3 = 1/3 : 1/4 : 1/5$ होगा।
मान लीजिए $i_1 = k/3$,$i_2 = k/4$,और $i_3 = k/5$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $F = \frac{\mu_0 i_a i_b}{2\pi r}$ होता है।
बीच वाले तार पर कुल बल शून्य होने के लिए,ऊपर वाले तार और नीचे वाले तार द्वारा लगाया गया बल बराबर होना चाहिए: $\frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi r_1} = \frac{\mu_0 i_3 i_2}{2\pi r_2}$।
इसे सरल करने पर,$\frac{i_1}{r_1} = \frac{i_3}{r_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{r_1}{r_2} = \frac{i_1}{i_3}$।
मान रखने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{k/3}{k/5} = \frac{5}{3}$।
अतः,दूरियों का अनुपात $5 : 3$ है।

(D) चालक $EF$ पर चुंबकीय बल $\vec{F}_{mag} = i(\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है और चालक $EF$ झुकी हुई सतह पर है,इसलिए लंबाई सदिश $\vec{l}$ ($EF$ की दिशा में) और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $(90^\circ - \theta)$ है।
चुंबकीय बल का परिमाण $F_{mag} = i l B \sin(90^\circ - \theta) = i l B \cos \theta$ है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,चुंबकीय बल को झुकी हुई सतह पर ऊपर की ओर कार्य करने के लिए,धारा $i$ को $E$ से $F$ की ओर प्रवाहित होना चाहिए।
झुकी हुई सतह पर नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta$ है।
चालक के संतुलन में रहने के लिए,चुंबकीय बल को ढलान के साथ वजन के घटक को संतुलित करना चाहिए:
$i l B \cos \theta = mg \sin \theta$
दोनों पक्षों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$i l B = mg \tan \theta$.
अतः,संतुलन के लिए $(A)$ और $(B)$ दोनों शर्तें आवश्यक हैं।

(A) $i$ धारा ले जाने वाले $l$ लंबाई के चालक $EF$ पर चुंबकीय बल $F_m = i(\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर निर्देशित है और चालक एक झुके हुए तल पर है,बल $F_m$ क्षैतिज रूप से कार्य करता है। इस बल का परिमाण $F_m = Bil$ है।
चालक के संतुलन में रहने के लिए,झुकाव के अनुदिश कुल बल शून्य होना चाहिए।
चालक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. चुंबकीय बल $F_m = Bil$ जो क्षैतिज रूप से कार्य करता है।
$3$. रेल से लंबवत प्रतिक्रिया $N$ जो झुकाव के लंबवत है।
झुकाव के अनुदिश बलों का वियोजन करने पर:
झुकाव के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg\, \sin\, \theta$ (नीचे की ओर) है।
झुकाव के अनुदिश चुंबकीय बल का घटक $F_m\, \cos\, \theta = Bil\, \cos\, \theta$ (ऊपर की ओर) है।
संतुलन के लिए,$Bil\, \cos\, \theta = mg\, \sin\, \theta$.
अतः,$Bil = mg\, \frac{\sin\, \theta}{\cos\, \theta} = mg\, \tan\, \theta$.

(C) $1$. प्रारंभ में,छड़ गुरुत्वाकर्षण बल और स्प्रिंग बल के तहत संतुलन में है। मान लीजिए कि प्रत्येक स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ है। दो स्प्रिंगों द्वारा कुल ऊपर की ओर बल $2kx_0 = mg$ है,इसलिए $k = \frac{mg}{2x_0}$ है।
$2$. जब चुंबकीय क्षेत्र $B$ चालू किया जाता है,तो छड़ पर चुंबकीय बल $F_m = ILB$ कार्य करता है। छड़ में धारा $I = \frac{\varepsilon}{R}$ है।
$3$. स्प्रिंगें अतिरिक्त $x_0$ दूरी तक खिंच जाती हैं,जिसका अर्थ है कि कुल विस्तार $2x_0$ है। नई संतुलन स्थिति $2k(2x_0) = mg + F_m$ है।
$4$. समीकरण में $2kx_0 = mg$ रखने पर: $2(2kx_0) = 2mg = mg + F_m$,जिसका अर्थ है $F_m = mg$ है।
$5$. चूंकि $F_m = ILB = \frac{\varepsilon}{R}LB = mg$,इसलिए $B = \frac{mgR}{\varepsilon L}$ प्राप्त होता है।
$6$. विस्तार बढ़ाने के लिए,चुंबकीय बल को नीचे की ओर कार्य करना चाहिए। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र को कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होना चाहिए।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
चित्र से,तार बिंदु $A(2, 2)$ से शुरू होता है और बिंदु $B(2, -2)$ पर समाप्त होता है।
इसलिए,प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}_{eff} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (2\hat{i} - 2\hat{j}) - (2\hat{i} + 2\hat{j}) = -4\hat{j} \, m$ है।
धारा $i = 2 \, A$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = -4\hat{k} \, T$ है।
इन मानों को बल के सूत्र में रखने पर:
$\vec{F} = 2 \, A \times (-4\hat{j} \, m) \times (-4\hat{k} \, T)$
$\vec{F} = 2 \times (-4) \times (-4) \times (\hat{j} \times \hat{k})$
चूँकि $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{F} = 32\hat{i} \, N$.

(B) एक छोटे धारा अवयव $I d\vec l$ पर चुंबकीय बल $d\vec F = I (d\vec l \times \vec B)$ द्वारा दिया जाता है।
$x-y$ तल में अर्धवृत्ताकार तार के लिए, कोण $\theta$ (ऋणात्मक $x$-अक्ष से मापा गया) पर एक छोटा अवयव $d\vec l = R d\theta (\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j)$ है।
इस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = \frac{B_o x}{2R} \hat k = \frac{B_o (-R \cos \theta)}{2R} \hat k = -\frac{B_o \cos \theta}{2} \hat k$ है।
अब, $d\vec F = I [R d\theta (\cos \theta \hat i + \sin \theta \hat j)] \times [-\frac{B_o \cos \theta}{2} \hat k]$.
$d\vec F = -\frac{I B_o R}{2} \cos \theta d\theta [\cos \theta (\hat i \times \hat k) + \sin \theta (\hat j \times \hat k)]$.
चूंकि $\hat i \times \hat k = -\hat j$ और $\hat j \times \hat k = \hat i$, हमारे पास है:
$d\vec F = -\frac{I B_o R}{2} [-\cos^2 \theta \hat j + \sin \theta \cos \theta \hat i] d\theta$.
$\theta = 0$ से $\pi$ तक समाकलन करने पर:
$F_x = -\frac{I B_o R}{2} \int_0^{\pi} \sin \theta \cos \theta d\theta = -\frac{I B_o R}{4} \int_0^{\pi} \sin(2\theta) d\theta = 0$.
$F_y = \frac{I B_o R}{2} \int_0^{\pi} \cos^2 \theta d\theta = \frac{I B_o R}{2} \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{I B_o R}{4} [\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi} = \frac{I B_o R \pi}{4}$.
चूंकि बल धनात्मक $y$-दिशा में है, सही विकल्प $B$ है।

(D) त्रिज्या के वृत्ताकार लूप पर एक छोटा धारा अवयव $dl$ लें। इस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,और धारा अवयव $dl$ त्रिज्यीय चुंबकीय क्षेत्र और ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले तल के लंबवत है।
चुंबकीय बल के सूत्र के अनुसार,$dF = I(dl \times B)$।
बल का परिमाण $dF = I dl B \sin(90^\circ) = I B dl$ है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,इस बल $dF$ की दिशा ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है,जो ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
लूप की समरूपता के कारण,व्यास के विपरीत बिंदुओं पर स्थित अवयवों पर बल के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
प्रत्येक अवयव $dl$ पर बल का ऊर्ध्वाधर घटक $dF_v = dF \cos\theta = I B dl \cos\theta$ है।
लूप की पूरी परिधि (लंबाई $2\pi a$) पर इसका समाकलन करने पर:
$F_{net} = \int dF_v = \int_0^{2\pi a} I B \cos\theta dl = I B \cos\theta \int_0^{2\pi a} dl = I B \cos\theta (2\pi a) = 2\pi aIB \cos\theta$।
चूंकि यह परिणाम दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'कोई नहीं' है।

(D) चालक पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = I l B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ विद्युत धारा है।
चूँकि $I = \frac{dq}{dt}$,चालक को प्रदान किया गया आवेग $J = \int F dt = \int (I l B) dt = l B \int I dt = l B q$ है,जहाँ $q$ कुल प्रवाहित आवेश है।
यह आवेग चालक को प्रारंभिक वेग $v_0$ प्रदान करता है जिससे $J = m v_0$ होता है।
आवेग के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m v_0 = q l B$,जिससे $v_0 = \frac{q l B}{m}$ प्राप्त होता है।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर,$v^2 = u^2 - 2gh$। अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,अंतिम वेग $0$ है,इसलिए $0 = v_0^2 - 2gh$,जिसका अर्थ है $v_0 = \sqrt{2gh}$।
$v_0$ का मान आवेग समीकरण में रखने पर: $\sqrt{2gh} = \frac{q l B}{m}$।
$q$ के लिए हल करने पर,हमें $q = \frac{m \sqrt{2gh}}{l B}$ प्राप्त होता है।

(B) दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,लंबे सीधे तार $AB$ द्वारा कागज के तल में किसी भी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ लंबवत रूप से अंदर की ओर (कागज के अंदर) होता है।
तार $CD$ पर किसी भी छोटे धारा तत्व $Idl$ के लिए,बल $dF = I(dl \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ दिशा में समान है (तल के लंबवत),हम तार $CD$ पर कुल बल को उसके खंडों पर लगने वाले बलों के सदिश योग के रूप में मान सकते हैं।
$AB$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के संबंध में तार $CD$ की समरूपता के कारण,$CD$ के दो खंडों पर लगने वाले बलों के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$CD$ के दोनों खंडों पर बलों के ऊर्ध्वाधर घटक तार $AB$ की ओर (बाईं ओर) निर्देशित होते हैं क्योंकि $CD$ के दोनों खंडों में धारा का एक घटक $AB$ के समानांतर होता है या इस तरह से उन्मुख होता है कि सदिश गुणनफल $dl \times B$ बाईं ओर बल उत्पन्न करता है।
इसलिए,तार $CD$ पर कुल बल बाईं ओर निर्देशित होता है।

(A) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
धारा ले जाने वाले तार के एक खंड पर बल $F = i(L \times B)$ होता है।
भुजा $AB$ के लिए (दूरी $r_1 = L/2$ पर): धारा ऊपर की ओर बहती है। चुंबकीय क्षेत्र तल के अंदर की ओर निर्देशित है। बल $F_1$ तार की ओर आकर्षण बल है।
$F_1 = i L B_1 = i L \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (L/2)} \right) = \frac{\mu_0 Ii}{\pi}$.
भुजा $CD$ के लिए (दूरी $r_2 = L/2 + L = 3L/2$ पर): धारा नीचे की ओर बहती है। चुंबकीय क्षेत्र तल के अंदर की ओर निर्देशित है। बल $F_2$ तार से दूर प्रतिकर्षण बल है।
$F_2 = i L B_2 = i L \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi (3L/2)} \right) = \frac{\mu_0 Ii}{3\pi}$.
भुजाओं $BC$ और $AD$ पर बल समान और विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{\mu_0 Ii}{\pi} - \frac{\mu_0 Ii}{3\pi} = \frac{\mu_0 Ii}{\pi} (1 - 1/3) = \frac{2\mu_0 Ii}{3\pi}$.

(D) रिंग के $\theta$ कोण पर $dl = r \, d\theta$ लंबाई के एक छोटे अवयव पर विचार करें। इस अवयव पर चुंबकीय बल $dF = I \, dl \, B = I \, r \, d\theta \, B$ है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,रिंग के अर्ध-वृत्ताकार भाग पर विचार करें। अर्ध-वृत्त पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल प्रत्येक अवयव पर बल के त्रिज्यीय घटकों का समाकलन है।
अर्ध-वृत्त पर कुल बाहरी बल $F_{net} = \int_{0}^{\pi} (I \, r \, B \, d\theta) \sin \theta = I \, r \, B [-\cos \theta]_{0}^{\pi} = 2 \, I \, r \, B$ द्वारा दिया जाता है।
यह बाहरी बल अर्ध-वृत्त के दो सिरों पर कार्य करने वाले तनाव $T$ द्वारा संतुलित होता है। अतः,$2T = F_{net} = 2 \, I \, r \, B$।
इसलिए,$T = I \, r \, B$।
दिए गए मानों को रखने पर: $T = 100 \, A \times 0.5 \, m \times 0.2 \, T = 10 \, N$।

(A) दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो लंबे समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर बल $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$I_1 = 2\,\text{A}$ और $I_2 = 2\,\text{A}$ है,इसलिए $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 \times 2 \times 2}{d} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{8}{d}$ है।
जब प्रत्येक में धारा को बदलकर $1\,\text{A}$ कर दिया जाता है,तो नया बल $F^{\prime} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 \times 1 \times 1}{d} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2}{d}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$F^{\prime} = F/4$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों धाराओं की दिशा उलट दी गई है,इसलिए धाराओं की सापेक्ष दिशा समान रहती है (दोनों अभी भी समानांतर हैं)। अतः,बल की प्रकृति (आकर्षक या प्रतिकर्षी) अपरिवर्तित रहती है और प्रत्येक चालक पर बल की दिशा भी नहीं बदलती है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उत्तर ध्रुव $(N)$ से दक्षिण ध्रुव $(S)$ की ओर निर्देशित होता है,जो दाईं ओर से बाईं ओर (ऋणात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश,यानी $-\hat{i}$) है।
धारा $i$ कागज के तल से बाहर की ओर (धनात्मक $z$-अक्ष के अनुदिश,यानी $+\hat{k}$) बहती है।
धारावाही चालक पर चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{l}$ धारा की दिशा में $(+\hat{k})$ है और $\vec{B} = -B\hat{i}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{F} = i(l\hat{k} \times -B\hat{i}) = -ilB(\hat{k} \times \hat{i}) = -ilB\hat{j}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $+\hat{j}$ दिशा $P$ की ओर है,इसलिए $-\hat{j}$ दिशा $Q$ की ओर है।
अतः,चालक $Q$ की दिशा में बल का अनुभव करेगा।

(D) किसी भी आकार के धारावाही चालक पर चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ प्रारंभिक बिंदु $A$ से अंतिम बिंदु $E$ को जोड़ने वाला प्रभावी लंबाई सदिश है।
चित्र से,$A$ और $E$ के बीच की दूरी $x$-अक्ष पर $\lambda$ है। अतः,$\vec{L}_{eff} = \lambda \hat{i}$ है।
$1$. यदि $\vec{B} = B\hat{i}$ है,तो $\vec{F} = i(\lambda \hat{i} \times B\hat{i}) = 0$ होगा। (विकल्प $A$ सही है)
$2$. यदि $\vec{B} = B\hat{j}$ है,तो $\vec{F} = i(\lambda \hat{i} \times B\hat{j}) = \lambda Bi \hat{k}$ होगा। (विकल्प $B$ सही है)
$3$. यदि $\vec{B} = B\hat{k}$ है,तो $\vec{F} = i(\lambda \hat{i} \times B\hat{k}) = -\lambda Bi \hat{j}$ होगा। (विकल्प $C$ सही है)
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए अंतिम उत्तर $D$ है।

(B) $1$. मूल बिंदु पर स्थित $I_1$ धारा वाले तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,$O$ को केंद्र मानकर खींचे गए वृत्तों के स्पर्शरेखीय होता है।
$2$. सीधे खंडों $AB$ और $CD$ के लिए,धारा अवयव $I \vec{dl}$ त्रिज्यीय दिशा में होता है। चूंकि $\vec{B}$ स्पर्शरेखीय है,$\vec{dl} \perp \vec{B}$,इसलिए इन खंडों पर बल लगता है।
$3$. चाप $AD$ और $BC$ के लिए,धारा अवयव $I \vec{dl}$ चाप के स्पर्शरेखीय होता है,जो $O$ पर स्थित तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर है।
$4$. चूंकि $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ और $\vec{dl} \parallel \vec{B}$,इसलिए चाप $AD$ और $BC$ पर लगने वाला बल शून्य है।
$5$. अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाला बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,लंबाई सदिश $\vec{L} = 3 \hat{a}_z \ m$ है और धारा $I = 10 \ A$ $-\hat{a}_z$ दिशा में है,इसलिए $\vec{L} = -3 \hat{a}_z \ m$ है।
चुंबकीय बल $\vec{F} = 10 \times (-3 \hat{a}_z \times 3.0 \times 10^{-4} e^{-0.2x} \hat{a}_y) = -30 \times 3.0 \times 10^{-4} e^{-0.2x} (\hat{a}_z \times \hat{a}_y) = -90 \times 10^{-4} e^{-0.2x} (-\hat{a}_x) = 9.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} \hat{a}_x \ N$ है।
चालक को स्थिर गति से ले जाने के लिए,एक बाहरी बल $\vec{F}_{ext} = -\vec{F} = -9.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} \hat{a}_x \ N$ लगाया जाना चाहिए।
चालक को $x = 0$ से $x = 2.0 \ m$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ है:
$W = \int_{0}^{2} |F_{ext}| dx = \int_{0}^{2} 9.0 \times 10^{-3} e^{-0.2x} dx$
$W = 9.0 \times 10^{-3} \left[ \frac{e^{-0.2x}}{-0.2} \right]_{0}^{2} = \frac{9.0 \times 10^{-3}}{0.2} (1 - e^{-0.4}) = 45 \times 10^{-3} (1 - 0.6703) = 45 \times 10^{-3} \times 0.3297 \approx 14.836 \times 10^{-3} \ J$ है।
आवश्यक शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{14.836 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-3}} = 2.967 \ W \approx 2.97 \ W$ है।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ तार के शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
तार का समीकरण $y = 2x - x^2$ है।
अंतिम बिंदुओं को खोजने के लिए,$y = 0$ रखें:
$0 = 2x - x^2 = x(2 - x)$
इससे $x = 0$ और $x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,तार $(0, 0)$ से शुरू होता है और $(2, 0)$ पर समाप्त होता है।
प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}_{eff} = (2 - 0)\hat{i} = 2\hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = -B_0 \hat{k}$ है।
अब,बल की गणना करें:
$\vec{F} = I(2\hat{i} \times -B_0 \hat{k})$
$\vec{F} = -2B_0I (\hat{i} \times \hat{k})$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{F} = -2B_0I (-\hat{j}) = 2B_0I \hat{j}$.
चूंकि परिणाम $+\hat{j}$ दिशा में है,इसलिए बल ऊपर की ओर है।

(B) रक्त के धारा-वाहक खंड पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = I h B$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ धारा है, $h$ ट्यूब की ऊंचाई है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
धारा $I$ को धारा घनत्व $J$ और उस क्षेत्रफल $A_{cs} = L \times \omega$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जिससे धारा बहती है। इस प्रकार, $I = J(L \times \omega)$।
बल के समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $F = (J L \omega) h B$।
दबाव में वृद्धि $P$ को प्रवाह की दिशा के लंबवत प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल के रूप में परिभाषित किया गया है। प्रवाह के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = L \times \omega$ है।
इसलिए, दबाव में वृद्धि $P = \frac{F}{A} = \frac{J L \omega h B}{L \omega} = J h B$। अतः, विकल्प $B$ सही है।

(C) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec F = I \int d\vec l \times \vec B$ द्वारा दिया जाता है।
$(x, 0)$,$(x+l, 0)$,$(x+l, l)$,और $(x, l)$ शीर्षों वाले एक वर्गाकार लूप पर विचार करें।
दो ऊर्ध्वाधर भुजाओं के लिए ($y$-अक्ष के समानांतर):
$1$. $x_1 = x$ पर,$\vec B_1 = B_0 [1 + \frac{x}{l}] \hat k$. बल $\vec F_1 = I_0 (l \hat j) \times (B_0 [1 + \frac{x}{l}] \hat k) = I_0 l B_0 [1 + \frac{x}{l}] \hat i$ है।
$2$. $x_2 = x+l$ पर,$\vec B_2 = B_0 [1 + \frac{x+l}{l}] \hat k = B_0 [2 + \frac{x}{l}] \hat k$. बल $\vec F_2 = I_0 (-l \hat j) \times (B_0 [2 + \frac{x}{l}] \hat k) = -I_0 l B_0 [2 + \frac{x}{l}] \hat i$ है।
दो क्षैतिज भुजाओं के लिए ($x$-अक्ष के समानांतर):
ऊपरी और निचली भुजाओं पर लगने वाले बल समान और विपरीत हैं क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र केवल $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल बल $\vec F_{net} = \vec F_1 + \vec F_2 = I_0 l B_0 [1 + \frac{x}{l} - 2 - \frac{x}{l}] \hat i = -I_0 l B_0 \hat i$ है।
कुल चुंबकीय बल का परिमाण $|\vec F_{net}| = I_0 B_0 l$ है।

(C) अनंत धारा शीट द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एकसमान और शीट के समानांतर होता है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,तल से बाहर बहने वाली धारा (बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया) के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B$ शीट के दाईं ओर के क्षेत्र में ऊपर की ओर इंगित करता है।
वर्गाकार लूप में,धारा दक्षिणावर्त दिशा में बहती है। मान लीजिए लूप की भुजाएँ $l_1$ (शीट के पास),$l_2$ (शीट से दूर),$l_3$ (ऊपर),और $l_4$ (नीचे) हैं।
तार पर चुंबकीय बल $F = I(L \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. ऊपर और नीचे की भुजाओं ($l_3$ और $l_4$) के लिए,बल समान और विपरीत होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल बल शून्य होता है।
$2$. भुजा $l_1$ (शीट के पास) के लिए,धारा नीचे की ओर बहती है। बल $F_1 = I(l_1 \times B)$ शीट से दूर की दिशा में (प्रतिकर्षी) लगता है।
$3$. भुजा $l_2$ (शीट से दूर) के लिए,धारा ऊपर की ओर बहती है। बल $F_2 = I(l_2 \times B)$ शीट की ओर (आकर्षक) लगता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ एकसमान है,ऊर्ध्वाधर भुजाओं पर बलों के परिमाण समान हैं $(F_1 = F_2)$। हालाँकि,चूंकि लूप एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में है,लूप पर कुल बल शून्य है। इस प्रकार,लूप स्थानांतरीय संतुलन में रहता है।

(B) छड़ पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और चुंबकीय बल $F_m = ilB$ (फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार ऊपर की ओर) हैं।
छड़ पर शुद्ध बल $F_{net} = ilB - mg$ (ऊपर की ओर) है।
चूंकि छड़ संतुलन में है,इसलिए दोनों स्प्रिंग्स को शुद्ध बल के बराबर एक प्रत्यानयन बल प्रदान करना चाहिए। मान लीजिए कि प्रत्येक स्प्रिंग में विस्तार $x$ है। दो स्प्रिंग्स द्वारा प्रदान किया गया कुल प्रत्यानयन बल $2Kx$ है।
बलों को बराबर करने पर: $2Kx = ilB - mg$.
विस्तार $x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{ilB - mg}{2K}$.
संतुलन स्थिति में प्रत्येक स्प्रिंग की लंबाई $l = l_0 + x$ है।
$x$ का मान रखने पर: $l = l_0 + \frac{ilB - mg}{2K}$.

(A) धारावाही तार के खंड पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
$PQR$ खंड के लिए,प्रारंभिक बिंदु $P$ है और अंतिम बिंदु $R$ है। अतः,प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L} = \vec{PR}$ है।
बल का परिमाण $F = I L_{PR} B \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta$,$\vec{PR}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
ज्यामिति से,$PR = PQ \tan(60^\circ) = PQ \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दाईं ओर है। सदिश $\vec{PR}$ भी क्षैतिज (दाईं ओर) है। इसलिए,$\vec{PR}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ है,इसलिए $PR$ खंड पर लगने वाला बल $0$ है।
किसी भी मनमाने तार खंड पर बल $I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ होता है। $PQR$ के लिए,$\vec{L}_{eff} = \vec{PR}$ है। चूंकि $\vec{PR}$,$\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए कुल बल $0$ होगा।

(D) लंबे सीधे तार जिसमें धारा $I$ प्रवाहित हो रही है,उससे $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0}I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज तार से $r$ दूरी पर स्थित ऊर्ध्वाधर तार के $dr$ लंबाई के एक छोटे खंड पर विचार करें। इस खंड पर लगने वाला बल $dF = i(dr)B = i(dr)\left( \frac{{\mu _0}I}{2\pi r} \right)$ है।
कुल बल $F$ प्राप्त करने के लिए इस व्यंजक का $r = x$ से $r = x + l$ तक समाकलन करने पर:
$F = \int_{x}^{x+l} \frac{{\mu _0}iI}{2\pi r} dr = \frac{{\mu _0}iI}{2\pi} \int_{x}^{x+l} \frac{dr}{r}$
$F = \frac{{\mu _0}iI}{2\pi} [\ln(r)]_{x}^{x+l} = \frac{{\mu _0}iI}{2\pi} \ln \left( \frac{x+l}{x} \right)$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही व्यंजक विकल्पों में नहीं है,इसलिए उत्तर $D$ है।

(C) विद्युत धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec F = I(\vec L \times \vec B)$ द्वारा दिया जाता है।
आयताकार लूप में,धारा दक्षिणावर्त दिशा में बहती है। लूप का ऊपरी भाग $PQ$ जिसकी लंबाई $a$ है,चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$ (कागज के तल के अंदर की ओर) में स्थित है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$PQ$ भाग पर लगने वाला बल ऊपर की ओर निर्देशित होता है।
इस चुंबकीय बल का परिमाण $F_m = i a B$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल $F_g = mg$ है।
लूप पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = F_m - F_g = i a B - mg$ है।
यह दिया गया है कि $i > mg/Ba$,इसलिए $i a B > mg$ होगा,जिसका अर्थ है कि $F_{net} > 0$ है।
चूंकि कुल बल धनात्मक (ऊपर की ओर) है,इसलिए चुंबकीय बल के कारण भार ऊपर उठता है।

(C) $I_1$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r} \hat{\theta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लूप $x-y$ तल में है और तार $z$-अक्ष पर है,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $x-y$ तल में तार पर केंद्रित वृत्त हैं।
एक गैर-समान चुंबकीय क्षेत्र में किसी भी बंद धारा लूप के लिए,कुल बल $\vec{F} = \oint I_2 (d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,एक अधिक मौलिक गुण यह है कि एक लंबे सीधे तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उस क्षेत्र में संरक्षी (conservative) है जिसमें तार नहीं है। वैकल्पिक रूप से,लूप के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m}$ पर विचार करें। एक गैर-समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर बल $\vec{F} = \nabla (\vec{m} \cdot \vec{B})$ होता है।
तार को न घेरने वाले धारा लूप के लिए,लूप के माध्यम से कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लूप क्षेत्र में इस तरह प्रवेश करती हैं और बाहर निकलती हैं कि वे एक-दूसरे को रद्द कर देती हैं। समरूपता और अनंत तार के चुंबकीय क्षेत्र के गुणों के आधार पर,तार को न घेरने वाले एक बंद धारा लूप पर कुल बल शून्य होता है।

(B) अनंत सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ है।
लूप पर एक छोटे खंड $d\ell = R d\theta$ पर विचार करें।
तार से इस खंड की दूरी $r = R \sin \theta$ है।
इस खंड पर चुंबकीय बल $dF = I (d\ell) B = I (R d\theta) \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi R \sin \theta} \right) = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi \sin \theta} d\theta$ है।
समरूपता के कारण,तार के लंबवत घटक एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं और तार के समानांतर घटक जुड़ जाते हैं।
कुल बल $F = \int dF \sin \theta = \int_0^\pi \left( \frac{\mu_0 I^2}{2\pi \sin \theta} \right) \sin \theta d\theta = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi} \int_0^\pi d\theta = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi} [\theta]_0^\pi = \frac{\mu_0 I^2}{2}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\mu_0 I^2$ माना गया है।

(A) बेलन की सतह पर $dx$ चौड़ाई की एक छोटी पट्टी पर विचार करें। प्रति इकाई लंबाई धारा $K = \frac{I}{2 \pi R}$ है।
बेलन के अंदर और बाहर चुंबकीय क्षेत्र $B = 0$ है। हालाँकि,धारा अवयव के कारण सतह पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 K}{2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R}$ होता है।
धारावाही सतह पर प्रति इकाई क्षेत्रफल बल (चुंबकीय दबाव) $P = \frac{1}{2} \mu_0 K^2$ द्वारा दिया जाता है।
$K = \frac{I}{2 \pi R}$ का मान रखने पर:
$P = \frac{1}{2} \mu_0 \left( \frac{I}{2 \pi R} \right)^2 = \frac{1}{2} \mu_0 \frac{I^2}{4 \pi^2 R^2} = \frac{\mu_0 I^2}{8 \pi^2 R^2}$.

(A) अनंत धारावाही शीट द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है और इसे $B = \frac{\mu_0 k}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्लेट $y-z$ तल में है और धारा $+y$ दिशा में है,इसलिए $x > 0$ के लिए चुंबकीय क्षेत्र $+x$ दिशा में होता है,अर्थात $\vec{B} = \frac{\mu_0 k}{2} \hat{i}$।
धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$x-y$ तल में स्थित $R$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार लूप के लिए,प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}_{eff}$ अर्धवृत्त के दो सिरों को जोड़ने वाली सीधी रेखा है।
चूंकि लूप $x-y$ तल में है और केंद्र $(d, 0, 0)$ पर है,इसलिए इसका व्यास $y$-अक्ष के समानांतर है। अतः,$\vec{L}_{eff} = 2R \hat{j}$।
इसलिए,कुल बल $\vec{F} = i(2R \hat{j} \times \frac{\mu_0 k}{2} \hat{i}) = i R \mu_0 k (\hat{j} \times \hat{i}) = -\mu_0 k R i \hat{k}$ है।
कुल बल का परिमाण $\mu_0 k R i$ है।

(C) $1$. चालक छड़ $PQ$ पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$(a)$ गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$(b)$ छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m = I(l \times B)$। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,जब धारा $I$,$P$ से $Q$ की ओर बहती है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ तल के अंदर की ओर होता है,तो चुंबकीय बल लंबवत ऊपर की ओर कार्य करता है।
$(c)$ दोनों डोरियों में से प्रत्येक में तनाव $T$ जो लंबवत ऊपर की ओर कार्य करता है।
$2$. छड़ के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
$3$. लंबवत बलों का योग करने पर: $2T + F_m - Mg = 0$.
$4$. $F_m = IBl$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2T + IBl - Mg = 0$ प्राप्त होता है।
$5$. $T$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2T = Mg - IBl$,जिससे $T = (Mg - IBl)/2$ प्राप्त होता है।

(A) कब्जे $P$ से $r$ दूरी पर स्थित $dr$ अवयव पर चुंबकीय बल $dF = i(dr)B$ है।
इस चुंबकीय बल के कारण कब्जे $P$ के परितः बल आघूर्ण (torque) $d\tau = (dF)r = (iB dr)r$ है।
$r = 0$ से $r = l$ तक समाकलन करने पर,कुल बल आघूर्ण $\tau = \int_{0}^{l} iBr dr = \frac{il^2B}{2}$ प्राप्त होता है।
संतुलन की स्थिति में,छड़ क्षैतिज के साथ $53^{\circ}$ का कोण बनाती है। स्प्रिंग छड़ के ऊपरी सिरे से जुड़ी है। स्प्रिंग में विस्तार $x$ है। स्प्रिंग बल $F_s = kx$ है।
स्प्रिंग बल के कारण कब्जे $P$ के परितः बल आघूर्ण $\tau_s = (kx) \times (l \sin 53^{\circ})$ है।
बल आघूर्णों को बराबर करने पर: $\frac{il^2B}{2} = (kx)(l \sin 53^{\circ})$.
चूंकि $\sin 53^{\circ} = \frac{4}{5}$,इसलिए $\frac{il^2B}{2} = kxl(\frac{4}{5})$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{5ilB}{8k}$.

(A) बल के लिए दिया गया सूत्र: $|F| = I L |B|$ है।
चूंकि $|F|$ बनाम $L$ का आलेख एक सीधी रेखा है,इसलिए ढलान $S = \frac{|F|}{L} = I |B|$ है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{S}{I}$ है।
$B$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र: $\frac{\Delta B}{B} = \frac{\Delta S}{S} + \frac{\Delta I}{I}$ है।
यहाँ $S = (10 \pm 1) \times 10^{-5} \ T$ और $I = (15 \pm 1) \ mA = (15 \pm 1) \times 10^{-3} \ A$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta B}{B} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
$B$ में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta B}{B} \times 100 = \frac{1}{6} \times 100 = \frac{50}{3} \%$ है।

(D) $PS$ और $QR$ खंडों पर लगने वाला बल समान और विपरीत है,इसलिए उनका नेट बल शून्य है।
लंबे तार के समानांतर $PQ$ और $SR$ खंडों के लिए,बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I_1 = 20 \, A$ (लंबा तार),$I_2 = 20 \, A$ (लूप),और $L = 15 \, cm = 0.15 \, m$ है।
$PS$ पर बल ($r_1 = 2 \, cm = 0.02 \, m$ की दूरी पर): $F_1 = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.02} = 6 \times 10^{-4} \, N$ (आकर्षक)।
$QR$ पर बल ($r_2 = 2 + 10 = 12 \, cm = 0.12 \, m$ की दूरी पर): $F_2 = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.12} = 1 \times 10^{-4} \, N$ (प्रतिकर्षी)।
परिणामी बल $F_{net} = F_1 - F_2 = 6 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-4} \, N$ है।

(B) धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec F = i (\vec L \times \vec B)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec L$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
चित्र से,तार $1 \, m$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्त है जो $x$-अक्ष के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है।
प्रारंभिक बिंदु $(2 - 1/\sqrt{2}, 2 - 1/\sqrt{2}, 0)$ है।
अंतिम बिंदु $(2 + 1/\sqrt{2}, 2 + 1/\sqrt{2}, 0)$ है।
विस्थापन सदिश $\vec L = \sqrt{2}\hat i + \sqrt{2}\hat j = \sqrt{2}(\hat i + \hat j)$ है।
दिया गया है $\vec B = 3\hat i + 4\hat j + \hat k$ और $i = 1 \, A$.
$\vec F = 1 \times [\sqrt{2}(\hat i + \hat j) \times (3\hat i + 4\hat j + \hat k)]$.
सदिश गुणन का उपयोग करने पर: $\vec F = \sqrt{2} [(\hat i \times 3\hat i) + (\hat i \times 4\hat j) + (\hat i \times \hat k) + (\hat j \times 3\hat i) + (\hat j \times 4\hat j) + (\hat j \times \hat k)]$.
$\vec F = \sqrt{2} [0 + 4\hat k - \hat j - 3\hat k + 0 + \hat i] = \sqrt{2}(\hat i - \hat j + \hat k) \, N$.

(B) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $AC$ भाग के लिए: लंबाई सदिश $\vec{L}_{AC}$ ऊर्ध्वाधर (ऊपर की ओर) है और $\vec{B}$ क्षैतिज (दाहिनी ओर) है। उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है। बल $F_{AC} = I(L \cos 30^{\circ})B \sin 90^{\circ} = I(L \frac{\sqrt{3}}{2})B = \frac{\sqrt{3}}{2} ILB$ है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार, बल पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ निर्देशित है। अतः, कथन $A$ सत्य है।
$2$. $AB$ भाग के लिए: लंबाई सदिश $\vec{L}_{AB}$ ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर है। $\vec{L}_{AB}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है। बल $F_{AB} = I(L)B \sin 60^{\circ} = I L B \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} ILB$ है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार, बल पृष्ठ के बाहर की ओर $(\odot)$ निर्देशित है। अतः, कथन $B$ असत्य है।
$3$. $CB$ भाग के लिए: लंबाई सदिश $\vec{L}_{CB}$, $\vec{B}$ के समानांतर है (कोण $0^{\circ}$ या $180^{\circ}$), इसलिए बल $F_{CB} = 0$ है।
$4$. एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में बंद लूप पर कुल बल हमेशा शून्य होता है। अतः, कथन $C$ सत्य है।
चूंकि केवल कथन $B$ सत्य नहीं है, इसलिए सही विकल्प केवल $B$ है।

(A) धारावाही तार के खंड पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{B} = B\hat{j} = 0.02\hat{j}\,T$ है।
खंड $ab$ के लिए: सदिश $\vec{L}_{ab}$ ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{L}_{ab} = -0.4\hat{j}\,m$। बल $\vec{F}_{ab} = I(\vec{L}_{ab} \times \vec{B}) = I(-0.4\hat{j} \times 0.02\hat{j}) = 0$,क्योंकि समानांतर सदिशों का क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है।
खंड $bc$ के लिए: सदिश $\vec{L}_{bc}$ $x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{L}_{bc} = 0.4\hat{i}\,m$। बल $\vec{F}_{bc} = I(\vec{L}_{bc} \times \vec{B}) = I(0.4\hat{i} \times 0.02\hat{j}) = I(0.008\hat{k})\,N$।
$ab$ पर बल का परिमाण $F_{ab} = 0$ है,और $bc$ पर बल का परिमाण $F_{bc} = 5 \times 0.008 = 0.04\,N$ है।
खंड $ab$ पर चुंबकीय बल और खंड $bc$ पर चुंबकीय बल का अनुपात $0 / 0.04 = 0$ है।

(D) छड़ पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. चुंबकीय बल $F_m = BIl$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है (फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,क्योंकि धारा दाईं ओर बहती है और चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है)।
$3$. दोनों तारों में तनाव $T$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
चूंकि छड़ संतुलन में है,इसलिए ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग नीचे की ओर लगने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए:
$2T + F_m = Mg$
$2T + BIl = Mg$
$2T = Mg - BIl$
$T = \frac{Mg - BIl}{2}$
अतः,प्रत्येक तार में तनाव $\frac{Mg - BIl}{2}$ है।

(D) वृत्ताकार कुंडली में धारा वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में बहती है। दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,तार $PQ$ की स्थिति पर वृत्ताकार कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र कागज के तल से बाहर की ओर निर्देशित होता है।
तार $PQ$ में धारा $P$ से $Q$ (नीचे की ओर) बह रही है।
फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम या सदिश क्रॉस उत्पाद सूत्र $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ का उपयोग करते हुए:
$1$. धारा की दिशा $\vec{l}$ नीचे की ओर है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ तल से बाहर की ओर है।
$3$. क्रॉस उत्पाद $\vec{l} \times \vec{B}$ बाईं ओर इंगित करता है।
इसलिए,तार $PQ$ पर कार्य करने वाला बल $PQ$ के लंबवत और बाईं ओर होता है।