Force on a Current Carrying Conductor Questions in Hindi

(C) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
तारों की लंबाई $L = 10 \; cm = 0.1 \; m$
धारा $I_1 = I_2 = 5 \; A$
बल $F = 10^{-5} \; N$
$L$ लंबाई के तार पर लगने वाला कुल बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi d}$ है।
मान रखने पर:
$10^{-5} = \frac{(2 \times 10^{-7}) \times 5 \times 5 \times 0.1}{d}$
$d = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 0.1}{10^{-5}}$
$d = \frac{50 \times 10^{-8}}{10^{-5}} = 50 \times 10^{-3} \; m$
$d = 0.05 \; m = 5 \; cm$.

(C) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर बल का सूत्र इस प्रकार है:
$F/L = \frac{\mu_{0} i_{1} i_{2}}{2 \pi d}$
दिया गया है:
$F/L = 2 \times 10^{-6} \, N/m$
$d = 0.20 \, m$
$i_{1} = i_{2} = x \, A$
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$2 \times 10^{-6} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times x^2}{2 \pi \times 0.2}$
समीकरण को सरल करने पर:
$2 \times 10^{-6} = \frac{2 \times 10^{-7} \times x^2}{0.2}$
$2 \times 10^{-6} = 10^{-6} \times x^2$
$x^2 = 2$
$x = \sqrt{2} \approx 1.414 \, A$
अतः,$x$ का मान लगभग $1.4 \, A$ है।

(C) विद्युत धारा ले जाने वाले चालक पर चुंबकीय बल $F = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ खंड की सदिश लंबाई है।
खंड $CD$ के लिए,लंबाई $L = 5 cm = 0.05 m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ एकसमान है और क्षैतिज दिशा में है। खंड $CD$ क्षैतिज के साथ $60^\circ$ का कोण बनाता है (क्योंकि $\triangle BCD$ एक समबाहु त्रिभुज है)।
चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत लंबाई का घटक $L_{\perp} = L \sin(60^\circ)$ है।
$L_{\perp} = 0.05 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.05 \times 0.866 = 0.0433 m$.
चुंबकीय बल $F = B I L_{\perp} = 0.5 \times 10 \times 0.0433 = 0.2165 N$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,बल $0.216 N$ है।

(A) छड़ पर कार्य करने वाले बल इसका भार $(mg)$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है, अभिलंब बल $(N)$ जो नत समतल के लंबवत है, और चुंबकीय बल $(F_m = ILB)$ जो क्षैतिज दिशा में कार्य करता है (क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ ऊर्ध्वाधर है और धारा $I$ क्षैतिज है)।
छड़ को स्थिर रखने के लिए, नत समतल की दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल का घटक और चुंबकीय बल का घटक समान होना चाहिए।
नत समतल की दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin 45^{\circ}$ है।
चुंबकीय बल $F_m = ILB$ क्षैतिज रूप से कार्य करता है। नत समतल की दिशा में इसका घटक $F_m \cos 45^{\circ} = ILB \cos 45^{\circ}$ है।
संतुलन के लिए इन दोनों घटकों को बराबर करने पर:
$mg \sin 45^{\circ} = ILB \cos 45^{\circ}$
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$, हम समीकरण को सरल बना सकते हैं:
$mg = ILB$
रैखिक घनत्व $\lambda = \frac{m}{L} = 0.45\,kg/m$, $g = 10\,m/s^2$, और $B = 0.15\,T$ दिया गया है:
$I = \frac{mg}{LB} = \left(\frac{m}{L}\right) \frac{g}{B}$
मान रखने पर:
$I = \frac{0.45 \times 10}{0.15} = \frac{4.5}{0.15} = 30\,A$
अतः, आवश्यक न्यूनतम धारा $30\,A$ है।

(A) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के बीच,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं,प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I_1 = 2 \; A$,$I_2 = 3 \; A$,$r = 5 \; cm = 0.05 \; m$,और तार $X$ की लंबाई $\ell = 50 \; cm = 0.5 \; m$ है।
तार $X$ पर कुल बल $F = f \times \ell = \frac{\mu_0 I_1 I_2 \ell}{2 \pi r}$ है।
मान रखने पर:
$F = \frac{(4 \pi \times 10^{-7} \; T \cdot m/A) \times (2 \; A) \times (3 \; A) \times (0.5 \; m)}{2 \pi \times (0.05 \; m)}$
$F = \frac{2 \times 10^{-7} \times 6 \times 0.5}{0.05} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.05} = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \; N$.
चूंकि धाराएं एक ही दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षक है,जिसका अर्थ है कि तार $X$ तार $Y$ की ओर खिंचा चला जाएगा।

(C) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच चुंबकीय बल एक तार द्वारा दूसरे तार के स्थान पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र द्वारा निर्धारित होता है।
बायो-सावर्ट नियम और अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,मुक्त स्थान में धारावाही तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उनके बीच रखी गई धातु की प्लेट जैसी गैर-चुंबकीय सामग्री की उपस्थिति से प्रभावित नहीं होता है।
हालांकि यदि चुंबकीय क्षेत्र बदल रहा होता तो धातु की प्लेट में भंवर धाराएं (eddy currents) उत्पन्न हो सकती थीं,लेकिन स्थिर $DC$ धारा की स्थिति में,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं धातु की प्लेट से बिना रुके या महत्वपूर्ण रूप से परिवर्तित हुए गुजरती हैं।
इसलिए,दोनों तारों के बीच चुंबकीय बल $F$ धातु की प्लेट डालने से अपरिवर्तित रहता है।
अतः,$F_A = F_B \neq 0$.

(B) सही विकल्प $B$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ लोरेंत्ज़ बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(\vec{v} \times \vec{B})$।
धारावाही तार में,कुल आवेश शून्य होता है क्योंकि इलेक्ट्रॉनों और प्रोटॉन की संख्या संतुलित होती है। हालाँकि,इलेक्ट्रॉन ड्रिफ्ट गति (गतिमान) में होते हैं।
चुंबकीय क्षेत्र केवल गतिमान आवेशों पर बल लगाता है,स्थिर आवेशों पर नहीं। इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र तार के भीतर गतिमान इलेक्ट्रॉनों पर बल लगाता है,जिसके परिणामस्वरूप तार पर कुल बल कार्य करता है।

(C) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
प्रत्येक भुजा की लंबाई $L = 100 \,cm = 1 \,m$
धारा $I = 2 \,A$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 2.0 \,T$
प्रत्येक भुजा पर बल का परिमाण $F = I L B \sin(\theta)$ है।
चूंकि तार कागज के तल में है और चुंबकीय क्षेत्र तल के लंबवत है,इसलिए लंबाई सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
अतः,$F = 2 \,A \times 1 \,m \times 2.0 \,T \times \sin(90^\circ) = 4 \,N$.
फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,प्रत्येक भुजा पर बल की दिशा भुजा के लंबवत और त्रिभुज के केंद्र की ओर होती है।

(C) एक छोटे धारा अवयव $d\vec{l}$ पर चुंबकीय बल $d\vec{F} = i(d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
एक समान चुंबकीय क्षेत्र में एक बंद लूप पर कुल बल ऐसे सभी छोटे बल अवयवों का सदिश योग होता है: $\vec{F}_{net} = \oint i(d\vec{l} \times \vec{B})$.
चूंकि $i$ और $\vec{B}$ स्थिर हैं,हम लिख सकते हैं कि $\vec{F}_{net} = i(\oint d\vec{l}) \times \vec{B}$.
किसी भी बंद लूप के लिए,सभी लंबाई अवयवों का सदिश योग $\oint d\vec{l}$ शून्य सदिश $\vec{0}$ के बराबर होता है।
इसलिए,$\vec{F}_{net} = i(\vec{0}) \times \vec{B} = 0$.
अतः,लूप पर कार्य करने वाला कुल चुंबकीय बल शून्य है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = i(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का प्रभावी लंबाई सदिश है।
तार $ABC$ के लिए,प्रभावी लंबाई $A$ से $C$ तक की सीधी दूरी है। त्रिभुज की ज्यामिति से,$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \, cm = 0.03 \, m$ है।
बल का परिमाण $F = i L_{eff} B \sin \theta$ है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र तार के तल के लंबवत है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ होगा।
$F = 2 \times 0.03 \times 2 \times \sin 90^{\circ} = 0.12 \, N$ है।
तार का द्रव्यमान $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$ है।
त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{0.12}{0.01} = 12 \, m \, s^{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में किसी भी धारावाही तार के खंड पर चुंबकीय बल $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}$ खंड के शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
अर्धवृत्ताकार भाग $ADC$ के लिए,शुरुआती बिंदु $A$ है और अंतिम बिंदु $C$ है।
$A$ और $C$ के बीच की सीधी रेखा की दूरी (विस्थापन) अर्धवृत्त का व्यास है,जो $L = 2R$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ एकसमान है और लूप के तल के लंबवत है,इसलिए बल का परिमाण $F = iLB_0$ है।
$L = 2R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $F = i(2R)B_0 = 2iRB_0$ प्राप्त होता है।
अतः,अर्धवृत्ताकार भाग पर बल का परिमाण $2iRB_0$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \left(1 + \frac{x}{l}\right) \hat{k}$ है।
$l$ भुजा की लंबाई वाले वर्गाकार लूप के लिए जिसे $x-y$ तल में एक कोने को मूल बिंदु पर रखकर रखा गया है,ऊर्ध्वाधर खंड $x = 0$ और $x = l$ पर स्थित हैं।
धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = i(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$x = 0$ पर,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = B_0 \hat{k}$ है। $l$ लंबाई के ऊर्ध्वाधर खंड पर बल (जिसमें $+y$ दिशा में धारा प्रवाहित हो रही है) $\vec{F}_1 = i(l \hat{j} \times B_0 \hat{k}) = i l B_0 \hat{i}$ है।
$x = l$ पर,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_2 = B_0 \left(1 + \frac{l}{l}\right) \hat{k} = 2 B_0 \hat{k}$ है। $l$ लंबाई के ऊर्ध्वाधर खंड पर बल (जिसमें $-y$ दिशा में धारा प्रवाहित हो रही है) $\vec{F}_2 = i(-l \hat{j} \times 2 B_0 \hat{k}) = -2 i l B_0 \hat{i}$ है।
क्षैतिज खंडों पर $y$-दिशा में बल लगते हैं जो समरूपता के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = i l B_0 \hat{i} - 2 i l B_0 \hat{i} = -i l B_0 \hat{i}$ है।
कुल बल का परिमाण $|\vec{F}_{net}| = i B_0 l$ है।

(A) पृथक उत्तरी ध्रुव द्वारा वृत्ताकार लूप पर किसी भी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ केंद्र से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है।
विद्युत धारा $i$ लूप की परिधि के अनुदिश बहती है। तार के किसी भी छोटे खंड $dl$ के लिए,चुंबकीय बल $dF$ को $dF = i(dl \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ त्रिज्यीय है और धारा खंड $dl$ वृत्त के स्पर्शरेखीय है,इसलिए प्रत्येक बिंदु पर $dl$ और $B$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
इस प्रकार,एक छोटे खंड पर बल का परिमाण $dF = i dl B \sin(90^\circ) = i B dl$ है।
फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम के अनुसार,इस बल की दिशा लूप के तल के लंबवत होती है (धारा की दिशा के आधार पर तल के अंदर या बाहर की ओर)।
चूंकि प्रत्येक खंड पर बल एक ही दिशा (तल के लंबवत) में निर्देशित होता है,इसलिए कुल बल $F$ पूरी परिधि पर $dF$ का समाकलन है:
$F = \int dF = \int i B dl = i B \int dl = i B (2 \pi a) = 2 \pi a i B$.
अतः,कुल बल $2 \pi a i B$ है जो तार के तल के लंबवत है।

(A) कथन सत्य है। जब अनियमित लूप से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है,तो एक-दूसरे के निकट स्थित तार के खंडों में धारा विपरीत दिशाओं में बहती है। चुंबकीय बल के नियम के अनुसार,विपरीत दिशाओं में धारा प्रवाहित करने वाले दो समानांतर तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। यह प्रतिकर्षण बल अनियमित लूप के सभी भागों पर कार्य करता है,जो तार के खंडों को बाहर की ओर धकेलता है ताकि घिरा हुआ क्षेत्रफल अधिकतम हो जाए और अंततः यह एक वृत्ताकार आकार लेने की प्रवृत्ति रखता है।
कारण भी सत्य है। यह विद्युत चुंबकत्व का एक मूलभूत सिद्धांत है कि विपरीत दिशाओं में समानांतर धाराएं एक-दूसरे पर प्रतिकर्षण बल लगाती हैं।
चूंकि तार के खंडों के बीच प्रतिकर्षण बल घिरे हुए क्षेत्रफल में वृद्धि का सीधा कारण है,इसलिए कारण,कथन की सही व्याख्या है। अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(A) $i_1$ और $i_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित $L$ लंबाई के दो समानांतर तारों के बीच चुंबकीय बल $F = \frac{\mu_0 i_1 i_2 L}{2 \pi d}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $F_1 = \frac{\mu_0 (10)(10) L}{2 \pi (5)}$.
दूसरी स्थिति के लिए: $i_1' = 20\,A$,$i_2' = 20\,A$,$d' = 2.5\,cm$,और $L$ का मान $10\,cm$ ही रहता है।
$F_2 = \frac{\mu_0 (20)(20) L}{2 \pi (2.5)}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{(20 \times 20) / 2.5}{(10 \times 10) / 5} = \frac{400 / 2.5}{100 / 5} = \frac{160}{20} = 8$.
अतः,$F_2 = 8 F_1$ होगा।

(C) धारावाही चालक पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,या परिमाण में,$F = ILB \sin \theta$,जहाँ $\theta$ लंबाई सदिश $\vec{L}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
$5\,cm$ भुजा के लिए,लंबाई $L = 5 \times 10^{-2}\,m$ है। चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.75\,T = \frac{3}{4}\,T$ है।
समकोण त्रिभुज की ज्यामिति से,$5\,cm$ भुजा और $13\,cm$ भुजा (जो $\vec{B}$ के समानांतर है) के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{5}{13}$ और $\sin \theta = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को बल के सूत्र में रखने पर:
$F = (2\,A) \times (5 \times 10^{-2}\,m) \times (0.75\,T) \times \sin \theta$
$F = 2 \times 0.05 \times 0.75 \times \frac{12}{13}$
$F = 0.1 \times 0.75 \times \frac{12}{13} = 0.075 \times \frac{12}{13} = \frac{3}{40} \times \frac{12}{13} = \frac{3 \times 3}{10 \times 13} = \frac{9}{130}\,N$.
इसकी तुलना $\frac{x}{130}\,N$ से करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र के भीतर लूप की भुजा पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_m$ द्रव्यमान के भार $mg$ को संतुलित करना चाहिए।
$F_m = mg$
चूंकि $F_m = ILB$,इसलिए $ILB = mg$ होता है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R}$,तो समीकरण $\left(\frac{V}{R}\right)LB = mg$ बन जाता है।
$V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V = \frac{mgR}{LB}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान:
$m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$
$g = 10\,m/s^2$
$R = 10\,\Omega$
$L = 10\,cm = 0.1\,m$
$B = 10^3\,G = 10^3 \times 10^{-4}\,T = 0.1\,T$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{(10^{-3}\,kg)(10\,m/s^2)(10\,\Omega)}{(0.1\,m)(0.1\,T)} = \frac{10^{-1}}{10^{-2}} = 10\,V$.

(B) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $f$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$
इस आयताकार लूप में,धारा $I$ दोनों तारों $PQ$ और $RS$ से होकर बहती है। इसलिए,$I_1 = I_2 = I$ (या दूसरी स्थिति में $2I$)।
अतः,प्रति इकाई लंबाई बल धारा के वर्ग के समानुपाती होता है: $f \propto I^2$।
पहली स्थिति में धारा $I$ के लिए,$f_{PQ}^{I} \propto I^2$।
दूसरी स्थिति में धारा $2I$ के लिए,$f_{PQ}^{2I} \propto (2I)^2 = 4I^2$।
अनुपात लेने पर:
$\frac{f_{PQ}^{I}}{f_{PQ}^{2I}} = \frac{I^2}{4I^2} = \frac{1}{4}$।
इसलिए,अनुपात $1: 4$ है।

(C) दो समानांतर धारावाही चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर बल का सूत्र है:
$\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$
दिया गया है:
$i_1 = 5 \text{ A}$
$i_2 = 10 \text{ A}$
$r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
मान रखने पर:
$\frac{F}{\ell} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10}{2\pi \times 0.1}$
$\frac{F}{\ell} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 50}{0.1} = \frac{100 \times 10^{-7}}{0.1} = 1000 \times 10^{-7} = 10^{-4} \text{ N/m}$
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए चालकों के बीच का बल आकर्षक (attractive) है।

(B) दिया गया है:
तार का द्रव्यमान,$m = 40\,g = 40 \times 10^{-3}\,kg$
तार की लंबाई,$\ell = 50\,cm = 50 \times 10^{-2}\,m = 0.5\,m$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.40\,T$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\,ms^{-2}$
सहायक तारों में तनाव को हटाने के लिए,तार पर ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल तार के नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित करना चाहिए।
चुंबकीय बल,$F_m = I\ell B$
तार का भार,$W = mg$
संतुलन के लिए,$F_m = W$
$I\ell B = mg$
मान रखने पर:
$I \times 0.5 \times 0.4 = 40 \times 10^{-3} \times 10$
$I \times 0.2 = 0.4$
$I = \frac{0.4}{0.2} = 2\,A$
अतः,आवश्यक धारा का परिमाण $2\,A$ है।

(D) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = I(\vec{L} \times \overrightarrow{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए इसका लंबाई सदिश $\vec{L} = L\hat{i}$ है।
दिया गया है $\overrightarrow{B} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) \text{ T}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\overrightarrow{F} = I [ (L\hat{i}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}) ]$
$\overrightarrow{F} = IL [ (\hat{i} \times 2\hat{i}) + (\hat{i} \times 3\hat{j}) + (\hat{i} \times -4\hat{k}) ]$
सदिश गुणन नियमों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\overrightarrow{F} = IL [ 0 + 3\hat{k} - 4(-\hat{j}) ]$
$\overrightarrow{F} = IL (4\hat{j} + 3\hat{k})$.
बल का परिमाण $|\overrightarrow{F}| = IL \sqrt{4^2 + 3^2} = IL \sqrt{16 + 9} = IL \sqrt{25} = 5IL$.
अतः,बल का परिमाण $5IL$ है।

(C) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = i (\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}_{eff}$ चुंबकीय क्षेत्र के भीतर तार के शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
चित्र से,धारा बाईं ओर से अर्धवृत्ताकार लूप में प्रवेश करती है और दाईं ओर से बाहर निकलती है। अर्धवृत्ताकार भाग के लिए विस्थापन सदिश $\vec{L}_{eff} = 2R \hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \hat{k}$ है।
इसलिए,$\vec{F} = i (2R \hat{i} \times B_0 \hat{k})$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,हमें $\vec{F} = i (2R B_0) (-\hat{j}) = -2 i B_0 R \hat{j}$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 0.2(1 + 2x) \hat{k} \text{ T}$ है। लूप एक वर्ग है जिसकी भुजा की लंबाई $L = 0.5 \text{ m}$ है। लूप $x = 2 \text{ m}$ से $x = 2.5 \text{ m}$ और $y = 2 \text{ m}$ से $y = 2.5 \text{ m}$ के बीच स्थित है।
$x$-अक्ष के समानांतर खंडों पर बल समान और विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$y$-अक्ष के समानांतर खंडों के लिए,बल $\vec{F} = I \int (d\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$x = 2 \text{ m}$ पर,धारा ऋणात्मक $y$-दिशा में बहती है: $\vec{F}_1 = I L \hat{j} \times \vec{B}(x=2) = 0.5 \times 0.5 \times [0.2(1 + 2(2))] \hat{j} \times \hat{k} = 0.25 \times 1 \hat{i} = 0.25 \text{ N}$ ($+x$ दिशा में)।
$x = 2.5 \text{ m}$ पर,धारा धनात्मक $y$-दिशा में बहती है: $\vec{F}_2 = I L (-\hat{j}) \times \vec{B}(x=2.5) = 0.5 \times 0.5 \times [0.2(1 + 2(2.5))] (-\hat{j}) \times \hat{k} = 0.25 \times 1.2 (-\hat{i}) = -0.30 \text{ N}$ ($-x$ दिशा में)।
कुल बल $F_{\text{net}} = |F_1 - F_2| = |0.25 - 0.30| = 0.05 \text{ N} = 50 \text{ mN}$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho \ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ $R = 1 \, \Omega$, $\rho = 2 \times 10^{-6} \, \Omega m$, और $A = 10 \, mm^2 = 10^{-5} \, m^2$ दिया गया है。
इन मानों को रखने पर: $1 = \frac{2 \times 10^{-6} \times \ell}{10^{-5}} \Rightarrow 1 = 0.2 \times \ell \Rightarrow \ell = 5 \, m$.
तार को हवा में लटकाए रखने के लिए, चुंबकीय बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $F_m = F_g$.
$Bi\ell = mg$.
यहाँ $i = 2 \, A$, $m = 0.5 \, kg$, $g = 10 \, m/s^2$, और $\ell = 5 \, m$ है。
$B \times 2 \times 5 = 0.5 \times 10$.
$10B = 5$.
$B = 0.5 \, T = 5 \times 10^{-1} \, T$.
अतः, $B$ का परिमाण $5$ है。

(B) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0(1+4x) \hat{k}$ द्वारा दिया गया है।
$x=0$ पर स्थित ऊर्ध्वाधर तार के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B(0) = B_0(1+4(0)) = B_0 = 5 \ T$ है।
इस तार पर बल $F_1 = i \ell B(0) = 2 \times 2 \times 5 = 20 \ N$ ($+x$ दिशा में) है।
$x=2$ पर स्थित ऊर्ध्वाधर तार के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B(2) = B_0(1+4(2)) = 9B_0 = 9 \times 5 = 45 \ T$ है।
इस तार पर बल $F_2 = i \ell B(2) = 2 \times 2 \times 45 = 180 \ N$ ($-x$ दिशा में) है।
क्षैतिज तारों पर लगने वाले बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल बल $F_{net} = F_2 - F_1 = 180 - 20 = 160 \ N$ है।

(C) तार के $dl = R d\theta$ लंबाई के एक छोटे अवयव पर विचार करें जो वृत्ताकार चाप के केंद्र पर $d\theta$ कोण बनाता है।
इस अवयव पर चुंबकीय बल $dF = I (dl) B = I (R d\theta) B$ है,जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करता है।
तार में तनाव $T$ इस अवयव के दोनों सिरों पर कार्य करता है। छोटे $d\theta$ के लिए तनाव के कारण शुद्ध त्रिज्यीय बल $2 T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx T d\theta$ है।
त्रिज्यीय चुंबकीय बल को तनाव के त्रिज्यीय घटक के बराबर करने पर:
$T d\theta = I B R d\theta$
$T = I B R$
चूंकि तार की कुल लंबाई $L$ है,और यह मानते हुए कि यह एक पूर्ण वृत्त बनाता है,$L = 2 \pi R$,इसलिए $R = \frac{L}{2 \pi}$।
$R$ का मान तनाव समीकरण में रखने पर:
$T = I B (\frac{L}{2 \pi}) = \frac{IBL}{2 \pi}$

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{L}_{eff} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{eff}$ चालक के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
ज्यामिति को देखने पर,चालक एक बिंदु से शुरू होता है और $x$-अक्ष पर कुल क्षैतिज दूरी $L + R + R + L = 2(L+R)$ पर समाप्त होता है।
अतः,$\vec{L}_{eff} = 2(L+R)\hat{i}$.
इसलिए,$\vec{F} = I(2(L+R)\hat{i} \times \vec{B}) = 2I(L+R)(\hat{i} \times \vec{B})$.
$(A)$ यदि $\vec{B} = B\hat{z}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{z}) = -2I(L+R)B\hat{j}$. परिमाण $F = 2I(L+R)B$,इसलिए $F \propto (L+R)$. यह सही है।
$(B)$ यदि $\vec{B} = B\hat{x}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{x}) = 0$. यह सही है।
$(C)$ यदि $\vec{B} = B\hat{y}$ है,तो $\vec{F} = 2I(L+R)B(\hat{i} \times \hat{y}) = 2I(L+R)B\hat{z}$. परिमाण $F = 2I(L+R)B$,इसलिए $F \propto (L+R)$. यह सही है।
$(D)$ यदि $\vec{B} = B\hat{z}$ है,तो $F \neq 0$. यह गलत है।
अतः,सही कथन $(A), (B),$ और $(C)$ हैं।

(B) धारावाही तार पर चुंबकीय बल $F$ का सूत्र $F = I \ell B \sin(\theta)$ है।
दिया गया है:
धारा $I = 8 \ A$
लंबाई $\ell = 4.0 \ cm = 0.04 \ m$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.15 \ T$
कोण $\theta = 90^{\circ}$ (चूंकि तार चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है),इसलिए $\sin(90^{\circ}) = 1$ है।
मान रखने पर:
$F = 8 \times 0.04 \times 0.15 \times 1$
$F = 0.32 \times 0.15 = 0.048 \ N$
$mN$ में बदलने के लिए,$1000$ से गुणा करें:
$F = 0.048 \times 1000 \ mN = 48 \ mN$.

(B) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $P$ में $2 \ A$,तार $Q$ में $4 \ A$ और तार $R$ में $6 \ A$ धारा है। $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $1 \ m$ है और $Q$ और $R$ के बीच की दूरी $1 \ m$ है।
चूंकि सभी धाराएं एक ही दिशा में हैं,तार $P$ तार $Q$ को बाईं ओर आकर्षित करता है और तार $R$ तार $Q$ को दाईं ओर आकर्षित करता है।
$P$ के कारण $Q$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f_{QP} = \frac{\mu_0 (4)(2)}{2 \pi (1)} = \frac{8 \mu_0}{2 \pi}$ है।
$R$ के कारण $Q$ पर प्रति इकाई लंबाई बल $f_{QR} = \frac{\mu_0 (4)(6)}{2 \pi (1)} = \frac{24 \mu_0}{2 \pi}$ है।
$Q$ पर कुल बल $f_{\text{net}} = f_{QR} - f_{QP} = \frac{\mu_0}{2 \pi} (24 - 8) = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi} \times 16 = 2 \times 10^{-7} \times 16 = 32 \times 10^{-7} \ N/m$ है।

(A) तार को हवा में संतुलित करने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
धारावाही तार पर चुंबकीय बल $F_m = BI\ell$ द्वारा दिया जाता है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = mg$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $BI\ell = mg$।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{mg}{I\ell} = \left(\frac{m}{\ell}\right) \frac{g}{I}$।
दिया गया रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \frac{m}{\ell} = 45 \ g/m = 45 \times 10^{-3} \ kg/m$,धारा $I = 30 \ A$,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर:
$B = (45 \times 10^{-3}) \times \frac{10}{30} = 45 \times 10^{-3} \times \frac{1}{3} = 15 \times 10^{-3} \ T$।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही तार पर लगने वाला बल $\vec{F} = i(\vec{L}_{\text{eff}} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{L}_{\text{eff}}$ तार के प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
दी गई आकृति से,तार $x = -\ell$ से शुरू होता है और $y = 6 \ m$ की ऊँचाई पर $x = +\ell$ पर समाप्त होता है।
समीकरण $x^2 = 6y$ का उपयोग करते हुए,$y = 6 \ m$ पर,हमें $x^2 = 6(6) = 36$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \pm 6 \ m$ है।
अतः,प्रभावी लंबाई सदिश $\vec{L}_{\text{eff}} = (6 - (-6)) \hat{i} = 12 \hat{i} \ m$ है।
धारा $i = 2 \ A$ है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 2 \times 10^{-3} \hat{k} \ T$ है।
इन मानों को बल के सूत्र में रखने पर:
$\vec{F} = 2 \times (12 \hat{i} \times 2 \times 10^{-3} \hat{k})$
$\vec{F} = 48 \times 10^{-3} (\hat{i} \times \hat{k})$
चूँकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{F} = 48 \times 10^{-3} (-\hat{j}) = -0.048 \hat{j} \ N$.
इसे निकटतम मान में पूर्णांकित करने पर,हमें $\vec{F} \simeq -0.05 \hat{j} \ N$ प्राप्त होता है।

(D) $SR$ और $PQ$ खंडों पर लगने वाले बल परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत हैं,इसलिए उनका नेट बल शून्य है।
$I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर चालकों के बीच बल:
$F = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2 \ell}{r} = 2 \times 10^{-7} \frac{I_1 I_2 \ell}{r}$
यहाँ,$I_1 = 20 \text{ A}$,$I_2 = 20 \text{ A}$,और $\ell = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}$ है।
$PS$ खंड के लिए,$r_1 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ है। यह बल आकर्षण का है:
$F_{PS} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.02} = 6 \times 10^{-4} \text{ N}$.
$QR$ खंड के लिए,$r_2 = 2 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ है। यह बल प्रतिकर्षण का है:
$F_{QR} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20 \times 20 \times 0.15}{0.12} = 1 \times 10^{-4} \text{ N}$.
परिणामी बल $F_{net} = F_{PS} - F_{QR} = 6 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-4} \text{ N}$ है।
अतः,मान $5$ है।

(A) दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल का सूत्र है:
$F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi d} = 2 \times 10^{-3} \ N/m$
जब धाराओं को दोगुना ($i_1' = 2i_1$ और $i_2' = 2i_2$) और दूरी को आधा $(d' = d/2)$ किया जाता है,तो नया प्रति इकाई लंबाई बल $F'$ होगा:
$F' = \frac{\mu_0 (2i_1)(2i_2)}{2 \pi (d/2)}$
$F' = \frac{4 \mu_0 i_1 i_2}{2 \pi (d/2)} = 8 \times \left( \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi d} \right)$
प्रारंभिक बल का मान रखने पर:
$F' = 8 \times (2 \times 10^{-3} \ N/m) = 16 \times 10^{-3} \ N/m$
अतः,नया प्रति इकाई लंबाई बल $16 \times 10^{-3} \ N/m$ है।

(C) बाह्य एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}_{ext}$ में स्थित $\overrightarrow{L}$ लंबाई के धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F}_{m}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F}_{m} = I(\overrightarrow{L} \times \overrightarrow{B}_{ext})$.
यहाँ,$I$ तार में प्रवाहित धारा है,$\overrightarrow{L}$ तार के दोनों सिरों के बीच की सीधी दूरी को दर्शाने वाला सदिश है,और $\overrightarrow{B}_{ext}$ बाह्य चुंबकीय क्षेत्र है।
चूंकि बल $I$,$\overrightarrow{L}$,और $\overrightarrow{B}_{ext}$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह कारकों $(a)$,$(b)$,और $(c)$ पर निर्भर करता है।
यह तार के द्रव्यमान $(d)$ पर निर्भर नहीं करता है।

(C) $I_1$ और $I_2$ धारा वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच बल $F = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{r} \cdot l$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक बल $F = 1 \times 10^{-3} \ N$ दिया गया है।
जब दोनों तारों में धारा दोगुनी कर दी जाती है,तो नई धाराएँ $I_1' = 2I_1$ और $I_2' = 2I_2$ हो जाती हैं।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2(2I_1)(2I_2)}{r} \cdot l = 4 \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2 I_1 I_2}{r} \cdot l \right)$.
प्रारंभिक बल का मान रखने पर: $F' = 4 \times (1 \times 10^{-3} \ N) = 4 \times 10^{-3} \ N$.

(C) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ लंबाई के लिए,बल $F = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi d}$ है।
नई स्थिति में,दूरी $d' = \frac{d}{2}$ और धाराएं $I' = 2I$ हैं।
नया बल $F_2 = \frac{\mu_0 (2I)(2I) L}{2 \pi (d/2)}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है $F_2 = \frac{\mu_0 (4I^2) L}{2 \pi (d/2)} = 8 \times \left( \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi d} \right)$.
अतः,$F_2 = 8F$.

(A) दो लंबे समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ है।
दूरी को $3d$ करने के बाद,नया बल $F'$ का मान $2/3 F$ (प्रतिकर्षण) पाया जाता है।
चूंकि मूल बल आकर्षण बल था (समान दिशा की धाराएं),इसलिए प्रतिकर्षण बल का अर्थ है कि एक धारा की दिशा को उलट दिया जाना चाहिए।
मान लीजिए नई धाराएं $I_1$ और $I_2'$ हैं। तब $F' = \frac{\mu_0 I_1 I_2'}{2 \pi (3d)} = \frac{2}{3} F$ होगा।
$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\mu_0 I_1 I_2'}{6 \pi d} = \frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$\frac{I_2'}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{I_2}{2} = \frac{I_2}{3}$ मिलता है।
अतः,$I_2' = I_2$ है। परिमाण समान रहता है,लेकिन दिशा उलट दी जाती है।

(D) धारावाही तार पर चुंबकीय बल का सूत्र $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ है।
यहाँ,तार $x$-अक्ष पर है,इसलिए लंबाई सदिश $\vec{L} = L\hat{i}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ है।
इन मानों को बल के समीकरण में रखने पर:
$\vec{F} = I(L\hat{i}) \times B_0(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$
$\vec{F} = ILB_0 [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) - (\hat{i} \times \hat{k})]$
सदिश गुणन के नियमों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$):
$\vec{F} = ILB_0 [0 - \hat{k} - (-\hat{j})]$
$\vec{F} = ILB_0 (\hat{j} - \hat{k})$
बल का परिमाण $|\vec{F}| = ILB_0 \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = ILB_0 \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ILB_0$ है।

(D) सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r}$ है।
भुजा $AB$ के लिए (दूरी $r_1 = L/3$),बल $F_{AB} = I_1 L B_1 = I_1 L \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (L/3)} \right) = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{2 \pi}$ (आकर्षक,तार की ओर)।
भुजा $CD$ के लिए (दूरी $r_2 = L/3 + L = 4L/3$),बल $F_{CD} = I_1 L B_2 = I_1 L \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (4L/3)} \right) = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi}$ (प्रतिकर्षी,तार से दूर)।
भुजाएँ $BC$ और $AD$ तार के लंबवत हैं,और उन पर लगने वाले बल समरूपता के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल बल $F_{net} = F_{AB} - F_{CD} = \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{2 \pi} - \frac{3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi} = \frac{12 \mu_0 I_1 I_2 - 3 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi} = \frac{9 \mu_0 I_1 I_2}{8 \pi}$.

(A) तार $C$ पर कोई नेट बल कार्य न करे,इसके लिए तार $D$ द्वारा लगाया गया चुंबकीय बल और तार $B$ द्वारा लगाया गया चुंबकीय बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
माना कि तार $C$ की तार $D$ से दूरी $x$ है। तब तार $C$ की तार $B$ से दूरी $(15 - x) \text{ cm}$ होगी।
दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल,जिनमें $i_1$ और $i_2$ धारा प्रवाहित हो रही है और जो $r$ दूरी पर स्थित हैं,$F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $C$ पर लगने वाले बलों को बराबर करने पर:
$F_{CD} = F_{CB}$
$\frac{\mu_0 i_C i_D}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 i_C i_B}{2 \pi (15 - x)}$
$\frac{i_D}{x} = \frac{i_B}{15 - x}$
दिए गए मान $i_D = 15 \text{ A}$ और $i_B = 10 \text{ A}$ रखने पर:
$\frac{15}{x} = \frac{10}{15 - x}$
$15(15 - x) = 10x$
$225 - 15x = 10x$
$25x = 225$
$x = 9 \text{ cm}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में स्थित $L$ लंबाई की लूप की भुजा पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = BIL$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ लूप में प्रवाहित धारा है।
चुंबकीय बल द्वारा द्रव्यमान $M$ के भार को संतुलित करने के लिए,हमारे पास $F = Mg$ होना चाहिए।
इसलिए,$BIL = Mg$।
ओम के नियम के अनुसार,लूप में धारा $I = \frac{V}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ अनुप्रयुक्त वोल्टेज है और $R$ लूप का प्रतिरोध है।
बल समीकरण में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B \left( \frac{V}{R} \right) L = Mg$ प्राप्त होता है।
$V$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $V = \frac{MgR}{BL}$ प्राप्त होता है।

(D) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I_1 I_2}{r}$
यहाँ,$I_1 = I_2 = I$ और दूरी $r = b$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I \cdot I}{b} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I^2}{b}$
अतः,प्रति इकाई लंबाई पर बल $\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I^2}{b}$ है।

(A) $I_1$ और $I_2$ धारा वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
समान दिशा में बहने वाली धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं,जबकि विपरीत दिशा में बहने वाली धाराएं एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।
तार $A$ में $1 \text{ A}$ नीचे की ओर,तार $B$ में $2 \text{ A}$ नीचे की ओर और तार $C$ में $3 \text{ A}$ ऊपर की ओर धारा बह रही है।
$A$ के कारण $B$ पर बल $(F_{BA})$: चूंकि $A$ और $B$ में धारा समान दिशा में है,इसलिए वे आकर्षित करते हैं। अतः,$F_{BA}$,$A$ की ओर निर्देशित है।
इसका परिमाण $F_{BA} \propto (1 \text{ A} \times 2 \text{ A}) = 2$ है।
$C$ के कारण $B$ पर बल $(F_{BC})$: चूंकि $B$ और $C$ में धारा विपरीत दिशा में है,इसलिए वे प्रतिकर्षित करते हैं। अतः,$F_{BC}$,$C$ से दूर यानी $A$ की ओर निर्देशित है।
इसका परिमाण $F_{BC} \propto (2 \text{ A} \times 3 \text{ A}) = 6$ है।
चूंकि दोनों बल $F_{BA}$ और $F_{BC}$ $A$ की ओर निर्देशित हैं,इसलिए परिणामी बल $A$ की दिशा में होगा।

(D) दिया गया है: शक्ति $P = 1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$,वोल्टेज $V = 100 \text{ V}$,दूरी $a = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
सबसे पहले,$P = VI$ का उपयोग करके तारों में बहने वाली धारा $I$ ज्ञात करें:
$I = \frac{P}{V} = \frac{1000}{100} = 10 \text{ A}$.
दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi a}$.
मान रखने पर:
$f = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (10)^2}{2\pi \times (2 \times 10^{-3})}$.
$f = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{4\pi \times 10^{-3}}$.
$f = 10^{-7} \times 10^2 \times 10^3 = 10^{-2} \text{ N/m}$.
अतः,प्रति मीटर बल $10^{-2} \text{ N}$ है।

(C) दो समानांतर लंबे चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
प्रारंभ में,बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ है।
जब एक चालक में धारा को दोगुना $(I_1' = 2I_1)$ किया जाता है और उसकी दिशा उलट दी जाती है,तो नई धारा $-2I_1$ हो जाती है। दूरी को बढ़ाकर $d' = 3d$ कर दिया जाता है।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = \frac{\mu_0 (-2I_1) I_2}{2 \pi (3d)}$.
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $F' = -\frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$.
प्रारंभिक बल $F$ का मान रखने पर,हमें मिलता है: $F' = -\frac{2F}{3}$.

(B) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $A$ और $B$ के लिए: दोनों समान दिशा में $I$ धारा प्रवाहित करते हैं। $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_1$ आकर्षण बल है,जिसका परिमाण $F_1 = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ है।
तार $A$ और $C$ के लिए: तार $A$ में $I$ धारा ऊपर की ओर और तार $C$ में $2I$ धारा नीचे की ओर प्रवाहित होती है। चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए $C$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_2$ प्रतिकर्षण बल है,जिसका परिमाण $F_2 = \frac{\mu_0 I (2I)}{2 \pi (2d)} = \frac{\mu_0 I^2}{2 \pi d}$ है।
चूंकि बल $F_1$ और $F_2$ के परिमाण समान हैं लेकिन वे विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए $F_1 = -F_2$ है।

(B) दूरी पर स्थित $I_1$ और $I_2$ धारा वाले दो लंबे समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $f = \frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
प्रारंभ में,बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई धारा $I_1' = 3 I_1$,नई दूरी $d' = 2 d$ है और धारा $I_2$ समान रहती है (दिशा बदलने से बल की प्रकृति बदलती है,परिमाण नहीं)।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = \frac{\mu_0 (3 I_1) I_2 l}{2 \pi (2 d)}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर: $F' = \frac{3}{2} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d} \right)$.
प्रारंभिक बल $F$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $F' = \frac{3}{2} F$.

(C) दो लंबे समानांतर धारावाही चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r$ चालकों के बीच की दूरी है और $I_1$ तथा $I_2$ चालकों में प्रवाहित धारा है।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,जब दो समानांतर तारों में समान दिशा में धारा प्रवाहित होती है,तो वे एक-दूसरे पर आकर्षण बल लगाते हैं।
दिया गया है कि $I_1 = I_2 = I$,इसलिए प्रति इकाई लंबाई पर बल का परिमाण $F = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$ है।
अतः,तार एक-दूसरे को प्रति इकाई लंबाई $\frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$ बल से आकर्षित करेंगे।