Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Gujarati

(A) ધારો કે સૂક્ષ્મ ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક સૂક્ષ્મ ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. સૂક્ષ્મ ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$q = 4\pi \epsilon_0 r V$.
જ્યારે $N$ સૂક્ષ્મ ટીપાંઓ ભેગા મળીને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = N \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જે આપણને $R = N^{1/3}r$ આપે છે.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Nq = N(4\pi \epsilon_0 r V)$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V_{large} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Nq}{N^{1/3}r} = N^{2/3} \left( \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r} \right) = N^{2/3}V$ થાય છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના બુંદની ત્રિજ્યા $r$ અને તેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના બુંદનું કેપેસીટન્સ $C = 4\pi\epsilon_0 r$ છે. દરેક નાના બુંદમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $u = \frac{q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે $n$ બુંદો ભેગા થાય છે, ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ થાય છે. કદના સંરક્ષણ મુજબ $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$, તેથી $R = n^{1/3}r$ મળે.
મોટા બુંદનું કેપેસીટન્સ $C' = 4\pi\epsilon_0 R = n^{1/3}C$ થાય.
મોટા બુંદમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(nq)^2}{2(n^{1/3}C)} = \frac{n^2 q^2}{2n^{1/3}C} = n^{5/3} \left(\frac{q^2}{2C}\right) = n^{5/3} u$ થાય.
તેથી, મોટા બુંદની ઊર્જા અને નાના બુંદની ઊર્જાનો ગુણોત્તર $U/u = n^{5/3} : 1$ છે.

(B) $1$. પરિપથનું વિશ્લેષણ કરો: આ પરિપથમાં વ્હીસ્ટન બ્રીજ જેવી રચના છે. $2 \ \mu F$,$5 \ \mu F$ અને $2 \ \mu F$ ના કેપેસિટર્સ એક સંતુલિત વ્હીસ્ટન બ્રીજ બનાવે છે,જેમાં $5 \ \mu F$ નો કેપેસિટર વચ્ચે છે.
$2$. બ્રીજનું સરળીકરણ: આ એક સંતુલિત બ્રીજ હોવાથી,વચ્ચેના $5 \ \mu F$ ના કેપેસિટરને દૂર કરી શકાય છે. બાકીની શાખાઓ શ્રેણીમાં છે,જે તે વિભાગ માટે $1 \ \mu F$ નો સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ આપે છે.
$3$. અંતિમ ગણતરી: પરિપથનું સરળીકરણ કરતા તે $2 \ \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં $1 \ \mu F$ ની બે સમાંતર શાખાઓમાં ફેરવાય છે.
$4$. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $C_{eq} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{1+1})^{-1} = (0.5 + 0.5)^{-1} = 1 \ \mu F$.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે. દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ થશે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$
નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{kQ}{R}$ છે.
$Q = nq$ અને $R = n^{1/3} r$ કિંમતો મૂકતા:
$V' = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{1 - 1/3} \left( \frac{kq}{r} \right)$
$V' = n^{2/3} V$.

(D) શરૂઆતનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે અંતર અડધું કરવામાં આવે $(d' = d/2)$,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ થાય છે.
કેપેસીટર પરનો શરૂઆતનો વિદ્યુતભાર $Q_i = CV$ છે.
અંતર અડધું કર્યા પછી,કેપેસીટરને ફરીથી $V$ વોલ્ટની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે.
કેપેસીટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_f = C'V = (2C)V = 2CV$ થાય છે.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવેલ વધારાનો વિદ્યુતભાર $\Delta Q = Q_f - Q_i = 2CV - CV = CV$ છે.
બેટરી દ્વારા અપાતી ઉર્જા $W = \Delta Q \times V = (CV) \times V = CV^2$ છે.

(A) ધારો કે $n$ કેપેસિટરો ($2\ \mu F$ ના) સમાંતર જોડાણમાં છે અને બાકીના $(7-n)$ કેપેસિટરો આ સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = n \times 2\ \mu F = 2n\ \mu F$ થાય.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $(7-n)$ કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{2}{7-n}\ \mu F$ થાય.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $C_p$ અને $C_s$ ના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{2n} + \frac{7-n}{2} = \frac{1 + n(7-n)}{2n} = \frac{1 + 7n - n^2}{2n}$.
આપેલ છે કે $C_{eq} = \frac{10}{11}\ \mu F$,તેથી $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{11}{10}$.
સમીકરણ સરખાવતા: $\frac{11}{10} = \frac{1 + 7n - n^2}{2n}$.
$22n = 10 + 70n - 10n^2 \Rightarrow 10n^2 - 48n + 10 = 0 \Rightarrow 5n^2 - 24n + 5 = 0$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $5n^2 - 25n + n + 5 = 0 \Rightarrow 5n(n-5) + 1(n-5) = 0 \Rightarrow (5n+1)(n-5) = 0$.
આમ,$n=5$. એટલે કે,$5$ કેપેસિટરો સમાંતર છે અને $7-5=2$ કેપેસિટરો સમાંતર બ્લોક સાથે શ્રેણીમાં છે. આ આકૃતિ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $N$ નાના ટીપાં ભેગા મળીને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = N \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનાથી $R = N^{1/3}r$ મળે છે.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Nq$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V_{big} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Nq}{N^{1/3}r}$ છે.
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_{big} = N^{1 - 1/3} V = N^{2/3}V$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપા પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
દરેક નાના ટીપાનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r} = 10\, V$ છે.
જ્યારે $n = 64$ ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3 \implies R = n^{1/3}r = (64)^{1/3}r = 4r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq = 64q$ છે.
મોટા ટીપાનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \times \frac{kq}{r}$.
કિંમતો મૂકતા: $V = (64)^{2/3} \times 10 = (4^3)^{2/3} \times 10 = 4^2 \times 10 = 16 \times 10 = 160\, V$.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથમાં $10 \ V$ ની બેટરી અને $1 \ \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં છે,જે $4 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1 \ \Omega + 4 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \ V}{5 \ \Omega} = 2 \ A$ છે.
વચ્ચેના $4 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_{mid} = I \times 4 \ \Omega = 2 \ A \times 4 \ \Omega = 8 \ V$ છે.
કેપેસિટરની શાખાઓ આ $4 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર હોવાથી,દરેક શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $8 \ V$ છે.
દરેક શાખામાં,બે $3 \ \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. તેથી દરેક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{3 \ \mu F \times 3 \ \mu F}{3 \ \mu F + 3 \ \mu F} = 1.5 \ \mu F$ થાય.
દરેક શાખા પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 1.5 \ \mu F \times 8 \ V = 12 \ \mu C$ છે.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $12 \ \mu C$ હશે.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે કારણ કે તેઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરતા:
$V_A - \frac{q}{C_1} - E + \frac{q}{C_2} = V_B$
અહીં $V_A - V_B = -10\ V$,$C_1 = 1\ \mu F$,$C_2 = 2\ \mu F$ અને $E = 10\ V$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$-10 = \frac{q}{1} + 10 - \frac{q}{2}$
$-10 - 10 = q - \frac{q}{2}$
$-20 = \frac{q}{2}$
$q = -40\ \mu C$
આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા: $10 = q - 10 + q/2 \implies 20 = 3q/2 \implies q = 40/3\ \mu C$.

(C) ધારો કે $4 \ \mu F$ કેપેસિટર અને સમાંતર જોડાણ વચ્ચેના નોડનું સ્થિતિમાન $V$ છે. $4 \ \mu F$ કેપેસિટર એ $2 \ \mu F$ અને $3 \ \mu F$ કેપેસિટરના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
$4 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = 80 \ \mu C$ છે.
જંકશન નોડ $x$ પર વિદ્યુતભાર સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$Q_{total} = Q_{2\mu F} + Q_{3\mu F} = 80 \ \mu C$
$x(2 \ \mu F) + x(3 \ \mu F) = 80 \ \mu C$
$5x = 80 \ \mu C \implies x = 16 \ V$
$3 \ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{3} = C_{3} \cdot x = 3 \ \mu F \cdot 16 \ V = 48 \ \mu C$ થાય.

(A) $4\ \mu F$ ના કેપેસીટરની પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (80)^2 = 0.0128\ J = 12.8\ mJ$.
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે છે: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 80 + 6 \times 30}{4 + 6} = \frac{320 + 180}{10} = 50\ V$.
$4\ \mu F$ ના કેપેસીટરની અંતિમ ઉર્જા: $U_f = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (50)^2 = 0.005\ J = 5.0\ mJ$.
$4\ \mu F$ ના કેપેસીટર દ્વારા ગુમાવાતી ઉર્જા: $\Delta U = U_i - U_f = 12.8\ mJ - 5.0\ mJ = 7.8\ mJ$.

(C) ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વ્યાસ $d = 10^{-3} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
$C = \frac{0.5 \times 10^{-3}}{9 \times 10^9} = \frac{1}{18} \times 10^{-12} \ F$.
સપાટી પરથી વિદ્યુતભાર ઉત્સર્જનનો દર $I = 0.80 \times (6.25 \times 10^{10}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \ C/s$.
$I = 0.80 \times 10 \times 10^{-9} = 8 \times 10^{-9} \ C/s$.
$q = CV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $q = I \times t$:
$(8 \times 10^{-9}) \times t = (\frac{1}{18} \times 10^{-12}) \times 1.0$.
$t = \frac{10^{-12}}{8 \times 10^{-9} \times 18} = \frac{10^{-3}}{144} \approx 6.944 \times 10^{-6} \ s = 6.944 \ \mu s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$t \approx 6.95 \ \mu s$.

(A) $1$. $C_{DE}$ શોધવા માટે: $D$ અને $E$ વચ્ચેનો પરિપથ વ્હિટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે. મધ્યમાં રહેલ કેપેસિટર સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલ હોવાથી તેને દૂર કરી શકાય છે. બાકીના કેપેસિટર્સ બે સમાંતર શાખાઓ બનાવે છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. દરેક શાખાનું કેપેસિટન્સ $\frac{C \times C}{C + C} = 0.5C$ થાય છે. આમ,$C_{DE} = 1.5C$ મળે છે.
$2$. $C_{AB}$ શોધવા માટે: તેવી જ રીતે,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો પરિપથ પણ વ્હિટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે. મધ્યનું કેપેસિટર દૂર કરવામાં આવે છે. બાકીના કેપેસિટર્સ બે સમાંતર શાખાઓ બનાવે છે,જેમાં દરેક શાખાનું કેપેસિટન્સ $0.5C$ થાય છે. આમ,$C_{AB} = C$ મળે છે.
$3$. પરિણામે,ગુણોત્તર $\frac{C_{DE}}{C_{AB}} = \frac{1.5C}{C} = 1.5$ થાય છે.

(C) પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $E$ સ્થિતિમાન તફાવત સાથે જોડાયેલ છે. ઉપરની શાખામાં $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,અને નીચેની શાખામાં $C_3$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે.
કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ,$x$ બિંદુનું સ્થિતિમાન $V_x = \frac{C_2}{C_1 + C_2}E$ થાય.
તે જ રીતે,નીચેની શાખા માટે $y$ બિંદુનું સ્થિતિમાન $V_y = \frac{C_4}{C_3 + C_4}E$ થાય.
$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત $V_x - V_y = \left( \frac{C_2}{C_1 + C_2} - \frac{C_4}{C_3 + C_4} \right)E$ થાય.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $V_x - V_y = \frac{C_2 C_3 + C_2 C_4 - C_4 C_1 - C_4 C_2}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}E = \frac{C_2 C_3 - C_1 C_4}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}E$.
ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $C$ છે: $\frac{(C_1 C_4 - C_2 C_3)}{(C_1 + C_2)(C_3 + C_4)}E$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ અને વિદ્યુતભાર $q$ છે. દરેક નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{C}$ છે,જ્યાં $C = 4\pi \varepsilon_0 r$ છે.
જ્યારે બે સમાન ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કુલ કદ સંરક્ષિત રહે છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 \implies R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3}r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 2q$ છે.
મોટા ટીપાનું કેપેસિટન્સ $C' = 4\pi \varepsilon_0 R = 4\pi \varepsilon_0 (2^{1/3}r) = 2^{1/3}C$ થાય.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V'$ નીચે મુજબ મળે:
$V' = \frac{Q}{C'} = \frac{2q}{2^{1/3}C} = \frac{2}{2^{1/3}} \times \frac{q}{C} = 2^{1 - 1/3} V = 2^{2/3} V$.

(D) સ્થિર અવસ્થામાં,કેપેસિટરમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,કેપેસિટર નેટવર્ક સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધો કેપેસિટર પરના સ્થિતિમાનના વિતરણને અસર કરતા નથી.
બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચે કેપેસિટર નેટવર્ક પરનો કુલ સ્થિતિમાન તફાવત $100 \ V$ છે.
સરળ બનાવેલ સર્કિટ ડાયાગ્રામ (સોલ્યુશન ઇમેજમાં દર્શાવ્યા મુજબ),કેપેસિટર શાખા $AB$ નું કેપેસિટન્સ $C_1 = 6 \ \mu F$ છે અને શાખા $BC$ નું કેપેસિટન્સ $C_2 = 2 \ \mu F$ છે.
કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાન તફાવત તેના કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto \frac{1}{C}$.
તેથી,$\frac{V_{AB}}{V_{BC}} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{2 \ \mu F}{6 \ \mu F} = \frac{1}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $V_{BC} = 3 V_{AB}$.
$V_{AC} = V_{AB} + V_{BC} = 100 \ V$ હોવાથી,આપણને $V_{AB} + 3 V_{AB} = 100 \ V$ મળે છે.
$4 V_{AB} = 100 \ V$,જે $V_{AB} = 25 \ V$ આપે છે.

(C) ધારો કે નોડ $a$ પરનું સ્થિતિમાન $V_a$ છે. નીચેનો વાયર ગ્રાઉન્ડેડ છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન $0\ V$ છે. નોડ $a$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_a - 6}{2} + \frac{V_a - 6}{2} + \frac{V_a - 0}{4} = 0$
$4$ વડે ગુણતા:
$2(V_a - 6) + 2(V_a - 6) + V_a = 0$
$2V_a - 12 + 2V_a - 12 + V_a = 0$
$5V_a = 24$
$V_a = 4.8\ V$
$2\ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $|V_a - 6| = |4.8 - 6| = 1.2\ V$ થાય.
પરિપથનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા: નોડલ પદ્ધતિ મુજબ $V_a = \frac{\sum (C_i V_i)}{\sum C_i} = \frac{2 \times 6 + 2 \times 6}{2 + 2 + 4} = \frac{24}{8} = 3\ V$.
તેથી,$2\ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $|V_a - 6| = |3 - 6| = 3\ V$ મળે છે.

(D) ડાઈઈલેક્ટ્રિક સાથે $A$ ની પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ: $C_A = K \times C_0 = 15 \times 1\ \mu F = 15\ \mu F$.
$A$ પરનો ચાર્જ: $Q_A = C_A \times V = 15\ \mu F \times 100\ V = 1500\ \mu C$.
$B$ પરનો ચાર્જ: $Q_B = C_B \times V = 1\ \mu F \times 100\ V = 100\ \mu C$.
કુલ ચાર્જ $Q_{total} = Q_A + Q_B = 1500\ \mu C + 100\ \mu C = 1600\ \mu C$.
ડાઈઈલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી,$A$ ની કેપેસિટન્સ $C'_A = 1\ \mu F$ થાય છે. $B$ ની કેપેસિટન્સ $C'_B = 1\ \mu F$ રહે છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C'_A + C'_B = 1\ \mu F + 1\ \mu F = 2\ \mu F$ થાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V_{cm} = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{1600\ \mu C}{2\ \mu F} = 800\ V$ મળે છે.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભારનું વિતરણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
ડાબી લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લગાડતા:
$\frac{Q}{2\mu F} + \frac{2Q}{4\mu F} - 6V = 0$
$\frac{Q}{2} + \frac{Q}{2} = 6$
$Q = 6\ \mu C$
તેથી,$4\ \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $= 2Q = 2 \times 6 = 12\ \mu C$ થાય.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ફક્ત વચ્ચેના અવરોધ અને બેટરીના પરિપથમાંથી વહે છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + r$ છે.
વચ્ચેની શાખામાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{E}{R + r}$ છે.
વચ્ચેની શાખા (બિંદુઓ $a$ અને $b$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{ab} = iR = \frac{ER}{R + r}$ છે.
ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર $C$ છે,જે $C_{eq} = \frac{C}{2}$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા એક કેપેસિટરને સમતુલ્ય છે.
ઉપરની શાખા વચ્ચેની શાખા સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી હોવાથી,બે કેપેસિટરના સંયોજન પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{ab} = \frac{ER}{R + r}$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ એ સમતુલ્ય કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોય છે:
$q = C_{eq} V_{ab} = \left( \frac{C}{2} \right) \left( \frac{ER}{R + r} \right) = \frac{ECR}{2(R + r)}$.

(B) કેપેસીટર $A$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $Q_1 = C_{A, \text{initial}} \times V = 15\ \mu F \times 100\ V = 1500\ \mu C = 15 \times 10^{-4}\ C$.
કેપેસીટર $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $Q_2 = C_B \times V = 1\ \mu F \times 100\ V = 100\ \mu C = 10^{-4}\ C$.
કેપેસીટર $A$ માંથી ડાઇઇલેક્ટ્રીક દૂર કર્યા પછી, તેનું નવું કેપેસીટન્સ $C_A' = \frac{C_{A, \text{initial}}}{K} = \frac{15\ \mu F}{15} = 1\ \mu F$ થાય.
જ્યારે તેમને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે, ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 1500\ \mu C + 100\ \mu C = 1600\ \mu C$.
સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{\text{eq}} = C_A' + C_B = 1\ \mu F + 1\ \mu F = 2\ \mu F$ થાય.
સામાન્ય વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_{\text{common}} = \frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}} = \frac{1600\ \mu C}{2\ \mu F} = 800\ V$ મળે.

(A) શરૂઆતનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2C = 3C$ છે.
શરૂઆતનો વિદ્યુતભાર $q = C_{eq} V = 3CV$ છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવતી હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q'$ અચળ રહે છે,તેથી $q' = q = 3CV$.
જ્યારે $K$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું દ્રવ્ય એક કેપેસિટરમાં ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'_{eq} = KC + 2C = (K + 2)C$ થાય છે.
નવો સ્થિતિમાન તફાવત $V' = \frac{q'}{C'_{eq}} = \frac{3CV}{(K + 2)C} = \frac{3V}{K + 2}$.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારનું વિસ્તરણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
ડાબી લૂપમાં $KVL$ નો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{Q}{2 \mu F} + \frac{2Q}{4 \mu F} - 6 \ V = 0$
$\frac{Q}{2} + \frac{Q}{2} = 6$
$Q = 6 \ \mu C$
હવે,$X$ બિંદુ (ગ્રાઉન્ડેડ,$V_X = 0 \ V$) થી $a$ બિંદુ સુધી $KVL$ નો નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_a - V_X = \frac{2Q}{4 \mu F} = \frac{2 \times 6 \ \mu C}{4 \ \mu F} = 3 \ V$
આમ,$a$ બિંદુએ સ્થિતિમાન $3 \ V$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,કેપેસિટરોને $V$ સ્થિતિમાન ધરાવતી બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net}$ છે:
$Q_{net} = C_{eq}V = (C + 2C)V = 3CV$
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net}$ અચળ રહે છે.
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરમાં $K$ અચળાંક વાળું ડાય-ઈલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી,તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં હોવાથી,તેઓ સમાન સ્થિતિમાન તફાવત $V'$ ધરાવે છે.
સિસ્ટમનું નવું કુલ કેપેસિટન્સ $C'_{eq} = C' + 2C = KC + 2C = (K + 2)C$ છે.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી:
$Q_{net} = C'_{eq}V'$
$3CV = (K + 2)CV'$
$V'$ માટે ઉકેલતા:
$V' = \frac{3V}{K + 2}$

(A) શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ડાબી બાજુના બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે,અને આ સંયોજન જમણી બાજુના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
ધારો કે $C = 5.0 \ \mu F = 5 \times 10^{-6} \ F$.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1} = \frac{(C + C) \times C}{(C + C) + C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$ છે.
$C_{eq1} = \frac{2}{3} \times 5 \times 10^{-6} \ F = \frac{10}{3} \times 10^{-6} \ F$.
સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_i = C_{eq1} \times V = (\frac{10}{3} \times 10^{-6}) \times 50 = \frac{500}{3} \times 10^{-6} \ C \approx 1.67 \times 10^{-4} \ C$ છે.
જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે જમણી બાજુનું કેપેસિટર શોર્ટ-સર્કિટ થાય છે. પરિપથમાં ફક્ત બે સમાંતર કેપેસિટર બાકી રહે છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq2} = C + C = 2C = 10 \times 10^{-6} \ F$ છે.
નવો સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_f = C_{eq2} \times V = 10 \times 10^{-6} \times 50 = 5.0 \times 10^{-4} \ C$ છે.
$AB$ માંથી વહેતો વિદ્યુતભાર એ અંતિમ અને પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta Q = Q_f - Q_i = 5.0 \times 10^{-4} - 1.67 \times 10^{-4} = 3.33 \times 10^{-4} \ C$.
આમ,$AB$ માંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $3.3 \times 10^{-4} \ C$ છે.

(A) ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ છે: $E = 3 \times 10^6 \ V/m$,વ્યાસ $D = 6 \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 3 \ m$.
$Q$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $Q = \frac{E \cdot R^2}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{(3 \times 10^6) \times (3)^2}{9 \times 10^9}$.
$Q = \frac{3 \times 10^6 \times 9}{9 \times 10^9} = 3 \times 10^{-3} \ C = 3 \ mC$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વીજભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V_s = \frac{kq}{r} = 2.5 \ V$ છે.
જ્યારે $n = 125$ નાના ટીપાઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ જળવાઈ રહે છે.
તેથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જે આપણને $R^3 = n r^3$ અથવા $R = n^{1/3} r$ આપે છે.
$n = 125$ માટે,$R = (125)^{1/3} r = 5r$ થાય.
મોટા ટીપાનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 125q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V_L = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} V_s$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V_L = (125)^{2/3} \times 2.5 = (5^3)^{2/3} \times 2.5 = 5^2 \times 2.5 = 25 \times 2.5 = 62.5 \ V$.

(A) આપેલ છે: $C_1 = 3 \ \mu F$,$C_2 = 2 \ \mu F$,$C_3 = 4 \ \mu F$,અને $V = 120 \ V$.
પ્રથમ,$C_2$ અને $C_3$ ના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધો:
$C_{23} = C_2 + C_3 = 2 \ \mu F + 4 \ \mu F = 6 \ \mu F$.
હવે,$C_1$ અને $C_{23}$ શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ છે:
$1/C_{eq} = 1/C_1 + 1/C_{23} = 1/3 + 1/6 = (2+1)/6 = 3/6 = 1/2 \ \mu F^{-1}$.
તેથી,$C_{eq} = 2 \ \mu F$.
બેટરીમાંથી લેવામાં આવેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ છે:
$Q = C_{eq} \times V = 2 \ \mu F \times 120 \ V = 240 \ \mu C$.
$C_1$ શ્રેણીમાં હોવાથી,$C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = 240 \ \mu C$ છે.
$C_1$ પરનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = Q_1 / C_1 = 240 \ \mu C / 3 \ \mu F = 80 \ V$ છે.
સમાંતર જોડાણ ($C_2$ અને $C_3$) પરનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{23} = V - V_1 = 120 \ V - 80 \ V = 40 \ V$ છે.
$C_2$ અને $C_3$ સમાંતરમાં હોવાથી,દરેક પરનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $40 \ V$ છે.
$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 \times V_{23} = 2 \ \mu F \times 40 \ V = 80 \ \mu C$ છે.
$C_3$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_3 = C_3 \times V_{23} = 4 \ \mu F \times 40 \ V = 160 \ \mu C$ છે.
આમ,વિદ્યુતભાર $240 \ \mu C, 80 \ \mu C, 160 \ \mu C$ છે અને વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $80 \ V, 40 \ V, 40 \ V$ છે.

(B) સ્થિત વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે. સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં કોઈપણ બંધ માર્ગ માટે,થતું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતભાર $q$ ને $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ માર્ગે લઈ જવામાં થતું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.
$W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 0$
અહીં $W_{AB} = 2 \ J$ અને $W_{BC} = -3 \ J$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 + (-3) + W_{CA} = 0$
$-1 + W_{CA} = 0$
$W_{CA} = 1 \ J$
તેથી,વિદ્યુતભારને $C$ થી $A$ સુધી લઈ જવામાં થતું કાર્ય $1 \ J$ છે.

(A) $1$. પરિપથનું વિશ્લેષણ: પરિપથમાં બે સમાંતર કેપેસિટર ($C/2$ અને $C/2$) ના જોડાણ શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર ($C$ અને $C$) સાથે જોડાયેલા છે.
$2$. સમાંતર ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $C_p = C/2 + C/2 = C$.
$3$. પરિપથ ત્રણ શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર $C, C, C$ માં ફેરવાય છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = (1/C + 1/C + 1/C)^{-1} = C/3$ થાય.
$4$. બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \cdot \varepsilon = (C/3) \cdot \varepsilon = C\varepsilon /3$ છે.
$5$. કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી, દરેક કેપેસિટર પર સમાન વિદ્યુતભાર $Q = C\varepsilon /3$ હોય છે.
$6$. દરેક કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Q/C = (C\varepsilon /3) / C = \varepsilon /3$ થાય.
$7$. બિંદુ $D$ ગ્રાઉન્ડેડ છે, તેથી $V_D = 0$.
$8$. આ સંમિત રચનામાં, બેટરી $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી છે અને મધ્યબિંદુ ગ્રાઉન્ડેડ છે, તેથી $V_A = +\varepsilon /2$ અને $V_B = -\varepsilon /2$ મળે છે.

(B) વોલ્ટમીટર ડાબી બાજુના બે કેપેસિટરો સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વોલ્ટમીટરના વાંચન જેટલો જ એટલે કે $V = 200 \, V$ રહેશે.
દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 25 \, \mu F = 25 \times 10^{-6} \, F$ છે.
કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $Q = CV$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$Q = (25 \times 10^{-6} \, F) \times (200 \, V)$
$Q = 5000 \times 10^{-6} \, C$
$Q = 5 \times 10^{-3} \, C$.
આમ,દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $\pm 5 \times 10^{-3} \, C$ છે.

(D) ધારો કે અંદરના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે. $r_2 = 6 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રાઉન્ડ કરેલા કવચની અંદર રહેલા $r_1 = 4 \ cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{Q}{r_1} - \frac{Q}{r_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{Q}{4} - \frac{Q}{6}$
$3 = Q \left( \frac{3 - 2}{12} \right)$
$3 = \frac{Q}{12}$
$Q = 36 \ e.s.u.$

(A) આ તંત્રમાં ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1 = q_2 = q_3 = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$ છે,જે $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકેલા છે.
બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ વિદ્યુતસ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$
અહીં બધા વિદ્યુતભારો અને અંતર સમાન હોવાથી:
$U = 3 \times \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$U = 3 \times 9 \times 10^9 \times \frac{(10 \times 10^{-6})^2}{0.1}$
$U = 27 \times 10^9 \times \frac{100 \times 10^{-12}}{0.1}$
$U = 27 \times 10^9 \times 1000 \times 10^{-12}$
$U = 27 \times 10^{12} \times 10^{-12} = 27 \ J$

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલા વિદ્યુતભારો $q_1 = 40 \, e.s.u$,$q_2 = 10 \, e.s.u$,અને $q_3 = 20 \, e.s.u$ છે.
અંતર $r_{12} = 2 \, cm$ અને $r_{23} = 4 \, cm$ છે. આકૃતિના આધારે $q_1$ અને $q_3$ વચ્ચેનું આંતરક્રિયા અવગણ્ય છે:
$U = \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}}$
$U = \frac{40 \times 10}{2} + \frac{10 \times 20}{4}$
$U = 200 + 50 = 250 \, ergs$.

(B) જ્યારે $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે ત્યારે પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $K = QV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv^2 = QV$ થાય.
સમાન દળ $m$ અને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ માટે,$v^2 \propto Q$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \sqrt{Q}$.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{Q_A}{Q_B}}$ થશે.
અહીં $Q_A = q$ અને $Q_B = 4q$ આપેલ છે,તેથી $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q}{4q}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,વેગનો ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(B) ધારો કે અનંત લેડર નેટવર્કનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ છે.
નેટવર્ક અનંત હોવાથી,તેમાં વધુ એક વિભાગ ઉમેરવાથી સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ બદલાશે નહીં,તેથી પ્રથમ વિભાગની જમણી બાજુના નેટવર્કનું કેપેસિટન્સ પણ $C_{eq}$ જ રહેશે.
આ પરિપથને $4 \, \mu F$ ના કેપેસિટર અને $2 \, \mu F$ ના કેપેસિટર તથા $C_{eq}$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
તેથી,$C_{eq} = \frac{4 \times (2 + C_{eq})}{4 + (2 + C_{eq})}$.
અહીં કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ આપેલું છે,તેથી $C = \frac{4(2 + C)}{6 + C}$.
$C(6 + C) = 8 + 4C$
$6C + C^2 = 8 + 4C$
$C^2 + 2C - 8 = 0$
$(C + 4)(C - 2) = 0$.
કેપેસિટન્સ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $C = 2 \, \mu F$.

(B) પ્રથમ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $Q_1 = C_1 V = (15\ \mu F) \times 100\ V = 1500\ \mu C$.
બીજા કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $Q_2 = C_2 V = (1\ \mu F) \times 100\ V = 100\ \mu C$.
જ્યારે પ્રથમ કેપેસિટરમાંથી ડાઈઈલેક્ટ્રિક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો નવો કેપેસિટન્સ $C_1' = \frac{15\ \mu F}{15} = 1\ \mu F$ થાય છે.
જ્યારે તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 1500\ \mu C + 100\ \mu C = 1600\ \mu C$ થાય છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1' + C_2 = 1\ \mu F + 1\ \mu F = 2\ \mu F$ થાય છે.
અંતિમ વોલ્ટેજ $V_{final} = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{1600\ \mu C}{2\ \mu F} = 800\ V$.

(A) શરૂઆતમાં,જ્યારે સ્વીચ $K$ બંધ હોય છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર્સ $A$ અને $B$ વોલ્ટેજ $V$ ની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલા હોય છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત ઉર્જા છે:
$U_1 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ ... $(i)$
જ્યારે સ્વીચ $K$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $A$ બેટરી સાથે જોડાયેલ રહે છે,તેથી તેનો વોલ્ટેજ $V_A = V$ રહે છે. કેપેસિટર $B$ ડિસ્કનેક્ટ થઈ જાય છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $Q_B$ અચળ રહે છે. શરૂઆતમાં,$Q_B = CV$. $K=3$ ડાયઇલેક્ટ્રિક ભર્યા પછી,નવી કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3C$ થાય છે. $B$ પરનો નવો વોલ્ટેજ $V_B = \frac{Q_B}{C'} = \frac{CV}{3C} = \frac{V}{3}$ છે.
સિસ્ટમની નવી ઉર્જા છે:
$U_2 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}(3C)\left(\frac{V}{3}\right)^2 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}(3C)\frac{V^2}{9} = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \frac{3+1}{6}CV^2 = \frac{4}{6}CV^2 = \frac{2}{3}CV^2$ ... $(ii)$
ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2}$ લેતા:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{\frac{2}{3}CV^2} = \frac{3}{2}$

(D) $1$. પ્રથમ,$2\,\mu F$ અને $2\,\mu F$ ના સમાંતર જોડાણને સરળ બનાવતા: $C_1 = 2 + 2 = 4\,\mu F$.
$2$. $6\,\mu F$ અને $12\,\mu F$ ના શ્રેણી જોડાણને સરળ બનાવતા: $C_2 = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4\,\mu F$.
$3$. હવે,આ $4\,\mu F$ કેપેસિટર $4\,\mu F$ ના કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે: $C_3 = 4 + 4 = 8\,\mu F$.
$4$. આ $8\,\mu F$ કેપેસિટર $8\,\mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે: $C_4 = \frac{8 \times 8}{8 + 8} = 4\,\mu F$.
$5$. $1\,\mu F$ કેપેસિટર $8\,\mu F$ સાથે શ્રેણીમાં છે: $C_5 = \frac{1 \times 8}{1 + 8} = \frac{8}{9}\,\mu F$.
$6$. પરિપથનું $C$ સિવાયનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{32}{9}\,\mu F$ મળે છે.
$7$. $C$ અને આ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શ્રેણીમાં હોવાથી,$\frac{1}{1} = \frac{1}{C} + \frac{9}{32} \Rightarrow \frac{1}{C} = \frac{23}{32} \Rightarrow C = \frac{32}{23}\,\mu F$.

(B) આપેલ પરિપથમાં ચાર સમાન કેપેસિટર $C$ શ્રેણીમાં $10 \, V$ ના ઉદગમ સાથે જોડાયેલા છે.
કેપેસિટરો સમાન હોવાથી દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હશે.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c = \frac{10 \, V}{4} = 2.5 \, V$ થાય.
બિંદુ $N$ અર્થિંગ કરેલું હોવાથી તેનું સ્થિતિમાન $V_N = 0 \, V$ છે.
$N$ થી $A$ તરફ જતાં ત્રણ કેપેસિટર આવે છે,તેથી સ્થિતિમાનમાં વધારો થાય છે:
$V_A - V_N = 3 \times 2.5 \, V = 7.5 \, V$.
$V_N = 0 \, V$ હોવાથી,$V_A = 7.5 \, V$ મળે.
$N$ થી $B$ તરફ જતાં એક કેપેસિટર આવે છે,તેથી સ્થિતિમાનમાં ઘટાડો થાય છે:
$V_N - V_B = 2.5 \, V$.
$V_N = 0 \, V$ હોવાથી,$0 - V_B = 2.5 \, V$,એટલે કે $V_B = -2.5 \, V$.
આમ,બિંદુ $A$ અને $B$ આગળના સ્થિતિમાન અનુક્રમે $7.5 \, V$ અને $-2.5 \, V$ છે.

(C) $1$. પરિપથનું વિશ્લેષણ: કેપેસિટર્સ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે જે બિંદુ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે શ્રેણીમાં બે સમતુલ્ય કેપેસિટર્સમાં સરળ બને છે।
$2$. પરિપથનું સરળીકરણ: $3 \, \mu F$ અને $3 \, \mu F$ ના સમાંતર જોડાણનું પરિણામ $6 \, \mu F$ મળે છે, અને $1 \, \mu F$ અને $1 \, \mu F$ નું પરિણામ $2 \, \mu F$ મળે છે।
$3$. પરિપથ અસરકારક રીતે $100 \, V$ ના સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં $C_1 = 6 \, \mu F$ અને $C_2 = 2 \, \mu F$ ના બે કેપેસિટર્સ બની જાય છે।
$4$. શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટર્સ માટે, દરેક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તેની કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V_1 = V_{AB} = \left( \frac{C_2}{C_1 + C_2} \right) V$ અને $V_2 = V_{BC} = \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) V$.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $V_{AB} = \left( \frac{2}{6 + 2} \right) \times 100 = \left( \frac{2}{8} \right) \times 100 = 25 \, V$.
$6$. તેવી જ રીતે, $V_{BC} = \left( \frac{6}{6 + 2} \right) \times 100 = \left( \frac{6}{8} \right) \times 100 = 75 \, V$.
$7$. આમ, $V_{AB} = 25 \, V$ અને $V_{BC} = 75 \, V$ મળે છે।

(C) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
$C_1$ માટે,તે મહતમ $Q_1 = C_1 V_1 = (1\,\mu F)(6\,kV) = 6\,\mu C$ વિદ્યુતભાર ધારણ કરી શકે છે.
$C_2$ માટે,તે મહતમ $Q_2 = C_2 V_2 = (3\,\mu F)(4\,kV) = 12\,\mu C$ વિદ્યુતભાર ધારણ કરી શકે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ કેપેસિટર દ્વારા મર્યાદિત હોય છે જે પહેલા તેના મહતમ વિદ્યુતભાર સુધી પહોંચે છે. તેથી,શ્રેણી જોડાણ મહતમ $Q_{max} = \min(Q_1, Q_2) = 6\,\mu C$ વિદ્યુતભાર ધારણ કરી શકે છે.
શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 3}{1 + 3}\,\mu F = 0.75\,\mu F$ છે.
સંયોજનને આપી શકાતો મહતમ વોલ્ટેજ $V_{max} = \frac{Q_{max}}{C_{eq}} = \frac{6\,\mu C}{0.75\,\mu F} = 8\,kV$ છે.

(D) $C_1$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n_1$ કેપેસિટર્સના શ્રેણી જોડાણ માટે જે $4V$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે:
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{C_1}{n_1}$ છે.
સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_s = \frac{1}{2} C_s (4V)^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{C_1}{n_1}\right) (16V^2) = \frac{8C_1V^2}{n_1}$ છે.
$C_2$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n_2$ કેપેસિટર્સના સમાંતર જોડાણ માટે જે $V$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે:
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = n_2 C_2$ છે.
સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_p = \frac{1}{2} C_p V^2 = \frac{1}{2} (n_2 C_2) V^2$ છે.
આપેલ છે કે $U_s = U_p$,તેથી બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{8C_1V^2}{n_1} = \frac{1}{2} n_2 C_2 V^2$.
$C_2$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$C_2 = \frac{16C_1}{n_1n_2}$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $K$ એ માધ્યમનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
જે વિસ્તારમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક ગેરહાજર છે (હવા/શૂન્યાવકાશ),ત્યાં $K = 1$ હોવાથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
જે વિસ્તારમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ હાજર છે,ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K_1}$ અને $E_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K_2}$ થાય છે.
અહીં $K_1 < K_2$ હોવાથી,$\frac{1}{K_1} > \frac{1}{K_2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $E_1 > E_2$.
વળી,$E_1$ અને $E_2$ બંને હવાના ગાળામાં રહેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ કરતા ઓછા છે ($E_1 < E_0$ અને $E_2 < E_0$).
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર હવાના ગાળામાં સૌથી વધુ હોય છે,અને ડાયઇલેક્ટ્રિક વિસ્તારોમાં,નાના ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $(K_1)$ વાળી સ્લેબમાં ક્ષેત્ર વધુ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ હવાના ગાળામાં સૌથી વધુ ક્ષેત્ર અને $K_2$ વિસ્તારની સરખામણીમાં $K_1$ વિસ્તારમાં વધુ ક્ષેત્ર દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $(D)$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(C) આપેલ પરિપથને શોર્ટ-સર્કિટ થયેલા ઘટકોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે. $9\, \mu F, 9\, \mu F$ અને $7\, \mu F$ ના કેપેસિટર એક વાયર સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,જે તેમને અસરકારક રીતે શોર્ટ-સર્કિટ કરે છે. તેથી,તેમને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
સરળીકરણ પછી,પરિપથમાં $6\, \mu F, 4\, \mu F$ અને $8\, \mu F$ કેપેસિટરનું સમાંતર જોડાણ છે,જે $36\, \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = 6 + 4 + 8 = 18\, \mu F$ છે.
હવે કુલ પરિપથ $C_p = 18\, \mu F$ અને $C_s = 36\, \mu F$ નું શ્રેણી જોડાણ છે જે $40\, V$ ના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે.
ધારો કે $18\, \mu F$ ના જોડાણ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1$ છે અને $36\, \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ છે.
આપણી પાસે $V_1 + V_2 = 40\, V$ છે અને શ્રેણીમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર કેપેસીટન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{36}{18} = 2$,તેથી $V_1 = 2V_2$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા: $2V_2 + V_2 = 40 \implies 3V_2 = 40 \implies V_2 = \frac{40}{3}\, V$.
તેથી $V_1 = 40 - \frac{40}{3} = \frac{80}{3}\, V \approx 26.67\, V$.
$8\, \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{80}{3}\, V \approx 26.67\, V$ છે.
$8\, \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V_1 = 8\, \mu F \times \frac{80}{3}\, V = \frac{640}{3}\, \mu C \approx 213.33\, \mu C$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $214\, \mu C$ અને $27\, V$ છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખાઓમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,પ્રવાહ $i$ ફક્ત $4\, \Omega$ ના અવરોધ અને $1\, \Omega$ ના આંતરિક અવરોધમાંથી વહે છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 4\, \Omega + 1\, \Omega = 5\, \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10\, V}{5\, \Omega} = 2\, A$ છે.
$4\, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{4\Omega} = i \times R = 2\, A \times 4\, \Omega = 8\, V$ છે.
કેપેસિટરની શાખાઓ $4\, \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલી હોવાથી,દરેક શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $8\, V$ છે.
દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $3\, \mu F$ ના કેપેસિટર છે. દરેક શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{3\, \mu F \times 3\, \mu F}{3\, \mu F + 3\, \mu F} = 1.5\, \mu F$ છે.
દરેક શાખા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{branch} = C_{eq} \times V = 1.5\, \mu F \times 8\, V = 12\, \mu C$ છે.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર શાખા પરના વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોય છે,જે $12\, \mu C$ છે.

(A) જ્યારે કી $K$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે સ્ટેડી સ્ટેટમાં કેપેસિટર $C$ બેટરી $E$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે (કારણ કે સ્ટેડી સ્ટેટમાં અવરોધ $R$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી). તેથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = CE$ છે.
જ્યારે કી $K$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ પોટેન્શિયલ ડિવાઈડર બનાવે છે. કેપેસિટર એ $2R$ અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
કેપેસિટર $C$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2R$ અવરોધ પરના વોલ્ટેજ જેટલો હોય છે:
$V_2 = E \left( \frac{2R}{R + 2R} \right) = E \left( \frac{2R}{3R} \right) = \frac{2}{3}E$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_2 = C V_2 = C \left( \frac{2}{3}E \right) = \frac{2}{3}CE$ છે.
વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{CE}{\frac{2}{3}CE} = \frac{3}{2} = 1.5$ થાય.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ પોટેન્શિયલ $V$ સાથે $E = -dV/dx$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્લેટોની વચ્ચેના જે વિસ્તારમાં હવા (શૂન્યાવકાશ) છે,ત્યાં $E$ અચળ અને શૂન્યતર છે,તેથી $V$ એ $x$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
વાહકની અંદર ($x=d$ થી $x=2d$ સુધી),વિદ્યુતક્ષેત્ર $E=0$ છે,તેથી પોટેન્શિયલ $V$ અચળ રહે છે.
ડાયલેક્ટ્રિકની અંદર ($x=3d$ થી $x=4d$ સુધી),વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઘટે છે પરંતુ શૂન્યતર રહે છે $(E_{dielectric} = E_0/K)$,તેથી પોટેન્શિયલ $V$ એ $x$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે,પરંતુ હવાના વિસ્તારોની તુલનામાં ઓછી ઢાળ સાથે.
આમ,પોટેન્શિયલનો આલેખ હવામાં રેખીય ઘટાડો,વાહકમાં આડી રેખા અને ડાયલેક્ટ્રિકમાં ઓછી ઢાળ સાથે રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે. આલેખ $B$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.