Mix Examples-Electric Charges and Fields Questions in Gujarati

(B) $1$. વાહક ગોળાની અંદર તેની સપાટી પરના વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. કેન્દ્ર પર રહેલ વિદ્યુતભાર $q_A$ ગોળાની અંદર છે. ગોળાને કારણે કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,$q_A$ પર લાગતું બળ શૂન્ય છે.
$2$. $c (> b)$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $q_B$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $c$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભારને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે. ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{shell} = (4\pi a^2)(-\sigma) + (4\pi b^2)(+\sigma) = 4\pi\sigma(b^2 - a^2)$ છે.
$3$. ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{enclosed} = q_A + Q_{shell} = q_A + 4\pi\sigma(b^2 - a^2)$ છે.
$4$. $c$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_{enclosed}}{c^2} = \frac{q_A + 4\pi\sigma(b^2 - a^2)}{4\pi\varepsilon_0 c^2}$ છે.
$5$. $q_B$ પર લાગતું બળ $F = q_B E = \frac{q_B(q_A + 4\pi\sigma(b^2 - a^2))}{4\pi\varepsilon_0 c^2}$ છે.
$6$. જો ગોળો તટસ્થ હોય $(Q_{shell} = 0)$,તો $F = \frac{k q_A q_B}{c^2}$ મળે. આમ,$q_A$ પર લાગતું બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(D) વાહક ગોળાના ગુણધર્મો અનુસાર,વાહકના દ્રવ્યની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q_A$ ને વાહક ગોળાની પોલાણની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે ગોળાની અંદરની સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર $-q_A$ પ્રેરિત થાય છે.
આ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $-q_A$ અંદરની સપાટી પર એવી રીતે વિતરિત થાય છે કે તે વાહકના દ્રવ્યની અંદર દરેક જગ્યાએ $q_A$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રને નાબૂદ કરે છે.
જેમ જેમ વિદ્યુતભાર $q_A$ ને પોલાણની અંદર ખસેડવામાં આવે છે,તેમ વાહકની અંદર શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની સ્થિતિ જાળવી રાખવા માટે અંદરની સપાટી પર પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $-q_A$ નું વિતરણ બદલાય છે.
જો કે,અંદરની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-q_A$ રહે છે અને બહારની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે.
ગોળાની બહારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર ગોળાના કુલ વિદ્યુતભાર અને અંદરના વિદ્યુતભાર $q_A$ પર આધારિત હોવાથી,અને ગોળો સ્થિત-વિદ્યુત શીલ્ડ તરીકે કામ કરતું હોવાથી,ગોળાની બહારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બદલાતું નથી.
તેથી,ગોળાની બહારના કોઈપણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ બદલાતું નથી.
આમ,આપેલા વિકલ્પો $A$,$B$ કે $C$ માંથી કોઈ પણ ભૌતિક પરિસ્થિતિનું યોગ્ય વર્ણન કરતા નથી.

(D) $1$. જ્યારે કોઈ વાહકને અર્થિંગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું પોટેન્શિયલ શૂન્ય થઈ જાય છે. ગોળો વાહક હોવાથી, સમગ્ર ગોળાનું પોટેન્શિયલ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$2$. બહારની સપાટી (ત્રિજ્યા $b$) પરનું પોટેન્શિયલ $V_b = k(Q_{in} + Q_{out})/b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $V_b = 0$ માટે, ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$3$. શરૂઆતમાં, અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{in} = -4\pi a^2 \sigma$ છે અને બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{out} = 4\pi b^2 \sigma$ છે.
$4$. જ્યારે ગોળાને અર્થિંગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ગોળાનું પોટેન્શિયલ શૂન્ય થઈ જાય છે. અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-q$ જ રહે છે, પરંતુ બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર કુલ પોટેન્શિયલ શૂન્ય કરવા માટે પુનઃવિતરિત થાય છે.
$5$. ગોળાને અર્થિંગ કરેલ હોવાથી, બહારની સપાટી પરના ધન વિદ્યુતભારને તટસ્થ કરવા માટે પૃથ્વીમાંથી ઇલેક્ટ્રોન ગોળા તરફ વહે છે, જેનાથી બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય થઈ જાય છે. આમ, સમગ્ર ગોળાનું પોટેન્શિયલ શૂન્ય થઈ જાય છે.

(A) ચોરસના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \sum \frac{kq}{r}$. દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r$ સમાન હોવાથી,$V = \frac{k}{r} (q_A + q_B + q_C + q_D)$. વિદ્યુતભારોની અદલાબદલી કરવાથી સરવાળો $(q_A + q_B + q_C + q_D)$ બદલાતો નથી,તેથી $V$ બદલાતું નથી.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ એ સદિશ રાશિ છે. કેન્દ્ર પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. શરૂઆતમાં,$A, B$ પર $q$ અને $C, D$ પર $-q$ વિદ્યુતભાર છે. $A$ ને $D$ સાથે અને $B$ ને $C$ સાથે અદલાબદલી કર્યા પછી,$A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભાર $-q$ થાય છે,અને $C$ અને $D$ પરના વિદ્યુતભાર $q$ થાય છે. આ અસરકારક રીતે કેન્દ્ર પરના પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશની દિશા ઉલટાવે છે. આમ,$\vec E$ બદલાય છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ખૂણાઓમાંથી એક ખૂણાનો વિચાર કરો.
આ $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વિકર્ણની સામેના ખૂણા પર રહેલા $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું અપાકર્ષી બળ: $F = k \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kQ^2}{2a^2}$ (વિકર્ણની દિશામાં બહારની તરફ).
$2$. પાસપાસેના ખૂણાઓ પર રહેલા બે $q$ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતા બે આકર્ષી બળો: $F' = k \frac{Qq}{a^2}$ (બાજુઓની દિશામાં).
આ બે બળો $F'$ નું પરિણામી બળ $R = \sqrt{F'^2 + F'^2} = \sqrt{2} F' = \sqrt{2} \frac{kQq}{a^2}$ (વિકર્ણની દિશામાં).
$Q$ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,પરિણામી બળ $R$ નું મૂલ્ય બળ $F$ ના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ અને તે વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
$\sqrt{2} \frac{kQq}{a^2} = - \frac{kQ^2}{2a^2}$
$\sqrt{2} q = - \frac{Q}{2}$
$\frac{Q}{q} = -2\sqrt{2}$

(A) સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો કોઈ બળ દ્વારા બે બિંદુઓ વચ્ચે ગતિ કરતા કણ પર થયેલું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવામાં આવે છે.
આ ગુણધર્મ એ વિધાનને સમકક્ષ છે કે બંધ ગાળામાં ગતિ કરતા પદાર્થ પર સંરક્ષી બળ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી,વિધાન-$1$ સાચું છે કારણ કે તે માર્ગની સ્વતંત્રતાનું વર્ણન કરે છે.
વિધાન-$2$ પણ સાચું છે કારણ કે તે સંરક્ષી બળોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ દર્શાવે છે.
વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ શા માટે સાચું છે તેની સાચી સમજૂતી આપે છે,કારણ કે માર્ગની સ્વતંત્રતા એ બંધ ગાળામાં થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોવાનું સીધું પરિણામ છે.

(A) કોઈપણ ક્ષણે,એક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$,અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$ છે.
બળોનું વિભાજન કરતા:
$T \cos \theta = mg$ $(i)$
$T \sin \theta = F_e$ (ii)
(ii) ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{x^2 mg}$
નાના $\theta$ માટે,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x}{2l}$.
તેથી,$\frac{x}{2l} = \frac{kq^2}{x^2 mg} \Rightarrow q^2 \propto x^3 \Rightarrow q \propto x^{3/2}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dq}{dt} \propto \frac{d}{dt}(x^{3/2}) = \frac{3}{2} x^{1/2} \frac{dx}{dt}$.
વિદ્યુતભાર અચળ દરે લીક થતો હોવાથી,$\frac{dq}{dt} = \text{અચળ}$.
તેથી,$1 \propto x^{1/2} v$,જ્યાં $v = \frac{dx}{dt}$ એ નજીક આવવાનો વેગ છે.
$v \propto x^{-1/2}$.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q_0$ ને $y$-અક્ષ પર $y$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $q$ અને $q_0$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{y^2 + a^2}$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ દરેક વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $q_0$ પર લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ નું મૂલ્ય:
$F = \frac{k q q_0}{r^2} = \frac{k q (q/2)}{y^2 + a^2} = \frac{k q^2}{2(y^2 + a^2)}$.
બળોના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
$q_0$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ ઉગમબિંદુ તરફ લાગે છે (પુનઃસ્થાપક બળ):
$F_{net} = -2 F \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{y^2 + a^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_{net} = -2 \left[ \frac{k q^2}{2(y^2 + a^2)} \right] \cdot \frac{y}{\sqrt{y^2 + a^2}} = -\frac{k q^2 y}{(y^2 + a^2)^{3/2}}$.
સ્થાનાંતર $y$ ખૂબ નાનું $(y << a)$ હોવાથી,આપણે $(y^2 + a^2)^{3/2} \approx (a^2)^{3/2} = a^3$ લઈ શકીએ.
આમ,$F_{net} \approx -\frac{k q^2}{a^3} y$.
અહીં $k, q,$ અને $a$ અચળ હોવાથી,$F_{net} \propto -y$.

(C) નળાકાર કવચના ઉપરના અર્ધ ભાગમાં ધન વિદ્યુતભાર અને નીચેના અર્ધ ભાગમાં ઋણ વિદ્યુતભારનું વિતરણ છે. આ ગોઠવણી વિદ્યુત ડાયપોલ (દ્વિધ્રુવી) જેવું જ વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
તેઓ ધન વિદ્યુતભારિત સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળવી જોઈએ અને ઋણ વિદ્યુતભારિત સપાટીમાં લંબરૂપે પ્રવેશવી જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,આકૃતિ $C$ ($115$-c981) માં દર્શાવેલ ક્ષેત્ર રેખાઓ ડાયપોલ જેવી ક્ષેત્ર ભાતને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે,જ્યાં રેખાઓ ઉપરના અર્ધ ભાગમાંથી ઉદ્ભવે છે અને નીચેના અર્ધ ભાગ પર સમાપ્ત થાય છે,જે નળાકારની આસપાસ વળાંક લે છે.

(D) જે બિંદુએ કણ સંપર્ક ગુમાવે છે,ત્યાં લંબબળ $N = 0$ થાય છે. કણ પર લાગતા ત્રિજ્યાવર્તી બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos \theta$ અને વિદ્યુતબળનો ઘટક $qE \sin \theta$ છે. પરિણામી ત્રિજ્યાવર્તી બળ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે:
$mg \cos \theta - qE \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ .........$(1)$
ગોળાની ટોચથી $\theta$ ખૂણે આવેલા બિંદુ સુધી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય + વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય = ગતિઊર્જામાં ફેરફાર
$mgR(1 - \cos \theta) + qER \sin \theta = \frac{1}{2}mv^2$
$mv^2 = 2mgR(1 - \cos \theta) + 2qER \sin \theta$ .........$(2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$mg \cos \theta - qE \sin \theta = \frac{2mgR(1 - \cos \theta) + 2qER \sin \theta}{R}$
$mg \cos \theta - qE \sin \theta = 2mg - 2mg \cos \theta + 2qE \sin \theta$
$3mg \cos \theta - 2mg = 3qE \sin \theta$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$3mg(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 2mg = 3qE(\frac{1}{\sqrt{2}})$
$mg(\frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = qE(\frac{3}{\sqrt{2}})$
$\frac{qE}{mg} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}$

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે.
ગોલીય વિદ્યુતભાર વિતરણની બહારના બિંદુ માટે,$r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ છે.
આ કિંમત ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \right)^2 = \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0 r^4}$.
બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = \log \left( \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0} \right) - 4 \log r$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log u$ અને $x = \log r$,ઢાળ $m = -4$ મળે છે.
નોંધ: જો પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરીએ તો,જો $u \propto r^{-2}$ લેવામાં આવે તો ઢાળ $-2$ મળે છે.

(A) ધારો કે આપેલ અર્ધગોળાકાર કવચ $H_1$ છે જેનો વિદ્યુતભાર $Q$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. બિંદુ $A(0, 0, -z_0)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ છે.
બીજું સમાન અર્ધગોળાકાર કવચ $H_2$ એવી રીતે મૂકો કે જેથી બંને કવચ મળીને $R$ ત્રિજ્યા અને $2Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતું સંપૂર્ણ ગોળાકાર કવચ બનાવે.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર કવચ માટે,તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે $H_1$ ને કારણે બિંદુ $B(0, 0, z_0)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1$ છે અને $H_2$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_2$ છે.
ગોળાની અંદર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,$\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{E}_1 = -\vec{E}_2$.
સપ્રમાણતા દ્વારા,$H_1$ ને કારણે $B$ પરનું ક્ષેત્ર એ $xy$-સમતલની સાપેક્ષમાં $A$ પરના ક્ષેત્રનું પ્રતિબિંબ છે,પરંતુ $z$-ઘટક ઉલટાયેલું હોય છે.
આમ,સાચો જવાબ $-\vec{E}$ છે.

(B) વિદ્યુતભારિત વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુત દબાણ $P = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
આપેલ છે કે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $R$ ત્રિજ્યાના ગોળા પર સમાન રીતે વહેંચાયેલ છે,તેથી પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ થાય.
બે અર્ધગોળાઓને સાથે પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ બીજા અર્ધગોળાને કારણે એક અર્ધગોળા પર લાગતા કુલ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષી બળ જેટલું હોય છે. આ બળ અર્ધગોળાના પ્રક્ષેપિત ક્ષેત્રફળ પર લાગતા વિદ્યુત દબાણની સમકક્ષ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના અર્ધગોળાનું પ્રક્ષેપિત ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
આમ,બળ $F = P \times A = \left(\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\right) \times (\pi R^2)$.
$\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ મૂકતા:
$F = \frac{1}{2\varepsilon_0} \left(\frac{Q}{4\pi R^2}\right)^2 \times \pi R^2$
$F = \frac{1}{2\varepsilon_0} \times \frac{Q^2}{16\pi^2 R^4} \times \pi R^2$
$F = \frac{Q^2}{32\pi \varepsilon_0 R^2}$.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = y^3 + 2$ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -\frac{dV}{dy} \hat{j} = -3y^2 \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાયા પર $(y=0)$, $V_A = 2 \text{ V}$. ઉપરની સપાટી પર $(y=2 \text{ m})$, $V_B = 2^3 + 2 = 10 \text{ V}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $q(V_A - V_B) = \frac{1}{2}mv^2$. $q = -0.5 \text{ C}$ હોવાથી, $-0.5(2 - 10) = \frac{1}{2}(2)v^2$, જે $4 = v^2$ આપે છે, તેથી $v = 2 \text{ m/s}$ (અથડામણ પહેલાનો વેગ).
અથડામણ પહેલાનો વેગ $\vec{v}_i = 2 \hat{j} \text{ m/s}$ છે. અથડામણ પછીનો વેગ $\vec{v}_f = -1.5 \hat{j} \text{ m/s}$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i) = 2(-1.5 - 2)\hat{j} = -7 \hat{j} \text{ kg m/s}$ છે.
દડા પર દીવાલ દ્વારા લાગતું સરેરાશ બળ $\vec{F}_{wall\_on\_ball} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \frac{-7}{0.1} \hat{j} = -70 \hat{j} \text{ N}$ છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ, દીવાલ પર દડા દ્વારા લાગતું બળ $\vec{F}_{ball\_on\_wall} = +70 \hat{j} \text{ N}$ છે.
વધુમાં, ઉપરની સપાટી પર $(y=2)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -3(2)^2 \hat{j} = -12 \hat{j} \text{ N/C}$ છે.
દડા પર લાગતું વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E} = (-0.5)(-12)\hat{j} = 6 \hat{j} \text{ N}$ છે.
પાત્ર સ્થિર રહે તે માટે, બાહ્ય બળ $\vec{F}_{ext}$ એ દડા દ્વારા લાગતા બળ અને દડા પરના વિદ્યુત બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $\vec{F}_{ext} + \vec{F}_{ball\_on\_wall} + \vec{F}_e = 0$.
$\vec{F}_{ext} + 70\hat{j} + 6\hat{j} = 0 \Rightarrow \vec{F}_{ext} = -76 \hat{j} \text{ N}$.
જરૂરી બાહ્ય બળનું મૂલ્ય $76 \text{ N}$ છે.

(D) ધારો કે બે ધન વિદ્યુતભારો $+q$ એ $(0, d)$ અને $(0, -d)$ પર છે. આ વિદ્યુતભારોને કારણે $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(x, 0)$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉગમબિંદુ $O$ તરફ હોય છે (કારણ કે પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર ઋણ છે, તેથી બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે).
$(x, 0)$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 2 \cdot \frac{kq}{x^2 + d^2} \cdot \cos\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + d^2}}$.
આમ, $E = \frac{2kqx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
$(x, 0)$ પરના ઋણ વિદ્યુતભાર $-Q$ પર લાગતું બળ $F = -QE = -\frac{2kqQx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
$F = ma$ હોવાથી, પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = -\frac{2kqQ}{m} \cdot \frac{x}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
$x = 0$ પર, $a = 0$ છે.
$x > 0$ માટે, $a$ ઋણ છે (ઉગમબિંદુ તરફ).
$x < 0$ માટે, $a$ ધન છે (ઉગમબિંદુ તરફ).
જેમ $x \to \infty$, તેમ $a \to 0$. જેમ $x \to -\infty$, તેમ $a \to 0$.
આ એક એકી વિધેય (odd function) છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે, $x < 0$ માટે ધન છે અને $x > 0$ માટે ઋણ છે. આલેખ $816-$d840 આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે ગોલીય વાહકો $B$ અને $C$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે.
તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{r^2}$
જ્યારે વિદ્યુતભાર રહિત વાહક $A$ ને $B$ સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેમની ત્રિજ્યા સમાન છે:
$q_B = q_A = \frac{q + 0}{2} = \frac{q}{2}$
હવે,વાહક $A$ ($q/2$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો) ને $C$ ($q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો) સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે:
$q_A = q_C = \frac{(q/2) + q}{2} = \frac{3q/2}{2} = \frac{3q}{4}$
$A$ ને દૂર કર્યા પછી,$B$ અને $C$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_B = q/2$ અને $q_C = 3q/4$ છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ $F'$:
$F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_B q_C}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(q/2)(3q/4)}{r^2}$
$F' = \frac{3}{8} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^2}{r^2} \right) = \frac{3F}{8}$

(D) ધારો કે ત્રીજો વિદ્યુતભાર $Q$ એ $+q$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. ત્રીજો વિદ્યુતભાર સંતુલનમાં રહે તે માટે,$+q$ અને $+4q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા તેના પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
$\frac{kqQ}{x^2} = \frac{kQ(4q)}{(R-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(R-x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{x} = \frac{2}{R-x}$
$R-x = 2x \implies x = \frac{R}{3}$
આખું તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,$+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\frac{kq(4q)}{R^2} + \frac{kqQ}{x^2} = 0$
$\frac{4kq^2}{R^2} + \frac{kqQ}{(R/3)^2} = 0$
$\frac{4q}{R^2} + \frac{9Q}{R^2} = 0$
$4q + 9Q = 0 \implies Q = -\frac{4}{9}q$

(D) $(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર રહેલા બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે $(x, 0)$ પર રહેલા $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ ઉગમબિંદુ તરફ હોય છે.
દરેક $-q$ વિદ્યુતભારનું $Q$ થી અંતર $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ છે.
દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2}$ છે.
$X$-અક્ષ પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = -2F \cos\theta = -2 \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2} \right) \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} = -\frac{2qQ}{4\pi\epsilon_0} \frac{x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ છે.
નાના $x$ માટે (ઉગમબિંદુની નજીક),$x^2 \ll a^2$,તેથી $F_{net} \approx -\left( \frac{2qQ}{4\pi\epsilon_0 a^3} \right) x$.
$F_{net} \propto -x$ હોવાથી,નાના સ્થાનાંતર માટે ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે.
જોકે,મોટા સ્થાનાંતર માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $x$ ના પ્રમાણમાં નથી,તેથી ગતિ દોલિત છે પણ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.

(D) પ્રથમ કિસ્સામાં,ટીપું ટર્મિનલ વેગ સાથે નીચે પડે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ એ ઉપરની તરફ લાગતા ડ્રેગ ફોર્સ $F$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$F = mg$.
બીજા કિસ્સામાં,ટીપું તે જ ટર્મિનલ વેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. ડ્રેગ ફોર્સ $F$ હવે નીચેની તરફ લાગે છે. વિદ્યુત બળ $qE$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યાં $q = 6e$.
ગતિનું સમીકરણ $qE = F + mg$ છે.
$F = mg$ મૂકતા,આપણને $6eE = mg + mg = 2mg$ મળે છે.
તેથી,$E = \frac{2mg}{6e} = \frac{mg}{3e}$.
આપેલ છે કે $m = 1.6 \times 10^{-15} \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$E = \frac{1.6 \times 10^{-15} \times 10}{3 \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{10^{-14}}{3 \times 10^{-19}} = 0.333 \times 10^5 \text{ N/C} = 33.3 \text{ kN/C}$.
આથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = 4 \times 10^{-6} \, C$ અને $q_2 = -1 \times 10^{-6} \, C$ છે,જે $d = 3 \, m$ ના અંતરે છે.
જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય તે બિંદુ $q_2$ થી $x$ અંતરે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે: $\frac{k |q_1|}{(d+x)^2} = \frac{k |q_2|}{x^2} \implies \frac{4}{(3+x)^2} = \frac{1}{x^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{2}{3+x} = \frac{1}{x} \implies 2x = 3+x \implies x = 3 \, m$.
આ બિંદુ $q_1$ થી $6 \, m$ અને $q_2$ થી $3 \, m$ દૂર છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{k q_1}{r_1} + \frac{k q_2}{r_2} = (9 \times 10^9) \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{6} + \frac{-1 \times 10^{-6}}{3} \right)$.
$V = (9 \times 10^9) (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) \times 10^{-6} = 9000 \times \frac{1}{3} = 3000 \, V$.

(A) વહન પામેલ કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ કરંટ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$q = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$q = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-3} \ s) \times (150 \times 10^3 \ A) = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 150 = 15 \ C$.
વાદળ અને જમીન વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ $V = E \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 400 \ kVm^{-1} = 4 \times 10^5 \ Vm^{-1}$ અને $d = 1.5 \ km = 1500 \ m$ છે.
$V = (4 \times 10^5 \ Vm^{-1}) \times (1500 \ m) = 6 \times 10^8 \ V$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $U$ એ $U = q \cdot V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$U = 15 \ C \times 6 \times 10^8 \ V = 90 \times 10^8 \ J = 9 \times 10^9 \ J$.
આમ,મુક્ત થતી ઉર્જા $9 \times 10^9 \ J$ છે.

(NONE) ધારો કે દરેક વિદ્યુતભારનું ઉગમબિંદુથી અંતર $r$ છે. ઉગમબિંદુ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \sum \frac{kQ_i}{r^2} \hat{r}_i$ છે. બળ $\vec{F} = q_0 \vec{E}$ છે.
આકૃતિ-$1$: વિદ્યુતભારો $A(-r,0)$ પર $2Q$,$B(r,0)$ પર $-3Q$,અને $C(0,r)$ પર $5Q$ છે.
$\vec{E}_1 = \frac{k}{r^2} [(-2Q)\hat{i} - (-3Q)\hat{i} - 5Q\hat{j}] = \frac{k}{r^2} [Q\hat{i} - 5Q\hat{j}]$. મૂલ્ય $E_1 = \frac{kQ}{r^2} \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \frac{kQ}{r^2} \sqrt{26} \approx 5.1 \frac{kQ}{r^2}$.
આકૃતિ-$2$: વિદ્યુતભારો $A(-r,0)$ પર $2Q$,$B(r,0)$ પર $3Q$,અને $C(0,r)$ પર $5Q$ છે.
$\vec{E}_2 = \frac{k}{r^2} [(-2Q)\hat{i} - (3Q)\hat{i} - 5Q\hat{j}] = \frac{k}{r^2} [-5Q\hat{i} - 5Q\hat{j}]$. મૂલ્ય $E_2 = \frac{kQ}{r^2} \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \frac{kQ}{r^2} \sqrt{50} \approx 7.07 \frac{kQ}{r^2}$.
આકૃતિ-$3$: વિદ્યુતભારો $A(-r,0)$ પર $2Q$,$B(r,0)$ પર $-2Q$,$C(0,r)$ પર $5Q$,અને $D(0,-r)$ પર $5Q$ છે.
$\vec{E}_3 = \frac{k}{r^2} [(-2Q)\hat{i} - (-2Q)\hat{i} - 5Q\hat{j} + 5Q\hat{j}] = 0$.
આકૃતિ-$4$: વિદ્યુતભારો $A(-r,0)$ પર $2Q$,$B(r,0)$ પર $2Q$,$C(0,r)$ પર $5Q$,અને $D(0,-r)$ પર $5Q$ છે.
$\vec{E}_4 = \frac{k}{r^2} [(-2Q)\hat{i} - (2Q)\hat{i} - 5Q\hat{j} + 5Q\hat{j}] = \frac{k}{r^2} [-4Q\hat{i}]$. મૂલ્ય $E_4 = 4 \frac{kQ}{r^2}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $E_2 (7.07) > E_1 (5.1) > E_4 (4) > E_3 (0)$.
તેથી,$F_2 > F_1 > F_4 > F_3$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર (વિકર્ણોનું છેદબિંદુ) સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4) = \frac{k}{r} (2 - 3 - 4 + 5) = \frac{k}{r} (0) = 0$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સદિશ રાશિ છે. કેન્દ્ર પર વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી કારણ કે વિદ્યુતભારો સમાન કે વિરુદ્ધ જોડીમાં નથી. ખાસ કરીને,$2C$ અને $-4C$ ના ક્ષેત્ર સદિશો એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી,તેમજ $-3C$ અને $5C$ ના પણ નથી. તેથી,ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E \neq 0$ છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય નથી,પરંતુ વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(D) $S$ પર મૂકવામાં આવેલ $+Q$ વિદ્યુતભાર ગોળાકાર વાહકની અંદરની સપાટી પર $-Q$ વિદ્યુતભાર અને બહારની સપાટી પર $+Q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે.
બહારના બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $S$ પરના બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+Q$,અંદરની સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $-Q$ અને બહારની સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $+Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. $S$ પરના બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+Q$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ છે,જે $S$ થી દૂરની દિશામાં છે.
$2$. ગોળાકાર વાહક પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારોને કારણે બહારના બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર,ગોળાના કેન્દ્ર $O$ પર મૂકવામાં આવેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+Q$ ના ક્ષેત્રને સમાન છે,જે $E_2 = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 x^2}$ છે અને તે $O$ થી દૂરની દિશામાં છે.
આ ક્ષેત્રો અલગ-અલગ દિશામાં હોવાથી,$P$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર આપેલા વિકલ્પો દ્વારા સરળતાથી દર્શાવી શકાતું નથી.

(B) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q$ એ $(-a, 0)$ અને $(a, 0)$ પર છે. $-q$ વિદ્યુતભાર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
જ્યારે $-q$ ને $y$-અક્ષ પર $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે દરેક $Q$ થી અંતર $r = \sqrt{a^2 + x^2}$ થાય.
દરેક $Q$ દ્વારા $-q$ પર લાગતું બળ $F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{r^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{a^2 + x^2}$ છે.
$y$-અક્ષ પર બળનો ઘટક $F_y = -2F \sin \theta$ છે,જ્યાં $\sin \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$.
તેથી,$F_{net} = -2 \left( \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{a^2 + x^2} \right) \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = -\frac{2Qqx}{4\pi \epsilon_0 (a^2 + x^2)^{3/2}}$.
નાના $x$ માટે,$a^2 + x^2 \approx a^2$,તેથી $F_{net} \approx -\frac{2Qqx}{4\pi \epsilon_0 a^3} = -\left( \frac{Qq}{2\pi \epsilon_0 a^3} \right) x$.
$F = -m\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{Qq}{2\pi \epsilon_0 m a^3}$ મળે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{Qq}{2\pi \epsilon_0 m a^3}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{2\pi \epsilon_0 m a^3}{Qq}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m a^3 \pi \epsilon_0}{Qq}}$.

(D) ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે. તેમની વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k q^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે ગોળા $C$ (વિદ્યુતભાર રહિત) ને $A$ સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર બંને વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,$A$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_A = \frac{q + 0}{2} = \frac{q}{2}$ થાય છે. $C$ પરનો વિદ્યુતભાર પણ $\frac{q}{2}$ થાય છે.
ત્યારબાદ,ગોળા $C$ (હવે $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર સાથે) ને $B$ (જેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે) સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2} + q = \frac{3q}{2}$ થાય છે. આ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાતા,$B$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_B = \frac{3q/2}{2} = \frac{3q}{4}$ થાય છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું નવું બળ $F' = \frac{k q_A q_B}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \frac{k q^2}{r^2} = \frac{3}{8} F$ થાય.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,વિદ્યુતભાર વિતરણની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા તેના વિસ્તરણ દરમિયાન ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$Q$ વિદ્યુતભાર અને $R_0$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય કવચની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{k Q^2}{2 R_0}$ છે.
કોઈપણ તત્કાલીન ત્રિજ્યા $R(t)$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U_t = \frac{k Q^2}{2 R(t)}$ અને ગતિ ઉર્જા $K_t = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
તંત્ર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતું હોવાથી,$K_i = 0$. તેથી,$U_i = U_t + K_t$.
$\frac{k Q^2}{2 R_0} = \frac{k Q^2}{2 R(t)} + \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{k Q^2}{2} \left( \frac{1}{R_0} - \frac{1}{R(t)} \right)$
$v = \sqrt{\frac{k Q^2}{m} \left( \frac{1}{R_0} - \frac{1}{R(t)} \right)}$
જેમ $R(t) \to R_0$,તેમ $v \to 0$. જેમ $R(t) \to \infty$,તેમ $v \to \sqrt{\frac{k Q^2}{m R_0}}$,જે એક અચળ મૂલ્ય છે. વિધેય $v(R)$ એ $0$ થી શરૂ થાય છે અને વધે છે,જે એક આડી અનંતસ્પર્શક (horizontal asymptote) તરફ જાય છે. આ વર્તણૂક આલેખ $C$ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(D) આપેલ છે: $q_A = 1\,\mu C = 10^{-6}\,C$,$q_B = 1\,\mu C = 10^{-6}\,C$,$m_B = 4\,\mu g = 4 \times 10^{-9}\,kg$,$r_1 = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$r_2 = 9\,mm = 9 \times 10^{-3}\,m$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$\Delta U = \Delta K$
$k q_A q_B \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{1}{2} m_B v^2$
કિંમતો મૂકતા:
$9 \times 10^9 \times (10^{-6}) \times (10^{-6}) \left( \frac{1}{10^{-3}} - \frac{1}{9 \times 10^{-3}} \right) = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times 10^{-3} \left( 1000 - \frac{1000}{9} \right) = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times 10^{-3} \times 1000 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$9 \times \frac{8}{9} = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$8 = 2 \times 10^{-9} \times v^2$
$v^2 = 4 \times 10^9$
$v = \sqrt{40 \times 10^8} = 2 \times 10^4 \times \sqrt{10} \approx 6.32 \times 10^4\,m/s$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે,તંત્ર પર લાગતું કુલ આંતરિક સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોય છે કારણ કે બળો એ આંતરક્રિયાની જોડી (action-reaction pairs) છે.
બંધ તંત્રમાં આંતરિક બળોના ગુણધર્મ મુજબ,વિદ્યુતભારો પર લાગતા તમામ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}$
આપેલ છે:
$\vec{F}_1 = (2\hat{i} - \hat{j}) \, N$
$\vec{F}_2 = (\hat{i} + 3\hat{j}) \, N$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2\hat{i} - \hat{j}) + (\hat{i} + 3\hat{j}) + \vec{F}_3 = \vec{0}$
$(3\hat{i} + 2\hat{j}) + \vec{F}_3 = \vec{0}$
તેથી,$q_3$ પર લાગતું બળ:
$\vec{F}_3 = -(3\hat{i} + 2\hat{j}) \, N = (-3\hat{i} - 2\hat{j}) \, N$

(C) પ્રથમ કિસ્સામાં,કુલંબના નિયમ મુજબ,ગોળાઓ વચ્ચેનું બળ:
$F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{d^2}$
જ્યારે બે સમાન ગોળાઓને એકબીજા સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. દરેક ગોળા પરનો નવો વિદ્યુતભાર:
$q = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$
અહીં $Q_1 >> Q_2$ હોવાથી,આપણે $q \approx \frac{Q_1}{2}$ લઈ શકીએ.
તેમને મૂળ અંતર $d$ પર અલગ કર્યા પછી,નવું બળ $F_2$:
$F_2 = \frac{k q^2}{d^2} = \frac{k (Q_1/2)^2}{d^2} = \frac{k Q_1^2}{4d^2}$
હવે,ગુણોત્તર $F_1/F_2$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{(k Q_1 Q_2 / d^2)}{(k Q_1^2 / 4d^2)} = \frac{4 Q_1 Q_2}{Q_1^2} = \frac{4 Q_2}{Q_1}$

(C) ધારો કે $q_1$ નું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. $q_3$ નું સ્થાન $(4\cos\theta, 4\sin\theta)$ છે અને $q_2$ નું સ્થાન $(5,0)$ પર છે.
$q_3$ પર લાગતું પરિણામી બળ ઋણ $x-$ દિશામાં હોવા માટે,$q_1$ અને $q_2$ દ્વારા $q_3$ પર લાગતા બળોના $y-$ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરવા જોઈએ.
ધારો કે $\vec{F}_{13}$ એ $q_1$ ને કારણે $q_3$ પર લાગતું બળ છે અને $\vec{F}_{23}$ એ $q_2$ ને કારણે $q_3$ પર લાગતું બળ છે.
જો $q_1$ ઋણ હોય,તો તે $q_3$ ને પોતાની તરફ આકર્ષે છે. બળ $\vec{F}_{13}$ એ $q_3$ અને $q_1$ ને જોડતી રેખા પર $q_1$ ની દિશામાં હોય છે. આ બળનો $y-$ ઘટક ધન હોય છે.
આને નાબૂદ કરવા માટે,$q_2$ ને કારણે લાગતા બળ $\vec{F}_{23}$ નો $y-$ ઘટક ઋણ હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $q_2$ એ $q_3$ ને પોતાની તરફ આકર્ષવું જોઈએ. પરંતુ અહીં $q_3$ ધન હોવાથી,જો $q_2$ ધન હોય તો તે અપાકર્ષણ બળ લગાડશે જેનો $y-$ ઘટક ઋણ હોઈ શકે છે.
ભૂમિતિને ધ્યાનમાં લેતા,પરિણામી બળ ઋણ $x-$ દિશામાં મેળવવા માટે $q_1$ ઋણ અને $q_2$ ધન હોવું જરૂરી છે.

(A) પ્રારંભિક બળ: $F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
જ્યારે બે સમાન દડાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. હવે દરેક દડા પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$ છે.
નવું અંતર $r' = r/2$ છે. નવું બળ $F_2$ છે:
$F_2 = \frac{k Q' Q'}{(r')^2} = \frac{k (\frac{Q_1 + Q_2}{2})^2}{(r/2)^2} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2 / 4}{r^2 / 4} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2}$
આપેલ છે કે $F_2 = 4.5 F_1$:
$\frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2} = 4.5 \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
$(Q_1 + Q_2)^2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 + Q_2^2 + 2 Q_1 Q_2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 + Q_2^2 = 2.5 Q_1 Q_2$
$Q_2^2$ વડે ભાગતા:
$(\frac{Q_1}{Q_2})^2 - 2.5 (\frac{Q_1}{Q_2}) + 1 = 0$
ધારો કે $x = \frac{Q_1}{Q_2}$,તો $x^2 - 2.5x + 1 = 0$
$x^2 - 2x - 0.5x + 1 = 0$
$x(x - 2) - 0.5(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 0.5) = 0$
$x = 2$ અથવા $x = 0.5 = 1/2$.
આમ,ગુણોત્તર $2$ છે.

(A) ધારો કે દરેક દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. દોરીઓ વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $30^o$ હોવાથી,$\theta = 15^o$ થશે.
હવામાં એક ગોળાના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,બળો તણાવ $T$,વજન $mg$ અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ છે. બળોને સંતુલિત કરતા:
$T \sin \theta = F$
$T \cos \theta = mg$
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\tan \theta = \frac{F}{mg} \quad ......(i)$ મળે છે.
જ્યારે $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળો ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho g$ અનુભવે છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે. અસરકારક વજન $mg' = mg - F_B = V d g - V \rho g = V g (d - \rho)$ થાય છે,જ્યાં $d$ એ ગોળાની ઘનતા છે.
પ્રવાહીમાં સ્થિત વિદ્યુત બળ $F' = \frac{F}{K}$ થાય છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
ખૂણો $\theta$ સમાન રહેતો હોવાથી:
$\tan \theta = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{V g (d - \rho)} = \frac{F}{K V g d (1 - \rho/d)} = \frac{F}{K mg (1 - \rho/d)} \quad ......(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \rho/d)}$
$1 = \frac{1}{K (1 - \rho/d)}$
$K = \frac{1}{1 - \rho/d} = \frac{1}{1 - (1 / (4/3))} = \frac{1}{1 - 3/4} = \frac{1}{1/4} = 4$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $L$ છે. કેન્દ્ર $O$ થી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર $O$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4) = \frac{k}{r} (2 - 3 - 4 + 5) = \frac{k}{r} (0) = 0$.
કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. કેન્દ્ર પર સામસામેના વિદ્યુતભારોની જોડી $q_i$ અને $q_j$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $\vec{E}_{ij} = \frac{k(q_i - q_j)}{r^2} \hat{r}$ છે.
$(2C, -4C)$ ની જોડી માટે,ચોખ્ખું ક્ષેત્ર $-4C$ તરફ છે અને તેનું મૂલ્ય $\frac{k(2 - (-4))}{r^2} = \frac{6k}{r^2}$ છે.
$(-3C, 5C)$ ની જોડી માટે,ચોખ્ખું ક્ષેત્ર $5C$ તરફ છે અને તેનું મૂલ્ય $\frac{k(5 - (-3))}{r^2} = \frac{8k}{r^2}$ છે.
આ બે પરિણામી સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \sqrt{(\frac{6k}{r^2})^2 + (\frac{8k}{r^2})^2} = \frac{k}{r^2} \sqrt{36 + 64} = \frac{10k}{r^2} = \frac{10k}{(L/\sqrt{2})^2} = \frac{20k}{L^2} \neq 0$ થાય.

(C) ધારો કે ચોરસનું કેન્દ્ર $O$ છે. ધારો કે $O$ પર એક ધન વિદ્યુતભાર $+Q$ મૂકવામાં આવ્યો છે. દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r$ છે. $A, B, C, D$ પરના વિદ્યુતભારો દ્વારા $O$ પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. $A$ પરના $-2q$ ને કારણે બળ: $\vec{F}_A$ એ $A$ તરફ આકર્ષાયેલું છે.
$2$. $B$ પરના $+q$ ને કારણે બળ: $\vec{F}_B$ એ $B$ થી દૂર અપાકર્ષાયેલું છે.
$3$. $C$ પરના $-q$ ને કારણે બળ: $\vec{F}_C$ એ $C$ તરફ આકર્ષાયેલું છે.
$4$. $D$ પરના $+2q$ ને કારણે બળ: $\vec{F}_D$ એ $D$ થી દૂર અપાકર્ષાયેલું છે.
ધારો કે વિકર્ણ $BD$ એ $x$-અક્ષ પર છે અને $AC$ એ $y$-અક્ષ પર છે. પરિણામી બળના ઘટકો સદિશ સરવાળા દ્વારા ગણી શકાય છે. પરિણામી બળ $\vec{F}_R$ એ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં હોય છે કારણ કે $D$ પરના $+2q$ થી અપાકર્ષણ અને $A$ પરના $-2q$ થી આકર્ષણ અન્ય ઘટકો સાથે મળીને વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં પરિણામી બળ આપે છે.

(A) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q$ એ $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $2r$ અંતરે રહેલા છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને $AB$ ના મધ્યબિંદુ $O$ પર મૂકવામાં આવે છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બિંદુ $A$ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું બળ ધ્યાનમાં લો:
બિંદુ $B$ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે લાગતું બળ $F_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q^2}{(2r)^2} = \frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0 r^2}$ છે.
બિંદુ $O$ પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે લાગતું બળ $F_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{r^2}$ છે.
સંતુલન માટે,$F_1 + F_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0 r^2} + \frac{Qq}{4\pi\epsilon_0 r^2} = 0$.
$\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{Q}{4} + q = 0$ મળે છે.
તેથી,$q = \frac{-Q}{4}$.

(D) સંમિતિને કારણે,દરેક કણની ઝડપ $v$ સમાન હશે.
તંત્રની પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા $E_i = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_1}$ છે.
$r_2$ અંતરે તંત્રની અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_2} + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_2} + mv^2$ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી,આપણે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: $E_i = E_f$.
$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r_2} + mv^2$.
$mv^2$ માટે પદ ગોઠવતા: $mv^2 = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)$.
તેથી,$v = q \sqrt{\frac{r_2 - r_1}{4\pi \varepsilon_0 m r_1 r_2}}$.

(A) ધારો કે બે સમાન વિદ્યુતભારો $Q$ એ $x = -d$ અને $x = +d$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. મધ્યબિંદુ $O$ એ $x = 0$ પર છે.
જો $O$ પર ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ મૂકવામાં આવે,તો ડાબી બાજુના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $F_1 = \frac{kQq}{d^2}$ (જમણી તરફ) અને જમણી બાજુના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $F_2 = \frac{kQq}{d^2}$ (ડાબી તરફ) છે. ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = 0$ છે. આમ,વિદ્યુતભાર સંતુલનમાં છે.
જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ ને જમણી તરફ થોડા અંતર $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો જમણી બાજુના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ વધે છે અને ડાબી બાજુના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ ઘટે છે. ચોખ્ખું બળ ડાબી તરફ (સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં) લાગશે,જે વિદ્યુતભારને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા લાવવાનો પ્રયત્ન કરશે. આ $x-$ અક્ષની દિશામાં સ્થાનાંતર માટે સ્થાયી સંતુલનની પુષ્ટિ કરે છે.
વિધાન સાચું છે અને કારણ સાચું છે કે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે (જે સંતુલન માટેની શરત છે),તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(N/A) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_{1} = 1.5 \; \mu C$ અને $q_{2} = 2.5 \; \mu C$ અનુક્રમે બિંદુ $A$ અને $B$ પર છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 30 \; cm = 0.3 \; m$ છે.
$(a)$ મધ્યબિંદુ $O$ પર:
દરેક વિદ્યુતભારથી અંતર $r = d/2 = 0.15 \; m$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{r} + \frac{q_{2}}{r} \right) = (9 \times 10^{9}) \times \frac{10^{-6}}{0.15} (1.5 + 2.5) = 2.4 \times 10^{5} \; V$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \left| \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r^{2}} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r^{2}} \right| = \frac{9 \times 10^{9} \times 10^{-6}}{(0.15)^{2}} (2.5 - 1.5) = 4 \times 10^{5} \; V/m$.
$(b)$ બિંદુ $Z$ પર (મધ્યબિંદુથી $10 \; cm$ દૂર):
અંતર $AZ = BZ = \sqrt{(0.15)^{2} + (0.1)^{2}} = \sqrt{0.0325} \approx 0.18 \; m$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{q_{1}}{AZ} + \frac{q_{2}}{BZ} \right) = \frac{9 \times 10^{9} \times 10^{-6}}{0.18} (1.5 + 2.5) = 2.0 \times 10^{5} \; V$.
વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો: $E_{A} \approx 4.15 \times 10^{5} \; V/m$,$E_{B} \approx 6.92 \times 10^{5} \; V/m$.
પરિણામી $E = \sqrt{E_{A}^{2} + E_{B}^{2} + 2 E_{A} E_{B} \cos(2\theta)} \approx 6.6 \times 10^{5} \; V/m$.

(A) ના,બળનું મૂલ્ય બરાબર $Q_{1} Q_{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવતું નથી કારણ કે જ્યારે તેમને નજીક લાવવામાં આવે છે ત્યારે પ્રેરણને કારણે ગોળાઓ પર વિદ્યુતભારનું વિતરણ અસમાન બની જાય છે.
$(b)$ ના,ગૌસનો નિયમ સાચો રહેશે નહીં. ગૌસનો નિયમ એ વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ ($1/r^{2}$ આધારિત) નું સીધું પરિણામ છે.
$(c)$ જરૂરી નથી. પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર ક્ષેત્ર રેખા પર ત્યારે જ ગતિ કરશે જો ક્ષેત્ર રેખા સીધી રેખા હોય. જો ક્ષેત્ર રેખા વક્ર હોય,તો બળ (અને પ્રવેગ) વક્રને સ્પર્શક હોય છે,પરંતુ વેગ તે દિશામાં હોવો જરૂરી નથી.
$(d)$ બંને કિસ્સાઓમાં કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય છે. સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે,અને બંધ માર્ગમાં કરવામાં આવેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
$(e)$ ના,વિદ્યુતભારિત વાહકની સપાટી પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન સતત (continuous) હોય છે. માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર જ અસતત હોય છે.
$(f)$ એકલ વાહકની કેપેસિટન્સને એવી સિસ્ટમની કેપેસિટન્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં બીજો વાહક અનંત અંતરે હોય તેમ માનવામાં આવે છે.
$(g)$ પાણીના અણુઓ કાયમી વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે,જે તેમને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે ગોઠવવાની મંજૂરી આપે છે,જેના પરિણામે માઈકા જેવા અધ્રુવીય પદાર્થોની તુલનામાં તેનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ઘણો વધારે હોય છે.

(N/A) આપણને વિદ્યુત આંચકો લાગતો નથી કારણ કે આપણું શરીર અને જમીન એક સમાન સ્થિતિમાન (equipotential) સપાટી બનાવે છે. જ્યારે આપણે બહાર નીકળીએ છીએ,ત્યારે આપણું શરીર વાતાવરણના સ્થાનિક સ્થિતિમાન સાથે અનુકૂલન સાધે છે,અને આપણે જમીનના સંપર્કમાં હોવાથી,આપણે જમીન જેટલા જ સ્થિતિમાન પર રહીએ છીએ,જેના પરિણામે આપણા શરીરમાં સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય રહે છે.
$(b)$ હા,માણસને વિદ્યુત આંચકો લાગશે. વાતાવરણીય ડિસ્ચાર્જિંગ પ્રવાહ સતત એલ્યુમિનિયમ શીટને ચાર્જ કરે છે. સમય જતાં,શીટ જમીનની સાપેક્ષમાં ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત કરે છે. તેને સ્પર્શ કરવાથી શરીર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થવાનો માર્ગ મળે છે.
$(c)$ વાતાવરણને સમગ્ર વિશ્વમાં સતત થતા ગાજવીજ અને વીજળીના ચમકારા દ્વારા જાળવવામાં આવતા વૈશ્વિક વિદ્યુત પરિપથ દ્વારા ચાર્જ રાખવામાં આવે છે. આ બેટરી તરીકે કામ કરે છે જે પૃથ્વી પર ઋણ વીજભાર પંપ કરે છે,જે ડિસ્ચાર્જિંગ પ્રવાહને સંતુલિત કરે છે.
$(d)$ વીજળીના ચમકારા દરમિયાન,વાતાવરણની વિદ્યુત ઊર્જા પ્રકાશ ઊર્જા,ઉષ્મા ઊર્જા અને ધ્વનિ ઊર્જામાં વિખેરાઈ જાય છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા,$\sigma = 10^{-9} \; C\;m^{-2}$.
સમગ્ર પૃથ્વી પરનો પ્રવાહ,$I = 1800 \; A$.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા,$r = 6.37 \times 10^{6} \; m$.
પૃથ્વીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ,$A = 4 \pi r^{2}$.
$A = 4 \times 3.14159 \times (6.37 \times 10^{6})^{2} \approx 5.096 \times 10^{14} \; m^{2}$.
પૃથ્વીની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર,$q = \sigma \times A$.
$q = 10^{-9} \times 5.096 \times 10^{14} = 5.096 \times 10^{5} \; C$.
પૃથ્વીની સપાટીને તટસ્થ કરવા માટે લાગતો સમય,$t = \frac{q}{I}$.
$t = \frac{5.096 \times 10^{5}}{1800} \approx 283.11 \; s$.
આપેલા વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરતા,સૌથી નજીકની કિંમત $282.77 \; s$ છે.

(N/A) આકૃતિમાં નીચેના માટે ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવેલ છે:
$(a)$ ગજિયો ચુંબક,જેમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળીને દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે અને સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે.
$(b)$ પ્રવાહધારિત મર્યાદિત સોલેનોઇડ,જે ગજિયા ચુંબકની જેમ વર્તે છે અને તેની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સોલેનોઇડની અંદર અને બહારથી પસાર થતા બંધ ગાળાઓ બનાવે છે.
$(c)$ વિદ્યુત ડાયપોલ,જેમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વીજભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વીજભાર પર સમાપ્ત થાય છે,જે કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે.

(N/A) $(i)$ $Cs^{+}$ આયનો ઘનના ખૂણાઓ પર સ્થિત છે અને $Cl^{-}$ આયન કેન્દ્રમાં છે। ઘનની સંમિતિને કારણે, દરેક $Cs^{+}$ આયન દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન હોય છે અને ખૂણાથી વિરુદ્ધ ખૂણા તરફની દિશામાં હોય છે। આ ક્ષેત્રો જોડીમાં એકબીજાને નાબૂદ કરે છે। તેથી, કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $0 \, N/C$ છે।
$(ii)$ ધારો કે $\vec{E}_{total}$ એ કેન્દ્ર પર આઠેય $Cs^{+}$ આયનોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે, જે $0$ છે। જો ખૂણા $A$ પરનો એક $Cs^{+}$ આયન દૂર કરવામાં આવે, તો કેન્દ્ર પરનું નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}'$ એ $\vec{E}' + \vec{E}_{A} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{E}_{A}$ એ $A$ પરના $Cs^{+}$ આયનને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર છે। આમ, $\vec{E}' = -\vec{E}_{A}$.
$a = 0.40 \, nm$ બાજુવાળા ઘનના ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r$ એ મુખ્ય વિકર્ણનું અડધું છે: $r = \frac{\sqrt{3}a}{2} = \frac{\sqrt{3} \times 0.40 \times 10^{-9}}{2} = 0.20\sqrt{3} \times 10^{-9} \, m \approx 3.464 \times 10^{-10} \, m$.
એક $Cs^{+}$ આયનને કારણે કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{A} = \frac{k e}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{(0.20\sqrt{3} \times 10^{-9})^2} = \frac{14.4 \times 10^{-10}}{12 \times 10^{-20}} = 1.2 \times 10^{10} \, N/C$ છે।
બાકીના સાત $Cs^{+}$ આયનોને કારણે $Cl^{-}$ આયન (ભાર $-e$) પર લાગતું બળ $\vec{F} = (-e) \vec{E}' = (-e) (-\vec{E}_{A}) = e \vec{E}_{A}$ છે।
બળનું મૂલ્ય $F = e E_{A} = (1.6 \times 10^{-19}) \times (1.2 \times 10^{10}) = 1.92 \times 10^{-9} \, N$ છે, જે ખાલી ખૂણા $A$ તરફની દિશામાં લાગે છે।

(A) ધારો કે બ્રહ્માંડની ત્રિજ્યા $R$ છે. ધારો કે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ સમાન રીતે વિતરિત થયેલા છે. જો $R$ અંતરે રહેલા હાઇડ્રોજન પરમાણુ પરનું કુલંબ અપાકર્ષણ ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ કરતા વધારે હોય તો બ્રહ્માંડનું વિસ્તરણ શરૂ થશે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં એક પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોન હોય છે. દરેક હાઇડ્રોજન પરમાણુ પરનો ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર:
$q = e_p + e = -(1 + y)e + e = -ye$.
ગોળાની સપાટી પર $R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ છે. ગૌસના પ્રમેય મુજબ:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
$E(4\pi R^2) = \frac{1}{\epsilon_0} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 N |ye| \right)$
$E = \frac{N|ye|R}{3\epsilon_0}$.
$R$ અંતરે હાઇડ્રોજન પરમાણુ પરનું કુલંબ બળ:
$F_C = qE = (ye) \left( \frac{NyeR}{3\epsilon_0} \right) = \frac{y^2 e^2 N R}{3\epsilon_0}$.
$R$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $G_R$:
$G_R = \frac{4}{3} \pi G m_p N R$.
પરમાણુ પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_G = m_p G_R = \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N R$.
વિસ્તરણ ત્યારે શરૂ થાય છે જ્યારે $F_C > F_G$:
$\frac{y^2 e^2 N R}{3\epsilon_0} > \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N R$
$y^2 > \frac{4 \pi G m_p^2 \epsilon_0}{e^2}$.
આમ,ક્રાંતિક મૂલ્ય $y = \sqrt{\frac{4 \pi G m_p^2 \epsilon_0}{e^2}}$ છે.
$(b)$ પરમાણુ પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_C - F_G = kR$ છે,જ્યાં $k = \frac{y^2 e^2 N}{3\epsilon_0} - \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N$. $F = ma$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = \frac{k}{m_p} R$. $a = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dR}$ હોવાથી,$v dv = \frac{k}{m_p} R dR$ નું સંકલન કરતા $v^2 \propto R^2$ મળે છે,તેથી $v \propto R$.

(N/A) અથડામણ પહેલાં પ્લેટ $(\gamma)$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ પ્લેટો $(\alpha)$ અને $(\beta)$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
પ્લેટ $(\alpha)$ ને કારણે $(\gamma)$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1 = \frac{Q}{2S\epsilon_0} \hat{i}$ છે.
પ્લેટ $(\beta)$ ને કારણે $(\gamma)$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_2 = \frac{q}{2S\epsilon_0} \hat{i}$ છે.
તેથી,$\vec{E}_{net} = \frac{Q+q}{2S\epsilon_0} \hat{i}$.
$(b)$ અથડામણ દરમિયાન,પ્લેટો $(\beta)$ અને $(\gamma)$ સંપર્કમાં હોવાથી,તેઓ કુલ વિદ્યુતભાર $q$ ને સમાન રીતે વહેંચે છે,તેથી $q_{\beta} = q_{\gamma} = q/2$.
$(c)$ અથડામણ પછી પ્લેટ $(\gamma)$ પર લાગતું બળ $F = q_{\gamma} E$ છે. કાર્ય $W = Fd = \frac{1}{2}mv^2$ પરથી વેગ $v = \sqrt{\frac{2Fd}{m}}$ મળે છે.

(C) કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \sum \frac{kq_i}{R} = \frac{k}{R} \sum q_i$. અહીં પાંચ $(+q)$ અને પાંચ $(-q)$ વિદ્યુતભારો હોવાથી, કુલ વિદ્યુતભાર $\sum q_i = 5(+q) + 5(-q) = 0$ થાય. તેથી, $V = 0$.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માટે, દરેક $(+q)$ વિદ્યુતભાર તેનાથી દૂર જતી દિશામાં $\vec{E}_0$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે, અને દરેક $(-q)$ વિદ્યુતભાર પોતાની તરફ આવતી દિશામાં $\vec{E}_0$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે। $36^\circ$ ના સમાન કોણીય અંતરે ગોઠવાયેલા દસ વિદ્યુતભારોની સંમિતિને કારણે, દરેક વિદ્યુતભારની સામે વ્યાસાંતે સમાન મૂલ્યનો પણ વિરુદ્ધ ચિહ્નનો વિદ્યુતભાર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યુતભાર $1$ $(+q)$ અને વિદ્યુતભાર $6$ $(-q)$ વ્યાસાંતે સામસામે છે. વિદ્યુતભાર $1$ ને કારણે ક્ષેત્ર $\vec{E}_1$ (તેનાથી દૂર) અને વિદ્યુતભાર $6$ ને કારણે ક્ષેત્ર $\vec{E}_6$ (તેની તરફ) છે. $1$ અને $6$ સામસામે હોવાથી, $\vec{E}_1$ અને $\vec{E}_6$ એક જ દિશામાં હોય છે અને તેમનો સરવાળો $2\vec{E}_0$ થાય છે. આના પરિણામે $72^\circ$ ના ખૂણે રહેલા $2E_0$ મૂલ્યના પાંચ સદિશો મળે છે. સમાન ખૂણે રહેલા આ પાંચ સમાન સદિશોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે. તેથી, $E = 0$.

(A) તંત્રની કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. ગોળાની સપાટી પર (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે) $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા નાના ટુકડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{kQq}{R} + mgy_0$ છે (ગોળાના તળિયે સંદર્ભ સ્તર લેતા).
જ્યારે ટુકડો $y$ ઊંચાઈ નીચે પડે છે,ત્યારે તેનું ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર $(R+y)$ થાય છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_f + K_f = \frac{kQq}{R+y} + mg(y_0 - y) + \frac{1}{2}mv^2$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ ઉર્જાને સરખાવતા:
$\frac{kQq}{R} + mgy_0 = \frac{kQq}{R+y} + mg(y_0 - y) + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{R} - \frac{kQq}{R+y} + mgy$
$\frac{1}{2}mv^2 = kQq \left[ \frac{R+y-R}{R(R+y)} \right] + mgy$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQqy}{R(R+y)} + mgy$
$v^2 = 2 \left[ \frac{kQqy}{mR(R+y)} + gy \right] = 2y \left[ \frac{kQq}{mR(R+y)} + g \right]$
$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ મૂકતા:
$v^2 = 2y \left[ \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 mR(R+y)} + g \right]$.

(B) વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ: ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $q_{in} = +q + (-q) = 0$ થાય છે. તેથી,ફ્લક્સ $\phi = 0$ છે. જો કે,ડાયપોલને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ગોળાની અંદર દરેક બિંદુએ શૂન્યતર (non-zero) હોય છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ: $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના નક્કર ધાતુના ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે. $r < R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કોઈપણ ગૌસિયન સપાટી માટે,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{in} = 0$ છે. ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} = 0$ થાય. ઉપરાંત,વાહકની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય હોય છે. વિધાનમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે ફ્લક્સ શૂન્ય નથી,જે ખોટું છે. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) કણો સીમાંત સંતુલનમાં રહે તે માટે,સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{L^2}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
ઘર્ષણ બળ $F_f = \mu mg$,જ્યાં $\mu = 0.25$,$m = 10 \times 10^{-3} \, kg$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{kq^2}{L^2} = \mu mg$.
$L^2 = \frac{kq^2}{\mu mg} = \frac{(9 \times 10^9) \times (2.0 \times 10^{-7})^2}{0.25 \times (10 \times 10^{-3}) \times 10}$.
$L^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-14}}{0.25 \times 0.1} = \frac{36 \times 10^{-5}}{0.025} = 1.44 \times 10^{-2} \, m^2$.
$L = \sqrt{1.44 \times 10^{-2}} = 1.2 \times 10^{-1} \, m = 0.12 \, m = 12 \, cm$.