Mix Examples-Electric Charges and Fields Questions in Gujarati

(A) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$.
અહીં અંતર $r$ સમાન રહેતું હોવાથી,બળ એ વિદ્યુતભારોના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $F \propto |q_1 q_2|$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,વિદ્યુતભારોનો ગુણાકાર $|q_1 q_2| = |40 \times (-20)| = 800 \ \mu C^2$ થાય.
જ્યારે બંને વિદ્યુતભારોને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર બંને વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે (સમાન વાહકો ધારતા): $q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{40 - 20}{2} = 10 \ \mu C$.
બીજા કિસ્સામાં,વિદ્યુતભારોનો ગુણાકાર $|q'_1 q'_2| = |10 \times 10| = 100 \ \mu C^2$ થાય.
આમ,બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = \frac{|q_1 q_2|}{|q'_1 q'_2|} = \frac{800}{100} = \frac{8}{1}$ મળે.

(C) ધારો કે બે વીજભાર $Q$ એ બિંદુઓ $B$ અને $C$ પર છે,જે $d$ અંતરે છે. ત્રીજો વીજભાર $q$ લંબદ્વિભાજક પર $x$ અંતરે છે.
વીજભાર $q$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ એ લંબદ્વિભાજકની દિશામાં લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળોના ઘટકોનો સરવાળો છે:
$F_{net} = 2F \cos \theta$
અહીં,$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Qq}{x^2 + (d/2)^2}$ અને $\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + (d/2)^2}}$.
આ કિંમતોને $F_{net}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{net} = 2 \cdot \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Qq}{x^2 + d^2/4} \cdot \frac{x}{(x^2 + d^2/4)^{1/2}} = \frac{2Qqx}{4\pi \varepsilon_0 (x^2 + d^2/4)^{3/2}}$
મહતમ બળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dF_{net}}{dx} = 0$
વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} [x(x^2 + d^2/4)^{-3/2}] = 0$
$(x^2 + d^2/4)^{-3/2} + x \cdot (-3/2)(x^2 + d^2/4)^{-5/2} \cdot (2x) = 0$
$(x^2 + d^2/4)^{-3/2} - 3x^2(x^2 + d^2/4)^{-5/2} = 0$
$(x^2 + d^2/4)^{5/2}$ વડે ગુણતા:
$(x^2 + d^2/4) - 3x^2 = 0$
$d^2/4 = 2x^2$
$x^2 = d^2/8$
$x = \frac{d}{2\sqrt{2}}$

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારો $A$ અને $C$ બિંદુઓ પર $r$ અંતરે રહેલા છે. તેમની વચ્ચેનું બળ $F = k\frac{Q^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે $+Q$ વિદ્યુતભારને $B$ બિંદુ (મધ્યબિંદુ) પર મૂકવામાં આવે, ત્યારે $A$ થી $B$ નું અંતર $r/2$ અને $B$ થી $C$ નું અંતર $r/2$ થાય છે.
$A$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $F_A = k\frac{Q \cdot Q}{(r/2)^2} = 4k\frac{Q^2}{r^2} = 4F$ (અપાકર્ષી, $C$ ની દિશામાં).
$C$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $F_C = k\frac{|Q \cdot (-Q)|}{(r/2)^2} = 4k\frac{Q^2}{r^2} = 4F$ (આકર્ષી, $C$ ની દિશામાં).
બંને બળો એક જ દિશામાં ($-Q$ વિદ્યુતભાર તરફ) હોવાથી, પરિણામી બળ $F_{net} = F_A + F_C = 4F + 4F = 8F$ એ $-Q$ વિદ્યુતભારની દિશામાં લાગશે.

(B) ધારો કે દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $r$ છે. $r$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ છે.
કેન્દ્ર $O$ પર:
$A$ પરના $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_A = \frac{kq}{r^2}$ છે જે $AO$ ની દિશામાં છે.
$C$ પરના $3q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_C = \frac{k(3q)}{r^2}$ છે જે $OC$ ની દિશામાં છે.
વિકર્ણ $AC$ પરનું પરિણામી ક્ષેત્ર $E_C - E_A = \frac{3kq}{r^2} - \frac{kq}{r^2} = \frac{2kq}{r^2}$ છે જે $C$ થી $A$ તરફ છે.
$B$ પરના $2q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_B = \frac{k(2q)}{r^2}$ છે જે $BO$ ની દિશામાં છે.
$D$ પરના $4q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_D = \frac{k(4q)}{r^2}$ છે જે $OD$ ની દિશામાં છે.
વિકર્ણ $BD$ પરનું પરિણામી ક્ષેત્ર $E_D - E_B = \frac{4kq}{r^2} - \frac{2kq}{r^2} = \frac{2kq}{r^2}$ છે જે $D$ થી $B$ તરફ છે.
બંને પરિણામી ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન હોવાથી અને અનુક્રમે $CA$ અને $DB$ વિકર્ણોની દિશામાં હોવાથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર આ બે સદિશો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકની દિશામાં હશે. સંમિતિ દ્વારા,પરિણામી દિશા $CB$ છે.

(A) $x = 0$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{kQ}{x_n^2} = kQ \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right]$
$E = kQ \left[ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right]$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/4$ છે. સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{4}{3}$ થાય.
$E = (9 \times 10^9) \times Q \times \frac{4}{3} = 12 \times 10^9 Q \text{ N/C}$.
$x = 0$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો સરવાળો છે:
$V = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{kQ}{x_n} = kQ \left[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right]$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = 1$ અને $r = 1/2$ છે. સરવાળો $S = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ થાય.
જો $Q = 1 \mu C = 10^{-6} C$ લઈએ:
$V = (9 \times 10^9) \times (10^{-6}) \times 2 = 18 \times 10^3 = 1.8 \times 10^4 \text{ V}$.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને અનંત પર સમાપ્ત થાય છે. ત્રણેય વિદ્યુતભારો ધન $(+q)$ હોવાથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ એકબીજાને અપાકર્ષશે. તેઓ એકબીજાથી દૂર જશે અને વિદ્યુતભારોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં પ્રવેશશે નહીં,જેનાથી ત્રિકોણના કેન્દ્રમાં એક તટસ્થ બિંદુ બનશે. ક્ષેત્રરેખાઓ દરેક શિરોબિંદુથી દૂર જતી દેખાશે અને અન્ય બે વિદ્યુતભારોથી દૂર વળશે. સાચી આકૃતિ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
કોઈપણ સંરક્ષી બળ માટે,બંધ માર્ગ પર વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
અહીં $+q$ વિદ્યુતભાર કેન્દ્રમાં રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભારની આસપાસ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,તેથી તેની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ સમાન છે.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે અને કુલ કાર્ય $W = 0$ થાય છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $q$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{d}$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 0.2 \ C$
સ્થાનાંતર $d = 2 \ m$
ખૂણો $\theta = 60^\circ$
કાર્ય $W = 4 \ J$
સૂત્ર $W = qEd \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 = 0.2 \times E \times 2 \times \cos(60^\circ)$
$4 = 0.2 \times E \times 2 \times 0.5$
$4 = 0.2 \times E$
$E = 4 / 0.2$
$E = 20 \ N/C$.

(B) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q$ એ $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $r$ અંતરે રહેલા છે. મધ્યબિંદુ $M$ એ $A$ અને $B$ બંનેથી $r/2$ અંતરે છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈપણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બિંદુ $A$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું બળ ધ્યાનમાં લો:
$F_A = \frac{kQ^2}{r^2} + \frac{kQq}{(r/2)^2} = 0$
$\frac{kQ^2}{r^2} + \frac{4kQq}{r^2} = 0$
$Q^2 + 4Qq = 0$
$4Qq = -Q^2$
$q = -\frac{Q}{4}$
આમ,તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે વિદ્યુતભાર $q$ નું મૂલ્ય $-Q/4$ હોવું જોઈએ.

(C) બે પ્રોટોનના તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ મળે છે:
$U = \frac{k q_1 q_2}{r}$
અહીં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $r = 10^{-10} \ m$ છે.
$U = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{10^{-10}}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{10^{-10}}$
$U = 23.04 \times 10^{-19} \ J = 2.304 \times 10^{-18} \ J$
જ્યારે પ્રોટોનને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ સ્થિતિઊર્જા અનંત અંતરે તંત્રની કુલ ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ ગતિઊર્જા $K = U = 2.304 \times 10^{-18} \ J$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = k \frac{Q q}{r_1}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$Q = 10^{-3} \, C$,$q = 10^{-6} \, C$,અને $r_1 = 1 \, m$.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = k \frac{Q q}{r_2}$,જ્યાં $r_2 = 10 \, m$.
ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v^2$,જ્યાં $m = 2 \times 10^{-3} \, kg$.
$U_i = U_f + K_f$
$k Q q \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = \frac{1}{2} m v^2$
$9 \times 10^9 \times 10^{-3} \times 10^{-6} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-3} \times v^2$
$9 \times (0.9) = 10^{-3} \times v^2$
$8.1 = 10^{-3} \times v^2$
$v^2 = 8100$
$v = 90 \, m/s$

(B) પદ $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે.
ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^2T^{-2}]$ છે.
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1L^{-1}T^{-2}]$ થાય.
આમ,$\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1L^{-1}T^{-2}]$ છે.

(B) ગોળાઓની સંતુલન સ્થિતિ પરથી,લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$ અને સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ $F_e = \frac{kq^2}{x^2}$ છે.
બળોનું વિભાજન કરતા: $T \cos \theta = mg$ અને $T \sin \theta = \frac{kq^2}{x^2}$.
સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\tan \theta = \frac{kq^2}{x^2 mg}$ મળે છે.
જ્યારે $\theta$ નાનું હોય,ત્યારે $\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{l} = \frac{x}{2l}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x}{2l} = \frac{kq^2}{x^2 mg} \implies q^2 = \frac{mg}{2lk} x^3 \implies q \propto x^{3/2}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dq}{dt} \propto \frac{3}{2} x^{1/2} \frac{dx}{dt}$.
આપેલ છે કે $\frac{dq}{dt}$ અચળ છે,તેથી $1 \propto x^{1/2} v$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto x^{-1/2}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ એક ઇલેક્ટ્રોન અને એક પ્રોટોનનો બનેલો છે.
$\therefore$ એક હાઇડ્રોજન પરમાણુ પરનો કુલ વીજભાર $= q_e + q_p = -e + (e + \Delta e) = \Delta e$.
દરેક હાઇડ્રોજન પરમાણુ પર $\Delta e$ જેટલો કુલ વીજભાર હોવાથી, $d$ અંતરે રહેલા બે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ:
$F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\Delta e)^2}{d^2} \dots (i)$
બે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_g = \frac{G m_h^2}{d^2} \dots (ii)$
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી, સ્થિત-વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે, તેથી $F_e = F_g$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(\Delta e)^2}{d^2} = \frac{G m_h^2}{d^2}$
$(\Delta e)^2 = 4 \pi \varepsilon_0 G m_h^2 = \frac{G m_h^2}{k}$ (જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$)
$(\Delta e)^2 = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})^2}{9 \times 10^9} \approx 20 \times 10^{-66}$
$\Delta e \approx 10^{-37} \, C$.

(B) પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t} = \frac{6 - 0}{1} = 6\, m s^{-2}$ છે.
સમયગાળા $t = 0$ થી $t = 1\, s$ માટે:
સ્થાનાંતર $S_1 = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 6 \times (1)^2 = 3\, m$.
$t = 1\, s$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉલટાવવામાં આવે છે,તેથી નવો પ્રવેગ $a' = -6\, m s^{-2}$ થાય છે.
સમયગાળા $t = 1\, s$ થી $t = 2\, s$ માટે:
સ્થાનાંતર $S_2 = v_1 t + \frac{1}{2} a' t^2 = 6 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1)^2 = 6 - 3 = 3\, m$.
સમયગાળા $t = 2\, s$ થી $t = 3\, s$ માટે:
$t = 2\, s$ પર વેગ $v_2 = v_1 + a' t = 6 + (-6) \times 1 = 0\, m s^{-1}$ છે.
સ્થાનાંતર $S_3 = v_2 t + \frac{1}{2} a' t^2 = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1)^2 = -3\, m$.
કુલ સ્થાનાંતર $S = S_1 + S_2 + S_3 = 3 + 3 - 3 = 3\, m$.
સરેરાશ વેગ = $\frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{3}{3} = 1\, m s^{-1}$.
કુલ અંતર = $|S_1| + |S_2| + |S_3| = 3 + 3 + 3 = 9\, m$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{9}{3} = 3\, m s^{-1}$.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર માત્ર બ્લોકના દળ $m$ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની હાજરીમાં બ્લોકને $q$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક પર વધારાનું અચળ બળ $F_e = qE$ લાગે છે.
આ અચળ બળ માત્ર બ્લોકની સંતુલન સ્થિતિને બદલે છે,પરંતુ તે પુનઃસ્થાપક બળ અચળાંક $k$ અથવા દળ $m$ ને બદલતું નથી.
નવી સંતુલન સ્થિતિથી નાના સ્થાનાંતર $x$ માટે પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ રહેતું હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ રહે છે.
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ અને આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ બદલાતા નથી.
તેથી,નવો આવર્તકાળ મૂળ આવર્તકાળ $T$ જેટલો જ રહેશે.

(A) ધારો કે $|q|$ વીજભારને કારણે ઉગમબિંદુ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ છે. $|2q|, |3q|, |4q|$ અને $|5q|$ વીજભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર અનુક્રમે $2E, 3E, 4E$ અને $5E$ થશે.
પરિસ્થિતિ $(i)$ માટે:
વીજભારો $2q$ ($-x$ પર),$-3q$ ($+x$ પર) અને $5q$ ($+y$ પર) છે.
ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર: $E_x = 2E - 3E = -E$ ($-x$ ની દિશામાં),$E_y = 5E$ ($+y$ ની દિશામાં).
કુલ ક્ષેત્ર $E_{(i)} = \sqrt{(-E)^2 + (5E)^2} = \sqrt{26}E \approx 5.1E$.
પરિસ્થિતિ $(ii)$ માટે:
વીજભારો $2q$ ($-x$ પર),$-q$ ($+x$ પર) અને $-3q$ ($+y$ પર) છે.
ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર: $E_x = 2E - E = E$ ($+x$ ની દિશામાં),$E_y = 3E$ ($-y$ ની દિશામાં).
કુલ ક્ષેત્ર $E_{(ii)} = \sqrt{E^2 + (-3E)^2} = \sqrt{10}E \approx 3.16E$.
પરિસ્થિતિ $(iii)$ માટે:
વીજભારો $4q$ ($-x$ પર) અને $-2q$ ($+x$ પર) છે.
ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર: $E_x = 4E - 2E = 2E$ ($+x$ ની દિશામાં).
કુલ ક્ષેત્ર $E_{(iii)} = 2E$.
પરિસ્થિતિ $(iv)$ માટે:
વીજભારો $3q$ ($-x$ પર) અને $-q$ ($+x$ પર) છે.
ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર: $E_x = 3E - E = 2E$ ($+x$ ની દિશામાં).
કુલ ક્ષેત્ર $E_{(iv)} = 2E$.
આમ,સાચો ક્રમ $(i) > (ii) > (iii) = (iv)$ છે.

(A) ધારો કે બે સમાન ગોળાઓ પરના પ્રારંભિક વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ છે જે $r$ અંતરે રહેલા છે. કુલંબના નિયમ મુજબ પ્રારંભિક અપાકર્ષણ બળ:
$F = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
જ્યારે ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન હોવાથી કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. હવે દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{Q_1 + Q_2}{2}$ થશે.
ત્યારબાદ તેમને નવા અંતર $r' = \frac{r}{2}$ પર મૂકવામાં આવે છે. નવું અપાકર્ષણ બળ $F'$:
$F' = \frac{k (\frac{Q_1 + Q_2}{2})^2}{(\frac{r}{2})^2} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2}$
આપેલ છે કે $F' = 4.5 F$,તેથી:
$\frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{r^2} = 4.5 \times \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
$(Q_1 + Q_2)^2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 + 2 Q_1 Q_2 + Q_2^2 = 4.5 Q_1 Q_2$
$Q_1^2 - 2.5 Q_1 Q_2 + Q_2^2 = 0$
$Q_2^2$ વડે ભાગતા અને $x = \frac{Q_1}{Q_2}$ લેતા:
$x^2 - 2.5 x + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2.5 \pm \sqrt{6.25 - 4}}{2} = \frac{2.5 \pm 1.5}{2}$
$x = \frac{4}{2} = 2$ અથવા $x = \frac{1}{2} = 0.5$
આમ,પ્રારંભિક વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(B) ધાતુની પ્લેટ એક સુવાહક છે, અને સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં, તેની સપાટી સમસ્થિતિમાન સપાટી તરીકે કાર્ય કરે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા સુવાહકની સપાટીને દરેક બિંદુએ લંબ હોવી જોઈએ.
જ્યારે ધન વીજભાર $Q$ ને અનંત ધાતુની પ્લેટની નજીક મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તે પ્લેટની સપાટી પર ઋણ વીજભાર પ્રેરિત કરે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વીજભાર $Q$ માંથી ઉદ્ભવે છે અને ધાતુની પ્લેટની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, જે આકૃતિ આ ક્ષેત્ર રેખાઓને $Q$ માંથી ઉદ્ભવતી અને પ્લેટની સપાટીને $90^{\circ}$ ના ખૂણે મળતી દર્શાવે છે, તે વિકલ્પ $B$ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી છે.

(D) ધારો કે $x=0$ અને $x=l$ પર મૂકવામાં આવેલા બે સમાન બિંદુવત વિદ્યુતભારોનું મૂલ્ય $q$ છે.
પ્રથમ વિદ્યુતભાર ($x=0$ પર) થી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
પ્રથમ વિદ્યુતભારને કારણે ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{kq}{x^2}$ છે (વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં).
બીજા વિદ્યુતભાર ($x=l$ પર) ને કારણે ક્ષેત્ર $E_2 = \frac{kq}{(l-x)^2}$ છે (પ્રથમ વિદ્યુતભારની દિશામાં).
પ્રથમ વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશાને ધન લેતા,બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$:
$E = E_1 - E_2 = kq \left[ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(l-x)^2} \right]$
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $E \to +\infty$.
જ્યારે $x \to l$,ત્યારે $E \to -\infty$.
મધ્યબિંદુ $x = l/2$ પર,$E = kq \left[ \frac{1}{(l/2)^2} - \frac{1}{(l/2)^2} \right] = 0$.
જે વક્ર $E$ ને ધન અનંતથી શરૂ થતો,$x = l/2$ પર શૂન્યમાંથી પસાર થતો અને $x$ ની કિંમત $l$ ની નજીક પહોંચતા ઋણ અનંત તરફ જતો દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $(D)$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(D) ધારો કે ખૂણાઓ $A, B, C, D, E, F$ પરના વિદ્યુતભારો $q_A = -q, q_B = 3q, q_C = -2q, q_D = 2q, q_E = q, q_F = -2q$ છે.
કેન્દ્ર $O$ પર,$r$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $q_i$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_i = \frac{k q_i}{r^2} \hat{r}_i$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન પરનો વિદ્યુતભાર $-e$ હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $\vec{F} = -e \vec{E}_{net}$ છે.
આપણે સામસામેના વિદ્યુતભારોની જોડી બનાવી શકીએ:
$1$. જોડી $(A, D)$: $q_A = -q, q_D = 2q$. $O$ પર ચોખ્ખી અસર $D$ પર $q$ વિદ્યુતભાર જેટલી છે.
$2$. જોડી $(B, E)$: $q_B = 3q, q_E = q$. $O$ પર ચોખ્ખી અસર $B$ પર $2q$ વિદ્યુતભાર જેટલી છે.
$3$. જોડી $(C, F)$: $q_C = -2q, q_F = -2q$. $O$ પર ચોખ્ખી અસર $0$ છે.
આમ,$O$ પર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર એવી દિશામાં હશે કે જેથી ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ શૂન્ય ન હોય અને તે $OF$ કે $OC$ ની દિશામાં ન હોય. તેથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(D) ધારો કે ચાર વિદ્યુતભારો $q$ એ $(\pm L/2, \pm L/2, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. $Z$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, 0, z)$ થી કોઈપણ વિદ્યુતભારનું અંતર $r = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2 + z^2} = \sqrt{L^2/2 + z^2}$ છે.
$r$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ છે.
$Z$-અક્ષની દિશામાં આ ક્ષેત્રનો ઘટક $E_z = E_1 \cos\theta$ છે,જ્યાં $\cos\theta = z/r$.
ચાર વિદ્યુતભારો હોવાથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4 \times E_z = 4 \times \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \times \frac{z}{r} = \frac{q z}{\pi\epsilon_0 (L^2/2 + z^2)^{3/2}}$ થશે.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$dE/dz = 0$ લેતા:
$\frac{d}{dz} [z (L^2/2 + z^2)^{-3/2}] = (L^2/2 + z^2)^{-3/2} + z(-3/2)(L^2/2 + z^2)^{-5/2}(2z) = 0$.
$(L^2/2 + z^2) - 3z^2 = 0 \implies L^2/2 = 2z^2 \implies z^2 = L^2/4 \implies z = L/2$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા ચાર્જ્ડ ચરણને કારણે કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sqrt{2}\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ છે.
$2\lambda$ (પ્રથમ),$-2\lambda$ (બીજું),$\lambda$ (ત્રીજું),અને $-\lambda$ (ચોથું) ઘનતા ધરાવતા ચાર ચરણો માટે,કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશો નીચે મુજબ છે:
$E_1 = \frac{\sqrt{2}(2\lambda)}{2\pi\varepsilon_0 R}$ (પ્રથમ ચરણથી દૂર,ત્રીજા ચરણ તરફ).
$E_2 = \frac{\sqrt{2}(2\lambda)}{2\pi\varepsilon_0 R}$ (બીજા ચરણ તરફ,ચોથા ચરણથી દૂર).
$E_3 = \frac{\sqrt{2}\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ (ત્રીજા ચરણ તરફ,પ્રથમ ચરણથી દૂર).
$E_4 = \frac{\sqrt{2}\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ (ચોથા ચરણથી દૂર,બીજા ચરણ તરફ).
આ સદિશોનો સરવાળો કરતા,પરિણામી ક્ષેત્ર $E_{net} = \frac{\sqrt{2}}{2\pi\varepsilon_0 R} [ (2\lambda - \lambda) \frac{-\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}} + (2\lambda - \lambda) \frac{-\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}} ] = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R} [ -\hat{i}-\hat{j} - \hat{i} + \hat{j} ] = -\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 R} \hat{i}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ધન વિદ્યુતભાર $Q$ નું સ્થાન $(x, 0)$ છે. દરેક ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ અને ધન વિદ્યુતભાર $Q$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ છે.
દરેક ઋણ વિદ્યુતભાર દ્વારા $Q$ પર લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ નું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2}$ છે.
આ બળોના $x$-અક્ષને લંબ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે $x$-અક્ષની દિશાના ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
પરિણામી પુનઃસ્થાપક બળ $F_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_{\text{net}} = -2F \cos \theta = -2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right)$
$F_{\text{net}} = -\frac{2qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$
અહીં $F_{\text{net}} \propto -x$ એ તમામ $x$ માટે સાચું નથી (તે ફક્ત $x \ll a$ માટે જ સાચું છે),તેથી પુનઃસ્થાપક બળ રેખીય નથી. પરિણામે,ગતિ દોલિત હશે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ હશે નહીં.

(B) $1$. જ્યારે કણ $Y$ સ્થિર હોય,ત્યારે તેને સ્થિર રાખવા માટે બાહ્ય બળ (બંધન બળ) લગાડવું પડે છે. આ બાહ્ય બળને કારણે તંત્રનું કુલ વેગમાન $p$ સંરક્ષિત રહેતું નથી.
$2$. $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે. તેથી,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. જો બંને કણો ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોય,તો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી. આ કિસ્સામાં,કુલ વેગમાન $p$ અને કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ બંને સંરક્ષિત રહે છે.
$4$. આ તથ્યોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જો $Y$ સ્થિર હોય,તો $E$ સંરક્ષિત રહે છે પરંતુ $p$ નહીં. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે દળ $m$ છે અને વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ છે। શરૂઆતમાં, $X$ નો વેગ $u$ છે અને $Y$ સ્થિર છે। તંત્રનું કુલ વેગમાન $P_i = mu + m(0) = mu$ છે।
શરૂઆતમાં કણો દૂર હોવાથી સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય છે। જેમ $X$ એ $Y$ ની નજીક આવે છે, તેમ બંને કણો પર અપાકર્ષી સ્થિત-વિદ્યુત બળ લાગે છે।
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, કુલ વેગમાન અચળ રહે છે: $m v_X + m v_Y = mu$, જેનો અર્થ છે કે $v_X + v_Y = u$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ એ અંતિમ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_X^2 + \frac{1}{2}mv_Y^2 + U_f$, જ્યાં $U_f > 0$.
$U_f > 0$ હોવાથી, અંતિમ ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા કરતા ઓછો હોવો જોઈએ: $\frac{1}{2}m(v_X^2 + v_Y^2) < \frac{1}{2}mu^2$, તેથી $v_X^2 + v_Y^2 < u^2$.
$v_X + v_Y = u$ આપેલ છે, જો $v_X = 0$ હોય, તો $v_Y = u$ થાય, જેનો અર્થ $v_X^2 + v_Y^2 = u^2$ થાય, જે ઉર્જા સંરક્ષણનો વિરોધાભાસ કરે છે। તેથી, $v_X$ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં। બંને કણો એવી રીતે ગતિ ચાલુ રાખશે કે તેમનો સરવાળો $u$ રહે અને તેમના વ્યક્તિગત વેગ $u/2$ કરતા ઓછા હોય।

(B) અપાકર્ષી સ્થિત-વિદ્યુત બળને કારણે, કણો એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરશે. લઘુત્તમ અંતરના બિંદુએ, બંને કણો ગતિની દિશામાં સમાન વેગ $u$ સાથે ગતિ કરતા હશે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$mv + m(0) = (m + m)u$
$mv = 2mu \implies u = \frac{v}{2}$
હવે, ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રારંભિક ઉર્જા = અંતિમ ઉર્જા (લઘુત્તમ અંતર $R$ પર)
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = mu^2 + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$u = \frac{v}{2}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = m(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{R}$
$R$ માટે ઉકેલતા:
$R = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{4Q^2}{mv^2}$

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અવાહક ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V(r) = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (3R^2 - r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી $d = R/2$ અંતરે આવેલી ટનલ માટે,સપાટી પર $(r=R)$ સ્થિતિમાન $V_s = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (3R^2 - R^2) = \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}$ છે.
ટનલના કેન્દ્રમાં $(r=R/2)$ સ્થિતિમાન $V_c = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (3R^2 - (R/2)^2) = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (3R^2 - R^2/4) = \frac{\rho}{6\varepsilon_0} (11R^2/4) = \frac{11\rho R^2}{24\varepsilon_0}$ છે.
સામેના છેડે પહોંચવા માટે,કણે ઓછામાં ઓછું ટનલના કેન્દ્ર સુધી પહોંચવું જોઈએ જ્યાં સ્થિતિમાન મહત્તમ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}mv^2 + qV_s = 0 + qV_c$.
$q=1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv^2 = V_c - V_s = \frac{11\rho R^2}{24\varepsilon_0} - \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0} = \frac{\rho R^2}{24\varepsilon_0} (11 - 8) = \frac{3\rho R^2}{24\varepsilon_0} = \frac{\rho R^2}{8\varepsilon_0}$.
આમ,$v^2 = \frac{\rho R^2}{4m\varepsilon_0}$,તેથી $v = [\rho R^2 / 4m\varepsilon_0]^{1/2}$.

(B) અનંત લંબાઈના રેખીય વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(r) + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_{ext} = q(V_B - V_A)$ છે. અહીં $q = 1$ છે.
ત્રણ તારને કારણે કોઈ પણ બિંદુ $(x, y, z)$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V(x, y, z) = V_x + V_y + V_z$
$V(x, y, z) = -\frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{y^2+z^2}) - \frac{3\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{x^2+z^2}) - \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{x^2+y^2})$
બિંદુ $A(1, 1, 1)$ પર:
$V_A = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} [2 \ln(\sqrt{2}) + 3 \ln(\sqrt{2}) + 1 \ln(\sqrt{2})] = -\frac{6\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{2}) = -\frac{3\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2)$
બિંદુ $B(0, 1, 1)$ પર:
$V_B = -\frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{1^2+1^2}) - \frac{3\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{0^2+1^2}) - \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{0^2+1^2})$
$V_B = -\frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(\sqrt{2}) - 0 - 0 = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2)$
કાર્ય $W_{ext} = V_B - V_A = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2) - (-\frac{3\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2)) = \frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(2) = \frac{\lambda \ln 2}{\pi \epsilon_0}$.

(B) $Q$ વિદ્યુતભારને સ્થિર રાખવા માટે,બાહ્ય એજન્ટે $q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળ જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડવું પડે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આ બળનું મૂલ્ય $Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતા બળ જેટલું જ હોય છે. બાહ્ય એજન્ટ પર લાગતો આઘાત $I$ એ કણ $q$ ના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ કણ $q$ ની ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે:
$U_i - U_f = K_f - K_i$
અહીં $K_i = 0$ હોવાથી:
$K_f = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{r} - \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{2r} = \frac{Qq}{8\pi \epsilon_0 r}$
$K_f = \frac{1}{2}mv_q^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વેગ $v_q$ શોધી શકીએ:
$v_q = \sqrt{\frac{2K_f}{m}} = \sqrt{\frac{2}{m} \cdot \frac{Qq}{8\pi \epsilon_0 r}} = \sqrt{\frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 mr}}$
આઘાત $I$ એ કણ $q$ ના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે:
$I = m \cdot v_q = m \sqrt{\frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 mr}} = \sqrt{\frac{Qqm}{4\pi \epsilon_0 r}}$

(B) વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ અદિશ રાશિ છે. તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન એ $(n - 1)$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે,જ્યાં દરેક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ છે.
$V = (n - 1) \times \frac{kq}{r} = \frac{k(n - 1)q}{r}$
વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ સદિશ રાશિ છે. $n$ ખૂણાઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં,જો બધા $n$ ખૂણાઓ પર વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવે,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય.
ધારો કે ખૂટતો વિદ્યુતભાર $n^{th}$ ખૂણા પર છે. $(n - 1)$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર એ $n^{th}$ ખૂણા પરના એકલ વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં અને સમાન મૂલ્યનું હોય છે.
આમ,કેન્દ્ર પરના વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{kq}{r^2}$ થાય.
ગુણોત્તર $V/E$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{V}{E} = \frac{k(n - 1)q}{r} \times \frac{r^2}{kq} = r(n - 1)$.

(B) અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતી રેખાથી $R$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધવર્તુળાકાર સળિયા પર લંબ દ્વિભાજકથી $\theta$ ખૂણે $d\theta$ કોણીય પહોળાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટક પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \left(\frac{q}{\pi R}\right) R d\theta = \frac{q}{\pi} d\theta$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું બળ $dF = (dq)E = \left(\frac{q}{\pi} d\theta\right) \left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}\right) = \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} d\theta$ છે.
સમાનતાને કારણે,સંમિતિની ધરીને લંબ બળના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. ચોખ્ખું બળ સંમિતિની ધરી પરના ઘટકોનો સરવાળો છે: $F_{\text{net}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dF \cos\theta$.
$F_{\text{net}} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} \cos\theta d\theta = \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$.
$F_{\text{net}} = \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} [1 - (-1)] = \frac{\lambda q}{2\pi^2\varepsilon_0 R} (2) = \frac{\lambda q}{\pi^2\varepsilon_0 R}$.

(D) બે ધન વિદ્યુતભારો $+2q$ થી $r$ અંતરે રહેલા ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U = -2 \cdot \frac{k(2q)q}{\sqrt{a^2 + r^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x-$અક્ષ પર, બિંદુ $A$ $(r=0)$ પર સ્થિતિઊર્જા મહત્તમ છે, તેથી સંતુલન અસ્થાયી છે $(\frac{d^2U}{dx^2} < 0)$.
$y-$અક્ષ પર, બિંદુ $A$ $(r=0)$ પર સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ છે, તેથી સંતુલન સ્થાયી છે $(\frac{d^2U}{dy^2} > 0)$.
તેથી, વિદ્યુતભાર $x-$અક્ષ પર અસ્થાયી સંતુલનમાં અને $y-$અક્ષ પર સ્થાયી સંતુલનમાં છે.

(C) ધારો કે દડાઓ પરના વીજભાર $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5$ છે.
$1$. જોડી $(2,3)$ અને $(4,5)$ અપાકર્ષણ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે દડા $2$ અને $3$ સમાન ધ્રુવીયતા ધરાવે છે,અને દડા $4$ અને $5$ સમાન ધ્રુવીયતા ધરાવે છે.
$2$. જોડી $(2,4)$ આકર્ષણ દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે દડા $2$ અને $4$ વિરુદ્ધ વીજભાર ધરાવે છે. ધારો કે $q_2$ ધન $(+)$ છે અને $q_4$ ઋણ $(-)$ છે. તો $q_3$ ધન $(+)$ થશે અને $q_5$ ઋણ $(-)$ થશે.
$3$. જોડી $(1,2)$ આકર્ષણ દર્શાવે છે. $q_2$ ધન $(+)$ હોવાથી,$q_1$ ઋણ $(-)$ અથવા તટસ્થ હોઈ શકે.
$4$. જોડી $(4,1)$ આકર્ષણ દર્શાવે છે. $q_4$ ઋણ $(-)$ હોવાથી,$q_1$ ધન $(+)$ અથવા તટસ્થ હોઈ શકે.
$5$. દડો $1$ ધન વીજભારિત દડા $(2)$ અને ઋણ વીજભારિત દડા $(4)$ બંને સાથે આકર્ષણ દર્શાવે છે,તેથી તે વીજભારિત હોઈ શકે નહીં. તેથી,દડો $1$ તટસ્થ હોવો જોઈએ.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_i$ ને કારણે કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z)$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i = \sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + z^2}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર,$1\ m$ બાજુવાળા ચોરસના દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \frac{1}{\sqrt{2}}\ m$ છે.
ઉગમબિંદુ પર સ્થિતિમાન $V = \frac{k}{r} (1 + 2 + 3 - 6) \mu C = \frac{k}{r} (0) = 0$ થાય છે.
આમ,ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
$z$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,સ્થિતિમાન $V(z) = \sum \frac{k q_i}{\sqrt{r_i^2 + z^2}}$ છે. વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,ખૂબ દૂરના અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય તરફ જાય છે,પરંતુ તે $z$-અક્ષ પર દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોતું નથી. તેથી,માત્ર વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $B$ ની બાજુએ $B$ થી $x$ અંતરે છે. $+4\,Q$ અને $-Q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન અને દિશા વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
$E_A = E_B \implies \frac{k(4Q)}{(3+x)^2} = \frac{kQ}{x^2}$
$4x^2 = (3+x)^2 \implies 2x = 3+x \implies x = 3\,m$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $B$ થી $3\,m$ અંતરે $AB$ ની બહાર છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
હવે $P$ ની નજીક સ્થિતિમાન $V$ ધ્યાનમાં લો. સ્થિતિમાન $V = \frac{k(4Q)}{r_A} - \frac{kQ}{r_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ પરના ઋણ વિદ્યુતભાર $q_n$ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U_n = q_n V$ છે. $q_n$ ઋણ હોવાથી,સ્થિતિ ઉર્જા $U_n$ ને $P$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે,જે સ્થિર સંતુલન સૂચવે છે. આમ,ઋણ વિદ્યુતભારને $AB$ રેખા પર થોડું સ્થાનાંતરિત કરતા તે દોલનો કરશે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$P$ પરના ધન વિદ્યુતભાર $q_p$ માટે,સ્થિતિ ઉર્જા $U_p = q_p V$ ને $P$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે,જે અસ્થિર સંતુલન સૂચવે છે. તે દોલનો કરશે નહીં. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
તેથી,$A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(D) કિસ્સો $1$: જો $q$ ધન હોય અને સ્થાનાંતર $\Delta$ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પર હોય,તો કણ કેન્દ્ર તરફ પુનઃસ્થાપક બળ અનુભવે છે. તેથી,તે $S.H.M.$ કરે છે.
કિસ્સો $2$: જો $q$ ઋણ હોય અને સ્થાનાંતર $\Delta$ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને લંબ હોય,તો પરિણામી સ્થિત-વિદ્યુત બળ કેન્દ્ર તરફ લાગે છે (પુનઃસ્થાપક બળ). તેથી,તે $S.H.M.$ કરે છે.
આમ,$A$ અને $C$ બંને શરતો $S.H.M.$ તરફ દોરી જાય છે.

(D) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = Q$ એ $x=0$ પર અને $q_2 = -Q/4$ એ $x=x$ પર છે.
$1$. સ્થિતિમાન શૂન્ય છે:
$V = \frac{kQ}{r_1} + \frac{k(-Q/4)}{r_2} = 0 \Rightarrow \frac{Q}{r_1} = \frac{Q}{4r_2} \Rightarrow r_1 = 4r_2$.
કિસ્સો $I$: વિદ્યુતભારોની વચ્ચેનું બિંદુ. $r_1 + r_2 = x$. $4r_2 + r_2 = x \Rightarrow r_2 = x/5$. આ $-Q/4$ ની ડાબી બાજુએ $x/5$ અંતરે છે.
કિસ્સો $II$: વિદ્યુતભારોની બહારનું બિંદુ (નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભારની નજીક). $r_1 - r_2 = x$. $4r_2 - r_2 = x \Rightarrow 3r_2 = x \Rightarrow r_2 = x/3$. આ $-Q/4$ ની જમણી બાજુએ $x/3$ અંતરે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે:
$E = \frac{kQ}{r_1^2} - \frac{k(Q/4)}{r_2^2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{4r_2^2} \Rightarrow r_1 = 2r_2$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બિંદુ વિદ્યુતભારોની બહાર અને નાના વિદ્યુતભારની નજીક હોવું જોઈએ. ધારો કે $-Q/4$ થી અંતર $d$ છે. તો $r_1 = x+d$ અને $r_2 = d$.
$x+d = 2d \Rightarrow d = x$. આ $-Q/4$ ની જમણી બાજુએ $x$ અંતરે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ પણ સાચો છે.
તેથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) ધારો કે $4Q$ અને $16Q$ વિદ્યુતભારો છેડા પર છે,જે $d = 9 \text{ cm}$ ના અંતરે છે. ધારો કે $Q$ વિદ્યુતભાર $4Q$ થી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{k(4Q)(16Q)}{d} + \frac{k(4Q)(Q)}{x} + \frac{k(16Q)(Q)}{d-x}$
$U$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dU}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{dU}{dx} = -\frac{k(4Q^2)}{x^2} + \frac{k(16Q^2)}{(d-x)^2} = 0$
$\frac{16}{(d-x)^2} = \frac{4}{x^2} \Rightarrow \frac{4}{d-x} = \frac{2}{x}$
$4x = 2d - 2x \Rightarrow 6x = 2d \Rightarrow x = \frac{d}{3}$
$d = 9 \text{ cm}$ આપેલ હોવાથી,$x = \frac{9}{3} = 3 \text{ cm}$ ($4Q$ થી).
આમ,$Q$ એ $4Q$ થી $3 \text{ cm}$ અને $16Q$ થી $6 \text{ cm}$ દૂર છે. આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.
હવે,$Q$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર તપાસો:
$E = \frac{k(4Q)}{x^2} - \frac{k(16Q)}{(d-x)^2} = \frac{k(4Q)}{3^2} - \frac{k(16Q)}{6^2} = \frac{4kQ}{9} - \frac{16kQ}{36} = \frac{4kQ}{9} - \frac{4kQ}{9} = 0$.
આમ,$B$ અને $C$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B, C) $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qr}{(R^2 + r^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $r = 0$ હોય,ત્યારે $E = 0$ થાય છે. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $E$ વધે છે,$r = R/\sqrt{2}$ પર મહત્તમ બને છે,અને ત્યારબાદ $r \to \infty$ થતા તે ઘટે છે. આ આલેખ આકૃતિ $B$ ને અનુરૂપ છે.
તે જ રીતે,અક્ષ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{R^2 + r^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $r = 0$ હોય,ત્યારે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ (મહત્તમ મૂલ્ય) હોય છે. જેમ $r$ વધે છે,તેમ $V$ સતત ઘટે છે અને $r \to \infty$ થતા તે શૂન્ય તરફ જાય છે. આ આલેખ આકૃતિ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(A) રીંગની અક્ષ પરના કેન્દ્ર $O$ થી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ નો વિચાર કરો.
રીંગ પરનો દરેક નાનો વીજભાર ઘટક $dq$ એ બિંદુ $P$ થી સમાન અંતરે $r = \sqrt{R^2 + x^2}$ પર છે,જ્યાં $R$ એ રીંગની ત્રિજ્યા છે.
બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ $V = \int \frac{k dq}{r} = \frac{k}{r} \int dq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ પરનો કુલ વીજભાર શૂન્ય હોવાથી,$\int dq = 0$,તેથી અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ પર સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} = 10^5 \hat{i} + 10^5 \hat{j} \ NC^{-1}$ છે.
ધારો કે કોર્ક પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. સંતુલન સ્થિતિમાં કોર્ક પર લાગતા બળો:
$1$. દોરીમાં તણાવ $T$,જે શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણે છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q\vec{E} = qE_x \hat{i} + qE_y \hat{j}$.
બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
સમક્ષિતિજ: $T \sin \alpha = qE_x$
શિરોલંબ: $T \cos \alpha + qE_y = mg \implies qE_y = mg - T \cos \alpha$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{qE_x}{qE_y} = \frac{T \sin \alpha}{mg - T \cos \alpha}$
અહીં $E_x = E_y$ હોવાથી,$1 = \frac{T \sin \alpha}{mg - T \cos \alpha}$,જે પરથી $mg - T \cos \alpha = T \sin \alpha$,અથવા $mg = T(\sin \alpha + \cos \alpha)$ મળે.
આપેલ છે કે $T = \frac{2mg}{1 + \sqrt{3}}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg = \frac{2mg}{1 + \sqrt{3}} (\sin \alpha + \cos \alpha)$
$1 + \sqrt{3} = 2(\sin \alpha + \cos \alpha)$
$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 30^o + \cos 30^o$ અથવા $\sin 60^o + \cos 60^o$.
આમ,$\alpha = 30^o$ અથવા $60^o$ મળે.

(D) $1$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા સૂચવે છે. બિંદુ $A$ પાસે ક્ષેત્ર રેખાઓ બિંદુ $B$ કરતા વધુ નજીક હોવાથી,$A$ પાસે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા વધારે છે,એટલે કે $|E_A| > |E_B|$.
$2$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે. અહીં ક્ષેત્ર રેખાઓ ડાબી તરફ જાય છે,તેથી જમણી તરફ જતાં સ્થિતિમાન વધે છે. તેથી,બિંદુ $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન બિંદુ $A$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $V_B > V_A$.
$3$. આમ,$E_A > E_B$ અને $V_B > V_A$ બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) $1$. કવચ $S$ એક વાહક છે. જ્યારે $Q$ વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર $C$ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે તે માટે કવચની અંદરની સપાટી પર $-Q$ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થાય છે. કવચ પર કુલ $Q$ વિદ્યુતભાર હોવાથી,બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $Q - (-Q) = 2Q$ થશે.
$2$. બહારની સપાટી પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{2Q}{4\pi R^2} = \frac{Q}{2\pi R^2}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$3$. કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર કેન્દ્ર પરના $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે હોય છે,જે $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ મુજબ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$4$. વિકલ્પ $A$ અને $B$ સાચા હોવાથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $O$ છે. વિદ્યુતભારો $q_A = -2q$,$q_B = +q$ અને $q_O = +q$ છે. બાજુની લંબાઈ $L$ છે.
દરેક શિરોબિંદુથી મધ્યકેન્દ્ર $C$ સુધીનું અંતર $r = \frac{L}{\sqrt{3}}$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $C$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = k \frac{q_A}{r} + k \frac{q_B}{r} + k \frac{q_O}{r} = k \frac{-2q + q + q}{r} = 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ માટે,આપણે વિદ્યુતભારોને યામ પદ્ધતિમાં મૂકીએ: $O(0, 0)$,$B(L, 0)$,અને $A(L/2, \sqrt{3}L/2)$.
$\vec{p} = \sum q_i \vec{r}_i = q(0, 0) + q(L, 0) + (-2q)(L/2, \sqrt{3}L/2) = (qL - qL, 0 - \sqrt{3}qL) = (0, -\sqrt{3}qL)$.
ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય $|\vec{p}| = \sqrt{3}qL$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$A$ અને $B$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કણ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F} = q\vec{E} + m\vec{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં $\vec{E}$ અને $\vec{g}$ બંને સમાન હોવાથી,કુલ પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m} + \vec{g}$ અચળ રહે છે.
જો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}$ એ અચળ પ્રવેગ $\vec{a}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો કણ રેખીય ગતિ (સીધી રેખા) કરશે.
જો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}$ એ પ્રવેગ $\vec{a}$ ને સમાંતર ન હોય,તો કણ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળની પ્રક્ષિપ્ત ગતિની જેમ પરવલયાકાર માર્ગ અનુસરશે.
તેથી,માર્ગ સીધી રેખા અથવા પરવલય હોઈ શકે છે.

(D) વાહક ગોળાના ગુણધર્મ મુજબ,જો $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી પોલાણના કેન્દ્રમાં $q_A$ બિંદુવત વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે,તો ગોળાની અંદરની સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર $-q_A$ પ્રેરિત થાય છે.
આપેલ છે કે અંદરની સપાટી પર સમાન વિદ્યુતભાર ઘનતા $-\sigma$ છે,તેથી અંદરની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{inner} = -\sigma \times (4\pi a^2)$ છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $-q_A$ હોવો જોઈએ,તેથી $-q_A = -\sigma(4\pi a^2)$,જેનો અર્થ છે કે $q_A = 4\pi \sigma a^2$.
અહીં $\sigma$,$a$,અને $\pi$ ધન હોવાથી,$q_A$ ધન હોવો જોઈએ.
આમ,વિદ્યુતભાર ધન છે અને તેનું મૂલ્ય $4\pi \sigma a^2$ છે,બંને વિધાનો સાચા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.