Mix Examples-Electric Charges and Fields Questions in Gujarati

(D) બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G m_e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_g}{F_e} = \frac{G m_e^2}{k e^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$\frac{F_g}{F_e} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2} \approx 2.39 \times 10^{-43}$.
આમ,મૂલ્યનો ક્રમ $10^{-43}$ છે.

(B) જ્યારે કાચના સળિયાને રેશમ સાથે ઘસવામાં આવે છે,ત્યારે તે ધન વીજભાર મેળવે છે. જ્યારે આ સળિયાનો ઉપયોગ ગોલ્ડ લીફ ઇલેક્ટ્રોસ્કોપને ચાર્જ કરવા માટે થાય છે,ત્યારે પાંદડાઓ ધન વીજભાર મેળવે છે અને સ્થિર વિદ્યુત અપાકર્ષણને કારણે છૂટા પડે છે.
જ્યારે ચાર્જ થયેલા ઇલેક્ટ્રોસ્કોપને $X$-કિરણોના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે $X$-કિરણો ધાતુના પાંદડાઓમાંથી ઇલેક્ટ્રોનનું ફોટો-ઉત્સર્જન કરે છે.
જેમ કે ઇલેક્ટ્રોન (ઋણ વીજભાર) પાંદડાઓમાંથી ઉત્સર્જિત થાય છે,પાંદડાઓ પરનો ચોખ્ખો ધન વીજભાર વધે છે.
જેમ પાંદડાઓ પરના ધન વીજભારનું મૂલ્ય વધે છે,તેમ તેમની વચ્ચેનું સ્થિર વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ વધે છે.
તેથી,પાંદડાઓ વધુ છૂટા પડશે.

(D) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વર્તુળાકાર માર્ગ પર,સ્થાનાંતર સદિશ હંમેશા વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે,જ્યારે સ્થિત-વિદ્યુત બળ (જે ત્રિજ્યાવર્તી છે) હંમેશા ત્રિજ્યાની દિશામાં હોય છે.
વર્તુળાકાર માર્ગના દરેક બિંદુએ બળ અને સ્થાનાંતર હંમેશા પરસ્પર લંબ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int F ds \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સ્થિત-વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી,બંધ માર્ગ પર (અથવા સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર) વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો $SI$ એકમ $N/C$ છે.
કાર્ય = બળ $\times$ સ્થાનાંતર હોવાથી,$J = N \cdot m$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $N = J/m$.
આ કિંમતને વિદ્યુતક્ષેત્રના એકમમાં મૂકતા: $N/C = (J/m)/C = J/(C \cdot m)$.
વળી,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -dV/dr$ છે,તેથી તેનો એકમ $V/m$ છે.
આમ,$N/C$,$V/m$,અને $J/(C \cdot m)$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રના સમતુલ્ય એકમો છે.
એકમ $J/C$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાન (વોલ્ટેજ) દર્શાવે છે,વિદ્યુતક્ષેત્ર નહીં.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(D) સમઘનને $8$ શિરોબિંદુઓ હોય છે અને દરેક શિરોબિંદુ પર $q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે.
સંમિતિને કારણે,દરેક શિરોબિંદુ પરના વિદ્યુતભાર $q$ માટે,તેનાથી વિકર્ણની સામેના શિરોબિંદુ પર સમાન વિદ્યુતભાર $q$ રહેલો છે.
આ બે વિદ્યુતભારો દ્વારા સમઘનના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
તેથી,આ જોડીઓ દ્વારા ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આમ,$8$ શિરોબિંદુઓ $4$ આવી જોડીઓ બનાવે છે,તેથી સમઘનના કેન્દ્ર પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $0$ થાય છે.

(D) અંતરે રહેલા બે વિરુદ્ધ વીજભારો $+q$ અને $-q$ માટે:
$1$. વિદ્યુતક્ષેત્ર: બંને વીજભારોને કારણે તેમની વચ્ચેના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હોય છે. તેથી,વીજભારોની વચ્ચે ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
$2$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન: વીજભારોને જોડતી રેખા પરના $x$ બિંદુએ સ્થિતિમાન $V = k(q_1/r_1 + q_2/r_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિરુદ્ધ વીજભારો માટે,તેમની વચ્ચે એક એવું બિંદુ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યાં એક વીજભારનું ધન સ્થિતિમાન બીજાના ઋણ સ્થિતિમાનને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરે છે,જેથી ચોખ્ખું સ્થિતિમાન શૂન્ય બને છે.
$3$. આમ,વીજભારોની વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય તેવું કોઈ બિંદુ નથી,અને સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય તેવું માત્ર એક જ બિંદુ છે,તેથી $(a)$ અને $(b)$ બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) પદ $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા દર્શાવે છે.
ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કદનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^3]$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) તટસ્થ બિંદુ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ માટે,કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
સમાન મૂલ્ય પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ($+q$ અને $-q$) ધરાવતા બે વિદ્યુતભારો માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી નીકળીને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ,બંને વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (ધન વિદ્યુતભારથી દૂર અને ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ) હોય છે,તેથી કુલ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાની બહારના કોઈપણ બિંદુએ,વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાને નાબૂદ કરીને શૂન્ય થતા નથી.
તેથી,અવકાશમાં એવું કોઈ બિંદુ નથી જ્યાં આ બે વિદ્યુતભારોને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય. આમ,તટસ્થ બિંદુ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) બોલ વાહક પેઇન્ટથી ઢંકાયેલો હોવાથી તે એક વાહક તરીકે વર્તે છે.
શરૂઆતમાં,સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણને કારણે બોલ હાઈ-વોલ્ટેજ પ્લેટ તરફ આકર્ષાય છે.
જ્યારે બોલ હાઈ-વોલ્ટેજ પ્લેટને સ્પર્શે છે,ત્યારે તે વહન દ્વારા થોડો વીજભાર મેળવે છે અને પછી હાઈ-વોલ્ટેજ પ્લેટ દ્વારા અપાકર્ષાય છે.
બોલ અર્થિંગ કરેલી પ્લેટ તરફ ગતિ કરે છે. અર્થિંગ કરેલી પ્લેટને સ્પર્શતા જ,બોલ પોતાનો વીજભાર પૃથ્વીમાં ઠાલવી દે છે અને તટસ્થ બની જાય છે.
એકવાર તટસ્થ થયા પછી,તે ફરીથી હાઈ-વોલ્ટેજ પ્લેટ તરફ આકર્ષાય છે અને આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન થાય છે.
આમ,બોલ આગળ-પાછળ દોલે છે અને વારાફરતી દરેક પ્લેટને અથડાય છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને સંતુલનમાં રહેવા માટે, દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં, કોઈપણ બે વિદ્યુતભારો દ્વારા ત્રીજા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ ત્રિકોણની બાજુઓ પર હોય છે.
આ બળો $60^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતા સદિશો હોવાથી, તેમનો પરિણામી સદિશ સરવાળો ત્યારે જ શૂન્ય થઈ શકે જો વિદ્યુતભારો એવી રીતે ગોઠવાયેલા હોય કે બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય.
જો કે, સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર રહેલા ત્રણ બિંદુવત વિદ્યુતભારો માટે, ત્રણેય વિદ્યુતભારો પર લાગતું પરિણામી બળ એકસાથે શૂન્ય થવું ગાણિતિક રીતે અશક્ય છે, પછી ભલે વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો કે ચિહ્નો ગમે તે હોય.
તેથી, માત્ર સ્થિત-વિદ્યુત બળોની અસર હેઠળ આ તંત્ર ક્યારેય સંતુલનમાં રહી શકે નહીં.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. કેન્દ્ર $O$ થી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$:
કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = \frac{k(+Q)}{r} + \frac{k(-Q)}{r} + \frac{k(+Q)}{r} + \frac{k(-Q)}{r} = \frac{k}{r} (Q - Q + Q - Q) = 0$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$:
સામેના ખૂણાઓ પર રહેલા બે $+Q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર કેન્દ્ર પર એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે કારણ કે તેઓ સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તે જ રીતે,સામેના ખૂણાઓ પર રહેલા બે $-Q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર પણ કેન્દ્ર પર એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આમ,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 0$ છે.

(C) લોલકના ગોળા પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું વિદ્યુત બળ $F_e = QE$ અને દોરામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ છે.
ગોળો સ્થિર હોવાથી,તણાવબળ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને વિદ્યુત બળના પરિણામી બળને સંતુલિત કરે છે.
$T = \sqrt{(mg)^2 + (QE)^2}$
આપેલ છે: $m = 30.7 \times 10^{-6} \, kg$,$g = 9.8 \, m/s^2$,$Q = 2 \times 10^{-8} \, C$,અને $E = 20000 \, V/m$.
$mg = 30.7 \times 10^{-6} \times 9.8 \approx 3.0086 \times 10^{-4} \, N$.
$QE = 2 \times 10^{-8} \times 20000 = 4 \times 10^{-4} \, N$.
$T = \sqrt{(3.0086 \times 10^{-4})^2 + (4 \times 10^{-4})^2} \approx \sqrt{9.05 \times 10^{-8} + 16 \times 10^{-8}} \approx \sqrt{25.05 \times 10^{-8}} \approx 5 \times 10^{-4} \, N$.

(D) સમસ્યાની સંમિતિને કારણે,$A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારોને લીધે $Q$ પર લાગતા બળના $Y$-અક્ષ પરના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરશે,જ્યારે $X$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો થશે અને તે ઉગમબિંદુ $O$ ની દિશામાં હશે. આ બળની અસર હેઠળ,વિદ્યુતભાર $Q$ એ $O$ તરફ ગતિ કરશે.
જો કોઈ સમયે વિદ્યુતભાર $Q$ એ $O$ થી $x$ અંતરે હોય,તો વિદ્યુતભાર $Q$ પરનું કુલ બળ:
$F_{net} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right)$
$F_{net} = - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2qQx}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$
અહીં પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net}$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના પ્રમાણમાં નથી (તે રેખીય નથી),તેથી ગતિ દોલિત હશે (જેનો કંપવિસ્તાર $2a$ છે) પરંતુ તે સરળ આવર્ત ગતિ હશે નહીં.

(D) સ્થિતવિદ્યુત પરિસ્થિતિમાં,વાહકનો સમગ્ર ભાગ સમાન સ્થિતિમાન ધરાવે છે. તેથી,$A$ અને $B$ બિંદુઓ વાહકની સપાટી પર હોવાથી,તેમનું સ્થિતિમાન સમાન હશે. આમ,$A$ પાસેનું સ્થિતિમાન = $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$q$ વિદ્યુતભારને ઘેરતી કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = q/\varepsilon_0$ થાય છે. અહીં પોલાણની સપાટી $q$ વિદ્યુતભારને ઘેરે છે,તેથી તેમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $q/\varepsilon_0$ છે.
લંબગોળ પોલાણ માટે,સપાટીની નજીકનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સ્થાનિક વક્રતા પર આધાર રાખે છે,તેથી $A$ પાસેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $B$ પાસેના વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું હોવું જરૂરી નથી. તેથી,વિકલ્પો $(b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(D) કેન્દ્રથી $z_0$ અંતરે રહેલી વિદ્યુતભારિત રીંગની અક્ષ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q z_0}{(R^2 + z_0^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $P$ પાસે ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $F = -qE = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q q z_0}{(R^2 + z_0^2)^{3/2}}$ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ હંમેશા ઉગમબિંદુ $O$ ની દિશામાં લાગે છે. જ્યારે કણ ઉગમબિંદુને ઓળંગે છે,ત્યારે બળની દિશા ઉલટાય છે,જે તેને હંમેશા કેન્દ્ર તરફ ખેંચે છે. આમ,$z_0 > 0$ ના તમામ મૂલ્યો માટે ગતિ આવર્ત છે.
જો $z_0 \ll R$ હોય,તો આપણે $(R^2 + z_0^2)^{3/2} \approx R^3$ તરીકે લઈ શકીએ.
તેથી બળ $F \approx -\left( \frac{Q q}{4\pi \varepsilon_0 R^3} \right) z_0$ થાય છે.
અહીં $F \propto -z_0$ હોવાથી,નાના $z_0$ માટે ગતિ આશરે સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(A) મોટી ભારિત પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\sigma = 2 \times 10^{-6} \, C/m^2$ અને $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$ આપેલ છે.
$E = \frac{2 \times 10^{-6}}{2 \times 8.854 \times 10^{-12}} \approx 1.13 \times 10^5 \, N/C$.
ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટને અથડાશે નહીં જો તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ પ્લેટ સુધી પહોંચતા પહેલા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થઈ જાય. તેથી,$K = e \cdot E \cdot r$,જ્યાં $r$ એ અંતર છે.
$r = \frac{K}{eE} = \frac{200 \, eV}{e \cdot E} = \frac{200}{E} = \frac{200}{1.13 \times 10^5} \approx 1.77 \times 10^{-3} \, m = 1.77 \, mm$.

(A) સંતુલન સ્થિતિમાં,એક ગોળા પર લાગતા બળો સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$,દોરીમાં તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
$T \sin \theta = F_e = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$ ....... $(i)$
$T \cos \theta = mg$ ....... $(ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 x^2 mg}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\theta$ ખૂબ નાનો છે,તેથી $\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{L} = \frac{x}{2L}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{x}{2L} = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 x^2 mg}$
$x^3 = \frac{2q^2 L}{4\pi \varepsilon_0 mg} = \frac{q^2 L}{2\pi \varepsilon_0 mg}$
તેથી,$x = {\left( {\frac{{{q^2}L}}{{2\pi {\varepsilon _0}mg}}} \right)^{\frac{1}{3}}}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ પોલાણની અંદર રહેલા ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર '$q$' થી શરૂ થાય છે અને ધાતુના કવચની અંદરની સપાટી પર એવી રીતે સમાપ્ત થાય છે કે જેથી તે અંદરની સપાટીને લંબ હોય.
ધાતુનું કવચ હોવાથી,કવચના દ્રવ્યની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
જોકે,વિદ્યુતભાર '$q$' કવચની અંદરની સપાટી પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભાર '$-q$' અને બહારની સપાટી પર સમાન વિદ્યુતભાર '$+q$' પ્રેરિત કરે છે.
કવચની બહારની વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બહારની સપાટીથી શરૂ થઈને અનંત સુધી વિસ્તરે છે,જે બહારની સપાટીને પણ લંબ હોય છે.
આકૃતિ $(b)$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે રેખાઓ બિંદુવત વિદ્યુતભારથી શરૂ થઈને અંદરની સપાટી પર લંબરૂપે સમાપ્ત થાય છે,અને ત્યારબાદ બહારની સપાટીથી શરૂ થાય છે.

(A) વિદ્યુત ડાયપોલ $(-d, 0)$ પર $+q$ અને $(d, 0)$ પર $-q$ વિદ્યુતભારો દ્વારા રચાય છે.
$1$. ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p}$ ની દિશા $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે,જે ઋણ $X$-અક્ષ ($-\hat{i}$ દિશા) પર છે.
$2$. $Y$-અક્ષ (વિષુવવૃત્તીય સમતલ) પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. કારણ કે $\overrightarrow{p}$ એ $-\hat{i}$ ની દિશામાં છે,તેથી $Y$-અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓ પર $\overrightarrow{E}$ એ $+\hat{i}$ ની દિશામાં હશે. આમ,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
$3$. $X$-અક્ષ પર,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા બિંદુ વિદ્યુતભારોની વચ્ચે છે કે બહાર તેના આધારે બદલાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે.
$4$. ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p} = q(2d)$ છે જે $-q$ થી $+q$ તરફ એટલે કે $-\hat{i}$ ની દિશામાં છે. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ ખોટો છે.
$5$. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = k(+q)/d + k(-q)/d = 0$ છે. અનંત અંતરેથી પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ ને ઉગમબિંદુ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_0 \Delta V = q_0(V_{origin} - V_{\infty}) = q_0(0 - 0) = 0$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ ખોટો છે.

(D) ધારો કે દરેક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ છે અને કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર $a$ છે. શિરોબિંદુ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{a^2}$ છે.
જો $R$ પર માત્ર એક ધન વિદ્યુતભાર $q$ હોય,તો $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = E$ ($R$ થી દૂરની દિશામાં) થાય.
આપણે $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $2E$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
વિકલ્પ $(d)$ મુજબની ગોઠવણી માટે,વિદ્યુતભારો છે: $P(-), Q(+), R(+), S(-), T(+), U(-)$.
$P$ અને $S$ (બંને ઋણ) ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એકબીજાને નાબૂદ કરે છે કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેવી જ રીતે,$Q$ અને $T$ (બંને ધન) ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
આમ,માત્ર $R$ અને $U$ પરના વિદ્યુતભારો બાકી રહે છે. $R$ પાસે ધન વિદ્યુતભાર $+q$ છે,જે $R$ થી દૂરની દિશામાં $E$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. $U$ પાસે ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ છે,જે $U$ ની દિશામાં $E$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. $R$ અને $U$ વ્યાસાંત હોવાથી,$U$ ને કારણે મળતું ક્ષેત્ર ($U$ તરફ) એ $R$ ને કારણે મળતા ક્ષેત્ર ($R$ થી દૂર) ની દિશામાં જ હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E + E = 2E$ થાય છે.

(B) $(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર રહેલા બે ઋણ વિદ્યુતભારોને કારણે $(x, 0)$ સ્થાન પર રહેલા ધન વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ ઉગમબિંદુની દિશામાં હોય છે.
બળનું મૂલ્ય $F = 2 \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{(x^2 + a^2)} \cdot \cos\theta$ છે, જ્યાં $\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$.
તેથી, $F = \frac{2kq^2x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$.
$S.H.M.$ માટે, બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોવું જોઈએ $(F \propto -x)$.
અહીં બળ $x$ ના તમામ મૂલ્યો માટે રેખીય ન હોવાથી, ગતિ દોલનીય છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ નથી.

(D) ધારો કે $d$ એ કોઈપણ શિરોબિંદુથી ચોરસના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$1$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$: કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \sum \frac{kq_i}{d} = \frac{k}{d} (q_A + q_B + q_C + q_D)$.
શરૂઆતમાં,$V = \frac{k}{d} (q + q - q - q) = 0$.
$A$ ની $D$ સાથે અને $B$ ની $C$ સાથે અદલાબદલી કર્યા પછી,શિરોબિંદુઓ પરના નવા વિદ્યુતભારો $q_A' = -q$,$q_B' = -q$,$q_C' = q$,અને $q_D' = q$ છે. નવું સ્થિતિમાન $V' = \frac{k}{d} (-q - q + q + q) = 0$.
આમ,$V$ બદલાતું નથી.
$2$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(\vec{E})$: કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. શરૂઆતમાં,$A$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં ( $A$ થી દૂર $C$ તરફ) હોય છે,અને $B$ અને $D$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં ($B$ થી દૂર $D$ તરફ) હોય છે.
વિદ્યુતભારોની અદલાબદલી કર્યા પછી,વ્યક્તિગત ક્ષેત્ર સદિશોના મૂલ્યો સમાન રહે છે,પરંતુ તેમની દિશાઓ બદલાય છે કારણ કે વિદ્યુતભારોના સ્થાન બદલાઈ ગયા છે. ખાસ કરીને,પરિણામી ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ પોતાની દિશા બદલે છે,તેથી $\vec{E}$ બદલાય છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સદિશ રાશિ છે. સમબાજુ ત્રિકોણની સંમિતિને કારણે,કેન્દ્ર $O$ પર ત્રણેય સમાન વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશો સમાન મૂલ્યના હોય છે અને વિદ્યુતભારોથી દૂરની દિશામાં હોય છે. આ સદિશો એકબીજા સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે ગોઠવાયેલા છે,અને તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે. તેથી,$E = 0$ થાય છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ અદિશ રાશિ છે. $r$ અંતરે રહેલા દરેક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન $V_i = \frac{kq}{r}$ છે. આવા ત્રણ વિદ્યુતભારો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{3kq}{r}$ થાય છે. અહીં $q \neq 0$ અને $r \neq 0$ હોવાથી,કુલ સ્થિતિમાન $V \neq 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે દડા $1$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ છે.
જોડી $(1, 2)$ આકર્ષણ દર્શાવે છે,તેથી દડા $2$ પરનો વિદ્યુતભાર $1$ થી વિરુદ્ધ હોવો જોઈએ અથવા તે તટસ્થ હોવો જોઈએ.
જોડી $(2, 3)$ અપાકર્ષણ દર્શાવે છે,તેથી દડા $2$ અને $3$ સમાન પ્રકારનો વિદ્યુતભાર ધરાવે છે.
જોડી $(2, 4)$ આકર્ષણ દર્શાવે છે,તેથી દડા $4$ પરનો વિદ્યુતભાર $2$ થી વિરુદ્ધ હોવો જોઈએ અથવા તે તટસ્થ હોવો જોઈએ.
જોડી $(4, 5)$ અપાકર્ષણ દર્શાવે છે,તેથી દડા $4$ અને $5$ સમાન પ્રકારનો વિદ્યુતભાર ધરાવે છે.
જોડી $(4, 1)$ આકર્ષણ દર્શાવે છે,તેથી દડા $4$ પરનો વિદ્યુતભાર $1$ થી વિરુદ્ધ હોવો જોઈએ અથવા તે તટસ્થ હોવો જોઈએ.
જો દડો $1$ વિદ્યુતભારીત હોત,તો $4$ અને $1$ સમાન પ્રકારનો વિદ્યુતભાર ધરાવતા હોત અને તેમની વચ્ચે અપાકર્ષણ થવું જોઈતું હતું,પરંતુ અહીં આકર્ષણ જોવા મળે છે.
તેથી,દડો $1$ તટસ્થ હોવો જોઈએ,કારણ કે તટસ્થ પદાર્થ કોઈપણ વિદ્યુતભારીત પદાર્થ તરફ આકર્ષાય છે.

(D) બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = G \frac{m_e^2}{r^2}$ છે.
બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ છે.
બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_g}{F_e} = \frac{G m_e^2}{r^2} \times \frac{4 \pi \epsilon_0 r^2}{e^2} = \frac{G m_e^2}{e^2} \times (4 \pi \epsilon_0)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
$\frac{F_g}{F_e} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$.
$\frac{F_g}{F_e} \approx \frac{6.67 \times 82.81 \times 10^{-73}}{9 \times 2.56 \times 10^{-29}} \approx \frac{552.34 \times 10^{-73}}{23.04 \times 10^{-29}} \approx 23.97 \times 10^{-44} \approx 2.4 \times 10^{-43}$.
આમ,પરિમાણનો ક્રમ $10^{-43}$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન વિદ્યુતભારિત અવાહક ગોળા માટે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto r$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો રેખીય સંબંધ છે.
$2$. ગોળાની બહાર $(r \geq R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$. આ વ્યસ્ત વર્ગનો સંબંધ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ કેન્દ્રથી સપાટી $(r = R)$ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે,તે આલેખ $B$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(C) ધારો કે કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર $a$ છે. કોઈપણ શિરોબિંદુ પરના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{a^2}$ છે,જે વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
નિયમિત ષષ્ટકોણ માટે,સામસામેના શિરોબિંદુઓ $P$ અને $S$,$Q$ અને $T$,$R$ અને $U$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ગણી શકાય.
ધારો કે $P, Q, R, S, T, U$ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6$ છે.
$O$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \sum_{i=1}^6 \vec{E}_i$ છે.
આપેલ છે કે કુલ ક્ષેત્ર $R$ પરના $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર કરતાં બમણું છે,એટલે કે $E_{net} = 2 \left( \frac{kq}{a^2} \right)$.
જો આપણે $U$ પર $-q$ અને $R$ પર $+q$ મૂકીએ,તો આ બંનેને કારણે $O$ પરનું ક્ષેત્ર $\vec{E}_R + \vec{E}_U = \frac{kq}{a^2} \hat{r} + \frac{kq}{a^2} \hat{r} = 2 \frac{kq}{a^2} \hat{r}$ થાય.
કુલ ક્ષેત્ર $2 \frac{kq}{a^2}$ રાખવા માટે,$P, Q, S, T$ પરના બાકીના ચાર વિદ્યુતભારો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરવા જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જો આપણે સામસામેના શિરોબિંદુઓ પર સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો મૂકીએ,દા.ત.,$q_P = -q_S$ અને $q_Q = -q_T$.
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $C$ $(-, +, +, -, +, -)$ એ $P=-q, Q=+q, R=+q, S=-q, T=+q, U=-q$ દર્શાવે છે.
અહીં,$P$ અને $S$ સામસામે છે અને $-q$ અને $-q$ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે (પરંતુ અહીં ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે).
$Q$ અને $T$ સામસામે છે: $+q$ અને $+q$ (ક્ષેત્ર શૂન્ય).
$R$ અને $U$ સામસામે છે: $+q$ અને $-q$ (ક્ષેત્ર $U$ તરફ $2E$).
આમ,કુલ ક્ષેત્ર $U$ તરફ $2E$ છે. આ શરતને સંતોષે છે.

(B) બિંદુ $A$ આગળનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બે વિદ્યુતભારોને કારણે છે: બિંદુ $B$ પર ધન વિદ્યુતભાર $+Q$ અને બિંદુ $C$ પર ઋણ વિદ્યુતભાર $-Q$.
$1$. બિંદુ $B$ પરના ધન વિદ્યુતભાર $+Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_B$,$B$ થી દૂર $BA$ રેખા પર,એટલે કે $AX$ ની દિશામાં હોય છે.
$2$. બિંદુ $C$ પરના ઋણ વિદ્યુતભાર $-Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_C$,$C$ ની તરફ $AC$ રેખા પર,એટલે કે $AZ$ ની દિશામાં હોય છે.
$3$. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \vec{E}_B + \vec{E}_C$ એ આ બે ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી અને અંતર $AB$ તથા $AC$ સમાન હોવાથી (સમબાજુ ત્રિકોણ ધારતા),વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે,એટલે કે $|\vec{E}_B| = |\vec{E}_C|$.
$4$. સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,બે સમાન સદિશોનું પરિણામી સદિશ તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે. તેથી,પરિણામી સદિશ $AY$ ની દિશામાં મળે છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ: $\oint E \cdot dS = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$.
કવચની અંદરના બિંદુ માટે $(r < R)$: વિદ્યુતભાર $Q$ માત્ર સપાટી પર જ વિતરીત થયેલો હોવાથી,કવચની અંદર દોરેલી કોઈપણ ગોસીયન સપાટી વડે ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય $(q_{\text{enclosed}} = 0)$ થાય છે. તેથી,$r < R$ માટે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E(r) = 0$ છે.
કવચની બહારના બિંદુ માટે $(r \geq R)$: ગોસીયન સપાટી કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ ને ઘેરે છે. ગોસનો નિયમ લાગુ પાડતા: $E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$.
આના પરથી $r \geq R$ માટે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$ મળે છે. આ દર્શાવે છે કે કવચની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને કવચની બહાર તે $r = R$ પર મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થઈને $\frac{1}{r^2}$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે. આ વર્તણૂક વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અવાહક ગોળા માટે,જેના પર કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. $r < R$ માટે: $E = \frac{kQr}{R^3}$,એટલે કે $E \propto r$. આથી આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હશે.
$2$. $R < r < b$ માટે: વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર અવાહક ગોળાના વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે હશે. તેથી,$E = \frac{kQ}{r^2}$,એટલે કે $E \propto \frac{1}{r^2}$. આથી આલેખ $r$ વધવાની સાથે ઘટતો વક્ર હશે.
$3$. $r > b$ માટે: $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગાઉસિયન સપાટી વડે ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = Q + (-Q) = 0$ થાય છે. તેથી,$E = 0$.
આ શરતોને આપેલા આલેખો સાથે સરખાવતા,આલેખ $A$ એવો છે જે $r < R$ માટે રેખીય વધારો અને $R < r < b$ માટે $1/r^2$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુનું માપ $a$ છે. દરેક ખૂણાથી ચોરસના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V)$ એ અદિશ રાશિ છે. કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \frac{kQ}{r} + \frac{k(-Q)}{r} + \frac{kQ}{r} + \frac{k(-Q)}{r} = 0$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ એ સદિશ રાશિ છે. સામસામેના ખૂણાઓ પર રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભારોની જોડને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,અને તેવી જ રીતે $-Q$ વિદ્યુતભારોની જોડને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. જોકે,પાસપાસેના ખૂણાઓ પર રહેલા $+Q$ અને $-Q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર શૂન્ય થતું નથી. સંમિતિને કારણે,કેન્દ્ર પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોતું નથી $(E \neq 0)$.

(B) $L$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{L}$ થાય.
આપેલ ષષ્ટકોણ માટે,$A, B, F$ પર $+q$ અને $C, D, E$ પર $-q$ વિદ્યુતભારો છે.
$O$ આગળનું કુલ સ્થિતિમાન $V_O = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L} - \frac{q}{L} - \frac{q}{L} \right) = 0$ થાય.
આમ,$O$ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
અહીં ત્રણેય વિદ્યુતભારો ઋણ હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અનંતથી શરૂ થશે અને ત્રણેય ઋણ વિદ્યુતભારો પર સમાપ્ત થશે.
વિદ્યુતભારો સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,તેઓ એકબીજાને અપાકર્ષે છે,જેના કારણે વિદ્યુતભારોની વચ્ચેની જગ્યામાં ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાથી દૂર વળે છે.
વિકલ્પ $C$ આ ગોઠવણીને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જેમાં સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ ઋણ વિદ્યુતભારો પર ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાપ્ત થતી જોવા મળે છે.

(C) સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર અંત પામે છે. તે બંધ ગાળાઓ રચી શકતી નથી કારણ કે સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સંરક્ષી ક્ષેત્ર છે. બંધ ગાળા પર સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખા સંકલન હંમેશા શૂન્ય હોય છે,જે બંધ ક્ષેત્ર રેખાઓના અસ્તિત્વનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ શક્ય નથી.

(A) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q$ એ $x = -a$ અને $x = +a$ પર છે. ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q$ ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ પર છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારને $x$-અક્ષ પર $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ $F = F_1 - F_2 = \frac{kq^2}{(a-x)^2} - \frac{kq^2}{(a+x)^2}$ થાય.
$F = kq^2 \left[ \frac{(a+x)^2 - (a-x)^2}{(a^2-x^2)^2} \right] = kq^2 \left[ \frac{4ax}{(a^2-x^2)^2} \right]$.
અહીં $x < < a$ હોવાથી, $(a^2-x^2)^2 \approx a^4$ લઈ શકાય.
તેથી, $F \approx \frac{4kq^2x}{a^3}$.
અહીં બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને તે સંતુલન સ્થાન તરફ લાગે છે (પુનઃસ્થાપક બળ), તેથી કણ સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M)$ કરશે.

(D) નિયમિત ષષ્ટકોણના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,સામસામેના શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારો સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશાના હોવા જોઈએ,અથવા કેન્દ્ર પરના તમામ વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આકૃતિઓનું અવલોકન કરતા,કિસ્સા $(II)$ માં વિદ્યુતભારો $q, -q, q, q, -q, q$ છે. જો સામસામેના વિદ્યુતભારોની જોડી સમાન અને વિરુદ્ધ હોય,તો જ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય. આપેલ વિકલ્પોમાંથી,કિસ્સો $(II)$ સૌથી વધુ સંભવિત છે કારણ કે તેમાં ઋણ વિદ્યુતભારોનો સમાવેશ થાય છે જે સંતુલન માટે જરૂરી છે.

(D) ધારો કે દરેક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ છે અને કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ ખૂણાનું અંતર $a$ છે. ખૂણા પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{a^2}$ છે.
જો આપણે $P, Q, R, S, T, U$ પર $(-, +, +, -, +, -)$ મુજબ વિદ્યુતભારો મૂકીએ,તો $O$ પરના ક્ષેત્રો નીચે મુજબ હશે:
- $P$ $(-q)$ અને $S$ $(-q)$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર: $P$ ને કારણે ક્ષેત્ર $\vec{E}_P$ એ $P$ થી દૂર ( $S$ તરફ) છે અને $S$ ને કારણે ક્ષેત્ર $\vec{E}_S$ એ $S$ થી દૂર ($P$ તરફ) છે. આ બંને સમાન અને વિરુદ્ધ હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
- તેવી જ રીતે,$Q$ $(+q)$ અને $T$ $(-q)$ ના ક્ષેત્રો એકબીજામાં ઉમેરાય છે. $Q$ એ $Q$ થી દૂર ( $T$ તરફ) $\vec{E}_Q$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને $T$ એ $T$ તરફ ( $T$ થી દૂર) $\vec{E}_T$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ બંનેનો સરવાળો $Q$ થી $T$ ની દિશામાં $2E$ થાય છે.
- $R$ $(+q)$ અને $U$ $(-q)$ એ $R$ થી દૂર ($U$ તરફ) $\vec{E}_R$ અને $U$ તરફ ( $U$ થી દૂર) $\vec{E}_U$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ બંનેનો સરવાળો $R$ થી $U$ ની દિશામાં $2E$ થાય છે.
- પરિણામી ક્ષેત્ર આ ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે. $(-, +, +, -, +, -)$ ગોઠવણી માટે,$O$ પરનું કુલ ક્ષેત્ર $2E$ મળે છે,જે શરતનું પાલન કરે છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ જેટલો કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પાતળા ગોળીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $|\vec{E}(r)| = 0$ હોય છે અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V(r) = \frac{kQ}{R}$ (અચળ) હોય છે.
$2$. કવચની બહાર $(r \geq R)$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $|\vec{E}(r)| = \frac{kQ}{r^2}$ ($r^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં) હોય છે અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V(r) = \frac{kQ}{r}$ ($r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં) હોય છે.
આ ગુણધર્મોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, જે આલેખ અંદરના ભાગમાં $(r < R)$ શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર, $r = R$ આગળ અચાનક ફેરફાર અને બહારના ભાગમાં $1/r^2$ મુજબ ઘટાડો, તેમજ અંદરના ભાગમાં અચળ સ્થિતિમાન અને બહારના ભાગમાં $1/r$ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે, તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે,$r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{kq}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિમાનના સમીકરણને વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{E} = \frac{kq/r}{kq/r^2} = r$.
અહીં $V = 3000 \ V$ અને $E = 500 \ V/m$ આપેલ છે,તેથી:
$r = \frac{3000}{500} = 6 \ m$.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,વિદ્યુતભારો બિંદુવત છે,તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 1 \, m$ છે. બળ $F = k \frac{q_1 q_2}{d^2}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,વિદ્યુતભારો $R = 25 \, cm = 0.25 \, m$ ત્રિજ્યાવાળા ગોળાઓ પર વિતરિત થયેલા છે. પરસ્પર અપાકર્ષણને કારણે,ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો એકબીજાથી દૂર ખસે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,વિદ્યુતભારના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $d' > d$ થાય છે.
જેમ કે બળ $F$ એ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(F \propto \frac{1}{r^2})$,તેથી જેમ અસરકારક અંતર $d'$ વધે છે,તેમ અપાકર્ષી બળ $F \propto \frac{1}{d^2}$ ના સંબંધ મુજબ ઘટશે.

(C) શરૂઆતમાં,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$
જ્યારે બે સમાન ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. દરેક ગોળા પરનો નવો વિદ્યુતભાર:
$Q' = \frac{Q_1 + Q_2}{2}$
તેમને તેટલા જ અંતરે $r$ રાખ્યા પછી,નવું બળ $F_2$:
$F_2 = \frac{k Q' Q'}{r^2} = \frac{k (\frac{Q_1 + Q_2}{2})^2}{r^2} = \frac{k (Q_1 + Q_2)^2}{4r^2}$
ગુણોત્તર $F_1/F_2$ લેતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{k Q_1 Q_2 / r^2}{k (Q_1 + Q_2)^2 / 4r^2} = \frac{4 Q_1 Q_2}{(Q_1 + Q_2)^2}$
શરત $Q_1 >> Q_2$ આપેલ હોવાથી,આપણે $(Q_1 + Q_2) \approx Q_1$ લઈ શકીએ:
$\frac{F_1}{F_2} \approx \frac{4 Q_1 Q_2}{Q_1^2} = \frac{4 Q_2}{Q_1}$

(C) એક ગોળાના સંતુલન માટે,તેના પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$,અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{K Q^2}{x^2}$ છે.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા,$T \cos \theta = Mg$ અને $T \sin \theta = F$ મળે છે.
આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,$\tan \theta = \frac{F}{Mg}$ મળે છે.
જ્યારે $\theta$ નાનો હોય,ત્યારે $\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{l} = \frac{x}{2l}$.
આમ,$\frac{x}{2l} = \frac{K Q^2}{x^2 Mg}$,જે સૂચવે છે કે $Q^2 = \frac{Mg}{2Kl} x^3$,અથવા $Q \propto x^{3/2}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$2Q \frac{dQ}{dt} = \frac{Mg}{2Kl} \cdot 3x^2 \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
અહીં $\frac{dQ}{dt}$ અચળ હોવાથી,$Q \frac{dQ}{dt} \propto x^2 v$ થાય,જ્યાં $v = \frac{dx}{dt}$.
$Q \propto x^{3/2}$ મૂકતા,$x^{3/2} \propto x^2 v$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $v \propto x^{3/2 - 2} = x^{-1/2}$ થાય છે.

(A) સમાંતર પ્લેટોની સિસ્ટમ માટે,સૌથી બહારની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને તે બધા વિદ્યુતભારોના સરવાળાને $2$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
ધારો કે સપાટી '$a$' પરનો વિદ્યુતભાર $q_a$ છે અને સપાટી '$f$' પરનો વિદ્યુતભાર $q_f$ છે.
સમાંતર પ્લેટોના ગુણધર્મ મુજબ,$q_a = q_f$.
સિસ્ટમ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 + Q_3$ છે,અને સિસ્ટમની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રાખવા માટે સૌથી બહારની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોવો જોઈએ,તેથી:
$q_a + q_f = Q_1 + Q_2 + Q_3$
$q_a = q_f$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$2q_a = Q_1 + Q_2 + Q_3$
$q_a = \frac{Q_1 + Q_2 + Q_3}{2}$
આમ,સૌથી બહારની બંને સપાટીઓ '$a$' અને '$f$' પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{Q_1 + Q_2 + Q_3}{2}$ છે.

(B) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F_1 = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{R^2} = \frac{k \cdot (10 \times 10^{-6}) \cdot (-20 \times 10^{-6})}{R^2} = \frac{-200 \times 10^{-12} k}{R^2}$
જ્યારે બે સમાન વાહક ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે:
$q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{10\ \mu C - 20\ \mu C}{2} = -5\ \mu C$
સમાન અંતર $R$ પર અલગ કર્યા પછી,નવું બળ $F_2$ છે:
$F_2 = \frac{k \cdot q' \cdot q'}{R^2} = \frac{k \cdot (-5 \times 10^{-6}) \cdot (-5 \times 10^{-6})}{R^2} = \frac{25 \times 10^{-12} k}{R^2}$
$F_1 : F_2$ ગુણોત્તર છે:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{-200 \times 10^{-12} k / R^2}{25 \times 10^{-12} k / R^2} = \frac{-200}{25} = -8$
આમ,ગુણોત્તર $-8 : 1$ છે.

(A) ધારો કે $\theta$ એ દરેક દોરી શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. દોરીઓ વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $30^{\circ}$ હોવાથી,$\theta = 15^{\circ}$ થાય.
હવામાં,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$,અને વજન $mg$ છે. બળોને સંતુલિત કરતા:
$T \sin \theta = F$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{F}{mg}$.
જ્યારે ગોળાઓને $\rho_l = 0.8 \; g \, cm^{-3}$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે અને પદાર્થની ઘનતા $\rho_s = 1.6 \; g \, cm^{-3}$ છે,ત્યારે અસરકારક વજન $mg' = mg(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})$ થાય છે અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F' = \frac{F}{K}$ થાય છે.
ખૂણો સમાન રહેતો હોવાથી,$\tan \theta = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{mg(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})}$
$K = \frac{1}{1 - \frac{\rho_l}{\rho_s}} = \frac{1}{1 - \frac{0.8}{1.6}} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2$.

(B) વિદ્યુતભાર $q$ ની આસપાસ વિદ્યુતભાર $Q$ ની વર્તુળાકાર ગતિ માટે:
કેન્દ્રગામી બળ $F_{CP} = F_e$ (સ્થિત વિદ્યુત બળ)
$\frac{mv^2}{R} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qq}{R^2}$
$v^2 = \frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 mR}$
$v = \sqrt{\frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 mR}}$
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi R}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T = 2\pi R \sqrt{\frac{4\pi \epsilon_0 mR}{Qq}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = 4\pi^2 R^2 \left( \frac{4\pi \epsilon_0 mR}{Qq} \right)$
$T^2 = \frac{16\pi^3 \epsilon_0 mR^3}{Qq}$

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુતભાર $q$ નું પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_i$ થી અંતિમ સ્થાન $\vec{r}_f$ સુધીનું સ્થાનાંતર થાય ત્યારે થતું કાર્ય નીચે મુજબ છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (q\vec{E}) \cdot (\vec{r}_f - \vec{r}_i)$
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $X$-અક્ષની ધન દિશામાં છે,તેથી $\vec{E} = E\hat{i}$.
પ્રારંભિક સ્થાન $P(a, b, 0)$ છે,તેથી $\vec{r}_i = a\hat{i} + b\hat{j}$.
અંતિમ સ્થાન $S(0, 0, 0)$ છે,તેથી $\vec{r}_f = 0$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = -a\hat{i} - b\hat{j}$.
કાર્ય $W = (qE\hat{i}) \cdot (-a\hat{i} - b\hat{j}) = -qEa$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,મૂલ્ય $qEa$ મળે છે.

(A) સેટેલાઇટમાં અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય $(g_{eff} = 0)$ હોય છે.
તેથી,બે ગોળાઓ વચ્ચે લાગતું એકમાત્ર બળ એ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ છે.
બંને ગોળાઓ પર સમાન વિદ્યુતભાર $+Q$ હોવાથી,તેઓ એકબીજાને અપાકર્ષશે અને શક્ય તેટલા દૂર જશે.
દોરીઓ એક સીધી રેખામાં ગોઠવાઈ જશે,જેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^\circ$ થશે.
બંને વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r = L + L = 2L$ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ (જે દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ જેટલું છે) કુલંબના નિયમ મુજબ:
$T = F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q^2}{4L^2}$.