Mix Examples-Electric Charges and Fields Questions in Gujarati

(C) વિધાન-$I$ સાચું છે: જ્યારે કોઈ ધન બિંદુવત વિદ્યુતભારને અસ્તિત્વ ધરાવતા વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ બિંદુએ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બાહ્ય ક્ષેત્ર અને બિંદુવત વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે. વિદ્યુતભારની સાપેક્ષ સ્થિતિના આધારે,ક્ષેત્ર વધી કે ઘટી શકે છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે: સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે અસમાન ક્ષેત્રમાં ડાયપોલ પર ચોખ્ખું બળ લાગે છે,પરંતુ તે હંમેશા સાચું નથી. જો ડાયપોલને એવા બિંદુએ મૂકવામાં આવે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ હોય,તો ડાયપોલ પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેથી,આ વિધાન કે બળ 'શૂન્ય નહીં હોય' તે સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ વેક્ટર $\overrightarrow{D} = \epsilon_{0} \overrightarrow{E}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટનું પરિમાણીય વિશ્લેષણ: $[D] = [\epsilon_{0}][E]$.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ સાથે $E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી આપણને $\epsilon_{0} E = \sigma$ મળે છે.
આથી,ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્પ્લેસમેન્ટ $[D]$ ના પરિમાણો એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $[\sigma]$ ના પરિમાણો જેટલા જ છે.
બંનેના પરિમાણો $[Q L^{-2}]$ છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.

(B) ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_A = q_B = q$ છે. પ્રારંભિક બળ $F = \frac{Kq^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે ગોળા $C$ (શરૂઆતમાં વિદ્યુતભાર રહિત) ને $A$ ના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: $q_A' = q_C' = \frac{q}{2}$.
હવે,ગોળા $C$ ને $B$ ના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ થાય છે. અલગ કર્યા પછી,દરેક પર $q_B' = q_C'' = \frac{3q/2}{2} = \frac{3q}{4}$ વિદ્યુતભાર આવે છે.
હવે,$A$ પર $\frac{q}{2}$ અને $B$ પર $\frac{3q}{4}$ વિદ્યુતભાર છે. ગોળા $C$ ને મધ્યબિંદુ પર (બંનેથી $r/2$ અંતરે) મૂકવામાં આવે છે.
$A$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{K(q/2)(3q/4)}{(r/2)^2} = \frac{3Kq^2/8}{r^2/4} = \frac{3Kq^2}{2r^2} = \frac{3F}{2}$ ($A$ તરફ).
$B$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{K(3q/4)(3q/4)}{(r/2)^2} = \frac{9Kq^2/16}{r^2/4} = \frac{9Kq^2}{4r^2} = \frac{9F}{4}$ ($A$ તરફ).
$C$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_2 - F_1 = \frac{9F}{4} - \frac{3F}{2} = \frac{9F - 6F}{4} = \frac{3F}{4}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં વિદ્યુતભાર રહિત કણ માટે,અવધિ $L = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \quad \dots(i)$ છે.
વિદ્યુતભારિત કણ માટે,અસરકારક પ્રવેગ $g' = g + \frac{qE}{m}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ માટે અવધિ $L/2$ છે,તેથી:
$\frac{L}{2} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g + \frac{qE}{m}}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $u^2 \sin 2\theta = Lg$ મૂકતા:
$\frac{L}{2} = \frac{Lg}{g + \frac{qE}{m}}$
$\Rightarrow g + \frac{qE}{m} = 2g \Rightarrow \frac{qE}{m} = g \quad \dots(ii)$
હવે,$m$ દળ અને $2q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ માટે,અસરકારક પ્રવેગ $g'' = g + \frac{2qE}{m}$ છે.
સમીકરણ $(ii)$ નો ઉપયોગ કરતા,$g'' = g + 2g = 3g$ મળે.
તેથી નવી અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{3g} = \frac{1}{3} \left( \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \right) = \frac{L}{3}$ થાય.

(C) ગ્રાઉન્ડેડ વાહક ખૂણા માટે ઈમેજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સીમા શરતોને સંતોષવા માટે ત્રણ ઈમેજ વિદ્યુતભારો મૂકીએ છીએ: $(-d, 0)$ પર $-q$,$(0, -d)$ પર $-q$,અને $(-d, -d)$ પર $+q$.
$(d, d)$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભાર પર ઈમેજ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતું બળ:
$1$. $(-d, 0)$ પરના $-q$ ને કારણે બળ: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2 + 0^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$ ($x$-અક્ષ તરફ આકર્ષી).
$2$. $(0, -d)$ પરના $-q$ ને કારણે બળ: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{0^2 + (2d)^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$ ($y$-અક્ષ તરફ આકર્ષી).
$3$. $(-d, -d)$ પરના $+q$ ને કારણે બળ: $F_3 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2 + (2d)^2} = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2}$ (ઉગમબિંદુથી દૂર અપાકર્ષી).
બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે પરિણામી આકર્ષી બળ $F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_1 = \frac{\sqrt{2} q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2}$,જે ઉગમબિંદુ $O$ તરફ લાગે છે.
કુલ બળ $F_{\text{net}} = F_{12} - F_3 = \frac{\sqrt{2} q^2}{16 \pi \varepsilon_0 d^2} - \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2} = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 d^2} (2\sqrt{2} - 1)$,જે $O$ તરફ લાગે છે.

(C) ધારો કે $q_1$ અને $q_2$ એ $a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારો છે. ત્રીજા શિરોબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રો $E_1$ અને $E_2$ ના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે.
$E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos 60^{\circ}}$
અહીં $E_1 = \frac{k q_1}{a^2}$ અને $E_2 = \frac{k q_2}{a^2}$ હોવાથી:
$E = \frac{k}{a^2} \sqrt{q_1^2 + q_2^2 + q_1 q_2}$
આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = q$,ધારો કે $x = q_1 / q$,તેથી $q_1 = xq$ અને $q_2 = (1-x)q$.
આ કિંમતો $E$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{k}{a^2} \sqrt{(xq)^2 + ((1-x)q)^2 + (xq)((1-x)q)}$
$E = \frac{kq}{a^2} \sqrt{x^2 + 1 - 2x + x^2 + x - x^2} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{x^2 - x + 1}$
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$f(x) = x^2 - x + 1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$f'(x) = 2x - 1 = 0 \implies x = 0.5$.
$x = 0$ અથવા $x = 1$ પર,$E = \frac{kq}{a^2}$. $x = 0.5$ પર,$E = \frac{kq}{a^2} \sqrt{0.25 - 0.5 + 1} = \frac{kq}{a^2} \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{kq}{a^2}$.
આ આલેખ $C$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(C) $1$. અપાકર્ષણ માત્ર સમાન વીજભારો વચ્ચે જ થાય છે. તેથી,$b$ અને $c$ સમાન વીજભાર ધરાવે છે,અને $d$ અને $e$ સમાન વીજભાર ધરાવે છે.
$2$. આકર્ષણ વિરુદ્ધ વીજભારો વચ્ચે અથવા વીજભારિત પદાર્થ અને વીજભારરહિત પદાર્થ વચ્ચે (પ્રેરણને કારણે) થાય છે.
$3$. આપેલ છે કે $(a, b)$ આકર્ષાય છે,$(c, e)$ આકર્ષાય છે,અને $(a, e)$ આકર્ષાય છે.
$4$. જો $a$ વીજભારિત હોત (ધારો કે ધન),તો $b$ ઋણ હોવો જોઈએ. કારણ કે $(b, c)$ અપાકર્ષણ કરે છે,$c$ પણ ઋણ હોવો જોઈએ. કારણ કે $(c, e)$ આકર્ષણ કરે છે,$e$ ધન હોવો જોઈએ (અથવા વીજભારરહિત). જો $e$ ધન હોય,તો $(a, e)$ અપાકર્ષણ કરે,જે આપેલી માહિતીથી વિરોધાભાસી છે. જો $e$ વીજભારરહિત હોય,તો $(a, e)$ આકર્ષાય,પરંતુ $(d, e)$ અપાકર્ષણ ન કરે (કારણ કે $e$ ને અપાકર્ષવા માટે $d$ વીજભારિત હોવો જોઈએ).
$5$. જો $a$ વીજભારરહિત હોય,તો તે સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણને કારણે કોઈપણ વીજભારિત પદાર્થ $b$ અથવા $e$ ને આકર્ષશે. આ તમામ અવલોકનો સાથે સુસંગત છે.

(D) સ્થિર વિદ્યુત પ્રેરણનો સિદ્ધાંત એ એક પાયાની ઘટના છે જેનો ઉપયોગ વિવિધ ઔદ્યોગિક અને કુદરતી પ્રક્રિયાઓમાં થાય છે.
$1$. પરાગનયન: ઘણી વનસ્પતિઓમાં,પરાગરજ પ્રેરણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા સ્થિર વિદ્યુત બળોને કારણે સ્ત્રીકેસર પર આકર્ષાય છે.
$2$. ચોકલેટ બનાવવી: ચોકલેટ પર સમાન રીતે પડ ચડાવવા માટે ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક ડિપોઝિશનનો ઉપયોગ થાય છે.
$3$. ઝેરોક્ષ કોપી: ઝેરોગ્રાફી (ફોટોકોપી) ની પ્રક્રિયા કાગળ પર ટોનરના કણોને સ્થાનાંતરિત કરવા માટે મોટાભાગે સ્થિર વિદ્યુત પ્રેરણ પર આધાર રાખે છે.
આ તમામ પ્રક્રિયાઓ સ્થિર વિદ્યુત પ્રેરણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતી હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બાજુવાળા નિયમિત ષટ્કોણ માટે,દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $r = a$ છે.
$1$. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$: કેન્દ્ર $O$ પરનું સ્થિતિમાન એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \sum \frac{k q_i}{r_i} = \frac{k}{a} (q - q + q - q + q - q) = 0$.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$: કેન્દ્ર $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. સામસામેના વિદ્યુતભારોની દરેક જોડી (દા.ત.,$q$ અને $-q$) કેન્દ્ર પર ઋણ વિદ્યુતભારની દિશામાં પરિણામી ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. ખાસ કરીને,એક શિરોબિંદુ પરનો $q$ અને તેની સામેના શિરોબિંદુ પરનો $-q$ વિદ્યુતભાર $\frac{2kq}{a^2}$ મૂલ્યનું પરિણામી ક્ષેત્ર ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ ઉત્પન્ન કરે છે. આવી ત્રણ જોડીઓ એકબીજા સાથે $120^\circ$ ના ખૂણે હોવાથી,તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે. આમ,$E = 0$.

(A) અનંત સમતલ વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_S = \frac{|\sigma_s|}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(0, 0, 2)$ બિંદુ પર,શીટથી (જે $x-y$ સમતલ,એટલે કે $z=0$ પર છે) અંતર $r_S = 2 \text{ m}$ છે.
અનંત લંબાઈના રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\ell} = \frac{|\lambda_e|}{2\pi\epsilon_0 r_{\ell}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય વિદ્યુતભાર $z=4 \text{ m}$ પર છે અને $y$-અક્ષને સમાંતર છે. બિંદુ $(0, 0, 2)$ છે. રેખીય વિદ્યુતભારથી બિંદુ $(0, 0, 2)$ સુધીનું લંબ અંતર $r_{\ell} = |4 - 2| = 2 \text{ m}$ છે.
આપેલ છે કે $|\sigma_s| = 2|\lambda_e|$.
વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_S}{E_{\ell}} = \frac{|\sigma_s| / 2\epsilon_0}{|\lambda_e| / 2\pi\epsilon_0 r_{\ell}} = \frac{|\sigma_s|}{2\epsilon_0} \times \frac{2\pi\epsilon_0 r_{\ell}}{|\lambda_e|} = \frac{|\sigma_s| \pi r_{\ell}}{|\lambda_e|}$.
$|\sigma_s| = 2|\lambda_e|$ અને $r_{\ell} = 2 \text{ m}$ મૂલ્યો મૂકતા:
$\frac{E_S}{E_{\ell}} = \frac{2|\lambda_e| \times \pi \times 2}{|\lambda_e|} = 4\pi$.
આપણને ગુણોત્તર $\pi \sqrt{n} : 1$ આપેલ છે,તેથી $\pi \sqrt{n} = 4\pi$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{n} = 4$.
તેથી,$n = 16$.

(C) વિદ્યુતભારો $q_A = q/3$,$q_B = q/3$,અને $q_C = -2q/3$ છે.
$\triangle ABC$ માં,$A, B, C$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળ પર હોવાથી,$OA = OB = OC = R$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle CAB = 60^{\circ}$,$\triangle OAC$ માં,$OA = OC = R$ હોવાથી,$\angle OCA = \angle OAC = 60^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\triangle OAC$ સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$AC = R$.
તે જ રીતે,$\triangle OBC$ માટે,$BC$ અંતરની ગણતરી કરતા,$BC = \sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(120^{\circ})} = R\sqrt{3}$ મળે.
$C$ અને $B$ વચ્ચેનું બળ $F_{BC} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_C| |q_B|}{(BC)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(2q/3)(q/3)}{(R\sqrt{3})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q^2/9}{3R^2} = \frac{q^2}{54 \pi \varepsilon_0 R^2}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
કેન્દ્રીય બળ ક્ષેત્રમાં,જેમ કે સ્થિર વિદ્યુતભાર $+Q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ કુલંબ ક્ષેત્ર,ભ્રમણ કરતા $-q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ હંમેશા કેન્દ્ર (જ્યાં $+Q$ સ્થિત છે) તરફ હોય છે.
બળ કેન્દ્રીય હોવાથી,$+Q$ ની સાપેક્ષમાં $-q$ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ શૂન્ય થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$-q$ વિદ્યુતભારનું કોણીય વેગમાન તેની લંબગોળ કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
લંબગોળ કક્ષામાં રેખીય વેગમાન,કોણીય વેગ અને રેખીય ઝડપ અચળ હોતા નથી કારણ કે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર બદલાતું રહે છે,જેના કારણે ઝડપ અને દિશામાં ફેરફાર થાય છે.

(A) વિદ્યુતભારીત વાહકની સપાટી પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ $P = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દબાણ સપાટીના દરેક ભાગ પર ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ લાગે છે.
બે અર્ધગોલીય કવચને સાથે રાખવા માટે, બાહ્ય બળ $F$ એ અર્ધગોળાના આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ દ્વારા લાગતા કુલ બહારના બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
અર્ધગોળાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
કુલ બહારનું બળ $F$ એ સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ અને બળની દિશાને લંબ પ્રક્ષેપિત ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે:
$F = P \times A = \left( \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0} \right) \times \pi R^2$.
આમ, $F = \frac{\pi \sigma^2 R^2}{2\varepsilon_0}$.
અહીં $\pi$, $2$, અને $\varepsilon_0$ અચળાંકો હોવાથી, બળ $F$ એ $\sigma^2 R^2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) $1$. જ્યારે ટીપું સંતુલિત હોય: $qE = mg = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$ (હવાની ઘનતા અવગણ્ય છે).
$2$. જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે,ત્યારે ટીપું ટર્મિનલ વેગ $v_T$ થી નીચે પડે છે: $mg = 6 \pi \eta R v_T$.
$3$. બીજા સમીકરણ પરથી,$R = \sqrt{\frac{9 \eta v_T}{2 \rho g}}$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{\frac{9 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-3}}{2 \times 900 \times 9.8}} \approx 1.355 \times 10^{-6} \text{ m}$.
$5$. હવે,$q = \frac{6 \pi \eta R v_T}{E} = \frac{6 \pi \times 1.8 \times 10^{-5} \times 1.355 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{\frac{81 \pi}{7} \times 10^5}$.
$6$. ગણતરી કરતા $q = 8.0 \times 10^{-19} \text{ C}$ મળે છે.

(A) ચોરસ ફિલ્મની એક બાજુ,ધારો કે '$a$' લંબાઈની બાજુ $BC$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો. આ બાજુ પર લાગતું પૃષ્ઠતાણ બળ $F_2 = \gamma a$ છે (સાબુની ફિલ્મની બે સપાટી હોવાથી,બળ $2 \gamma a$ થાય છે).
$B$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારો પર અન્ય વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ પૃષ્ઠતાણ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ. $A$ અને $C$ ના વિદ્યુતભારોને કારણે $B$ પર લાગતું ચોખ્ખું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_{AC} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \sqrt{2}$ છે અને $D$ ના વિદ્યુતભારને કારણે $F_D = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}$ છે.
બાજુ $BC$ ને લંબ દિશામાં લાગતું ચોખ્ખું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_{net} = 2 \times F_{charge} \cos(45^{\circ})$ છે.
બળોને સરખાવતા: $2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \gamma a$.
સાદુરૂપ આપતા,$a^3 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{\gamma} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$.
આને $a = k \left[ \frac{q^2}{\gamma} \right]^{1/N}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $N = 3$ મળે છે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે. તેઓ બંધ લૂપ બનાવતી નથી.
બીજી તરફ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા બંધ સતત લૂપ બનાવે છે કારણ કે ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વમાં નથી.
જોકે,પ્રશ્ન બંને માટે માન્ય પેટર્ન વિશે પૂછે છે.
વિકલ્પ $C$ વર્તુળાકાર ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે,સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રવાળા વિસ્તારોમાં (પ્રેરિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર) વર્તુળાકાર રેખાઓ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે,સીધા પ્રવાહ ધારક વાયર દ્વારા વર્તુળાકાર રેખાઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
આમ,વર્તુળાકાર ફિલ્ડ પેટર્ન એકમાત્ર એવી પેટર્ન છે જે વિદ્યુત ક્ષેત્ર (ચોક્કસ બિન-સ્થિર વિદ્યુત પરિસ્થિતિઓમાં) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે.

(B) સાચા વિધાનો $(C)$ અને $(D)$ છે.
$(A)$ ગૌસનો નિયમ વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ $(E \propto r^{-2})$ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે. જો ક્ષેત્ર $r^{-2.5}$ મુજબ બદલાતું હોય,તો બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સપાટીના આકાર અને કદ પર આધાર રાખે છે,જે પ્રમાણભૂત ગૌસના નિયમને અમાન્ય બનાવે છે.
$(B)$ જ્યારે ઉચ્ચ સંમિતિ (ગોળાકાર,નળાકાર અથવા સમતલ) હોય ત્યારે ગૌસનો નિયમ સૌથી વધુ અસરકારક છે. વિદ્યુત ડાયપોલમાં ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી સંમિતિનો અભાવ હોય છે.
$(C)$ બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો માટે,તેમની વચ્ચેના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્યારે જ શૂન્ય હોય છે જો વિદ્યુતભારો સમાન સંજ્ઞા ધરાવતા હોય (અપાકર્ષી બળ). જો તેઓ વિરુદ્ધ સંજ્ઞા ધરાવતા હોય,તો ક્ષેત્ર તેમની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર શૂન્ય હોય છે.
$(D)$ વ્યાખ્યા મુજબ,પોટેન્શિયલ તફાવત $(V_B - V_A)$ એ એકમ ધન વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી પ્રવેગિત કર્યા વિના ખસેડવા માટે બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય છે.

(B) $(1)$ ઉગમબિંદુ પરના બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{d^2}$ છે,તેથી $E \propto \frac{1}{d^2}$.
$(2)$ ડાયપોલની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2kp}{d^3} = \frac{4kQl}{d^3}$ છે,તેથી $E \propto \frac{1}{d^3}$.
$(3)$ અનંત લંબાઈના રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2k\lambda}{d}$ છે,તેથી $E \propto \frac{1}{d}$.
$(4)$ બે અનંત લાંબા તારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{2k\lambda}{d-l} - \frac{2k\lambda}{d+l} = \frac{4k\lambda l}{d^2-l^2}$ છે. જો $d \gg l$ હોય,તો $E = \frac{4k\lambda l}{d^2}$,તેથી $E \propto \frac{1}{d^2}$.
$(5)$ અનંત સમતલ વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ છે,જે $d$ થી સ્વતંત્ર છે.
જોડકાં: $P \rightarrow 5$,$Q \rightarrow 3$,$R \rightarrow 1, 4$,$S \rightarrow 2$. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે ગોળા પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q$ છે. તેથી,$V_0 = \frac{kQ}{R}$.
જ્યારે $\alpha(4\pi R^2)$ ક્ષેત્રફળનું નાનું છિદ્ર પાડવામાં આવે,ત્યારે દૂર થયેલ વિદ્યુતભાર $q = \alpha Q$ છે.
$(1)$ કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $(V_c)$ અને કેન્દ્રથી છિદ્ર તરફ $R/2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર સ્થિતિમાન $(V_p)$:
કોઈપણ બિંદુ પરનું સ્થિતિમાન એ સંપૂર્ણ ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાન અને દૂર કરેલા વિદ્યુતભાર (જેને સપાટી પરના ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે ગણવામાં આવે છે) ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_c = \frac{kQ}{R} - \frac{kq}{R} = \frac{kQ}{R}(1-\alpha) = V_0(1-\alpha)$.
$V_p = \frac{kQ}{R} - \frac{kq}{R/2} = \frac{kQ}{R} - \frac{2kq}{R} = \frac{kQ}{R}(1-2\alpha) = V_0(1-2\alpha)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_c}{V_p} = \frac{1-\alpha}{1-2\alpha}$. આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$(2)$ કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_c)$:
શરૂઆતમાં,$E_c = 0$. વિદ્યુતભાર $q$ દૂર કર્યા પછી,$E_c = \frac{kq}{R^2} = \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \alpha \frac{V_0}{R}$. વિદ્યુતક્ષેત્ર વધે છે.
$(3)$ કેન્દ્રથી $2R$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P'$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર:
શરૂઆતમાં,$E_{P'} = \frac{kQ}{(2R)^2} = \frac{kQ}{4R^2}$.
સપાટી પરથી વિદ્યુતભાર $q$ દૂર કર્યા પછી,છિદ્રને કારણે $P'$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{kq}{R^2}$ છે (કારણ કે $P'$ છિદ્રથી $R$ અંતરે છે).
$E_{P', \text{final}} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{kq}{R^2} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \frac{kQ}{4R^2} - \frac{4k\alpha Q}{4R^2} = \frac{kQ}{4R^2}(1-4\alpha)$.
ક્ષેત્રમાં ફેરફાર $\Delta E = \frac{kq}{R^2} = \frac{k(\alpha Q)}{R^2} = \frac{\alpha V_0}{R}$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રો નીચે મુજબ છે: $E_1(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$,$E_2(r) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$,અને $E_3(r) = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$.
આપેલ છે કે $E_1(r_0) = E_2(r_0) = E_3(r_0) = E_0$,તેથી:
$\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r_0} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} = E_0$.
$E_2(r_0) = E_3(r_0)$ પરથી,આપણને $\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r_0} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $r_0 = \frac{\lambda}{\pi \sigma}$. આમ,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$E_1(r_0) = E_3(r_0)$ પરથી,આપણને $\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $Q = 2 \pi \sigma r_0^2$. આમ,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
હવે,વિકલ્પ $C$ તપાસો: $E_1(r_0/2) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 (r_0/2)^2} = 4 E_1(r_0) = 4 E_0$. તેમજ,$E_2(r_0/2) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 (r_0/2)} = 2 E_2(r_0) = 2 E_0$. તેથી,$E_1(r_0/2) = 2 E_2(r_0/2)$. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
વિકલ્પ $D$ તપાસો: $E_3(r)$ એ $r$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી $E_3(r_0/2) = E_3(r_0) = E_0$. કારણ કે $E_2(r_0/2) = 2 E_0$,તેથી $E_2(r_0/2) = 2 E_3(r_0/2)$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભાર $Q_i$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_i$ છે. $\pm x_0$ પર રહેલી વિદ્યુતભારોની જોડી દ્વારા લાગતા બળનો $x$-ઘટક $(Q_{left} - Q_{right})$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. $y$-ઘટક $(Q_{left} + Q_{right})$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$(P)$ બધા ધન: $Q_1=Q_2=Q_3=Q_4 = +Q$. સંમિતિને કારણે $x$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $y$-ઘટકોનો સરવાળો થાય છે, પરિણામે $+y$ દિશામાં પરિણામી બળ મળે છે (વિકલ્પ $3$).
$(Q)$ $Q_1, Q_2$ ધન, $Q_3, Q_4$ ઋણ: $y$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $x$-ઘટકો $+x$ દિશામાં ઉમેરાય છે કારણ કે ધન વિદ્યુતભારો ડાબી બાજુએ અને ઋણ જમણી બાજુએ છે, જે $q$ ને જમણી તરફ ધકેલે છે (વિકલ્પ $1$).
$(R)$ $Q_1, Q_4$ ધન, $Q_2, Q_3$ ઋણ: $x$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $y$-ઘટકો ઋણ છે કારણ કે ઉગમબિંદુની નજીકના વિદ્યુતભારો $(Q_2, Q_3)$ ઋણ છે અને તેમની $y$-અસર દૂરના ધન વિદ્યુતભારો $(Q_1, Q_4)$ કરતા વધુ પ્રબળ છે, પરિણામે $-y$ દિશામાં પરિણામી બળ મળે છે (વિકલ્પ $4$).
$(S)$ $Q_1, Q_3$ ધન, $Q_2, Q_4$ ઋણ: $y$-ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. $x$-ઘટકો $-x$ દિશામાં પરિણામી બળ આપે છે કારણ કે ડાબી બાજુના વિદ્યુતભારોની કુલ અસર ઋણ છે અને જમણી બાજુની ધન છે, જે $q$ ને ડાબી તરફ ખેંચે છે (વિકલ્પ $2$).
આમ, સાચી જોડ $P-3, Q-1, R-4, S-2$ છે.

(A) કણની સ્થિતિ ઉર્જા $U(z) = qV(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z)$ છે.
બાહ્ય બળ $\vec{F} = -c\hat{k}$ છે,તેથી આ બળને કારણે સ્થિતિ ઉર્જા $U_{ext}(z) = cz$ છે.
કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $U_{total}(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z) + cz$ છે.
$\beta = \frac{2c\epsilon_0}{q\sigma}$ નો ઉપયોગ કરતા,$c = \frac{\beta q\sigma}{2\epsilon_0}$ મળે.
તેથી,$U_{total}(z) = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{R^2+z^2} - z + \beta z)$.
કણ ઉગમબિંદુ સુધી પહોંચે તે માટે,$z_0$ પરની કુલ ઉર્જા $z=0$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા કરતા વધારે અથવા સમાન હોવી જોઈએ. કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $E = U_{total}(z_0)$.
$U_{total}(z_0) \ge U_{total}(0) \implies \sqrt{R^2+z_0^2} - z_0 + \beta z_0 \ge R$.
$(A)$ માટે: $\beta = 1/4, z_0 = 25/7 R$. ગણતરી કરતા $1.04 R > R$ મળે છે,તેથી કણ ઉગમબિંદુ સુધી પહોંચે છે.
$(B)$ માટે: $\beta = 1/4, z_0 = 3/7 R$. ગણતરી કરતા $0.759 R < R$ મળે છે,તેથી કણ ઉગમબિંદુ સુધી પહોંચતું નથી.
$(C)$ માટે: $z_0 = R/\sqrt{3}$ પર,$U_{total}(z_0) > R$ મળે છે,તેથી તે ઉગમબિંદુને પાર કરશે.
સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_P - V_R$ એ તાર અને ગોળીય કવચને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો સરવાળો છે.
$1$. અનંત લંબાઈના તારને કારણે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
તારથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2k\lambda}{x}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ અને $\lambda = 5 \times 10^{-9} \text{ C/m}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_P - V_R = \int_{0.5}^{2} E \, dx = \int_{0.5}^{2} \frac{2k\lambda}{x} \, dx = 2k\lambda \ln\left(\frac{2}{0.5}\right) = 2k\lambda \ln(4) = 4k\lambda \ln(2)$.
કિંમતો મૂકતા: $V_P - V_R = 4 \times (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 0.7 = 180 \times 0.7 = 126 \text{ V}$.
$2$. ગોળીય કવચને કારણે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
બિંદુ $P$ એ $0.5 \text{ m}$ અંતરે છે ($1 \text{ m}$ ત્રિજ્યાના કવચની અંદર) અને બિંદુ $R$ એ $2 \text{ m}$ અંતરે છે (કવચની બહાર).
કવચની અંદર વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે: $V_P = \frac{kQ}{R_s} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-9})}{1} = 90 \text{ V}$.
કવચની બહાર $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_R = \frac{kQ}{r} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-9})}{2} = 45 \text{ V}$ છે.
આમ,$V_P - V_R = 90 - 45 = 45 \text{ V}$.
કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત: $V_P - V_R = 126 + 45 = 171 \text{ V}$.

(D) જુદા જુદા વિદ્યુતભાર વિતરણો માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ છે:
$(A)$ વિદ્યુતભારીત રીંગ માટે તેની અક્ષ પર,ક્ષેત્ર કેન્દ્ર પર શૂન્ય હોય છે,$r = R/\sqrt{2}$ અંતરે મહત્તમ થાય છે અને ત્યારબાદ ઘટે છે. આ આલેખ $(P)$ ને અનુરૂપ છે.
$(B)$ સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત નક્કર ગોળા માટે,$r < R$ માટે $E \propto r$ અને $r > R$ માટે $E \propto 1/r^2$ હોય છે. આ આલેખ $(Q)$ ને અનુરૂપ છે.
$(C)$ સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચ માટે,$r < R$ માટે ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે અને $r > R$ માટે $E \propto 1/r^2$ હોય છે. આ આલેખ $(R)$ ને અનુરૂપ છે.
$(D)$ ડાયપોલ ($+Q$ અને $-Q$ નું સંયોજન) માટે,લંબ દ્વિભાજક પર ક્ષેત્ર કેન્દ્ર પર મહત્તમ હોય છે અને અંતર વધતા ઘટે છે. આ આલેખ $(S)$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(P), (B)-(Q), (C)-(R), (D)-(S)$ છે.

(NONE) કોન્ફિગ્યુરેશન $I$ માટે: શીટ્સ વચ્ચેના કોઈપણ વિસ્તારમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{1}{2\epsilon_0} \sum \sigma_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિસ્તાર $4$ માં,$E_4 = \frac{1}{2\epsilon_0} (\sigma_0 - \sigma_0 + \sigma_0 - \sigma_0 + \sigma_0) = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0} (1 - 1 + 1 - 1 + 1) = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$. આમ,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
પ્રથમ અને છેલ્લી શીટ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 - V_6 = E_1 d + E_2 d + E_3 d + E_4 d + E_5 d$ છે.
કોન્ફિગ્યુરેશન $I$ માટે,$E_1 = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$,$E_2 = -\frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$,$E_3 = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$,$E_4 = -\frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$,$E_5 = \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0}$.
$V_1 - V_6 = d \frac{\sigma_0}{2\epsilon_0} (1 - 1 + 1 - 1 + 1) = \frac{\sigma_0 d}{2\epsilon_0} = \frac{9 \times 10^{-6} \times 10^{-6}}{2 \times 9 \times 10^{-12}} = 0.5 V$. વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
કોન્ફિગ્યુરેશન $II$ માટે: વિસ્તાર $3$ માં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_3 = \frac{1}{2\epsilon_0} (\frac{\sigma_0}{2} - \sigma_0 + \sigma_0) = \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$ છે. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
કોન્ફિગ્યુરેશન $II$ માટે પ્રથમ અને છેલ્લી શીટ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત: $E_1 = \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$,$E_2 = -\frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$,$E_3 = \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$,$E_4 = -\frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$,$E_5 = \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0}$.
$V_1 - V_6 = d (E_1 + E_2 + E_3 + E_4 + E_5) = d \frac{\sigma_0}{4\epsilon_0} (1 - 1 + 1 - 1 + 1) = \frac{\sigma_0 d}{4\epsilon_0} \neq 0$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(B) બે સમાન વીજભાર $Q$ ધરાવતા ગોળાઓ વચ્ચે $r$ અંતરે લાગતું પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F = \frac{kQ^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે એક સમાન વીજભાર રહિત ગોળો વીજભારિત ગોળાને સ્પર્શે છે,ત્યારે વીજભાર $Q$ બંને વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,સ્પર્શ કરેલા ગોળા પર હવે $Q/2$ વીજભાર છે અને ત્રીજો ગોળો પણ $Q/2$ વીજભાર મેળવે છે.
ત્રીજા ગોળાને મધ્યબિંદુ પર (દરેકથી $r/2$ અંતરે) મૂકવામાં આવે છે. ધારો કે વીજભારો $q_1 = Q/2$ (સ્પર્શ કરેલો ગોળો),$q_2 = Q$ (અસ્પર્શિત ગોળો),અને $q_3 = Q/2$ (ત્રીજો ગોળો) છે.
પ્રથમ ગોળાને કારણે ત્રીજા ગોળા પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{k(Q/2)(Q/2)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2/4}{r^2/4} = \frac{kQ^2}{r^2} = F$ (પ્રથમ ગોળાથી દૂરની દિશામાં).
બીજા ગોળાને કારણે ત્રીજા ગોળા પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{k(Q)(Q/2)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2/2}{r^2/4} = \frac{2kQ^2}{r^2} = 2F$ (બીજા ગોળાથી દૂરની દિશામાં).
બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ થશે.

(C) વાન ડી ગ્રાફ જનરેટર એ એક સ્થિર વિદ્યુત જનરેટર છે જે પોલા ધાતુના ગોળા પર ખૂબ જ ઉચ્ચ વિદ્યુતભાર એકત્રિત કરવા માટે ફરતા બેલ્ટનો ઉપયોગ કરે છે.
તેને ખૂબ જ ઉચ્ચ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) ઉત્પન્ન કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે,જે સામાન્ય રીતે લાખો વોલ્ટની રેન્જમાં હોય છે.
જો કે,એકમ સમયમાં સ્થાનાંતરિત થતો વિદ્યુતભાર ખૂબ ઓછો હોય છે,જેના પરિણામે ખૂબ જ ઓછો વિદ્યુત પ્રવાહ મળે છે.
તેથી,તે ઉચ્ચ વોલ્ટેજ અને ઓછો પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) વાન ડી ગ્રાફ જનરેટર મુખ્યત્વે બે સિદ્ધાંતો પર કાર્ય કરે છે:
$1$. અણીદાર ભાગો પર કોરોના ડિસ્ચાર્જની ઘટના,જે ગતિશીલ બેલ્ટ પર વિદ્યુતભારના સ્થાનાંતરણ માટે જવાબદાર છે.
$2$. પોલા વાહકને આપેલો વિદ્યુતભાર તેની બહારની સપાટી પર સ્થાનાંતરિત થાય છે અને જેમ વધુ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે તેમ વાહકનું પોટેન્શિયલ વધતું જાય છે.
વિકલ્પ $B$ સાયક્લોટ્રોનના સિદ્ધાંતનું વર્ણન કરે છે,જ્યાં વિદ્યુતભારિત કણોને પ્રવેગિત કરવા માટે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી,વાન ડી ગ્રાફ જનરેટર એકબીજાને લંબ હોય તેવા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના ઉપયોગ પર આધારિત નથી.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ ગોળાઓ વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ:
$F = \frac{k(4Q)(2Q)}{r^2} = \frac{8kQ^2}{r^2} \quad \dots(1)$
જ્યારે ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે:
$Q_{new} = \frac{4Q + (-2Q)}{2} = \frac{2Q}{2} = Q$
હવે,નવું અંતર $r' = \frac{r}{2}$ છે. નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = \frac{k(Q)(Q)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2}{r^2/4} = \frac{4kQ^2}{r^2}$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{kQ^2}{r^2} = \frac{F}{8}$.
આ કિંમત $F'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F' = 4 \times \left(\frac{F}{8}\right) = \frac{F}{2}$

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
જ્યારે એક ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન બીજા સ્થિર ઇલેક્ટ્રોનની નજીક આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચે લાગતું અપાકર્ષણનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
આ અપાકર્ષણ બળ ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ કાર્ય કરે છે,જેના કારણે તેની ગતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,જેમ બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું અંતર ઘટે છે,તેમ ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા ઘટવાથી તેની સ્થિતિઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(B) શરૂઆતના વિદ્યુતભારો $q_1 = +2 \ nC$ અને $q_2 = -8 \ nC$ છે. શરૂઆતના આકર્ષી બળનું મૂલ્ય $|F| = \frac{k |q_1 q_2|}{d^2} = \frac{k (2 \times 8) \times 10^{-18}}{d^2} = \frac{16k \times 10^{-18}}{d^2}$ છે.
જ્યારે ગોળાઓ એકબીજાને સ્પર્શે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: $q_{new} = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \ nC$. હવે બંને ગોળાઓ પર $-3 \ nC$ વિદ્યુતભાર છે.
ધારો કે નવું અંતર $d'$ છે. નવું અપાકર્ષી બળ $|F'| = \frac{k |q_{new} q_{new}|}{(d')^2} = \frac{k (3 \times 3) \times 10^{-18}}{(d')^2} = \frac{9k \times 10^{-18}}{(d')^2}$ છે.
આપેલ છે કે $|F| = |F'|$,તેથી $\frac{16k \times 10^{-18}}{d^2} = \frac{9k \times 10^{-18}}{(d')^2}$.
$\frac{16}{d^2} = \frac{9}{(d')^2} \Rightarrow (d')^2 = \frac{9}{16} d^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$d' = \frac{3}{4} d$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક ગોળાનું દળ $m$ અને કદ $V$ છે. ગોળાની ઘનતા $\rho = m/V$ છે,તેથી $m = V\rho$.
હવામાં,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ છે.
સંતુલન માટે,$\tan(\theta/2) = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r^2 mg}$.
$\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં,ગોળા પર ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V\sigma g$ લાગે છે. અસરકારક વજન $mg' = mg - V\sigma g = Vg(\rho - \sigma)$ થાય છે.
પ્રવાહીમાં સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e' = \frac{F_e}{K}$ થાય છે.
ખૂણો $\theta$ સમાન રહેતો હોવાથી,$\tan(\theta/2) = \frac{F_e'}{mg'} = \frac{F_e}{K Vg(\rho - \sigma)}$.
$\tan(\theta/2)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F_e}{V\rho g} = \frac{F_e}{K Vg(\rho - \sigma)}$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = \frac{\rho}{\rho - \sigma}$ મળે છે.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ ગોળાઓ વચ્ચેનું પ્રારંભિક સ્થિત વિદ્યુત બળ: $F_{\text{initial}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|12 \times (-8)|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{96}{r^2}$.
જ્યારે ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાઓ સમાન હોવાથી કુલ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: $q_{\text{new}} = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{12 + (-8)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \mu C$.
સંપર્ક પછી,નવું સ્થિત વિદ્યુત બળ: $F_{\text{final}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q_{\text{new}} q_{\text{new}}|}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 \times 2}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{4}{r^2}$.
બળોના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર: $\frac{|F_{\text{initial}}|}{|F_{\text{final}}|} = \frac{96/r^2}{4/r^2} = \frac{96}{4} = 24$.
આમ,ગુણોત્તર $24: 1$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,બે ગોળાઓ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ છે: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|(+8 \mu C)(-4 \mu C)|}{r^2} = k \frac{32 \mu C^2}{r^2}$.
જ્યારે બે સમાન વાહક ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાઈ જાય છે કારણ કે તેમની ત્રિજ્યા સમાન છે.
દરેક ગોળા પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{+8 \mu C - 4 \mu C}{2} = +2 \mu C$ થશે.
ગોળાઓ વચ્ચેનું નવું બળ $F' = k \frac{|q' q'|}{r^2} = k \frac{|(+2 \mu C)(+2 \mu C)|}{r^2} = k \frac{4 \mu C^2}{r^2}$ છે.
બંને બળોની સરખામણી કરતા: $\frac{F'}{F} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$F' = \frac{F}{8}$.

(A) ધારો કે દોરાની લંબાઈ $l$ છે. સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$,જ્યાં $\theta$ એ દોરાએ શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
હવામાં,દોરાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$. ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $r = 2l \sin 45^{\circ} = l\sqrt{2}$ છે.
આમ,$\tan 45^{\circ} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2 mg} \Rightarrow 1 = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2l^2) mg} \Rightarrow \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} = 2mg$ (સમીકરણ $1$).
પ્રવાહીમાં,દોરાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\theta' = 30^{\circ}$. અસરકારક વજન $m'g = V(d - \rho_{liquid})g = V(d - \frac{2}{3}d)g = \frac{mg}{3}$ છે. સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r} \frac{q^2}{r'^2}$ છે,જ્યાં $r' = 2l \sin 30^{\circ} = l$.
આમ,$\tan 30^{\circ} = \frac{F_e'}{m'g} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 \epsilon_r l^2 (mg/3)} \Rightarrow \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2} = \frac{mg}{3\sqrt{3}} \epsilon_r$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ને સરખાવતા: $2mg = \frac{mg}{3\sqrt{3}} \epsilon_r \Rightarrow \epsilon_r = 6\sqrt{3}$.

(D) સમક્ષિતિજ સપાટી પર કણો સંતુલનમાં રહે તે માટે,સ્થિત વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
આપેલ છે: $m = 3 \ g = 3 \times 10^{-3} \ kg$,$q = 0.2 \ \mu C = 0.2 \times 10^{-6} \ C$,$r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$,$k = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$.
સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{k q^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (0.2 \times 10^{-6})^2}{(0.2)^2}$.
$F_e = \frac{9 \times 10^9 \times 0.04 \times 10^{-12}}{0.04} = 9 \times 10^{-3} \ N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_s = \mu N = \mu mg$.
$F_e = f_s$ લેતા,આપણને મળે $\mu mg = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu \times (3 \times 10^{-3}) \times 10 = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu \times 3 \times 10^{-2} = 9 \times 10^{-3}$.
$\mu = \frac{9 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-1} = 0.30$.

(B) ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ નીચેની તરફ,ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ ઉપરની તરફ અને વિદ્યુત બળનો ઘટક $qE \cos 30^{\circ}$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે બ્લોક પરનું લંબબળ $N$ શોધીએ:
$N = mg \cos 30^{\circ} + qE \sin 30^{\circ}$
$N = (1 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (0.01 \times 100 \times \frac{1}{2}) = 5\sqrt{3} + 0.5 \approx 8.66 + 0.5 = 9.16 \ N$
ઢળતા સમતલ પરનું પરિણામી બળ $F_{net}$:
$F_{net} = mg \sin 30^{\circ} - \mu N - qE \cos 30^{\circ}$
$F_{net} = (1 \times 10 \times 0.5) - 0.2 \times (9.16) - (0.01 \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F_{net} = 5 - 1.832 - 0.866 = 2.302 \ N$
કારણ કે $F_{net} = ma$ અને $m = 1 \ kg$,તેથી પ્રવેગ $a = 2.302 \ ms^{-2} \approx 2.3 \ ms^{-2}$.

(B) ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ છે.
પ્રારંભિક અપાકર્ષણ બળ $F = \frac{k q^2}{r^2} = 3 \times 10^{-5} \,N$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર રહિત ગોળો $C$ ગોળા $A$ ને સ્પર્શે છે, ત્યારે વિદ્યુતભાર $q$ એ $A$ અને $C$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ, $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $q/2$ અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q/2$ થાય છે.
ત્યારબાદ ગોળા $C$ ને $A$ અને $B$ ની વચ્ચે મધ્યમાં મૂકવામાં આવે છે. $C$ નું $A$ અને $B$ બંનેથી અંતર $r/2$ છે.
$A$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{AC} = \frac{k (q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = \frac{k q^2}{r^2} = F = 3 \times 10^{-5} \,N$ (અપાકર્ષી, $B$ તરફની દિશામાં).
$B$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{BC} = \frac{k (q)(q/2)}{(r/2)^2} = 2 \frac{k q^2}{r^2} = 2F = 6 \times 10^{-5} \,N$ (અપાકર્ષી, $A$ તરફની દિશામાં).
$C$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F' = |F_{BC} - F_{AC}| = |2F - F| = F = 3 \times 10^{-5} \,N$ છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{k|Q|}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બધા વિદ્યુતભારો કેન્દ્રથી સમાન અંતરે $r$ પર હોવાથી,$nq$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $n$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે સ્થાન $1$ પર રહેલા $-q$ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1$ છે,જે વિદ્યુતભાર તરફ દિશા ધરાવે છે (કારણ કે તે ઋણ છે).
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{net}$ એ બધા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{E}_{net} = \sum_{n=1}^{12} \vec{E}_n$.
નોંધો કે સ્થાન $n$ પરનો વિદ્યુતભાર $-nq$ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_n$ કેન્દ્રથી સ્થાન $n$ તરફ દિશા ધરાવે છે.
આપણે સામસામેના વિદ્યુતભારોની જોડી બનાવી શકીએ: $(n)$ અને $(n+6)$. આ બેને કારણે પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{E}_{net, n} = \vec{E}_n + \vec{E}_{n+6} = \frac{k}{r^2} [(-n\hat{r}_n) + (-(n+6)\hat{r}_{n+6})]$ છે.
કારણ કે $\hat{r}_{n+6} = -\hat{r}_n$,તેથી $\vec{E}_{net, n} = \frac{k}{r^2} [-n\hat{r}_n + (n+6)\hat{r}_n] = \frac{6k}{r^2} \hat{r}_n$.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક જોડી $(n, n+6)$ નું પરિણામી ક્ષેત્ર સ્થાન $n+6$ તરફ દિશા ધરાવે છે.
આવી $6$ જોડીઓ છે: $(1,7), (2,8), (3,9), (4,10), (5,11), (6,12)$.
પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{E}_{net} = \frac{6k}{r^2} [\hat{r}_7 + \hat{r}_8 + \hat{r}_9 + \hat{r}_{10} + \hat{r}_{11} + \hat{r}_{12}]$ છે.
આ એકમ સદિશો ઘડિયાળના $7, 8, 9, 10, 11, 12$ અંકો તરફ નિર્દેશ કરે છે. આ સદિશોનું પરિણામી સદિશ $9$ અને $10$ ની વચ્ચેની દિશામાં હોય છે,જે $9:30$ સમય દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે: $Q_1 = +2 \times 10^{-6} \ C$, $Q_2 = -4 \times 10^{-6} \ C$, અંતર $d = 3 \ m$. ધારો કે $P$ એ $Q_1$ થી $r_1$ અંતરે અને $Q_2$ થી $r_2$ અંતરે છે. $P$ તેમની વચ્ચે હોવાથી, $r_1 + r_2 = 3 \ m$. ધારો કે $r_2 = x$, તો $r_1 = 3 - x$.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{Q_1}{r_1} + \frac{Q_2}{r_2} \right) = 0$.
$\frac{2 \times 10^{-6}}{3 - x} + \frac{-4 \times 10^{-6}}{x} = 0 \Rightarrow \frac{2}{3 - x} = \frac{4}{x} \Rightarrow x = 6 - 2x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \ m$.
તેથી, $r_2 = 2 \ m$ અને $r_1 = 1 \ m$.
$Q_1$ ને લીધે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{k |Q_1|}{r_1^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{1^2} = 18000 \ N/C$ ($Q_2$ ની દિશામાં).
$Q_2$ ને લીધે $P$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{k |Q_2|}{r_2^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{2^2} = 9000 \ N/C$ ($Q_2$ ની દિશામાં).
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી, કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_1 + E_2 = 18000 + 9000 = 27000 \ N/C$.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ અદિશ રાશિ છે. $9$ વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = 9 \times \frac{Kq}{R} = \frac{9Kq}{R} \quad \dots(i)$
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સદિશ રાશિ છે. $10$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં,જો તમામ $10$ ખૂણાઓ પર વિદ્યુતભારો હાજર હોત,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોત (દરેક વિરુદ્ધ ખૂણા પરના વિદ્યુતભારો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે).
ધારો કે ખૂટતો વિદ્યુતભાર $10$ મા ખૂણા પર છે. જો આપણે $10$ મા ખૂણા પર $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભાર મૂકીએ,તો ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર તે ખૂણા પરના $-q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર જેટલું જ હશે,કારણ કે બાકીના $10$ વિદ્યુતભારો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આમ,કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$E = \frac{Kq}{R^2} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{E} = \frac{\frac{9Kq}{R}}{\frac{Kq}{R^2}} = 9R$

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$,અંતર $r = 1 \ m$,વિદ્યુતભાર $q = 1 \ fC = 10^{-15} \ C$.
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: $F_g = \frac{G m_1 m_2}{r^2} = \frac{(6.67 \times 10^{-11}) \times (10^{-3}) \times (10^{-3})}{1^2} = 6.67 \times 10^{-17} \ N$.
$2$. સ્થિત-વિદ્યુત બળ: $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-15}) \times (10^{-15})}{1^2} = 9 \times 10^{-21} \ N$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$F_g > F_e$ $(6.67 \times 10^{-17} \ N > 9 \times 10^{-21} \ N)$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રભાવી બળ છે.

(A) $x$-અક્ષ પર રહેલા બે ધન બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{x}$ સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ મળે છે: $x < 0$ માટે $E_{x} = \frac{k q_{1}}{x^{2}} + \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$,$0 < x < 10$ માટે $E_{x} = \frac{k q_{1}}{x^{2}} - \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$,અને $x > 10$ માટે $E_{x} = -\frac{k q_{1}}{x^{2}} - \frac{k q_{2}}{(x-10)^{2}}$.
$1$. $x < 0$ માટે: બંને વિદ્યુતભારો $x$-દિશામાં ઋણ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે,તેથી $E_{x} < 0$. જેમ $x \to 0^{-}$,તેમ $E_{x} \to -\infty$.
$2$. $0 < x < 10$ માટે: $q_{1}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર ધન છે અને $q_{2}$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર ઋણ છે. વિદ્યુતભારોની વચ્ચે એક એવું બિંદુ છે જ્યાં $E_{x} = 0$ થાય છે. જેમ $x \to 0^{+}$,તેમ $E_{x} \to +\infty$. જેમ $x \to 10^{-}$,તેમ $E_{x} \to -\infty$.
$3$. $x > 10$ માટે: બંને વિદ્યુતભારો $x$-દિશામાં ધન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે,તેથી $E_{x} > 0$. જેમ $x \to 10^{+}$,તેમ $E_{x} \to +\infty$. જેમ $x \to \infty$,તેમ $E_{x} \to 0$.
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની પ્રારંભિક કુલ ઊર્જા અને અંતિમ કુલ ઊર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
કણો સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = 0$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $PE_i$ એ તમામ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$a$ બાજુવાળા ચોરસમાં,$a$ અંતરે $4$ જોડીઓ અને $\sqrt{2}a$ અંતરે (વિકર્ણ પર) $2$ જોડીઓ છે.
$PE_i = 4 \times \frac{kq^2}{a} + 2 \times \frac{kq^2}{\sqrt{2}a} = \frac{kq^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.
જ્યારે કણો અનંત અંતરે હોય,ત્યારે અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $PE_f = 0$ થાય છે.
આમ,$KE_f = PE_i = \frac{kq^2}{a} (4 + \sqrt{2})$.

(C) વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$A$. ખોટું: સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થઈને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે; તે બંધ ગાળાઓ રચતી નથી (ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓથી વિપરીત).
$B$. સાચું: ધન વિદ્યુતભાર $(q > 0)$ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ હોય છે.
$C$. સાચું: ગૌસનો નિયમ એ કુલંબના નિયમના વ્યસ્ત-વર્ગના સ્વભાવનું સીધું પરિણામ છે.
$D$. સાચું: સ્થિત વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે,તેથી બંધ માર્ગે વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
$E$. સાચું: કુલંબનું બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે,અને કેન્દ્રીય બળ હેઠળની ગતિ હંમેશા એક સમતલમાં જ મર્યાદિત હોય છે.
તેથી,વિધાનો $B, C, D,$ અને $E$ સાચા છે.

(B) તેલના ટીપાં પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. ટીપાં ઉપરની પ્લેટ $A$ તરફ આકર્ષાવું જોઈએ. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg = (\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3)g$ છે.
વિદ્યુત બળ $F_e = qE = q(\frac{V_A - V_B}{d})$ છે.
$F_g = F_e$ લેતા,આપણને મળે છે $\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 g = q \frac{\Delta V}{d}$.
આપેલ છે $\rho = 1500 \text{ kg/m}^3$,$r = 10^{-3} \text{ m}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,$d = \frac{0.12}{\pi} \text{ m}$,$q = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$.
કિંમતો મૂકતા: $1500 \times \frac{4}{3} \times \pi \times (10^{-3})^3 \times 10 = 5 \times 10^{-9} \times \frac{\Delta V}{(0.12/\pi)}$.
$\Delta V$ માટે ઉકેલતા: $\Delta V = 480 \text{ V}$.
$V_A - V_B = 480 \text{ V}$ હોવાથી,માત્ર વિકલ્પ $(B)$ $580 \text{ V} - 100 \text{ V} = 480 \text{ V}$ આ શરત સંતોષે છે.