Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Gujarati

(B) સમીકરણ $A$ એ $\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે,જે સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્ર માટે ગૌસનો નિયમ છે. તે દર્શાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ એ સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
સમીકરણ $B$ એ $\oint B \cdot dA = 0$ છે,જે ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ છે. તે સૂચવે છે કે ચુંબકીય મોનોપોલ (એકધ્રુવી) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી,એટલે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ સમઘનના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,આખો વિદ્યુતભાર સમઘનની અંદર બંધાયેલો છે.
તેથી,સમઘનની છ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$ થશે.

(A, B, D) $1$. ગૌસનો નિયમ કુલંબના નિયમ અને સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત પરથી તારવવામાં આવ્યો છે. તેથી,તે સ્થિતવિદ્યુતશાસ્ત્રના આ બંને મૂળભૂત સિદ્ધાંતોને સમાવે છે.
$2$. ક્ષેત્રફળ ઘટક $d\vec{s}$ (અથવા $d\vec{A}$) ને સપાટીને લંબ,બહારની તરફ નિર્દેશ કરતા સદિશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે બે સ્થાનાંતર સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ (દા.ત.,$d\vec{l}_1 \times d\vec{l}_2$) તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,તે સ્યુડો-સદિશ (અથવા અક્ષીય સદિશ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે તેની દિશા સપાટીની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પર આધાર રાખે છે,માત્ર સ્થાન પર નહીં.

(A, C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}}$ શૂન્ય હોય છે જો અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય,એટલે કે $\phi_{\text{total}} = 0$ થાય.
અર્ધગોળા માટે,$\phi_{\text{total}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{flat}} = 0$.
સપાટ વર્તુળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{flat}} = -E \cdot A = -E(\pi R^2)$ છે (કારણ કે ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીમાં પ્રવેશે છે).
તેથી,$\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{flat}} = E \pi R^2$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(C)$ સાચું છે.
કાર્ય વિશે વાત કરીએ તો,સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = -\vec{E} \cdot \Delta \vec{r}$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ને લંબ એક જ સમસ્થિતિમાન સમતલ પર આવેલા હોવાથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 0$ છે.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = q \Delta V = 0$ છે,જે પથ અને ત્રિજ્યા $R$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) $1$. કેન્દ્ર $O$ પર રહેલો $+Q$ વિદ્યુતભાર આખા સમઘનમાંથી $\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ જેટલું કુલ ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે. સંમિતિ મુજબ,દરેક $6$ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{Q}{6\varepsilon_{0}}$ છે.
$2$. બિંદુ $P$ પર રહેલો $+Q$ વિદ્યુતભાર સપાટી $ABCD$ ના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે છે. આ વિદ્યુતભારને કારણે સપાટી $ABCD$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\frac{Q}{2\varepsilon_{0}}$ છે (કારણ કે વિદ્યુતભાર સપાટીના કેન્દ્રથી $a/2$ અંતરે હોવાથી તે સપાટી પર $2\pi$ સ્ટીરેડિયનનો ઘનકોણ આંતરે છે).
$3$. બંને વિદ્યુતભારોને કારણે સપાટી $ABCD$ માંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{ABCD} = \phi_{O, ABCD} + \phi_{P, ABCD} = \frac{Q}{6\varepsilon_{0}} - \frac{Q}{2\varepsilon_{0}} = -\frac{Q}{3\varepsilon_{0}}$ છે (કારણ કે $P$ થી આવતું ફ્લક્સ સમઘનમાં દાખલ થાય છે,તેથી તે ઋણ છે).
$4$. બંને વિદ્યુતભારોને કારણે સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ છે.
$5$. બાકીની $5$ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{5} = \phi_{total} - \phi_{ABCD} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} - (-\frac{Q}{3\varepsilon_{0}}) = \frac{4Q}{3\varepsilon_{0}} = \frac{8Q}{6\varepsilon_{0}}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
કારણ કે વિદ્યુતભાર $Q$ સમઘનના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યો છે,તેથી વિદ્યુત ફ્લક્સ સમઘનની તમામ $6$ બાજુઓમાંથી સમાન રીતે વિતરિત થાય છે.
તેથી,સમઘનની કોઈપણ એક બાજુમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \varepsilon_{0}}$ થશે.

(D) આપેલ છે કે,વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = (2i + 3j + k) \ NC^{-1}$.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $S = 10i \ m^2$.
કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\phi = E \cdot S$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (2i + 3j + k) \cdot (10i)$
કારણ કે $i \cdot i = 1$,$j \cdot i = 0$,અને $k \cdot i = 0$ હોવાથી:
$\phi = (2 \times 10) + (3 \times 0) + (1 \times 0)$
$\phi = 20 \ Nm^2 C^{-1}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$.
આ પ્રશ્નમાં,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+q$ ને ઘનના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યો છે,જે એક બંધ સપાટી છે.
તેથી,ઘનમાંથી બહાર આવતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ થશે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $Q_{\text{in}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
$1$. વિદ્યુતભાર $2q$ ને શિરોબિંદુ $A$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. સમઘનનું એક શિરોબિંદુ $8$ પાસપાસેના સમઘનો દ્વારા વહેંચાયેલું હોય છે. તેથી,સમઘનની અંદર ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $\frac{2q}{8} = \frac{q}{4}$ થશે.
$2$. વિદ્યુતભાર $q$ ને ફલક $CDEF$ ના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવ્યો છે. સમઘનનું એક ફલક $2$ પાસપાસેના સમઘનો દ્વારા વહેંચાયેલું હોય છે. તેથી,સમઘનની અંદર ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2}$ થશે.
$3$. કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q_{\text{in}}$ એ આ બંનેનો સરવાળો છે: $Q_{\text{in}} = \frac{q}{4} + \frac{q}{2} = \frac{q + 2q}{4} = \frac{3q}{4}$.
$4$. આમ,સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} = \frac{3q}{4\varepsilon_0}$ થશે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભારને ઘનના એક શિરોબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઘન વિદ્યુતભારની આસપાસની કુલ જગ્યાનો માત્ર $\frac{1}{8}$ ભાગ રોકે છે,કારણ કે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણપણે ઘેરવા માટે $8$ સમાન ઘનની જરૂર પડે છે.
તેથી,ઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{1}{8} \times \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{8\varepsilon_0}$ થાય છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રથમ ગોળા માટે,માત્ર $x = 2 \text{ cm}$ પરનો વિદ્યુતભાર $(q_1 = 8 \mu \text{C})$ ગોળાની અંદર સમાયેલો છે.
તેથી,પ્રથમ ગોળામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = \frac{8 \mu \text{C}}{\epsilon_0}$ છે.
$5 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બીજા ગોળા માટે,$x = 2 \text{ cm}$ $(8 \mu \text{C})$ અને $x = 4 \text{ cm}$ $(-2 \mu \text{C})$ બંને વિદ્યુતભારો ગોળાની અંદર સમાયેલા છે.
તેથી,કુલ સમાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{\text{total}} = 8 \mu \text{C} - 2 \mu \text{C} = 6 \mu \text{C}$ છે.
બીજા ગોળામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2 = \frac{6 \mu \text{C}}{\epsilon_0}$ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સનો ગુણોત્તર $\frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{8 \mu \text{C} / \epsilon_0}{6 \mu \text{C} / \epsilon_0} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ થાય છે.