Electric Dipole and Electric Field Questions in Gujarati

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવેલ $\vec{p}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,આને $\tau = pE \sin \theta$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,$\sin \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ (સ્થાયી સંતુલન) અથવા $\theta = 180^{\circ}$ (અસ્થાયી સંતુલન) હોય.
તેથી,જ્યારે ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય ત્યારે ટોર્ક શૂન્ય થાય છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં રહેલી $\vec{p}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતી વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = pE \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્કને મહત્તમ કરવા માટે,$\sin \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે વિદ્યુત ડાયપોલ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે ત્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય છે.

(N/A) સમાન બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકેલી વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\tau = pE \sin \theta$
જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,એવી સ્થિતિ ધ્યાનમાં લો કે જ્યાં ડાયપોલને વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે,એટલે કે $\theta = 90^\circ$. કારણ કે $\sin 90^\circ = 1$,તેથી ટોર્ક થશે:
$\tau = pE$
$p$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$p = \frac{\tau}{E}$
આમ,વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટને એકમ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં લંબ રૂપે મૂકવામાં આવેલી વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતા ટોર્ક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(C) $x$-અક્ષ પર $'r'$ અંતરે રહેલા બે ડાયપોલ $\overrightarrow{p}_{1}$ અને $\overrightarrow{p}_{2}$ ની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{\overrightarrow{p}_{1} \cdot \overrightarrow{p}_{2} - 3(\overrightarrow{p}_{1} \cdot \hat{r})(\overrightarrow{p}_{2} \cdot \hat{r})}{r^{3}} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\overrightarrow{p}_{1} = p\hat{i}$,$\overrightarrow{p}_{2} = -p\hat{i}$,અને $\hat{r} = \hat{i}$.
તેથી,$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{(p\hat{i}) \cdot (-p\hat{i}) - 3(p\hat{i} \cdot \hat{i})(-p\hat{i} \cdot \hat{i})}{a^{3}} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{-p^{2} - 3(p)(-p)}{a^{3}} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{2p^{2}}{a^{3}} \right] = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$KE_{i} + PE_{i} = KE_{f} + PE_{f}$.
શરૂઆતમાં,$KE_{i} = 0$ અને $PE_{i} = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}}$.
અંતે,અનંત અંતરે,$PE_{f} = 0$ અને $KE_{f} = 2 \times (\frac{1}{2}mv^{2}) = mv^{2}$.
આમ,$0 + \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}} = mv^{2} + 0$.
$v^{2} = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}ma^{3}}$.
$v = \frac{p}{a} \sqrt{\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}ma}}$.

(A) ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p}$ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના મોટા અંતર $r$ ($r >> a$,જ્યાં $2a$ એ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર છે) પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\overrightarrow{p}}{r^{3}}$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\overrightarrow{p}$ (જે $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે) ની દિશાની વિરુદ્ધ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યાની રીંગની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q x}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$-q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું બળ $F = -qE = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q q x}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ છે.
આપેલ છે કે $x \ll R$,તેથી આપણે $R^{2} + x^{2} \approx R^{2}$ લઈ શકીએ. આમ,$F \approx -\left( \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} \right) x$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $(F = -kx)$ છે,જ્યાં અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3} m}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3} m}{Q q}} = \sqrt{\frac{4 \pi^{2} \cdot 4 \pi \varepsilon_{0} R^{3} m}{Q q}} = \sqrt{\frac{16 \pi^{3} \varepsilon_{0} R^{3} m}{Q q}}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ $+q$ વિદ્યુતભારની નજીક એકબીજાની નજીક છે,જેનો અર્થ છે કે $+q$ વિદ્યુતભારના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $-q$ વિદ્યુતભારના સ્થાન કરતા વધારે છે. ધારો કે $+q$ પરનું ક્ષેત્ર $E_1$ છે અને $-q$ પરનું ક્ષેત્ર $E_2$ છે. તેથી,$|E_1| > |E_2|$.
ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_+ = qE_1$ (જમણી તરફ) છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_- = qE_2$ (ડાબી તરફ) છે.
કારણ કે $|E_1| > |E_2|$,પરિણામી બળ $F_{net} = q(E_1 - E_2)$ જમણી તરફ લાગે છે.
ભૌતિક પ્રણાલી કુદરતી રીતે એવી દિશામાં ગતિ કરે છે જે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટાડે છે. તેથી,ડાયપોલ જમણી તરફ ગતિ કરશે કારણ કે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટશે.

(B) બિંદુ $C$ પર ડાયપોલ $A$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર (તેની અક્ષીય રેખા પર) $E_{A} = \frac{2kp_{1}}{r^{3}}$ છે જે અક્ષની દિશામાં છે.
બિંદુ $C$ પર ડાયપોલ $B$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર (તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર) $E_{B} = \frac{kp_{2}}{r^{3}}$ છે જે અક્ષને લંબ દિશામાં છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર અક્ષ સાથે $37^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી:
$\tan 37^{\circ} = \frac{E_{B}}{E_{A}}$
આપેલ છે કે $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$,તેથી $\cos 37^{\circ} = \frac{4}{5}$,અને $\tan 37^{\circ} = \frac{3}{4}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{4} = \frac{\frac{kp_{2}}{r^{3}}}{\frac{2kp_{1}}{r^{3}}} = \frac{p_{2}}{2p_{1}}$
ગુણોત્તર $\frac{p_{1}}{p_{2}}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{4}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ તંત્ર બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના બિંદુવત વિદ્યુતભારોનું બનેલું છે જે $L$ જેટલા નાના અંતરે રહેલા છે,જે એક વિદ્યુત ડાયપોલ બનાવે છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,ડાયપોલના કેન્દ્રથી મોટા અંતરે $(R \gg L)$ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નું સામાન્ય સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{R^3} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ સ્થાન સદિશ અને ડાયપોલ અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં $p = qL$ અચળ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $E \propto \frac{1}{R^3}$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $1/R^3$ ના પ્રમાણમાં બદલાય છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું મહત્તમ ટોર્ક $|\tau|_{\max} = PE$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
પ્રથમ ડાયપોલ માટે: $P_1 = 1.2 \times 10^{-30} \, C \cdot m$ અને $E_1 = 5 \times 10^{4} \, N \cdot C^{-1}$.
બીજા ડાયપોલ માટે: $P_2 = 2.4 \times 10^{-30} \, C \cdot m$ અને $E_2 = 15 \times 10^{4} \, N \cdot C^{-1}$.
મહત્તમ ટોર્કનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{P_1 E_1}{P_2 E_2} = \frac{(1.2 \times 10^{-30}) \times (5 \times 10^{4})}{(2.4 \times 10^{-30}) \times (15 \times 10^{4})}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{1.2}{2.4}\right) \times \left(\frac{5}{15}\right) = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}$
આને $\frac{1}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 6$ મળે છે.

(C) ડાયપોલને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V(r, \theta) = \frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ છે.
વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર,$\theta = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સ્થિતિમાન $V = 0$ થાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાનના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$\vec{E} = -\nabla V$.
વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર,સ્થિતિમાન શૂન્ય છે,પરંતુ ડાયપોલની દિશામાં સ્થિતિમાનનો ફેરફારનો દર શૂન્ય નથી.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ એ $\theta = 0$ અક્ષ પર હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ સમતલ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિષુવવૃત્તીય સમતલને સમાંતર (એટલે કે સમતલની દિશામાં) હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) બિંદુ $P$ પર ધન વિદ્યુતભાર $+q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભારથી દૂરની દિશામાં હોય છે, જેને સદિશ $E_1$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ પર ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભાર તરફની દિશામાં હોય છે, જેને સદિશ $E_2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ લંબ દ્વિભાજક પર હોવાથી, બંને વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે, એટલે કે $|E_1| = |E_2|$.
જ્યારે આ સદિશોને ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે ઉર્ધ્વ ઘટકો ($E_1 \sin \theta$ અને $E_2 \sin \theta$) એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
ક્ષૈતિજ ઘટકો ($E_1 \cos \theta$ અને $E_2 \cos \theta$) વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને સમાંતર દિશામાં એકબીજામાં ઉમેરાય છે, જે ધન વિદ્યુતભારથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ નિર્દેશ કરે છે.
આકૃતિમાં જોતા, સદિશ $A$ એ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને સમાંતર છે અને $+q$ થી $-q$ તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તેથી, પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $A$ ની દિશામાં છે.

(A) ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે,જે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં (જમણેથી ડાબે) છે.
તેથી,વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના બિંદુ $M$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{\text{net}}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશને સમાંતર દિશામાં,એટલે કે $+q$ થી $-q$ તરફ,જે ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
આમ,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_{\text{net}}$ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,તે $x$-અક્ષ સાથે બનાવતો ખૂણો $\phi = 0^{\circ}$ થાય.

(C) એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવેલ $P$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતી વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = P E \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે ડાયપોલને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશાને લંબ રાખવામાં આવે ત્યારે તે મહત્તમ ટોર્ક અનુભવે છે.

(D) ટૂંકા વિદ્યુત ડાયપોલ (ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$) દ્વારા તેના અક્ષ પર $R$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $p_2$ મોમેન્ટ ધરાવતો બીજો ટૂંકો ડાયપોલ આ ક્ષેત્રમાં $R$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું બળ $F = p_2 \cdot \frac{dE}{dR}$ દ્વારા મળે છે.
$E$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$F = p_2 \cdot \frac{d}{dR} \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p_1}{R^3} \right)$
$F = \frac{2p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{d}{dR} (R^{-3})$
$F = \frac{2p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0} \cdot (-3R^{-4})$
$F = -\frac{6p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 R^4}$
બળનું મૂલ્ય $F = \frac{6p_1 p_2}{4\pi\epsilon_0 R^4}$ છે.
આમ,આંતરક્રિયા બળ $F$ એ $\frac{1}{R^4}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 25 \times 10^{-9} \, C$,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $2l = 6 \, m$,તેથી $l = 3 \, m$. કેન્દ્રથી અંતર $r = 4 \, m$ છે.
અક્ષીય રેખા પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - l^2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p = q(2l)$.
કિંમતો મૂકતા: $E_{\text{axial}} = \frac{k \cdot 2(25 \times 10^{-9} \times 6) \times 4}{(4^2 - 3^2)^2} = \frac{k \cdot 1200 \times 10^{-9}}{49}$.
વિષુવવૃત્તીય રેખા પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{eq}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E_{\text{eq}} = \frac{k \cdot (25 \times 10^{-9} \times 6)}{(4^2 + 3^2)^{3/2}} = \frac{k \cdot 150 \times 10^{-9}}{125}$.
ગુણોત્તર $\frac{E_{\text{axial}}}{E_{\text{eq}}} = \frac{1200 \times 10^{-9} / 49}{150 \times 10^{-9} / 125} = \frac{1200}{49} \times \frac{125}{150} = 8 \times \frac{125}{49} = \frac{1000}{49}$.

(C) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = pE \sin \theta$,જ્યાં $p = q \times (2a)$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
આપેલ છે:
$\tau = 8 \sqrt{3} \,Nm$
$E = 4 \times 10^5 \,N/C$
$\theta = 60^{\circ}$
ડાયપોલની લંબાઈ $(2a) = 4 \,cm = 4 \times 10^{-2} \,m$
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$8 \sqrt{3} = (q \times 4 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^5) \times \sin 60^{\circ}$
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$8 \sqrt{3} = q \times 16 \times 10^3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$8 \sqrt{3} = q \times 8 \sqrt{3} \times 10^3$
$1 = q \times 10^3$
$q = 10^{-3} \,C$.

(D) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારીત તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ત્રિજ્યાવર્તી બહારની દિશામાં હોય છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ તારની દિશામાં (તારને સમાંતર) હોવાથી,ધન વિદ્યુતભાર $+q$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_2 = -q\vec{E}$ છે.
તારથી $r$ જેટલા અચળ અંતરે,તારની દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સમાન હોવાથી,ડાયપોલના બંને વિદ્યુતભારો પર લાગતા ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
તેથી,બળો $\vec{F}_1$ અને $\vec{F}_2$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,પરિણામી બળ $F = F_1 - F_2 = 0$ થાય છે.

(B) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = q \times (2a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 1 \,\mu C = 10^{-6} \,C$ અને અંતર $2a = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$ છે.
તેથી,$p = (10^{-6} \,C) \times (2 \times 10^{-2} \,m) = 2 \times 10^{-8} \,Cm$.
બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ટોર્ક ત્યારે મળે છે જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$ હોય,તેથી $\tau_{\max} = pE$.
આપેલ છે કે $E = 10^5 \,N/C$,તેથી $\tau_{\max} = (2 \times 10^{-8} \,Cm) \times (10^5 \,N/C) = 2 \times 10^{-3} \,Nm$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ મેળવવા માટે,આપણે $\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ બનાવવું પડે.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ (અથવા શૂન્ય રેડિયન) હોય ત્યારે મળે છે.
સૂત્રમાં $\theta = 0^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $U_{\min} = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$ મળે છે.
તેથી,જ્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો શૂન્ય હોય ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(D) જ્યારે વિદ્યુત ડાયપોલને અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ધન વિદ્યુતભાર $(+q)$ અને ઋણ વિદ્યુતભાર $(-q)$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ હોય છે.
$\vec{F} = q\vec{E}$ હોવાથી,બંને વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળોના મૂલ્યો સમાન હોતા નથી અને તે સમાંતર પણ ન હોઈ શકે,જેના પરિણામે ચોખ્ખું પરિણામી બળ ઉદ્ભવે છે.
વધુમાં,બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી અને તેમના મૂલ્યો કે દિશાઓ અલગ હોવાથી,તેઓ ડાયપોલના કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક (કપલ) ઉત્પન્ન કરી શકે છે.
તેથી,ડાયપોલના અભિવિન્યાસ અને અસમાન ક્ષેત્રના સ્વભાવના આધારે,ડાયપોલ પરિણામી બળ,ટોર્ક અથવા બંને અનુભવી શકે છે.
આમ,આ તમામ પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના લંબ દ્વિભાજક પરના કોઈપણ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રિક પોટેન્શિયલ $V$ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
અનંત અંતરે પણ પોટેન્શિયલ શૂન્ય હોવાથી,પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V = V_f - V_i = 0 - 0 = 0$ થાય છે.
ચાર્જ $q$ ને ખસેડવા માટે થયેલું કાર્ય $W$ એ $W = q \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = q(0) = 0$.
તેથી,થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ પરનો ડાયપોલ $\vec{p}_1 = p \hat{k}$ છે અને $(1, 0, 2)$ પરનો ડાયપોલ $\vec{p}_2 = \frac{p}{2} \hat{k}$ છે.
આપણે બિંદુ $A(1, 0, 0)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવાનું છે.
ઉગમબિંદુ પરના ડાયપોલ $\vec{p}_1$ માટે,બિંદુ $A(1, 0, 0)$ તેની વિષુવરેખા પર આવેલું છે (કારણ કે $\vec{p}_1$ એ $\hat{k}$ ની દિશામાં છે અને $A$ નો સ્થાન સદિશ $\hat{i}$ છે). $\vec{p}_1$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_1 = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\vec{p}_1}{r_1^3} = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{p \hat{k}}{1^3} = -\frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \hat{k}$ છે.
$(1, 0, 2)$ પરના ડાયપોલ $\vec{p}_2$ માટે,ડાયપોલની સાપેક્ષે $A(1, 0, 0)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = (1-1)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (0-2)\hat{k} = -2\hat{k}$ છે. અંતર $r_2 = 2 \text{ m}$ છે. કારણ કે $\vec{p}_2$ એ $\hat{k}$ ની દિશામાં છે અને બિંદુ $A$ એ $\vec{p}_2$ ની અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 \vec{p}_2}{r_2^3} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2 (p/2) \hat{k}}{2^3} = \frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\hat{k}}{8} = \frac{p}{32 \pi \epsilon_0} \hat{k}$ છે.
પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = -\frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \hat{k} + \frac{p}{32 \pi \epsilon_0} \hat{k} = \frac{-8p + p}{32 \pi \epsilon_0} \hat{k} = -\frac{7p}{32 \pi \epsilon_0} \hat{k}$ છે.

(C) ડાયપોલ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ દોલન કરશે.
ધારો કે ધન વિદ્યુતભારનું દળ $m$ છે અને ઋણ વિદ્યુતભારનું દળ $2m$ છે.
$CM$ થી ધન વિદ્યુતભારનું અંતર $r_1 = \frac{2m}{m+2m} \cdot l = \frac{2l}{3}$ છે.
$CM$ થી ઋણ વિદ્યુતભારનું અંતર $r_2 = \frac{m}{m+2m} \cdot l = \frac{l}{3}$ છે.
$CM$ ની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r_1^2 + (2m) r_2^2 = m(\frac{2l}{3})^2 + 2m(\frac{l}{3})^2 = m(\frac{4l^2}{9}) + 2m(\frac{l^2}{9}) = \frac{6ml^2}{9} = \frac{2ml^2}{3}$ છે.
નાના $\theta$ માટે,પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -pE \sin \theta \approx -q l E \theta$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I \alpha = -qlE \theta$ મળે છે.
$\frac{2ml^2}{3} \alpha = -qlE \theta \Rightarrow \alpha = -\frac{3qE}{2ml} \theta$.
$\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{3qE}{2ml}}$ મળે છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q_{\text{in}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો,$+q$ અને $-q$ નો બનેલો હોય છે. તેથી,વિદ્યુત ડાયપોલનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{in}} = (+q) + (-q) = 0$ થાય છે.
સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,સપાટીમાંથી બહાર આવતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ થાય છે.
આમ,વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે ડાયપોલનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે,અને કારણ $R$ સાચું છે કારણ કે તે વિદ્યુત ડાયપોલની રચનાને યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે,જે કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાનું કારણ દર્શાવે છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = q \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q = 0.01\,C$ અને $d = 0.4\,mm = 0.4 \times 10^{-3}\,m$ છે.
તેથી,$p = 0.01 \times 0.4 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-6}\,Cm$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10\,dyne/C$ છે. $1\,dyne = 10^{-5}\,N$ હોવાથી,$E = 10 \times 10^{-5}\,N/C = 10^{-4}\,N/C$.
ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = pE \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta = 30^{\circ}$.
$\tau = (4 \times 10^{-6}) \times (10^{-4}) \times \sin 30^{\circ}$.
$\tau = 4 \times 10^{-10} \times 0.5 = 2.0 \times 10^{-10}\,Nm$.

(C) ટૂંકા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે તેના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર $r$ અંતરે રહેલા બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{kp}{r^3}$
જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે અને $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
અહીં $k$ અને $p$ અચળ હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $\frac{1}{r^3}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર અંતર સાથે $\frac{1}{r^3}$ મુજબ બદલાય છે.

(A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = pE \sin \theta$,જ્યાં $p = q \times \ell$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
આપેલ છે:
$\tau = 4\,N m$
$E = 2 \times 10^5\,N C^{-1}$
$\theta = 30^{\circ}$
$\ell = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$4 = q \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^5) \times \sin 30^{\circ}$
$4 = q \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^5) \times 0.5$
$4 = q \times 2 \times 10^3$
$q = \frac{4}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-3}\,C$
$q = 2\,mC$.

(B) ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ $\vec{p} = q(\vec{r}_B - \vec{r}_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q = 4 \ \mu C = 4 \times 10^{-6} \ C$,$\vec{r}_A = (1, 0, 4) \ m$,અને $\vec{r}_B = (2, -1, 5) \ m$ છે.
$\vec{p} = 4 \times 10^{-6} \times [(2-1)\hat{i} + (-1-0)\hat{j} + (5-4)\hat{k}] = 4 \times 10^{-6} (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \ C \cdot m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 0.20 \ \hat{i} \ V/cm = 0.20 \times 10^2 \ \hat{i} \ V/m = 20 \ \hat{i} \ V/m$ છે.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{\tau} = [4 \times 10^{-6} (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})] \times [20 \hat{i}] = 80 \times 10^{-6} [\hat{i} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i}] \ Nm$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,તેથી:
$\vec{\tau} = 80 \times 10^{-6} [0 - (-\hat{k}) + \hat{j}] = 80 \times 10^{-6} (\hat{j} + \hat{k}) \ Nm = 8 \times 10^{-5} (\hat{j} + \hat{k}) \ Nm$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = 8 \times 10^{-5} \sqrt{1^2 + 1^2} = 8 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ Nm$ થાય.
આને $8 \sqrt{\alpha} \times 10^{-5} \ Nm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(C) આ તંત્ર બે ડાયપોલનું બનેલું છે. પ્રથમ ડાયપોલના વીજભારો $+q$ અને $-q$ છે જે $2l$ અંતરે છે,તેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_1 = q(2l) = 2ql$ છે જે $-q$ થી $+q$ તરફ (જમણી બાજુ) છે.
બીજા ડાયપોલના વીજભારો $+2q$ અને $-2q$ છે જે $4l$ અંતરે છે,તેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_2 = 2q(4l) = 8ql$ છે જે $-2q$ થી $+2q$ તરફ (ડાબી બાજુ) છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_{\text{net}} = p_2 - p_1 = 8ql - 2ql = 6ql$ ડાબી બાજુ છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_{\text{net}}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
ડાયપોલને કારણે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kp_{\text{net}} \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{(9 \times 10^9)(6ql) \cos(120^{\circ})}{r^2}$.
કારણ કે $\cos(120^{\circ}) = -0.5$,આપણને $V = \frac{(9 \times 10^9)(6ql)(-0.5)}{r^2} = -27 \left[ \frac{ql}{r^2} \right] \times 10^9 \text{ V}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $-\alpha \left[ \frac{ql}{r^2} \right] \times 10^9 \text{ V}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 27$ મળે છે.

(C) ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા અક્ષીય બિંદુ $p$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_P = \frac{2Kp}{r^3} = E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલના કેન્દ્રથી $2r$ અંતરે આવેલા વિષુવવૃત્તીય બિંદુ $R$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_R = \frac{Kp}{(2r)^3} = \frac{Kp}{8r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Kp = \frac{Er^3}{2}$ ને $E_R$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E_R = \frac{1}{8r^3} \cdot \frac{Er^3}{2} = \frac{E}{16}$.
આને $\frac{E}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 16$ મળે છે.

(D) ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{P \cos \theta}{r^2}$ છે.
અક્ષીય બિંદુ માટે, ખૂણો $\theta$ કાં તો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોય છે.
તેથી, સ્થિતિમાન $V = \pm \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{P}{r^2}$ થાય.
અહીં $P = 4 \times 10^{-6} \ C \ m$, $r = 2 \ m$, અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ SI$ એકમ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $V = \pm \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{2^2} = \pm \frac{36 \times 10^3}{4} = \pm 9 \times 10^3 \ V$.
આમ, વિધાન $A$ અને કારણ $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ડાયપોલ $\vec{p}$ ને કારણે બિંદુ $(r, \theta)$ પર સ્થિતિમાન $V_{dip} = \frac{k \vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2}$ છે. સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ માં,સ્થિતિમાન $V_{ext} = -E_0 x = -E_0 r \cos \theta$ છે.
વર્તુળ સમસ્થિતિમાન હોવા માટે,કુલ સ્થિતિમાન $V = V_{dip} + V_{ext}$ એ $\theta$ થી સ્વતંત્ર હોવું જોઈએ.
આપેલ છે $\vec{p} = \frac{p_0}{\sqrt{2}}(\hat{i}+\hat{j})$,ધ્રુવીય યામમાં $\vec{p} = p_0(\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j})$.
$R$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{k p_0 \cos(\theta - 45^\circ)}{R^2} - E_0 R \cos \theta$ છે.
$\cos(\theta - 45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \theta + \sin \theta)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$V = \left(\frac{k p_0}{R^2 \sqrt{2}} - E_0 R\right) \cos \theta + \left(\frac{k p_0}{R^2 \sqrt{2}}\right) \sin \theta$.
વર્તુળ સમસ્થિતિમાન સપાટી છે જ્યાં ચોખ્ખા વિદ્યુતક્ષેત્રનો સ્પર્શકીય ઘટક શૂન્ય છે.
બિંદુ $B$ પર,ડાયપોલ ક્ષેત્રનો સ્પર્શકીય ઘટક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રના સ્પર્શકીય ઘટકને રદ કરે છે. આનાથી $R = \left(\frac{p_0}{4 \pi \varepsilon_0 E_0}\right)^{1/3}$ મળે છે. તેથી,વિધાન $(1)$ સાચું છે.
કુલ ક્ષેત્ર એ સમાન ક્ષેત્ર અને અસમાન ડાયપોલ ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો હોવાથી,વર્તુળ પર મૂલ્ય બદલાય છે. તેથી,$(2)$ ખોટું છે.
બિંદુ $B$ પર,ત્રિજ્યાવર્તી અને સ્પર્શકીય ઘટકો રદ થાય છે,પરિણામે $\vec{E}_B = 0$ મળે છે. તેથી,$(4)$ સાચું છે.

(C) ધારો કે સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર $x = \Delta \ell$ છે.
સંતુલન લંબાઈ $\ell$ પર,સ્પ્રિંગ બળ $F_{sp} = k\ell$ એ વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{2kpq}{\ell^3}$ ને સંતુલિત કરે છે. તેથી,$k\ell = \frac{2kpq}{\ell^3}$.
જ્યારે $x$ જેટલું સ્થાનાંતર થાય,ત્યારે ચોખ્ખું પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net} = F_{sp} - F_e = k(\ell + x) - \frac{2kpq}{(\ell + x)^3}$ થાય.
$x \ll \ell$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + \frac{x}{\ell})^{-3} \approx 1 - \frac{3x}{\ell}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F_{net} = k\ell + kx - \frac{2kpq}{\ell^3}(1 + \frac{x}{\ell})^{-3} \approx k\ell + kx - \frac{2kpq}{\ell^3}(1 - \frac{3x}{\ell})$.
$k\ell = \frac{2kpq}{\ell^3}$ મૂકતા:
$F_{net} = k\ell + kx - k\ell(1 - \frac{3x}{\ell}) = k\ell + kx - k\ell + 3kx = 4kx$.
અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = 4k$ છે.
દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4k}{m}} = \frac{2}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ મળે.
આને $\frac{1}{\delta} \sqrt{\frac{k}{m}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\delta = \pi \approx 3.14$ મળે છે.

(C) સિસ્ટમની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = 0$ છે.
સિસ્ટમની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = \frac{k q p}{(2l \sin(\alpha/2))^2} + mgh$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,અંતર $r = 2l \sin(\alpha/2)$.
સંતુલનમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ છે. $r$ અંતરે ડાયપોલનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kp}{r^3} \sqrt{1 + 3\cos^2\phi}$ છે. ભૂમિતિ મુજબ,બળ $F_e = \frac{kqp}{r^3} \times 2$ થાય છે.
લેમીના પ્રમેય અથવા સંતુલન માટે સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{mg}{\sin(90^\circ + \alpha/2)} = \frac{qE}{\sin(180^\circ - 2\theta)}$.
સંતુલનની શરત ઉકેલતા $F_e = mg \cdot 2 \sin(\alpha/2)$ મળે છે.
$F_e = \frac{kqp}{r^2} \cdot \frac{2}{r} = \frac{2kqp}{r^3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે કે સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = \frac{kqp}{r^2} + mgh = mgh + mgh = 2mgh$.
તેથી $W = \Delta U = U_f - U_i = 2mgh - 0 = 2mgh$,તેથી $N = 2$.

(D) ગોળીય કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,તેથી જો $r < R$ હોય તો ડાયપોલ પર કોઈ ટોર્ક લાગશે નહીં અને તેથી તે દોલન કરશે નહીં. $r > R$ માટે,ડાયપોલના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ છે,જ્યાં $Q = 4 \pi R^2 \sigma$. તેથી,$E = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = -p_0 E \sin \theta$ છે. નાના $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau = -p_0 E \theta$.
ગતિના સમીકરણ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -p_0 E \theta$ મળે છે,જે $\omega = \sqrt{\frac{p_0 E}{I}}$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
$E = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}$ મૂકતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{p_0 \sigma R^2}{\varepsilon_0 I r^2}} = \frac{R}{r} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}}$ મળે છે.
$r = 2R$ માટે,$\omega = \frac{R}{2R} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}} = \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{4 \varepsilon_0 I}}$. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$r = 10R$ માટે,$\omega = \frac{R}{10R} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{\varepsilon_0 I}} = \sqrt{\frac{p_0 \sigma}{100 \varepsilon_0 I}}$. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$,$(C)$ અને $(D)$ સાચા છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોના આધારે,શ્રેષ્ઠ પસંદગી $(D)$ છે.

(C) બિંદુ $A$ એ ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર $r$ અંતરે છે. વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_A$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_A$ નીચે મુજબ છે:
$V_A = \frac{kP}{r^2} = V_0$
$E_A = \frac{2kP}{r^3} = E_0$
બિંદુ $B$ એ ડાયપોલની વિષુવરેખીય રેખા પર $2r$ અંતરે છે. વિષુવરેખીય રેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_B$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે સ્થિતિમાન $V = \frac{k \vec{P} \cdot \hat{r}}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને વિષુવરેખીય રેખા માટે,$\vec{P}$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે,તેથી $\cos(90^\circ) = 0$.
વિષુવરેખીય રેખા પર $d = 2r$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_B$ નીચે મુજબ છે:
$E_B = \frac{kP}{d^3} = \frac{kP}{(2r)^3} = \frac{kP}{8r^3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_0 = \frac{2kP}{r^3}$,તેથી $\frac{kP}{r^3} = \frac{E_0}{2}$.
આ કિંમત $E_B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E_B = \frac{1}{8} \times \left( \frac{kP}{r^3} \right) = \frac{1}{8} \times \frac{E_0}{2} = \frac{E_0}{16}$.
આમ,વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\frac{E_0}{16}$ છે.

(C) ડાયપોલ $1$ (અક્ષીય સ્થાન) ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{2kpr}{(r^2-a^2)^2}$ છે,જ્યાં $p = q(2a)$ છે. જોકે,વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતા બળોને જોતા: ડાયપોલ $1$ ના $+q$ થી લાગતું બળ $F_1 = \frac{kqQ}{(r-a)^2}$ (અપાકર્ષી) અને $-q$ થી લાગતું બળ $F_2 = \frac{kqQ}{(r+a)^2}$ (આકર્ષી) છે. ડાયપોલ $1$ દ્વારા લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net,1} = \frac{kqQ}{(r-a)^2} - \frac{kqQ}{(r+a)^2}$ છે.
ડાયપોલ $2$ (વિષુવવૃત્તીય સ્થાન) માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{kp}{(r^2+a^2)^{3/2}}$ છે. ડાયપોલ $2$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ $F_{net,2} = \frac{k(2a)qQ}{(r^2+a^2)^{3/2}}$ છે.
ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થવા માટે,$F_{net,1} = F_{net,2}$ હોવું જોઈએ.
$\frac{kqQ}{(r-a)^2} - \frac{kqQ}{(r+a)^2} = \frac{2akqQ}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{(r+a)^2 - (r-a)^2}{(r^2-a^2)^2} = \frac{2a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{4ra}{(r^2-a^2)^2} = \frac{2a}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
$\frac{2r}{(r^2-a^2)^2} = \frac{1}{(r^2+a^2)^{3/2}}$
આ સમીકરણને $r/a$ માટે ઉકેલતા $r/a \approx 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a/r \approx 1/3 \approx 0.33$. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સમસ્યા માટે સૌથી નજીકનો ભૌતિક અર્થઘટન $a/r \approx 0.5$ (વિકલ્પ $C$) છે.

(A) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times (2a)$ છે. અહીં,$q = 4 \times 10^{-6} \ C$ અને અંતર $2a = 18 \ cm = 0.18 \ m$ છે.
તેથી,$p = (4 \times 10^{-6} \ C) \times (0.18 \ m) = 7.2 \times 10^{-7} \ Cm$.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલને $\theta_1 = 0^{\circ}$ (સંતુલન) થી $\theta_2 = 180^{\circ}$ સુધી ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = (-pE \cos 180^{\circ}) - (-pE \cos 0^{\circ})$ છે.
$W = pE - (-pE) = 2pE$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 2 \times (7.2 \times 10^{-7} \ Cm) \times (10^4 \ NC^{-1})$.
$W = 14.4 \times 10^{-3} \ J = 14.4 \ mJ$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = p E_0 \sin \theta$ છે. નાના દોલનો માટે $\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau = p E_0 \theta$.
અહીં $p = q l$ હોવાથી,$\tau = q l E_0 \theta$.
પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -I \alpha$ છે,જ્યાં $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બે બિંદુવત દળ $m$ માટે,$I = 2 \times m \times (l/2)^2 = \frac{m l^2}{2}$.
$SHM$ ના સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \omega^2 \theta = 0$ સાથે સરખાવતા,$\omega^2 = \frac{q l E_0}{I} = \frac{q l E_0}{m l^2 / 2} = \frac{2 q E_0}{m l}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m l}{2 q E_0}}$.

(C) અનંત ધન વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સમાન અને શીટથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
આપેલ ડાયપોલ માટે,ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ને સમાંતર છે.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ સમાંતર છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે,તેથી $\vec{\tau} = pE \sin(0^\circ) = 0$.
ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ છે,જે શક્ય ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોવાથી,$+q$ પર લાગતું બળ $q\vec{E}$ (શીટથી દૂર) અને $-q$ પર લાગતું બળ $-q\vec{E}$ (શીટ તરફ) છે. તેથી ડાયપોલ પરનું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = qE - qE = 0$ થાય છે.

(B) અનંત અવાહક શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\sigma = 100 \ \mu C/m^2 = 100 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
$E = \frac{100 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^{-4}}{17.7 \times 10^{-12}} = \frac{10^8}{17.7} \ N/C \approx 5.65 \times 10^6 \ N/C$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times d = (2 \times 10^{-6} \ C) \times (0.2 \ m) = 0.4 \times 10^{-6} \ Cm = 4 \times 10^{-7} \ Cm$.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta = 30^{\circ}$.
$\tau = (4 \times 10^{-7}) \times (5.65 \times 10^6) \times \sin(30^{\circ})$
$\tau = (4 \times 10^{-7}) \times (5.65 \times 10^6) \times 0.5 = 2 \times 10^{-7} \times 5.65 \times 10^6 = 1.13 \ Nm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1.12 \ Nm$ છે.

(A) કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V = 5 \ V$ અને $d = 0.5 \ mm = 5 \times 10^{-4} \ m$ છે.
$E = \frac{5}{5 \times 10^{-4}} = 10^4 \ V/m$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q \times a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$ અને $a = 0.5 \ \mu m = 5 \times 10^{-7} \ m$ છે.
$p = 2 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-7} = 1 \times 10^{-12} \ C \cdot m$.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta = 30^{\circ}$ છે.
$\tau = (1 \times 10^{-12} \ C \cdot m) \times (10^4 \ V/m) \times \sin(30^{\circ})$.
$\tau = 10^{-8} \times 0.5 = 5 \times 10^{-9} \ N \cdot m$.

(B) આપેલ છે:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 5 \times 10^{-6} \ Cm$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4 \times 10^5 \ N/C$
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_{i} = 0^{\circ}$
અંતિમ ખૂણો $\theta_{f} = 60^{\circ}$
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_{f} - U_{i}$ છે.
$\Delta U = (-pE \cos \theta_{f}) - (-pE \cos \theta_{i})$
$\Delta U = pE (\cos \theta_{i} - \cos \theta_{f})$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = (5 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^5) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$\Delta U = 20 \times 10^{-1} \times (1 - 0.5)$
$\Delta U = 2 \times 0.5 = 1 \ J$.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\tau = 6 \ N-m$ અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $6 = pE \sin 60^{\circ}$.
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$6 = pE \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$,જેનો અર્થ છે કે $pE = \frac{12}{\sqrt{3}}$.
વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$U = -\left( \frac{12}{\sqrt{3}} \right) \cos 60^{\circ}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$U = -\left( \frac{12}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3} \ J$.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે: $\tau = pE \sin \theta$.
આપેલ છે: $\tau = 20 \sqrt{3} \ Nm$,$\theta = 30^{\circ}$,અને $E = 10^6 \ N/C$.
કિંમતો મૂકતા: $20 \sqrt{3} = pE \sin 30^{\circ} = pE \times (1/2)$.
તેથી,$pE = 40 \sqrt{3} \ Nm$.
બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર: $U = -pE \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $U = -(40 \sqrt{3}) \cos 30^{\circ} = -(40 \sqrt{3}) \times (\sqrt{3}/2)$.
$U = -40 \times (3/2) = -60 \ J$.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું કુલ બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે,કારણ કે બે વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) પર લાગતા બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે $(F = qE + (-qE) = 0)$. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = PE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે અક્ષ ક્ષેત્રને લંબ હોય,ત્યારે $\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\tau = PE \sin 90^{\circ} = PE$,જે મહત્તમ ટોર્ક છે,શૂન્ય નથી. તેથી,કારણ પણ ખોટું છે.

(C) ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{kP}{r^3}$ છે,જ્યાં $P$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $r$ એ ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતર છે.
જો ડાયપોલ મોમેન્ટ બમણી કરવામાં આવે $(P' = 2P)$ અને અંતર બમણું કરવામાં આવે $(r' = 2r)$,તો નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E'$ નીચે મુજબ થશે:
$E' = \frac{k(2P)}{(2r)^3} = \frac{2kP}{8r^3} = \frac{1}{4} \left( \frac{kP}{r^3} \right) = \frac{E}{4}$.
તેથી,નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{E}{4}$ થશે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં વિદ્યુત ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = pE \sin \theta$,જ્યાં $p = q \times \ell$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
આપેલ છે: વીજભાર $q = 8 \times 10^{-9} \ C$,લંબાઈ $\ell = 4 \times 10^{-2} \ m$,ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$,અને ટોર્ક $\tau = 4 \sqrt{3} \ Nm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\tau = (q \ell) E \sin \theta$.
$4 \sqrt{3} = (8 \times 10^{-9}) \times (4 \times 10^{-2}) \times E \times \sin 60^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$4 \sqrt{3} = (32 \times 10^{-11}) \times E \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$4 \sqrt{3} = (16 \times 10^{-11}) \times \sqrt{3} \times E$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા:
$4 = 16 \times 10^{-11} \times E$.
$E = \frac{4}{16 \times 10^{-11}} = 0.25 \times 10^{11} = 2.5 \times 10^{10} \ N/C$.

(B) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = q \times (2a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q = 2 \times 10^{-6} \ C$ અને અંતર $2a = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$ છે.
$p = (2 \times 10^{-6} \ C) \times (3 \times 10^{-2} \ m) = 6 \times 10^{-8} \ Cm$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\tau_{\max} = pE$.
અહીં $E = 2 \times 10^5 \ N/C$ આપેલ છે.
$\tau_{\max} = (6 \times 10^{-8} \ Cm) \times (2 \times 10^5 \ N/C) = 12 \times 10^{-3} \ Nm$.