Electric Dipole and Electric Field Questions in Gujarati

(D) વિદ્યુત ડાયપોલની અક્ષ પર (end-on position) $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{2kp}{r^3}$ છે,જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે અને $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$F = q \left( \frac{2kp}{r^3} \right)$,જે દર્શાવે છે કે $F \propto \frac{1}{r^3}$.
જો અંતર બમણું કરવામાં આવે $(r' = 2r)$,તો નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ થશે:
$F' \propto \frac{1}{(2r)^3} = \frac{1}{8r^3}$.
તેથી,$F' = \frac{F}{8}$.

(B) આદર્શ ડાયપોલનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{p}$ મોમેન્ટ સાથે $\vec{r}$ સ્થાન પર $\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{3(\vec{p}\cdot\hat{r})\hat{r} - \vec{p}}{r^3}]$ છે.
$(P)$ બંને ડાયપોલ $x = -r$ અને $x = r$ પર $\vec{p} = p\hat{j}$ છે. $X(0,0)$ પર,$\vec{r}_1 = r\hat{i}$ અને $\vec{r}_2 = -r\hat{i}$. બંનેનું ક્ષેત્ર વિષુવવૃત્તીય છે: $\vec{E} = 2 \times [-\frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{j}] = -\frac{p}{2\pi\epsilon_0 r^3}\hat{j}$. જે $(2)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(Q)$ ડાયપોલ $-r$ પર $p\hat{j}$ અને $r$ પર $-p\hat{j}$ છે. $X$ પરના ક્ષેત્રો સમાન અને વિરુદ્ધ છે,તેથી $\vec{E} = 0$. જે $(1)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(R)$ $-r$ પર ડાયપોલ $p\hat{j}$ (વિષુવવૃત્તીય ક્ષેત્ર $-\frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{j}$) અને $r$ પર ડાયપોલ $p\hat{i}$ (અક્ષીય ક્ષેત્ર $\frac{2p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{i}$). કુલ $\vec{E} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}(2\hat{i}-\hat{j})$. જે $(4)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(S)$ બંને ડાયપોલ $x = -r$ અને $x = r$ પર $p\hat{i}$ છે. બંને ક્ષેત્રો અક્ષીય છે: $\vec{E} = \frac{2p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{i} + \frac{2p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\hat{i} = \frac{p}{\pi\epsilon_0 r^3}\hat{i}$. જે $(5)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,$P \rightarrow 2, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 4, S \rightarrow 5$.

(A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલી ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_1 = -pE \cos 0^{\circ} = -pE(1) = -pE$ છે.
અંતે,ડાયપોલને $90^{\circ}$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$ છે.
ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય (જરૂરી ઉર્જા) એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_2 - U_1$.
$W = 0 - (-pE) = pE$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p = q \times (2a)$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $(2a)$ એ ડાયપોલની લંબાઈ છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin \theta = 1$,તેથી $\tau_{max} = pE = q(2a)E$.
આપેલ છે: $q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$,$E = 8 \times 10^{4} \ N/C$,અને $\tau_{max} = 4 \times 10^{-3} \ N \cdot m$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 10^{-3} = (2 \times 10^{-6}) \times (2a) \times (8 \times 10^{4})$.
$4 \times 10^{-3} = 16 \times 10^{-2} \times (2a)$.
$2a = \frac{4 \times 10^{-3}}{16 \times 10^{-2}} = \frac{4}{16} \times 10^{-1} = 0.25 \times 10^{-1} \ m$.
$2a = 0.025 \ m = 25 \ mm$.
આમ,ડાયપોલની લંબાઈ $25 \ mm$ છે.

(B) ધ્રુવીય અણુ એ છે જે કાયમી વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે અણુમાં વિદ્યુતભારનું અસમપ્રમાણ વિતરણ હોય.
$(a)$ $H_2O$ (પાણી): તેનો આકાર વળેલો (bent) હોય છે. બે $O-H$ બંધોની ડાયપોલ મોમેન્ટ એકબીજાને નાબૂદ કરતી નથી,જેના પરિણામે ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ મળે છે. તેથી,તે એક ધ્રુવીય અણુ છે.
$(b)$ $N_2$: તે સમાન પરમાણુઓ ધરાવતો દ્વિપરમાણ્વીય અણુ છે જેની રચના રેખીય છે,તેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય છે.
$(c)$ $CO_2$: તેની રચના રેખીય છે જ્યાં બે $C=O$ બંધની ડાયપોલ મોમેન્ટ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. તેથી,તે અધ્રુવીય છે.
$(d)$ $H_2$: તે સમાન પરમાણુઓ ધરાવતો દ્વિપરમાણ્વીય અણુ છે,તેથી તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(a)$ છે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = pE \sin \theta$,જ્યાં $p = q \times (2a)$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,અને $\theta$ એ ડાયપોલ અક્ષ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
ડાયપોલની લંબાઈ $(2a) = 2 \ cm = 0.02 \ m = 2 \times 10^{-2} \ m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E) = 10^{5} \ N/C$
ખૂણો $(\theta) = 60^{\circ}$
ટોર્ક $(\tau) = 8 \sqrt{3} \ Nm$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$8 \sqrt{3} = (q \times 2 \times 10^{-2}) \times 10^{5} \times \sin 60^{\circ}$
$8 \sqrt{3} = q \times 2 \times 10^{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$8 \sqrt{3} = q \times \sqrt{3} \times 10^{3}$
$q = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 10^{3}} = 8 \times 10^{-3} \ C$.
આમ,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $8 \times 10^{-3} \ C$ છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{P} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_1 = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$ થાય.
ડાયપોલને $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવ્યા પછી,અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ}$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_2 = -pE \cos(60^{\circ}) = -pE \times 0.5 = -\frac{pE}{2}$ થાય.
ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = U_2 - U_1 = -\frac{pE}{2} - (-pE) = -\frac{pE}{2} + pE = \frac{pE}{2}$.

(D) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ (અથવા $0$ રેડિયન) પર મળે છે.
તેથી,જ્યારે ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં જ ગોઠવાયેલ હોય ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(C) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ એક વીજભારનું મૂલ્ય $q$ અને તેમના વચ્ચેના અંતર $2l$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
આપેલ છે: $q = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$,$2l = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$p = q \times 2l = (2 \times 10^{-6} \text{ C}) \times (3 \times 10^{-2} \text{ m}) = 6 \times 10^{-8} \text{ C-m}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\theta = 90^{\circ}$ હોવું જોઈએ,તેથી $\sin 90^{\circ} = 1$.
$\tau_{\max} = pE = (6 \times 10^{-8} \text{ C-m}) \times (2 \times 10^5 \text{ N/C}) = 12 \times 10^{-3} \text{ N-m}$.

(D) $p$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે અક્ષીય રેખા પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{a} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{2p}{r^{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{q} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $E_{a} = 2 \times (\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}}) = 2E_{q}$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $E_{a} = 2E_{q}$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ ની બનેલી હોય છે,જે $2\ell$ અંતરે અલગ થયેલા હોય છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં,ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_+ = qE$ એ ક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે,અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_- = -qE$ એ ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ડાયપોલ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = F_+ + F_- = qE - qE = 0$ થાય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -P \cdot E = -PE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ $P$ એ ક્ષેત્રની દિશામાં હોય,ત્યારે ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ થાય છે.
આમ,$U = -PE \cos(0^{\circ}) = -PE$,જે શક્ય ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે (સ્થાયી સંતુલન).

(D) ધ્રુવીય અણુ એવો અણુ છે જેમાં ધ્રુવીય બંધો હોય છે,જ્યાં તમામ બંધોના ડાયપોલ મોમેન્ટનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોતો નથી.
$H_2O$ ના કિસ્સામાં,બંધો એક ખૂણા પર નમેલા હોય છે (બેન્ટ ભૂમિતિ),તેથી ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય હોતી નથી.
તેથી,$H_2O$ એક ધ્રુવીય અણુ છે.
તેનાથી વિપરીત,$H_2$ અને $O_2$ માટે,અણુઓ હોમોન્યુક્લિયર અને અધ્રુવીય છે.
$CO_2$ માટે,અણુ રેખીય છે,અને બે $C=O$ બંધ ડાયપોલ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય થાય છે.

(A) ટૂંકા ડાયપોલને કારણે અક્ષીય રેખા પર વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r_1^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્તીય રેખા પર ટૂંકા ડાયપોલને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r_2^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_{\text{axial}} = E_{\text{equatorial}}$,તેથી:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r_1^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r_2^3}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2}{r_1^3} = \frac{1}{r_2^3}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા $\frac{r_1^3}{r_2^3} = 2$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ મળે છે.
તેથી,$r_1: r_2 = \sqrt[3]{2}: 1$.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ $1/r^2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે $P$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે છે. $27P$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલથી તેનું અંતર $(24 - x)$ થશે.
ડાયપોલની અક્ષ પરના બિંદુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જે બિંદુએ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય, ત્યાં બંને ડાયપોલને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2P}{x^3} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(27P)}{(24 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{27}{(24 - x)^3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24 - x}$
$24 - x = 3x$
$4x = 24$
$x = 6 \,cm$.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ને એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $E = \frac{F}{q}$.
બળનું પરિમાણ $[F] = [M L T^{-2}]$ અને વિદ્યુતભારનું પરિમાણ $[q] = [A T]$ છે.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રનું પરિમાણ $[E] = \frac{[M L T^{-2}]}{[A T]} = [M L T^{-3} A^{-1}]$ થાય.
વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં દળનો ઘાતાંક $1$ છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ ને વિદ્યુતભાર અને અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $p = q \times d$.
વિદ્યુતભારનું પરિમાણ $[q] = [A T]$ અને અંતરનું પરિમાણ $[d] = [L]$ છે.
તેથી,વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટનું પરિમાણ $[p] = [A T L] = [M^0 L^1 T^1 A^1]$ થાય.
વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટમાં દળનો ઘાતાંક $0$ છે.
આમ,દળના ઘાતાંક અનુક્રમે $1$ અને $0$ છે.

(B) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ ઋણ વીજભાર $(-q)$ થી ધન વીજભાર $(+q)$ તરફ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર,ચોખ્ખું ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $\vec{E}_{net}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ વેક્ટર $\vec{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરનું ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ વેક્ટર એ ડાયપોલ મોમેન્ટ વેક્ટરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતા ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર: $\tau = pE \sin \theta$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 4 \times 10^{-9} \text{ Cm}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 5 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = (4 \times 10^{-9}) \times (5 \times 10^4) \times \sin 60^{\circ}$
$\tau = 20 \times 10^{-5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tau = 10 \times 10^{-5} \times 1.732$
$\tau = 1.732 \times 10^{-4} \text{ Nm}$
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $1.73 \times 10^{-4} \text{ Nm}$ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે તેની અક્ષ પર $x$ જેટલા મોટા અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{\text{axis}} = \frac{2kp}{x^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $y$ જેટલા મોટા અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E_{\text{equator}} = \frac{kp}{y^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંનેના મૂલ્યો સમાન છે: $E_{\text{axis}} = E_{\text{equator}}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2kp}{x^3} = \frac{kp}{y^3}$.
બંને બાજુથી $kp$ દૂર કરતા: $\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{x^3}{y^3} = 2$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{x}{y} = \sqrt[3]{2} : 1$.

(C) અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ બિંદુઓ પર બદલાય છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,ધન વિદ્યુતભાર $(+q)$ પર લાગતું બળ $F_+ = qE_+$ અને ઋણ વિદ્યુતભાર $(-q)$ પર લાગતું બળ $F_- = -qE_-$ છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = q(E_+ - E_-)$ છે. ક્ષેત્ર અસમાન હોવાથી,$E_+ \neq E_-$,તેથી પરિણામી બળ સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી.
જોકે,જો ડાયપોલને એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે બંને વિદ્યુતભારો પર ક્ષેત્રની તીવ્રતા સમાન હોય (ભલે ક્ષેત્ર અન્ય જગ્યાએ અસમાન હોય),તો પરિણામી બળ શૂન્ય હોઈ શકે છે.
ટોર્ક વિશે વાત કરીએ તો,$\tau = p \times E$. જો ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ ડાયપોલના સ્થાન પરના વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય,તો ટોર્ક $\tau = pE \sin(\theta)$ શૂન્ય થાય છે કારણ કે $\theta = 0^\circ$ અથવા $180^\circ$ છે.
આમ,ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $2a$ એ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર છે.
ટૂંકી ડાયપોલ માટે જ્યાં $r \gg a$ હોય,ત્યારે છેદમાં $a^2$ ને અવગણી શકાય છે:
$E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{r^4}$
$E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$
તેથી,$E \propto \frac{1}{r^3}$.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવેલ વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = p E \sin \theta$,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય ત્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય છે.

(D) ડાયપોલના અક્ષીય બિંદુ પર $z$ અંતરે (જ્યાં $z \gg a$) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}(z) = \frac{2kp}{z^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર $y$ અંતરે (જ્યાં $y \gg a$) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}(y) = \frac{kp}{y^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $z = y$,તેથી આપણે મૂલ્યોનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\left| \frac{\vec{E}(z)}{\vec{E}(y)} \right| = \frac{2kp/z^3}{kp/y^3} = \frac{2kp/z^3}{kp/z^3} = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયપોલના વિવિધ બિંદુઓ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા બદલાય છે.
ક્ષેત્ર અસમાન હોવાથી,$+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારો પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ હોતું નથી,જેના પરિણામે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોતું નથી $(F_{net} \neq 0)$.
વધુમાં,ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ કે $180^{\circ}$ ન હોવાથી,વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળો એક કપલ (બળયુગ્મ) બનાવે છે,જે ડાયપોલ પર ટોર્ક $(\tau = \vec{p} \times \vec{E} \neq 0)$ લગાડે છે.
તેથી,ડાયપોલ ટોર્ક અને ચોખ્ખું બળ બંને અનુભવે છે.

(D)
જ્યારે ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બે વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) પર અલગ-અલગ મૂલ્યના બળો લાગે છે કારણ કે તેમની સ્થિતિ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ હોય છે.
ધારો કે $+q$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ છે અને $-q$ ના સ્થાન પર $E_2$ છે.
$+q$ પર લાગતું બળ $F_1 = qE_1$ છે અને $-q$ પર લાગતું બળ $F_2 = -qE_2$ છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = q(E_1 - E_2)$ છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{P}$ એ $\vec{E}$ ને સમાંતર હોવાથી,ધન વિદ્યુતભાર ઋણ વિદ્યુતભારની સરખામણીમાં વધુ ક્ષેત્ર તીવ્રતા ધરાવતા વિસ્તારમાં હોય છે.
તેથી,પરિણામી બળ વધતા વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં લાગે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ ડાબી બાજુએ એકબીજાની નજીક છે,જે દર્શાવે છે કે ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રબળ છે $(E_L > E_R)$.
ડાયપોલ માટે,ઋણ વીજભાર $(-q)$ પર લાગતું બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,અને ધન વીજભાર $(+q)$ પર લાગતું બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે $-q$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_L$ છે અને $+q$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_R$ છે.
$-q$ પર લાગતું બળ $F_L = q E_L$ છે જે જમણી તરફ લાગે છે.
$+q$ પર લાગતું બળ $F_R = q E_R$ છે જે ડાબી તરફ લાગે છે.
ક્ષેત્ર રેખાઓ ડાબી બાજુએ વધુ ગીચ હોવાથી,$E_L > E_R$,તેથી $F_L > F_R$.
પરિણામી બળ $F_{net} = F_L - F_R$ છે,જે જમણી તરફની દિશામાં લાગે છે.

(B) એક અણુની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_0 = 10^{-29} \text{ C m}$ છે.
$1 \text{ mole}$ માં $6 \times 10^{23}$ અણુઓ હોવાથી,$2 \text{ mole}$ માં કુલ અણુઓની સંખ્યા $N = 2 \times 6 \times 10^{23} = 12 \times 10^{23}$ અણુઓ છે.
જ્યારે બધા ડાયપોલ ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત થાય ત્યારે પદાર્થની કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $P = N \times p_0 = 12 \times 10^{23} \times 10^{-29} = 12 \times 10^{-6} \text{ C m}$ થાય.
બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -P E \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઓછા તાપમાને મહત્તમ ધ્રુવીકરણ માટે,ડાયપોલ ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત થાય છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $U = -(12 \times 10^{-6} \text{ C m}) \times (10^6 \text{ V m}^{-1}) \times \cos(0^{\circ}) = -12 \times 1 \times 1 = -12 \text{ J}$.

(B) ધ્રુવીય અણુ એ છે કે જેમાં વિદ્યુતઋણતાના તફાવત અને અણુના અસમપ્રમાણ આકારને કારણે કાયમી વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ હોય છે.
$1$. $HCl$: ક્લોરિન હાઇડ્રોજન કરતા વધુ વિદ્યુતઋણ છે,તેથી તે ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે. તે ધ્રુવીય અણુ છે.
$2$. $H_2O$: પાણીના અણુનો આકાર વળેલો (bent) હોવાથી અને ઓક્સિજનની ઊંચી વિદ્યુતઋણતાને કારણે તે ચોખ્ખી ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે. તે ધ્રુવીય અણુ છે.
$3$. $H_2$ અને $O_2$: આ સમાન પરમાણુઓ ધરાવતા દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુઓ છે,જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય હોય છે. તેઓ અધ્રુવીય છે.
તેથી,$[HCl, H_2O]$ ની જોડીમાં બંને ધ્રુવીય અણુઓ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુ $(r, \theta)$ પરનું ઇલેક્ટ્રિક પોટેન્શિયલ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V(r, \theta) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$
$1$. ડાયપોલની અક્ષ પર,ખૂણો $\theta$ કાં તો $0$ અથવા $\pi$ રેડિયન હોય છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos(0)}{r^2} = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ અથવા $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos(\pi)}{r^2} = -\frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$
આમ,અક્ષ પર $V \neq 0$ થાય છે.
$2$. ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન હોય છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos(\pi/2)}{r^2} = 0$ (કારણ કે $\cos(\pi/2) = 0$)
આમ,વિષુવવૃત્ત પર $V = 0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલને પ્રારંભિક ખૂણા $\theta_1$ થી અંતિમ ખૂણા $\theta_2$ સુધી ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = p E (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આપેલ છે કે ડાયપોલ શરૂઆતમાં વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
ડાયપોલને $180^{\circ}$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 180^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = p E (\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$
કારણ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 180^{\circ} = -1$ છે:
$W = p E (1 - (-1))$
$W = p E (1 + 1)$
$W = 2 p E$
તેથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય $2 p E$ છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર: $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ છે.
દરેક કિસ્સા માટે:
$(a)$ $\theta = 180^{\circ}$ માટે,$U = -pE \cos 180^{\circ} = -pE(-1) = pE$. જે $(ii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(b)$ $\theta = 120^{\circ}$ માટે,$U = -pE \cos 120^{\circ} = -pE(-1/2) = \frac{1}{2} pE$. જે $(iii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(c)$ $\theta = 90^{\circ}$ માટે,$U = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$. જે $(iv)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $a-ii, b-iii, c-iv$ છે.

(D) ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p} = p \hat{i}$ છે,તેથી બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \hat{i}}{r^3}$ થશે.
$-q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = (-q)\vec{E} = (-q) \left( -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \hat{i}}{r^3} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^3} \hat{i}$ થશે.
$O$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે. અહીં $-q$ વિદ્યુતભારનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = r \hat{j}$ છે.
તેથી,$\vec{\tau} = (r \hat{j}) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^3} \hat{i} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^2} (\hat{j} \times \hat{i}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^2} \hat{k}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે:
ડાયપોલ મોમેન્ટ,$p = 4 \times 10^{-14} \ C \cdot m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E = 5 \times 10^4 \ N/C$
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકેલી ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\tau = p E \sin \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (4 \times 10^{-14}) \times (5 \times 10^4) \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 20 \times 10^{-10} \times 0.5$
$\tau = 10 \times 10^{-10} \ N \cdot m$
$\tau = 10^{-9} \ N \cdot m$

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકાયેલા વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = p E \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ $p$ અને $E$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,આપણે $\sin \theta \approx \theta$ લઈ શકીએ છીએ.
આમ,ટોર્ક $\tau = p E \theta$ થાય છે.
ટોર્કને $\tau = I \alpha$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે,તેથી $I \alpha = p E \theta$ મળે છે.
કોણીય પ્રવેગ માટે ગોઠવતા,$\alpha = \frac{p E}{I} \theta$ મળે છે.
આ સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $\omega^2 = \frac{p E}{I}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{p E}{I}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{p E}}$ થાય છે.

(B) અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અવકાશના જુદા જુદા બિંદુઓ પર બદલાતી રહે છે.
ડાયપોલના બે વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) એકબીજાથી થોડા અંતરે આવેલા હોવાથી,તેઓ તેમના સંબંધિત સ્થાનો પર અલગ-અલગ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અનુભવે છે.
કારણ કે બે વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળો $(F = qE)$ મૂલ્ય અથવા દિશામાં અસમાન હોય છે,તેથી ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોતું નથી.
વધુમાં,બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ ડાયપોલના કેન્દ્રની આસપાસ પરિણામી ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રાખેલ વિદ્યુત ડાયપોલ સામાન્ય રીતે બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(C) ટૂંકી ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ માટે કેન્દ્રથી $r$ અંતરે જ્યાં $r >> a$ હોય ત્યારે:
અક્ષીય રેખા પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{ax} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્તીય રેખા પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{eq} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec{E}_{ax} = -2\vec{E}_{eq}$ થાય છે.

(C) ધારો કે વિદ્યુત ડાયપોલ $x$-અક્ષ પર છે. $(r, \theta)$ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ત્રિજ્યા સદિશ $\vec{r}$ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,જે $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta$ એ સ્થાન સદિશ ડાયપોલ અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ ડાયપોલ અક્ષ સાથે જે ખૂણો બનાવે છે તે $\phi = \theta + \alpha$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ અક્ષને લંબ હોવા માટે,ખૂણો $\phi$ એ $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\theta + \alpha = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ} - \theta$.
આ કિંમતને $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta$ સંબંધમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{2} \tan \theta$
$\cot \theta = \frac{1}{2} \tan \theta$
$\tan^2 \theta = 2$
$\tan \theta = \sqrt{2}$
$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{2})$.

(C) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ (અક્ષીય રેખા પર) અથવા $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^3}$ (વિષુવવૃત્તીય રેખા પર) છે. બંને કિસ્સામાં,$E \propto \frac{1}{r^3}$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ છે. તેથી,$V \propto \frac{1}{r^2}$ થાય છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $1/r^3$ ના પ્રમાણમાં અને સ્થિતિમાન $1/r^2$ ના પ્રમાણમાં બદલાય છે.

(B) આ તંત્રમાં ત્રણ વિદ્યુતભારો છે: $A$ પર $+2q$,$B$ પર $+2q$ અને $C$ પર $-4q$. આપણે $C$ પરના $-4q$ વિદ્યુતભારને બે $-2q$ ના વિદ્યુતભારોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે બે વિદ્યુત ડાયપોલ છે:
$1$. $A$ પરના $+2q$ અને $C$ પરના $-2q$ દ્વારા બનતી ડાયપોલ,જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_1 = (2q)(x)$ છે અને તેની દિશા $C$ થી $A$ તરફ છે.
$2$. $B$ પરના $+2q$ અને $C$ પરના $-2q$ દ્વારા બનતી ડાયપોલ,જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_2 = (2q)(x)$ છે અને તેની દિશા $C$ થી $B$ તરફ છે.
આ બે ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_1$ અને $p_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_{net}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$p_{net} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2 \cos 60^{\circ}}$
અહીં $p_1 = p_2 = p = 2qx$ હોવાથી:
$p_{net} = \sqrt{p^2 + p^2 + 2p^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2p^2 + 2p^2(1/2)} = \sqrt{3p^2} = p\sqrt{3}$
$p = 2qx$ મૂકતા:
$p_{net} = (2qx)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}qx$.

(C) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ ઋણ વીજભાર $(-q)$ થી ધન વીજભાર $(+q)$ તરફની દિશામાં સદિશ છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ડાયપોલ અક્ષને સમાંતર હોય છે પરંતુ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
જેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ એકબીજાને પ્રતિ-સમાંતર (anti-parallel) હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ થાય છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકેલી વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ શોધવાનું સૂત્ર: $\tau = pE \sin \theta$ છે.
આપેલ છે:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 2 \times 10^{-10} \text{ C m}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10^4 \text{ N C}^{-1}$.
ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (2 \times 10^{-10}) \times (10^4) \times \sin(30^{\circ})$.
અહીં $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી:
$\tau = 2 \times 10^{-6} \times 0.5 = 1 \times 10^{-6} \text{ N m}$.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $10^{-6} \text{ N m}$ થાય છે.

(C) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{P}$ ધરાવતા ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના બિંદુએ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $\overrightarrow{E}$ નું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\overrightarrow{P}}{r^3}$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $\overrightarrow{E}$ ની દિશા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{P}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ છે.
આમ,બંને સદિશો પ્રતિ-સમાંતર (anti-parallel) હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ થાય છે.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટનું સૂત્ર $p = q \cdot l$ છે,જ્યાં $q$ એ કુલ ધન અથવા ઋણ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે અને $l$ એ વિદ્યુતભારના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
તટસ્થ $NH_3$ અણુ માટે,કુલ ઇલેક્ટ્રોન (અથવા પ્રોટોન) ની સંખ્યા $7 + (3 \times 1) = 10$ છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q = 10e = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-18} \ C$.
આપેલ છે કે $p = 5 \times 10^{-30} \ C \cdot m$.
સૂત્ર $l = \frac{p}{q}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$l = \frac{5 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-18}}$
$l = 3.125 \times 10^{-12} \ m$.

(C) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = p E \sin \theta$.
આપેલ છે:
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 5 \times 10^{-7} \text{ C m}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 2 \times 10^4 \text{ N C}^{-1}$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (5 \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times \sin(60^{\circ})$
$\tau = 10 \times 10^{-3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tau = 10 \times 10^{-3} \times 0.866$
$\tau = 8.66 \times 10^{-3} \text{ N m}$

(A) આપેલ છે: વીજભાર $q = 500 \times 10^{-6} \ C$,અંતર $2a = 10 \ cm = 0.1 \ m$ (તેથી $a = 0.05 \ m$),અને અંતર $r = 25 \ cm = 0.25 \ m$.
ડાયપોલની અક્ષ પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$ છે,જ્યાં $p = q(2a)$.
કિંમતો મૂકતા: $p = 500 \times 10^{-6} \times 0.1 = 5 \times 10^{-5} \ Cm$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times (5 \times 10^{-5}) \times 0.25}{((0.25)^2 - (0.05)^2)^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2.5 \times 10^{-5}}{(0.0625 - 0.0025)^2}$.
$E = \frac{2.25 \times 10^5}{(0.06)^2} = \frac{2.25 \times 10^5}{0.0036} = 6.25 \times 10^7 \ NC^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$5.76 \times 10^7 \ NC^{-1}$ એ સૌથી નજીકનું મૂલ્ય છે.

(A) ધારો કે બે ડાયપોલ $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે,જેના ડાયપોલ મોમેન્ટ અનુક્રમે $p_1 = p$ અને $p_2 = 27 p$ છે અને તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાયેલા છે.
ધારો કે $P$ એ તેમની વચ્ચેનું શૂન્ય બિંદુ છે જ્યાં ચોખ્ખી વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય છે.
ધારો કે $A$ પરના ડાયપોલથી બિંદુ $P$ નું અંતર $x$ છે.
$B$ પરના ડાયપોલથી બિંદુ $P$ નું અંતર $(24 - x) \,cm$ થશે.
ટૂંકા વિદ્યુત ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું સૂત્ર $E = \frac{2kp}{r^3}$ છે.
બિંદુ $P$ પર ચોખ્ખું વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવા માટે,બંને ડાયપોલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુત ક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $E_1 = E_2$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2kp}{x^3} = \frac{2k(27p)}{(24 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{27}{(24 - x)^3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{3}{24 - x}$
$24 - x = 3x$
$24 = 4x$
$x = 6 \,cm$.
આમ,$p$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલથી $6 \,cm$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હશે.

(D) અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અવકાશના વિવિધ બિંદુઓ પર બદલાય છે.
ડાયપોલના બે વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) એકબીજાથી થોડા અંતરે હોવાથી,તેઓ અલગ-અલગ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા ($E_1$ અને $E_2$) અનુભવે છે.
$F = qE$ હોવાથી,બંને વિદ્યુતભારો પર લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ હોતા નથી,જેના પરિણામે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોતું નથી.
જો કે,ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર ગોઠવાયેલ હોય,તો ટોર્ક શૂન્ય હોઈ શકે છે.
તેથી,ચોખ્ખું બળ સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતું નથી,અને ટોર્ક તેના ઓરિએન્ટેશન પર આધાર રાખીને શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(A) સમાન ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવેલ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tau = p E \sin \theta$ ...$(i)$
જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ વેક્ટર અને ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિવિધ ખૂણાઓ પર ટોર્કનું વિશ્લેષણ:
$1$. $\theta = 0^{\circ}$ પર,$\tau = p E \sin 0^{\circ} = 0$.
$2$. $\theta = \frac{\pi}{2}$ પર,$\tau = p E \sin \frac{\pi}{2} = p E$.
$3$. $\theta = \pi$ પર,$\tau = p E \sin \pi = 0$.
$4$. $\theta = \frac{3\pi}{2}$ પર,$\tau = p E \sin \frac{3\pi}{2} = -p E$.
$5$. $\theta = 2\pi$ પર,$\tau = p E \sin 2\pi = 0$.
આ ફેરફાર શૂન્યથી શરૂ થતી સાઈન વેવ પેટર્ન અનુસરે છે,જે $\frac{\pi}{2}$ પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,$\pi$ પર શૂન્ય થાય છે,$\frac{3\pi}{2}$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને $2\pi$ પર ફરીથી શૂન્ય થાય છે. આ વર્તણૂક દર્શાવતો ગ્રાફ એ પ્રમાણભૂત સાઈન વક્ર છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને $\theta_1$ ખૂણેથી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = p E (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આપેલ છે:
$\theta_1 = 30^{\circ}$
$\theta_2 = 90^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = p E (\cos 30^{\circ} - \cos 90^{\circ})$
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 90^{\circ} = 0$ છે:
$W = p E (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} p E$
આમ,કરવામાં આવતું કાર્ય $\frac{\sqrt{3}}{2} p E$ છે.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય છે,અને $\theta$ એ ડાયપોલની અક્ષ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર ગોઠવાયેલ હોય ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.