Electric Dipole and Electric Field Questions in Gujarati

(C) ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1$ ધરાવતા ડાયપોલ દ્વારા $x$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિમાં ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}_1}{x^3}$ છે.
આ ક્ષેત્રમાં બીજા ડાયપોલ $\vec{p}_2$ ની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{p}_2 \cdot \vec{E} = -\vec{p}_2 \cdot \left( -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}_1}{x^3} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p_1p_2}{x^3}$ થાય (કારણ કે $\vec{p}_1 \parallel \vec{p}_2$).
ડાયપોલ વચ્ચેનું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = -\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p_1p_2}{x^3} \right) = -\frac{p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0} (-3x^{-4}) = \frac{3p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 x^4}$.
જોકે,બે સમાંતર ડાયપોલ જે બાજુ-બાજુમાં (વિષુવવૃત્તીય ગોઠવણીમાં) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બળ આકર્ષી હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $F = \frac{6p_1p_2}{4\pi\varepsilon_0 x^4}$ થાય છે.

(D) વિદ્યુત ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $y$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{(y^2 + a^2)^{3/2}}$ છે.
$y >> 2a$ હોવાથી,આપણે $E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{y^3}$ લખી શકીએ.
વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = QE = Q \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{y^3}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $F \propto \frac{1}{y^3}$.
જ્યારે વિદ્યુતભારને $P'$ પર ખસેડવામાં આવે છે જ્યાં $OP' = y' = \frac{y}{3}$ છે,ત્યારે નવું બળ $F'$ એ $F' \propto \frac{1}{(y')^3} = \frac{1}{(y/3)^3} = \frac{27}{y^3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$F' = 27F$.

(B) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\vec{P} \cdot \vec{E} = -PE \cos \theta$
આપેલ કિંમતો:
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1000\,V/m = 10^3\,V/m$
ડાયપોલ મોમેન્ટ $P = 10^{-29}\,C\cdot m$
ખૂણો $\theta = 45^\circ$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = -(10^{-29}) \times (10^3) \times \cos(45^\circ)$
$U = -10^{-26} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$U = -10^{-26} \times 0.7071$
$U = -0.7071 \times 10^{-26}\,J$
$U = -7.071 \times 10^{-27}\,J$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત:
$U \approx -7 \times 10^{-27}\,J$

(D) આ સિસ્ટમમાં ત્રણ વિદ્યુતભારો છે: $(0,0)$ પર $+q$,$(\ell, 0)$ પર $+q$,અને $(\ell/2, \ell\sqrt{3}/2)$ પર $-2q$.
આને બે ડાયપોલ તરીકે જોઈ શકાય છે,જેમાં દરેકનો વિદ્યુતભાર $q$ અને અંતર $\ell$ છે.
પ્રથમ ડાયપોલ $\overrightarrow{P}_1$ એ ઉપરના શિરોબિંદુ પરના $-q$ અને ઉગમબિંદુ પરના $+q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા બને છે. તેની દિશા ઉગમબિંદુથી ઉપરના શિરોબિંદુ તરફ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બીજો ડાયપોલ $\overrightarrow{P}_2$ એ ઉપરના શિરોબિંદુ પરના બીજા $-q$ અને $(\ell, 0)$ પરના $+q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા બને છે. તેની દિશા $(\ell, 0)$ થી ઉપરના શિરોબિંદુ તરફ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $120^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
દરેક ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય $P = q\ell$ છે.
$\overrightarrow{P}_1$ ના ઘટકો $P_x = q\ell \cos 60^\circ = q\ell/2$ અને $P_y = q\ell \sin 60^\circ = q\ell\sqrt{3}/2$ છે.
$\overrightarrow{P}_2$ ના ઘટકો $P_x = q\ell \cos 120^\circ = -q\ell/2$ અને $P_y = q\ell \sin 120^\circ = q\ell\sqrt{3}/2$ છે.
કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{P}_{net} = \overrightarrow{P}_1 + \overrightarrow{P}_2$ છે:
$P_{net, x} = q\ell/2 - q\ell/2 = 0$
$P_{net, y} = q\ell\sqrt{3}/2 + q\ell\sqrt{3}/2 = \sqrt{3}q\ell$.
આમ,$\overrightarrow{P}_{net} = \sqrt{3}q\ell \hat{j}$.

(B) ડાયપોલની તેના કેન્દ્રની આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = m\left(\frac{d}{2}\right)^2 + m\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 2 \cdot m \frac{d^2}{4} = \frac{md^2}{2}$
એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે:
$\tau = pE \sin \theta = (qd) E \sin \theta$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$(qEd) \sin \theta = \left(\frac{md^2}{2}\right) \alpha$
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta$. તેથી:
$(qEd) \theta = \left(\frac{md^2}{2}\right) \alpha$
$\alpha = \left(\frac{2qE}{md}\right) \theta$
આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $\alpha = \omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega^2 = \frac{2qE}{md}$
$\omega = \sqrt{\frac{2qE}{md}}$

(A) તંત્રની કુલ સ્થિતિઊર્જા $U_{total}$ એ ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા (સ્વ-ઊર્જા) અને ડાયપોલની વિદ્યુતભાર $Q$ સાથેની આંતરક્રિયા ઊર્જાનો સરવાળો છે.
$1$. ડાયપોલની સ્વ-ઊર્જા ($+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારો $d$ અંતરે છે) $U_{dipole} = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{d}$ છે.
$2$. ડાયપોલની $Q$ સાથેની આંતરક્રિયા ઊર્જા $U_{interaction} = V_Q(+q) + V_Q(-q) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} Q \left( \frac{q}{D+d} - \frac{q}{D} \right)$ છે.
$3$. $D >> d$ હોવાથી,દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{D+d} \approx \frac{1}{D} (1 - d/D) = \frac{1}{D} - \frac{d}{D^2}$.
$4$. આ કિંમત આંતરક્રિયા ઊર્જામાં મૂકતા: $U_{interaction} \approx \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0} (\frac{1}{D} - \frac{d}{D^2} - \frac{1}{D}) = -\frac{qQd}{4\pi \varepsilon_0 D^2}$.
તેથી,$U_{total} = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{d} - \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{qQd}{D^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{q^2}{d} - \frac{qQd}{D^2} \right]$.

(D) ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ (આ કિસ્સામાં $y$-અક્ષ) પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય હોય છે,કારણ કે ડાયપોલના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન આ સમતલના દરેક બિંદુએ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$V = 0$
ડાયપોલથી $d$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{d^3}$
આપેલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p} = -p_0\hat{x}$ મૂકતા,વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,જે $-\vec{p}$ ની દિશા સાથે સુસંગત છે.
આમ,સ્થિતિમાન $0$ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $-\frac{\vec{p}}{4\pi\varepsilon_0 d^3}$ છે.

(D) ડાયપોલની અક્ષ પર $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{2kp}{r^3}$ છે,જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે અને $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ હોવાથી,$F = q \left( \frac{2kp}{r^3} \right) \propto \frac{1}{r^3}$ થાય.
જો અંતર બમણું કરવામાં આવે,તો નવું અંતર $r' = 2r$ થાય.
નવું બળ $F'$ એ $F' = q \left( \frac{2kp}{(2r)^3} \right) = q \left( \frac{2kp}{8r^3} \right) = \frac{1}{8} F$ થશે.
તેથી,નવું બળ $\frac{F}{8}$ થશે.

(B) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલી ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $\theta_i = 0^{\circ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$ થાય.
અંતે,ડાયપોલને $90^{\circ}$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,તેથી $\theta_f = 90^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -pE \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય.
ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
$W = 0 - (-pE) = pE$.

(B) કિસ્સા $(I)$ માં,બંને ડાયપોલ $\vec{p}_1$ અને $\vec{p}_2$ એક જ અક્ષ પર સમાન દિશામાં ગોઠવાયેલા છે (અક્ષીય ગોઠવણી). સમાન દિશામાં ગોઠવાયેલા ડાયપોલ માટે,તેમની વચ્ચેનું બળ આકર્ષી હોય છે.
કિસ્સા $(II)$ માં,ડાયપોલ એક જ અક્ષ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાયેલા છે. વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાયેલા ડાયપોલ માટે,તેમની વચ્ચેનું બળ અપાકર્ષી હોય છે.
તેથી,બળોનો પ્રકાર $(I)$ માટે આકર્ષણ અને $(II)$ માટે અપાકર્ષણ છે.

(B) બાહ્ય સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવેલ વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ સૂત્ર $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,$\theta = 0$ પર,ડાયપોલ મોમેન્ટ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત છે,તેથી $\tau = pE \sin(0) = 0$.
જેમ જેમ ડાયપોલને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવામાં આવે છે,તેમ $\theta$ એ $0$ થી વધે છે. ટોર્ક $\tau$ એ $\sin \theta$ ના ફેરફારને અનુસરે છે.
$\theta = 0$ પર,$\tau = 0$. જેમ $\theta$ વધીને $\pi/2$ થાય છે,તેમ $\tau$ વધીને તેનું મહત્તમ મૂલ્ય $pE$ થાય છે.
આ વર્તણૂક ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થતા સાઈન વક્રને અનુરૂપ છે.
આકૃતિ $(ii)$ માં આપેલા આલેખ જોતા,વક્ર $b$ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે અને તે $\tau = pE \sin \theta$ વિધેયનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(A) જ્યારે $p$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતી વિદ્યુત ડાયપોલને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે તેના પર લાગતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau = -pE \theta$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha = \frac{d^2 \theta}{dt^2}$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આમ,$I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = -pE \theta$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -(\frac{pE}{I}) \theta$ થાય છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -\omega^2 \theta$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $\omega^2 = \frac{pE}{I}$ મળે છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = (\frac{pE}{I})^{1/2}$ થાય છે.

(B) $P_1$ મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલ દ્વારા $r$ અંતરે તેની અક્ષ પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2 K P_1}{r^3}$ છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $P_2$ ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -P_2 E = -P_2 \left( \frac{2 K P_1}{r^3} \right) = -\frac{2 K P_1 P_2}{r^3}$ છે.
ડાયપોલ વચ્ચેનું બળ $F$ એ અંતર $r$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિતિ ઉર્જાના ઋણ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{2 K P_1 P_2}{r^3} \right)$.
$F = 2 K P_1 P_2 \frac{d}{dr} (r^{-3}) = 2 K P_1 P_2 (-3 r^{-4}) = -\frac{6 K P_1 P_2}{r^4}$.
બળનું મૂલ્ય $|F| = \frac{6 K P_1 P_2}{r^4}$ છે.

(D) આ તંત્ર ત્રણ વિદ્યુત ડાયપોલનું બનેલું છે,જેમાં દરેકની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = Q(2a)$ છે,જ્યાં $2a$ એ ષટ્કોણના વિકર્ણો પર $+Q$ અને $-Q$ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર છે.
ષટ્કોણના કેન્દ્ર $O$ થી $x$ અંતરે તેના સમતલને લંબ અક્ષ પરના બિંદુ માટે,એક ડાયપોલને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p}{x^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2Qa}{x^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણેય ડાયપોલ ષટ્કોણના સમતલમાં એકબીજા સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે ગોઠવાયેલા હોવાથી,તેમના લંબ અક્ષ પરના ઘટકો સમાન મૂલ્ય અને દિશા ધરાવે છે.
પરંતુ,ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ ડાયપોલ મોમેન્ટની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. સમતલને લંબ અક્ષ પરના બિંદુ માટે,ક્ષેત્ર ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. $120^{\circ}$ પર રહેલા આવા ત્રણ સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. તેથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

(D) વિદ્યુત ડાયપોલ દ્વારા કોઈ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ તે વિદ્યુતભારના ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતરના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ હોવાથી,બળ $F = qE$ માટે $F \propto \frac{1}{r^3}$ થાય.
ધારો કે શરૂઆતનું બળ $F = \frac{k}{r^3}$ છે.
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે,એટલે કે $r' = 2r$,ત્યારે નવું બળ $F' = \frac{k}{(2r)^3} = \frac{k}{8r^3}$ થાય.
આમ,$F' = \frac{F}{8}$ મળે.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પર બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W_{\text{field}} = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ છે.
અહીં,$\theta_1 = 30^\circ$ અને $\theta_2 = 60^\circ$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W_{\text{field}} = pE(\cos 30^\circ - \cos 60^\circ)$
$W_{\text{field}} = pE\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right)$
$W_{\text{field}} = \frac{pE}{2}(\sqrt{3} - 1)$.

(B) કિસ્સા $(I)$ માં,બંને ડાયપોલ $\vec{p}_1$ અને $\vec{p}_2$ એક જ અક્ષ પર સમાન દિશામાં ગોઠવાયેલા છે. ડાયપોલ $\vec{p}_1$ દ્વારા $\vec{p}_2$ ના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{p}_1$ ની દિશામાં હોય છે. $\vec{p}_2$ પણ સમાન દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે.
કિસ્સા $(II)$ માં,ડાયપોલ વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાયેલા છે. $\vec{p}_1$ દ્વારા $\vec{p}_2$ ના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{p}_1$ ની દિશામાં છે,પરંતુ $\vec{p}_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આ ગોઠવણીને કારણે બંને ડાયપોલ વચ્ચે અપાકર્ષી બળ લાગે છે.

(B) આપેલ વિદ્યુતભાર તંત્રને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x$ અને $y$ યામ અક્ષોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે.
$-2q$ વિદ્યુતભાર ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. એક $+q$ વિદ્યુતભાર $(a, 0, 0)$ પર અને બીજો $+q$ વિદ્યુતભાર $(0, a, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
આ તંત્રને બે વિદ્યુત ડાયપોલ તરીકે જોઈ શકાય છે: એક $x$-અક્ષ પર જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1 = q a \hat{i}$ છે અને બીજી $y$-અક્ષ પર જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_2 = q a \hat{j}$ છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{P}_R$ એ આ બે ડાયપોલનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{P}_R = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = qa \hat{i} + qa \hat{j}$.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય:
$P_R = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2} = \sqrt{2} qa$.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા $\hat{i} + \hat{j}$ સદિશની દિશામાં છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ અને $(a, a, 0)$ બિંદુને જોડતી રેખા છે.

(D) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે બિંદુ $(r, \theta)$ પરનું સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p \cos \theta}{r^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
$V = 1.8 \times 10^{5} \, V$
$\theta = 60^{\circ}$
$r = 50 \, cm = 0.5 \, m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \, N \cdot m^2/C^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.8 \times 10^{5} = (9 \times 10^{9}) \times \frac{p \cos 60^{\circ}}{(0.5)^{2}}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$:
$1.8 \times 10^{5} = 9 \times 10^{9} \times \frac{p \times 0.5}{0.25}$
$1.8 \times 10^{5} = 9 \times 10^{9} \times p \times 2$
$p = \frac{1.8 \times 10^{5}}{18 \times 10^{9}}$
$p = 0.1 \times 10^{-4} = 10^{-5} \, C-m$

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ ધન $x-$ અક્ષની દિશામાં વધે છે.
ધારો કે ઋણ વીજભાર $(-q)$ ના સ્થાન પરનું ક્ષેત્ર $E_1$ છે અને ધન વીજભાર $(+q)$ ના સ્થાન પરનું ક્ષેત્ર $E_2$ છે.
આકૃતિ મુજબ,ઋણ વીજભાર ધન $x$ દિશામાં છે,તેથી $E_1 > E_2$.
ઋણ વીજભાર પર લાગતું બળ $F_1 = qE_1$ (ઋણ $x-$ અક્ષની દિશામાં) છે.
ધન વીજભાર પર લાગતું બળ $F_2 = qE_2$ (ધન $x-$ અક્ષની દિશામાં) છે.
$E_1 > E_2$ હોવાથી,ચોખ્ખું બળ ઋણ $x-$ અક્ષની દિશામાં લાગશે.
ટોર્ક $\tau = p \times E$ ડાયપોલને ક્ષેત્ર સાથે સંરેખિત કરવા માટે ફેરવે છે,જે આ કિસ્સામાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ કરાવે છે.

(C) $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $(-d, 0)$ અને $(d, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
વિકલ્પ $(a)$ માટે: $x$-અક્ષ પર,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા બિંદુ વિદ્યુતભારોની વચ્ચે છે કે બહાર તેના આધારે બદલાય છે. તેથી,તે દરેક જગ્યાએ સમાન નથી.
વિકલ્પ $(b)$ માટે: ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર સ્થિતિમાન $V = k(q/d) + k(-q/d) = 0$ છે. અનંત અંતરે પણ સ્થિતિમાન $0$ છે. તેથી,કરેલું કાર્ય $W = q(V_{origin} - V_{\infty}) = 0$ થાય. એટલે કે,કોઈ કાર્ય કરવાની જરૂર નથી.
વિકલ્પ $(c)$ માટે: $y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુ $(0, y)$ પર,$+q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર દૂર તરફ અને $-q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેની તરફ હોય છે. સંમિતિને કારણે,ઉર્ધ્વ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં હોય છે. આમ,ક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
વિકલ્પ $(d)$ માટે: ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે,એટલે કે $(d, 0)$ થી $(-d, 0)$ તરફ,જે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે. તેનું મૂલ્ય $2qd$ છે.

(A) ડાયપોલ પર પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -pE \sin \theta$ લાગે છે જે તેને ક્ષેત્રની દિશામાં પાછું લાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે, $\sin \theta \approx \theta$. તેથી, ટોર્ક $\tau = -pE \theta$ થાય.
ન્યૂટનના બીજા નિયમના પરિભ્રમણ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા, $\tau = I \alpha = I (d^2 \theta / dt^2)$.
ટોર્ક માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $I (d^2 \theta / dt^2) = -pE \theta$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $d^2 \theta / dt^2 = -(pE / I) \theta$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત $S.H.M.$ સમીકરણ $d^2 \theta / dt^2 = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\omega^2 = pE / I$ મળે છે, તેથી $\omega = \sqrt{pE / I}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi / \omega = 2\pi \sqrt{I / pE}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) ડાયપોલની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ છે અને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુત ડાયપોલને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક વિદ્યુતભાર $q$ પર બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ અને $\vec{F} = -q\vec{E}$ લાગે છે.
આ બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળો એક કપલ (બળયુગ્મ) બનાવે છે,જે ડાયપોલ પર ટોર્ક લગાડે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય એ એક બળના મૂલ્ય અને તેમની વચ્ચેના લંબ અંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$\tau = F \times (d \sin \theta) = (qE) \times (a \sin \theta) = (qa) E \sin \theta$.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = qa$ હોવાથી,આપણને $\tau = pE \sin \theta$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આને $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p} = (-\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \times 10^{-29} \; C \cdot m$ અને સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
અહીં $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{p} = (1)(-1) + (3)(-3) + (5)(2) = -1 - 9 + 10 = 0$ હોવાથી,બિંદુ ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ (equatorial plane) પર આવેલું છે.
વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના બિંદુ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ નું સૂત્ર $\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\overrightarrow{p}}{r^3}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં (antiparallel) હોય છે.
તેથી,$\overrightarrow{E} \parallel -\overrightarrow{p}$.
ચૂકવણી મુજબ,$-\overrightarrow{p} = (\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) \times 10^{-29}$ થાય.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$ ને સમાંતર છે.

(N/A) $+10\; \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે $P$ પરનું ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{(r-a)^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{(0.15 - 0.0025)^2} \approx 4.13 \times 10^6\; N/C$ ($BP$ ની દિશામાં).
$-10\; \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે $P$ પરનું ક્ષેત્ર $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{(r+a)^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{(0.15 + 0.0025)^2} \approx 3.86 \times 10^6\; N/C$ ($PA$ ની દિશામાં).
$P$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_P = E_1 - E_2 = 2.7 \times 10^5\; N/C$ ($BP$ ની દિશામાં).
ડાયપોલના સૂત્ર $E = \frac{2p}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $p = q(2a) = 10^{-5} \times 0.005 = 5 \times 10^{-8}\; C\cdot m$,આપણને $E = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-8}}{(0.15)^3} = 2.67 \times 10^5\; N/C$ મળે છે.
$(b)$ $B$ પરના $+10\; \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે $Q$ પરનું ક્ષેત્ર $E_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2+a^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5}}{(0.15)^2 + (0.0025)^2} \approx 3.99 \times 10^6\; N/C$.
$A$ પરના $-10\; \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે $Q$ પરનું ક્ષેત્ર $E_A = 3.99 \times 10^6\; N/C$.
પરિણામી ક્ષેત્ર $E_Q = 2 E_B \cos \theta = 2 E_B \frac{a}{\sqrt{r^2+a^2}} = 2 \times 3.99 \times 10^6 \times \frac{0.0025}{\sqrt{0.15^2 + 0.0025^2}} \approx 1.33 \times 10^5\; N/C$ ($BA$ ની દિશામાં).
ડાયપોલના સૂત્ર $E = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-8}}{(0.15)^3} = 1.33 \times 10^5\; N/C$ જે ડાયપોલ મોમેન્ટની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(N/A) સિસ્ટમનો કુલ વિદ્યુતભાર એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોનો બેઝિક સરવાળો છે:
$q_{total} = q_{A} + q_{B} = 2.5 \times 10^{-7} \; C + (-2.5 \times 10^{-7} \; C) = 0 \; C$
બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર એ બિંદુઓ $A(0, 0, -15 \; cm)$ અને $B(0, 0, 15 \; cm)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = 15 \; cm - (-15 \; cm) = 30 \; cm = 0.3 \; m$
વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ એક વિદ્યુતભારના મૂલ્ય અને તેમની વચ્ચેના અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$p = |q| \times d = (2.5 \times 10^{-7} \; C) \times (0.3 \; m) = 7.5 \times 10^{-8} \; C \cdot m$
ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા ઋણ વિદ્યુતભારથી ધન વિદ્યુતભાર તરફ હોય છે,અને અહીં ઋણ વિદ્યુતભાર $z = -15 \; cm$ પર અને ધન વિદ્યુતભાર $z = +15 \; cm$ પર હોવાથી,ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા ધન $z$-અક્ષની દિશામાં છે.

(C) આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ,$p = 4 \times 10^{-9} \;C \,m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E = 5 \times 10^{4} \;N \,C^{-1}$
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પર લાગતા ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\tau = pE \sin \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (4 \times 10^{-9}) \times (5 \times 10^{4}) \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 20 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 10 \times 10^{-5} = 10^{-4} \;N \,m$
આમ,ડાયપોલ પર લાગતા ટોર્કનું મૂલ્ય $10^{-4} \;N \,m$ છે.

(A) સિસ્ટમની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = -10^{-7} \; C \, m$ છે (કારણ કે તે ઋણ $z$-દિશામાં છે).
એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં થતો વધારો $\frac{dE}{dz} = 10^{5} \; N \, C^{-1} \, m^{-1}$ છે.
અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું બળ $F = p \frac{dE}{dz}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = (-10^{-7} \; C \, m) \times (10^{5} \; N \, C^{-1} \, m^{-1}) = -10^{-2} \; N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ ઋણ $z$-દિશામાં છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ ઋણ $z$-દિશામાં છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $z$-દિશામાં હોવાથી,ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ છે.
ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sin 180^{\circ} = 0$ હોવાથી,ટોર્ક $\tau = 0$ થશે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ એ બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના બિંદુવત વિદ્યુતભારોની બનેલી સિસ્ટમ છે જે એકબીજાથી નિશ્ચિત અંતરે આવેલા હોય છે.
જો બે વિદ્યુતભારો $q$ અને $-q$ વચ્ચેનું અંતર $2a$ હોય,તો આ સિસ્ટમની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p} = q(2\vec{a})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ એ સદિશ રાશિ છે અને તેની દિશા ઋણ વિદ્યુતભારથી ધન વિદ્યુતભાર તરફ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટનો $SI$ એકમ $Cm$ (કુલંબ-મીટર) છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^1 A^1]$ છે.
ડાયપોલ સિસ્ટમનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય છે,પરંતુ તેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોતું નથી કારણ કે બે વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો અલગ-અલગ સ્થાનો પર આવેલા હોય છે.

(N/A) બિંદુ ડાયપોલ એ એક એવો વિદ્યુત ડાયપોલ છે જેમાં બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $2a$ શૂન્યને અનુલક્ષે છે $(2a \rightarrow 0)$ અને વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ અનંતને અનુલક્ષે છે $(q \rightarrow \infty)$,જેથી તેમનો ગુણાકાર $p = q \times 2a$ એક નિશ્ચિત અચળાંક રહે.
આ મર્યાદામાં,ડાયપોલને એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત માનવામાં આવે છે.

(A) અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ ($-q$ અને $+q$ વિદ્યુતભારોની જોડી) દ્વારા ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર કુલંબના નિયમ અને સંપાતપણાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ,કોઈપણ બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વ્યક્તિગત વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ગાણિતિક રીતે,બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = \vec{E}_{+q} + \vec{E}_{-q}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{E}_{+q}$ અને $\vec{E}_{-q}$ એ અનુક્રમે $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો છે,જેની ગણતરી કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

(N/A) ધારો કે એક વિદ્યુત ડાયપોલ $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારો ધરાવે છે જે એકબીજાથી $2a$ અંતરે છે. ડાયપોલના કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે અક્ષ પર બિંદુ $P$ છે.
$+q$ વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\overrightarrow{E}_{+q} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(r-a)^{2}} \hat{p}$
$-q$ વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\overrightarrow{E}_{-q} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{(r+a)^{2}} \hat{p}$
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર આ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E}_{+q} + \overrightarrow{E}_{-q} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{1}{(r-a)^{2}} - \frac{1}{(r+a)^{2}} \right] \hat{p}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\overrightarrow{E} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{(r+a)^{2} - (r-a)^{2}}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \right] \hat{p} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \frac{4ar}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \right] \hat{p}$
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q(2a)$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2pr}{(r^{2}-a^{2})^{2}} \hat{p}$
ટૂંકી ડાયપોલ માટે જ્યાં $r >> a$,ત્યારે $r^{2}-a^{2} \approx r^{2}$ લેતા:
$\overrightarrow{E} \approx \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2pr}{r^{4}} \hat{p} = \frac{2p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \hat{p}$

(N/A) ધારો કે એક ડાયપોલ $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારો ધરાવે છે જે $2a$ અંતરે રહેલા છે. ડાયપોલના કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર બિંદુ $P$ છે.
બિંદુ $P$ નું $+q$ અને $-q$ થી અંતર સમાન છે:
$r_{+} = r_{-} = \sqrt{r^{2} + a^{2}}$
બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન છે:
$E_{+q} = E_{-q} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2} + a^{2}}$
વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશોને ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$1$. ડાયપોલ અક્ષને લંબ ઘટકો $(E \sin \theta)$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$2$. ડાયપોલ અક્ષને સમાંતર ઘટકો $(E \cos \theta)$ એક જ દિશામાં (ડાયપોલ મોમેન્ટ $\hat{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E = -(E_{+q} \cos \theta + E_{-q} \cos \theta) \hat{p}$
$E = -2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2} + a^{2}} \right) \cos \theta \hat{p}$
ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{r^{2} + a^{2}}}$. આ કિંમત મૂકતા:
$E = -\frac{2aq}{4 \pi \varepsilon_{0} (r^{2} + a^{2})^{3/2}} \hat{p}$
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q(2a)$ હોવાથી:
$E = -\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} (r^{2} + a^{2})^{3/2}} \hat{p}$
ટૂંકા ડાયપોલ માટે $(r \gg a)$:
$E \approx -\frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \hat{p}$

(N/A)

બિંદુવત વિદ્યુતભારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર	ડાયપોલનું વિદ્યુતક્ષેત્ર
$(1)$ તે ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ અથવા બહારની તરફ હોય છે.	$(1)$ તે ત્રિજ્યાવર્તી હોતું નથી.
$(2)$ તે $\frac{1}{r^{2}}$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે.	$(2)$ તે મોટા અંતરો માટે $\frac{1}{r^{3}}$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે.
$(3)$ તેની વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ રેખીય હોય છે.	$(3)$ તેની વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અક્ષ સિવાય રેખીય હોતી નથી.
$(4)$ તેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુત સ્થિતિમાન માત્ર અનંત અંતરે જ શૂન્ય હોય છે.	$(4)$ તેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિષુવરેખીય સમતલના દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ એ બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના બિંદુવત વિદ્યુતભારોની જોડી છે જે એકબીજાથી $2a$ જેટલા અલ્પ અંતરે રહેલા હોય છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ એ એક સદિશ રાશિ છે જે ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલની પ્રબળતા દર્શાવે છે.
તેને કોઈ પણ એક વિદ્યુતભારના મૂલ્ય $(q)$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(2a)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{p} = q \times (2\vec{a})$.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટનો $SI$ એકમ $\text{કુલંબ-મીટર}$ $(C \cdot m)$ છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $0$ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ એ બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના બિંદુવત વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ થી બનેલો હોય છે,જે એકબીજાથી $2a$ જેટલા અલ્પ અંતરે આવેલા હોય છે.
કુલ વિદ્યુતભાર એ આ બંને વિદ્યુતભારોનો બેઝિક સરવાળો છે: $q_{net} = (+q) + (-q) = 0$.
તેથી,આ તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(N/A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ એક સદિશ રાશિ છે,જે એક વિદ્યુતભારના મૂલ્ય $(q)$ અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(2a)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેની દિશા ઋણ વિદ્યુતભારથી ધન વિદ્યુતભાર તરફ હોય છે.
દિશા: ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા ઋણ વિદ્યુતભાર $(-q)$ થી ધન વિદ્યુતભાર $(+q)$ તરફ હોય છે.
$SI$ એકમ: ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટનો $SI$ એકમ કુલંબ-મીટર છે,જેને $C \cdot m$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos\theta}{r^2}$ છે,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે,$r$ એ ડાયપોલના કેન્દ્રથી અંતર છે,અને $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને બિંદુના સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે,ખૂણો $\theta = 90^\circ$ હોય છે.
કારણ કે $\cos(90^\circ) = 0$ થાય છે,તેથી વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cdot 0}{r^2} = 0$ મળે છે.

(N/A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકાયેલ ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$(i)$ સ્થાયી સંતુલન: જ્યારે $\vec{p}$ એ $\vec{E}$ ને સમાંતર હોય,ત્યારે $\theta = 0^{\circ}$.
$U = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$. આ લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જાની સ્થિતિ છે,જે સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
(ii) અસ્થાયી સંતુલન: જ્યારે $\vec{p}$ એ $\vec{E}$ ને પ્રતિ-સમાંતર હોય,ત્યારે $\theta = 180^{\circ}$.
$U = -pE \cos(180^{\circ}) = pE$. આ મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જાની સ્થિતિ છે,જે અસ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
(iii) શૂન્ય સ્થિતિ ઊર્જા: જ્યારે $\vec{p}$ એ $\vec{E}$ ને લંબ હોય,ત્યારે $\theta = 90^{\circ}$.
$U = -pE \cos(90^{\circ}) = 0$. આ સ્થિતિ દર્શાવે છે કે ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય છે.

(N/A) જ્યારે $\vec{p}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતી વિદ્યુત ડાયપોલને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ડાયપોલ મોમેન્ટ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) જેટલું ટોર્ક $\vec{\tau}$ અનુભવે છે.
તેનું સમીકરણ છે: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,આને આ રીતે લખી શકાય: $\tau = pE \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

(B) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં રહેલા વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\tau = pE \sin(\theta)$,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક મહત્તમ હોવા માટે,$\sin(\theta)$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $1$ છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$ હોય.
તેથી,જ્યારે વિદ્યુત ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે ત્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય છે.

(N/A) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{p_{e}}$ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે તેની વિષુવરેખીય રેખા પર $x$ અંતરે (જ્યાં $x >> a$) ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{E} = -\frac{\overrightarrow{p_{e}}}{4 \pi \epsilon_{0} x^{3}}$
ચુંબકીય મોમેન્ટ $\overrightarrow{m}$ ધરાવતા પ્રવાહધારિત લૂપને કારણે તેની અક્ષ પર $x$ અંતરે (જ્યાં $x >> R$) ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નીચે મુજબ છે:
$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2\overrightarrow{m}}{x^{3}}$
નોંધ: ડાયપોલ માટે વિષુવરેખીય ક્ષેત્ર એ ડાયપોલ મોમેન્ટની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જ્યારે ચુંબકીય લૂપ માટે અક્ષીય ક્ષેત્ર એ ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશામાં હોય છે.

(N/A) ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $2a$ એ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર છે.
$r >> a$ શરત માટે,આપણે છેદમાં $r^2$ ની સરખામણીમાં $a^2$ ને અવગણી શકીએ છીએ.
આમ,સમીકરણનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{r^4}$
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$

(N/A) ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ ધરાવતા વિદ્યુત ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલી વિષુવરેખા પરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{(r^2 + a^2)^{3/2}}$
$r >> a$ શરત માટે,છેદમાં $a^2$ ને $r^2$ ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય છે.
તેથી,$(r^2 + a^2)^{3/2} \approx (r^2)^{3/2} = r^3$.
આમ,સમીકરણનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ મળે છે:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$
આ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $p$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે.

(C) $2a$ જેટલા અંતરે રહેલા $-q$ અને $+q$ વિદ્યુતભારો ધરાવતા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ માટે,ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશા $-q$ થી $+q$ તરફ હોય છે.
$1$. અક્ષીય રેખા પર: કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{axis}$ ની દિશા ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
$2$. વિષુવરેખીય સમતલ પર: કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{equator}$ ની દિશા ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $\vec{p}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતો એક કાયમી ડાયપોલ સમાન બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકેલો છે.
ધન વિદ્યુતભાર $+q$ પર લાગતું બળ $q\vec{E}$ છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ પર લાગતું બળ $-q\vec{E}$ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સમાન હોવાથી ડાયપોલ પરનું કુલ બળ શૂન્ય થાય છે.
જોકે,બંને વિદ્યુતભારો વચ્ચે $2a$ જેટલું અંતર હોવાથી,આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગે છે,જેના પરિણામે ડાયપોલ પર ટોર્ક ઉદભવે છે.
જ્યારે કુલ બળ શૂન્ય હોય,ત્યારે ટોર્ક (બળયુગ્મ) ઉગમબિંદુથી સ્વતંત્ર હોય છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય = (દરેક બળનું મૂલ્ય) $\times$ (બંને બળો વચ્ચેનું લંબ અંતર)
$= qE \times (2a \sin \theta)$
$= (2qa) E \sin \theta$
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = 2qa$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\tau = pE \sin \theta$
સદિશ સ્વરૂપમાં,ટોર્ક નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$
આ ટોર્ક ડાયપોલને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં ગોઠવવાનો પ્રયત્ન કરશે. જ્યારે $\vec{p}$ એ $\vec{E}$ ની દિશામાં હોય,ત્યારે ટોર્ક શૂન્ય થાય છે.

(N/A) જ્યારે $\vec{p}$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતી વિદ્યુત ડાયપોલને અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર પરિણામી બળ લાગે છે.
$1$. જ્યારે $\vec{p}$ એ $\vec{E}$ ને સમાંતર હોય: ધન વિદ્યુતભાર $q$ પર ક્ષેત્રની દિશામાં $q\vec{E}$ બળ લાગે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ પર વિરુદ્ધ દિશામાં $-q\vec{E}$ બળ લાગે છે. ક્ષેત્ર અસમાન હોવાથી અને ધન વિદ્યુતભારના સ્થાન પર ક્ષેત્ર વધુ પ્રબળ હોવાથી,ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ વધતા વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે.
$2$. જ્યારે $\vec{p}$ એ $\vec{E}$ ને પ્રતિ-સમાંતર હોય: ધન વિદ્યુતભાર $q$ પર ક્ષેત્રની દિશામાં $q\vec{E}$ બળ લાગે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ પર વિરુદ્ધ દિશામાં $-q\vec{E}$ બળ લાગે છે. અહીં ઋણ વિદ્યુતભારના સ્થાન પર ક્ષેત્ર વધુ પ્રબળ હોવાથી,ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ ઘટતા વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે.
બંને કિસ્સામાં,ડાયપોલ પર લાગતું પરિણામી ટોર્ક શૂન્ય હોય છે કારણ કે બળો ડાયપોલની અક્ષ પર જ હોય છે,પરંતુ ક્ષેત્રની અસમાનતાને કારણે તેના પર સ્થાનાંતરિત બળ લાગે છે.

(A) વિદ્યુત ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વીજભારો,$+q$ અને $-q$ થી બનેલો હોય છે,જે એકબીજાથી $2a$ જેટલા નાના અંતરે આવેલા હોય છે.
જ્યારે તેને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ધન વીજભાર પર લાગતું બળ $F_+ = qE$ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે.
ઋણ વીજભાર પર લાગતું બળ $F_- = -qE$ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
ડાયપોલ પર લાગતું પરિણામી બળ આ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$F_{net} = F_+ + F_- = qE + (-qE) = 0$.
તેથી,સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું પરિણામી બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.