Electric Dipole and Electric Field Questions in Gujarati

(C) આ તંત્ર સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે. સળિયાના કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M(L/2)^2 + M(L/2)^2 = ML^2/2$ છે.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ છે,જ્યાં $p = qL$.
નાના ખૂણા માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau = qLE \theta$.
ગતિનું સમીકરણ $I \alpha = -\tau$ છે,જ્યાં $\alpha = d^2\theta/dt^2$.
$ML^2/2 \cdot (d^2\theta/dt^2) = -qLE \theta$.
$d^2\theta/dt^2 = -(2qE / ML) \theta$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ છે,જેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{2qE / ML}$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi / \omega = 2\pi \sqrt{ML / 2qE}$ છે.
શરૂઆતના સૂક્ષ્મ ખૂણાથી સંતુલન સ્થિતિ (ક્ષેત્રને સમાંતર) સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય આવર્તકાળનો ચોથો ભાગ છે.
$t = T/4 = (1/4) \cdot 2\pi \sqrt{ML / 2qE} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{ML}{2qE}}$.

(A) સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાઈપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = PE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau = PE \theta$.
ટોર્ક પુનઃસ્થાપક હોવાથી,$\tau = -PE \theta$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
તેથી,$I \alpha = -PE \theta$,જે આપે છે $\alpha = -(\frac{PE}{I}) \theta$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{PE}{I}$ મળે છે.
આમ,દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{PE}{I}}$ છે.

(A) આ તંત્રમાં ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર $-2q$ વિદ્યુતભાર છે,$(0,a,0)$ પર $+q$ અને $(a,0,0)$ પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે.
આને બે ડાઈપોલ તરીકે ગણી શકાય: $\vec{p}_1$ જે ઉગમબિંદુ પરના $-q$ અને $(a,0,0)$ પરના $+q$ થી બને છે,અને $\vec{p}_2$ જે ઉગમબિંદુ પરના $-q$ અને $(0,a,0)$ પરના $+q$ થી બને છે.
$\vec{p}_1 = qa\hat{i}$.
$\vec{p}_2 = qa\hat{j}$.
કુલ ડાઈપોલ ચાકમાત્રા $\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = qa\hat{i} + qa\hat{j}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{p}| = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2} = \sqrt{2}qa$ થાય.
તેની દિશા $\hat{i} + \hat{j}$ સદિશ દ્વારા મળે છે,જે $(0,0,0)$ અને $(a,a,0)$ બિંદુઓને જોડતી રેખા પર છે.

(D) આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = 4 \times 10^{-8} \ C$
અંતર $2a = 2 \times 10^{-2} \ cm = 2 \times 10^{-4} \ m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4 \times 10^8 \ N/C$
$1$. ડાઈપોલ મોમેન્ટ $p = q \times (2a) = (4 \times 10^{-8} \ C) \times (2 \times 10^{-4} \ m) = 8 \times 10^{-12} \ Cm$
$2$. મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = pE \sin(90^{\circ}) = pE$
$\tau_{max} = (8 \times 10^{-12} \ Cm) \times (4 \times 10^8 \ N/C) = 32 \times 10^{-4} \ Nm$
$3$. $180^{\circ}$ ભ્રમણ કરવા માટે થતું કાર્ય ($0^{\circ}$ થી $180^{\circ}$):
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2) = pE(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$
$W = (32 \times 10^{-4} \ Nm) \times (1 - (-1)) = 32 \times 10^{-4} \times 2 = 64 \times 10^{-4} \ J$

(B) ડાઈપોલ મોમેન્ટ $p$ એ વિદ્યુતભાર $q$ અને અંતર $d$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$p = q \times d = (2 \times 10^{-6} \ C) \times (0.01 \ m) = 2 \times 10^{-8} \ Cm$.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાઈપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ટોર્ક માટે,$\sin(\theta) = 1$ (જ્યારે ડાઈપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ હોય).
તેથી,$\tau_{max} = p \times E$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau_{max} = (2 \times 10^{-8} \ Cm) \times (5 \times 10^{5} \ N/C) = 10 \times 10^{-3} \ Nm$.

(D) ડાયપોલની અક્ષ પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{axis} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{x^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $y$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{equatorial} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{y^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_{axis} = E_{equatorial}$,તેથી બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{x^3} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{y^3}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{p}{4\pi \varepsilon_0}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3}$.
$x : y$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{x^3}{y^3} = 2$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{x}{y} = 2^{1/3} : 1$ અથવા $\sqrt[3]{2} : 1$.

(C) શિરોબિંદુ $A$ પરના $+2q$ વિદ્યુતભારને બે $+q$ વિદ્યુતભારો તરીકે ગણી શકાય.
આપણે બે વિદ્યુત ડાયપોલ બનાવી શકીએ: એક શિરોબિંદુ $A$ થી $B$ સુધી (જેમાં $A$ પર $+q$ અને $B$ પર $-q$ છે) અને બીજો શિરોબિંદુ $A$ થી $C$ સુધી (જેમાં $A$ પર $+q$ અને $C$ પર $-q$ છે).
દરેક ડાયપોલની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q a$ છે.
આ બે ડાયપોલ મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ (સમબાજુ ત્રિકોણનો ખૂણો) છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $p_{net}$ સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$p_{net} = \sqrt{p^2 + p^2 + 2 p p \cos 60^{\circ}}$
$p_{net} = \sqrt{2p^2 + 2p^2 (1/2)} = \sqrt{3p^2} = p \sqrt{3}$
$p = qa$ મૂકતા,આપણને $p_{net} = q a \sqrt{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે સ્થાન સદિશ $OP$ અને ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\vec{p}$ ($x$-અક્ષ પર) વચ્ચેનો ખૂણો $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને સ્થાન સદિશ $OP$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ સંબંધ $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે સ્થાન સદિશનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો અને વિદ્યુતક્ષેત્ર તથા સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ નો સરવાળો છે.
આમ,$\theta = \phi + \alpha = \frac{\pi}{3} + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

(C) જ્યારે $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી અને $2a$ અંતરે રહેલી વિદ્યુતડાઇપોલને સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE$ અને $-q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = -qE$ થાય છે.
ડાઇપોલ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = qE + (-qE) = 0$ થાય છે.
આ બંને બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ એક બળયુગ્મ બનાવે છે જે ડાઇપોલ પર ટોર્ક લગાડે છે,જે $\tau = p \times E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ડાઇપોલ ટોર્ક અનુભવે છે પરંતુ પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 4 \times 10^{-8} \ C$,અંતર $2l = 2 \times 10^{-2} \ cm = 2 \times 10^{-4} \ m$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 4 \times 10^8 \ N/C$.
પ્રથમ,ડાઇપોલ મોમેન્ટ $p = q \times 2l = (4 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-4}) = 8 \times 10^{-12} \ C \cdot m$ શોધો.
મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = pE = (8 \times 10^{-12}) \times (4 \times 10^8) = 32 \times 10^{-4} \ N \cdot m$.
ડાઇપોલને સંતુલન સ્થિતિમાંથી $180^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = pE(1 - \cos 180^{\circ}) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
$W = 2 \times (32 \times 10^{-4}) = 64 \times 10^{-4} \ J$.

(D) ઇલેક્ટ્રિક ડાઇપોલની અક્ષ પર $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ હોવાથી,$F \propto \frac{1}{r^3}$ થાય.
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું અંતર $r' = 2r$ થાય.
તેથી નવું બળ $F' = F \cdot (\frac{r}{r'})^3 = F \cdot (\frac{r}{2r})^3 = F \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{F}{8}$ થશે.

(B) ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ છે. નાના ખૂણા $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau = pE\theta$.
સળિયાના કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(\frac{L}{2})^2 + m(\frac{L}{2})^2 = \frac{mL^2}{2}$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $I \alpha = -\tau$ છે,જે આપે છે $\frac{mL^2}{2} \frac{d^2\theta}{dt^2} = -qLE\theta$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ છે,જેમાં કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{qLE}{I}} = \sqrt{\frac{qLE}{mL^2/2}} = \sqrt{\frac{2qE}{mL}}$ છે.
ખૂણા $\theta$ થી $0$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળ $T$ નો ચોથો ભાગ છે,એટલે કે $t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi}{2\omega}$.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{mL}{2qE}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ત્રિજ્યાવર્તી સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. સ્થાન સદિશનો ખૂણો $\theta$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રનો ત્રિજ્યાવર્તી દિશા સાથેનો ખૂણો $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં છે અને સ્થાન સદિશ $OP$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ત્રિજ્યાવર્તી સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - \theta$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{2} \tan \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,તેથી $\cot \theta = \frac{1}{2} \tan \theta$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\tan^2 \theta = 2$ મળે,એટલે કે $\tan \theta = \sqrt{2}$.

(A) આ તંત્રમાં ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર $-2q$ વિદ્યુતભાર છે. આને બે અલગ ડાઇપોલ તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેક પાસે $q$ અને $-q$ વિદ્યુતભાર છે.
પ્રથમ ડાઇપોલ $-q$ (ઉગમબિંદુ પર) અને $+q$ (બિંદુ $(a,0,0)$ પર) દ્વારા બને છે,જેની ડાઇપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1 = qa \hat{i}$ છે.
બીજો ડાઇપોલ $-q$ (ઉગમબિંદુ પર) અને $+q$ (બિંદુ $(0,a,0)$ પર) દ્વારા બને છે,જેની ડાઇપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_2 = qa \hat{j}$ છે.
પરિણામી ડાઇપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_{net} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = qa \hat{i} + qa \hat{j}$ થશે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{p}_{net}| = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2} = \sqrt{2}qa$ મળે.
તેની દિશા $\hat{i} + \hat{j}$ સદિશની દિશામાં એટલે કે ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી $(a,a,0)$ તરફ હશે.

(A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ને સંદર્ભ સ્થિતિ (જ્યાં $U = 0$) થી વર્તમાન સ્થિતિ $\theta$ સુધી ડાયપોલને ફેરવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $\theta = 90^o$ પર $U = 0$ આપેલ હોવાથી,સ્થિતિ ઉર્જા:
$U = -\int_{90^o}^{\theta} \tau \, d\theta = -\int_{\pi/2}^{\theta} pE \sin \theta \, d\theta$
$U = -pE [-\cos \theta]_{\pi/2}^{\theta} = pE (\cos \theta - \cos 90^o)$
કારણ કે $\cos 90^o = 0$,તેથી આપણને $U = -pE \cos \theta$ મળે છે.
આમ,ટોર્ક $pE \sin \theta$ છે અને સ્થિતિ ઉર્જા $-pE \cos \theta$ છે.

(D) આપેલ છે: $\theta = 30^\circ$,$E = 2 \times 10^5 \, \text{NC}^{-1}$,$\tau = 4 \, \text{Nm}$,અને $l = 2 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક: $\tau = pE \sin \theta$,જ્યાં $p = ql$.
ટોર્કના સૂત્રમાં $p = ql$ મૂકતા: $\tau = qlE \sin \theta$.
$q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $q = \frac{\tau}{El \sin \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{4}{2 \times 10^5 \times 0.02 \times \sin(30^\circ)}$.
$\sin(30^\circ) = 0.5$ હોવાથી: $q = \frac{4}{2 \times 10^5 \times 0.02 \times 0.5} = \frac{4}{2 \times 10^3} = 2 \times 10^{-3} \, \text{C}$.
તેથી,$q = 2 \, \text{mC}$.

(C) વ્હીલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,વ્હીલના કેન્દ્રની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સંપર્ક બિંદુ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક $mg \sin\theta$ ને કારણે કેન્દ્રની આસપાસનું ટોર્ક $\tau_g = (mg \sin\theta)r$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શિરોલંબ છે. ડાયપોલ મોમેન્ટ $p = q(2r)$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ છે. ધારો કે ડાયપોલ મોમેન્ટ અને શિરોલંબ વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. ભૂમિતિ પરથી,ડાયપોલ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ - \theta$ થશે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_e = pE \sin\alpha = (q \cdot 2r) E \sin(90^\circ - \theta) = 2qrE \cos\theta$ છે.
બંને ટોર્કને સરખાવતા: $mgr \sin\theta = 2qrE \cos\theta$.
$E$ માટે ઉકેલતા: $E = \frac{mgr \sin\theta}{2qr \cos\theta} = \frac{mg \tan\theta}{2q}$.

(C) બિંદુ $P$ એ ડાયપોલ $1$ અને ડાયપોલ $2$ ની વિષુવરેખીય રેખા પર અને ડાયપોલ $3$ ની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે.
$x$ અંતરે વિષુવરેખીય બિંદુ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{eq} = \frac{kp}{x^3}$ છે જે ડાયપોલ મોમેન્ટની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$x$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{ax} = \frac{2kp}{x^3}$ છે જે ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશામાં હોય છે.
$1$. ડાયપોલ $1$ ને કારણે: $E_1 = \frac{kp}{x^3}$ (ડાબી તરફ).
$2$. ડાયપોલ $2$ ને કારણે: $E_2 = \frac{kp}{x^3}$ (ડાબી તરફ).
$3$. ડાયપોલ $3$ ને કારણે: $E_3 = \frac{2kp}{x^3}$ (જમણી તરફ).
$P$ પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = E_3 - (E_1 + E_2) = \frac{2kp}{x^3} - \left( \frac{kp}{x^3} + \frac{kp}{x^3} \right) = \frac{2kp}{x^3} - \frac{2kp}{x^3} = 0$.

(C) એક તટસ્થ પાણીના અણુ $(H_2O)$ માં $10$ ઇલેક્ટ્રોન અને $10$ પ્રોટોન હોય છે. ધન અથવા ઋણ કેન્દ્રનો કુલ વીજભાર $q = 10e$ છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટનું સૂત્ર $p = q \cdot d$ છે,જ્યાં $d$ એ ધન અને ઋણ વીજભારના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે $p = 6.4 \times 10^{-30} \ C \cdot m$ અને $q = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-18} \ C$.
તેથી,$d = \frac{p}{q} = \frac{6.4 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-18}} \ m = 4 \times 10^{-12} \ m$.
કારણ કે $1 \ pm = 10^{-12} \ m$,તેથી અંતર $4 \ pm$ છે.

(C) વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે અક્ષીય સ્થિતિમાં $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{axial} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ડાયપોલને કારણે તેના લંબ દ્વિભાજક (વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ) પર સમાન અંતરે $r$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{equatorial} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $A$ અક્ષ પર છે અને બિંદુ $B$ લંબ દ્વિભાજક પર છે,તેથી $\vec{E}_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$ અને $\vec{E}_B = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ થાય.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\vec{E}_A = -2 \vec{E}_B$ મળે છે.

(B) ડાયપોલને કારણે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર હંમેશા તે બિંદુમાંથી પસાર થતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાને સ્પર્શક હોય છે.
બિંદુ $P$ પર,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ ધન વીજભાર $(E_+)$ અને ઋણ વીજભાર $(E_-)$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$E_+$ ધન વીજભારથી દૂર જાય છે,અને $E_-$ ઋણ વીજભાર તરફ નિર્દેશ કરે છે.
પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E_r} = \vec{E_+} + \vec{E_-}$ એ બિંદુ $P$ પર ક્ષેત્ર રેખાને સ્પર્શક છે,જે ઉપર-ડાબી દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,ઉપર-ડાબી તરફ નિર્દેશ કરતું તીર બિંદુ $P$ પરના વિદ્યુત ક્ષેત્રનું શ્રેષ્ઠ પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) ડાયપોલ મોમેન્ટની વ્યાખ્યા $\vec{p} = \int \vec{r} dq$ છે.
ધારો કે $\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે. ચાપ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda \times (\text{ચાપની લંબાઈ}) = \lambda (R \times \frac{\pi}{2})$ છે, તેથી $\lambda = \frac{2q}{\pi R}$.
ક્ષૈતિજ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા $dq = \lambda R d\theta$ જેટલા સૂક્ષ્મ ખંડનો વિચાર કરો. આ ખંડનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = R \cos \theta \hat{i} + R \sin \theta \hat{j}$ છે.
કેન્દ્રની સાપેક્ષે ચાપની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p} = \int_{0}^{\pi/2} (R \cos \theta \hat{i} + R \sin \theta \hat{j}) \lambda R d\theta$ થાય.
ઘટકોની ગણતરી કરતા:
$p_x = \lambda R^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos \theta d\theta = \lambda R^2 [\sin \theta]_{0}^{\pi/2} = \lambda R^2$.
$p_y = \lambda R^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin \theta d\theta = \lambda R^2 [-\cos \theta]_{0}^{\pi/2} = \lambda R^2$.
ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય $p = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{(\lambda R^2)^2 + (\lambda R^2)^2} = \sqrt{2} \lambda R^2$ થાય.
$\lambda = \frac{2q}{\pi R}$ કિંમત મૂકતા:
$p = \sqrt{2} \times (\frac{2q}{\pi R}) \times R^2 = \frac{2\sqrt{2}qR}{\pi}$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગની અક્ષ પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = R/\sqrt{2}$ લેતા,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ(R/\sqrt{2})}{(R^2 + R^2/2)^{3/2}} = \frac{kQR/\sqrt{2}}{(3R^2/2)^{3/2}} = \frac{2kQ}{3\sqrt{3}R^2}$ મળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલ $P$ પર લાગતું બળ $F = P \frac{dE}{dx}$ છે.
આપણે $x = R/\sqrt{2}$ આગળ વિકલન $\frac{dE}{dx}$ શોધવાની જરૂર છે.
$\frac{dE}{dx} = kQ \frac{R^2-2x^2}{(R^2+x^2)^{5/2}}$ મળે છે.
જ્યારે $x = R/\sqrt{2}$ હોય,ત્યારે $R^2 - 2x^2 = R^2 - 2(R^2/2) = 0$ થાય છે.
તેથી,ડાયપોલ પર લાગતું બળ $F = P \cdot 0 = 0$ થાય છે.

(B) બે ટૂંકા વિદ્યુત ડાયપોલ $\vec{p}_1$ અને $\vec{p}_2$ વચ્ચેની આંતરક્રિયાની સ્થિતિ ઉર્જાનું સામાન્ય સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = -\frac{k}{r^3} \left[ \frac{3(\vec{p}_1 \cdot \vec{r})(\vec{p}_2 \cdot \vec{r})}{r^2} - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 \right]$
આપેલ ગોઠવણી પરથી:
$1$. સદિશ $\vec{r}$ એ $\vec{p}_1$ ની દિશામાં છે,તેથી $\vec{p}_1 \cdot \vec{r} = P_1 r \cos(0) = P_1 r$.
$2$. $\vec{p}_2$ અને $\vec{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી $\vec{p}_2 \cdot \vec{r} = P_2 r \cos \theta$.
$3$. $\vec{p}_1$ અને $\vec{p}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી $\vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 = P_1 P_2 \cos \theta$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = -\frac{k}{r^3} \left[ \frac{3(P_1 r)(P_2 r \cos \theta)}{r^2} - P_1 P_2 \cos \theta \right]$
$W = -\frac{k}{r^3} [3 P_1 P_2 \cos \theta - P_1 P_2 \cos \theta]$
$W = -\frac{k}{r^3} [2 P_1 P_2 \cos \theta]$
$W = -\frac{2kP_1P_2\cos \theta}{r^3}$

(C) ડાયપોલની અક્ષ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
જ્યારે ડાયપોલને $90^o$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશા પણ $90^o$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે.
બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ હંમેશા ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ને સમાંતર હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ પણ $90^o$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરશે.

(A) તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = 3q + q - 2q - 2q = 0$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,ડાયપોલ મોમેન્ટ ઉગમબિંદુની પસંદગી પર આધારિત નથી.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{P}$ નું સૂત્ર $\vec{P} = \sum q_i \vec{r}_i$ છે.
આપેલા સ્થાન:
$3q$ વિદ્યુતભાર $(0, a)$ પર $\implies \vec{r}_1 = a\hat j$
$q$ વિદ્યુતભાર $(0, -a)$ પર $\implies \vec{r}_2 = -a\hat j$
$-2q$ વિદ્યુતભાર $(-a, 0)$ પર $\implies \vec{r}_3 = -a\hat i$
$-2q$ વિદ્યુતભાર $(a, 0)$ પર $\implies \vec{r}_4 = a\hat i$
ડાયપોલ મોમેન્ટની ગણતરી:
$\vec{P} = (3q)(a\hat j) + (q)(-a\hat j) + (-2q)(-a\hat i) + (-2q)(a\hat i)$
$\vec{P} = 3qa\hat j - qa\hat j + 2qa\hat i - 2qa\hat i$
$\vec{P} = 2qa\hat j$

(D) આપેલ છે: $\vec{p} = (2.0\hat{i} + 3.0\hat{j}) \times 10^{-6} \text{ C m}$ અને $\vec{E} = (3.0\hat{i} + 2.0\hat{k}) \times 10^{5} \text{ N C}^{-1}$.
$1$. ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E} = (2.0\hat{i} + 3.0\hat{j}) \times 10^{-6} \times (3.0\hat{i} + 2.0\hat{k}) \times 10^{5}$.
$\vec{\tau} = 0.1 \times [ (2.0\hat{i} \times 3.0\hat{i}) + (2.0\hat{i} \times 2.0\hat{k}) + (3.0\hat{j} \times 3.0\hat{i}) + (3.0\hat{j} \times 2.0\hat{k}) ]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા: $\hat{i} \times \hat{i} = 0, \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}, \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
$\vec{\tau} = 0.1 \times [ 0 - 4.0\hat{j} - 9.0\hat{k} + 6.0\hat{i} ] = (0.6\hat{i} - 0.4\hat{j} - 0.9\hat{k}) \text{ Nm}$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = - [ (2.0\hat{i} + 3.0\hat{j}) \times 10^{-6} \cdot (3.0\hat{i} + 2.0\hat{k}) \times 10^{5} ]$.
$U = -0.1 \times [ (2.0 \times 3.0) + (3.0 \times 0) ] = -0.6 \text{ J}$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$3$. મહત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_{\text{max}} = |\vec{p}| |\vec{E}|$.
$|\vec{p}| = \sqrt{2.0^2 + 3.0^2} \times 10^{-6} = \sqrt{13} \times 10^{-6} \text{ C m}$.
$|\vec{E}| = \sqrt{3.0^2 + 2.0^2} \times 10^{5} = \sqrt{13} \times 10^{5} \text{ N C}^{-1}$.
$U_{\text{max}} = \sqrt{13} \times 10^{-6} \times \sqrt{13} \times 10^{5} = 13 \times 10^{-1} = 1.3 \text{ J}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(D)$ છે.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વીજભારો ($+q$ અને $-q$) ધરાવે છે,તેથી ગોળાની અંદરનો કુલ વીજભાર $q_{net} = +q + (-q) = 0$ થાય છે.
તેથી,ગોળામાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{0}{\epsilon_0} = 0$ છે.
જોકે,ગોળા પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ ડાયપોલના વ્યક્તિગત વીજભારોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે,જે દરેક બિંદુએ શૂન્ય હોતું નથી.
તે જ રીતે,ગોળા પર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય હોતું નથી,સિવાય કે ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર.

(D) અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,ડાયપોલના બે વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ ના સ્થાનો પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અલગ-અલગ હોય છે.
ધારો કે $+q$ ના સ્થાન પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ છે અને $-q$ ના સ્થાન પર $E_2$ છે.
ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1 = qE_1$ છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2 = -qE_2$ છે.
કેમ કે $E_1 \neq E_2$,બળોના મૂલ્યો અસમાન છે $(|F_1| \neq |F_2|)$.
બળો અસમાન હોવાથી અને અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરતા નથી,જેના પરિણામે ચોખ્ખું સ્થાનાંતરિત બળ ઉદ્ભવે છે.
વધુમાં,બળો એકરેખસ્થ ન હોવાથી,તેઓ ડાયપોલ પર ટોર્ક પણ લગાડે છે.
તેથી,ડાયપોલ ટોર્ક અને સ્થાનાંતરિત બળ બંને અનુભવે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\vec{T} = \vec{P} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{P} = P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}$ છે.
પ્રથમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E_1} = E\hat{i}$ માટે:
$\vec{T_1} = (P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}) \times (E\hat{i}) = PE \cos \theta (\hat{i} \times \hat{i}) + PE \sin \theta (\hat{j} \times \hat{i}) = 0 - PE \sin \theta \hat{k} = -PE \sin \theta \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{T_1} = \tau \hat{k}$,તેથી $\tau = -PE \sin \theta$.
બીજા વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E_2} = \sqrt{3}E\hat{j}$ માટે:
$\vec{T_2} = (P \cos \theta \hat{i} + P \sin \theta \hat{j}) \times (\sqrt{3}E\hat{j}) = \sqrt{3}PE \cos \theta (\hat{i} \times \hat{j}) + \sqrt{3}PE \sin \theta (\hat{j} \times \hat{j}) = \sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k} + 0 = \sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{T_2} = -\vec{T_1} = -(\tau \hat{k}) = -(-PE \sin \theta \hat{k}) = PE \sin \theta \hat{k}$.
$\vec{T_2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\sqrt{3}PE \cos \theta \hat{k} = PE \sin \theta \hat{k}$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.

(A) તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કણ $A$ થી $r_A = \frac{m \cdot L}{2m + m} = \frac{L}{3}$ અંતરે અને કણ $B$ થી $r_B = \frac{2m \cdot L}{2m + m} = \frac{2L}{3}$ અંતરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = (2m)r_A^2 + m r_B^2 = 2m(\frac{L}{3})^2 + m(\frac{2L}{3})^2 = \frac{2mL^2}{9} + \frac{4mL^2}{9} = \frac{6mL^2}{9} = \frac{2mL^2}{3}$ છે.
નાના ખૂણા $\theta$ માટે પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -(qE \cdot r_A \sin \theta + qE \cdot r_B \sin \theta) = -qE L \sin \theta \approx -qE L \theta$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$-qE L \theta = \frac{2mL^2}{3} \alpha$,તેથી $\alpha = -\frac{3qE}{2mL} \theta$ મળે છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે જ્યાં $\omega^2 = \frac{3qE}{2mL}$ છે.
$\theta = 0$ આગળ કોણીય વેગ $\omega_{max} = \omega \theta_0 = \theta_0 \sqrt{\frac{3qE}{2mL}}$ છે.
સળિયામાં તણાવ $T$ કણો માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. કણ $B$ માટે,$T - qE = m \omega_{max}^2 r_B = m (\theta_0^2 \frac{3qE}{2mL}) (\frac{2L}{3}) = qE \theta_0^2$ થાય છે.
આમ,$T = qE + qE \theta_0^2$ મળે છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા $\vec{p}_1$ અને $\vec{p}_2$ મોમેન્ટ ધરાવતા બે ડાયપોલ વચ્ચેની આંતરક્રિયાની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r^3} [\vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2 - 3(\vec{p}_1 \cdot \hat{r})(\vec{p}_2 \cdot \hat{r})]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બાજુ-બાજુમાં રહેલા ડાયપોલ માટે,$\vec{p}_1 \cdot \hat{r} = 0$ અને $\vec{p}_2 \cdot \hat{r} = 0$ હોવાથી,$U = \frac{\vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2}{4\pi\epsilon_0 r^3}$ થાય.
ગોઠવણી $(1)$ માં,ત્રણેય ડાયપોલ સમાંતર છે. ધારો કે દરેક ડાયપોલનું મૂલ્ય $p$ છે. આંતરક્રિયા ઊર્જા $U_1 = U_{12} + U_{23} + U_{13} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 (2r)^3} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (1 + 1 + 1/8) = 2.125 \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3}$ છે. આ ધન અને સૌથી મોટી છે.
ગોઠવણી $(2)$ માં,ત્રીજો ડાયપોલ પ્રતિ-સમાંતર છે. $U_2 = U_{12} + U_{23} + U_{13} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{-p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{-p^2}{4\pi\epsilon_0 (2r)^3} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (1 - 1 - 1/8) = -0.125 \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3}$ છે.
ગોઠવણી $(3)$ માં,વચ્ચેનો ડાયપોલ પ્રતિ-સમાંતર છે. $U_3 = U_{12} + U_{23} + U_{13} = \frac{-p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{-p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} + \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 (2r)^3} = \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3} (-1 - 1 + 1/8) = -1.875 \frac{p^2}{4\pi\epsilon_0 r^3}$ છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$U_1 > U_2 > U_3$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને બિંદુ $A$ ના સ્થાન સદિશ $r$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ અને સ્થાન સદિશ $r$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેના ખૂણા $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{\tan \theta}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ ને લંબ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ડાયપોલ મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ અને ખૂણો $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\alpha + \theta = 90^{\circ}$ છે,તેથી $\alpha = 90^{\circ} - \theta$.
આ કિંમતને ટેન્જન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{\tan \theta}{2}$.
કારણ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$,તેથી $\cot \theta = \frac{\tan \theta}{2}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{\tan \theta} = \frac{\tan \theta}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 \theta = 2$.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{2}$,અથવા $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{2})$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા $p$ મોમેન્ટ ધરાવતા બે સમાંતર ડાયપોલ વચ્ચેની આંતરક્રિયા ઉર્જા,પ્રતિ-સમાંતર ગોઠવણી માટે $u = -\frac{kp^2}{r^3}$ અને સમાંતર ગોઠવણી માટે $u = \frac{kp^2}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ડાયપોલ ડાબેથી જમણે $D_1, D_2, D_3$ છે.
પ્રારંભિક ગોઠવણી (બધા સમાંતર):
$U_1 = u(D_1, D_2) + u(D_2, D_3) + u(D_1, D_3)$
$U_1 = \frac{kp^2}{a^3} + \frac{kp^2}{a^3} + \frac{kp^2}{(2a)^3} = \frac{2kp^2}{a^3} + \frac{kp^2}{8a^3} = \frac{17kp^2}{8a^3} = U$.
અંતિમ ગોઠવણી (એક અંતિમ ડાયપોલ ઉલટાવેલ,ધારો કે $D_1$):
$U_2 = u(D_1, D_2) + u(D_2, D_3) + u(D_1, D_3)$
$U_2 = -\frac{kp^2}{a^3} + \frac{kp^2}{a^3} - \frac{kp^2}{(2a)^3} = -\frac{kp^2}{8a^3}$.
વિદ્યુત બળો દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = U_{initial} - U_{final} = U_1 - U_2$.
$W = \frac{17kp^2}{8a^3} - (-\frac{kp^2}{8a^3}) = \frac{18kp^2}{8a^3}$.
કારણ કે $U = \frac{17kp^2}{8a^3}$,તેથી $\frac{kp^2}{a^3} = \frac{8U}{17}$.
આ કિંમત $W$ માં મૂકતા: $W = \frac{18}{8} \times \frac{8U}{17} = \frac{18U}{17}$.

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_{net}$ એ $\vec{p} = \sum q_i \vec{r}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{r}_i$ એ ઘડિયાળના કેન્દ્રથી વિદ્યુતભાર $q_i$ નો સ્થાન સદિશ છે.
ગોઠવણીનું અવલોકન કરીને,આપણે એકબીજાની સામસામે રહેલા વિદ્યુતભારોની જોડી બનાવી શકીએ છીએ. સ્થાન $\vec{r}$ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અને સ્થાન $-\vec{r}$ પરનો વિદ્યુતભાર $-q$ એ $\vec{p} = q\vec{r} - (-q)\vec{r} = 2q\vec{r}$ મોમેન્ટ ધરાવતી ડાયપોલ બનાવે છે.
ઘડિયાળના ડાયલને જોતા,વિદ્યુતભારો $1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11$ વાગ્યાના સ્થાને મૂકવામાં આવ્યા છે. ખાસ કરીને:
- $1$ વાગ્યે $(+Q)$ અને $7$ વાગ્યે $(-Q)$: ડાયપોલ $7$ થી $1$ ની દિશામાં છે.
- $2$ વાગ્યે $(+Q)$ અને $8$ વાગ્યે $(-Q)$: ડાયપોલ $8$ થી $2$ ની દિશામાં છે.
- $4$ વાગ્યે $(+Q)$ અને $10$ વાગ્યે $(-Q)$: ડાયપોલ $10$ થી $4$ ની દિશામાં છે.
- $5$ વાગ્યે $(+Q)$ અને $11$ વાગ્યે $(-Q)$: ડાયપોલ $11$ થી $5$ ની દિશામાં છે.
આ સદિશોનો સરવાળો કરતા,કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ $3$ વાગ્યાની દિશામાં મળે છે.

(C) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારીત તારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અસમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં નાના વિદ્યુત ડાયપોલ $\vec{p}$ પર લાગતું બળ $\vec{F} = (\vec{p} \cdot \nabla) \vec{E}$ છે.
ત્રિજ્યાવર્તી દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા ડાયપોલ માટે,બળનું મૂલ્ય $F = |p \cos \theta \frac{dE}{dr}|$ છે.
અહીં $\frac{dE}{dr} = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r^2}$ હોવાથી,બળનું મૂલ્ય $F = p |\cos \theta| \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r^2}$ થાય છે.
અહીં,બધા ડાયપોલ માટે $r$ સમાન છે. બળ $|\cos \theta|$ પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને ત્રિજ્યાવર્તી વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$p_3$ માટે,$\theta = 0^\circ$,તેથી $|\cos 0^\circ| = 1$.
$p_2$ અને $p_4$ માટે,$\theta = 45^\circ$,તેથી $|\cos 45^\circ| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$.
$p_1$ અને $p_5$ માટે,$\theta = 90^\circ$,તેથી $|\cos 90^\circ| = 0$.
આમ,$F_3 > F_2 = F_4 > F_1 = F_5$.

(A) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = pE \sin\theta$ છે.
આલેખ પરથી,મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{\text{max}} = 50 \times 10^{-28}\ N\cdot m$ છે (જ્યારે $\theta = 90^\circ$ હોય,જ્યાં $\sin\theta = 1$ થાય).
તેથી,$\tau_{\text{max}} = pE$.
અહીં $E = 40\ N/C$ અને $\tau_{\text{max}} = 50 \times 10^{-28}\ N\cdot m$ આપેલ છે:
$50 \times 10^{-28} = p \times 40$
$p = \frac{50 \times 10^{-28}}{40}$
$p = 1.25 \times 10^{-28}\ C\cdot m$.

(D) આ તંત્ર બે સમાંતર તકતીઓનું બનેલું છે જેની સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અને $-\sigma$ છે,જે એક વિદ્યુત ડાયપોલ બનાવે છે.
દરેક તકતી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \sigma A = \sigma \pi R^2$ છે.
આ તંત્રની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = Ql = \sigma \pi R^2 l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલની અક્ષ પર $r$ જેટલા મોટા અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$.
$p$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(\sigma \pi R^2 l)}{r^3}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{2 \sigma \pi R^2 l}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} = \frac{\sigma R^2 l}{2 \varepsilon_0 r^3}$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ ડાબી બાજુએ નજીક છે અને જમણી બાજુએ દૂર છે,જે દર્શાવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ ડાબી બાજુએ વધુ છે અને જમણી બાજુએ ઓછી છે.
વીજભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલ ડાબી બાજુએ ઋણ વીજભાર $-q$ અને જમણી બાજુએ ધન વીજભાર $+q$ ધરાવે છે.
ઋણ વીજભાર $-q$ પર લાગતું બળ ડાબી તરફ છે (ક્ષેત્રની દિશાની વિરુદ્ધ) અને તેનું મૂલ્ય $F_{-q} = qE_{left}$ છે.
ધન વીજભાર $+q$ પર લાગતું બળ જમણી તરફ છે (ક્ષેત્રની દિશામાં) અને તેનું મૂલ્ય $F_{+q} = qE_{right}$ છે.
જેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાબી બાજુએ વધુ હોવાથી $(E_{left} > E_{right})$,ઋણ વીજભાર પર લાગતા બળનું મૂલ્ય ધન વીજભાર પર લાગતા બળના મૂલ્ય કરતા વધારે છે $(F_{-q} > F_{+q})$.
તેથી,ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ ડાબી તરફની દિશામાં હશે.

(C) પૈડું સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઢળતા સમતલ સાથેના સંપર્ક બિંદુ પરનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે પૈડાની ત્રિજ્યા $R$ છે. $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા $2R$ લંબાઈનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ અને ઢળતા સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. ભૂમિતિ મુજબ,$\alpha = \theta$ થાય.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ ને કારણે સંપર્ક બિંદુ પરનું ટોર્ક શૂન્ય છે.
$+q$ પરનું વિદ્યુત બળ $qE$ (ડાબી બાજુ આડું) અને $-q$ પર $qE$ (જમણી બાજુ આડું) છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે સંપર્ક બિંદુ પરનું ટોર્ક $\tau_E = (qE \cos \theta) R + (qE \cos \theta) R = 2qER \cos \theta$ થાય.
જોકે,ખરબચડા સમતલ પર સંતુલન માટે,કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $mg \sin \theta$ ને કારણે ટોર્ક સંતુલિત થવું જોઈએ. સંપર્ક બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક $mg \sin \theta$ ને કારણે ટોર્ક $(mg \sin \theta) R$ છે.
ટોર્કને સરખાવતા: $2qER \cos \theta = mgR \sin \theta$.
$E$ માટે ઉકેલતા: $E = \frac{mg \sin \theta}{2q \cos \theta} = \frac{mg \tan \theta}{2q}$.

(D) બિંદુ $P$ પર ત્રીજા વિદ્યુતભારને સંતુલિત કરવા માટે,તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ (સમાન મૂલ્ય અને વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો) ના કિસ્સામાં,વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુ માટે,ડાયપોલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ક્યારેય શૂન્ય હોતું નથી કારણ કે ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોના ક્ષેત્ર સદિશો કોઈપણ મર્યાદિત અંતરે એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી.
તેથી,ડાયપોલની આસપાસ એવું કોઈ બિંદુ $P$ નથી જ્યાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય,અને તેથી ત્રીજા વિદ્યુતભારને સંતુલિત કરી શકાતો નથી.

(C) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયપોલની અક્ષ પર $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{r^2}$ છે.
અહીં,$p = 4 \, C-m$,$q = 8 \times 10^{-6} \, C$,અને $r = 4 \, m$ છે.
વિદ્યુતભારને કારણે ડાયપોલના સ્થાન પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{9 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-6}}{4^2} = \frac{72 \times 10^3}{16} = 4.5 \times 10^3 \, N/C$ છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ $x$-અક્ષ પર (વિદ્યુતક્ષેત્રને સમાંતર) છે,તેથી $\theta_1 = 0^\circ$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_1 = -pE \cos(0^\circ) = -pE$.
$\frac{\pi}{2}$ ના ખૂણે ફેરવ્યા પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = -pE \cos(90^\circ) = 0$.
થયેલ કાર્ય $W = U_2 - U_1 = 0 - (-pE) = pE$.
$W = 4 \times 4.5 \times 10^3 = 18 \times 10^3 \, J = 18 \, mJ$.

(C) ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ધરાવતા ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{eq} = -\frac{k\vec{p}}{x^3}$ છે.
ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ધરાવતા ડાયપોલના અક્ષીય રેખા પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{ax} = \frac{2k\vec{p}}{x^3}$ છે.
બે ઉભી ડાયપોલ માટે, બિંદુ $M$ તેમની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર આવેલું છે. દરેક ડાયપોલ ડાબી તરફ $\frac{kp}{x^3}$ મૂલ્યનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી, આ બે ડાયપોલનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાબી તરફ $\frac{kp}{x^3} + \frac{kp}{x^3} = \frac{2kp}{x^3}$ થશે.
આડી ડાયપોલ માટે, બિંદુ $M$ તેની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે. તે જમણી તરફ $\frac{2kp}{x^3}$ મૂલ્યનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$M$ પર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર આ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{E}_{net} = \frac{2kp}{x^3} (\text{જમણી}) - \frac{2kp}{x^3} (\text{ડાબી}) = 0$.

(C) ડાયપોલને કારણે કોઈ બિંદુ $(r, \theta)$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિષુવવૃત્તીય સમતલ માટે (આ આકૃતિમાં $y$-અક્ષ),$\theta = 90^\circ$ છે,તેથી $\cos 90^\circ = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y$-અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન શૂન્ય છે,જેમાં બિંદુ $B$ અને $D$ નો સમાવેશ થાય છે.
કારણ કે $V_B = 0$ અને $V_D = 0$,તેથી બિંદુ $B$ થી $D$ સુધી પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q_0$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = q_0(V_D - V_B) = 0$ છે.
અક્ષીય રેખા પરના બિંદુઓ $A$ અને $C$ માટે,સ્થિતિમાન શૂન્ય નથી અને $V_A \neq V_C$ છે. તેથી,$A$ અને $C$ વચ્ચે વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય નથી.

(A) આ તંત્ર એક વિદ્યુત ડાયપોલ બનાવે છે જેમાં $+q$ વિદ્યુતભાર $(-d, 0)$ પર અને $-q$ વિદ્યુતભાર $(+d, 0)$ પર છે.
$1$. $y$-અક્ષ પરના બિંદુઓ માટે,ડાયપોલને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન વિદ્યુતભારથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ હોય છે,જે $-\hat{i}$ દિશામાં છે.
$2$. $x$-અક્ષ પરના બિંદુઓ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા વિદ્યુતભારોના સ્થાનના આધારે બદલાય છે.
$3$. ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ $-q$ થી $+q$ તરફ એટલે કે $(+d, 0)$ થી $(-d, 0)$ તરફ હોય છે,જે $-\hat{i}$ દિશામાં છે. તેનું મૂલ્ય $p = q(2d) = 2qd$ છે.
$4$. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{d} + \frac{k(-q)}{d} = 0$ થાય છે. ઉગમબિંદુ પર સ્થિતિમાન શૂન્ય હોવાથી,અનંત અંતરેથી પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને ઉગમબિંદુ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_0 \Delta V = q_0(0 - 0) = 0$ થાય છે.

(D) વિદ્યુત ડાયપોલની અક્ષીય રેખા પર તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2pr}{r^3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ હોવાથી,$F \propto \frac{1}{r^3}$ મળે છે.
જો અંતર $r$ બમણું $(r' = 2r)$ કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F'$ એ $F' = F \times (\frac{r}{r'})^3 = F \times (\frac{r}{2r})^3 = F \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{F}{8}$ થશે.

(B) ટૂંકી ડાયપોલને કારણે તેના વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{eq} = \frac{kp}{r^3}$ હોય છે. આ ક્ષેત્રની દિશા ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશની વિરુદ્ધ હોય છે ($+q$ થી $-q$ તરફ).
ટૂંકી ડાયપોલને કારણે તેની અક્ષીય રેખા પર $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{axis} = \frac{2kp}{r^3}$ હોય છે. આ ક્ષેત્રની દિશા ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશની દિશામાં હોય છે ($-q$ થી $+q$ તરફ).
આકૃતિના અવલોકન પરથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરતા $E_{net} = \frac{2kp}{r^3}$ મળે છે.

(C) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશા ઋણ વીજભાર $(-q)$ થી ધન વીજભાર $(+q)$ તરફ હોય છે.
વિદ્યુત ડાયપોલની વિષુવરેખા પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશા ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ ની દિશાની વિરુદ્ધ (anti-parallel) હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે.
તેથી,વિષુવરેખા પર વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^o$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ ત્રિજ્યાવર્તી સદિશ $\vec{r}$ (રેખા $OP$) સાથે બનાવેલ ખૂણો $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{E_{\perp}}{E_{\|}} = \frac{1}{2} \tan \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ સ્થાન સદિશ ડાયપોલ અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો છે.
અહીં,$\alpha = \frac{\pi}{3}$ છે.
તેથી,$\tan \phi = \frac{1}{2} \tan \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે સ્થાન સદિશનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો અને $\phi$ નો સરવાળો છે.
આમ,$\theta = \alpha + \phi = \frac{\pi}{3} + \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

(C) શિરોબિંદુ $C$ પરના $-2q$ વિદ્યુતભારને બે $-q$ વિદ્યુતભારો તરીકે ગણી શકાય.
$C$ પરનો એક $-q$ વિદ્યુતભાર $A$ પરના $+q$ સાથે ડાયપોલ બનાવે છે (ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1$,$C$ થી $A$ તરફ,મૂલ્ય $p = ql$).
બીજો $-q$ વિદ્યુતભાર $C$ પરનો,$B$ પરના $+q$ સાથે ડાયપોલ બનાવે છે (ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_2$,$C$ થી $B$ તરફ,મૂલ્ય $p = ql$).
આ બે ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1$ અને $\vec{p}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ:
$p_{net} = \sqrt{p^2 + p^2 + 2pp \cos 60^{\circ}}$
$p_{net} = \sqrt{2p^2 + 2p^2(1/2)} = \sqrt{3p^2} = \sqrt{3}p$
$p = ql$ મૂકતા,આપણને $p_{net} = \sqrt{3}ql$ મળે છે.