Resistance of wire, Resistivity and Conductivity Questions in Gujarati

(D) વિદ્યુત વાહકતા $(\sigma)$ એ વિદ્યુત અવરોધકતા $(\rho)$ નો વ્યસ્ત છે,એટલે કે $\sigma = 1/\rho$.
ધાતુઓ માટે,અવરોધકતા $(\rho)$ ખૂબ જ ઓછી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10^{-8} \Omega \text{ m}$ થી $10^{-6} \Omega \text{ m}$ ની રેન્જમાં હોય છે.
પરિણામે,વિદ્યુત વાહકતા $(\sigma)$ ખૂબ જ ઊંચી હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10^6 \text{ S m}^{-1}$ થી $10^8 \text{ S m}^{-1}$ ની રેન્જમાં હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ આ રેન્જને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) $I-V$ આલેખ પરથી,ઢાળ $1/R$ દર્શાવે છે.
તાપમાન $t_1 = 100^{\circ} C$ માટે,ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $1/R_1 = \tan 45^{\circ} = 1$,જે $R_1 = 1 \Omega$ આપે છે.
તાપમાન $t_2 = 400^{\circ} C$ માટે,ખૂણો $30^{\circ}$ છે,તેથી $1/R_2 = \tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$,જે $R_2 = \sqrt{3} \Omega \approx 1.732 \Omega$ આપે છે.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1 t_2 - R_2 t_1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 \times 400 - \sqrt{3} \times 100} = \frac{0.732}{400 - 173.2} = \frac{0.732}{226.8} \approx 3.22 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત આશરે $3 \times 10^{-3} /^{\circ} C$ છે.

(B) ધારો કે તારની પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ છે. ખેંચ્યા પછી,નવી લંબાઈ $l^{\prime} = l + 10\% \text{ of } l = l + 0.1l = 1.1l$ થશે.
તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A \cdot l = A^{\prime} \cdot l^{\prime}$,જે સૂચવે છે કે $A^{\prime} = A / 1.1$.
નવો અવરોધ $R^{\prime} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{1.1l}{A/1.1} = (1.1)^2 \rho \frac{l}{A} = 1.21R$ થશે.
આમ,અવરોધ મૂળ અવરોધ કરતા $1.21$ ગણો થાય છે.
વિશિષ્ટ અવરોધ (રેઝિસ્ટિવિટી) $\rho$ એ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો પર નહીં. તેથી,વિશિષ્ટ અવરોધ સમાન રહેશે.

(D) આપેલ છે,પ્રારંભિક અવરોધ,$R_{1} = 3 \Omega$.
ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે તારને તેની લંબાઈ કરતા બમણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l^{\prime} = 2l$ થાય છે.
ખેંચવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \times l = A^{\prime} \times l^{\prime}$.
તેથી,$A^{\prime} = \frac{A \times l}{l^{\prime}} = \frac{A \times l}{2l} = \frac{A}{2}$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવો અવરોધ $R_{2} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right) = 4 R_{1}$.
$R_{1}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_{2} = 4 \times 3 \Omega = 12 \Omega$ મળે છે.

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે $A = \frac{V}{l} = \frac{m}{l \cdot d}$ (જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $d$ એ ઘનતા છે),આપણે લખી શકીએ:
$R = \rho \frac{l^2 \cdot d}{m}$
તાંબાના તાર માટે $\rho$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{l^2}{m}$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર: $m_1:m_2:m_3 = 1:3:5$ અને $l_1:l_2:l_3 = 5:3:1$.
અવરોધનો ગુણોત્તર ગણતા:
$R_1:R_2:R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1:R_2:R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1:R_2:R_3 = 25 : 3 : \frac{1}{5}$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $5$ વડે ગુણતા:
$R_1:R_2:R_3 = 125 : 15 : 1$.

(D) તાપમાન $T$ પર વાહકનો અવરોધ $R$ નીચેના રેખીય સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = R_{0} [1 + \alpha(T - T_{0})]$
$R = R_{0} + R_{0}\alpha(T - T_{0})$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = R$ અને $x = (T - T_{0})$ છે:
આલેખનો ઢાળ $m = R_{0}\alpha$ છે.
તેથી,તાપમાન ગુણાંક $(\alpha)$ થશે:
$\alpha = \frac{m}{R_{0}}$

(D) આપેલ છે કે,દળનો ગુણોત્તર $m_{1}: m_{2}: m_{3} = 1: 3: 5$ અને લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_{1}: l_{2}: l_{3} = 5: 3: 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $d = \frac{m}{V} = \frac{m}{Al}$ હોવાથી,$A = \frac{m}{dl}$ મળે.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા,$R = \rho \frac{l}{(m/dl)} = \rho d \frac{l^{2}}{m}$ મળે.
તાંબાના તાર માટે $\rho$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{l^{2}}{m}$ થાય.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $R_{1}: R_{2}: R_{3} = \frac{l_{1}^{2}}{m_{1}}: \frac{l_{2}^{2}}{m_{2}}: \frac{l_{3}^{2}}{m_{3}}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R_{1}: R_{2}: R_{3} = \frac{5^{2}}{1}: \frac{3^{2}}{3}: \frac{1^{2}}{5} = \frac{25}{1}: \frac{9}{3}: \frac{1}{5} = 25: 3: 0.2$.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે $5$ વડે ગુણતા: $125: 15: 1$ મળે.

(C) આપેલ છે: $T_1 = 300 \, K$ તાપમાને $R_{T_1} = 0.3 \, \Omega$.
તાપમાન $T_2$ પર અવરોધ $R_{T_2} = 0.6 \, \Omega$ છે.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 1.5 \times 10^{-3} \, K^{-1}$ છે.
તાપમાન સાથે અવરોધમાં થતા ફેરફારનું સૂત્ર $R_T = R_{T_0} [1 + \alpha(T - T_0)]$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.6 = 0.3 [1 + 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)]$.
બંને બાજુ $0.3$ વડે ભાગતા: $2 = 1 + 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $1 = 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)$.
$(T_2 - 300)$ માટે ઉકેલતા: $T_2 - 300 = \frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{1.5} \approx 666.67 \, K$.
તેથી, $T_2 = 300 + 666.67 = 966.67 \, K$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, $993 \, K$ એ સૌથી નજીકનો સૈદ્ધાંતિક જવાબ છે.

(D) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાંબાના ટુકડાનું કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = A \times L$.
અવરોધના સૂત્રમાં $A = \frac{V}{L}$ મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$.
વળી,$A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,$R = \rho \frac{L}{\pi d^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$.
અવરોધને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે લંબાઈ $L$ વધારવી જોઈએ અને વ્યાસ $d$ ઘટાડવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$2L$ અને $d/2$ ની ગોઠવણી મહત્તમ અવરોધ આપે છે કારણ કે $R \propto \frac{L}{d^2}$.
$L' = 2L$ અને $d' = d/2$ મૂકતા,આપણને $R' \propto \frac{2L}{(d/2)^2} = \frac{2L}{d^2/4} = 8 \frac{L}{d^2}$ મળે છે,જે આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી વધુ મૂલ્ય છે.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે:
અવરોધકતા $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \ m$
લંબાઈ $L = 30 \ m$
ક્ષેત્રફળ $A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = (1.7 \times 10^{-8} \ \Omega \ m) \times \frac{30 \ m}{6 \times 10^{-7} \ m^2}$
$R = 1.7 \times 10^{-8} \times 5 \times 10^7 \ \Omega$
$R = 8.5 \times 10^{-1} \ \Omega$
$R = 0.85 \ \Omega$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વાહકનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R \propto \frac{l}{A}$ હોવાથી,$R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે મહત્તમ લંબાઈ $l$ અને ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $A$ ની જરૂર છે.
આપેલ પરિમાણો $1 \ cm, 2 \ cm, 3 \ cm$ માટે:
મહત્તમ અવરોધ $R_{\max} = \rho \frac{3 \ cm}{(1 \ cm \times 2 \ cm)} = \rho \frac{3}{2} \ cm^{-1}$.
$R$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે ન્યૂનતમ લંબાઈ $l$ અને મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A$ ની જરૂર છે.
ન્યૂનતમ અવરોધ $R_{\min} = \rho \frac{1 \ cm}{(2 \ cm \times 3 \ cm)} = \rho \frac{1}{6} \ cm^{-1}$.
ગુણોત્તર $\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{\rho \times 1.5}{\rho \times (1/6)} = 1.5 \times 6 = 9$.
આમ,ગુણોત્તર $9: 1$ છે.

(B) આપેલ છે,પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 8 \Omega$.
રેખીય વિકૃતિ $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_1} = 400 \% = 4$.
અંતિમ લંબાઈ $l_2 = l_1 + \Delta l = l_1 + 4l_1 = 5l_1$.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,અવરોધ $R$ એ લંબાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $R \propto l^2$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{8} = \left(\frac{5l_1}{l_1}\right)^2 = 5^2 = 25$.
આમ,$R_2 = 25 \times 8 = 200 \Omega$.

(C) આપેલ છે: પ્રવાહ $I = 2 \, A$, વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 3.4 \, V$, દળ $m = 8.92 \times 10^{-3} \, kg$, ઘનતા $d = 8.92 \times 10^3 \, kg/m^3$, અવરોધકતા $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \, \Omega m$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, અવરોધ $R$:
$R = \frac{\Delta V}{I} = \frac{3.4}{2} = 1.7 \, \Omega$.
તારનું કદ $V_{ol}$:
$V_{ol} = \frac{m}{d} = \frac{8.92 \times 10^{-3}}{8.92 \times 10^3} = 10^{-6} \, m^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$. કારણ કે $V_{ol} = A \times L$, તેથી $A = \frac{V_{ol}}{L}$.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = \rho \frac{L}{(V_{ol}/L)} = \frac{\rho L^2}{V_{ol}}$.
$L^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$L^2 = \frac{R \times V_{ol}}{\rho} = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{1.7 \times 10^{-8}} = 10^2$.
તેથી, તારની લંબાઈ $L = 10 \, m$ થાય.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{L}{\sigma A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ વાહકતા છે.
બે તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ થાય છે.
સંયુક્ત તારની કુલ લંબાઈ $2L$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહે છે.
અવરોધ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2L}{\sigma_{eq} A} = \frac{L}{\sigma_1 A} + \frac{L}{\sigma_2 A}$.
બંને બાજુથી $L$ અને $A$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$.
તેથી,અસરકારક વાહકતા $\sigma_{eq} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્લેટ $A$ ની બાજુની લંબાઈ $L$ છે। તો પ્લેટ $B$ ની બાજુની લંબાઈ $2L$ થશે।
બંને પ્લેટો $t$ જાડાઈની ચોરસ પ્લેટો હોવાથી, જેમાંથી પ્રવાહ વહે છે તે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{cs} = \text{બાજુ} \times t$ દ્વારા મળે છે।
પ્લેટ $A$ માટે: $L_A = L$ (પ્રવાહની દિશામાં લંબાઈ), $A_{cs,A} = L \times t$.
પ્લેટ $B$ માટે: $L_B = 2L$ (પ્રવાહની દિશામાં લંબાઈ), $A_{cs,B} = 2L \times t$.
અવરોધના સૂત્ર $R = \frac{\rho L}{A_{cs}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R_A = \frac{\rho L}{Lt} = \frac{\rho}{t}$
$R_B = \frac{\rho (2L)}{(2L)t} = \frac{\rho}{t}$
તેથી, $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho/t}{\rho/t} = 1$.

(B) ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. મૂળ અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ છે.
ધારો કે લંબાઈનો $x$ ભાગ $n = 1.5$ ના ગુણાંકથી ખેંચાય છે.
કુલ લંબાઈ $L_{total} = (1-x)L + xLn = L(1 - x + 1.5x) = L(1 + 0.5x)$.
આપેલ છે કે $L_{total} = 1.5L$,તેથી $1 + 0.5x = 1.5 \implies x = 1$.
અવરોધ માટે: $R_{total} = R_s + R_u = n^2(xR) + (1-x)R = 2.25xR + (1-x)R = R(1 + 1.25x)$.
$R_{total} = 4R$ માટે,$1 + 1.25x = 4 \implies 1.25x = 3 \implies x = 2.4$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{1}{8}$ છે.

(B) આપેલ છે: $0^{\circ} C$ તાપમાને અવરોધ $R_0 = 20 \Omega$.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 5 \times 10^{-3} {}^{\circ} C^{-1}$.
આપણે તે તાપમાન $t$ શોધવાનું છે જ્યાં અવરોધ $R_t$ એ પ્રારંભિક અવરોધ કરતા બમણો થાય,તેથી $R_t = 2 R_0 = 2 \times 20 = 40 \Omega$.
તાપમાન $t$ પર અવરોધનું સૂત્ર $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $40 = 20(1 + 5 \times 10^{-3} t)$.
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા: $2 = 1 + 5 \times 10^{-3} t$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $1 = 5 \times 10^{-3} t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{1}{5 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{5} = 200^{\circ} C$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા,$l$ એ લંબાઈ અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ તાર માટે: $l_1 = 1 \text{ cm}$,$r_1 = 1 \text{ mm}$,$R_1 = 3 \times 10^{-3} \Omega$.
સમાન દ્રવ્યના બે તાર માટે અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $l_1 = 1 \text{ cm}$,$l_2 = 3 \text{ cm}$,$r_1 = 1 \text{ mm}$,$r_2 = 0.5 \text{ mm}$.
$\frac{R_2}{3 \times 10^{-3}} = \left(\frac{3}{1}\right) \times \left(\frac{1}{0.5}\right)^2$.
$\frac{R_2}{3 \times 10^{-3}} = 3 \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12$.
$R_2 = 12 \times 3 \times 10^{-3} = 36 \times 10^{-3} \Omega = 0.036 \Omega$.

(A) ધાતુઓમાં,વાહકતા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિને કારણે હોય છે. જ્યારે તાપમાન વધે છે,ત્યારે લેટીસમાં રહેલા ધાતુના આયનો (પરમાણુઓ) નું કંપન વધે છે. આના પરિણામે ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન અને કંપન કરતા આયનો વચ્ચે વારંવાર અથડામણ થાય છે. પરિણામે,ધાતુનો અવરોધ વધે છે,જે વાહકતામાં ઘટાડો કરે છે.

(C) આપેલ છે: સમઘનની ધારની લંબાઈ,$l = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m} = 60 \times 10^{-2} \text{ m}$.
દ્રવ્યની અવરોધકતા,$\rho = 60 \times 10^{-8} \Omega \text{ m}$.
સમઘનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = l^2 = (60 \times 10^{-2} \text{ m})^2$ થાય.
અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{\rho l}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{60 \times 10^{-8} \times (60 \times 10^{-2})}{(60 \times 10^{-2})^2}$
$R = \frac{60 \times 10^{-8}}{60 \times 10^{-2}}$
$R = 1 \times 10^{-6} \Omega$.

(C) $t$ તાપમાને વાયરનો અવરોધ $R_t = R_0(1 + \alpha t)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ $0^{\circ} C$ તાપમાને અવરોધ છે અને $\alpha$ એ અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક છે.
આપેલ છે: $R_{150} = 133 \Omega$ અને $\alpha = 0.0045^{\circ} C^{-1}$.
$t = 150^{\circ} C$ માટે:
$133 = R_0(1 + 150 \times 0.0045) = R_0(1 + 0.675) = 1.675 R_0$
$R_0 = \frac{133}{1.675} \approx 79.403 \Omega$
હવે,$t = 500^{\circ} C$ માટે:
$R_{500} = R_0(1 + 500 \times 0.0045) = R_0(1 + 2.25) = 3.25 R_0$
$R_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_{500} = 3.25 \times \frac{133}{1.675} = \frac{432.25}{1.675} \approx 258.06 \Omega$
આમ,$500^{\circ} C$ તાપમાને અવરોધ આશરે $258 \Omega$ છે.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ, $l = 5 \, m$.
બહારનો વ્યાસ, $d_1 = 0.1 \, m$.
બહારની ત્રિજ્યા, $r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \, m$.
જાડાઈ, $t = 0.005 \, m$.
અંદરની ત્રિજ્યા, $r_2 = r_1 - t = 0.05 - 0.005 = 0.045 \, m$.
પોલી નળીના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, $A = \pi(r_1^2 - r_2^2)$.
$A = 3.14 \times [(0.05)^2 - (0.045)^2] = 3.14 \times (0.0025 - 0.002025) = 3.14 \times 0.000475 = 1.4915 \times 10^{-3} \, m^2$.
અવરોધ, $R = \rho \cdot \frac{l}{A} = 1.7 \times 10^{-8} \times \frac{5}{1.4915 \times 10^{-3}}$.
$R \approx 5.7 \times 10^{-5} \, \Omega$.

(A) તારનો અવરોધ $R = \frac{S l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ અવરોધકતા છે,$l$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ અવરોધ $R$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે: $R = R_1 + R_2$.
અવરોધના સૂત્રને મૂકતા: $\frac{S(l_1 + l_2)}{A} = \frac{S_1 l_1}{A} + \frac{S_2 l_2}{A}$.
વ્યાસ સમાન હોવાથી,બંને તાર માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહેશે.
બંને બાજુથી $A$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $S(l_1 + l_2) = S_1 l_1 + S_2 l_2$.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધકતા $S$ એ: $S = \frac{S_1 l_1 + S_2 l_2}{l_1 + l_2}$ થાય.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તમામ તાર સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી ($L$ અને $A$ અચળ છે),અવરોધ $R$ એ અવરોધકતા $\rho$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
જ્યારે $n$ તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 + . . . + R_n$ થાય.
$R = \rho \frac{L}{A}$ મૂકતા,આપણને $\rho_{eq} \frac{L}{A} = \rho_1 \frac{L}{A} + \rho_2 \frac{L}{A} + . . . + \rho_n \frac{L}{A}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $\frac{L}{A}$ ને દૂર કરતા,$\rho_{eq} = \rho_1 + \rho_2 + . . . + \rho_n$ મળે છે.
અહીં $\rho_1 = 1, \rho_2 = 2, . . . , \rho_n = n$ આપેલ છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધકતા $\rho_{eq} = 1 + 2 + 3 + . . . + n$ થાય.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\rho_{eq} = \frac{n(n+1)}{2}$ મળે છે.

(A) અવરોધના તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(T_2 - T_1)}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે અવરોધ $10 \%$ વધે છે,તેથી $R_2 = R_1 + 0.10 R_1 = 1.1 R_1$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 356 \ K - 303 \ K = 53 \ K$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha = \frac{1.1 R_1 - R_1}{R_1(53)} = \frac{0.1 R_1}{53 R_1} = \frac{0.1}{53}$.
$\alpha \approx 0.001886 \ K^{-1} \approx 1.886 \times 10^{-3} \ K^{-1}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\alpha \approx 2 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ મળે છે.

(A) અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્ર $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે.
અહીં $R_1 = 2.5 \ \Omega$ તાપમાન $T_1 = 373 \ K$ પર છે,$\alpha = 3.6 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ અને $T_2 = 273 \ K$ છે.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 373 - 273 = 100 \ K$ છે.
સૂત્ર $R_2 = R_1 / (1 + \alpha \Delta T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R_2 = 2.5 / (1 + 3.6 \times 10^{-3} \times 100)$
$R_2 = 2.5 / (1 + 0.36) = 2.5 / 1.36$
$R_2 \approx 1.838 \ \Omega \approx 1.84 \ \Omega$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ) છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ બમણી $(L' = 2L)$ અને ત્રિજ્યા બમણી $(r' = 2r)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ થાય છે:
$R' = \rho \frac{L'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{2L}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2L}{4 \pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{L}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
અવરોધકતા $(\rho)$ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે અને તે તારના પરિમાણો પર આધારિત નથી,તેથી તે બદલાતી નથી.
તેથી,અવરોધ અડધો થાય છે અને વિશિષ્ટ અવરોધ બદલાતો નથી.

(D) તારનો અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \times L$ હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{L}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho L^2}{V}$ મળે છે.
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{d}$ થાય.
આમ,$R = \frac{\rho L^2 d}{m}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho$ અને $d$ અચળ છે,તેથી $R \propto \frac{L^2}{m}$.
આપેલ ગુણોત્તર $m_1 : m_2 : m_3 = 1 : 2 : 3$ અને $L_1 : L_2 : L_3 = 3 : 2 : 1$ છે,તેથી અવરોધનો ગુણોત્તર:
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{L_1^2}{m_1} : \frac{L_2^2}{m_2} : \frac{L_3^2}{m_3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = \frac{3^2}{1} : \frac{2^2}{2} : \frac{1^2}{3}$
$R_1 : R_2 : R_3 = 9 : 2 : \frac{1}{3}$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $3$ વડે ગુણતા,આપણને $27 : 6 : 1$ મળે છે.

(A) તારનો પ્રારંભિક અવરોધ,$R_1 = 2 R$. ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે.
જ્યારે તારને ખેંચીને તેની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $L_2 = 2 L_1$ થાય છે. તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A_1 L_1 = A_2 L_2$.
$L_2 = 2 L_1$ મૂકતા,$A_1 L_1 = A_2 (2 L_1)$,જેનો અર્થ છે કે $A_2 = A_1 / 2$.
નવો અવરોધ $R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R_2 = \rho \frac{2 L_1}{A_1 / 2} = 4 \left( \rho \frac{L_1}{A_1} \right) = 4 R_1$.
$R_1 = 2 R$ હોવાથી,નવો અવરોધ $R_2 = 4 \times (2 R) = 8 R$.
અવરોધમાં થતો વધારો $\Delta R = R_2 - R_1 = 8 R - 2 R = 6 R$ છે.

(A) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આડછેદ ગોળાકાર હોવાથી,$A = \pi r^2$ થાય.
પ્રથમ તાર માટે: $R = \rho \frac{L}{\pi r^2} \quad (1)$
બીજા તાર માટે: $L_2 = 2L$ અને $r_2 = 3r$ છે.
નવો અવરોધ $R_2 = \rho \frac{2L}{\pi (3r)^2} = \rho \frac{2L}{9 \pi r^2} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{R_2}{R} = \frac{\rho \frac{2L}{9 \pi r^2}}{\rho \frac{L}{\pi r^2}} = \frac{2}{9}$
તેથી,$R_2 = \frac{2}{9} R$.

(C) સમાન આડછેદ ધરાવતા તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદ $V = AL$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણી પાસે $A = \frac{V}{L}$ છે.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho L}{(V/L)} = \left(\frac{\rho}{V}\right) L^2$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$ થાય.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,આપણે સંબંધ $\frac{\Delta R}{R} = 2 \frac{\Delta L}{L}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 6\%$,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$6\% = 2 \times \left(\frac{\Delta L}{L} \times 100\right)$.
તેથી,લંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{6\%}{2} = 3\%$ છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારને ખેંચતી વખતે કદ $V = A \times L$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{L}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \rho \frac{L}{V/L} = \rho \frac{L^2}{V}$ મળે છે.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto L^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 5 \Omega$ અને પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = 3L$ છે.
તેથી,નવો અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2 = \left( \frac{3L}{L} \right)^2 = 3^2 = 9$.
$R_2 = 9 \times R_1 = 9 \times 5 \Omega = 45 \Omega$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. કારણ કે $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$,આપણે લખી શકીએ $R = \frac{4 \rho l}{\pi d^2}$.
તાર $P$ માટે: $R_P = 10 \ \Omega$,લંબાઈ $= l$,વ્યાસ $= d$.
તાર $Q$ માટે: લંબાઈ $l_Q = l/2$,વ્યાસ $d_Q = d/2$.
બંને તારનું દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho_P = \rho_Q = \rho$.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{R_Q}{R_P} = \frac{l_Q}{l_P} \times \left(\frac{d_P}{d_Q}\right)^2 = \left(\frac{l/2}{l}\right) \times \left(\frac{d}{d/2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,$R_Q = 2 \times R_P = 2 \times 10 \ \Omega = 20 \ \Omega$.

(D) પ્રારંભિક અવરોધ,$R_1 = 20 \Omega \Rightarrow \frac{\rho l_1}{A_1} = 20 \quad \dots (i)$
હવે,લંબાઈ $l_2 = 3 l_1$ થાય છે.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$V_1 = V_2 \Rightarrow A_1 l_1 = A_2 l_2$
$A_1 l_1 = A_2 \times 3 l_1 \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{3}$
તેથી,અંતિમ અવરોધ $R_2$ નીચે મુજબ મળે:
$R_2 = \frac{\rho l_2}{A_2} = \frac{\rho \times 3 l_1}{(A_1 / 3)} = 9 \times \frac{\rho l_1}{A_1}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$R_2 = 9 \times 20 \Omega = 180 \Omega$

(C) જ્યારે ધાતુનું તાપમાન વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં રહેલા પરમાણુઓ વધુ જોરથી કંપન કરવા લાગે છે. આનાથી ઇલેક્ટ્રોન અને લેટીસ આયનો વચ્ચેની અથડામણની સંખ્યામાં વધારો થાય છે. આમ,ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય,જેને રિલેક્સેશન સમય ' $\tau$ ' કહેવાય છે,તે ઘટે છે. ધાતુની અવરોધકતા ' $\rho$ ' નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\rho = \frac{m}{n e^2 \tau}$. અહીં,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$n$ એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા છે,અને $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે. કારણ કે $\rho \propto \frac{1}{\tau}$,તેથી જેમ તાપમાન વધવાની સાથે રિલેક્સેશન સમય ' $\tau$ ' ઘટે છે,તેમ અવરોધકતા ' $\rho$ ' વધે છે.

(B) ધારો કે $t_2$ એ ફિલામેન્ટનું તાપમાન છે જ્યારે બલ્બ ચાલુ હોય અને $t_1$ એ ઓરડાનું તાપમાન છે જ્યારે બલ્બ બંધ હોય.
આપેલ છે:
$R_{t_2} = 250 \ \Omega$
$R_{t_1} = 25 \ \Omega$
$t_1 = 25^{\circ} C$
$\alpha = 4.5 \times 10^{-3} /^{\circ} C$
અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R_{t_2} = R_{t_1} [1 + \alpha(t_2 - t_1)]$
$250 = 25 [1 + 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)]$
બંને બાજુ $25$ વડે ભાગતા:
$10 = 1 + 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)$
$9 = 4.5 \times 10^{-3} (t_2 - 25)$
$t_2 - 25 = \frac{9}{4.5 \times 10^{-3}}$
$t_2 - 25 = 2 \times 10^3$
$t_2 - 25 = 2000$
$t_2 = 2025^{\circ} C$
આમ,જ્યારે બલ્બ ચાલુ હોય ત્યારે ફિલામેન્ટનું તાપમાન $2025^{\circ} C$ છે.

(D) $L$ લંબાઈ,$\rho$ અવરોધકતા અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વાહકનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટેપરિંગ સળિયા (શંકુના આડછેદ) માટે,અસરકારક આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ બંને છેડાઓના ક્ષેત્રફળનો ભૌમિતિક મધ્યક છે.
છેડાઓના ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{\pi}{4} D_1^2$ અને $A_2 = \frac{\pi}{4} D_2^2$ છે.
અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{A_1 A_2} = \sqrt{\left(\frac{\pi}{4} D_1^2\right) \left(\frac{\pi}{4} D_2^2\right)} = \frac{\pi}{4} D_1 D_2$ થાય.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{\rho L}{\frac{\pi}{4} D_1 D_2} = \frac{4 \rho L}{\pi D_1 D_2}$.

(C) એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\frac{dR}{dx} = \rho_0 \left(\frac{x}{L}\right)^\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x=0$ થી $x=L$ સુધી સંકલન કરતા કુલ અવરોધ $R$ મળે છે:
$R = \int_0^L \frac{\rho_0}{L^\alpha} x^\alpha dx = \frac{\rho_0}{L^\alpha} \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_0^L = \frac{\rho_0 L^{\alpha+1}}{L^\alpha(\alpha+1)} = \frac{\rho_0 L}{\alpha+1}$.
આપેલ પાવર $P = 20 \ W$ અને વોલ્ટેજ $V = 5 \ V$ માટે,$P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$20 = \frac{5^2}{R} \Rightarrow R = \frac{25}{20} = 1.25 \ \Omega$.
$R = \frac{\rho_0 L}{\alpha+1}$ અને $\rho_0 L = 10 \ \Omega$ કિંમતો મૂકતા:
$1.25 = \frac{10}{\alpha+1} \Rightarrow \alpha+1 = \frac{10}{1.25} = 8 \Rightarrow \alpha = 7$.

(A) આપેલ છે:
$t_1 = 30^{\circ} C$,$R_1 = 3.1 \Omega$
$t_2 = 100^{\circ} C$,$R_2 = 4.5 \Omega$
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1 t_2 - R_2 t_1}$
$\alpha = \frac{4.5 - 3.1}{(3.1 \times 100) - (4.5 \times 30)}$
$\alpha = \frac{1.4}{310 - 135}$
$\alpha = \frac{1.4}{175} = 0.008^{\circ} C^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) એલ્યુમિનિયમ એક ધાતુ (વાહક) છે. ધાતુઓ માટે, જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ ઘટે છે કારણ કે લેટીસ વાઇબ્રેશન (ફોનોન્સ) ઘટે છે, જેના પરિણામે ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ ઓછું થાય છે.
જર્મેનિયમ એક અર્ધવાહક છે. અર્ધવાહકો માટે, જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ વધે છે કારણ કે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા તાપમાન સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
તેથી, જ્યારે $77 \,K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે એલ્યુમિનિયમના તારનો અવરોધ ઘટે છે અને જર્મેનિયમના તારનો અવરોધ વધે છે.

(A) આપેલ છે: $\rho_B = 2 \rho_A$ અને $R_A = R_B = R$.
ધારો કે તાર $A$ ની ત્રિજ્યા $r_A = r$ છે. તાર $B$ નો વ્યાસ $A$ કરતા બમણો હોવાથી,તાર $B$ ની ત્રિજ્યા $r_B = 2r$ થશે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_A = R_B$ હોવાથી:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r_A^2} = \rho_B \frac{l_B}{\pi r_B^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r^2} = (2 \rho_A) \frac{l_B}{\pi (2r)^2}$
$\rho_A \frac{l_A}{r^2} = 2 \rho_A \frac{l_B}{4r^2}$
$l_A = \frac{2}{4} l_B$
$l_A = \frac{1}{2} l_B$
તેથી,$\frac{l_B}{l_A} = 2$.

(C) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે, $l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
આપેલ છે: $R = 4 \Omega$, $\rho = 2.2 \times 10^{-8} \Omega \cdot m$, અને વ્યાસ $d = 1.4 \text{ mm} = 1.4 \times 10^{-3} \text{ m}$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 0.7 \times 10^{-3} \text{ m}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.7 \times 10^{-3})^2 \text{ m}^2$.
લંબાઈ $l$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $l = \frac{R A}{\rho}$.
કિંમતો મૂકતા: $l = \frac{4 \times \pi \times (0.7 \times 10^{-3})^2}{2.2 \times 10^{-8}}$.
$l = \frac{4 \times 3.14159 \times 0.49 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-8}} = \frac{6.1575 \times 10^{-6}}{2.2 \times 10^{-8}} \approx 280 \text{ m}$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$,વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 4 \text{ A}$,વોલ્ટેજ $V = 2 \text{ V}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R = \frac{V}{i} = \frac{2}{4} = 0.5 \text{ } \Omega$.
અવરોધકતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = R \frac{A}{l}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = 0.5 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.5} = 1 \times 10^{-6} \text{ } \Omega \cdot \text{m}$.

(D) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ખેંચતી વખતે કદ $V = A \times l$ અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \rho \frac{l}{V/l} = \rho \frac{l^2}{V}$.
અહીં $\rho$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$R \propto l^2$ થાય.
નાના ફેરફારો માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta R}{R} \approx 2 \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta R}{R} = 4 \%$,તેથી $4 \% = 2 \times \frac{\Delta l}{l} \times 100 \%$.
આમ,$\frac{\Delta l}{l} \times 100 \% = \frac{4 \%}{2} = 2 \%$.